MATEMÁTICAS 2º ESO. Ejercicios resueltos paso a paso de proporcionalidad, porcentajes y figuras semejantes. PROPORCIONALIDAD: a Ejemplo de Regla de tres simple directa (solo aparecen 2 magnitudes) Si un alumno es capaz de estudiar en dos horas diez folios, ¿cuántos folios, estudiando al mismo ritmo, sería capaz de memorizar en tres horas? D 2 h ------------- 10 folios 3 h ------------- x folios Como a más horas estudiando memoriza más folios, son magnitudes directamente proporcionales, por tanto: 2 10 = 3 x
x= 3 ∙
10 2
= 15 folios
b Ejemplo de Regla de tres simple inversa (solo aparecen 2 magnitudes): Si 10 trabajadores terminan una tarea en 6 días, ¿cuántos días necesitarían 5 trabajadores para terminar la misma tarea, trabajando todos al mismo ritmo? En este caso, a más trabajadores menos días necesitarán para terminar la tarea, luego son magnitudes inversamente proporcionales. Dejamos la fracción donde está la incógnita como está y le “damos la vuelta” a la otra fracción: I 10 trabajadores ------------- 6 días 5 trabajadores ------------- x días 5 6 = 10 x
x= 6∙
10 5
= 12 folios
c Ejemplo de regla de tres compuesta: (aparecen más de 2 magnitudes, pudiendo ser todas éstas directas, inversas o de ambos tipos): Si 8 obreros realizan en 9 días trabajando 6 horas al día un muro de 30 m, ¿cuántos días necesitarán 10 obreros trabajando 8 horas diarias para realizar los 50 m de muro que faltan? Recuerda que lo primero es situar las magnitudes iguales en la misma columna, después comparar cada magnitud con la magnitud donde está la incógnita (poniendo una “D” sin son directamente prop. o una “I” si son inversamente proporcionales), tras ello escribir la ecuación y por último resolverla: I I 8 obreros ------- 9 días ------- 6 horas al día ------- 30 m 10 obreros ------- x días ------- 8 horas al día -------- 50 m
D
Cuantos más obreros haya, menos días tardan (Inversa) A más horas al día trabajando, menos días tardan (Inversa) A más metros de muro a construir, más días tardan (Directa) Escribimos la ecuación poniendo primero la fracción donde está la x , después el signo igual y por último el resto de fracciones multiplicadas, teniendo en cuenta que se “dan la vuelta” si son inversas o se dejan como están si son directas 9 10 8 30 = ∙ ∙ x 8 6 50 (Recuerda que para multiplicar numeradores y denominadores) 9 x =
10 ∙ 8 ∙30 8 ∙ 6 ∙50
9 x =
2400 2400
X=
9∙ 2400 2400
= 9 días
fracciones
multiplicamos
d Repartos directamente proporcionales e inversamente proporcionales Juan, Diego, Lucía y Ángel tienen 10, 5, 2 y 3 años. Si se quieren repartir 100 euros entre ellos, calcula cuánto les tocaría 1) en un reparto directamente proporcional a sus edades y 2) en un reparto inversamente proporcional a sus edades Llamaremos “j” para referirnos a juan, “d” para Diego, “l” para Lucía y “a” para Ángel
REPARTO DIRECTO: 1º) K=
2) REPARTO INVERSO:
Total a repartir Suma de las cantidades(edades en este caso)
1º) K=
Total a repartir Suma de lasinversas (edades en este caso)
100 K = 10+ 5+ 2+3 =¿
100 100 = 10+ 5+ 2+3 20 = 5
K
=
100 100 = 1 1 1 1 34 + + + 10 5 2 3 30 K= 100 :
34 30
=
100 ∙
30 34
=
3000 34
K= 88,2 2º) Multiplicamos por k a las edades de cada uno para K a las inversas de las obtener las cantidades pedidas: uno para obtener las canti-
2º) Multiplicamos por
edades de cada
dades pedidas (1 decimal en los cálculos):
j = 10 ∙ 5 = 50 €
1 j= 10
∙
d=
1 5
∙
l=
1 2
∙
d=
1 3
∙
88,2 = 8,8 € d= 5 ∙ 5 = 25 € 88,2 = 17,6 € l= 2 ∙ 5= 10 € 88,2 = 44,2 € a= 3 ∙ 5= 15 € 88,2 = 29,4 € Como comprobación, vemos que la suma de las vemos que la suma de cantidades que le toca a cada uno es 100 cada uno es 100
€
Como comprobación,
cantidades que le toca a
€
PORCENTAJES ENCADENADOS: En estos problemas, aplicaremos la fórmula Pf = Pi r ¿ 100
∙ (1 ±
, siendo Pf el precio o cantidad final, Pi el precio o cantidad
inicial y r el porcentaje de subida o bajada (si es de bajada pondremos un signo menos). Veamos un par de ejemplos
Ejemplo nº1. Unos zapatos costaban en Enero 30 €. En febrero subieron un 6% y en marzo bajaron un 5%. Hallar su precio en marzo Pf= 30 ∙ (1+
6 −5 100 ) ∙ (1 100 )= 30 ∙ 1,06 ∙ 0,95= 30,21 €
El segundo ejemplo es distinto al anterior, ya que nos piden la cantidad del primer mes y nos dan la del último:
Ejercicio nº2. La entrada a una sala de conciertos registró una entrada media de 8000 personas en marzo, lo que supone un 20% menos que en febrero. Si en febrero registró un 10% más que en enero, hallar la entrada media en enero. Veámoslo con un esquema (si para pasar de enero a febrero se debe multiplicar por 1,10, para pasar de febrero a enero se deberá dividir por 1,10. Y si para pasar de febrero a marzo se debe multiplicar por 0,8, para pasar de marzo a febrero se deberá dividir por 0,8) : 1,10 – 20/100 = 1-0,2 = 0,8
: 0,8
20% Menos= 1 10% Más= 1 + 10/100=
1+0,1= 1,1 Enero
Febrero
· 1,10 Pf= 8000 : (1 -
Marzo
· 0,8 20 +10 ) : (1 100 100 )= 8000 : 0,8 · 1,1 = 11000 personas
es la entrada media en enero
FIGURAS SEMEJANTES: Ejemplo 1. Si un edificio de 300 m de altura da una sombra de 15 m, calcular la altura de un árbol que da una sombra de 10 m a la misma hora del día. Puede resolverse mediante una regla de 3: 300 m de altura -------- 15 m de sombra X m de altura
--------- 10 m de sobra
X= 300 ∙ 10/15 = 200 m de sombra tiene el árbol
Ejemplo 2. En un mapa que está a escala 1:2000 la distancia que separa a dos fincas es 7 cm. Calcular la distancia expresada en metros que las separa en la realidad Recuerda que si la escala es 1:2000 las cosas en la realidad son 2000 veces más grandes que en el plano. Por tanto: 7 cm ∙ 2000= 14000 cm= 140 m Puede resolverse también con una regla de 3: 1 cm en el mapa ----------- 2000 cm en la realidad 7 cm en el mapa ------------ x cm en la realidad X= 7 ∙ 2000/1 = 14000 cm en la realidad, que pasados a metros son 140 m
Ejemplo 3. Si dos pueblos están separados 16 km, hallar la distancia que los separa en un plano a escala 1:100000 En esta ocasión, como nos piden la distancia en el plano: 16 km: 100000 = 0,00016km= 16 cm (se ha pasado la distancia a cm porque en un plano las distancias suelen darse en esa unidad) Puede resolverse también con una regla de 3: 1 km en el mapa ----------- 100000 km en la realidad X km en el mapa ------------ 16
km en la realidad
X= 16 ∙ 1/100000 = 0,00016km, que pasados a cm son 16 cm
