LOS PROCESOS DE RAMIFICACION Los procesos de ramificación permiten describir el desarrollo de una población compuesta por miembros llamados individuos, los cuales pueden ser personas, organismos, partículas, etc., dependiendo del contexto. Estos procesos fueron introducidos por Galton en el año 1889 como un modelo matemático simple para explicar la propagación de apellidos. A partir de la década del 40, el interés en este modelo creció debido a sus aplicaciones en las ciencias físicas y biológicas, principalmente en reacciones nucleares en cadena y cascadas de partículas. (modelos para la proliferación de neutrones en una reacción de fusión nuclear). Otros campos en los que se utiliza esta técnica son el análisis de líneas de espera y fecundidad. Son varios los autores que han aplicado la teoría de ramificación al campo de la demografía.
DESCRIPCION INFORMAL
El proceso puede ser descripto informalmente de la siguiente manera: se comienza con un individuo que constituye la generación 0. Este individuo produce
hijos con probabilidad
. Estos
hijos constituyen la primera generación. Cada uno de ellos produce un número aleatorio de hijos donde dicho número se determina por la función de probabilidad
. El número de hijos que
produce cada individuo es independiente del número de hijos producidos por los demás individuos y también del número de hijos producidos por los individuos de la generación anterior. Este proceso continua de esta manera.
El desarrollo de la teoría de los procesos de Galton-Watson se basa en el concepto y las propiedades de las funciones generadoras de probabilidades. A continuación presentaré un resumen de las mismas que permita entender el desarrollo del tema.
PRELIMINARES Función Generadora de Probabilidades
Sea
una variable aleatoria que toma valores enteros no negativos con función de
probabilidad
. La función generadora de probabilidades,
, de
es:
Abusando del lenguaje, esta función es llamada también función generadora de la variable que
.
ya
Se observa que la función generadora de probabilidades evaluada en 1 equivale a 1 por
condición de cierre de las funciones de probabilidad:
Por lo tanto el radio de convergencia de
es al menos 1, pudiendo ser mayor al 1.
La función generadora tiene algunas propiedades: 1.
y evaluada en
2.
y evaluada en
La función generadora evaluada en
toma el valor
toma el valor 1,
, es decir es la probabilidad de que la variable X valga 0,
La derivada de primer orden de la función es
resulta igual a la esperanza de la variable X.
3.
Y evaluada en 1 resulta
La
derivada
de
segundo
orden
de
la
función
es
Por lo tanto la variancia de la variable X se puede calcular como
4.
El coeficiente del término
5.
La función generadora de una convolución es el producto de las funciones
generadoras de las variables: Si
indica la probabilidad de que X tome el valor .
son variables aleatorias independientes que toman
valores enteros no negativos con funciones generadoras de probabilidades entonces la función generadora de la suma de las variables aleatorias es:
Si además de independientes las variables están idénticamente distribuidas entonces la función generadora de la suma de las variables equivale a la función generadora de las variables, que es la
misma para todas las variables, elevada al número de variables que se suman:
6.
Sean
variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas
que toman valores enteros no negativos con función de probabilidad la función generadora de las variables. Sea
. Sea
una variable aleatoria que toma valores
enteros no negativos tal que
,
Donde
es independiente de
Se construyen las sumas de variables aleatorias donde el número de variables a sumar es
aleatorio:
y
,
La distribución de la suma aleatoria
Donde
es el
generadora de probabilidades de
es compuesta y está dada por
elemento de la
es
convolución. Luego, la función
Media de una suma aleatoria
DEFINICION FORMAL El proceso de Galton-Watson es un proceso de ramificación estocástico. El mismo se define recursivamente de la forma:
donde
,
Las variables aleatorias
toman valores enteros no negativos, son
independientes y están idénticamente distribuidas función de probabilidad común
.
En el contexto de procesos de ramificación
representa el número de individuos que
descienden del
generación y
la
individuo de la
generación. Es decir, si en la
entonces en la generación
habrá
generación hay
.
representa el tamaño de individuos,
Los supuestos que se realizan en esta construcción son, en primer lugar, y como
mencionamos anteriormente, que las variables aleatorias
son independientes. Esto significa
que el número de hijos que cada individuo tiene es independiente del número de hijos de los demás individuos.
Además, se supone que
es independiente de
. Esto significa que el número
de hijos de cada generación es independiente del número de hijos de cada individuo de la siguiente generación.
Se asume también que
. Los casos
población no logra reproducirse y si
son triviales. Si
la
las generaciones permanecen de tamaño constante
igual a 1.
Las variables
forman una cadena de Markov en tiempo discreto donde
el espacio de estados son los enteros no negativos,
, con probabilidades de transición
estacionarias dadas por:
Donde
y
es el símbolo de Kronecker el cual toma el valor 1 si es la
componente de la
es igual , en este caso cero y 0 si
convolución de
.
Es decir, la matriz de transición es:
Si en algún instante de observación se detecta que todos los individuos fallaron en
reproducirse, el tamaño de la siguiente generación será nulo
y no habrá individuos que
produzcan nuevas generaciones, por lo tanto, se termina el proceso. Esto implica que cero es un estado absorbente (todos los demás estados son transitorios).
Si en algún instante de observación, el tamaño de la generación es uno, la probabilidad de
que en el instante siguiente haya k individuos será
. Por lo tanto, las probabilidades de que en
un instante haya un individuo y en el siguiente , está dadas por la ley de reproducción,
.
Ahora si en algún instante de observación, el tamaño de la generación es 2, la probabilidad
de que en la generación siguiente haya cero individuos será igual a la probabilidad de que ambos individuos tengan cero hijos, es decir individuo será
. Mientras que la probabilidad de que haya un
la probabilidad de que el primero de ellos tenga cero hijos y el
segundo uno más la probabilidad de que el primero tenga un hijo y el segundo cero.
Por lo tanto, de
es la
. Esto quiere decir que la distribución de
componente de la
dado
convolución
es igual a la distribución de la suma
de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con función de probabilidad .
Las probabilidades
pueden encontrarse a través de la función generadora de
probabilidades ya que siendo
la función generadora de probabilidades de la secuencia
para
y
la función generadora de probabilidades de la variable
se puede probar que
… . .
El efecto que produce la ramificación es la composición funcional. En general, los cálculos
son difíciles pero en principio esto determina la distribución de
para cualquier
Como mencionamos anteriormente, el coeficiente del término
generadora de probabilidades de la variable aleatoria probabilidad de que un individuo tenga coeficiente del término
hijos, que es precisamente
es la
de la función , indica la
. De las misma forma, el
de la función generadora de probabilidades de la variable aleatoria
, indica la probabilidad de que en la generación
demostrar
,
.
composición de
,
haya son las probabilidades Se puede
, es decir
La docilidad del proceso de Galton Watson proviene de su estructura recursiva simple.
Cada uno de los individuos de la primera generación es una copia del proceso. Es decir, el proceso se obtiene conjoining al individuo en la generación 0 copias independientes del proceso. En base a esta relación y recordando que la derivada de la función generadora de
probabilidades evaluada en 1 es igual a la esperanza de la variable se puede demostrar que el tamaño esperado de la número de generación.
generación es igual al promedio de reproducción elevado al
Donde
es la media de la variable aleatoria número de hijos,
Dado que la esperanza de una suma de variables aleatorias idénticamente distribuidas con número de sumando aleatorios es igual a la esperanza de la variable multiplicada por la esperanza del número de sumandos:
Continuando de esta manera se llega a que
Se demuestra que la esperanza del tamaño de la generación n-ésima es la media de la variable aleatoria elevada a la n-esima potencia: Por otra parte, siendo
.
la variancia del tamaño de la generación
n-ésima resulta:
Como mencionamos anteriormente, si en algún instante de observación se detecta que
todos los individuos fallaron en reproducirse, el tamaño de la siguiente generación será nulo
y no habrá individuos que produzcan nuevas generaciones, por lo tanto, se termina el
proceso. El evento
se denomina extinción del proceso e implica que
. Y el
primer tiempo en que el tamaño de la generación sea 0 es llamado tiempo de extinción. Sea
. Dado que
entonces
La pregunta obvia concerniente al comportamiento de un proceso de Galton-Watson es: ¿cuál es la probabilidad de extinción?
El teorema crítico demuestra que si
con probabilidad 1. Mientras que si negativa a la ecuación
entonces
entonces
, es decir, la extinción ocurrirá
.En este caso
es la única solución no
. Además, se deduce que
. Es decir,
el proceso se extingue o explota con probabilidad .
Se puede decir entonces que el comportamiento asintótico del proceso depende de
y se
clasifica de acuerdo a dicho parámetro de la siguiente manera:
Si
el proceso es llamado subcrítico
Si
el proceso es llamado crítico
Si
el proceso es llamado supercrítico
Si
entonces
para
. Por lo tanto, la gráfica de
encuentra por encima de la diagonal. Esto implica que
es la única solución de
en
se
, es decir,
.
Si
entonces
, la gráfica de
existir ,
suficientemente cercano a
debe estar por debajo de la diagonal. Como se supone que
, tal que
, se deduce que
tanto
para algún . Como
. Entonces en , debe
es la menor solución no negativa de la ecuación
. En el caso en que
se tiene que
y por lo
.
RESULTADOS ASINTOTICOS
1.
Caso subcrítico En el caso
, se sabe que con probabilidad uno la población se extingue. Por lo tanto
se está interesado en analizar el comportamiento asintótico del proceso condicionado a la no extinción.
En este caso se obtiene: a.
b.
y
c.
entonces
Es decir, la distribución límite condicionada a la no extinción es no degenerada y la correspondiente función generadora de probabilidades de los única solución de la ecuación funcional de Schroder. 2.
Caso crítico Cuando
se tiene que
o equivalentemente
denotada por
es la
cuando
. En este caso se está interesado en analizar la tasa de convergencia a cero. Se
deduce que para a.
,
y
,
El resultado anterior indica que el decrecimiento de una población que se comporta según un proceso de Galton-Watson con 3.
es exponencial.
Caso supercrítico.
Bajo las condiciones
se obtiene:
,
y
y siendo
El tamaño de la generación, relativo a su media, converge en media cuadrática a una variable aleatoria
con media cero y variancia. W es no degenerada.
SIMULACION El autor del artículo simuló trayectorias las cuales representan el comportamiento de una población que se desarrolla según un proceso de Galton-Watson, bajo ley de reproducción inicial Binomial, Poisson y Geométrica Los parámetros de simulación son el tamaño inicial de la población, la distribución inicial, la longitud de trayectorias, es decir el número de generaciones que se simulan, y el promedio de reproducción.
En el caso de promedio de reproducción menor a uno, ya sea con ley de reproducción Poisson, Binomial o Geométrica, se observa que el tamaño de la población disminuye a medida que aumenta el número de generaciones. Este resultado respecta el hecho de que la población se extingue si el promedio de reproducción es menor a 1. Notar que este comportamiento no depende del tamaño inicial de la población.
En el caso en que el promedio de reproducción es igual a uno se observa el mismo resultado bajo las tres leyes de reproducción inicial: el tamaño de la población decrece hasta extinguirse. Cabe destacar que las poblaciones iniciales eran de tamaño igual a 100.
En los casos de promedio de reproducción mayor a uno se observa que el tamaño de la población crece indefinidamente, bajo las tres leyes y ya sea que la población inicial es de tamaño uno o mayor a uno. Los gráficos de las simulaciones respectan los resultados expuestos anteriormente: si una población se desarrolla según un proceso de Galton-Watson con promedio de reproducción menor o igual a uno, la extinción es un suceso seguro mientras que si el promedio de reproducción es mayor a uno, la probabilidad de extinción es menor a uno.
ESTIMACION
Como observamos anteriormente, el proceso de Galton-Watson está caracterizado por el promedio de reproducción . En la práctica será de interés estimar dicho promedio por lo tanto es necesario aplicar técnicas estadísticas que permitan determinar dicha estimación. Una alternativa es la aplicación del método estimación de máxima verosimilitud.
Si
es un proceso de Galton-Watson. Y se define
generación con exactamente
descendientes,
representa el número de individuos de la dado
como el número de individuos de la Entonces
generación. La distribución conjunta de
está dada por:
La función de verosimilitud basada en las observaciones
Derivando esta expresión respecto de
Y por lo tanto:
e igualando a
, está dada por:
se obtiene que:
Un resultado importante de la estimación por máxima verosimilitud es la propiedad que asegura que los estimadores obtenidos poseen distribución asintótica normal. Es decir, se puede asegurar que
Converge en distribución a una variable aleatoria
Se verificó por simulación este resultado bajo distribución inicial de Poisson,
. Al realizar la prueba de bondad de ajuste chi-cuadrado a un nivel
y agrupando los
datos en 5 clases se obtuvo que no existía suficiente evidencia para rechazar la hipótesis de normalidad asintótica.
CONCLUSIONES
La clasificación del proceso de Galton-Watson en los casos crítico, subcrítico y supercrítico, permite determinar el comportamiento asintótico del proceso.
El comportamiento de estos procesos recae en el conocimiento del promedio de reproducción.
El proceso de Galton-Watson es un modelo atractivo para describir fenómenos de alta velocidad de crecimiento (o decrecimiento) y poca duración.
Los métodos de simulación son herramientas efectivas para describir el comportamiento de este tipo de procesos.
Las variables estudiadas ayudan a explicar procesos que se asemejan a un proceso de Galton-Watson.
La simulación del proceso permite verificar a normalidad asintótica de las variables propuestas.