PROGRAMACIÓN LINEAL MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL Progr Programa amació ción n Linea Lineall es una técnic técnica a de optimi optimizac zación ión que consis consiste te en la maximización (max) (max) o minimización (min) de una función lineal, la cual se le denomina función objetivo, objetivo, sujeta a restricciones restricciones también lineales. n modelo de programación lineal tiene la forma! max o min min : z = c1 x1
+
c 2 x 2
+ ... +
c n x n
suje su je to a : a11 x1
+
a12 x 2
+ ... +
a1n x n
a 21 x1
+
a 22 x 2
+ ... +
a 2 n x n
≥ b2
a31 x1
+
a 32 x 2
+ ... +
a 3n x n
= b3
a m1 x1 x i
≥
+
a m 2 x 2
≤ b1
+ ... +
a mn x n
≤ bm
0; i = 1,2,..., n x i
aij , b j y c i
"ond "onde e son n#meros n#meros reales reales conocidos conocidos $ las variables variables variables de decisión
son las
MODELO DE POGRAMACIÓN LINEAL CON DOS VARIABLES %&ora analizaremos la solución gr'ca de una programación lineal (PL) con dos variables. %un cuando en la pr'ctica difcilmente ocurre problemas de dos variables, el tratamiento proporciona fundamentos concretos para el desarrollo del algoritmo simplex general que se presenta en el siguiente captulo.
Ejemplo: *edd$ +is produce pinturas para interiores $ exteriores con dos materias primas, del problema.
+ateria prima ++ateria prima + tilidad por tonelada (2-333)
M-
$ M. La tabla siguiente proporciona los datos b'sicos
/oneladas /oneladas de materia prima por tonelada de Pintura para Pintura para exterior interior 0 1 -
4
1
"isponibilidad diaria m'xima (toneladas) 1 0
na encuesta de mercado indica que la demanda diaria de pintura para interiores no puede exceder la de pintura para exteriores en m's de una tone tonela lada da.. %sim %simis ismo mo,, que que la dema demand nda a diar diaria ia m'xi m'xima ma de pintu pintura ra para para inter interior iores es es de dos tonela toneladas das.. *edd$ edd$ +is +is se propo propone ne deter determin minar ar la
(mejor) combinación óptima de pinturas para interiores $ exteriores que maximice la utilidad diaria total.
Solución /odos los modelos de 56, incluido el de PL, constan de tres componentes b'sicos. 1. Las !"i!#le$ de decisión que pretendemos determinar. %. 7l o#je&io (la meta) que necesitamos optimizar (maximizar o minimizar). '. Las "e$&"iccione$ que la solución debe satisfacer. Para el problema de *edd$ +is necesitamos determinar las cantidades diarias que se deben producir de pinturas para exteriores e interiores. %s, las variables del modelo se denen como sigue! x1
8 /oneladas producidas diariamente de pintura para exteriores x 2
8 /oneladas producidas diariamente de pintura para interiores La meta de *edd$ +is es maximizar (es decir, incrementar lo m's posible) la utilidad diaria de ambas pinturas. Los dos componentes de la utilidad x1
diaria total se expresan en función de las variables max : z = 5 x1
+
x 2
$
como sigue!
4 x2
% continuación denamos las restricciones que limitan el consumo de materia prima 6 x1 x1
+
+
4 x 2
2 x 2
≤
≤
24
6
% continuación las restricciones de la demanda de los productos! x 2
− x1 ≤ 1
x 2
≤
2
na restricción implcita (o 9sobreentendida:) requiere que todas las x1
variables,
x 2
$
, asuman sólo valores positivos o cero. Las restricciones, x1
expresadas como ne)!&ii(!(.
≥
0
x 2
$
≥
0
se conocen como "e$&"iccione$ (e no
7l modelo completo de *edd$ +is es!
max : z = 5 x1
+
4 x 2
suj eto a : 6 x1
x1
+
4 x 2
2 x 2
≤
24
6
x1
+
x1
− x 2 ≥ 1
x 2
≤
2
x i
≥
0; i = 1,2
≤
x 2
/odos los valores de $ que satisfacen las cinco restricciones constitu$en una $olución *!c&i#le . "e lo contrario la solución es no *!c&i#le. La meta del problema es determinar la solución óp&im!, es decir la mejor solución factible que maximice la utilidad total z . Primero utilizamos el método gr'co
SOL+CIÓN GR,-ICA DE +N PROBLEMA DE PL La solución gr'ca inclu$e dos pasos! 1. "eterminar el espacio de soluciones factibles ( Re)ión (e -!c&i#ili(!( ) %. "eterminar la $olución óp&im! de entre todos los puntos localizados en el espacio de soluciones. % continuación se muestran dos ejemplos para mostrar cómo se manejan las funciones objetivo de maximización $ minimización.
Ejemplo: 6zar ;arms consume diariamente un mnimo de <33 lb de un alimento especial, el cual es una mezcla de maz $ so$a con las siguientes composiciones! ;orraje +aiz Ao$a
Lb por lb de forraje proteinas bra 3.3? 3.3 3.0 3.30
=osto (2>lb) 3.@ 3.?
Las necesidades dietéticas del alimento especial son un mnimo de @3B de protena $ un m'ximo de 4B de bra. 7l objetivo es determinar la mezcla diaria de alimento a un costo mnimo.
Solución Las variables de decisión del modelo son x1
8 libras de maz en la mezcla diaria x 2
8 libras de so$a en la mezcla diaria 7l objetivo es minimizar el costo diario total (en dólares) de la mezcla de alimento, es decir! min : z = 0.3 x1
+
0.9 x 2
Las restricciones representan la cantidad diaria de la mezcla $ las necesidades dietéticas. 6zar
;arms requiere un mnimo de <33 lb de alimento al da, es decir, x1
+ x 2 ≥
800
x1
x 2
La cantidad de protena contenida en so$a es
(0.09 x1
+
0.6 x 2 )
libras de maz $ en
libras de
lb. 7sta cantidad debe ser al menos igual al @3B de la
mezcla de alimentos total
( x1
+
x2 )
0.09 x1
+
lb, es decir, 0.6 x 2
≥
0.3( x1
+
x2 )
%simismo, la necesidad de bra de 4B m'ximo se representa como sigue 0.02 x1
+
0.06 x 2
≥
0.05( x1
+
x2 ) x1
x 2
Las restricciones se simplican cambiando los términos en $ al lado izquierdo de cada desigualdad, con sólo una constante del lado derec&o. 7l modelo completo es! min : z = 0.3 x1
+
suj eto a : x1
+ x 2 ≤ 800
21 x1 3 x1
xi
− 30 x 2 ≤
− x 2 ≥
≥
0
0; i = 1,2
0
0.9 x 2
