INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
PROBLEMAS RESUELTOS PROGRAMACION DINAMICA Revisión : 2
PROGRAMACIÓN DINÁMICA CONTENIDOS:
APLICACIÓN 1: Modelo de la Ruta más Corta - APLICACIÓN 2 : Análisis de Reemplazo de Equipos -
- APLICACIÓN 3: Presupuesto de Capital
Copia No Controlada
Página 1 DE 9
PROBLEMAS RESUELTOS
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
PROGRAMACION DINAMICA Revisión : 2
Página 2 DE 9
APLICACIÓN 1: Modelo de la Ruta más Corta En la ciudad 1 queda un aeropuerto internacional con afluencia de muchos turistas que desean conocer los centros turísticos indicados en la red de la figura mostrada en la parte inferior. La red muestra la distancia (en kilómetros) de un centro a otro, así mismo muestra las alternativas de traslado. Una agencia de CityTour internacional desea determinar lo siguiente: Para los turistas que desean conocer únicamente el centro turístico número 10 hallar la trayectoria de menor distancia. 680 2
610 5
8
790 790
1050
1030
550 580 1
540
760
3
6
10
900 940
660 770
510
1390
790 700
4
7
9 270
830
SOLUCIÓN: Estructura:
K1 X1
X2 r1
Donde:
K2 2
r2
K3 X3
3
r3
K4 X4
4
r4
ETAPAS Xi: Estado actual en el que se encuentra el turista en la etapa i X1={1} X2={2, 3, 4} X3={5, 6, 7} X4={8, 9} Variables de decisión Copia No Controlada
PROBLEMAS RESUELTOS
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
PROGRAMACION DINAMICA Revisión : 2
Página 3 DE 9
Xi: Estado actual en el que se encuentra el turista en la etapa i X1={1} X2={2, 3, 4} X3={5, 6, 7} X4={8, 9} Ki: Estado al que dirige en la etapa etapa i K1={2, 3, 4} K2={5, 6, 7} K3={8, 9} K4={10} Estados ri : Distancia recorrida en la etapa i Funcion de retorno fi (Xi) : Valor acumulado de la función objetivo (menor distancia) para el estado Xi desde la etapa i hasta el destino final (nodo 10) Kix: Decisión optima en la etapa i dado el estado Xi en el que se encuentra en la etapa i A continuación se muestran las iteraciones recursivas del problema aplicando el METODO DE RETROCESO: Etapa 4 x4 8 9
r 4(k 4) k 4=10 1030 1390
Solución Optima f 4(x4) k 4* 1030 10 1390 10
En la tabla anterior se muestra las distancias más cortas que hay desde el nodo donde se encuentra actualmente (8 ó 9) al nodo final (10).
Etapa 3 x3 5 6 7
r 3(k 3)+f 4(k 3) k 3=8 k 3=9 610+1030=1640
790+1390=2180
540+1030=1570
940+1390=2330
790+1030=1820
270+1390=1660
Solución Optima f 3(x3) 1640 1570 1660
k 3* 8 8 9
En la tabla precedente se muestra también las distancias más cortas que hay desde el nodo donde se encuentra actualmente (5, 6 ó 7) hasta el nodo final (10), pasando por 8 ó 9. Estas distancias se determinan aplicando la ecuación recursiva r 3(k 3)+f 4(k 3). Por ejemplo para determinar la distancia que hay entre X3=5 y el nodo final (10), tomando la decisión K3=8, será igual a la distancia que entre la ciudad 5 a la ciudad 8 mas la distancia que hay entre la ciudad 8 hasta la ciudad 10, osea 610+1030=1640. Etapa 2 x2
k 2=5
r 2(k 2)+f 3(k 2) k 2=6
k 2=7
Solución Optima f 2(x2) k 2* Copia No Controlada
PROBLEMAS RESUELTOS
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
PROGRAMACION DINAMICA Revisión : 2
2 3 4 Etapa 1 x1 1
680+1640=2320
790+1570=2360
1050+1660=2710
580+1640=2220
760+1570=2330
660+1660=2320
510+1640=2150
700+1570=2270
830+1660=2490
r 1(k 1)+f 2(k 1) k 1=3
k 1=2 550+2320=2870
900+2220=3120
2320 2220 2150
Página 4 DE 9
5 5 5
Solución Optima f 1(x1) k 1* 2870 2
k 1=4 770+2150=2920
La tabla precedente nos muestra las distancias que desde el nodo 1 hasta el nodo 10, pasando por 2, 3 ó 4 y son 2870, 3120 y 2920 kilómetros, respectivamente . Por lo tanto la solución óptima en detalle será:
Etapa
nodo actual
1 2 3 4
1 2 5 8
nodo destino Interpretación Interpretación 2 5 8 10
Encontrándose en la ciudad 1, se tendrá que ir a la ciudad 2. De la ciudad 2 ir a la ciudad 5. De la ciudad 5 ir a la ciudad 8 Finalmente de la ciudad 8 ir a la ciudad 10
La distancia recorrida desde la ciudad 1 hasta la ciudad 10 es 2870 kilómetros.
APLICACIÓN 2 : Análisis de Reemplazo de Equipos La principal máquina de un proceso químico de producción es inspeccionada anualmente, siendo conservada o reemplazada. El costo de mantenimiento y el valor de rescate de esta maquina se presenta en la tabla siguiente: Edad (años): 1 2 3 4 Costo de mantenimiento (miles de $) 700 300 900 1200 Valor de rescate (miles de $) 950 500 200 0 El costo de una máquina nueva es de $ 2 000 000. La vida útil de las instalaciones que realizan este proceso de producción es de 5 años al final de lo cual toda la instalación será rescatada. La máquina actual completará 3 años en la próxima inspección. Determine el plan de mantenimiento y reemplazo de esta máquina. SOLUCIÓN: Estructura: K1
K2 K2 X2
X1=8
X3 2
r1
K3
r2
X4 3
r3
K5
K4
4
X5
5
K6 X6
6
r4
Donde: ETAPAS El problema puede dividirse en 3 etapas, cada etapa representa cada expansión en el cual el inversionista va a invertir. Copia No Controlada
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
PROBLEMAS RESUELTOS PROGRAMACION DINAMICA Revisión : 2
Página 5 DE 9
Variables de decisión Ki: Decisión de Conservar o Reemplazar en la etapa i Para la etapa 6 la única decisión es Vender. ri : Costo de reemplazar o conservar el activo. En la etapa 6 el valor de r6 es el producto pr oducto del valor de rescate del activo. Estados Xi: Edad del activo al inicio de la etapa i Funcion de retorno fi (Xi) : Valor acumulado de la función objetivo (menor costo) para el estado del activo Xi desde la etapa i hasta el final del horizonte de vida. Kix: Decisión optima en la etapa i dado el estado Xi en el que se encuentra el activo en la etapa i A continuación presentamos la red del problema en términos de costos de reemplazar o conservar el activo.
A continuación se muestran las iteraciones recursivas del problema: prob lema:
Copia No Controlada
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
PROBLEMAS RESUELTOS PROGRAMACION DINAMICA Revisión : 2
Página 6 DE 9
Año 5
Año 4
Año 3
Los resultados en K3* de RóC indican que posiblemente este problema tiene más de una solución óptima.
Año 2
Año 1 Copia No Controlada
PROBLEMAS RESUELTOS
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
PROGRAMACION DINAMICA Revisión : 2
Página 7 DE 9
Por lo tanto las políticas óptimas en base a las tablas de recursividad serán: (dos soluciones óptimas) AÑO 1 2 3 4 5
Alternativa 1 R C C R C V
Alternativa 2 R C R C C V
Analizando la solución óptima de la alternativa 1, se tiene: En el año 1 la decisión óptima será de Reemplazar (R), esto implica comprar una máquina nueva, la cual al final del año tendrá 1 año de edad. En el año 2, dado que se tiene una máquina de 1 año de edad, la decisión óptima será Conservar (C), por lo tanto al final del año 2 la máquina tendrá 2 años de edad, y así sucesivamente se rescata las mejores decisiones en las demás etapas del problema. Entonces si la empresa quiere a la larga optimizar sus costos de operación y mantenimiento, deber aplicar cualquiera de las dos alternativas de políticas de reemplazo para sus activos.
APLICACIÓN 3: Presupuesto de Capital Una corporación recibe cuatro propuestas de sus tres plantas respecto a la posible expansión de las instalaciones. La corporación tiene un presupuesto de $8 millones para asignarlo. A cada planta se le solicita someta sus propuestas, indicando el costo total (c) y el ingreso total (R) para cada propuesta. En la tabla siguiente se resumen los costos e ingresos (en millones de dólares). La meta de la corporación es la de maximizar el ingreso total resultante de la asignación de los $8 millones a las tres plantas. Determine la asignación óptima de las propuestas a cada planta, suponiendo que se acepta sólo una propuesta por planta. Planta 1 Propuesta c1 R1 A 0 0 B 3 5 C 4 6 D -
Planta 2 c2 R2 0 0 1 2 4 5 5 8
Planta 3 c3 R3 0 0 2 3 3 5 6 9
Planta 4 c4 R4 0 0 1 3 3 6 -
SOLUCIÓN: Estructura: K1
K2 K2 X2
X1=8
X3 2
r1
K3
r2
K4 X4
3
r3
4
r4
Donde: Copia No Controlada
PROBLEMAS RESUELTOS
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
PROGRAMACION DINAMICA Revisión : 2
Página 8 DE 9
ETAPAS El problema puede dividirse en 3 etapas, cada etapa representa cada expansión en el cual el inversionista va a invertir. Variables de decisión En este caso consideremos que las variables de decisión dn (n = 1, 2, 3,4) es los ingresos que se va maximizar en la etapa n Estados Cada etapa tiene cierto número de estados asociados a ella. En nuestro caso las variables de estado son: S1, S2, S3 ,S4 y S5
Función de retorno Se dispone de una relación recursiva que identifica la política óptima para cada estado en la etapa n, dada la política óptima para cada estado en la etapa (n + 1) fi (Xi) : Valor acumulado de la función objetivo (mayor rendimiento) desde la etapa i hasta el final
A continuación presentamos las iteraciones recursivas del problema: Etapa 4 f 4(S4) = R4(S4, d4 ) + f 5*(S5)
S4/d4
d4*
A
B
C
C=0
C=1
C=3
R=0
R=3
R=6
0
0
1
0
2
-
F*4(S4)
-
0
A
3
B
0
3 3 -
3
B
3
0
3
6
6
C
4
0
3
6
6
C
5
0
3
6
6
C
6
0
3
6
6
C
7
0
3
6
6
C
8
0
3
6
6
C
Copia No Controlada
PROBLEMAS RESUELTOS
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
PROGRAMACION DINAMICA Revisión : 2
Página 9 DE 9
Etapa 3 f 3(S3) = R3(S3, d3 ) + f 4*(S4)
S3/d3
A
B
C
D
C=0
C=2
C=3
C=6
R=0
R=3
R=5
R=9
F*3(S3)
d3*
0
0+0
0
A
1
0+3
3
A
2
0+3
3+0
3
A
3
0+6
3+3
5+0
6
A
4
0+6
3+3
5+3
8
C
5
0+6
3+6
5+3
9
C
6 7
0+6
3+6
5+6
3+6
5+6
11 12
D
0+6
9+0 9+3
8
0+6
3+6
5+6
9+3
12
D
D
Etapa 2 f 2(S2) = R2(S2, d2 ) + f 3*(S3)
S2/d2
A
B
C
D
C=0
C=1
C=4
C=5
R=0
R=2
R=5
R=8
0
0+0
1
0+3
2
d2*
F*2(S2)
0
A
2+0
3
A
0+3
2+3
5
B
3
0+6
2+3
6
A
4
0+8
2+6
5+0
8
A,B
5
0+9
2+8
5+3
8+0
10
B
2+9
5+3
8+3
11
A,B
2+11
5+6
8+3
13
B
0+12 2+12
5+8
8+6
14
B,D
6 0+11 7 0+12 8
Copia No Controlada
PROBLEMAS RESUELTOS
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
PROGRAMACION DINAMICA Revisión : 2
Página 10 DE 9
Etapa 1 f 1(S1) = R1(S1, d1 ) + f 2*(S2)
S1/d1 5
A
B
C
C=0
C=3
C=4
R=0
R=5
R=6
0+14
5+10
d1*
F*1(S1)
6+8
15
B
En consecuencia analizando las iteraciones recursivas, se tiene la siguiente P olítica Optima: CAPITAL CAPITAL PLANTA DISPONIBLE PROPUESTA REQUERIDO RENDIMIENTO 1 8 B 3 5 2 5 B 1 2 3 4 C 3 5 4 1 B 1 3 TOTAL 15 A la planta 1 se debera asignar la propuesta B, a la planta 2 también la B, a la planta 3 se debe asignar la propuesta C y a la planta 4 la propuesta B, obteniendo un rendimiento total máximo de 15 millones de dólares.
Copia No Controlada
