PROCESO POLITRÓPICO TERMODINÁMICO
Autor: Ángel Acosta
Universidad Nacional Experimental Politécnica
"Antonio José de Sucre"
Vice-Rectorado Puerto Ordaz
Resumen
La ecuación del proceso politrópico PVn=C, se enseña ampliamente en los programas de ingeniería, principalmente en la rama de la mecánica en todo el mundo como un concepto importante en la termodinámica. Este proceso se caracteriza por poseer el exponente politrópico n, que es la que determina el estado al que está ocurriendo dicho proceso. Cuando n=0 el proceso ocurre a presión constante (isobárico), si n=1 el proceso ocurre a temperatura constante (isotérmico), n= indica que se está en volumen constante (isométrico) y cuando n=k se trabaja en un proceso adiabático (Q=0). Hay que destacar que aplicando la primera ley de la termodinámica y la ecuación de estado termodinámico, se logra determinar una relación de ecuaciones con las variables P, V y T que son muy útiles a la hora de resolver problemas en el caso de trabajar con este proceso. Además, gracias a la relación P1V1n= P2V2n del proceso politrópico, se permite calcular mediante una diferencial inexacta; el trabajo que pueda efectuar/recibir dicho proceso en un sistema en concreto. En pocas palabras, PVn=C es una convergencia de los demás procesos termodinámicos en una sola ecuación mas general.
Introducción
Se podría decir que todo nuestro entorno están presente muchos fluidos, por lo cual algunos de ellos presenta una particularidad; las moléculas que conforman algunos fluidos, se encuentran muy dispersas entre si y posee una gran energía cinética. Esta característica en el estado de la materia se conoce como gas, y ellas mismas están regidas por ciertas leyes, una de ellas es básica para poder comprender las demás y es la ley de los gases ideales. Generalizando esta ley, es simplemente una suposición de que en un gas, los choques que presentan sus moléculas entre sí; son perfectamente elásticos y que su energía cinética sea directamente proporcional a la temperatura.
Cabe a destacar que, el estado de un gas se puede determinar a partir de ciertos parámetros, que a su vez definen el proceso al cual se está sometiendo con solo saber que parámetro permanece constante. Se conocen varios procesos termodinámicos que pueden ocurrir en la naturaleza, que a su vez, pueden ser creados por condiciones artificialmente. Cada uno de estos procesos poseen sus definiciones matemáticas, pero ¿existirá una definición que unifiquen varios procesos termodinámicos en una sola? Se puede decir que los procesos politrópicos es una clara forma de "comprimir" varios procesos termodinámicos, en una sola expresión, y en este proceso en particular es el centro de la siguiente investigación.
Finalmente, todo se basara en una explicación específica y precisa por medio de referencias bibliográficas, de cómo podemos apreciar figurativamente este proceso termodinámico poco conocido para algunos.
Método
Técnica e instrumentos
Trabajo
Una posible definición de trabajo en termodinámica sería la siguiente:
"El trabajo es una transferencia de energía a través de la frontera de un sistema asociada a un cambio en las variables macroscópicas."
En el caso particular de un trabajo de compresión sobre un fluido, se define como:
W12= 12PdV
Donde (P) es la presión que hace comprimir un gas por un diferencial de volumen (dV). El trabajo hecho por un sistema se considera positivo y el trabajo hecho sobre un sistema se considera negativo. De una u otra manera debe existir un límite o frontera que se mueva de algún sistema simple comprensible durante un proceso, como lo es el trabajo, ya que de esa manera logra un equilibrio.
Grafica N°1 – Las propiedades son funciones de punto; pero el calor y el trabajo más que todo son funciones de la trayectoria (sus magnitudes dependen de la trayectoria seguida).
Es importante destacar, que el trabajo no es una función de estado, ya que este depende de la trayectoria de un dicho proceso. Por ejemplo, sería como resultado un trabajo positivo si se toma una trayectoria Wa= 12PdV (Grafica N°1-a), y sería negativo si se decidiera tomar la trayectoria Wb= 21PdV. Por lo tanto Wa Wb. W > 0 {\displaystyle W>0} d V > 0 {\displaystyle \mathrm {d} V>0} (
Calor
El calor (Q) es la energía transferida de un sistema a otro (o de un sistema a sus alrededores) debido en general a una diferencia de temperatura entre ellos. El calor que absorbe o cede un sistema termodinámico depende normalmente del tipo de transformación que ha experimentado dicho sistema.
El calor es una función de trayectoria y su diferencial es inexacta, donde:
12δQ=Q12
La expresión que relaciona la cantidad de calor que intercambia una masa m de una cierta sustancia con la variación de temperatura T que experimenta es:
Q=mc T
Donde c es el calor específico de la sustancia (o capacidad calorífica específica), y se define como la energía necesaria para elevar en un 1 grado la temperatura de 1 kg de masa.
Primera ley de la termodinámica
La primera ley de la termodinámica, es la aplicación del principio de conservación de la energía, a los procesos de calor y termodinámico. Establece una relación entre la energía interna del sistema y la energía que intercambia con el entorno en forma de calor o trabajo.
La ecuación general de la conservación de la energía es la siguiente:
Esistema=Eentra-EsaleE entra E sale = Δ E sistema {\displaystyle E_{\text{entra}}-E_{\text{sale}}=\Delta E_{\text{sistema}}\,}
Que aplicada a la termodinámica teniendo en cuenta el criterio de signos termodinámico, queda de la forma:
U=Q-W
Donde U es la energía interna del sistema, Q que es positiva cuando la cantidad de calor es aportado al sistema y W es negativa cuando el trabajo es realizado por el sistema.
Energía interna de un gas ideal
En un gas ideal puede demostrarse que la energía interna depende exclusivamente de la temperatura, ya en un gas ideal se desprecia toda interacción entre las moléculas o átomos que lo constituyen, por lo que la energía interna es sólo energía cinética, que depende sólo de la temperatura.
La variación de energía interna de un gas ideal entre dos estados A y B se calcula como:
UAB= mcv T
Donde m es la masa, cv es el calor específico a volumen constante y T es la temperatura absoluta.Δ U = Q W {\displaystyle \Delta U=Q-W\,}
Ecuación de estado térmico del gas ideal
Todas las sustancias gaseosas se aproximan en su comportamiento a un gas ideal a medida que se reduce la presión, debido a que sus moléculas se separan más y las fuerzas de atracción entre ella tienden a cero. Por tanto, se establece que los gases a bajas presiones son casi gases ideales.
Un gas ideal se caracteriza por tres variables de estado: la presión absoluta (P), el volumen específico (v), y la temperatura absoluta (T):
Pv=RT
Donde R es la constante universal de los gases.
Dividiendo la ecuación anterior por el peso molecular M, se tiene la ecuación de estado con base en unidades de masa:
PvM=RTM
Pv=RT
Donde R=R ̅/M, siendo R la constante particular de un gas. Se puede notar que la ecuación anterior se puede rescribir:
PV=mRT
Procedimiento
Proceso Politrópicos
Un proceso politrópico es un tipo general de procesos de expansión y comprensión, relacionando la presión y el volumen de un cierto gas, teniendo como ecuación:
PVn=C
Donde n y c son constantes. Según el valor que tome la constante n llamada exponente politrópico, define un caso especial de proceso politrópico, en los cuales están algunos posiblemente conocidos:
proceso isométrico
V = cte.
n =
PV = cte.
proceso isobárico
P = cte.
n = 0
PV0 = cte.
proceso isotérmico
T = cte.
n = 1
PV1 = cte.
proceso adiabático
Q = 0
n = k
PVk = cte.
Tabla N°1 – Procesos politrópicos según el valor de n
Grafica N° 2 – Comportamiento de la gráfica P-V según el valor de n en un Proceso politrópico reversible.
Cabe a destacar que estos procesos politrópicos se caracterizan por ser internamente reversibles. Los procesos habituales de compresión o expansión de gases no son adiabáticos ni isotérmicos. Habitualmente estos procesos puede aproximarse a politrópicos con valores entre 1< n< k (aunque existen procesos con más valores de n).
Los procesos politrópicos en gases ideales pueden deducirse con la primera ley de la termodinámica en forma diferencial:
dU= δQ- δW= δQ-PdV
Se definen estos procesos como aquel que tiene lugar con capacidad calórica constante:
C=mc=δQdT=cte.
Es decir, un proceso a lo largo del cual la temperatura del gas varia proporcionalmente con el calor intercambiado con el entorno, la anterior ecuación se reordena a:
mcdT= δQ
Sustituyendo en la primera ley, tenemos:
dU=mcdT-PdV
Utilizando la ecuación de la energía interna para un gas ideal
dU= mcvdT , reorganizando nos queda
cv-c mdt=-PdV
Dividiendo ambos miembros por la ecuación de estado termodinámico PV=mRT:
cv-c RdTT=-dVV dTT+ Rcv-cdVV=0
Aquí podemos definir un parámetro n que vine dada por:
Rcv-c=n-1 cp -ccv-c=n
Con carácter de evidencia, para cv=cte., n=cte. se deduce la ecuación de estado de un proceso politrópico en gas ideal. En síntesis, podemos relacionar este proceso en las variables P, V y T:
Variables
Forma diferencial
Forma integral
T,V
dTT+(n-1)dVV=0
T2T1=V2V11-n
P,V
dPP+ ndVV=0
P2P1=V2V1-n
T,P
dTT+ (n-1)ndPP=0
T2T1=P2P1n-1n
Tabla N°2 – Ecuaciones de estado del proceso politrópico relacionado con P,V y T
Si se sabe o se supone que un proceso es politrópico, y si se definen dos puntos de estado, el valor de n puede también hallarse mediante el uso de logaritmos. Escribiendo la ecuación PVn=C en forma P2P1=V2V1-n y tomando logaritmos, nos queda que:
n=logP1P2logV2V1
De la definición del trabajo, se puede calcular el trabajo efectuado por un proceso politrópico mediante la integral:
W12= 12PdV
Por medio de la relación PVn=P1V1n= P2V2n, se rescribe la integral anterior:
W12= 12PdV= P1V1n12dVVn= P2V2-P1V11-n
Que es aplicable para cualquier fluido, y también con esta definición se puede deducir:
W12= mR(T2-T1)1-n
Que es aplicable para cualquier gas ideal.
Resultado
Los procesos politrópicos se definen matemáticamente como:
PVn=C
Su relación entre P, V y T son las siguientes:
T2T1=V2V11-n=P2P1n-1n=V2V1-n
El exponente politrópico se calcula mediante la expresión:
n=logP1P2logV2V1
Y el trabajo que efectúa este proceso se determina según sea el caso:
W12= P2V2-P1V11-n
En caso de ser un fluido, o:
W12= mR(T2-T1)1-n
En caso de ser un gas ideal.
Discusión
Como se acaba de estudiar, estos procesos son netamente reversibles, y dependiendo del valor que se le dé al exponente politrópico n, nos indicara como el proceso se está efectuando, por ejemplo que n=0, estaríamos presente ante un proceso politrópico isobárico. Se puede decir que es un proceso que generaliza los otros procesos del estado termodinámico en una definición.
Es sencillo identificar, qué tipo de proceso se está empleando con ayuda de un gráfico P-V. Sin embargo, los valores de n puede ser cualquier valor real, pero solo ciertos números nos dan la información necesaria del comportamiento que tenga dicho proceso en una situación de la vida real, es importante conocer esos valores especiales que puede llegar tener n en la cual se aprecian muy bien en la Grafica N°1 de esta investigación.
Es fácil utilizar la ecuaciones que relacionan P, V y T para cualquier proceso politrópico, ya que por medio de la primera ley de la termodinámica y la ecuación de estado de los gases ideales, se puede calcular y determinar las condiciones a la que se está efectuando dicho proceso en un determinado sistema termodinámico. Es importante mencionar que todo está calculado para un fluido, en este caso un gas, en condiciones ideales. Como se tocó anteriormente, al suponer unas condiciones de baja presión y altas temperaturas, podemos predecir muchos comportamiento e incluso en un vistazo matemático, los cálculos se acercan a valores reales, que en algún momento, científicos y estudiados de hace décadas se dedicaron a demostrarlas experimentalmente dichos resultados. Es obvio que al suponer tales condiciones conlleva a trabajar con un pequeño margen de error si lo comparamos a la realidad o en el caso, con gases reales donde todo cambiaría, pero eso es otro tema.
Como ejemplo seria el cálculo del trabajo del proceso politrópico, estamos diciendo que el trabajo no corresponde a una función de estado; si no de trayectoria. Como estamos en el caso de procesos termodinámicos, se conoce esta integral como una diferencial inexacta y por lo tanto si se quiere calcular el trabajo neto de un proceso politrópico, se debe hacer una suma algebraica de los distintos trabajos que se efectuaron para pasar de un estado A al B, ya que puede lograrse por distintas trayectorias.
Referencia
Cengel, Y. A; Boles, M. A. Termodinámica séptima edición. México Edit. Mc Graw Hill. (2012). pp. 62-64 y p.171
Bustamante, L. M. Termodinámica capítulo 1. Puerto Ordaz, Venezuela. UNEXPO. 2012. Pp. 51-54
Bustamante, L. M. Termodinámica capítulo 2. Puerto Ordaz, Venezuela. UNEXPO. 2016. Pp. 11-13
Tema 4 – El Gas Ideal. [En línea]. Universidad de Navarra. Gipuzkoa, España. Disponible en: http://www4.tecnun.es/asignaturas/termo/Temas/Tema04-GasIdeal.pdf
Termodinámica primer principio. [En línea]. Teresa M. Blas, Ana S. Fernández. Universidad Politécnica de Madrid (UPM). España. Disponible en: http://acer.forestales.upm.es/basicas/udfisica/asignaturas/fisica/termo1p/calor.html
