Resposta dos Exercícios proposto da Unidade 1 e 2
Observações: A: conjunto dos elementos elementos que satisfazem a propriedade P B: conjunto dos elementos que satisfazem a propriedade Q C A= B≡ P ⇔ Q A⊂ B≡ P ⇒ Q A∪ B≡ P ∨ Q A∩ B≡ P ∧Q A ≡~ P A⊂ B significa que todo elemento de A é também elemento de B x ∈ A ⇒ x ∈ B : ⇒ Implica, acarreta, tem como consequência 1) Demonstre que A∪ B= B ⇔ A⊂ B ⇔ A∩ B = A
Para provarmos as equivalências propostas, basta provarmos que A∪ B= B ⇒ A⊂ B ⇒ A∩ B= A ⇒ A∪ B = B Antes, observemos que se A=∅ ou B =∅ , então as implicações acima são verdadeiras. Suponhamos, então, ambos A e B não vazios. A∪ B= B ⇒ A⊂ B : Tome x ∈ A . Então, x ∈ A ∪ B . Como A∪ B= B , segue que x ∈ B . Isto mostra que A⊂ B . A⊂ B ⇒ A ∩ B= A : Para provar que A ∩ B= A , mostre A∩ B⊂ A e A⊂ A∩ B . A primeira implicação é clara, vamos provar a segunda. Tome x ∈ A . Por hipótese, A⊂ B . Logo, x ∈ B . Daí, x ∈ A∩ B . A∩ B= A ⇒ A∪ B = B : Para provar que A∪ B= B , mostre A∪ B⊂ B e B⊂ A∪ B . Como a segunda implicação e clara, vamos provar a primeira. De fato, tome x ∈ A∪ B . Então, x ∈ A ou x ∈ B . Se x ∈ B , já temos o desejado. Se x ∈ A , então x ∈ A∩ B , por hipótese. Daí, x ∈ B . 2) Dados A , B ⊂U , demonstre as relações relações de De Morgan
a) ( A ∪ B )C = AC ∩ BC ( A ∪ B )C ⊂ AC ∩ BC : x ∈( A∪ B )C ⇔ x ∉( A∪ B )⇔ x ∉ A e x ∉ B ⇔ x ∈ AC e x ∈ B C ⇔ x ∈( AC ∩ BC ) C C C C C C C C A ∩ B ⊂( A∪ B ) : x ∈( A ∩ B )⇔ x ∈ A e x ∈ B ⇔ x ∉ A e x ∉ B ⇔ x ∉( A∪ B ) ⇔ x ∈( A∪ B ) b) ( A ∩ B )C = AC ∪ BC C C C C ( A ∩ B )C ⊂ AC ∪ B C : x ∈( A∩ B )C ⇔ x ∉( A∩ B )⇔ x ∉ A Aou ou x ∉ B ⇔ x ∈ A ou x ∈ B ⇔ x ∈( A ∪ B ) C C C C C C C C A ∪ B ⊂( A∩ B ) : x ∈( A ∪ B )⇔ x ∈ A ou x ∈ B ⇔ x ∉ A ou x ∉ B ⇔ x ∉( A ∩ B )⇔ x ∈( A∩ B) 3) Dê exemplos de aplicação do ensino médio
Todo matemático é filósofo (Afirmação) Todo filósofo é matemático (recíproca) Existe, pelo menos, um matemático não filósofo (negação) Se alguém não é filósofo, fi lósofo, então não é matemático (contra positiva) Se P ⇒ Q , Q ⇒ P então escreve-se P ⇔ Q P ⇒ Q : P é condi condiçã çãoo sufici suficien ente te para para Q Q é condição necessária para P P ⇔ Q : P é condiç condição ão necess necessária ária e suficie suficiente nte de Q Q ⇒ P é recíproca de P ⇒ Q a) implicação verdadeira, com recíproca verdadeira: Todo triângulo equilátero é equiângulo b) implicação verdadeira, verdadeira, com recíproca falsa: Todo triângulo equilátero é isósceles c) implicação falsa, com recíproca verdadeira: Todo triângulo isósceles é equilátero d) implicação falsa, com recíproca falsa: Todo triângulo isósceles é retângulo
4) Escreva as implicações lógicas que correspondem à resolução da equação √ x + x =2 . Verifique quais são reversíveis e explique o aparecimento de raízes estranhas. Faça o mesmo com a equação √ x +3= x ( I )
2 2 2 √ x + 2 = x ⇒ √ x = x – 2 ⇒ x =( x – 2) ⇒ x = x – 4x + 4 ⇒ x −5x + 4 =0 ⇒ x =4
ou
x =1
. Todas estas
implicações são reversíveis, exceto ( I ) x =( x − 2 ) ⇒ √ x =√ ( x −2 ) ⇒ √ x =∣ x − 2∣⇒±√ x = x −2 ≠ √ x = x −2 . Observe que x ≥ 2 com condição adicional, pois x – 2 =√ x , o que explica a “raiz estranha” x =1 . Logo, apenas a raiz x =4 serve. 2
2
( I )
√ x + 3= x ⇒ √ x = x – 3 ⇒ x =( x – 3 ) ⇒ x = x – 6x + 9 ⇒ x − 7x + 9 =0 ⇒ x = 2
2
2
7
+ √ 13 2
ou
7
−√ 13 2
⏟
⏟
>3
<3
. Todas
estas implicações são reversíveis, exceto ( I ) x =( x − 3) ⇒ √ x = √ ( x − 2 ) ⇒ √ x =∣ x −3∣⇒ √ x =±( x −3 ) ≠ √ x = x −3 . Observe que x ≥3 com condição adicional, pois x – 3=√ x , o que explica a “raiz estranha” 7−√ 13 7+ 13 x = que é menor que 3. Logo, apenas a raiz x = √ que é maior que 3 serve. 2 2 2
2
5) Expressões tais como para todo e existe são chamadas de quantificadores e aparecem em sentenças dos tipos (sendo P(x) é uma condição envolvendo a variável x): (1) Para todo x, é satisfeita a condição P(x); (2) Existe algum x que satisfaz a condição P(x). (a) Sendo A o conjunto de todos os objetos x (de um certo conjunto universo U) que satisfazem a condição P(x), escreva as sentenças (1) e (2) acima, usando a linguagem de conjuntos. (1) A=U (2) A≠∅ (b) Quais são as negações de (1) e (2)? Escreva cada uma destas negações usando conjuntos e compare com as sentenças obtidas em (a). (1) Ac ≠∅ (2) Ac =U (c) Para cada sentença abaixo, diga se ela é verdadeira ou falsa e forme sua negação. 2 i. Existe um numero real x tal que x =−1 (Falso) Para todo número real x, tem-se x 2≠−1 2
ii. Para todo número inteiro n, vale n > n Existe um número inteiro n tal que n 2⩽n
(Falso)
2 iii. Para todo número real x, tem-se x > 1 ou x < 1 Existe um número real x tal que x ⩽1 e x 2⩾1
(Falso)
iv. Para todo número real x existe um número natural n tal que n > x
(Verdadeiro) Existe um número real x tal que para todo número natural n, tem-se n ⩽ x v. Existe um número natural n tal que, para todo número real x, tem-se n > x Para todo número natural n, existe um número real x tal que n ⩽ x
(Falso)
6) O conjunto das partes P (A) de um conjunto A é o conjunto formado por todos os subconjuntos do conjunto A. Prove o teorema de Cantor: Se A é um conjunto, não existe uma função f : A → P ( A ) que seja sobrejetiva. Sugestão: Suponha que exista uma tal função f e considere X ={ x ∈ A ; x ∉ f ( x )} .
Modo 1:
Dada uma função arbitrária f : A→ P ( A ) , considere o conjunto X ={ x ∈ A ; x ∉ f ( x )} . Então X ∈ P ( A) mas ∄ x ∈ A ; f ( x )= X , pois a existência de um tal x levaria a uma contradição. Como efeito, ou x ∈ X ou x ∉ X . Já no segundo caso, temos x ∉ X ⇒ x ∈ f ( x )⇒ x ∈ X Modo 2:
Suponha, por absurdo, que existe uma função sobrejetiva f : A→ P ( A ) Seja X ={ x ∈ A ; x ∉ f ( x )} . É claro que X ⊂ A . Como f é sobrejetiva, existe a ∈ A ; f ( a )= X pois, X ⊂ A . Se a ∈ X , então pela definição de X, temos a ∉ f ( a )= X . Uma contradição. Se a ∉ X , então pela definição de X temos a ∈ f ( a )= X , novamente uma contradição. Estas contradições mostram que não pode existir tal função.
