Supremo Supre mo e ´ınfimo ınfimo de un conjunto nociones del supremo y del ´ınfimo ınfimo de un conjunto conjunto y estudiar estudiar sus Objetivos. Definir las nociones propiedades b´asicas. asicas.
Requisitos. Eje real extendido, cotas superiores e inferiores.
Supremo de un conjunto 1. Definici´ on (supremo de un conjunto). Sea A ⊂ R. Un elemento b ∈ R se llama on supremo de A o cota superior exacta de A si b es la l a cota superior sup erior m´ınima de A, es decir, el elemento m´ınimo del conjunto de todas to das las cotas superiores sup eriores de A. 2. Unicidad del supremo. De la definici´on on est´a claro que si existe un supremo de A, entonces es ´unico. unico. vac´ıo. 3. Supremo del conjunto vac´ vac´ıo. Encuentre el supremo del conjunto vac´
4. Conjuntos no acotados superiormente. Un conjunto A ⊂ R se llama no acotado si su unica u ´ nica cota superior es +∞. ¿Cu´al al es el supremo de un conjunto no superiormente si acotado superiormente?. 5. Exist Existenc encia ia del suprem supremo o de cua cualqu lquier ier subconjun subconjunto to de R no vac´ vac´ıo acotado acot ado superiormen superiormente te (sin demostrac demostraci´ i´ on). on). Cualquier conjunto A ⊂ R no vac´ vac´ıo y acotado aco tado superiormente sup eriormente pos´ee ee un unico u ´ nico supremo. 6. Corola Corolario rio:: existe existenci ncia a del supremo supremo de cua cualqu lquie ierr subconju subconjunt nto o del eje real real extendido. Cualquier subconjunto A de R tiene un ´unico unico supremo. Demostraci´ on. Considerar varios casos:
1. +∞ ∈ A . 2. A ⊂ [ −∞, +∞), pero A no es acotado superiormente. 3. A =
∅.
4. A = {−∞}. 5. A ⊂
R,
= ∅, A es acotado superiormente. A
6. A = {−∞ {−∞} ∪ B , donde B ⊂
R,
= B
∅,
B es acotado superiormente.
7. Descripci´ on del supremo mediante un sistema de dos condiciones. Un eleon mento b ∈ R es el supremo de un conjunto A ⊂ R si y s´olo olo si se cumplen dos condiciones: 1. ∀a ∈ A
a ≤ b .
2. ∀c < b
∃a ∈ A
a > c.
Supremo Supremo e ´ınfimo ınfimo de un conjunto, conjunto, p´agina agina 1 de 3
´Infimo de un conjunto 8. Escriba la definici´on del ´ınfimo (notaci´on: inf) y los enunciados correspondientes. 9. Describa el ´ınfimo de un conjunto mediante un sistema de dos condiciones.
“Pasar al sup o al inf en desigualdades” 10. Proposici´ on. Sean A ⊂ R, b ∈ R tales que ∀a ∈ A
a ≤ b.
Entonces sup(A) ≤ b . otesis significa que b es una cota superior de A. Pero sup(A) es la Demostraci´ on. La hip´ menor de las cotas superiores de A.
11. Tambi´en es v´alida la proposici´on rec´ıproca: si sup( A) ≤ b, entonces para cualquier a ∈ A se cumple la desigualdad a ≤ b . 12. Pasar al sup en desigualdades estrictas. Sean A ⊂ R y b ∈ R tales que ∀a ∈ A
a < b.
¿Qu´e conclusi´on podemos hacer acerca de sup( A) y b?. Justifique bien la respuesta.
13. Enuncie y demuestre proposiciones an´alogas para inf.
Condiciones sup(A)
> b,
inf(A)
14. Sean A ⊂ R y b ∈ R. Demuestre que sup(A) > b
⇐⇒
∃a ∈ A a > b.
15. Sean A ⊂ R y b ∈ R. Determine si las siguientes dos condiciones son equivalentes o no. Justifique bien la respuesta. (a) sup(A) ≥ b . (b) ∃a ∈ A
a ≥ b .
16. Enuncie y demuestre proposiciones an´alogas para inf.
Supremo e ´ınfimo de un conjunto, p´agina 2 de 3
Supremo e ´ınfimo de la uni´on de dos conjuntos 17. Sean A, B ⊂ R. Entonces
sup(A ∪ B ) = max sup(A), sup(B ) , inf(A ∪ B ) = min inf(A), inf(B ) .
Monotonicidad del supremo y del ´ınfimo 18. Sean A, B ∈ R tales que A ⊂ B . Entonces sup A ≤ sup B . 19. Sean A, B ∈ R tales que A ⊂ B . Entonces inf A ≥ inf B .
Supremo, ´ınfimo y operaciones aritm´ eticas 20. Definici´ on (operaciones aritm´ eticas con conjuntas). Sean A, B ⊂ A + B := { c ∈
R : ∃ a ∈ A,
∃b ∈ B AB := { c ∈ R : ∃ a ∈ A, ∃b ∈ B
Sean A ⊂
R,
b ∈
R.
R.
tales que c = a + b}, tales que c = ab }.
Entonces:
A + b = b + A := A + {b} = { c ∈
∃a ∈ A tal que c = a + b}, Ab = bA := A {b} = { c ∈ R : ∃a ∈ A tal que c = ab }, −A := (−1) · A = {c ∈ R : ∃ a ∈ A tal que c = −a}. R:
21. Propiedades aritm´ eticas. 1. Si A ⊂
R y
2. Si A, B ⊂
b ∈
R,
3. Si A ⊂
R y
4. Si A ⊂
R,
5. Si A ⊂
R y
R,
entonces sup(b + A) = b + sup(A).
= ∅, B = A
∅,
entonces sup(A + B ) = sup(A) + sup(B ).
b > 0, entonces sup(bA) = b sup(A).
entonces sup(−A) = − inf(A). b < 0, entonces sup(bA) = b inf(A).
22. Ejercicio. Enuncie y demuestre propiedades similares del ´ınfimo.
Supremo e ´ınfimo de un conjunto, p´agina 3 de 3
Entonces:
