UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA CENTRO UNIVERSITARIO DE ORIENTE FACULTAD DE INGENIERIA RESISTENCIA DE MATERIALES I Ing. Manuel Eduardo Alvarez Ruiz
PROBLEMAS PARA TERCERA UNIDAD B Versión 31- 03 – 2013
P!" # $%"& $'' # $%%& $(" # $)*&
Págin 1 !e 2"
Págin 2 !e 2"
Págin 3 !e 2"
PRO+LEMA )*% Una viga en voladizo, de -* de an/0o 1or '** de /an2o 3 - de longi2ud, 4o1or2a una /arga 5ue var6a uni7oreen2e de4de /ero en el e82reo li9re 0a42a $*** N: en el e1o2raien2o. De2erinar el valor 3 el 4igno del e47uerzo en una 7i9ra 4i2uada a (* del e82reo 4u1erior de la viga en una 4e//i;n a % del e82reo li9re.
SOLUCI#N$
Ver 7;rula ) # ' del e47uerzo <8io = σ 2e82o. Donde =M> e4 el oen2o 7le8ionan2e. 6 M M σ = ? S bh 2
max
>, 1
max
Ver 7;rula de ;dulo de re4i42en/ia =S> de la 4e//i;n 2ran4ver4al re/2angular, ver 2a9la ) # $, 1
bh 2 6
Págin % !e 2"
Ver 7;rula del oen2o de iner/ia =I>, ver 2a9la A # $, 1
bh 3 12
Su42i2u3endo en la 7orula @) # '9 el ;dulo de re4i42en/ia de la 4e//i;n 2ran4ver4al re/2angular, 2eneo4 5ueB
σ
max
=
S
?
bh 2
1 ( 6)(1000 )( 2 ) 2 ? $)****** Pa ? $).** MPa
6
6 M
M
?
( 0.06 )( 0.20 )
2
Cuando ? %, 2eneo4 5ue el oen2o 7le8ionan2e e4 igual a M ? @$:' @%@)** ? ")* N., a (* del e82reo 4u1erior de la viga 2eneo4 un e47uerzo dado 1orB
Ver 7orula ) # ', en la 1
Moen2o de iner/ia ? I =
bh 3 12
?
( b)( h ) 12
3
?
σ =
My
( 0.06 )( 0.20 ) 12
I , en2on/e4 2eneo4
3
)
-
? ( 8 $* ? (*.**8$*
(
σ =
( 750)( 0.060 )
My I
?
( 40 x10 ) −6
-
? $.$') 8 $* MPa
Págin " !e 2"
PRO+LEMA )*( Una viga 4i1le o 4i1leen2e a1o3ada, de 4e//i;n re/2angular de -* de an/0o 1or $** de al2ura, 3 ( de longi2ud, e42< 4oe2ida a una /arga /on/en2rada de !** N en un 1un2o 4i2uado a $ de uno de lo4 a1o3o4. De2erine el e47uerzo <8io a46 /oo el e47uerzo en una 7i9ra 4i2uada a $* de la 1ar2e 4u1erior de la 4e//i;n, 1ara una 4e//i;n 4i2uada a la i2ad del /laro.
SOLUCI#N$
F3 ? * R$ R' ? !** @e/ua/i;n $ MR' ? * R$@( # !**@% ? * R$ ? @!**@%:@( ? -** Su42i2u3endo R$ en la e/ua/i;n $, 2eneo4 5ueB R$ R' ? !** -** R' ? !** R' ? '**
Págin & !e 2"
Ver 7;rula del oen2o de iner/ia =I>, ver 2a9la A # $, 1
bh 3 12
bh 3 12
?
( 60 )(100 )
3
12
(
-
(
-
(
? )****** ? ).** 8 $* ? ).** 8 $* .
Ver 7;rula ) # ' del e47uerzo <8io = σ >, 1 e4 el oen2o 7le8ionan2e. 6 M M σ = ? S bh 2 6( 600 ) 6 M M σ = ? ? ( 0.06)( 0.010) 2 ? - *** *** *** Pa ? -***.** MPa S bh 2 max
max
max
M ? -**@' # !**@$ ? (** Ver 7orula ) # ', en la 1
My I ?
My I , en2on/e4 2eneo4
( 400)( 0.04)
( M )( y ) I
σ =
?
5 x10
−6
? %.' MPa
Págin ' !e 2"
PRO+LEMA )*) Una 4ierra de /in2a de a/ero de al2a re4i42en/ia, 5ue 2iene '* de an/0o 3 *.! de e41e4or, 1a4a 1or una4 1olea4 de -** de di<e2ro. Hu e47uerzo <8io 4e de4arrolla 1or la 7le8i;n al rodear la4 1olea4J Hu di<e2ro 6nio 1ueden 2ener la4 i4a4 4in 5ue 4o9re1a4e el e47uerzo de (** MPaJ E ? '** GPa.
SOLUCI#N$
ρ ? radio de /urva2ura Ver 7orula ) # $, en la 1
=
ρ
M
σ
EI ? Ec
Ver 7orula ) # 'K, en la 1
ρ
Ec
, 4e o92iene 1orB ρ = σ
El radio de /urva2ura de9ido a 5ue la4 1olea4 2ienen -** de di<e2ro, 3 e42e 1or de7ini/i;n e4 la i2ad, 2eneo4 5ueB
ρ ? -**:' ? %** ? *.% El e47uerzo <8io 5ue 4e de4arrolla 1or la 7le8i;n al rodear la4 1olea4, e42< dado 1orB 1
1
M
ρ ?
σ
EI ? Ec , en2on/e4 2eneo4 5ueB
σ
ρ ?
Ec σ
1 0 .30
?
(200 x10
− 0.80 x10 ) 2
3
9
Págin ( !e 2"
1
σ
0 .30
σ
?
80000000
-
? @!*******:@*.%* ? '--.- 8 $* Pa ? '.-- MPa
Para /on2e42ar la 1regun2a de 5u di<e2ro 6nio 1ueden 2ener la4 i4a4 @la4 1olea4 4in 5ue 4o9re1a4e el e47uerzo de (** MPaJ, u4ao4 la 4iguien2e 7;rula ρ =
ρ ? radio de /urva2ura.
Ec
σ
, dondeB
E ? ;dulo de ela42i/idad. / ? di42an/ia =/> del eleen2o <4 aleado de la l6nea neu2ra σ
? e47uerzo
ρ =
Ec
σ
( 200 x10 )(0.40 x10 − ) ? *.'* (400 x10 ) 9
?
3
6
Para el dar la re41ue42a 5ue 4e 4oli/i2a, 2eneo4 5ue ul2i1li/ar el radio 8 'B @'@*.'* ? *.(* .
Págin ) !e 2"
PRO+LEMA )*Una 9arra de a/ero de ') de an/0o, - de e41e4or 3 $ de longi2ud 4e 7le8iona 1or la a//i;n de 1are4 a1li/ado4 en 4u4 e82reo4, de anera 5ue en el /en2ro ad5uiere una de7le8i;n de '* . De2erinar el e47uerzo <8io en la 9arra 3 la agni2ud de lo4 1are4 a1li/ado4 4i el ;dulo de ela42i/idad E ? '** GN: '.
SOLUCI#N$
Por 2rigonoe2r6a, en/on2r
2
2
ρ ? radio de /urva2ura Ver 7orula ) # $, en la 1
ρ
=
M
σ
EI ? Ec
Págin 10 !e 2"
Ver 7orula ) # 'K, en la 1
ρ
, 4e o92iene 1orB
ρ =
Ec
=
Ec
σ
σ
1
ρ ?
ρ
?
= Ec
σ
ρ
Ec ρ
M
( 200 x10 )( 0.003) 9
?
( 6.260 )
? ).!( MPa
σ
EI ? Ec , en2on/e4 2eneo4 5ueB
( b)( h ) Moen2o de iner/ia ? (12 )
3
( E )( I ) ( 200 x10 M ? ρ ? ( ρ ) ? EI
9
) ( 0.025)( 0.006) 12 ( 6.260)
3
− ? (200 x10 )(4.5 x10 ) ( 6.260 ) 9
10
? $(.%" N.
PRO+LEMA )*" En un en4a3o de la9ora2orio 4o9re una viga /argada /on 1arede4 en 4u4 e82reo4 4e en/on2r; 5ue la4 7i9ra4 2ale4 /oo la4 A+ de la 7igura P)*"
Págin 11 !e 2"
2uvieron un alargaien2o de *.*% , ien2ra4 5ue la4 CD 4e 0a96an a/or2ado *.* en la longi2ud de '** en2re 1un2o4. Cal/ular lo4 e47uerzo4 5ue 0an de9ido de a1are/er en la4 7i9ra4 4u1erior e in7erior de la viga 4i el ;dulo de ela42i/idad E ? $** GPa.
SOLUCI#N$
δ CD 100
− y
0.09 100
− y
=
δ AB
=
y 0.03
y
@*.*%@$** # 3 ? 3@*.* @% # *.*%3 ? *.*3
*.$'3 ? %
Págin 12 !e 2"
3 ? ') ? 3 )* ? ") El e47uerzo a3or e42< /ondi/ionado a la de7ora/i;n a3or, 3 4i re/ordao4 5ue la e/ua/i;n ' # ( del li9ro de 2e82oB δ =
δ E = σ E , de41eando el e47uerzo la e/ua/i;n 2oa 4iguien2e 7oraB L
σ L
En2on/e4 2eneo4 5ueB σ CD
=
(90 x10 − )(100 x10 ) 3
δ CD E
?
L
9
200
? ().**MPa a ") de4de a9ao
0a/ia arri9a de4de la l6nea neu2ra. E47uerzo en 1ar2e 4u1erior, 4e o92iene al igualar el e47uerzoB σ arriba 75
=
σ CD 75
σ arriba
= σ CD
? ().** MPa σ
Ver 7;rula @) # ' en la 1
=
M I
, e42<
7;rula rela/iona el e47uerzo /on la longi2ud. E47uerzo en la 1ar2e in7erior, 2eneo4 5ue σ abajo
150
=
σ CD
75
σ arriba
= 2σ CD
? *.**MPa.
PRO+LEMA )*!
Págin 13 !e 2"
De2erinar el e41e4or 6nio =9> de la viga de la 7igura P)*!, de anera 5ue el <8io e47uerzo noral no e8/ede de $* MPa.
SOLUCI#N$ ∑Fy = 0 R1 + R2 = (2000)(4) + 5000 R1 + R2 = 13000 R1 + R2 = (ecuación 1) ∑MR2 = 0 R1[3] – (5000)(1) – (2000)(4)(2) = 0 R1[3] – 21000 = 0 R1[3] = 21000 R1 = (21000)/(3) = 7000 N Sustituyendo R1 en la ecuación 1, tenemos que: R1 + R2 = 13000 (ecuación 1) 7000 + R2 = 13000 R2 = 6000 N SECCIO !" #0 $ % $ 1& Fue'(a co'tante !" = ) !" = #*2000&#%& = *2000% X = 0; V = 0 N X = 1; V = – 2000 N Momento +leionante !" = M !" = #*2000&#%&#%-2& = *1000 % 2 X = 0; M = 0 N. X = 1; M = – 1000 N. SECCIO "C #1 $ % $ .& Fue'(a co'tante "C = ) "C = #*2000&#%& / 000= *2000% X = 1; V = – 2000 N + 7000 N = 5000 N
Págin 1% !e 2"
X = 3; V = 1000 N Momento +leionante "C = M "C = #*2000&#%&#%-2& / 000#% * 1& = *1000%2 / 000% * 000 X = 1; M = – 1000 N. X = 3; M = 5000 N.
SECCIO C #. $ % $ & Fue'(a co'tante C = ) C = #*2000&#%& / 000 * 3000 = * 2000% / 2000 X = 3; V = – 4000N X = 4; V = – 6000 N Momento +leionante C = M C = #*2000&#%&#%-2& / 000#% * 1& * 3000#% * .& = *1000 %2 / 000% * 000 * 3000% / 13000 = * 1000%2 / 2000% / 4000 X = 3; M = 5000 N. X = 4; M = 0 N.
Ver 7;rula ) # ' del e47uerzo <8io = σ max >, 1 e4 el oen2o 7le8ionan2e.
Págin 1" !e 2"
σ
=
σ
=
max
max
6 M
M
S ? bh 2 6 M M
-
S ? bh 2
6( 5000)
$*8$* ?
2
( b )( 0.20) 6( 5000) b = (10 x10 )( 0.20) 6
2
? @%* ***:@(** *** ? @%:@(* ? *.*") 24.
PRO+LEMA )* !na "i#a $e %i&' caa u u*a$a en c'n*%ucci'ne* ae'n,u%ica* c'n*%a $e una *eie $e %u-'* uni$'* e$ian%e una* aa* u $e#a$a* c'' *e
Págin 1& !e 2"
in$ica en *ección en a i#ua 50. a$a %u-' %iene una *ección ec%a 2
$e 130 . i e e*ue' e$i' en e*%'* %u-'* n' &ue$e ece$e $e 70 Ma $e%eina a ca#a %'%a uni'een%e $i*%i-ui$a 8ue &ue$e *'&'%a e*%a "i#a *'-e un ca' $e 4 e%'*.
9e*&ecia e eec%'
e*i*%en%e $e a* aa* $e unión.
SOLUCI#N$
Ma M = (,ea $e $ia#aa $e e*ue' c'%an%e) '' e &e*' : e*%a uni'een%e $i*%i-ui$' a ' a#' $e a "i#a ca$a una $e a* eacci'ne* $e-e $e ca#a c'n a i%a$ $e : &' ' %an%' %ene'* 8ue R1 = R2 = :
2
,i' 'en%' = (1/2)(-a*e)(a%ua) = >(
:(4) /? = 2: Rec'$an$' a óua 5 – 2@ %ene'* 8ue σ max
=
Mc I , donde / ? e4 la
di42an/ia del eleen2o <4 aleado de la l6nea neu2ra.
Págin 1' !e 2"
'en%' $e inecia ABC =
∫ y
2
dA
, donde =3> ? e4 la di42an/ia al ee neu2ro, 3
=dA>, e4 el di7eren/ial de
( A)( y) M'en%' $e inecia ABC = ∑
(8 )(130 )(75 )
2
?
Rec'$an$' a óua 5 – 2@ σ
max
2
-
(
? ).!)8$* .
=
Mc I , 3 de41eando el oen2o =M>,
2eneo4 5ueB M
=
( σ ) ( I ) ( c) max
− ( 70 x10 )( 5.85 x10 ) 2w = 6
( 0.075)
6
? @!$:':@*.*") ? @(*.)*:@*.*") ? )(-*.**
? '"%* N:,
L *rg +,+ es ig. //L ,r +n+, 4 /2'30/% 4 10)20 N 4 105)2 6N5
PRO+LEMA )' !na "i#a *i&een%e a&'a$a en *u* e%e'* $e 10 $e ca' *'&'%a una ca#a uni'e $e 16 DN/ *'-e %'$a* *u 'n#i%u$ a) Eu, e* a "i#a ,* i#ea $e &ei : 8ue n' ece$e, un e*ue' &' eión $e 120 MaF -) Eu, e* e e*ue' ea en a "i#a *eecci'na$aF
Págin 1( !e 2"
SOLUCI#N$ '' e &e*' : e*%a uni'een%e $i*%i-ui$' a ' a#' $e a "i#a ca$a una $e a* eacci'ne* $e-e $e ca#a c'n a i%a$ $e : &' ' %an%' %ene'* 8ue R1 = R2 = :
,i' 'en%' = (1/2)(-a*e)(a%ua) = >(
(16)(10) /? = 200 DN. Ve óua (5–3) en a &,#ina 134 en e i-' $e Re*i*%encia $e Ma%eiae* $e Gn$eH %e Ie$inan$ <. in#e S ≥
M
σ
9'n$e = ó$u' e*i*%en%e ' ó$u' $e *ección. M = 'en%' ei'nan%e a&ica$' J = ,i' e*ue' a$i*i-e n%'nce* %ene'* 8ue S ≥
M σ
?
200 x10
3
120 x10
6
%
%
%
%
? $:-** ? $.-"8$* 24 ? $-"* 8 $* . %
Si 1ro9ao4 /on el 1er7il Q-$*8!', 2eneo4 5ue el ;dulo de 4e//i;n S ? $!"*8$* @ver 2a9la + # ' en la 1
Q
S D W D
? @a4a@gravedad ? @!$.@.!$ ? !*% N:
=
S L W L ? @;dulo de 4e//i;n:@1e4o
@odulo re4i42en2e o ;dulo de 4e//i;n de la viga:@/arga a 4o1or2ar ? @odulo re4i42en2e o ;dulo de 4e//i;n 8 1e4o de la viga:@/arga de la 1ro1ia viga
Págin 1) !e 2"
S D
=
(W )( S ) (W ) D
(1670 x10 )( 0.803) 3
L
L
?
%
%
? !%.! 8 $* .
(16 )
(Mó$u' e*i*%en%e ' ó$u' $e *ección %'%a ' e*u%an%e) = (ó$u' e*i*%en%e ' ó$u' $e *ección $e-i$' a a ca#a) + (ó$u' e*i*%en%e ' ó$u' $e *ección $e-i$' a &e*' $e a "i#a) (R) K (<) + (9) :610 ?2 = 1?70 K 1670 + ?3.? K 1753.?0
a& 5Cu6l es la 7i8a m6s li8e'a de 9e'+il que no ecede'6 un es+ue'(o 9o' +leión de 120 M;a< )i8a de 9e'+il indicada = 10 42> ?& 5Cu6l es el es+ue'(o 'eal en la 7i8a seleccionada< e '-%iene &' a *i#uien%e ecuación
#@R&#SR& = @#S A / S&, 8ue *e encuen%a en a &,#ina 136 $e i-' $e Gn$eH %e ("e &'-ea iu*%a%i"' 52? $e a &,#ina 135)
#@R&#SR& = @#S A / S&, σ R
=
( σ )
( S
L
+
S D )
( S ) R
?
(120)
(1670 + 83.8) ? 1125"% MP. (1870)
PRO+LEMA )%$ e a&ica una ca#a c'ncen%a$a $e 0 DN en e cen%' $e una "i#a *i&een%e a&'a$a $e ? e%'* $e ca'. i e e*ue' a$i*i-e e* 2
$e 120 MN/ ee#i a *ección : ,* i#ea.
SOLUCI#N$ LI = 0
Págin 20 !e 2"
R1 + R2 = 0 R1 + R2 = 0 (ecuación 1) LMR2 = 0 R1(?) 0(4) = 0 R1 = (0)(4)/(?) = 45 u*%i%uen$' e "a' $e R1 en a ecuación 1 %ene'* 8ue 45 + R2 = 0 R2 = 0 – 45 = 45 DN. Ma 'en%' AMC = (1/2)(-a*e)(a%ua) = (1/2)(
6
Mó$u' $e *ección AC K M/J K (1?0 10 )/(120 10 ) = (3)/(2000) = 1.50 3
6
3
10 = 1500 10 . !na "e '-%eni$' e ó$u' $e *ección AC 8ue en e*%e ca*' e* i#ua a
1300 10
B
3
-u*ca'* en a Aa-a –2C. Aeie* O ("i#a* $e aa
ancPa) aeican'* (:) (uni$a$e* B) c'iena en a &,#ina 533 %eina en a 540. e -u*ca a *ección : ,* i#ea 8ue cu&a c'' B
Qni' c'n e ó$u' $e *ección AC = 1300 10 > Entonces tenemos,
se8n la ta?la que se muest'a a continuación:
Págin 21 !e 2"
Págin 22 !e 2"
6
ue e &ei :530 74 %iene un ó$u' $e *ección AC = 1550 10 un &e*' $e = (a*a)(#a"e$a$) = (74.70)(.?1 = 733 N/. GP'a a 8ue %ene'* e &e*' &' e &'&i' &e*' $e a *ección :530 74 = 733 N/ u%iia'* a ecuación $e ,i' 'en%' &aa e*%e &'-ea %ene'* 8ue 2
,i' 'en%' = (1/2)(-a*e)(a%ua) = >(
= [(733)(? ) ]/ [?]) = 5?64 N. GP'a e ó$u' $e *ección &e' $e-i$' a &e*' $e a &'&ia "i#a %ene'* 8ue 6
5
Mó$u' $e *ección AC K M/J K (5?64)/(120 10 ) =4.?? 10 = 4?.?0 6
10 .
El módulo de sección total DS %'%a es i8ual a: %'%a = ca#a + "i#a 1550 K 1500 + 4?. 1550 K 154?.
Res9uesta: el 9e'+il 3.0 , con un módulo de sección DS = 1330 B
10 , cum9le con todas las condiciones del 9'o?lema>
PRO+LEMA )" !na "i#a en caa *'&'%a a* ca#a* $e a i#ua 5–30. acua e "a' ,i' $e AC *i e e*ue' n'a a$i*i-e e* $e ? Ma e c'%an%e e* $e 1.20 Ma.
Págin 23 !e 2"
SOLUCI#N$ PRO+LEMA )!* !na "i#a $e *ección ec%an#ua - P *i&een%e a&'a$a *'-e un ca' < *'&'%a en e cen%' una ca#a c'ncen%a$a . &e*a
τ max
en
7un/i;n de σ .
SOLUCI#N$ PRO+LEMA )!$ !na "i#a e*%, 'a$a &' %e* %a-a* $e *ección 150 60 enc'a$a* en%e *Q &aa 'a una *ección $e 150 $e ancP' &' 1?0 $e a%ua. i e c'%an%e a$i*i-e en a* un%a* e* $e 600 Da e c'%an%e a$i*i-e en a a$ea e* $e 00 Da e n'a &ei*i-e %a-iSn en a a$ea "ae ?Ma $e%eina a ca#a ,ia uni'een%e $i*%i-ui$a 8ue &ue$e e*i*%i a "i#a *'-e un ca' $e 2.
SOLUCI#N$ PRO+LEMA )!'
Págin 2% !e 2"
acue a* $ien*i'ne* $e cua$a$' ,* &e8ueT' 8ue *ea a *ección %an*"e*a $e a "i#a '*%a$a en a i#ua – 52?2 *i τ ** Pa 3
σ
! MPa.
SOLUCI#N$
5.1 a 5.?
Págin 2" !e 2"
