1
2
A função de distribuição neste caso é dada por:
em que
3
A função de distribuição de probabilidade nesse caso é dada por X P(X=x)
0 0,343
1 0,441
2 0,189
4
3 1,027
Exercícios:
2. Considere ninhada de 4 filhotes de coelhos. Nesta raça há um distúrbio genético e a probabilidade de nascer fêmeas é de 5/8: a. Sendo X a ocorrência de fêmeas, construa a distribuição de probabilidade de X: X tem uma distribuição binomial :
X
Bin ( n, p ) ⇒ X
5 8
:
Bin 4,
O Modelo Binomial é dado por P[ X
=
x x n− x x ] = p (1 − p ) n
em que x n! = n (n − x)! x ! 4 5 P[ X = 0] = 0 8
0
4 −0
5 1− 8
0
4! 5 = ( 4 − 0 )!0! 8
5
4
3 8
1 1
= × ×
81 81 = ≅ 0,02 4096 4096
1
4 5 P[ X = 1] = 1 8
4 5 P[ X = 2] = 2 8 4 5 P[ X = 3] = 3 8
5 1 − 8
2
3
4 5 P[ X = 4] = 4 8
4
4 −1 =
5 1 − 8 5 1 − 8
4×
5 27 540 × = ≅ 0,13 8 512 4096
4−2 =
6×
25 9 1350 × = ≅ 0,33 64 64 4096
=
4×
125 3 1500 × = ≅ 0,37 512 8 4096
1
625 625 ×1 = ≅ 0,15 4096 4096
4 −3
5 1 − 8
4−4 = ×
A distribuição de Probabilidade de X é dada por X P( X
=
x)
0 0,02
1 0,13
2 0,33
3 0,37
4 0,15
b. Calcule as probabilidades dos seguintes eventos por meio da distribuição binomial: i) Nascimento de exatamente duas fêmeas? P[ X = 2] = 0,33 ii) Nascimento de pelos menos um macho? Se Y representa o número de machos, o evento Y ≥ 1 equivale a X ≤ 3 , pois se houver 1 macho, implica em 3 fêmeas; se houver 2 machos, implica em 2 fêmeas; • se houver 3 machos, implica em 1 fêmea. • se houver 4 machos, implica em 0 fêmea. • Assim, a probabilidade do evento é •
1] = P [Y = 1] + P [Y = 2] + P [ Y = 3] + P[ Y = 4] P [Y ≥ 1] = P [ X = 3] + P [ X = 2] + P [ X = 1] + P[ X = 0] = 0,37 + 0,33+ 0,13+ 0,02 = 0,84 P [Y
≥
iii) Nascimento de pelos menos duas fêmeas? P [ X ≥ 2] = P [ X = 2] + P [ X = 3] + P [ X = 4] = 0,33 + 0,37 + 0,15 = 0,85 iv) Nascimento de no máximo uma fêmea? P [ X ≤ 1] = P [ X = 0] + P [ X = 1] = 0,02 + 0,13 = 0,15 c. Suponha que você faça uma amostragem de 500 ninhadas de 4 filhotes. Em quantos você espera encontrar exatamente 1 macho?
6
O número esperado (NE) de ninhadas de 4 filhotes com exatamente 1 macho é dado pelo produto da probabilidade do evento P [Y = 1] = P [ X = 3] pelo número total de ninhadas, ou seja, NE = 500 P [ X = 3] = 500 × 0,37 = 185
Assim, das 500 esperamos que 185 sejam exatamente 1 macho. 3. Suponha que X (v. a. discreta) seja o número de animais doentes de uma determinada raça. Sabe-se que esta doença é controlada geneticamente e que ataca 1/3 da raça. Numa amostra de 4 animais, pede-se: a. A distribuição de probabilidade de X; X tem uma distribuição binomial X
4 1 P[ X = 0] = 0 3
0
1
4 1 P[ X = 1] = 1 3
4 1 P[ X = 2] = 2 3 4 1 P[ X = 3] = 3 3
1 1 − 3
2
3
4 1 P[ X = 4] = 4 3
1 1 − 3
4 −0
=
1 1 − 3
4
1 1
= × ×
4 −1
1 1 − 3
:
4×
1 3
16 16 = ≅ 0, 20 81 81
1 8 32 × = ≅ 0,39 3 27 81
4 −2 =
6×
1 4 24 × = ≅ 0,30 9 9 81
=
4×
1 2 8 × = ≅ 0,10 27 3 81
1
1 1 ×1 = ≅ 0,01 81 81
4 −3
1 1 − 3
Bin 4,
4−4 = ×
A distribuição de Probabilidade de X é dada por X P( X
=
x)
0 0,20
1 0,39
2 0,30
3 0,10
4 0,01
b. A probabilidade de haver na amostra mais de 1 animal doente; P[ X > 1] = P[ X = 2] + P[ X = 3] + P[ X = 4] = 0,30 + 0,10 + 0, 01 = 0, 41 c. A probabilidade de haver mais de 1 animal sadio; Se Y representa o número de animais doentes, o evento Y > 1 equivale a pois 7
X < 2 ,
se houver 2 sadio, implica em 2 doentes; • se houver 3 sadio, implica em 1 doente. • se houver 4 sadio, implica em 0 doente. Assim, a probabilidade do evento é •
d. A probabilidade de haver no máximo três animais doentes; P[ X ≤ 3] = 1 − P[ X > 3] = 1 − P [ X = 4] = 1− 0,01 = 0,99
8
Exemplo 2 Determinar a probabilidade de haver 4 peças defeituosas numa amostra de 300, extraída de um grande lote onde há 2% de defeituosas. Aplicando-se a fórmula da distribuição binomial teremos: N = 300 X=4 p = 2% = 2 100 = 0,02 Utilizando a distribuição de Poisson, teremos: µ = λ = n ⋅ p ⇒ µ = 300 ⋅ 0,02 ⇒ µ = 6
P ( x )
=
e
− µ
( µ ) x
x M
⇒ P ( x = 4) =
e
6
−
(6) 4 4M
=
0,134
Exercícios
9
1. Suponhamos que os navios cheguem a um porto a razão de 2 navios /hora, e que essa razão seja bem aproximada por um processo de Poisson. Observando o processo por um período de meia hora (t = 1/2), determine a probabilidade de: a) não chegar nenhum navio; b) chegarem 3 navios. Solução: n=2 p = t = 1 2 horas. Primeiro determine µ : µ = λ = n ⋅ t = 2 ⋅ 1 2 = 1 ⇒ µ = 1 a) P ( x ) =
e
b) P( x) =
e
− µ
( µ ) x
x M − µ
( µ ) x
x M
1
(1) 0 0M
⇒ P( x = 0) =
e
−
⇒ P( x = 3) =
e
−
(1) 3 3M
=
0,368
=
0,061
1
2. Uma máquina produz 9 peças defeituosas a cada 1000 peças produzidas. Calcule a probabilidade de que em um lote que contém: a) 200 peças, sejam encontradas 8 peças defeituosas; µ = λ = n ⋅ p
n = 200 peças p = 91000 = 0,009 µ = λ = n ⋅ p ⇒ µ = 200 ⋅ 0,009 ⇒ µ = 1,8
P ( x )
=
e
− µ
( µ ) x
x M
⇒ P( x = 8) =
e
1,8
−
(1,8) 8 8M
=
18,216 = 0,00045 40320
10
b) 500 peças, não haja nenhuma peça defeituosa. µ = λ = n ⋅ p
n = 500 peças p = 91000 = 0,009 µ = λ = n ⋅ p ⇒ µ = 500 ⋅ 0,009 ⇒ µ = 4,5
P ( x )
e
=
− µ
( µ ) x
x M
⇒ P ( x = 0) =
e
4,5
−
(4,5) 0 0M
=
0,0111
4) Um processo mecânico produz tecido para tapetes com uma média de 2 defeitos por jarda. Determine a probabilidade de uma jarda quadrada ter exatamente 1 defeito, admitindo que um processo possa ser bem aproximado por uma distribuição de Poisson. Solução É dado µ = 2 e x = 1 P ( X ) =
P ( x )
=
e
− λ ⋅t
(λ ⋅ t ) X
X M e
− µ
( µ ) x
x M
⇒ P (1) =
e
−
2
( 2) 1 1M
=
0,270
3. As chamadas de emergência chegam a uma central de polícia a razão de 4 por hora no período de 1 as 6 da manhã em dias úteis e podem ser aproximadas por uma distribuição de Poisson. Responda: a) Quantas chamadas de emergência são esperadas num período de 30 minutos? b) Qual a probabilidade de nenhuma chamada num período de 30 minutos? a) p = t (tempo) = 30 minutos = 0,5 horas. n=4 11
E ( x)
= µ =
λ = n ⋅ t
Portanto, num período de 30 minutos são esperadas _____ chamadas.
b) p = t (tempo) = 30 minutos = 0,5 horas. µ = λ = n ⋅ t
P ( x )
=
e
− µ
(µ ) x
x M
P(x = 0) = 0,135
12