PROGRAMACION DE METAS
INTRODUCCIÓN.
La mayoría de las situaciones de decisión real, sean personales o profesionales, se caracterizan por metas (atributos) y objetivos múltiples más que por un simple objetivo. stas metas (atributos) pueden ser complementarias, pero frecuentemente son conflictivas y tambi!n inconmensurables. "or ejemplo, un productor de autos como la #eneral $otors desearía construir un ve%ículo de pasajeros que pudiera venderse por menos de &',., & ',., tuviera ' caballos y consi*uiera + + millas por *alón. onsideremos, por ej emplo, las metas (atributos) de economía de combustible y de potencia. entre más alta sea la potencia, menor es la economía de combustible, indicando que las dos metas (atributos) están en conflicto. -demás estas dos metas metas (atributos) son inconmensurables, pues pues la potencia y las millas por *alón tienen diferentes escalas y dimensiones.
PROGRAMACIÓN META.
La formulación de un modelo de "ro*ramación $eta es similar al modelo de ".L.. ".L.. l "rimer paso es definir las variables de decisión, despu!s se deben de especificar todas las metas *erenciales en orden de prioridad. -sí, una característica de la "ro*ramación $eta es que proporciona solución para los problemas de decisión que ten*an metas múltiples, conflictivas e inconmensurables arre*ladas de acuerdo a la estructura prioritaria de la administración. La "ro*ramación $eta es capaz de manejar problemas de decisión con una sola meta o con metas múltiples. n tales circunstancias, las metas establecidas por el tomador de decisiones son lo*radas únicamente con el sacrificio de otras metas. Las características que distin*uen la pro*ramación $eta es que las metas se satisfacen en una secuencia ordinal. sto es, las metas que deben clasificarse en orden de prioridad por el tomador de decisiones son satisfec%as secuencialmente por el al*oritmo de solución. Las metas con prioridad baja se consideran solamente despu!s de que las metas de prioridad alta se %an cumplido. La "ro*ramación meta es un proceso de satisfacción, en el sentido de que el tomador de decisiones tratará de alcanzar un nivel satisfactorio en vez del mejor resultado posible para un solo objetivo. La noción fundamental de la "ro*ramación $eta, comprende incorporar todas las metas *erenciales en la formulación del modelo del sistema. n la pro*ramación $eta, en vez de intentar minimizar o maimizar la /unción 0bjetivo directamente, como en la pro*ramación lineal, se minimizan las desviaciones entre las metas y los límites lo*rables dictados por el conjunto dado de restricciones en los recursos. stas variables de desviación, que se denominan de 1%ol*ura1 o 1sobrantes1 en pro*ramación lin eal toman un nuevo si*nificado en la "ro*ramación $eta. llas se dividen en desviaciones positivas y ne*ativas de cada una de las submetas o metas. l objetivo se convierte entonces en la minimización de estas desviaciones, dentro de la estructura prioritaria asi*nada a estas desviaciones.
CONCEPTOS PARA LA TOMA DE DECISIONES CON ATRIBUTOS MULTIPLES EN AUSENCIA DE INCERTIDUMBRE: PROGRAMACIÓN DE METAS.
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Una Función valor v!"#!$#....!n% &' una función de valor aditivo 'i &!i'(&n n )uncion&' v"!"%# v$!$%#...vn!n% *u& 'a(i')a+an i2n
v(3,',....n) 2 1 vi(i) i23 •
Una )unción co'(o c!"#!$#....!n% &' función de costo aditivo 'i &!i'(&n n )uncion&' c"!"%# c$!$%#....cn!n% *u& 'a(i')a+an i2n c(3,',....n) 2 1 ci(i) i23
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Un a(ri,u(o lla--o'l& a(ri,u(o "% &' preferencialmente independiente independiente /i% 0& o(ro a(ri,u(o &l a(ri,u(o $% 'i la' /r&)&r&ncia' /ara valor&' 0&l a(ri,u(o " no 0&/&n0&n 0&l valor 0&l a(ri,u(o $. Si &l a(ri,u(o " &' /i 0&l a(ri,u(o $# 1 &l a(ri,u(o $ &' /i 0&l a(ri,u(o "# &n(onc&' &l a(ri,u(o " &' mutua preferencialmente independiente independiente -/i% 0&l a(ri,u(o $. Un con2un(o S 0& a(ri,u(o' &' mutua preferencialmente independiente independiente -/i% 0& un con2un(o S3 0& a(ri,u(o' 'i "% lo' valor&' 0& lo' a(ri,u(o' &n S3 no a)&c(an la' /r&)&r&ncia' /ara lo' valor&' 0& lo' a(ri,u(o' &n S# 1 $% lo' valor&' 0& lo' a(ri,u(o' &n S no a)&c(an la' /r&)&r&ncia' /ara lo' valor&' 0& lo' a(ri,u(o' &n S3. Un con2un(o 0& a(ri,u(o' "#$#....#n &' mutua preferencialmente independiente -/i% 'i /ara (o0o' lo'. TEOREMA ". Si &l con2un(o 0& a(ri,u(o' "#$#....#n &' -/i# la' /r&)&r&ncia' /r&)&r&ncia' 0&l (o-a0or 0& 0&ci'ion&' '& /u&0&n r&/r&'&n(ar /or una )unción valor o co'(o% a0i(iva.
FORMULACIÓN DE MODELOS.
4estricciones de meta 5"or cada meta omponentes en la /.0. /.0. (minimizar suma de desviaciones con respecto a las metas) 6 /04$7L-89: 54esticciones structurales (no tienen que ver con las metas) Las suposiciones básicas que caracterizan el modelo de pro*ramación lineal se aplican i*ualmente al modelo de pro*ramación meta. La diferencia principal en la estructura es que la pro*ramación meta no intenta minimizar o maimizar la función objetivo como lo %ace el el modelo de pro*ramación lineal. n vez de ello, busca minimizar las desviaciones entre las metas deseadas y los resultados reales de acuerdo a las prioridades asi*nadas.. l objetivo de un modelo de pro*ramación meta es epresado en te!rminos de las desviaciones de las metas a que se apunta. esto es las desviaciones de las metas se colocan en la función objetivo y deben minimizarse. l modelo *eneral de la pro*ramación meta puede epresarse matemáticamente de la si*uiente manera; m
min < 2 1 =i(di> > di5) i23 s.a. n 1aijj>di5 5 di> 2 bi para toda i j23 j,di5,di>1 para toda j ?onde; = 2 "onderación de las desviaciones con respecto a la meta. di5 2 ?esviación d!ficit di> 2 ?esviación ecedente
E4EMPLO: SATISFACCIÓN DE UNA SOLA META.
7na división de @c%=im $anufacturin* ompany produce d os tipos de bicicletas; (3) una bicicleta de A velocidades y (') una de 3 velocidades. La división obtiene una utilidad de &' en la bicicleta de 3 velocidades y &3 en la bicicleta de A velocidades. ?ebido a la fuerte demanda de estos artículos, durante el período de planeación de verano la división cree que puede vender, a los precios que prevalezcan, todas los unidades de estas dos bicicletas que produzca. Las instalaciones de producción se consideran recursos escasos. estos recursos escasos corresponden al departamento de ensamblado y terminado. Los tiempos unitarios de procesamiento y las capacidades de cada uno de los departamentos se muestran en la tabla si*uiente; Brs. requeridas para procesar cada bicicleta
Ti/o 0& ,icicl&(a
En &l D&/(o. 0& &n'a-,l&
En &l 0&/(o. 0& (&r-inación
Con(ri,ución a la u(ili0a0 uni(aria
5 v&loci0a0&'
"
"
"6
"7 v&loci0a0&'
5
"
$6
8r'. 0i'/oni,l&' &n ca0a 0&/(o. 97
7
La división durante este período de planeación se enfrenta a cambios *randes de or*anización y cree que el maimizar la utilidad no es un objetivo realista. @in embar*o, desearía lo*rar un nivel satisfactorio de utilidad durante este período de dificultad. La dirección cree que la utilidad diaria de &C debería satisfacerse y desea determinar, dadas las restricciones del tiempo de producción, la mezcla de producto, que debería llevar a esta tasa de contribución a utilidades. /ormula un modelo de pro*ramación meta que satisfa*a estos requerimientos
?efinición de variables; 3 2 :úmero de bicicletas de A velocidades producidas por día ' 2 :úmero de bicicletas de 3 velocidades producidas por día d35 2 antidad por debajo de la utilidad perse*uida d3> 2 cantidad por encima de la utilidad perse*uida $inimizar < 2 d35 > d3> s.a. 3 >A' 1 C (%oras de ensamble). 4estricciones estructurales 3 > ' 1 + ( (%oras de terminación) 33 >'' >d35 5 d3> 2 C (7tilidad perse*uida) 4estricción meta 3,',d35,d3> 1 :ota; "uesto que tanto d35,d3> aparecen en la función objetivo y a ambas se les asi*na pesos i*uales, esto indica que la administración desea lo*rar la utilidad meta eactamente.. D-4-. "lantea este mismo modelo con las si*uiente consideración; La administración cree que es dos veces más importante sobrelo*rar que sublo*rar la meta de utilidad perse*uida. 3.+.' E$"L0 $D-@ $FLD8"L@. onsidera la información que se presenta en la si*uiente tabla; ?epartamentos
Pro0uc(o
"
$
5
"
."7
$."
"
.5
"6
$
.7;
".
.<
.$
59$
5
.76
"."
.9
."6
$"9
.7
.=
.6
."
9;
Di'/. >r'?-&'
5$7
$77
;77
67
Gl producto ' no debe eceder H unidades al mes. Gada %ora etra aumenta los costos en &'.
$etas;
Alcan@ar u(ili0a0&' 0& /or lo -&no' 567#777.77 al -&'.
Ma!i-i@ar la u(ili@ación 0& lo' 0&/ar(a-&n(o'.
No /ro0ucir -' 0&l 67 0& la /ro0ucción (o(al &n cual*ui&ra 0& lo' /ro0uc(o' &n uni0a0&'%.
Li-i(ar &l n-&ro 0& >ora' &!(ra' &n &l 0&/ar(a-&n(o $ a 577 >r'. al -&'.
?efinición de variables; i 2 cantidad a producir del producto i mensualmente. i 2 3,',A,+. /.0. $in < 2 d35 >d'5 >dA5 >d+5 > d5 >dC> >dI> >dJ> >dH> >d3> s.a. 3) +33 >AC'' >'3CA > CJ+ 5'd'> 5 'dA> 5 ' d+> 5 'd> 5d3 > > d35 2A, ').33>.J'>.A>.++ 5d'> > d'5 2 A' '.33 >3.+' >3.3A >.H+ 5dA> > dA5 2 '+ 3>.I'>.CA>.+ 5d+> >d+5 2 J .A3 >.'' >.3A >.3+ 5d> >d5 2 + A)35dC> >dC5 2 .(3>'>A>+) K .35.'5.A5.+ 5dC> >dC5 2 5.3 >.' 5.A5.+ 5dI> >dI5 2 5.35.'>.A5.+ 5dJ> >dJ5 2 5.35.'5.A>.+ 5dH> >dH5 2 +)dA> 5d3> >d35 2 A 4estricciones estructurales; '1 H i1 para toda i di>,di5 1 para toda i.
E4EMPLO METAS MLTIPLES CON PRIORIDAD.
onsidera la situación de @c%=im $anufacturin* ompany en donde la administración desea alcanzar varias metas. -%ora supondremos que la administración desea ordenar dic%as metas en orden de importancia y que la meta más importante tiene prioridad absoluta sobre la si*uiente meta más importante y así sucesivamente. "ara lo*rar que las metas de baja prioridad se consideren solamente despu!s de lo*rar las metas de alta prioridad, se clasifican las metas en ran*os y las variables de desviación
asociadas con las metas, se les asi*na un número prioritario "j(j 2 3,',....,). Los factores de prioridad satisfacen "3MMM"'MMM..."jMMM"j>3. Las relaciones de prioridad implican que la multiplicación por n, no importa que tan *rande sea n, no puede %acer una meta de baja prioridad tan importante como una meta de alta prioridad (por ejemplo; "jMn"j>3). -%ora supon*amos que la división de bicicletas de @c%=im, además de lo*rar sus &C. de meta primaria de utilidad, desea utilizar completamente sus departamentos de ensamblaje y terminación durante la reor*anización que se avecina. sto es, como una meta secundaria, la división desea minimizar el tiempo ocioso. La formulación del modelo es; $inimizar < 2 "3(d35 > d3>) > "'(d'5>dA5) s. a. 33>'' >d35 5d3> 2 C 3 >A' > d'5 5d'> 2 C 3 >' >dA5 5dA> 2 + 3,',di5,di> 1 ?onde; 3 2 :úmero de bicicletas de A velocidades producidas por día ' 2 :úmero de bicicletas de 3 velocidades producidas por día d35 2 antidad por debajo de la utilidad perse*uida d3> 2 cantidad por encima de la utilidad perse*uida d'5 2 Diempo ocioso diario en el departamento de ensamble d'> 2 Diempo etra diario en el departamento de ensamble dA5 2 Diempo ocioso diario en el departamento de terminación. dA> 2 Diempo etra diario en el departamento de terminación. :ota; "uesto que d35 y d3> se incluyen en la función objetivo, el modelo intentará lo*rar eactamente la utilidad diaria perse*uida de &C, minimizando tanto las desviaciones positivas como las ne*ativas. on d'> dA> y eliminados de la función objetivo, sin embar*o, el modelo no se preocupará del tiempo etra en el departamento de ensamble o terminación e intentará minimizar solamente el tiempo ocioso en estos departamentos. ?ebido a que la meta de utilidad perse*uida es más importante que la meta de minimización del tiempo ocioso, a esta se le asi*na prioridad "3 . l modelo intentará lo*rar esta meta %asta donde más le sea posible antes de considerar la meta secundaria de minimizar el tiempo ocioso de producción. E4880;
R&'olv&r +rca-&n(& &'(& /ro,l&-a.
DIFERENCIAS ENTRE EL SIMPLE DE PROGRAMACIÓN DE METAS H EL SIMPLE NORMAL.
El 'i-/l&! nor-al (i&n& un 'olo r&n+lón 7# -i&n(ra' *u& &l 'i-/l&! 0& /ro+ra-ación 0& -&(a' n&c&'i(a n r&n+lon&' 7# uno /or ca0a -&(a.
En &l 'i-/l&! 0& /ro+ra-ación 0& -&(a' '& &-/l&a &l -(o0o 'i+ui&n(& /ara la varia,l& 0& &n(ra0a: '& &ncu&n(ra la -&(a 0& -!i-a /riori0a0 la -&(a i % *u& no '& >a1a alcan@a0o# o '& &ncu&n(ra la -&(a i 0& -!i-a /riori0a0 *u& (&n+a Ji Tr-ino 0& la )unción o,2&(ivo *u& inclu1& la -&(a i% K 7 . '& calcula la varia,l& con &l co&ci&n(& -' /o'i(ivo &n &l r&n+lón 7# -&(a i# 1 '& ano(a &'(a varia,l& &n la ,a' 'u2&(a a la 'i+ui&n(& r&'(ricción. Con &llo '& r&0uc& Ji 1 '& a'&+ura *u& &'(a c&rca &l cu-/li-i&n(o 0& la -&(a i. Sin &-,ar+o# 'i una varia,l& (i&n& un co&ci&n(& n&+a(ivo &n &l r&n+lón 7 a'ocia0o con una -&(a *u& (i&n& -a1or /riori0a0 *u& i# la varia,l& no /u&0& &n(rar a la ,a'&. In(ro0ucir &n la ,a'& &'a varia,l& au-&n(ara la 0&'viación con r&'/&c(o a al+una -&(a 0& -a1or /riori0a0. Si la varia,l& con &l co&ci&n(& -' /o'i(ivo &n &l r&n+lón 7 varia,l& i% no /u&0& &n(rar &n la ,a' in(&n(& &ncon(rar o(ra varia,l& con un co&ci&n(& /o'i(ivo &n &l r&n+lón 7 -&(a i%. Si nin+una varia,l& 0&l r&n+lón 7 -&(a i% /u&0& &n(rar &n la ,a' no >a1 -an&ra 0& ac&rcar'& al cu-/li-i&n(o 0& la -&(a i 'in au-&n(ar la 0&'viación con r&'/&c(o a al+una -&(a 0& -a1or /riori0a0. &n &'(& ca'o# '& /a'a al r&n+lón 7 -&(a i "% /ara (ra(ar 0& 'a(i')ac&r la -&(a i ".
Cuan0o '& ll&va a ca,o un /ivo(&o# '& 0&,& ac(uali@ar &l r&n+lón 7 /ara ca0a -&(a.
Una (a,la 0ar la 'olución ó/(i-a 'i (o0a' la' -&(a' '& 'a(i')ac&n &'(o &'# J" J$ ..... Jn 7 %# o 'i ca0a varia,l& *u& /u&0& &n(rar &n la ,a'& 1 r&0ucir &l valor 0& Ji 0& una -&(a i no 'a(i')&c>a au-&n(a la 0&'viación con r&'/&c(o a una -&(a i *u& (i&n& -' /riori0a0 *u& la -&(a i.
R&'u&lv& &l &2&-/lo 0& METAS MULTIPLES CON PRIORIDAD U(ili@an0o &l -(o0o 'i-/l&!.
E$"L0 ? $D-@ $7LD8"L@ N @7O$D-@. n el ejemplo de la @c%=im, la máima utilidad alcanzada, tomando C %oras de tiempo de ensamble, + %oras de tiempo de terminación y resolviendo como un problema de pro*ramación lineal, es de &I.. ?ebido a la reor*anización de la división se %an considerado casos en donde la administración quedaría satisfec%a (al menos temporalmente) con un plan de producción que conduzca a una utilidad más baja que &C.. @upon*amos que la reor*anización se %a llevado a cabo y que la administración desea lo*rar una tasa de utilidad diaria de &I.. sto si*nificaría que al*unas restricciones previas aneas deberían violarse. @in embar*o, supon*amos que las C y + %oras representan la capacidad de producción de los departamentos de ensamble y terminación en tiempo n ormal solamente, utilizando la fuerza laboral eistente. l tiempo etra podría utilizarse en cualquier departamentoP por tanto, las desviaciones por encima como por debajo de las + y C %oras serían factibles. La tasa de pa*o de %oras etras es A veces más alta que la del departamento de ensamble. Las metas prioritarias de la administración, de mayor a menor importancia, son las si*uientes; "3 2 Lo*rar tasa diaria de utilidad perse*uida de &I.
"' 2 $inimizar el tiempo ocioso en ambos departamentos. "A 2 $inimizar el tiempo etra en ambos departamentos La formulación de la pro*ramación meta es; $inimizar < 2 "3(d35 > d3>) > "'(d'5>dA5) > A"Ad'> > "AdA> s. a. 33>'' >d35 5d3> 2 I (7tilidad perse*uida) 3 >A' > d'5 5d'> 2 C (Boras de ensamble) 3 >' >dA5 5dA> 2 + (Boras de terminación) 3,',di5,di> 1 "ara todo i :ota; n este ejercicio se %an asi*nado pesos diferentes (cardinales) o prioridades dentro de una meta dada, como tambi!n prioridades diferentes (ordinales o cardinales) a metas diferentes. E4880@; La a*encia de publicidad Leon Ournit quiere determinar el pro*rama de anuncios en DQ para la "riceler -uto ompany. "riceler tiene tres objetivos; 0bjetivo 3 @us anuncios deben ser vistos por un mínimo de + millones de personas con in*resos altos ("8-) 0bjetivo ' @us anuncios deben ser vistos por un mínimo de C millones de personas con in*resos bajos ("8O). 0bjetivo A @us anuncios deben ser vistos por un mínimo de A millones de mujeres con in*resos altos ($8-) Leon Ournit puede comprar dos tipos de anuncios; los que aparecen durante los jue*os de fútbol y los que aparecen durante los melodramasP a lo más puede *astar &C,. dólares. Los costos del comercial y las audiencias potenciales de un anuncio de 3 minuto se muestran en la si*uiente tabla;
PIA
PIB
MIA
COSTO
Anuncio &n &l )(,ol
< "7 6 "77#77 -illon&' -illon&' -illon&' 7
Anuncio &n lo' -&lo0ra-a'
5 6 -illon&' -illon&' -illon&' 97#777
Leon Ournit debe plantear un modelo de pro*ramación por metas que determine cuántos minutos comprar durante el fútbol y cuántos durante los melodramas, reduciendo al mínimo la penalización total por ventas perdidas. ?ic%a pena lización, en miles de dólares es ; &'. para la meta 3, &3. para la meta ' y &. para la meta A
Ela,ora &l -o0&lo 0& /ro+ra-ación /or -&(a'.
Su/on+a-o' *u& '& aa0& a &'(& -o0&lo la r&'(ricción 0& *u& '& 0&,& cu-/lir con un /r&'u/u&'(o 0& 977#777.77 0ólar&'. Si '& 0&ci0& *u& '& (&n+a una /&nali@ación 0& " 0ólar /or ca0a 0ólar 0& 0i)&r&ncia con &'a -&(a# &n(onc&' cul '&ra la )or-ulación corr&c(a 0&l -o0&lo -o0ica0oQ.
U(ili@a &l -(o0o 'i-/l&! /ara r&'olv&r &'(& /ro,l&-a -o0ica0o%.
U(ili@a LINDO /ara r&'olv&r &'(& /ro,l&-a -o0ica0o%.
E4ERCICIOS DE TAREA.
Con'i0&ra &l 'i+ui&n(& /ro,l&-a 0& inv&r'ión:
@e cuenta con &' para invertir en C aRos. Los instrumentos de i nversión, junto con sus respectivas tasas de inter!s a *anar, se muestran en la si*uiente tabla; 3 ' A + C -Ros 3 )-cciones ' )Oonos A) "restamos +) Oienes 4aíces ) -%orro
For-ula &l /ro,l&-a co-o un -o0&lo 0& P.L.
For-ula &l /ro,l&-a co-o un -o0&lo 0& -&(a'# con'i0&ra la' 'i+ui&n(&' -&(a':
Ma!i-i@ar r&n0i-i&n(o'.
Inv&r(ir cuan0o -&no' 77#777 &n ,i&n&' rac&'.
No (&n&r inv&r(i0o -' 0& <77#777 &n cual*ui&r in'(ru-&n(o nanci&ro.
For-ula &l -o0&lo con'i0&ran0o *u& la -&(a " &' (r&' v&c&' -' i-/or(an(& *u& la -&(a $ 1 cinco v&c&' -' i-/or(an(& *u& la -&(a 5
For-ula &l -o0&lo con'i0&ran0o *u& la -&(a " &' la -' /riori(aria# la $ la *u& 'i+u& 1 /or l(i-o la -&(a 5.
Co-o ca-,ia la )unción o,2&(ivo 0&l -o0&lo 0& la Sc>i- /ara &l ca'o 0& M&(a' -l(i/l&' 1 'u,-&(a'%# 'i &l co'(o 0&l (i&-/o ocio'o &n &l 0&/ar(a-&n(o 0& &n'a-,l& &' 0&l 0o,l& 0&l 0&/ar(a-&n(o 0& (&r-inación
R&'olv&r lo' /ro,l&-a' 0& Mur(1: ;.$# ;.6
Sinston; @ección 3+.3; ,H,3 3.+.I. -"L8-89: ? -@0@ ? "40#4-$-89: "04 $D-@.
La Pr&'lo Co-/an1 )a,rica (r&' cla'&' 0& a,ri+o' /ara ca,all&ro': A% 0&/or(ivo# B% For-al 1 C% E2&cu(ivo. An 1 cuan0o la co-/aa &' un n&+ocio )a-iliar# la -a1ora 0& lo' &-/l&a0o' no 'on -i&-,ro' 0& la )a-ilia. D&,i0o a la na(ural&@a co-/&(i(iva 0&l n&+ocio 1 a la +ran 0&-an0a 0& -ano 0& o,ra 0& la
in0u'(ria# &' 0& +ran i-/or(ancia -an(&n&r 'a(i')&c>o' a lo' &-/l&a0o'. Lo' a0-ini'(ra0or&' 0& la Pr&'lo con'i0&ran *u& una -&0i0a i-/or(an(& /ara 'a(i')ac&r la' n&c&'i0a0&' 0& 'u' &-/l&a0o' &' o)r&c&rl&' &-/l&o 0& (i&-/o co-/l&(o# aun cuan0o &'(o &!i2a /ro0ucir &n &!c&'o & incurrir &n al+una /r0i0a'. /or )or(una# lo' a0-ini'(ra0or&' &'/&ran *u& la' 0&-an0a' 0& 'u' /ro0uc(o' 'i+a 'i&n0o ,a'(an(& &l&va0a. D& >&c>o# /ara 'a(i')ac&r /ar(& 0& la 0&-an0a# /o0ra '&r n&c&'ario o/&rar &n (i&-/o &!(ra. Las tres líneas de abri*os de la "reslo= se fabrican en dos departamentos. la si*uiente tabla es un pro*rama semanal de requerimientos de mano de obra y materiales para el proceso de fabricación. Los precios unitarios para las tres líneas son; &3, &3 y &', respectivamente. Los administradores %an determinado que a un n ivel normal de producción los costos variables son de &I, &J y &3 por abri*o, respectivamente. Los costos de tiempo etra son &' por %ora por encima del salario normal para el departamento 3 y &A para el '. Los materiales etra pueden adquirirse a un costo de &' por yarda por encima del costo normal. Los administradores de la empresa %an pronosticado que la demanda del mercado para el abri*o deportivo es de 3, unidades por semana, y la demanda de las otras dos líneas es de y ' unidades, respectivamente. l nivel de equilibrio de producción es de 3 unidades del producto uno y unidades de cada uno de los otros ' productos. "ara ayudarse analizar el problema, los administradores de la "reslo= %an identificado, en orden de prioridad, las si*uientes metas;
u(ili@ar (o0a la ca/aci0a0 0& /ro0ucción 0i'/oni,l&.
Alcan@ar lo' niv&l&' 0& /ro0ucción 0& /un(o 0& &*uili,rio &n ca0a una 0& la' ln&a' 0& /ro0ucción.
0a0o *u& &' /ro,a,l& *u& &!i'(a &'ca'&@ 0& -ano 0& o,ra &n &l 0&/ar(a-&n(o $# 1 0a0o *u& /u&0& &nviar'& /&r'onal# &n (i&-/o &!(ra a &'& 0&/ar(a-&n(o# &l (i&-/o &!(ra a*u /u&0& '&r -a1or *u& &l 0&l 0&/ar(a-&n(o ". Sin &-,ar+o# &l (i&-/o &!(ra 0&l 0&/ar(a-&n(o $ 0&,& &'(ar li-i(a0o a 977 >ora'. El (i&-/o &!(ra 0&l 0&/ar(a-&n(o " no 0&,& '&r -a1or 0& $77 >ora'.
Alcan@ar una -&(a 0& u(ili0a0&' '&-anal&' 0& $7#777
Sa(i')ac&r (o0a' la' 0&-an0a' 0&l -&rca0o. D&n(ro 0& &'(a -&(a# 0&,&n u(ili@ar'& /on0&racion&' 0i'(in(a' /ara r&&2ar la con(ri,ución uni(aria nor-al a la' u(ili0a0&'
R&*u&ri-i&n(o ' 0& /ro0uc(o'
D&/ar(a-& n(o "
/or uni0a0%
D&/or(ivo
For-al
E2&cu(ivo
R&cur'o' -ano 0& o,ra 1 -a(&rial&'%
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"$ >ora'
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;#777 >ora'
D&/ar(a-& n(o $
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#777 >ora'
Ma(&rial
; 1ar0a' cua0ra0a'
9 1ar0a' cua0ra0a'
"$ 1ar0a' cua0ra0a'
;#7771ar0a'cua0r a0a'
"lantea el problema como un modelo de pro*ramación por metas.
La co-/aa 0& 0i'(ri,ución Al/>a 'u-ini'(ra un 'olo /ro0uc(o a (r&' cli&n(&' &n 0iv&r'o' 'i(io' 0&'0& ,o0&+a' 0i)&r&n(&'. Duran(& &l /&ro0o 0& /lan&ación con'i0&ra0o# la co-/aa no /u&0& cu-/lir la 0&-an0a 0& lo' cli&n(&'. Sin &-,ar+o# la co-/aa >a 0&(&r-ina0o *u& la' 0&-an0a' 0& ci&r(o' cli&n(&' 0&,&n 'a(i')ac&r'& a &!/&n'a' 0& o(ro'. Para &vi(ar 0&'&*uili,rio' '&rio'# &' i-/or(an(& ,alanc&ar la /orción 0& 0&-an0a 'a(i')&c>a &n(r& ci&r(o' cli&n(&'. (a-,in 0&,i0o a acu&r0o' 'in0ical&'# la co-/aa 0&,& 'a(i')ac&r ci&r(o' r&*ui'i(o' -ni-o' &n lo' niv&l&' 0& &-,ar*u& &n ci&r(a' ru(a'. Final-&n( varia' 0& la' ru(a' 'o,r& la' cual&' '& /o0ra &-,arcar &l /ro0uc(o 'on /&li+ro'a' 1 0&,&n &vi(ar'&.
- continuación se resume el problema de transporte y los costos de embarque se dan en cada una de las celdas y los valores de demanda en los már*enes. :ota que la demanda total ecede al suministro total en 3, unidades.
Cli&n(& "
Cli&n(& $
Cli&n(& 5
Su-ini'(ro
Bo0&+a "
"7
"$ 5777
Bo0&+a $
;
"7
5 777
Bo0&+a 5
$777
"677
6777
La administración tiene la si*uientes preferencias en las metas (en orden decreciente de importancia);
Sa(i')ac&r la 0&-an0a (o(al 0&l cli&n(& 5 &n(r&+a +aran(i@a0a%
Sa(i')ac&r /or lo -&no' &l <6 0& la 0&-an0a 0& ca0a cli&n(&.
Mini-i@ar &l co'(o 0& (ran'/or(& /ara lo' ar(culo' &-,arca0o'.
E-,arcar /or lo -&no' "777 uni0a0&' &n la ru(a 0& la Bo0&+a $ al Cli&n(& " conv&nio 'in0ical%
Mini-i@ar &l co'(o 0& &-,ar*u& &n la' ru(a' 0& la ,o0&+a " al cli&n(& 5 1 0& la ,o0&+a $ al cli&n(& $ /&li+ro'%.
Balanc&ar &l /orc&n(a2& 0& 0&-an0a 'a(i')&c>a &n(r& lo' cli&n(&' " 1 $.
"lantear el modelo de pro*ramación meta.
La co-/aa B&vco >a 0&'arrolla0o r&ci&n(&-&n(& (r&' nu&vo' /ro0uc(o' >aci&n0o u'o 0&l &!c&'o 0& ca/aci0a0 &n 'u' (r&' /lan(a' 'ucur'al&' &!i'(&n(&'. Ca0a /ro0uc(o /u&0& )a,ricar'& &n cual*ui&ra 0& la' (r&' /lan(a'. El anli'i' >a
-o'(ra0o *u& '&ra r&n(a,l& u(ili@ar &l &!c&'o 0& ca/aci0a0 /ara /ro0ucir &'(o' nu&vo' /ro0uc(o'. En r&ali0a0# &l /ro/ó'i(o /rinci/al 0& la +&r&ncia al 0&'arrollar lo' nu&vo' /ro0uc(o' &ra lo+rar la u(ili@ación co-/l&(a 0& la ca/aci0a0 /ro0uc(iva 0& &!c&'o 'o,r& una ,a'& r&n(a,l&. Mi&n(ra' *u& la' /lan(a' B&vco +&n&ral-&n(& o/&ran a ca/aci0a0 /l&na &n 'u' ln&a' 0& /ro0uc(o' &!i'(&n(&'# la /ro0ucción /or 0&,a2o 0& la ca/aci0a0 nor-al ocurr& con /oca )r&cu&ncia# /r&'&n(an0o /ro,l&-a' con la )u&r@a la,oral. Aun*u& la co-/aa no n&c&'i(a la )u&r@a la,oral /l&na 0uran(& lo' /&ro0o' 0& >ol+ura# &l co'(o 0& lo' 0&'/i0o' '&ra con'i0&ra,l 1 B&vco 0&'&ara &vi(ar &'(o (an(o co-o )u&ra /o'i,l&. -demás, la *erencia desearía balancear la utilización del eceso de capacidad entre las plantas sucursales. esto serviría para distribuir equitativamente la car*a de trabajo del personal de supervisores asalariados y reducir los a*ravios de la fuerza laboral que se le pa*a por %oras, que de otra manera se sentiría discriminada con respecto a las car*as de trabajo o a los despidos. "ara el período que se está considerando, las plantas tienen las si*uie ntes capacidades de producción en eceso ( en t!rminos de unidades) de nuevos productos y capacidades de embarque disponibles asi*nadas a los nuevos productos;
Plan( Ca/aci0a0 0& &!c&'o 0& /ro0ucción Ca/aci0a0 0& &-,ar*u& /i&' a uni0a0&'% c,ico'% "
<67
"$#777
$
577
"7#777
5
67
9#677
Los productos 3, ' y A requieren A,' y 3 pies cúbicos por unidad, respectivamente. Las contribuciones unitarias a la utilidad de los productos 3,' y A son &3 &3J y &3' respectivamente. Los pronósticos de ventas indican que Oevco puede esperar ventas tan altas como H, 3, y I unidades de los productos 3, ' y A respectivamente, durante el período de planeación en consideración. ?ada esta situación, la administración %a epresado las si*uientes metas de preferencia en orden de importancia decreciente.
Lo+rar una u(ili0a0 /&r'&+ui0a 0& "6#777
U(ili@ar (an(o# co-o '&a /o'i,l la ca/aci0a0 0& &!c&'o. D&,i0o al ,a2o co'(o 0& la -ano 0& o,ra# la a0-ini'(ración cr&& *u& &' ".6 v&c&' -' i-/or(an(& u(ili@ar la ca/aci0a0 0& &!c&'o 0& la /lan(a " *u& la 0& la' /lan(a' $ 1 5.
Lo+rar un ,alanc& 0& la car+a 0& (ra,a2o &n la u(ili@ación 0& &!c&'o 0& ca/aci0a0 &n(r& (o0a' la' /lan(a'. 0&,i0o a ci&r(a' 0&-an0a' a0icional&' 0& lo' (ra,a2a0or&' 0& la /lan(a "# la a0-ini'(ración cr&& *u& 'i ocurr& al+n 0&',alanc& &n la car+a 0& (ra,a2o# &' 0o' v&c&' -' i-/or(an(& )avor&c&r a la /lan(a " con -&nor (ra,a2o con r&'/&c(o a la' /lan(a' $ 1 5.
Lo+rar &l /ronó'(ico 0& v&n(a' /ara &l /ro0uc(o $# /u&'(o *u& '(& (i&n& la -a1or con(ri,ución a la u(ili0a0 /or uni0a0.
Pro0ucir 'uci&n(& can(i0a0 0& lo' /ro0uc(o' " 1 5 /ara cu-/lir con la' v&n(a' /rono'(ica0a'.
No &!c&0&r la ca/aci0a0 0& &-,ar*u& 0i'/oni,l&.
"lantear el modelo de pro*ramación meta.
TEO!A DE REDES
MODELOS DE REDES
7na red es una construcción matemática formada principalmente por dos conjuntos; un conjunto de nodos (:) y un conjunto de arcos (-), estos dos conjuntos están relacionados de tal forma que cada arco está siempre definido por un par de nodos. La fi*ura 3 muestra un ejemplo sencillo de una red, la cual consta de cinco nodos (representados con círculos) y de siete arcos (representados con líneas). /i*ura 3 ; 4ed Los modelos de redes son muy usados debido a su estructura, aún cuando es muy simple, sirve para capturar las variables y relaciones importantes eistentes en muc%os sistemas reales. l caso más importante es precisamente en los sistemas de carreteras o vialidades. "or ejemplo la red de la fi*ura 3 puede fácilmente interpretarse con los arcos como tramos de carreteras y los nodos como ciudades o intersecciones de carreteras. -dicionalmente los modelos de redes sirven para representar una *ran cantidad de sistemas para los cuales la interpretación no es tan directa como la descrita anteriormente. ?e manera arbitraria diferentes modelos de redes pueden clasificarse como; redes físicas, redes lo*ísticas y redes de pro*ramación.
REDES FSICAS
stos modelos representan redes tales como las redes de; carreteras, vialidades urbanas, tel!fonos, a*ua potable, etc. "ara este tipo de redes eiste una relación directa entre l os nodos del modelo y puntos o zonas en el espacio y entre los arcos del modelo y tramos de infraestructura física. ?entro de las redes físicas, la modelación de sistemas de carreteras o de vialidades urbanas cobra una *ran importancia. "ara analizar el movimiento de transporte en una zona urbana, la atención se centra en las vialidades principales ( las vialidades secundarias *eneralmente se omiten). La zona urbana en sí se divide en zonas, las cuales se representan mediante nodos, localizados en el 1centroide1 de la zona. stos centroides se conectan a la vialidad principal mediante arcos artificiales. 0tro tipo de nodos que se tienen son los que representan las intersecciones de vialidades principales. n cuanto a los arcos, además de los arcos artificiales mencionados, se tienen a los arcos que representan se*mentos de la vialidad principal. n la fi*ura ' se tiene un ejemplo en el cual los centroides y los arcos artificiales se representan con líneas punteadas y las intersecciones y vialidades pr incipales se representan con líneas continuas. Los modelos de redes de carreteras son muy similares, ecepto que los nodos y arcos artificiales son menos comunes. n estos modelos, los centroides de zonas o re*iones se acostumbran poner en ciudades importantes. ?e esta manera, los nodos de estas redes son re*ularmente ciudades e intersecciones de carreteras, mientras que los arcos son tramos de carreteras. /i*ura ' ; 4ed de vialidades
REDES LOGSTICAS
stas redes se usan para representar las decisiones lo*ísticas en una empresa (almacenamiento, producción, distribución, etc.). #eneralmente los nodos están relacionados con puntos en el espacio, como en el caso anterior, pero los arcos representan al*o más abstracto que un tramo físico. "or ejemplo, en la fi*ura A se tiene una red en la que los nodos representan plantas y almacenes. Los arcos que l os unen pueden representar toda una serie de acciones lo*ísticas para transportar producto de una planta a un almac!n. "arte del transporte podría ser realizado mediante ferrocarril y parte mediante autotransporte y todo estaría representado por un solo arco. stas redes se *eneralizan fácilmente para incluir además de plantas de producción, diferentes niveles de almacenes (re*ionales, locales, etc) y de clientes (mayoristas, minoristas, etc). /i*ura A; 4ed Lo*ística
REDES DE PROGRAMACIÓN
n estas redes los nodos representan 1eventos1, esto es puntos en el tiempo y los arcos representan la posibilidad de realizar al*una actividad. "or ejemplo en la fi*ura + se tiene una red que representa al problema de planeación de la producción. n este ejemplo los nodos representan cada uno de los meses del aRo (ecepto el nodo ) y los arcos representan la posible realización de actividades de producción y de conservación de inventario. Los arcos (, i) indican la posibilidad de producción durante el mes iP los arcos (i, i>3) la posibilidad de almacenar inventario del mes i al mes i>3. Los arcos que lle*an al nodo y al nodo 3 representan la posibilidad de producción y de tener un inventario inicial respectivamente. Los arcos que salen de los nodos i representan la posibilidad de satisfacer la demanda del producto y de *uardar producto en inventario para el si*uiente período. 0tro ejemplo son las redes de actividades para la planeación de proyectos. n estas redes los arcos representan la realización de actividades y los nodos representan la terminación o inicio de estas actividades. n este caso, la red sirve tambi!n para modelar las relaciones de precedencia entre distintas actividades del proyecto. " "3 "' ........... "3' 8 83 8' 833 8 83' ....................... ?3 ?' ?3' /i*ura +; 4ed de "ro*ramación ombinaciones de uno o varios de estos tipos de redes dan lu*ar a 1redes mitas1, por ejemplo, el problema de planeación de la producción puede estar referido a un conjunto de plantas y a un conjunto de almacenes, lo que daría lu*ar a una combinación de red lo*ística y red de pro*ramación.
DEFINICIONES BSICAS DE REDES
GRFICAS H REDES
7na *ráfica #, se define como un conjunto : de nodos y un conjunto - de arcos, tales que cada arco se define especificando un par de nodos. en forma matemática se escribe como; # 2 (:, -) @i el par de nodos es un par ordenado, lo cual si*nifica que es importante la dirección del arco, se %abla de *ráficas diri*idas. n este caso, cada arco tiene nodo inicial y un nodo final. La red de la fi*ura ' es una *ráfica no5diri*ida, lo cual podría ser consecuencia de considerar solamente vialidades con movimientos en ambas direcciones. "or el contrario, la red de la fi*ura A tiene arcos diri*idos (representados con flec%as), debido a que el movimiento de producto es siempre de plantas a almacenes y no en ambas direcciones. 7na red tambi!n llamada *ráfica ponderada, es una *ráfica con 1pesos1 asociados a cada uno de los arcos. 7n peso es una función que a cada arco le asocia un número real y puede tener diversas interpretaciones tales como las de distancia, tiempo o costo. n la red de la fi*ura ' cada arco podría tener un peso asociado si*nificando la distancia en el tramo de vialidad que representa. 7na red de flujo es una red en la que cada arco tiene asociada una variable, llamada comúnmente flujo. l flujo puede interpretarse en el caso de una red de carreteras como la cantidad de ve%ículos o de bienes que circulan en cada arco de la red. n otros casos, el flujo si*nifica la cantidad que se tiene de al*una actividad en los arcos de la red. "or ejemplo en la red de la fi*ura A. el flujo asociado con cada arco es la cantidad de producto que se distribuye entre una planta y un almac!n determinado. n el caso de la fi*ura +, el flujo en al*unos arcos indica la producción a realizar en al*ún período determinado y en otros la cantidad de producto destinada a satisfacer la demanda o a *uardarse como inventario. n redes de flujo, el peso asociado a cada arco toma la interpretación de 1impedancia1 o resistencia al flujo, la cual aumenta con el flujo sobre el arco. n estas redes, pesos tales como la distancia de un arco son menos usados, pues no dependen del flujo. n la red de la fi*ura A, se podría tener un costo por cada unidad transportada entre una planta y un almac!n y entonces el costo total sobre el arco sería función de su flujo. s común tener en redes de flujo otra función asociada con cada arco, que es su capacidad, que si*nifica la máima cantidad de flujo que puede ocurrir en un arco.
RUTAS H CICLOS
7na ruta es una secuencia de nodos y arcos; na3n3a'n'........an en donde el arco ai 2 (ni53,ni), lo cual *arantiza 1continuidad1 en la secuencia. 7na ruta siempre se define para un par de nodos, siendo n el nodo inicial y n el nodo final de !sta. @i los arcos de la ruta son diri*idos, entonces se %abla de una ruta diri*ida. "or ejemplo, tomando la red de la fi*ura 3, las si*uientes secuencias definen tres diferentes rutas e ntre los nodos 3 y ; 3(3,A)A(A,) 3(3,A)A(A,+)+(+,) 3(3,')'(',+)+(+,)
7na ruta es simple si no usa nin*ún arco más de una vez. 7na ruta es elemental si no usa nin*ún nodo más de una vez. @i una ruta es elemental, necesariamente tiene que ser simple, pues una ruta que no es simple no puede ser elemental ya que usar un arco más de una vez implica usar sus nodos tambi!n más de una vez. Las tres rutas definidas anteriormente entre los nodos 3 y de la fi*ura 3 son elementales y por lo tanto simples. 7n ciclo es una ruta simple en la cual coinciden el nodo inicial y el nodo final. s una secuencia de nodos y arcos que re*resan al nodo inicial sin repetir nin*ún arco. ?e esta manera, en la red de la fi*ura 3, la secuencia; 3(3,A)A(A,3)3 no es un ciclo, pues el arco (3,A) es i*ual al arco (A,3). "odría ser un ciclo si la red fuera diri*ida y por lo tanto los dos arcos mencionados fueran diferentes. -l i*ual que en las rutas, eisten ciclos diri*idos y no diri*idos, ciclos elementales y ciclos simples. -sí un ciclo simple no repite nin*ún arco y un ciclo elemental no repite nin*ún nodo, ecepto el nodo inicial que debe ser i*ual al nodo final. 7n caso importante de ciclos es el ciclo Bamiltoniano, el cual es un ciclo elemental que visita todos los nodos de la red. 7n caso particular de ciclos es el anillo, el cual consiste de un solo arco, el cual empieza y termina en el mismo nodo. n el ejemplo de la fi*ura 3, las si*uientes secuencias son todas ciclos; 3(3,')'(',A)A(A,3)3 3(3,')'(',+)+(+,A)A(A,3)3 3(3,')'(',+)+(+,)(,A)A(A,3)3 n el caso de la red diri*ida de la fi*ura A, la secuencia; 3(3,+)+(+,')'(',A)A(A,3)3 es un ciclo, sin embar*o no es un ciclo diri*ido puesto que los arcos (+,') y (A,3) no tienen la dirección definida en la red. ?e %ec%o no eiste nin*ún ciclo diri*ido en toda esta red
CONEIÓN H RBOLES
7n par de nodos en una *ráfica están conectados si eiste una ruta entre ellos. 7na *ráfica es conea si cualquier par de sus nodos están conectados entre sí. 7na *ráfica diri*i da se dice que es conea si la *ráfica resultante de no considerar la dirección de sus arcos es conea. 7n árbol es una *ráfica conectada que no contiene ciclos. 7n árbol D es un árbol de epansión de una *ráfica # si contiene todos sus nodos. n la red de la fi*ura 3, la *ráfica D con conjunto de nodos : 2 T3,',AU y conjunto de arcos - 2 T(3,'), (3,A)U es un árbol, pero no es un árbol de epansión al no contener todos los nodos de la red ori*inal. "or otra parte, el árbol D con : 2 T3,',A,+,U y - 2 T(3,'),(3,A),(A,+),(+,)U es un árbol de epansión, al cumplir con la definición de árbol y contener a todos los nodos de la red.
TIPOS DE GRFICAS
-l*unos tipos importantes de *ráficas son las *ráficas; simple, completa y bipartita. 7na *ráfica simple es aquella que no tiene anillos ni arcos paralelos. ?os arcos son paralelos si se definen con los mismos nodos. n el caso de redes diri*idas, dos arcos son paralelos si tienen el mismo nodo inicial y el mismo nodo final. 7na *ráfica completa es aquella *ráfica simple que tiene un arco uniendo a cualquier par de nodos. 7na *ráfica bipartita es una *ráfica en la
cual eiste una partición del conjunto de nodos, de tal manera que cada arco tiene un etremo en uno de los conjuntos y otro etremo en el otro. 7na partición si*nifica que todos los nodos están en cualquiera de sus subconjuntos y que nin*ún nodo pertenece a más de uno de !stos. n el caso de redes diri*idas se %abla del conjunto de nodos ori*en y del conjunto de nodos destino y así cada arco empieza en un nodo ori*en y termina en un nodo destino. 7n ejemplo de *ráfica bipartita es la mostrada en la fi*ura A, en donde se puede observar que el conjunto de nodos ori*en comprende a los nodos 3, ' y el conjunto de nodos destino a los nodos A, +, .
REPRESENTACIÓN DE REDES
7na red se representa naturalmente en forma *ráfica, con lo que se pueden apreciar fácilmente las relaciones entre los diferentes elementos de la red. @in embar*o, esta representación no es la más adecuada para resolver problemas que involucran modelos de redes. $atemáticamente, eisten dos formas principales de representar a una red; la matriz de incidencia y la matriz de adyacencia. 7n nodo y un arco son incidentes si el nodo es uno de los dos nodos que definen al mencionado arco. ?os nodos son adyacentes, si ambos definen a un mismo arco. "ara definir estas matrices, se usará a n como el número de nodos de una *ráfica y a m como el número de sus arcos. La matriz de incidencia, 7, es una matriz de orden n m, en la que cada uno de sus elementos, 7ij , toma un valor i*ual al número de veces que el nodo nj y el arco aj son incidentes. ste valor es usualmente i*ual a ó 3, ecepto cuando se tiene un anillo, en cuyo caso un nodo y un arco inciden dos veces. La matriz de adyacencia Q, es una matriz de orden m m, en la que cada uno de sus elementos, Qij, toma un valor i*ual al número de arcos que los unen. "ara *ráficas simples, estos valores son solamente i*ual a ó 3. "ara la red de la fi*ura 3, la matriz de incidencia es 7; 1234567 1
33
2 3
33
3
3333
4
333
5
33
"ara la misma red, la matriz de adyacencia es Q; 12345 1
333
2 3
33
3 3
333
4
333
5
33
"ara redes *randes, lo usual es que estas matrices ten*an una *ran cantidad de elementos i*ual a cero, por lo que casi no son usadas para almacenar los datos de una red en computadora. 7na estructura de datos muy usada para este fin es una lista llamada 1estrella1. n esta estructura los arcos son numerados en forma sucesiva. "rimero se numeran los arcos que empiezan con el nodo 3, lue*o los que empiezan con el nodo ' y así sucesivamente. "ara los arcos que empiezan en el mismo nodo, se pueden numerar en forma ascendente con respecto al nodo final. 7na vez numerados los arcos, se *uardan secuencialmente sus nodos inicial y final, junto con un apuntador, apun( i ) , que para cada nodo i indica el primer arco que empieza con ese nodo. @e puede tomar apun ( 3 ) 2 3, y los arcos que salen del nodo i serán los arcos de apun ( i ) a apun ( i > 3 ) 5 3 en la lista. n redes diri*idas se %ace apun ( n > 3 ) 2 m > 3 y en redes no diri*idas apun ( > 3) 2 m > 3, con i*ual al nodo inicial del último arco considerado. "ara la red de la fi*ura 3 se tendrá;
i
a/un i %
"
"
$
5
5
6
<
6
;
arc o
no0o inicial
no0 o na l
"
"
$
$
"
5
5
$
5
$
6
5
9
5
6
<
6
;
V
V
PROBLEMAS EN MODELOS DE REDES
DEFINICIÓN DE PROBLEMAS
Los problemas varían de acuerdo al tipo de redes son muy diferentes los problemas en redes que en redes de flujo. uando se tiene una red, esto es una *ráfica ponderada, los pesos usualmente si*nifican distancia o tiempo, por lo que los problemas típicos son los de cómo conectar entre sí los nodos de la red o que arcos ele*ir para ir de u nodo a otro. uando se tiene una red de flujo el tipo de problemas es diferente, un problema muy común es el de encontrar un flujo sobre la red que satisfa*a ciertas restricciones al menor costo posible. 0tro problema sobre estas redes es encontrar el flujo máimo que puede circular sobre una red determinada.
PROBLEMA DEL RBOL DE EPANSIÓN MNIMA
omo se definió anteriormente, un árbol d e epansión mínimo es una red conectada, sin ciclos y que comprende a todos los nodos de una red. ?entro de todos los posibles árboles de epansión que puede tener una red, el mínimo es aquel que tiene la menor suma de los pesos en los arcos del árbol. @i el peso que se tiene en la red es la distancia de cada uno de los arcos, este problema consiste en encontrar la forma más económica de conectar entre sí a todos los nodos de una red. ste problema tiene una de las formas más sencillas que eisten para resolver problemas. n particular, al*oritmos voraces obtienen al aplicarse en este problema la solución óptima. 7n al*oritmo voraz, es un al*oritmo que en cada iteración trata de obtener el mejor valor posible con respecto a un objetivo sin preocuparse por las implicaciones que esto pueda tener en subsecuentes iteraciones. "ara este problema un al*oritmo voraz es como si*ue; ordenar todos los arcos de menor a mayor peso. onstruir un árbol esco*iendo en cada iteración el arco con el menor peso que no %aya sido seleccionado y que no forme un ciclo con los arcos ya seleccionados. Derminar cuando todos los nodos est!n ya conectados.
PROBLEMA DE LA RUTA MAS CORTA
ste problema consiste en esco*er aquella ruta entre dos puntos determinados que ten*a la menor suma de los pesos en cada uno de sus arcos. 7sualmente los pesos se refieren a la distancia o al tiempo de viaje en cada uno de los arcos de la red. @i la red es una red de carreteras o de vialidades urbanas, este problema consiste en esco*erlos arcos de la red más favorables para viajar entre un par de puntos de !sta. ste problema tiene m!todos eficientes de solución, al*unos de los cuales se verán más adelante.
PROBLEMA DEL AGENTE WIA4ERO
ste problema consiste en esco*er un ciclo que visite a todos los nodos de una red y que ten*a la menor suma de los pesos en cada uno de los arcos del ciclo. -l i*ual que en el
problema de la ruta más corta, los pesos se refieren usualmente a distancias o tiempos de viaje. ste problema tiene aplicación para el diseRo de las rutas que deberá recorrer un ve%ículo al visitar un conjunto de clientes y retornar posteriormente a su base. - diferencia del problema anterior, este problema no cuenta con un m!todo eficiente para resolverlo, por lo que los problemas que se modelan de este tipo, son pequeRos o se resuelven solamente de manera aproimada.
PROBLEMA DE FLU4O A COSTO MNIMO
?ada una red de flujo, este problema consiste en encontrar el flujo que al menor costo posible cumpla con un conjunto de restricciones. stas restricciones son principalmente de tres tipos; restricciones de balance de flujo, restricciones de capacidad y restricciones de no5ne*atividad. Las restricciones de balance de flujo consisten en que para cada nodo, el flujo que entra al nodo debe ser i*ual al flujo que sale de !l. Las restricciones de capacidad dicen que para cada arco de la red, el flujo no debe eceder cierta cantidad. Las restricciones de no5 ne*atividad simplemente evitan que el flujo en cada arco sea una cantidad ne*ativa. isten m!todos eficientes para resolver este tipo de probl emas. jemplos de estos problemas se tienen en las redes de las fi*uras A y +. n la red de la fi*ura +, las restricciones de balance de flujo indican que en cada mes la cantidad producida más el inventario del mes anterior deben ser i*ual a la demanda del producto en ese mes más la cantidad enviada a inventario para el si*uiente. Las restricciones de capacidad indican que %ay límites en la cantidad a producir en cada mes o en la cantidad que puede *uardarse como inventario en cualquier tiempo. Las restricciones de no5ne*atividad se tienen, dado que no tiene sentido %ablar de flujos ne*ativos, pues !stos si*nificarían al*una cantidad ne*ativa a producir o *uardar como inventario. l costo del flujo estaría dado a partir de costos unitarios de producción y de conservación de inventario.
PROBLEMA DE FLU4O MIMO
ste problema tambi!n está definido en redes de flujo, a diferencia del problema anterior, no se toman en cuenta los costos del flujo en cada uno de los arcos de la red. n este problema se quiere, dado que se tiene especificada la capacidad de cada arco, encontrar el flujo máimo que podría circular entre un nodo ori*en y un nodo destino. ste flujo máimo debería adicionalmente cumplir con restricciones de balance de flujo y de no5ne*atividad. "ara este problema tambi!n se cuenta con al*oritmos eficientes para resolverlos.
PLANTEAMIENTO DE MODELOS DE REDES
PRO"#EMAS DE TRANS"ORDO$
@i un problema de redes se refiere a la minimización de los costos de flujo de al*ún producto entre nodos, en donde cada nodo puede ser un punto de abastecimiento, un punto de demanda, o ambos, entonces se considera que el problema de redes es un problema de transbordo. l problema de transbordo es el más *eneral de los problemas de redes, dado que cada nodo puede tener al mismo tiempo oferta y demanda y no eisten restricciones sobre los flujos o sobre los tipos de nodos. jemplo; La -%ab 0il ompany tiene un solo campo petrolero desde donde envía todo el petróleo, a trav!s de un oleoducto, a uno de dos centros de embarque, en donde se almacena en buques tanque para su envío a refinerías de stados 7nidos. La oferta diaria en el campo es de, ', barriles. ?eben considerarse los costos del oleoducto, los costos de embarque y
las cantidades de petróleo que pueden enviarse a trav!s de los oleoductos. Los costos del oleoducto y las capacidades diarias de !ste, se muestran en la tabla '.3. n la tabla '.' se presentan los costos de embarque de cada estación de embarque a cada refinería y las demandas diarias de las refinerías. "lantear el problema en forma de 4ed y de "ro*ramación Lineal.
In'(alación 0& &nvo
Co'(o /or ,arril
Ca/aci0a0 0&l ol&o0uc(o &n ,arril&'%
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7.$7
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7."6
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Dabla '.3 ostos y capacidades de los ductos 4efinería osto de transporte por barril
N-&ro
U,icación
D&-an0a D&'0& c&n(ro " D&'0& c&n(ro $ 0iaria
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Nu&va 4&r'&1
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8ou'(on
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Dabla '.' osto de transporte y demandas
PRO"#EMA TRANSPORTE$
s un caso especial del problema de transbordo, en el que todos los nodos son o fuentes (nodos de oferta) o destinos (nodos de demanda). n un problema de transporte no eisten nodos de transbordo. jemplo. La OoorVs Ore=ery ompany elabora una cerveza que se distribuye a nivel nacional a partir de dos fabricas de cerveza, 7na en cada una de las costas de .7.. La cerveza se envía a cuatro mayoristas que se encar*an d e la distribución subsecuente, por lo que la Ooor Vs se ocupa sólo de la distribución a los mayoristas. Los costos de distribución, por conjunto de 3 cajas que se envían a cada mayorista, se presentan en la tabla '.A , junto con la oferta mensual en cada fabrica y la demanda mensual de cada mayorista. "lantear el pr oblema en forma de 4ed y de "ro*ramación Lineal.
F,rica 0& c&rv&@a
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Silv&r# Ya A//l& C>ill# N.C.
D&-an0a ci&n(o' 0& ca2a'%
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Dabla '.A ostos de distribución
PRO"#EMA DE #A R%TA MAS CORTA
Drata el problema de encontrar el camino más corto (el camino de lon*itud mínima) desde el nodo 3 %acia cualquier otro nodo en la red. E$"L0. -cabo de comprar (en el tiempo ) un automóvil nuevo en 3', dólares. l costo del mantenimiento anual de un automóvil depende de la edad del automóvil al inicio del aRo, como se da en la tabla '.+. "ara evitar los altos costos de mantenimiento de un automóvil más viejo, puedo dar como adelanto mi automóvil y comprarme un automóvil nuevo. l precio que recibo al dar como adelanto automóvil depende de su edad al momento de la transacción (tabla '.). "ara simplificar los cálculos, suponemos que en cualquier momento, me cuesta 3', dólares comprar un automóvil nuevo. $i meta es minimizar el costo neto (costos de compra > costos de mantenimiento 5 dinero recibido por el automóvil viejo) incurrido durante los próimos cinco aRos. /ormula la red del modelo
E0a0 0&l au(o-óvil Ao'%
Co'(o anual 0& -an(&ni-i&n(o Dólar&'%
7
$777
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777
$
6777
5
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Dabla '.+ ostos de mantenimiento del automóvil
E0a0 0&l au(o-óvil ao'%
Co'(o al 0ar /r&cio 0ólar&'%
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$
9777
5
$777
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6
7
Dabla '. "recios del automóvil al darlo como adelanto
PRO"#EMA DE# &R"O# DE E'PANSI(N M!NIMA
La tarea consiste en construir un árbol que conecte todos los nodos de la red con un costo total mínimo, por el momento, nos conformaremos con plantear la red del si*uiente problema (más adelante construiremos el árbol de epansión mínima). E$"L0. @e va a instalar una red de comunicación entre doce ciudades. Los costos de los posibles enlaces directos entre pares permisibles de ciudades aparece en la tabla '.C. ada unidad de costo representa 3, dólares. - la ciudad