UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN ESTADISTICA 1. Definic Definición ión clásica clásica de probab probabilid ilidad. ad.
Si Ω, el espacio es pacio muestral de un experimento, es un conjunto de n elementos y A evento con k resultados favorables, entonces P(A)=k/n=(# de elementos de A)/( # de elementos de Ω) Observación: Aqui se supone que todos los resultados son igualmente probables, es decir si Ω={ ω ω n }⇒P( ω i )=1/n, i=1,..n. 2 ,.., 1 , Ejemplo: a. Se lanza una moneda tres veces. Calcular la probabilidad que ocurran al menos dos caras. Solución.-
B:"ocurre al menos dos caras" ; luego P(B)=(4/8). b. En una compañía hay 6 varones y 4 damas que aspiran a ser miembros de un comité. Si se deben escoger 2 al azar escribiendo los nombres en hojas de papel y sacándolos de una urna. (1)¿Cuál es la probabilidad que los dos sean hombres?; (2)¿Cuál que sean un hombre y una mujer o dos mujeres? Solución.E: extraer extraer 2 nombre nombress de los 10 ⇒ n(Ω)=C n(Ω)=C₂¹⁰=45 element elementos. os. (1) (1) A:"l A:"los os dos dos hom hombr bres es". ".⇒ n(A) n(A)=C =C₂⁶=15 =15 ele eleme ment ntos os.. (2) (2) B:"s B:"sean ean un homb hombre re y una una muje mujer". r".⇒ n(B) n(B)=6 =6∗4=24 4=24 elem elemen ento tos. s. C:" dos muje mujere res" s"..⇒ n(A) n(A)=C =C₂⁴=6 elem elemen ento tos. s. Fina Finalm lmen ente te n(B n(B∪C)=2 C)=24+ 4+C C₂⁴=30 =30 elem elemen ento toss ⇒P(B P(B∪C)=( C)=((3 (30) 0)/( /(45 45)) ))=( =(2/ 2/3) 3)..
Propiedades Además de P(Ω) = 1, P(Φ) = 0 tenemos:
1.0≤ 1.0≤ P(A) P(A) ≤1, ≤1, don donde de A ⊂Ω. 2.Si A⊂B⇒P(A)≤P(B). 3.Si 3.Si A∩B= A∩B= (A y B se exc exclu luye yen n mut mutua uame ment nte) e) ent enton onces ces:: P(A P(A∪B)=P B)=P(A (A)+P )+P(B (B). ). c 4.P(A)+P( A )=1. 5.Si 5.Si A∩B≠ ∩B≠ ento enton nces ces P(A∪B)=P B)=P(A (A)+ )+P( P(B) B)-P -P(A (A∩ ∩B). B). Ejemplos de uso de las Propiedades.-
1. P(A∪ B) = P(A) + P(B). P(B). Se extrae extrae una una carta carta al azar de de un mazo inglés normal normal de 52 cartas. Supongamos que definimos los eventos A: "sale 3" y B: "sale una figura" y se nos pregunta por la probabilidad de que ocurra A ó B. Como estos eventos no pueden pueden ocurrir simultáneamente, o sea, son son mut mutuam uamen ente te excl excluy uyen ente tes, s, A ∩B = y ent enton once cess P(A ó B) = P(A P(A∪ B) = P(A) P(A) + P(B)= P(B)= P(sale P(sale 3) + P(sale figura) figura) = 4/52 + 12/52 = 4/13. 4/13. 2. P(A) + P( A c ) = 1. En el mismo experimento anterior de sacar una carta, el evento A: "no sale rey" tiene como complemento al evento "sale rey", entonces resulta mas simple calcular la probabilidad de A como como 1 - P( A c ):
P(no sale rey) =P(A)= 1 - P(sale rey) = 1 - 4/52 = 12/13 3. P(A∪ B) = P(A) + P(B) - P(A∩ B). En el lanzamiento de un dado de seis caras, los eventos A: "sale par" y B: "sale primo" tienen itersección no vacía: A∩B={2}, entonces la probabilidad del evento "sale par o primo" = A ó B es P(A o B) = P(A∪ B) = P(A) + P(B) - P(A B)= 3/6 + 3/6 - 1/6 = 5/6 2. Definición por frecuencia relativa. Si un experimento se repite n veces (n grande); sea n(A)
3. Definición de probabilidad subjetiva. Dado un experimento determinado, la probabilidad de un evento A es el grado de creeencia asignado a la ocurrencia de este evento por un individuo particular, basado en toda la evidencia a su supocisión, con las siguientes exigencias: 1.- P(A)=0, representa la certeza que el evento A, no ocurrirá. 2.- P(A)=1, representa la certeza que el evento A, si ocurrirá. 3.- 0
0,
b.
n
n
i =1
i =1
∑ pi = ∑P(
ω i
Si A evento ⇒P(A)=
) =1
∑P(ω ) . i
∈ A
ω i
Probabilidad Condicional e Independencia.
A. Si A y B son eventos dependientes (la ocurrencia de A influye en la ocurrencia de B), entonces P(A∩B)=P(A)• P(B/A) donde P(B/A) es la probabilidad del evento B, sabiendo que ha ocurrido A. De forma equivalente la fórmula anterior se escribe: P(B/A) = P(A∩B)/P(A) B. Si A y B son eventos independientes ( la ocurrencia de A no influye en la ocurrencia de B), entonces P(A∩B)=P(A)• P(B) Ejemplo: 4. Una urna contiene dos bolas blancas (B) y tres bolas rojas (R). Suponga que sorteamos dos bolas al azar. a. Halle las probabilidades de las posibilidades que se presentan, si la primera bola escogida no es devolvida a la urna (sin reposición ). b. Halle las probabilidades de las posibilidades que se presentan, si la primera bola escogida luego de verificar su color es devolvida a la urna (con reposición ).
5. P(A∩ B) = P(A)•P(B). Lanzamos un dado de seis caras dos veces. Los eventos: A: "sale par en el primer lanzamiento" y B: "sale un 3 en el segundo", son eventos independientes, entonces la probabilidad de que "salga par en el primero y un 3 en el segundo" es P(A y B)=P(A∩B)=P(A)•P(B)=(3/6)•(1/6)=1/12 Ejercicio PC1:
Cierta universidad en formación en su primer año de funcionamiento tiene tres curriculas: Ciencia, Administración e Ingeniería. La clasificación de los alumnos por sexo , es como sigue Ciencia
Administración
Ingeniería
Total
Hombres
250
350
200
800
Mujeres
100
50
50
200
Total
350
400
250
1000
Se selecciona un estudiante aleatoriamente del grupo. Si se sabe que el estudiante es hombre. ¿Cuál es la probabilidad que éste en Ciencias? ¿Cuál que este en Ingenierías? Solución. Definimos los eventos: B1 : el estudiante seleccionado es hombre.
B2 : el estudiante seleccionado es mujer. A1 : el estudiante sigue ciencias.
A2 : el estudiante está matriculado en Administración. A3
: el estudiante está matriculado en Ingeniería.
Luego P ( B1 )
=
800 1000
= 0.80 , P ( B2 ) =
200 1000
= 0.20 , P ( A1 ) =
350 1000
= 0.35 , P ( A2 ) =
400 1000
= 0.40 ,
P ( A3 )
=
250 1000
= 0.25
Además P ( A1 ∩ B1 ) =
Así P ( A1
| B1 ) =
250 1000
P ( A1 ∩ B1 ) P ( B1 )
= 0.25 , P ( A3 ∩ B1 ) =
=
250 800
=
0.25 0.80
=
200 1000
= 0.2
0.3125 y P ( A3 | B1 ) =
P ( A3
∩ B1 )
P ( B1 )
=
200 800
=
0.20 0.80
Probabilidad Total Sean
B1 ,
B2 ,..., Bk eventos excluyentes tal que k i=1 Bi = Ω , donde Ω es el espacio muestral
⇒ para cualquier evento A ⊂ Ω P ( A) = P ( B1 ). P ( A | B1 ) + P ( B2 ). P ( A | B2 ) +... + P ( Bk ). P ( A | Bk )
Ejercicio PT1:
Una compañía dedicada al transporte público explota tres líneas de una ciudad, de forma que el 60% de los autobuses cubre el servicio de la primero línea, el 30% cubre la segunda y el 10% cubre el servicio de la tercera línea. Se sabe que la probabilidad de que, diariamente, un autobús se averíe es del 2%, 4% y 1%, respectivamente, para cada línea. Determina la probabilidad de que, en un día, un autobús sufra una avería.
Solución: El suceso "sufrir una avería" ( Av) puede producirse en las tres líneas, (L1 , L 2 , L 3 ). Según el teorema de la probabilidad total y teniendo en cuenta las probabilidades del diagrama de árbol adjunto, tenemos:
P(Av) = P(L1 ) · P(Av/L1 ) + P(L2 ) · P(Av/L2 ) + P(L3 ) · P(Av/L3 ) = 0.6 · 0.02 + 0.3 · 0.04 + 0.1 · 0.01 = = 0.012 + 0.012 + 0.001 = 0.025
Ejercicio PT2:
Una empresa del ramo de la alimentación elabora sus productos en cuatro factorías: F 1 , F 2 , F 3 y F 4. El porcentaje de producción total que se fabrica en cada factoría es del 40%, 30%, 20% y 10%, respectivamente, y además el porcentaje de envasado incorrecto en cada factoría es del 1%, 2%, 7% y 4%. Tomamos un producto de la empresa al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentre defectuosamente envasado?
Solución: Llamando M = "el producto está defectuosamente envasado", se tiene que este producto puede proceder de cada una de las cuatro factorías y, por tanto, según el teorema de la probabilidad total y teniendo en cuenta las probabilidades del diagrama de árbol adjunto, tenemos:
P(M) = P(F 1 ) · P(M/F 1 ) + P(F 2 ) · P(M/F 2 ) + P(F 3 ) · P(M/F 3 ) + P(F 4 ) · P(M/F 4 ) = = 0.4 · 0.01 + 0.3 · 0.02 + 0.2 · 0.07 + 0.1 · 0.04 = = 0.004 + 0.006 + 0.014 + 0.004 = 0.028
Ejercicio PT3:
Se tiene una urna vacía y se lanza una moneda al aire. Si sale cara, se introduce en la urna una bola blanca y si sale cruz, se introduce una bola negra. El experimento se repite tres veces y, a continuación, se introduce la mano en la urna, retirando una bola. ¿Cuál es la probabilidad de que en la urna queden una bola blanca y otra negra?
Solución: Llamamos B = "obtener bola blanca" y N = "obtener bola negra". En el diagrama de árbol pueden verse las configuraciones posibles de las urna, después del lanzamiento de las monedas y las urnas finales, así como las probabilidades para cada una de ellas. Atendiendo a la notación expresada en el diagrama de árbol y según el teorema de la probabilidad total, se obtiene:
P(BN) = P(BN ∩ BBN) + P(BN ∩ BNN) =P(BBN) · P(BN/BBN) + P(BNN) · P(BN/BBN) = = 3/8 · 2/3 + 3/8 · 2/3 = 1/4 + 1/4 = ½
Ejercicio PT4:
Se lanzan dos monedas al aire. Si salen dos caras, se extrae una bola de una urna I, que contiene 2 bolas blancas y 3 negras. Si sale cara y cruz, se extrae una bola de una urna II, que contiene 4 bolas blancas y 1 negra. Si salen dos cruces, se extrae una bola de una urna III, que contiene 3 bolas blancas y 2 negras. ¿Cuál es la probabilidad de extraer bola blanca después de lanzar las monedas y
sacar la bola?
Solución: El diagrama de árbol muestra, primero, las probabilidades correspondientes a la elección de la urna y, después, a la extracción de la bola. La probabilidad total de sacar bola blanca la calculamos caminando por todas las ramas que terminan en sacar bola blanca
P(B) = P(B/U I ) P(U I ) + P(B/U II ) ·P(U II ) + P(B/U III ) · P(U III ) = 2/5 · 1/4 + 4/5 · 2/4 + 3/5 · 1/4 = 13/20
Teorema de Bayes Sean ⇒
B1 ,
B2 ,..., Bk eventos excluyentes tal que i =1 Bi = Ω , donde Ω es el espacio muestral k
la probabilidad de ocurrencia de Br dado que ocurrio el evento
P ( Br | A) =
P ( Br ∩ A) P ( A)
=
A ⊂ Ω
es
P ( Br ). P ( A | Br ) P ( B1 ). P ( A | B1 ) + P ( B2 ). P ( A | B2 ) + ... + P ( Bk ). P ( A | Bk )
Ejercicio TB1:
Tres máquinas, A, B y C , producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de las piezas producidas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de e stas máquinas son del 3%, 4% y 5%. a. Seleccionamos una pieza al azar; calcula la probabilidad de que sea defectuosa. b. Tomamos, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de haber sido producida por la máquina B. c. ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada pieza defectuosa?
Solución
Sea D= "la pieza es defectuosa" y N = "la pieza no es defectuosa". La información del problema puede expresarse en el diagrama de árbol adjunto. a. Para calcular la probabilidad de que la pieza elegida sea defectuosa, P(D), por la propiedad de la probabilidad total, P(D) = P(A) · P(D/A) + P(B) · P(D/B) + P(C) · P(D/C) = = 0.45 · 0.03 + 0.30 · 0.04 + 0.25 · 0.05 = 0.038 b. Debemos calcular P(B/D). Por el teorema de Bayes,
c. Calculamos P(A/D) y P(C/D), comparándolas con el valor de P(B/D) ya calculado. Aplicando el teorema de Bayes, obtenemos:
La máquina con mayor probabilidad de haber producido la pieza defectuosa es A
EjercicioTB2:
Para seleccionar sus funcionarios, una empresa ofrece a los candidatos un curso de training durante una semana. Al final, ellos son sometidos a una prueba y 25% son clasificados como buenos (B), 50% como medios (M) y los restantes 25% como incompetentes (I). Como medida de economia, el departamento de selección pretende sustituir el training por una prueba conteniendo preguntas envolviendo conocimientos generales y especificos. Pero, para eso, les gustaria conocer cual es la probabilidad de que un individuo aprobado en la prueba fuese considerado incompetente, caso hiciese el curso. Asi, en ese año antes del inicio del curso, los candidatos fueron sometidos a la prueba y, de acuerdo con los resultados, recibieron el concepto aprobado (A) o reprobado ( R). Al final del curso, obtuvieron las siguientes probabilidades condicionales: P ( A | B)
= 0.80 , P ( A | M ) = 0.50 , P ( A | I )
= 0.20 .
Solución: Por el Teorema de Bayes se tiene que : P ( I | A) =
P ( A | I ). P ( I ) P ( A | B). P ( B) + P ( A | M ). P ( M ) + P ( A | I ). P ( I )
.......... .. =
(0.20).( 0.25) = 0.10 ( 0.80).(0.25) +(0.50).( 0.50) +( 0.20).( 0.25)
Entonces, apenas 10% de los aprobados es que serian clasificados como incompetentes durante el curso. De modo análogo, podemos encontrar: P ( B | A)
= 0.40 y P ( M | A) = 0.50 .
que serian subsidios valiosos para ayudar a la decisión de sustituir el training por la prueba.
Ejercicio TB3:
Tenemos tres urnas: A con 3 bolas rojas y 5 negras, B con 2 bolas rojas y 1 negra y C con 2 bolas rojas y 3 negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna A? Solución:
Llamamos R= "sacar bola roja" y N = "sacar bola negra". En el diagrama de árbol adjunto pueden verse las distintas probabilidades de ocurrencia de los sucesos R o N para cada una de las tres urnas. La probabilidad pedida es P(A/R). Utilizando el teorema de Bayes, tenemos:
