13-01-2014
Projeto de Geoestatística Modelização de um jazigo através dos teores de amostras de uma prospeção geoquímica.
Filipe Balagueiras nº68069 Mariana Miranda nº68072 IST – ENSINO SUPERIOR TÉCNICO
Projeto de Geoestatística
Índice 1)
Introdução ______________________ _____________________________________________ ___________________________ ____ 3
2)
Análise univariada das amostras.________________________________ ________________________________ 4
3)
Análise da continuidade espacial ________________________________ ________________________________ 5
3.1 Variogramas _________________________________ ________________________________________________ _______________ 5 3.2) Elipse de anisotropia_________________________________________ anisotropia_________________________________________ 6 3.2.1) Comentário: ____________________________________________ 7 4)
Estimação Geoestatística – Krigagem ordinária ____________________ 8
4.1) Modelo probabilístico do estimador linear. _______________________ _______________________ 8 4.2) Estimador linear geoestatístico ________________________________ ________________________________ 9 4.3) Análise Univariada dos dados estimados. estimados. _______________________ _______________________ 10 4.4) Krigagem da data set set _____________________ _______________________________________ __________________ 11 5)
Estimação Geoestatística – Krigagem por indicatriz ________________ 12
5.1) Estimação de de valores extremos de de uma Distribuição ______________ 12 5.2) Formalismo da Indicatriz ______________________ ____________________________________ ______________ 12 5.3) Krigagem da Indicatriz ______________________________________ ______________________________________ 13 5.4) Teores de Corte _____________________ ___________________________________________ ______________________ 13 5.5) Transformação do teor
em 3 variáveis indicatriz Iz(x) __________ 14
5.6) Análise da continuidade espacial de Iq25(x), Iq50(x), Iq75(x) ___________ 16 5.7) Representação Representação gráfica da Krigagem da indicatriz indicatriz _________________ 17 6)
Morfologia Geoestatística ______________________ ____________________________________ ______________ 19
6.1) Krigagem morfológica: ______________________________________ ______________________________________ 19 7)
Estimação da incerteza local __________________________________ __________________________________ 21
8)
Conclusão __________________________________________ _________________________________________________ _______ 22
Anexo A) Variogramas ______________________ ____________________________________________ ______________________ 23 Bibliografia ____________________________________________________ 24
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1) INTRODUÇÃO O uso da geoestatística na análise de avaliação de reservas minerais é indispensável nos dias de hoje. Através dos avanços tecnológicos dados nas últimas décadas podemos aproveitar o uso do computador para resolver inúmeras iterações estatísticas que se tornavam quase impossíveis sem o uso deste. Deste modo, recorremos ao software de cálculo GeoMs para uma melhor avaliação do jazigo em estudo. O objetivo principal na classificação de reservas é a caracterização da quantidade de material com certas características e qual o grau de certeza associado. Este trabalho tem portanto como objetivo final, a modelização morfológica de um corpo mineralizado de Cobre através de ferramentas geoestatísticas. O conhecimento acerca da morfologia do jazigo permite inferir o seu voluma, área, teor médio, etc, sem os quais seria impossível a decisão acerca da rentabilidade de exploração de tal corpo. A análise estatística baseou-se no resultado de 16 sondagens com 10m de profundidade num bloco de 100*100m. Os valores dos teores de cobre das dezasseis sondagens possuem um afastamento de um em um metro correspondendo a um total de 160 teores. O resultado da prospeção e análise química está representado num ficheiro chamado “data set 3” que relaciona a sua posição tridimensional e o seu teor de cobre. Com a ajuda do ficheiro GeoMs temos como objetivo a análise geoestatística e simulação espacial do jazigo em função dos valores dados na prospeção.
Gráfico 1) Teores das amostras sondadas.
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2) ANÁLISE UNIVARIADA DAS AMOSTRAS . A análise univariada permite-nos uma análise descritiva da amostra através dos seus dados resultando numa informação gráfica mais suscetível á sua interpretação. Com os dados “data_set_3” e com o software GeoMs foi criado o gráfico da função
distributiva cumulativa, o histograma e um box-plot da distribuição do teor de cobre nas amostras estudadas. O histograma é uma disposição espacial das frequências, este fornece-nos uma impressão visual sobre a forma e distribuição da amostra. Através da observação do histograma, é de fácil interpretação que os teores parecem estar bem distribuídos, apresentando uma distribuição normal. O gráfico de frequência cumulativa é caracterizado com a variação do histograma. O box-plot é uma ferramenta de análise visual, apoiada nos diferentes quartis da amostra.
Figura 1) Análise univariada dos dados amostrais.
Os parâmetros estatísticos obtidos na análise espacial foram: Média:
12,61
Variância:
31,73 Q 25
l
Percenti Q 50 ou mediana Q 75
8,73 12,46 17,31
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3) ANÁLISE DA CONTINUIDADE ESPACIAL 3.1 VARIOGRAMAS O variograma é uma análise que pretende quantificar a continuidade espacial do teor entre amostras, para diferentes direções. Este é calculado pela função do semivariograma, que tem, como variáveis principais, a correlação entre pontos aleatórios e a distância espacial que os separa. Ao interpretar o variograma apercebemo-nos que á medida que a distância espacial entre pontos aumenta, os valores do semivariograma aproximam-se da variância da amostra. A variância calculada no capitulo anterior , VAR(T Cu)=31,73 é apresentada em todos os variogramas do modelo por um traço vermelho. Este, é denominado por patamar. O valor de variograma para um qualquer ponto (xα) com variância superior à definida para o patamar assume-se sem continuidade espacial. Na análise Geoestatística da variabilidade espacial do cobre no jazigo foi usado o estimador clássico de Matheron, a função de semivariânçia, estimada para cada distância estrutural (lag) de pontos numa dada direção e com uma dada tolerância. É necessário ajustar modelos matemáticos (curvas) que se adequem o melhor possível aos dados obtidos nos variogramas de cada direção. O modelo que se ajuste melhor aos dados de cada variograma, será então uma função da continuidade espacial dos teores das amostras. Para uma melhor representação da informação qualitativa e espacial dos teores de cobre foram realizados inúmeros estudos/tentativas para cada direção com diferentes distâncias. Foram realizados seis variogramas para diferentes direções horizontais:
Direção
Tolerância
Distância (h)
Alcance (a)
(0;0)
30º
10m
75m
(30;0)
30º
12m
57m
(45;0)
30º
10m
52m
(60;0)
30º
11m
50m
(90;0)
30º
10m
43m
(-60;0)
30º
10m
49m
(-45;0)
30º
10m
52m
(-30;0)
30º
10m
58m
Tabela 1) Direções do modelo.
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3.2) ELIPSE DE ANISOTROPIA Qualquer variável dentro de um dado domínio, como um jazigo mineral, apresenta um variograma real que nos é desconhecido. Inicialmente são apenas conhecidos os teores das amostras, tal como a sua localização espacial. Após o estudo pormenorizado da análise da continuidade espacial das amostras recolhidas em campo conseguimos obter uma melhor caracterização do espaço de continuidade através de uma elipse de anisotropia. No caso em estudo, o comportamento da continuidade espacial não é igual em todas as direções, logo estamos perante uma variável anisótropa. De acordo com a variabilidade dos pontos no espaço foi criado uma elipse horizontal que nos ajuda a observar as direções com maior e menor continuidade espacial através dos alcances máximos e mínimos que obtemos no estudo dos modelos dos variogramas. O nosso modelo apresenta uma maior continuidade na direção N/S e consequentemente uma menor continuidade na direção E/W.
Figura 2) Elipse de anisotropia horizontal.
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3.2.1) C OMENTÁRIO :
Gráfico 2) Lag = 10m e alcance = 50m
Gráfico 3) Lag = 8m e alcance= 50m
Gráfico 5) Lag = 9m e alcance= 50m
Gráfico 4) Lag= 11m e alcance= 50m
Gráfico 6) Lag = 12m e Alcance=60m
Para um estudo mais promenorizado do modelo espacial direção (60,0) NE/SW criou-se cinco variogramas com diferentes lag’s onde foi observado uma discrepância no valor do alcançe. Em todos os variogramas apresentados o alcançe é de 50m excepto no gráfico 5, este apresenta um alcance de 60m. Através da análise da elipse de anisotropia é de notar que existe uma tendência decrescente de alcance relativamente ao aumento da inclinação na direcção 45º. Deste modo, o alcance de 50m adapta-se melhor á elipse de anisotropia.
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4) ESTIMAÇÃO GEOESTATÍSTICA – KRIGAGEM ORDINÁRIA 4.1) MODELO PROBABILÍSTICO DO ESTIMADOR LINEAR. A Krigagem ordinária é uma ferramenta geoestatística capaz de estimar uma variável num local não amostrado a partir da combinação linear dos dados amostrados disponíveis na vizinhança do ponto analisado, de acordo com a expressão geral:
∑
Equação 1) Cálculo dos valores estimados.
Dentro do formalismo geoestatístico, este estimador é obtido pela imposição de dois critérios fundamentais de qualidade: 1. O não-enviesamento. 2. Variância de estimação mínima. Para assegurar a primeira restrição é necessário garantir que a média dos valores num domínio deve ser igual á média dos valores experimentais. Admitindo a estacionaridade da média, a condição de não-enviesamento do estimador implica que a soma dos ponderadores ser igual a um.
} ∑ }[∑ ] ⇒ ∑ Equação 2) Condição para o não-enviesamento.
O segundo critério diz que a média ponderada do quadrado dos desvios deve ser mínima, o que significa que quanto mais correlacionada estiverem os valores estimados e os valores reais menos impreciso será o estimador.
} ∑∑ ∑ Equação 3) Condição para a variância mínima.
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4.2) ESTIMADOR LINEAR GEOESTATÍSTICO O estimador geoestatístico, denominado por Krigagem é um estimador calculado através da combinação linear de um conjunto de N variáveis que tem como condição fronteira os dois critérios de qualidade a cima referidos.
∑
Equação 4) Estimador linear geoestatístico.
Visto que se pretende que a solução desta equação cumpra a Equação 5)e Equação 6, é necessário aplicar o formalismo de Lagrange. Para o uso deste é necessário recorrer a outra equação dada pelo somatório dos ponderadores ser igual a um. Para facilitar a representação da complexidade da resolução das equações por intermediário do formalismo de Lagrange, a solução final é obtida por um sistema de equações representado na seguinte forma:
∑ () () ∑ {
Equação 7) Sistema de equações com referência ao parâmetro de Lagrange.
A resolução deste sistema de equações pode ser dado, através do cálculo algébrico, por um sistema matricial. O sistema de N+1 equações é descrito por:
Equação 8) Sistema matricial para o cálculo dos ponderadores.
Onde, [K] é a matriz de covariâncias entre amostras, a matriz de ponderadores e [M] é a matriz coluna de covariâncias entre amostras e ponto a estimar. A matriz [K] representa a desagregação dos pontos. Isto é, quanto mais correlacionadas estiverem as amostras, maior é o efeito de redundância e menor será o peso individual no cálculo do estimador.
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A matriz [M] é a matriz coluna de covariâncias entre as amostras e o ponto a estimar, representando-se assim pelo fator de distância estrutural. Através da formula conseguimos deduzir que com o aumento do valor de [M] proporciona um peso mais elevado aos estimadores.
4.3) ANÁLISE UNIVARIADA DOS DADOS ESTIMADOS. Numa primeira análise, dá-se a descrição da análise univariada das variáveis estimadas tendo como objetivo estudar as semelhanças e diferenças dos valores amostrados para os valores estimados. Através da Krigagem obteu-se 100 000 pontos a partir dos 160 pontos provenientes dos dados originais. Através destes cem mil pontos conseguimos obter um efeito de suavidade no gráfico de distribuição de função. Consequentemente, o histograma apresenta-se com um maior número de classes, contudo a Krigagem conservou a sua forma original, apresentando-se como uma distribuição normal. Os valores da média e mediana possuem valores semelhantes, sendo os estimados sensivelmente maiores do que os dados originais. De acordo com estas observações, é possível dizer que a Krigagem apresentou-se com uma grande proximidade á estrutura estatística dos teores originais.
Figura 3) Análise univariada dos valores estimados [z(x)]*
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4.4) KRIGAGEM DA DATA SET No capítulo anterior foram estudadas as principais características estruturais da continuidade dos teores amostrados através dos modelos de variograma. Após o reconhecimento quantitativo e qualitativo dessa continuidade é possível aplicar uma técnica geoestatística de estimação linear, a Krigagem normal. Uma vez definido o modelo de variograma, realizou-se a estimação de Krigagem normal. Como resultado têm-se um gráfico com um espectro de valores estimados (gráfico 7) e outro com a variância da krigagem (gráfico 8).
Gráfico 7) Mapa estimado com os valores dos teores.
Gráfico 8) Variância da Krigagem com teores.
No mapa de valores krigados estão apresentados a azul os valores estimados mais baixos, seguido por uma gradação de cores até um nível mais elevado de cor encarnada. Este gráfico apresenta-nos a variabilidade das amostras no plano. O valor máximo amostrado no (gráfico 7) é representado a vermelho com um teor de 20,75%, este reflete-se nos valores estimados das amostras vizinhas. O ponto amostrado de teor mais elevado terá uma zona ao seu redor, de pontos estimados com teor semelhante. Á medida que o ponto a estimar se afasta do teor amostrado mais elevado, o tom de vermelho desvanece até ao azul. Sendo o tom de azul representativo de teores mais baixos. No (gráfico 8), da variância da krigagem, existem 16 zonas que apresentam uma variação mínima. Estas zonas ocorrem em redor das 16 sondagens efetuadas. Quanto mais afastados se encontram os pontos destas zonas, maior é o valor da variância. Este facto é demonstrado pela fórmula da variância de estimação da Krigagem (Equação 3). À medida que os pontos se afastam dos pontos conhecidos, a covariância diminui, logo a variância de estimação aumenta gradualmente.
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5) ESTIMAÇÃO GEOESTATÍSTICA – KRIGAGEM POR INDICATRIZ 5.1) ESTIMAÇÃO DE VALORES EXTREMOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO Uma análise minuciosa à distribuição dos teores das amostras originais (figura 4) revela valores anómalos, por excesso, entre os 25% e 38,21%, sendo que o maior valor máximo considerado na krigagem normal foi de 23.69%. Portanto, pode-se assumir, que os dados de teores mais elevados obtidos na campanha de sondagem não foram contabilizados na krigagem normal realizada. Um planeamento de gestão de recursos geológicos exige não só o conhecimento das suas características médias, mas também das suas características extremas, deste modo é possível avaliar as frações de recurso acima de determinado valor de corte. Um jazigo mineral é, por definição, todo o recurso geológico que tem o teor de metal acima de um valor de corte, parâmetro dinâmico ao longo do tempo, dependente da conjuntura técnicoeconómica. O valor de corte a definir será portanto o critério de estabelecimento da zona económica do recurso. Para se proceder à estimação geoestatística dos valores extremos de um recurso, tendo como parâmetro descritor o seu teor (%) torna-se necessário recorrer ao formalismo da Indicatriz.
5.2) FORMALISMO DA INDICATRIZ A inferência das probabilidades de uma lei de distribuição de valores estimados [Z(x)]* acarreta geralmente um enviesamento sistemático das funções de distribuição das probabilidades.
Figura 4) Análise univariada referente ás amostras originais.
Equação 9
Caso a variável teor no corte z.
for transformado numa variável indicatriz
com base
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}} Equação 10
Deste modo a esperança do conjunto estacionário de variáveis probabilidade de ocorrer um valor < z será:
é igual á
} Equação 11
Pretende-se estimar diretamente
através da variável
:
Equação 12
indicatriz
Estimar um valor de equivale a estimar um primeiro momento da variável . Os seguintes momentos da indicatriz são definidos pelo desvio padrão.
Equação 13
5.3) KRIGAGEM DA INDICATRIZ
∑
Em qualquer ponto a estimar , a variável probabilidade de ser inferior ao teor de corte z.
pode ser expressa como a
A krigagem normal da indicatriz permitirá a estimação de combinação linear dos valores das amostras vizinhas a .
através de uma
Equação 14
Os critérios fundamentais da krigagem normal de não enviesamento e da minimização da variância de estimação terão de ser cumpridos na krigagem da indicatriz.
5.4) TEORES DE CORTE O estudo da dispersão do recurso mineral levada a cabo neste projeto tem como etapa final a obtenção de uma zona de valor económico.
} ⇒ }⇒
Querendo com isto dizer que existe um teor de corte z ótimo, teores iguais ou acima de z serão considerados como de extração rentável, , teores abaixo do corte não o serão,
.
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Não conhecendo a geologia, a topografia do terreno e o ambiente técnico-económico de extração, não é possível apontar um valor de corte z exato, , que nos permita diferenciar teores económicos de não económicos. Para dar uma ideia da influência da variação de teor de corte nas zonas a apreciar, foram feitas 3 Krigagens de indicatriz com diferentes teores de corte.
A escolha de diferentes foi feita com base na função de distribuição de probabilidades dos teores amostrados. Definiram-se o quartil 25, 50 e 75 como os valores de corte a examinar. Teores de corte:
Q 25 =8,73%; Q 50 =12,46%; Q 75 =17,31%;
Figura 5) Quartis da amostra original.
5.5) TRANSFORMAÇÃO DO TEOR
A transformação da variável teor teores de corte acima descritos.
EM 3 VARIÁVEIS INDICATRIZ
em variável indicatriz
é realizada segundo os
Os dados de teor amostrados foram tratados através de Excel, onde a folha Excel inicial corresponde à base de dados original (Mine Set 3), descrita nas 4 primeiras colunas. As restantes relacionam-se com a transformação da variável teor nas respectivas variáveis indicatriz ;
Coordenadas Eixo X; Coordenadas Eixo Y; Coordenadas Eixo Z; Teor ; 5ª Coluna, corresponde a 6ª Coluna, corresponde a 7ª Coluna, corresponde a
com z= Q 25, com z= Q 50, com z= Q 75,
; ; ;
Os teores, ao serem colocados por ordem descendente alterando as restantes colunas, é possível uma rápida classificação positiva ou negativa (1 ou 0) das diferentes funções indicatriz com base nos teores.
Equação 15
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Figura 7) Q 25 = 8,73
Figura 6) Q 50 = 12,46
Figura 8) Q 75 = 17,31
O impacto da transformação da variável teor para as variáveis indicatriz , nomeadamente , e pode ser observada nos dados amostrados na figura 9.
Figura 9) Mapa de teor versus mapas de indicatriz.
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em
É de notar a diminuição da cor azul à medida que o teor de corte vai aumentando, ou seja, existirão muito mais teores transformados em 1’s (75%) do que em (25%).
5.6) ANÁLISE DA CONTINUIDADE ESPACIAL DE
,
Através das funções de distribuição de probabilidade das funções indicatriz e da distribuição espacial dos dados foram construídos variogramas em várias direções horizontais e numa vertical, em semelhança ao realizado na Krigagem Normal de .
Para não tornar o relatório demasiado extenso optámos por não representar aqui a construção dos vários variogramas, contudo as funções de distribuição de probabilidades de cada unção indicatriz, bem como as características dos respetivos eixos principais das elipses tridimensionais da continuidade entre amostras são aqui divulgadas.
Figura 10) ) F.d.p e eixos principais da elipse de Iq25 (x)
Figura 11) F.d.p e eixos principais da elipse de Iq50 (x)
Figura 11)F.d.p. e eixos principais da elipse de I q75 (x)
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Podemos observar que para o teor de corte mais elevado, em , a anisotropia da continuidade espacial horizontal escolhida não tem a mesma orientação das restantes, sendo de Este-Oeste (90º). A maior direção de e é a direcção Norte-Sul (0º), tal como na Krigagem Normal de . Pode ainda ser observada uma tendência decrescente da continuidade vertical de acordo com um aumento do teor de corte z.
6.7) REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA KRIGAGEM DA INDICATRIZ O resultado das 3 Krigagens da Indicatriz, cada uma com diferentes teores de corte é aqui apresentado.
Figura 12) Krigagem e análise univariada para o percentil 25%.
Figura Krigagem e análise univariada o percentil Figura 13) 14) Krigagem e análise univariada parapara o percentil 50%75% . .
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Figura 15) Krigagem e análise univariada para o percentil 75%.
Os mapas da krigagem da Indicatriz revelam em cada ponto a probabilidade estimada do seu teor ser inferior ao teor de corte z definido, ou seja, apenas revelam uma maior ou menor probabilidade de o ponto estimado pertencer a uma classe de teores maior ou menor que z escolhido . O valor de teor de corte escolhido tem portanto uma grande influência na representação visual do modelo do corpo mineralizado, no entanto a krigagem da Indicatriz e a sua visualização em 3D não é suficiente para conhecer a morfologia do jazigo mineral, impossibilitando a quantificação da variável .
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6) MORFOLOGIA GEOESTATÍSTICA O conhecimento morfológico de jazigos minerais recorrendo a métodos geoestatísticos foi primeiramente executada por Dowd P., 1991. Segundo este, torna-se necessária a criação de uma variável categórica. A modelização de um corpo através de variáveis categóricas pode ser feita com base em duas premissas:
A forma de um corpo é definida pelo conjunto de pontos com maior probabilidade pertença a esse corpo, com base no formalismo da Indicatriz. A forma final do corpo resulta da classificação das probabilidades estimadas pelas categorias definidas previamente nas amostras.
Contudo, é de maior interesse para os tomadores de decisões que as fronteiras morfológicas do corpo mineralizado sejam definidas Para tal torna-se necessário a criação de uma variável categórica, do tipo 0/1. A decisão acerca da forma do corpo mineral utilizando o conceito de teor de corte ou “ cutoff grade” não pode ser tomada tendo por base a estimação da probabilidade de cada ponto pertencer à classe de 1’s ou de 0’s, uma vez que os dados das amostras foram transformados em
uns e zeros. Pode-se considerar a hipótese de que o corpo é definido pelos valores estimados
7.1) KRIGAGEM MORFOLÓGICA:
Uma vez definida a variável indicatriz I(x) característica de uma estrutura bifásica X e ,o processo de estimação geoestatística da forma de um corpo bifásico consiste em duas etapas essenciais (Soares A., 1990): 1) Estimar a probabilidade de cada um dos pontos x não amostrados pertencerem a X, [ prob{ x ϵ X}], obtendo-se um mapa, não binário, de probabilidades.
2) Classificação dos pontos estimados nos corpos X e , o que equivale á transformação do mapa de probabilidades num mapa binário. Onde X e vêm a sua forma reproduzida. Obtidas as probabilidades estimadas de para todos os pontos x 0, a última etapa consiste na transformação destas num mapa binário. A transformação proposta prevê que o melhor estimador da média de X é dado pela krigagem global da indicatriz, o que equivale á soma dos valores krigados pontuais.
∑ Equação 16
Assim, o mapa binário X será constituído pelos valores x 0 com maior probabilidade estimada de pertença a X, de modo que o seu número perfaça o valor
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estimado da proporção de X em A – [mx]*. Onde A representa o campo global e m(x)* a média das probabilidades estimadas. Este algoritmo combina dois critérios em relação á forma do corpo: - Maximização das probabilidades locais. - Reprodução da probabilidade global da pertença de X em A.
a)
b)
c)
Figura 16) Morfologia do corpo mineralizado para a) z= 8,73%; b) z = 12,46%; c) z=17,31%.
⇒ Equação 17
. Para poder tomar alguma decisão acerca das zonas em que o jazigo mineral seja interessante terão de ser estimadas as incertezas locais.
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7) ESTIMAÇÃO DA INCERTEZA LOCAL No capítulo 6 caracterizou-se espacialmente a morfologia do corpo onde se verificam valores extremos de um atributo. No entanto estes representam não só o que é mais provável mas também a parte extrema do recurso. O que significa que a variabilidade espacial dentro de cada fase não é representável. Através da estimação das Incertezas Locais pretende-se reproduzir uma imagem simulada com a proporção dos níveis extremos calculados anteriormente. Assim, reproduz-se uma imagem com a zona de incerteza definida. A categorização das probabilidades estimadas da indicatriz foi executada em quatro classes, com base no quadro bifásico definido em Equação 15. Para tal, é usado um algoritmo de classificação proposto por (Soares, 1990) que reproduz as proporções globais das classes e atribui a cada posição a categoria com maior probabilidade de ocorrência, através dos seguintes passos: 1. Ordenação decrescente dos valores estimados para cada classe. 2. Cálculo do número de valores pertencentes a cada classe. 3. Critério de alocação de um ponto. Quando um ponto, ( está colocado na fase de transição de fases, então esse ponto é alocado à primeira fase se , caso contrário é alocada à segunda fase.
A classificação de estruturas multifásicas é um procedimento que conduz a estruturas de corte da variável indicatriz, que atribui a diferentes classes valores estimados muito próximos.
As duas margens de Incerteza criadas referem-se à situação fronteira entre o corpo X e . Estas consistem numa subfase, criada para cada uma das fases existentes. Cada uma das subfases adicionadas representará os 5% de valores mais próximos da média por excesso ( e por defeito , respectivamente.
Figura 17) Mapas de incertezas locais.(esquerda I25, centro I50, direita I75.
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8) CONCLUSÃO O objetivo de conhecimento morfológico do jazigo cuprífero não foi cumprido, tal deve-se exclusivamente à impossibilidade de conhecimento de um z ótimo de corte, pela diferença que pode ter em diferentes localizações e pelo seu carácter dinâmico. Os corpos mineralizados são geralmente um corpo heterogéneo com zonas de concentração de teores mais elevados, contudo, o caso aqui em estudo levou-nos a uma conceptualização da simulação verificando assim a zona com maior e menor risco geológico, zona de certeza. A krigagem Normal permitiu-nos a estimação dos teores com base na média dos valores amostrados, os mapas de krigagem dão-nos a conhecer a tendência espacial do teor. Só por si não é possível definir a fronteira do corpo mineralizado, uma vez que este é, por definição, uma zona com teor metálico superior ao teor de corte ótimo. Através do formalismo da Indicatriz é possível categorizar a probabilidade de um ponto pertencer a uma classe acima ou abaixo do teor de corte definido. O conjunto de dados obtidos através da krigagem da Indicatriz diz respeito a uma variável contínua, que mais uma vez não define uma zona fronteira entre as zonas mineralizadas de não mineralizadas. Torna-se necessária a transformação do mapa não binário obtido por krigagem, num mapa binário do tipo 0/1, neste caso a fronteira do jazigo será onde os 1’s passarem a 0’s.
A definição acima proposta para a modelização da fronteira entre corpos acarreta erros. Uma vez que o formalismo da Indicatriz cria um mapa de probabilidades, a definição da fronteira terá alguma incerteza associada. A incerteza considerada foi de 10%, sendo 5% acima e outros tantos abaixo da média da Indicatriz, que por sua vez define a fronteira.
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ANEXO A) VARIOGRAMAS
Gráfico 9. Lag = 10 e Alcance = 75
Gráfico 10. Lag = 12m e Alcance = 57m
Gráfico 11) Lag=10m e Alcance = 52m
Gráfico 12) Lag=11m e Alcance =50m
Gráfico 13) Lag = 10m e Alcance = 52m
Gráfico 15) Lag = 10m e Alcance = 43m
Gráfico 14. Lag =10m e Alcance =58m
Gráfico 16) h=10m e Alcance =49m
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BIBLIOGRAFIA : Amílcar Soares, Geoestatística para as ciências da terra e do ambiente, IST press Isaaks, E. H. & Srivastava, R. M., 1989 - An Introduction to Applied Geostatistics. Oxford University Press, New York. Apontamentos das aulas teóricas e práticas dadas na cadeira de geoestatistica
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