1° RM1

Lógica Recreativa I

2

Lógica Recreativa II

9

Habilidad Operativa Operativa

15

Repaso

21

Resolución de Ecuaciones

26

Planteo de Ecuaciones

31

Edades

37

Repaso

42

Ordenamiento Lineal, Vertical y Horizontal

45

Ordenamiento Circular y Test de Decisiones

51

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO I Nivel Secundaria

Lógica Recreativa I (Cerillas - Relación de Tiempo) Tiempo)

Objetivos  Despertar y ejercitar el ingenio

Ejemplo 1: Se ha construido una casa utilizando 10 cerillas. Cambia en ella la posición de dos cerillas, de tal forma que la casa aparezca de otro costado.

y destreza visual.  Potenciar la habilidad

intelectual.  Afianzar el desarrollo de la

imaginación, la creatividad creatividad y el ingenio.

Resolución: Cambio

Hallaremos en este tema ejercicios muy interesantes en los cuales tendrás que aplicar tu habilidad y destreza visual, usando conocimientos elementales de la geometría y la aritmética, aunque en algunos tu ingenio e imaginación. Encontrarás ejercicios de diferente nivel, desde los básicos hasta los complicados. Emplearás tu creatividad hasta desarrollar tu habilidad analítica y esto te ayudará a desarrollar tu pensamiento creativo medianteelempleodenuevosenfoques ingeniosos.

Ejemplo 2: Retirando once cerillas, deja seis.

Resolución:

Cerillas Hallaremos ejercicios de interés que para resolverlos aplicarás tu destreza visual y habilidad mental; cambiando de posición, colocando o quitando cerillas según la conveniencia del ejercicio.

2

Quito once cerillas

Quedaría

Lógica Recreativa I (Cerillas - Relación de Tiempo) Tiempo)

Objetivos  Despertar y ejercitar el ingenio

Ejemplo 1: Se ha construido una casa utilizando 10 cerillas. Cambia en ella la posición de dos cerillas, de tal forma que la casa aparezca de otro costado.

y destreza visual.  Potenciar la habilidad

intelectual.  Afianzar el desarrollo de la

imaginación, la creatividad creatividad y el ingenio.

Resolución: Cambio

Hallaremos en este tema ejercicios muy interesantes en los cuales tendrás que aplicar tu habilidad y destreza visual, usando conocimientos elementales de la geometría y la aritmética, aunque en algunos tu ingenio e imaginación. Encontrarás ejercicios de diferente nivel, desde los básicos hasta los complicados. Emplearás tu creatividad hasta desarrollar tu habilidad analítica y esto te ayudará a desarrollar tu pensamiento creativo medianteelempleodenuevosenfoques ingeniosos.

Ejemplo 2: Retirando once cerillas, deja seis.

Resolución:

Cerillas Hallaremos ejercicios de interés que para resolverlos aplicarás tu destreza visual y habilidad mental; cambiando de posición, colocando o quitando cerillas según la conveniencia del ejercicio.

2

Quito once cerillas

Quedaría

Ejemplo 3:

El culpable del reto

Una balanza, compuesta por nueve cerillas se halla en un estado de desequilibrio. Es preciso cambiar la posición de cinco cerillas, de tal forma que la balanza quede en equilibrio.

Resolución: Cambio

Quedaría 1 2

3

5

1

3

4

2 4

5

Ejemplo 4: Como se ve, las ocho cerillas forman en este caso catorce cuadrados. Retira dos cerillas y deja solo tres cuadrados.

Resolución: Quito 2 cerillas

Relación de Tiempo Para el desarrollo de este tipo de ejercicios se sugiere utilizar la recta numérica comparando los números con los días; así: 1. RECTA NUMÉRICA

–3

3

Anteayer

Ayer

–2

–1

Pasado Hoy Mañana Mañana 0

1

2

3

Fermat nació en los albores del siglo XVII, en 1601 en Beaumont, un pueblo al suroeste de Francia. Su padre era un rico comerciante de pieles, lo que le permitió realizar sus estudios de leyes en la Universidad de Toulouse, Toulouse, donde nunca nun ca destacó en Matemáticas. No publicó en su vida ningún libro sobre matemáticas. De hecho llegó a escribir a Pascal: “No quiero que aparezca mi nombre en ninguno de los trabajos considerados dignos de exposición pública”. Pero Fermat tenía la pasión por los números. Y ello en parte gracias al libro de un matemático que vivió 1300 años antes que él. Este libro era la edición de la Aritmética de Diofanto. La Aritmética constaba de 13 libros de los cuales sólo seis sobrevivieron a la destrucción de la gran biblioteca de Alejandría,primeroporloscristianos y luego por los musulmanes. En 1621 aparece en Francia una traducción al latín de estos seis libros, realizada por Bachet, otro aficionado a los acertijos matemáticos. Este libro se convertiría en el libro de cabecera de Fermat durante muchos años. En él, Diofanto propone más de cien problemas numéricos y da brillantes soluciones a todos ellos. Algunos tienen que ver con las ternas pitagóricas, es decir, las ternas de números enteros que verifican X2 + Y2 = Z2 Fermat intuye que el exponente 2 es una frontera matemática para este tipo de ecuaciones con números enteros y postula, en una de las anotaciones a la Aritmética, su famoso reto. Desde este momento las mejores mentes matemáticas de 3 siglos no van a poder sustraerse a la tentación de intentar encontrar esa maravillosa demostración de la que habla Fermat.  Euler lo demostró para n = 3 y n = 4.  Dirichlet y Legendre Legendre para n=5 n=5  Lamé para n = 7.  Kummer para todos los primos menores que 100 salvo para n = 37, 59 y 67.  Sophie Germain....

Ejemplo 7:

Ejemplo 5: Sí, Farid, en un momento te daré la respuesta.

Aarom, puedes decirme, ¿qué día será el ayer de pasado mañana si el ayer de mañana es jueves?

Sabiendo que el mañana del anteayer del ayer de mañana era martes, ¿qué día será el anteayer del mañana de pasado mañana? Dato : +1 – 2 – 1 + 1 <> martes – 1 <> martes Piden : –2 + 1 + 2 = +1 Martes Miércoles Jueves

–2

Después de aquella conversación, Aarom hizo lo siguiente:

2 1 (Piden)

0

–1 (Dato)

Resolución: Rpta.: Jueves

Considerando la siguiente analogía:

Ahora el dato:

Anteayer

Ayer

Hoy

–2

–1

0

Pasado Mañana Mañana 1

Curiosidades

2

ayer de mañana <> jueves –1

¿Cuáles son los números que faltan?

+1 0 <> jueves

Luego piden :

3

El ayer de pasado mañana –1

4

5

6

7

8

9

10

52 63 94 46

+2 +1 (Dato) (Piden)  jueves viernes

–2

–1

0

1

2

Después de resolver, Aarom le responde a Farid que ese día será el viernes. Rpta.: Viernes Ejemplo 5: Si hoy es domingo, ¿qué día será el ayer de pasado mañana de hace dos días? Resolución: Dato : Piden :

0 <> domingo –1 + 2 – 2 = – 1 sábado domingo –2

–1 (Piden)

0 (Dato)

1

2 Rpta.: Sábado

4

Desafío La figura representa una copa con una cereza adentro. Se trata de obtener, moviendo sólo dos fósforos, una copa igual a la original pero con la cereza afuera.

Nivel I 1)

Retirando cinco palitos de fósforo deja uno.

Las siguientes igualdades formadas con palitos de fósforo son incorrectas. ¿Cuántos cerillos debes mover como mínimo para que expresen igualdades correctas?

8)

a) b) c) d) e)

4)

2)

a) 1 b) 2 c) 3

Quita tres palitos de fósforo, de tal manera que queden sólo tres cuadrados.

d) 4 e) 5

5)

a) 1 b) 2 c) 3 3)

Quita cuatro palitos de fósforo de la figura, de tal manera que queden sólo cinco cuadrados del mismo tamaño.

d) 4 e) 5

 Dado el siguiente gráfico obtenido con 12 palitos de fósforo, se pide:

¿Cuántos fósforos como mínimo debes quitar para formar tres cuadrados?

9)

¿Cuántos fósforos como mínimo debes quitar para formar tres cuadrados? a) b) c) d) e)

7)

5

Quita dos palitos para obtener tres cuadrados del mismo tamaño.

Quita dos palitos para obtener tres cuadrados del mismo tamaño.

4 3 2 1 5

10) ¿Cuántos fósforos como mínimo debes mover para que en total se formen 5 cuadrados? a) b) c) d) e)

6)

4 3 2 1 5

3 4 5 6 7

11) El ayer de ayer fue jueves. ¿Qué día será el mañana de mañana? a) domingo b) lunes c) sábado d) martes e) miércoles

12) Si hoy es lunes, ¿qué día será el mañana de hace dos días? a) domingo b) lunes c) jueves

d) sábado e) viernes

13) Si el anteayer de ayer de mañana de pasado mañana es sábado, ¿qué día fue anteayer de ayer? a) miércoles b) martes c) sábado

d) jueves e) viernes

14) Si el pasado mañana de ayer es  jueves, ¿qué día será el mañana de anteayer? a) martes b) miércoles c) jueves 15)

d) viernes e) lunes

19) Si hoy es miércoles, ¿qué día será el pasado mañana de dentro de tres días? a) martes b) domingo c) lunes

a) miércoles b) lunes c) sábado

d) sábado e) viernes

Debes quitar el mínimo de palitos de fósforo para que queden solamente cuatro cuadrados iguales.

25)

Se ha construido una casa utilizando 10 cerillas. Cambia en ella la posición de dos cerillas, de tal forma que la casa aparezca de otro costado.

26)

En el siguiente gráfico, ¿cuál es el menor número de cerillas que se deben cambiar de lugar para obtener una igualdad correcta?

a) Quita dos cerillas, dejando dos cuadrados. b) Quita cuatro cerillas, dejando dos cuadrados iguales. c) Mueve tres cerillas, para hacer tres cuadrados del mismo tamaño. d) Mueve dos cerillas para hacer siete cuadrados de tamaños diferentes. e) Mueve cuatro cerillas para hacer diez cuadrados, no todos del mismo tamaño.

d) domingo e) lunes

Si el ayer de mañana es jueves, ¿qué día es hoy? a) lunes b) martes c) miércoles

d) jueves e) viernes

Siendo martes el ayer de anteayer, ¿qué día será pasado mañana de ayer? a) sábado b) martes c) viernes

6

d) jueves e) martes

21) Se tiene doce cerillas dispuestas en cuatro cuadrados pequeños como se observa:

Si hoy es martes, ¿qué día será el mañana de ayer del pasado mañana de mañana? a) jueves b) viernes c) sábado

18)

24)

d) miércoles e) jueves

20) Si el anteayer de mañana de pasado mañana es viernes, ¿ qué día fue ayer?

Nivel II

17)

En la siguiente figura, cambia de posición a dos palitos para obtener cinco cuadrados iguales.

Si el mañana de mañana es lunes, ¿qué día fue ayer? a) miércoles b) jueves c) domingo

16)

23)

d) jueves e) miércoles

22)

Aumenta 3 palitos de fósforo, en la figura, para que se formen 5 triángulos.

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

27)

Halla el mínimo número de palitos de fósforo que se deben mover en la figura para que el pez representado mire al otro lado. a) b) c) d) e)

32)

1 2 3 4 5

¿Cuántos fósforos debes agregar como mínimo para formar seis cuadrados? a) b) c) d) e)

2 3 4 5 6

Sabiendo que el mañana del anteayer del mañana de pasado mañana es jueves, ¿qué día será el anteayer del ayer del mañana de hace 2 días? a) viernes b) lunes c) domingo

30)

En la figura mover sólo 2 palitos con el objeto de que la manzana quede fuera y la copa en otro lugar.

38)

Mueve cuatro cerillos y transforma el hacha en tres triángulos iguales.

39)

¿Cuántos palitos de fósforo son necesarios para formar la figura de la posición 10?

d) jueves e) miércoles

Si ayer hubiera sido como mañana, faltarían 2 días para el domingo. ¿Qué día es hoy? a) viernes b) jueves c) miércoles

d) sábado e) martes

d) jueves e) martes 35)

Si ayer hubiera sido mañana, faltarían dos días para el miércoles. ¿Qué día es hoy? a) domingo b) martes c) lunes

Si el día de mañana fuese como pasado mañana, entonces faltarían 2 días a partir de hoy para ser domingo. ¿Qué día de la semana será el mañana del ayer de hoy? a) sábado b) viernes c) domingo

34) 29)

37)

a) miércoles d) domingo b) lunes e) sábado c) martes

33) 28)

Si el pasado mañana de ayer de anteayer de pasado mañana es lunes, ¿qué día será el mañana de ayer de anteayer de hace 3 días?

a) d) b) e) c)

d) viernes e) sábado

1°

Si el lunes es el martes del miércoles, y el jueves es el viernes del sábado, ¿qué día será el domingo del lunes? jueves domingo viernes no tiene sentido sábado

... 3° 40)

36)

Nivel III

31)

Si el ayer de mañana de anteayer fue viernes, ¿qué día será el mañana del ayer del pasado mañana de anteayer del mañana de mañana? a) lunes b) martes c) sábado

7

d) jueves e) domingo

Una balanza compuesta por nueve cerillas se halla en un estado de desequilibrio. Es preciso cambiar la posición de cinco cerillas, de tal forma que la balanza quede en equilibrio.

2°

Mueve «x» cerillas para obtener 5 cuadrados iguales. Calcula el mínimo valor de «x». a) b) c) d) e)

1 2 3 4 5

41)

¿Cuántospalitosdefósforocomo mínimo se tendrá que mover para que la siguiente igualdad resulte verdadera?

46)

Si ayer hubiera sido mañana, faltarían 2 días para domingo. ¿Qué día es hoy? a) viernes b) jueves c) miércoles

a) 2 b) 3 c) 4 42)

d) 5 e) 1 47)

¿Cuántos fósforos como mínimo debesquitarparaquesóloqueden 3 rombos del mismo tamaño?

a) 1 b) 2

d) 4 e) 5

c) 3 43)

¿Cuántos fósforos como mínimo debes quitar para que no quede ningún cuadrado?

d) sábado e) martes

d) 6 e) 12 50)

¿Cuál es el día que está antes del anterior al siguiente día que sigue al posterior día que está inmediatamentedespuésdeldía que precede al anterior día de hoy miércoles? a) lunes b) martes c) miércoles

d) jueves e) viernes

Hoy sábado es cumpleaños de Angélica y el año pasado fue jueves. Si anteayer fue cumpleaños de Roxana, y el año pasado fue miércoles, ¿qué día cumple años Roxana? a) 1 de marzo b) 2 de marzo c) 3 de marzo d) 28 de febrero e) 27 de febrero

Algunos meses tienen 31 días. ¿Cuántos tienen 28 días? a) 1 b) 2 c) 4

48)

49)

Hace 2 días se cumplía que el anteayer del ayer de mañana era martes. ¿Qué día de la semana será, cuando a partir de hoy transcurran tantos días como los días que pasan desde el ayer de anteayer hasta el día de hoy? a) sábado b) lunes c) martes

d) jueves e) domingo

Problema Recreativo

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

Pipo y Nino son hermanos gemelos. Uno de los dos, pero no se sabe cuál, miente siempre, mientras que el otro siempre dice la verdad. Me acerco a uno de ellos y le pregunto:  ¿Nino es el que miente?  Sí, me responde.

44)

Un mes tiene cinco jueves, cinco viernes y cinco sábados. ¿Cuántos días tiene dicho mes? a) 28 b) 29 c) 30

45)

Si el día de ayer fuese como mañana, faltarían cuatro días para ser sábado. ¿Qué día fue ayer? a) sábado b) domingo c) viernes

8

d) 31 e) F.D.

d) lunes e) martes

I. Hablé con Nino. II. Hablé con Pipo. III.Pipo es el mentiroso. IV. Nino es el mentiroso. a) b) c) d) e)

I y II II y IV Sólo II Sólo IV II y III

Lógica Recreativa II (Parentesco - Situaciones Diversas) Objetivos

Resolución: Hagamos un gráfico. Hermanos

 Desarrollar tu imaginación e

Única hermana de mi padre (tía)

ingenio.  Potenciar la habilidad mental

e intelectual.

d    e   t  í    o   a   s  o   b  r   i    n  o  

de padre a hija

 Comprender las relaciones

de los componentes de la familia.

En este tema se presentan ejercicios referentesalas situacionesderelaciones familiares o parentesco, en los cuales los enunciados son de difícil comprensión, para lo cual nosotros haremos uso de nuestra habilidad mental para llevar a cabo el proceso lógico–deductivo que nos lleve a la solución de los ejercicios. Alumno, te sugerimos resolver los ejerciciosrealizandoenfoquesdiferentes al pensamiento convencional.

de madre a hijo

Hijo de Tía

Yo (Gisela)

Del cuadro, se deduce que mi padre es el tío del hijo de su hermana.

∴ Rpta.: Es mi padre. Ejemplo 2: ¿Qué parentesco tiene conmigo la comadre de la madrina del sobrino de mi única hermana? Resolución: Hagamos un gráfico. Esposos

Parentesco Aquíobservaremosenunciadosdedifícil comprensión, pues los resolveremos graficando los personajes de manera coherente.

Yo

Ejemplo 1: Mi nombre es Gisela. ¿Qué parentesco tiene conmigo el tío del hijo de la única hermana de mi padre?

9

Mi hijo

Relación de madrina a ahijado

Del cuadro se deduce que la persona buscada es mi esposa.

¿Existe otra forma para resolver este tipo de problemas? Pues si escribimos el texto para analizarlo, y empezamos del final del texto hacia el inicio del mismo. «La comadre de la madrina del sobrino de mi única hermana» Mi hijo

Otros regalos de Fermat

Mi comadre

Los viejos números primos

Mi esposa

∴ Rpta.: Esa persona es mi esposa.

Cantidad de integrantes de la familia Usualmente para este tipo de problemas se pide la cantidad mínima de personas que integran un grupo familiar, y para resolver esto, debemos relacionar la mayor cantidad posible de características a las personas para que su número sea mínimo.

Ejemplo 3: En un restaurante estaban cenando dos padres y dos hijos, ¿cuál es el menor número de personas que había en el restaurante? Resolución: Es decir que había dos padres. Hagamos lo posible para que a la vez sean dos hijos, así: (Abuelo)

Padres (Padre)

Hijos

∴ Rpta.: La respuesta sería 3.

10

Hay dos grandes familias de números primos: Unos son de la forma 4 n + 1: 5, 13, 17, 29, 37, 41... Los otros de la forma 4 n +3: 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43... Fermat descubrió que todos los de la primera familia se pueden escribir como la suma de dos cuadrados. Pero en cambio, ninguno de los de la segunda familia se puede descomponer en la suma de dos cuadrados. El pequeño teorema de Fermat: Si "a" es un número natural cualquiera, por ejemplo 9 y p un número primo que no es divisor de "a", por ejemplo 5; siempre se cumple que "p", en este caso 5, es divisor exacto de a p–1 –1, en nuestro caso 95 – 1 – 1. En efecto 94 – 1 = 6561 – 1 = 6560 que es divisible por: 5 6560 : 5 = 1312. Esta brillante joya numérica se conoce como el “pequeño teorema de Fermat”. Y, cómo no, fue demostrado por Euler cuando tenía 29 años. Su gran fallo. Los primos de Fermat. Fermat afirmó que todos los n números de la forma 22 + 1, son números primos. Euler se encargaría de demostrar que por una vez Fermat estaba equivocado. Si n=5.232 + 1 = 4294967297 = 641 x 6700417 no es primo. Pero aunque Fermat es el gran impulsor de los problemas relacionados con los números enteros, para encontrar el origen de estos problemas hay que retroceder en el tiempo hasta el nacimiento de la Aritmética y viajar al siglo VI antes de Cristo.

Ejemplo 6:

Situaciones Diversas En este tema nos encontraremos con situaciones ingeniosas que exigen raciocinios hábiles para dar respuestas ingeniosas.

¿Cuál es el menor número de rectas que deben trazarse para dividir la figura en 6 regiones?

Ejemplo 4: Josué tiene un libro de 200 hojas, y su hermanito Ángelo le arranca las páginas 12; 15; 20; 100; 121; 138; 140. ¿Cuántas hojas le quedan? Resolución: Pues obvio, si arrancó la página 15 por ejemplo, también se habrá arrancado la página 16. Sabes ¿por qué?

Resolución: Debentrazarsedos,talcomosemuestra a continuación:

Entonces se habrá arrancado en realidad las páginas: 11; 12

15 ; 16

19;20

99;100

121;122 137;138 139;140

1 hoja

1 hoja

1 hoja

1 hoja

1 hoja

1 hoja

1 hoja

∴ Rpta.: Quedan : 200 – 7 = 193 hojas

4

5

6 3

2 1

Ejemplo 5: Un automóvil recorre 8000 km permutando sus llantas (incluyendo la de repuesto). Para que todas tengan igual desgaste, ¿qué distancia recorre cada llanta? Resolución: Pues el automóvil lleva siempre 5 llantas (una de repuesto), de las cuales cuatro de ellas siempre están en movimiento. 8000 km

Como las 5 llantas se permutan, entonces cada llanta recorre:

4 x 8000 5

∴ Rpta.: 6400 km

11

= 6400 km

Losgriegosfueronlos inventores de la ciencia, sobre la base de los conocimientos heredados de Egipto y Oriente. Ellos consiguieron que el pensamientohumanoobtuviera el primer grado de abstracción matemática. Los pueblos antiguos calcularon áreas de triángulos pero los griegos generalizaron esos cálculos para cualquier triángulo. Se ocuparon de definir entes geométricos con conceptos puramente abstractos y de usar exclusivamente la lógica para obtener las conclusiones.

7)

Nivel I 1)

El hijo de la hermana de mi padre es mi: a) Sobrino b) Tío c) Primo

a) Hermano b) Tío c) Esposo

d) Nieto e) Abuelo 8)

2)

La tía del padre de la hermana de mi madre es mi: a) Madre b) Tía c) Abuela

d) Bisabuela e) Tiabisabuela

¿Quién es la suegra de la mujer de mi hermano? a) Mi tía b) Mi madre c) Mi hija

4)

El abuelo del hijo de mi hermano es mi: a) Sobrino b) Tío c) Padre

5)

d) Hijo e) Hermano

¿Qué parentesco tiene conmigo una persona que su madre fue la única hija de mi madre? a) Abuelo b) Hermano c) Tío

6)

d) Mi abuela e) Mi esposa

d) Madre e) Hija

¿Qué parentesco tiene conmigo una persona que su madre fue la única hija de mi madre? a)Mi hermana d) Mi cuñada b)Mi tía e) Mi sobrina c)Mi suegra

12

d) Padre e) Primo

La única hija del abuelo de mi padre es mi: a) Prima b) Abuela  c) Tía

9) 3)

¿Qué parentesco tengo con la madre del nieto de mi padre si soy hijo único?

d) Madre e) Tía abuela

¿Quién es el hombre que es el padre de la hija de la esposa del único vástago de mi madre? a) Mi hermano d) Mi abuelo b) Mi tío e) Yo c) Mi padre

10) ¿Qué representa para Miguel el único nieto del abuelo del padre de Miguel? a) Él mismo b) El nieto c) Su hijo

d) Su papá e) Su abuelo

11) La hermanadelhijodelahermana del hijo del hermano de mi padre es mi: a) Hija b) Madre c) Nieta

d) Sobrina e) Primo

12) El hermano de la hija del tío de mi padre es mi: a) Padre b) Abuelo  c) Tío

d) Tío abuelo e) Bisabuelo

13) ¿Qué parentesco tiene conmigo María si se sabe que su madre fue la única hija de mi madre? a) b) c) d) e)

Es mi tía Es mi hija Es mi hijastra Es mi sobrina Es mi esposa

14) ¿Qué parentesco tiene conmigo la hija de la esposa del único vástago de mi madre? a) Hermana b) Prima c) Sobrina

d) Hija e) Nieta

15) Juan es el abuelo del hijo de mi hijo. ¿Quién es el hijo de Juan? a) Yo d) Mi hijo b) Mi nieto e) Mi sobrino c) Mi hermano

Nivel II 16) ¿Qué parentesco me une a Pedro si mi papá es cuñado de su papá? a) b) c) d) e)

Es mi sobrino Soy su tío Somos hermanos Somos primos No somos parientes

17) ¿Qué parentesco tiene conmigo la hija de la esposa del único vástago de mi hija? a) Hija b) Nieta c) Sobrina

d) Nuera e) Bisnieta

18) ¿Qué parentesco tiene Juan con la hija de la esposa del único vástago de su madre? a) Tío b) Sobrino c) Esposo

d) Hijo e) Cuñado

19) ¿Qué parentesco tengo con la madre del nieto de mi padre si soy hijo único? a) b) c) d) e)

Soy su hijo Soy su hermano Soy su esposo Soy su sobrino Soy su nieto

20) ¿Qué parentesco tiene conmigo el hijo de la esposa del único vástago de mi abuela? a) b) c) d) e)

Mi hijo Mi hermano Yo mismo Mi padre Puede ser b o c

21) Si el hijo de Hugo es el padre de mi hijo, ¿qué parentesco tengo yo con Hugo? a) b) c) d) e)

Soy su hermano Soy su padre Soy su hijo Soy su nieto Soy su compadre

22) ¿Qué parentesco tiene conmigo un joven que es el hijo de la esposa del único vástago de mi abuela? a) Padre b) Hermano  c) Tío

d) Hijo e) Primo

23) Pepe le dice a su papá que la hermana de su tío no es su tía, su papá le responde: «Tienes razón». ¿Quién es entonces la hermana de su tío que no es su tía? a) Su tía d) Su amiga b) Su madre e) Su prima c) Su hermana

13

24) ¿Qué parentesco tiene conmigo una mujer que es la hija de la esposa del único vástago de mi madre? a) Madre b) Hija c) Suegra

d) Sobrina e) Nieta

25) ¿Qué parentesco tiene conmigo una mujer que es la hija de la esposa del único vástago de mi madre? a)Mi sobrina d) Mi hija b)Mi hermana e) Mi nieta c)Mi tía 26) Horacio es cuñado de Miguel, Miguel es cuñado de Elena y Elena es hermana de la esposa de Miguel. ¿Qué parentesco hay entre Horacio y Elena? a) Cuñados d) Esposos b) Hermanos e) Primos  c) Concuñados 27) Yotengounhermanoúnicamente. ¿Quién es el otro hijo del padre del tío del hijo de la mujer del hijo de mi padre que, a pesar de todo, no es mi hermano? a)Mi hermana d) Mi sobrino b)Mi hijo e) Soy yo c)Mi padre 28) En una fábrica trabajan 3 padres y 3 hijos. ¿De cuántas personas como mínimo estamos hablando? a) 6 b) 5 c) 4

d) 3 e) 2

29) En una reunión se encuentran 2 padres, 2 hijos y 1 nieto. ¿Cuántaspersonascomomínimo hay en la reunión? a) 3 b) 2 c) 4

d) 5 e) 6

30) Se escucha el siguiente diálogo entre dos personas que miraban un retrato. Natalia: Mamá, ¿quién es ese hombre? Mamá: La madre de ese hombre, que no es mi tío, era la suegra de mi madre. ¿Qué parentesco había entre Natalia y el retratado? a)Su hermano d) Su abuelo b)Su padre e) Su esposo c) Su tío 31) ¿Cuál es el menor número de patas que debe tener una mesa para tener estabilidad? a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

32) A un cerezo subí, donde cerezas habían; cerezas no comí ni cerezas dejé. ¿Cuántas cerezas no dejé? a) 1 b) 0 c) 2

d) 3 e) 4

33) Un libro tiene 320 hojas. Si se arrancan las páginas de numeración impar, ¿cuántas páginas quedan en el libro? a) 0 b) 160 c) 161

d) 80 e) 320

34) En un circo romano salieron a luchar a muerte 12 parejas de gladiadores. Al final de la lucha, el emperador ordenó matar a tantos gladiadores como gladiadores muertos en la lucha. ¿Cuántos gladiadores murieron en total? a) 4 b) 6 c) 12

d) 24 e) 11

35) A una reunión asistieron un esposo, su esposa, tres hermanos y su invitada. Indica la cantidad mínima de personas que integran la reunión. a) 7 b) 6 c) 5

d) 4 e) 8

a) Sobrino b) Primo  c) Tío

36) En una reunión familiar se encuentran 3 hermanos, 3 padres, 3 tíos, 3 sobrinos y 3 primos. ¿Cuál es el número mínimo de personas reunidas? a) 15 b) 12 c) 10

d) 6 e) 8

37) Mi tía Julia es la hermana de mi madre. Martha es la hermana de mi tía, pero no es mi tía. ¿Qué parentesco existe entre mi hermano Eduardo y Martha? a) Sobrino – tía b) Hijo – madre c) Primo – prima d) Hermano – hermana e) Primo – prima

38) El señor Popis invitó a cenar al tío de su esposa, al cuñado de su padre, al suegro de su hermano, al hermano de su suegro y al padre de su cuñada. ¿Cuántos invitados tuvo como mínimo? a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

39) La única comadre de la madrina del papá de Mario, quien es el hijo del único primo de mi único sobrino, ¿qué viene a ser del papá del padre de mi nieto? a) Madre b) Esposa c) Comadre

14

40) El hermano del hijo de Juan tiene un amigo tocayo del padre del hermano suyo. Siendo su amigo tocayo hijo de Paco hermano político de Juan (cuñado), ¿qué parentesco tiene dicho amigo con Juan?

d) Nieta e) Sobrina

d) Hermano e) Hijo

41) En un avión viajan dos papás, dos mamás, tres hijos, un abuelo, una abuela, un tío, un sobrino, dos hermanos, un nieto, una suegra, un suegro, una nuera y un cuñado. ¿Cuántas personas como mínimo viajan en dicho avión? a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

42) «Creoconocerla» dijoel caballero a la dama, «Quizá» respondió ella... «Su madre fue la mujer de mi vida». ¿Qué parentesco tiene el caballero y la dama? a) b) c) d) e)

Abuela – nieto Tío – sobrina Hermano – hermano Madre – hija Padre – hija

43) El hermano de Carla tiene un hermano más que hermanas. ¿Cuántos hermanos más que hermanas tiene Carla? a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

44) Si John es nieto del papá de Jaime y no es hermano de Jaime, ¿qué parentesco existe entre Jaime y John? a) Padre - hijo b) Hijo - padre c) Primos d) Sobrino - nieto e) Nieto - tío

45) Distribuye los números del 1 al 9 en los círculos del triángulo, de tal manera que cada lado sume 20. Indica como respuesta el menor producto de los números que ocupan los vértices. a) b) c) d) e)

80 45 38 76 120

46) Un comerciante debe escoger dos monedas de las tres que le presentan. ¿Cuál de ellas le es conveniente no escoger? IV años a.C. I a) b) c) d) e)

IV años d.C. II

1821 III

III II I Cualquiera de ellas Falta información

47) Si subes tres veces por un ascensor, ¿cuántas veces debes bajarte? a) 3 b) 4 c) 2

d) 5 e) Falta datos

48) Un juego consisteen trasladar los discosdemaderadelprimerejeal tercero. ¿Cuántos movimientos como mínimo, se deberán realizar para lograrlo, sabiendo que un disco grande no puede situarse sobre uno pequeño? a) b) c) d) e)

18 14 15 16 17

49) Se observa un ángulo con una lupa de triple aumento y se ve que tiene 30°. A simple vista la magnitud del ángulo será de: a) 3° b) 10° c) 30°

d) 13° e) 90°

Habilidad Operativa Iniciaremos el curso mediante el estudio de métodos que nos permiten ahorrar tiempo en los cálculos. Presentaremos algunos casos sobre el desarrollo abreviado de ciertas operaciones básicas. El dominio de los métodos o mecanismos que planteamos sólo requieren de práctica y habilidad.

Multiplicación Abreviada 1. MULTIPLICACIÓN POR 5 Deduzcamos el procedimiento. 1) 213 x 5 = ? 10 2130 213 x 2 = 2 = 1065 2) 325 x 5 = ? 325 x

3250 10 = 2 = 1625 2

Regla Práctica Para multiplicar por 5 se le agrega al número un cero a la derecha y el resultado se divide entre 2.

Los huesos de Napier ¿Tienes algún problema en multiplicar números grandes? ¿No puedes recordar las tablas? ¿Has perdido la calculadora? ¡SOCORRO! John Napier inventó un sistema de multiplicación en el siglo XVII. Fue conocido como“loshuesosdeNapier”,¡porque los números originales estaban tallados en huesos! Ésteeselhuesoparaelnúmero 6. Los dos números en cada fila tienen una línea inclinada que los separa. Los números de la izquierda son decenas y los de la derecha unidades. Así por ejemplo, la primera fila no tiene decenas y sí 6 unidades, por lo tanto es 6. El segundo tiene 1 decena y 2 unidades,locualhace12,yasí sucesivamente.Cadafilatiene 6 más que la anterior.

1 2

6

6

1

0

2

2

2

8

3

1 1 2

4 0

6 8

4

4

3 3

0 6

5 6

3 3

4

2

7

4

2

8

4

9

5

8 4

4 5

8 4

Pero, ¿qué ocurre si quieres multiplicar 64 x 4? Primero, haz una nueva tira y llénala con números para 4. Colócala a continuación de la tira del 6 para hacer 64. Alíneala con la tira x (veces) fig. 2

6 0

6

4

X

6 0 2 0

4

1

8

2

8 1 4 1

2

3

6

4

0 2 6 2

0

5

4

6

8

7

4

2 2 8 3

2

8

5

4 3

6

9

1 1 2

Ahora escribe los números de las filas que se alinean con el número 4 de la tira x (veces), como indica la flecha de líneas punteadas, (el aspecto será el de la figura de la derecha). Ahoraescribelosnúmerosdebajo,sumandolos números unidos por la raya inclinada.

3 3 4

Fig. 2

6

4

Ejemplos: 2

5

1. 832 x 5 = ........................

15

1

X

¡Es fácil!

1

3. 92 432 x 5 = .......................

0

Fig. 1

2

2. 4 783 x 5 = .......................

6

Utilizando una hoja de papel cuadriculado,dibuja y corta 2 tiras. Haz que una de ellas sea la fila x (veces), la otra será la tira 6. Para saber cuánto es 3 x 6, encuentra el 3 en la tira x (veces) y mira la fila correspondienteenla tira del 6. ¡Ésa es la respuesta 18!

La respuesta es 256

Intenta multiplicar 64 x 8 3

4

8

4

11

2

6 2

5 1 2 La respuesta es 512

La columna del centrosumaahora más de 10, así se traslada el 1 a la siguientecolumna de la izquierda.

2. MULTIPLICACIÓN POR 11 Veamos el procedimiento:

1)

27 x 11 27 27 297

27 x 11 = ? +

+ 0 ↓ 2

2 ↓ 9

7 ↓ 7

3874 x 11 = ? + + + +

Para multiplicar por 15, sólo se le agrega su mitad y a este resultado se le multiplica por diez.

1. 82 x 15 = ............................ 2. 341 x 15 = ............................ 3. 924 x 15 = ............................

↓ 27 x 11 = 297

2)

Regla Práctica

4. MULTIPLICACIÓN POR 25  3 874 x 11  3 874 3 874 42 614

0 3 8 7 4 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 4 2 6 1 4 ↓ 3874 x 11 = 42614

Deduzcamos el procedimiento: 1) 42 x 25 = ? 42 x

4200 100 = 4 = 1050 4

2) 84053 x 99999 = ? Se agregan 5 ceros (son 5 nueves) 8405300000 –   84053 8405215947

Regla Práctica Para multiplicar por cifras 9, se coloca a la derecha del número tantos ceros como“nueves”tenga el otro número y en seguida al número obtenido se le resta el número original. Ejemplos: 1. 27 x 9999 = ............................ 2. 563 x 999 = ............................ 3. 1258 x 999999 = ....................

2) 174 x 25 = ? 17400 174 x 100 = = 4350 4 4

Regla Práctica Para multiplicar por 11, la última cifra se repite, las siguientes cifras del resultado se obtienen sumando de derecha a izquierda sucesivamente, hasta llegar a la primeracifra,quetambiénsedebe sumar con la cifra cero.

Regla Práctica Para multiplicar por 25, al número se le agrega dos ceros a su derecha y el resultado se divide entre 4. Ejemplos:

Ejemplos:

En la América Precolombina, los incas practicaron la suma mediante un método sencillo y original; unían trozos de cuerdas de varios colores por medio de nudos. Cada uno de éstos era un número y el conjunto se llamaba “quipu”.

1. 429 x 25 = ............................

1. 87 x 11

= ............................

2. 926 x 25 = ............................

2. 456 x 11

= ............................

3. 2562 x 25 = ............................

3. 37591 x 11 = ............................

3. MULTIPLICACIÓN POR 15

5. MULTIPLICACIÓN POR 9, 99, 999, 9999, ...

Veamos el procedimiento:

Deduzcamos el procedimiento:

1) 24 x 15 = ? 24 x 15 = (24+12) x 10 = 360

1) 3265 x 999 = ? Se agregan 3 ceros (son 3 nueves)

2) 43 x 15 = ? 43 x 15 = (43+21,5) x 10=645

16

3265000 –   3265 3261735

Aquí vemos un “quipu” representado por Felipe Huamán Poma de Ayala, entre 1583 y 1613, en un manuscrito.

6. M U L T I P L I C A C I Ó N D E 2 NÚMEROS DE 2 CIFRAS CADA UNO Veamos el procedimiento: 1)

31 x 12 = ? 6

2)

31 12 372 6+1

54 36 1944

15 =x

1. CUADRADO DE UN NÚMERO DE 2 CIFRAS

Deduzcamos el procedimiento: 1)

(15)2 = 225 x2

1) (14)2 = ? (14)2 = (14 + 4) (14 – 4) + 42   (14)2 = (18) (10) + 16   (14)2 = 196

x

54 x 36 = ? 30

2. CUADRADO DE UN NÚMERO QUE TERMINA EN 5

Veamos el procedimiento: 1

x

Cálculo de números al cuadrado

2)

x 19

Regla Práctica

2) (56)2 = ? (56)2 = (56 + 6) (56 – 6) + 62 (56)2 = (62) (50) + 36   (56)2 = 3136

12 x=24

30 + 12 + 2 = 4 4 15 + 4 = 19

(185)2 = 34225

(N5)2 = .............25 (N5) x(N + 1)

Ejemplos:

Regla Práctica (ab)2 = (ab + b) (ab - b) + b2

1. (85)2 = ............................ 2. (235)2 = ............................

Ejemplos:

Regla Práctica ab x cd

x

ab cd

3. (545)2 = ............................

1. (52)2 = ............................ x

3° 2° 1°

1° Producto de las cifras de las unidades (b x d).

2. (93)2 = ............................ 3. (35)2  = ............................

Recuerda + (Número) = (Número) (Número ) Impar Impar Par

2° Suma de los productos en aspa. (a x d) + (c x b)

Ejemplo: 5

3° Producto de las cifras de las decenas (a x c).

II.

I.

III. 1. 25 x 48 = ............................ 2. 57 x 34 = ............................ 3. 87 x 65 = ............................

7

+

7

=

10

x

4

=

12

x Número = Número ( Número Impar ) ( Impar ) ( Impar )

Ejemplo: 7

17

=

x (Número) = (Número) (Número ) Par Impar Par

Ejemplo: 3 IV.

2

+ Número = Número (Número Impar ) ( Impar ) ( Par )

Ejemplo: 3 Ejemplos:

+

x

9

=

63

5)

Nivel I 1)

En una librería cada cuaderno tamaño oficio cuesta S/. 5. Si en marzo por campaña escolar venden 9518 cuadernos, ¿a cuánto ascendieron los ingresos por la venta de estos cuadernos? a) S/. 47 47 580 580 b) S/. 47 560 c) S/. 46 590 d) S/. 47 490 e) S/. 47 47 590 590

2)

Unambulantevendelentesa S/.15 c/u. Si en todo el verano vendió 789 lentes, ¿cuánto recibió por la venta de todos los lentes? a) b) c) d) e)

a) b) c) d) e) 6)

4)

a) S/. 84 765 b) S/. 82 775 c) S/. 84 775 d) S/. 87 765 e) S/. 83 765

18

d) 11 e) 12

Resuelve: N = 652 + 57 x 11 d) 4 856 e) 3 852

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

12)   (57)2 = 3ab9 12) 7)   Resuelve: 7) R = 352 + 38 x 11 + 21 x 34 a) 2 350 b) 2 357 c) 2 380

Un confeccio confeccionista nista tiene 893 chompas, va a Gamarra y las vende todas a S/. 25 c/u. ¿Cuánto recibe por esta venta?

La entrada a un parque de diversiones cuesta S/.11. Si en el mes de marzo ingresaron 7615 personas, ¿a cuánto ascendió la recaudación por la venta de entradas?

10) 11 x 37 = a0b a) 8 b) 9 c) 10

S/. 66 398 S/. 66 768 S/. 65 698 S/. 66 378 S/. 63 378

a) 3 845 b) 4 830 c) 4 852

S/. 10 815 S/. 11 235 S/. 10 985 S/. 11 835 S/. 11 735

a) S/. 22 22 315 315 b) S/. 21 325 c) S/. 22 305 d) S/. 21 335 e) S/. 22 325

En cada caso, determina «a + b».

11) 29 x 49 = ab2a

8) 3)

Si una caja de leche cuesta S/. 111, ¿cuánto costará 598 cajas de leche?

d) 27 e) 29

Halla con rapidez el valor de «a +b + c», si: 4 321 x 11 = 4abc1 a) 12 b) 18 c) 10

d) 6 e) 9

13)   (57)2 = 3ab9 13)

Calcula la suma de cifras del resultado de efectuar: P = (1234567) 2 – (1234556) 2 a) 20 b) 26 c) 28

9)

d) 4 250 e) 3 251

a) 2 b) 3 c) 5

d) 15 e) 8

a) 2 b) 3 c) 5

d) 6 e) 9

14)   (3a)2 = 13b9 14) a) 8 b) 10 c) 12

d) 11 e) 13

15) Halla «A x B», si: 11 x A = 231 11 x B = 165 a) 189 b) 315 c) 400

d) 185 e) 320

Nivel II 16) Halla «a + b + c», si: 132 x 99 = a30bc a) 11 b) 12 c) 13

d) 14 e) 15

17) Halla «a + b + c», si: 43 x 11 = abc a) 14 b) 15 c) 16

d) 17 e) 18

18) Halla las tres últimas cifras de «n» si: n . 18 = ... 8428 ... (1) n . 28 = ... 0888 ... (2) a) 182 b) 828 c) 246

d) 426 e) 642

19) Halla la suma de cifras de «N», luego de efectuar: N = 172 x 999 a) 23 b) 25 c) 27

d) 29 e) 30

20) Halla la suma de cifras de «N», luego de efectuar: N = 32 x 27 + 41 x 12 + 13 x 61 a) 14 b) 15 c) 16

d) 17 e) 18

21) Resuelve y halla «P + Q», si: P = 232 + 23 x 11 Q = 352 – 71 x 11 a) 682 b) 782 c) 681

d) 581 e) 785

22) En una tienda hay 588 DVD. Si todos los DVD se venden a S/. 5 c/u, ¿a cuánto ascendería el monto de la venta? a) S/. 2 930 b) S/. 2 830 c) S/. 2 840

19

d) S/. 2 920 e) S/. 2 940

23) En el verano un ambulante vende polos a S/. 15 c/u. Si en todo el verano vendió 893 polos, ¿cuánto recibió por la venta de todos los polos? a) S/. 12 395 b) S/. 14 395 c) S/. S/ . 13 395

d) S/. 11 485 e) S/. 13 385

24) En una academia cobran por matrícula S/. 11. Si en la academiahay783estudiantes,¿a cuánto ascenderán los ingresos por este rubro? a) S/. 8 703 b) S/. 8 913 c) S/. 8 603

d) S/. 8 613 e) S/. 8 713

a) 7 b) 5 c) 3

d) 1 e) 4

Nivel III 30) Si 43 x 24 = abcd, halla «a + b + c – d». a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

En cada caso, determina «a + b», si: 31) 23 x 11 = 2ba .

25) En una tienda cada mochila «Heavy» cuesta S/. 111. Si por campaña escolar se vende 289 mochilas, ¿cuánto se recibe por esta venta? a) S/. 32 079 b) S/. 33 169 c) S/. 32 169

29) Si 548 x 99 = ...xy, calcula «x – y».

d) S/. 33 069 e) S/. 33 169

26) La entrada para ver el partido de profesores San Miguel vs Magdalena cuesta S/. 25. Si asistieron 489 personas, ¿a cuánto ascendieron los ingresos por la venta de entradas? a) S/. 11 485 d) S/. 11 725 b) S/. 12 725 e) S/. 12 225 c) S/. 13 225

a) 6 b) 7 c) 8

d) 9 e) 10

32)   (3a)2 = 12b6 . 32) a) 10 b) 12 c) 13

d) 14 e) 15

33)   (25)2 = ab5 . 33) a) b) 9 c) 10

d) 7 e) 5

34) En qué cifra termina el resultado de: E = 2 x 4 x 6 x .... ; (n ≥ 5) «n» factores

27) Si MESA x 9999 = ... 2568, halla «M + E + S + A». a) 12 b) 14 c) 16

d) 17 e) 19

28) Si 24 x 3 . 5 = 12 015, calcula el valor de «x». a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 5

a) 2 b) 3 c) 4

d) 0 e) Faltan datos

35) ¿Cuál es el resultado de la expresión «C»? C = (x–a)(x – b)(x – c) ... (x – z) a) x b) a c) 1

d) 0 e) Faltan datos

36) Un comerciante vende cada kilo de arroz a S/. 5. Si en un día vende 2983 kg, ¿cuánto recibe por la venta de todo el arroz? a) S/. 14 935 b) S/. 14 815 c) S/. 14 835

41) Calcula la suma de cifras de «N», luego de efectuar: N =11 x 101 x 10001 x 100000001 a) 10 b) 8 c) 12

d) S/. 14 915 e) S/. 14 925

d) 16 e) 32

42) Si 111 x 11 = abba, halla «b/a». 37) En una tienda de Gamarra se vende pantalones de buzo a S/. 15 c/u. Si en un mes vendieron 815pantalonesdebuzo,¿cuánto recibieron por la venta de todos los buzos? a) S/. 11 325 b) S/. 14 125 c) S/. 11 235

d) S/. 12 225 e) S/. 12 325

38) En una fiesta la entrada cuesta S/. 25 por persona. Si ese día asistieron 874 personas, ¿a cuánto ascendieron los ingresos por la venta de entradas? a) S/. 21 850 b) S/. 20 850 c) S/. 22 840

43) 17 x 11 = ab7 . a) 5 b) 6 c) 7

a) 5 b) 7 c) 9

d) 10 e) 12

45)  (7a)2 = 53b9 . a) 3 b) 5 c) 7

d) S/. 94 903 e) S/. 96 903

d) 8 e) 9

46)  (5a)2 = b025 . a) 4 b) 5 c) 6

d) S/. 98 373 e) S/. 97 663

40) Un carpintero por fabricar una carpeta cobra S/. 111. Si en un mes fabrica 873 carpetas, ¿cuánto recibe por la fabricación de todas las carpetas?

d) 7 e) 8

606 5 Halla el valor de «x», haciendo uso de los criterios aprendidos. x2x,2 =

a) 2 b) 1 c) 3

d) 4 e) 5

48) Calcula el valor de «a2» si (1 x 3 x 5 x 7 x ...) = ...a a) 1 b) 4 c) 9

20

d) 8 e) 9

44)  (3a)2 = 11b6 .

47)

a) S/. 97 913 b) S/. 99 913 c) S/. 95 903

d) 4 e) 1/4

Halla «a + b», sabiendo que:

d) S/. 22 810 e) S/. 22 150

39) La entrada a una piscina cuesta S/.11 por persona. Si en todo el verano ingresaron 8943 personas, ¿a cuánto ascendieron los ingresos por este rubro? a) S/. 97 173 b) S/. 98 313 c) S/. 97 363

a) 1 b) 2 c) 1/2

d) 25 e) 16

49) Si LUZ x 1001 = ...374, halla «L + U + Z». a) 12 b) 13 c) 14

d) 15 e) 16

50) Halla la suma de cifras del resultado en «A». A = 777777 x 99999999 a) 70 b) 71 c) 72

d) 60 e) 80

El último teorema, pero no el único Los números amigos, un problema con 2000 años . Los pitagóricos ya habían observado una rara relación entre los números 220 y 284. Los divisores de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110. Los de 284 son 1, 2, 4, 71 y 142. En apariencia no tiene mucho parecido, salvo por este curioso hecho: Si sumamos todos los divisores de 220, tenemos: 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284. Si sumamos los de 284: 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220 La suma de los divisores de un número nos da el otro. Durante muchos siglos estos dos números fueron los únicos amigos. Pero llegó Fermat. Con suma paciencia y una admirable visión numérica, tras más de dos mil años, Fermat va a descubrir la segunda pareja de números amigos. Unos amigos mucho más complicados que 220 y 284. Se trata de estos dos números: 17296 y 18416. Descubreademásunareglageneral (conocida por ibn Qurra): “Si q = 3·2p–1–1; r = 3·2p – 1; s = 9·2 2p–1 –1 son números primos, entonces n = 2 p·q·r y m = 2 p·s son números amigos”.

Repaso 6)

Nivel I 1)

¿Qué parentesco tiene conmigo el hijo de la esposa del único vástago de mi abuela?

a) b) c) d) e)

a) mi hijo b) mi hermano c) yo mismo d) mi padre e) puede ser b o c 2)

El hijo de la hermana de mi padre es mi: a) sobrino b) tío c) primo

3)

4)

d) 3 e) 12

8)

d) 6 e) 5

1 2 3 4 5

8 7 6 5 4

9)

d) D e) A y D

Si hoy es miércoles, ¿qué día será el mañana de anteayer? a) lunes b) martes c) miércoles

a) viernes b) lunes c) sábado

d) miércoles e) jueves

a) jueves b) viernes c) sábado

d) domingo e) lunes

12) Cuatro personas A, B, C y D, viven en un edificio de 4 pisos, cada una en un piso diferente. Si se sabe que C vive en un piso más arriba que A; B vive más arriba que D y C vive más abajo que D, ¿en qué piso vive C?

La ciudad «A» tiene más habitantes que la ciudad «B». La ciudad «B» tiene menos habitantes que la ciudad «C», pero más que la ciudad «D». Si «A» tiene menos habitantes que «C», ¿qué ciudad tiene más habitantes? a) A b) B c) C

10) El ayer de mañana es jueves, ¿qué día será el ayer de pasado mañana?

11) Si anteayer fue viernes, ¿qué día es hoy?

¿Cuántos palitos deben retirarse, como mínimo, para obtener una figura formada por 5 cuadraditos iguales? a) b) c) d) e)

d) 3 e) 12

Hay 2 pares de niños entre 2 niños; un niño delante de 5 niños y uno detrás de 5 niños. ¿Cuántos niños hay? a) 18 b) 12 c) 14

21

d) nieto e) abuelo

¿Cuántas veces en un día, un reloj que está detenido, marcará la hora exacta? a) 0 b) 1 c) 2

5)

7)

En una fábrica trabajan 3 padres y 3 hijos. ¿De cuántas personas como mínimo estamos hablando? a) 6 b) 5 c) 4

En el siguiente gráfico, ¿cuál es el menor número de cerillos que se deben cambiar de lugar para obtener una igualdad correcta?

d) jueves e) viernes

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) F.D.

13) Manuel es mayor que Carlos, Oscar es mayor que Pedro y éste es mayor que Carlos. Si Manuel y Oscar tienen la misma edad, diga cuáles son verdaderas: I. Oscar es mayor que Carlos. II. Carlos es mayor que Oscar. III. Manuel es mayor que Pedro. a) I b) II c) III

d) I y III e) II y III

14) Pablo y Pedro poseen la misma cantidad de dinero, pero Pablo tiene más que Pilar y Pilar más que Mónica. Juan tiene más que Mónica pero menos que Pablo y no tiene tanto como Pilar. Yo tengo más que Pedro. Ordena adecuadamente e indica el que tiene la menor cantidad. a) Pablo b) Pedro c) Pilar

d) Mónica e) Juan

15) Enunacompetenciadeatletismo entre 5 alumnas, Brenda quedó en el primer puesto, Sonia quedó en un puesto entre Andrea y Pamela. Si Daniela quedó después que Sonia, pero antes que Andrea; ¿quién quedó en el tercer puesto? a) Brenda b) Andrea c) Daniela

d) Sonia e) Pamela

Nivel II 16) Seis amigos se ubican alrededor de una fogata, Tito no está sentado al lado de Nicanor, ni de Pablo, Fernando no está al lado de Ricardo ni de Pablo. Nicanor no está al lado de Ricardo ni de Fernando. Darío está junto a Nicanor, a su derecha. ¿Quién está sentado a la izquierda de Fernando? a) Tito b) Nicanor c) Ricardo

d) Pablo e) Darío

17) Seis amigos P, Q, R, S, T y U, se sientan alrededor de una mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente. Si se sabe que P se sienta junto y a la derecha de Q y frente a R, S no se sienta junto a Q y T no se sienta junto a R, ¿dónde se sienta U? a) Entre R y T b) Frente a S c) Entre Q y R

22

d) Frente a Q e) Frente a P

18) Alicia, Carmen, Franci y Edith tienen diferentes profesiones: periodista, médica, kinesióloga y matemática, y viven en las ciudades X, Y, Z y W. Se sabe que:  Franci no vive en Z ni en Y.  La médica vive en X.  Alicia vive en W.  Edith es kinesióloga.  La periodista nunca ha emigrado de Z. ¿Qué profesión tiene Alicia? a) Abogada b) Médica  c) Periodista

d) Kinesióloga e) Matemática

19) Tres personas X, Y y Z disponen de A, B y C libros, aunque no necesariamente en ese orden. Además se conoce que:  Y le dice a la que tiene B que la otra tiene A libros.  Z le dice a la que tiene A que tiene sed. Se pregunta: ¿quién tiene A libros? a) X b) Y c) Z

d) X o Z e) Y o Z

20) Raúl, Carlos, Pedro y Bruno tienen diferentes profesiones: ingeniero, profesor, abogado y médico, pero ninguno en ese orden. Y se sabe que:  Carlos, el abogado y el médico  juegan fútbol.  Raúl, el médico y el abogado  juegan ajedrez. ¿Qué profesión tiene Pedro? a) Ingeniero b) Médico c) Abogado

d) Profesor e) Contador

21) Mueve «x» cerillas y transforma el hacha en 3 triángulos iguales. Calcula el mínimo valor de «x». a) b) c) d) e)

1 2 3 4 5

22) Cambia la posición de «x» cerillas, de tal modo que resulten tres cuadrados y sin dejar cabos sueltos («x» es la menor cantidad par de cerillas) a) b) c) d) e)

9 7 5 3 1

23) Si el lunes es el martes del miércoles, y el jueves es el viernes del sábado, ¿qué día será el domingo del lunes? a) jueves b) viernes c) sábado

d) domingo e) notienesentido

24) Si el día de ayer fuese como mañana, faltarían cuatro días para ser sábado. ¿Qué día fue ayer? a) sábado b) domingo c) viernes

d) lunes e) martes

25) Tuliodice: «Que linda es la suegra de la mujer de mi hermano». ¿A quién se refiere? a) A su esposa d) A su abuela b) A su suegra e) A su tía c) A su madre 26)  Y o t e n g o u n h e r m a n o únicamente. ¿Quién es el otro hijo del padre del tío del hijo de la mujer del hijo de mi padre que, a pesar de todo, no es mi hermano? a) Mi hermana d) Mi sobrino b) Mi hijo e) Soy yo c) Mi padre

27) Un libro tiene 320 hojas. Si se arrancan las páginas de numeración impar, ¿cuántas páginas quedan en el libro? a) 0 b) 160 c) 161

d) 80 e) 319

28) La ciudad «X» está al noreste de la ciudad «Y». La ciudad «Z» está al noreste de la ciudad «Y»; luego: a) «X» queda más cerca de «Z» que de «Y». b) «X» queda al sureste de «Z». c) «Y» queda al suroeste de «X» d) «X» queda cerca de «Y». e) «X» está al noreste de «Z». 29) En una casa de cuatro pisos, en cada piso vive una familia; la familia Castillo vive un piso más arriba que la familia Muñoz. La familia Fernández habita más arriba que la familia Díaz y la familia Castillo más abajo que la familia Díaz. ¿En qué piso viven los Castillo? a) b) c) d) e)

En el primer piso. En el segundo piso. En el tercer piso. En el cuarto piso. No se puede saber.

30) María es más vieja que Juana, Ana es más joven que Juana pero más vieja que Isabel e Isabel es más joven que Esperanza. ¿Quién es la más joven? a) María d) Isabel b) Esperanza e) Ana c) Juana

Nivel

31) Seis productos A, B, C, D, E y F son distribuidos en una vitrina con 6 compartimientos, (uno en cada uno), numerados del 1 al 6 de izquierda a derecha. Sabiendo que: A no puede estar junto a B. C debe estar junto y a la izquierda de D. F no puede estar en el compartimiento 6. Si A está en el compartimiento 5, ¿cuál de los siguientes productos debe estar en el compartimiento 6? a) B b) C c) D

d) E e) F

32) Seis amigos «A», «B», «C», «D», «E» y «F», se sientan alrededor de unamesacircularconseisasientos distribuidos simétricamente y si se sabe que:  «A» se sienta junto y a la derecha de «B» y frente a «C».  «D» no se sienta junto a «B».  «E» no se sienta junto a «C». ¿Dónde se sienta «F»? a) Entre «C» y «E» b) Frente a «D» c) Entre «B» y «C» d) Frente a «B» e) Ninguna anterior 33) Aníbal invita a cenar a sus amigos: Betty, Celinda, Daniel, Eduardo y Felipe, pero este último, por razones de fuerza mayor, no pudo asistir. Se sientan alrededor de una misma mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente y de la siguiente manera:  Aníbal se sienta junto a Eduardo y Daniel.  Frente a Eduardo se sienta Betty.  Junto a un hombre no se encuentra el asiento vacío. ¿Entre quiénes se sienta Eduardo? a) b) c) d) e)

23

III

Aníbal y Celinda Betty y Celinda Eduardo y Felipe Felipe y Betty Aníbal y Betty

34) Francisco, Andrés y Celso estudiaron en la universidad. Uno estudió Ingeniería de Sistemas, otro Medicina y el otro Derecho. Cada uno de ellos tiene un hijo que cuando ingrese a la universidad decide no seguir la carrera de su padre sino a dedicarse a estudiar la carrera de uno de los amigos de su padre. Sabiendo que el abogado se llama Francisco y que el hijo de Andrés quiere ser médico, ¿qué profesión tiene Andrés y a qué quiere dedicarse el hijo de Celso? a) b) c) d) e)

Médico – abogado Ambos médicos Ing. Sistemas – abogado Abogado – Ing. Sistemas Médico – Ing. Sistemas

35) LosprofesoresGómez,Hernández y Santos enseñan Matemática, Razonamiento Matemático y Física, no necesariamente en ese orden.  El profesor de Física, que es el mejor amigo de Hernández, es el menor.  ElprofesorSantosesmayorque el profesor de Razonamiento Matemático. Indica las proposiciones correctas: I. Sa ntos es menor que el profesor de Matemática. II. Gómez es el profesor de Física. III. Hernández no es profesor de Razonamiento Matemático. a) Sólo II b) Sólo I c) Sólo III

d) Sólo I y II e) Sólo II y III

36) Mueve «x» cerillas para obtener 5 cuadrados iguales. Calcula «x». a) b) c) d) e)

1 2 3 4 5

37) Se tienen «2 copas». Se pide cambiar de posición «x» cerillas para que resulte «una casa». Calcula x. («x» es la menor cantidad de cerillas). a) b) c) d) e)

4 5 3 6 7

38) Si anteayer Jaimito tuvo un año y el próximo año cumplirá 4 años, ¿en qué fecha nació Jaimito? a) b) c) d) e)

2 de enero 1 de enero 29 de diciembre 30 de diciembre 31 de diciembre

39) Ayer tenía 20 años, el próximo año tendré 21 años. Si el día de mañana cumplo años, ¿qué fecha será? a) b) c) d) e)

1 de enero 31 de diciembre 2 de enero 30 de diciembre 29 de diciembre

40) Pedro se jactaba de tratar muy bien a la suegra de la mujer de su hermano. ¿Por qué? a) Es su hermana b) Es su hija c) Es su tío d) Es su mamá e) Es su abuela 41) Una familia está compuesta por: 4 hermanos, 4 tíos, 2 padres, 2 madres, 3 sobrinos, 2 sobrinas y 5 primos. ¿Cuál es el mínimo número de personas que la conforman? a) 22 b) 15 c) 12

d) 11 e) 13

42) El señor Lazo tiene dos hijos únicamente, éstos a su vez son padres de Juan y Marco, respectivamente. ¿Quién es el único sobrino del padre del primo hermano del hijo del padre de Marco? a) Juan b) Mario c) Iván

d) Marco e) El Sr. Lazo

43) Al casarse Juana con Mario, como tenían preferencias por la multiplicación tuvieron 8 hijas; cada una de ellas se casó y tuvo 8 hijos. Si ninguno de los familiares falleció, ¿cuántas personas formaban dicha familia? a) 26 b) 64 c) 84

d) 86 e) 82

44) John es mayor que Pascual; Pascual no es igual ni mayor que Luciano; pero Luciano es menor que John. ¿Quiénes son los dos menores? a) John y Luciano b) Luciano y Pascual c) John y Pascual d) Faltan datos e) N.A.

24

45) Cinco amigas: Marianella, Jazmín, Urcía, Patricia y Margarita viven en un edificio de 6 pisos, cada una en un piso diferente y si se sabe que:  El departamento del cuarto piso está desocupado.  Patricia vive adyacente a Marianella y Urcía.  Margarita no vive en el último piso. Se afirma: I. Jazmín no vive en el quinto piso. II. Maria nella no vive en el tercer piso. III. Urcía vive más arriba que Marianella. Son correctas: a) Sólo I b) I y II c) I y III

d) II y III e) Todas

46) Pedro es más alto que Mario, Daniel es más bajo que Alfredo y más alto que Luis, Alfredo es más bajo que Mario y Pedro es más bajo que Roberto. ¿Quiénes son los dos más altos? a) b) c) d) e)

Luis y Daniel Mario y Pedro Alfredo y Roberto Mario y Roberto Pedro y Roberto

47) Carlos, Dante, Toño, Erick, Beto y Flavio se ubican en 6 asientos contiguos en una hilera de un teatro. Toño está junto y a la izquierda de Beto, Carlos a la derecha de Toño entre Flavio y Dante, Dante está junto y a la izquierda de Erick. ¿Quién ocupa el tercer asiento si los contamos de izquierda a derecha? a) Carlos b) Erick c) Dante

d) Flavio e) Toño

48) Amalia, Brenda, Carolina, Doris, Enma y Fiorella se sientan sobre seis sillas simétricamente distribuidas alrededor de una mesa circular y si se sabe que:  Amalia no se sienta frente a Brenda.  Doris se sienta frente a Enma.  Carolina está junto y a la siniestra de Amalia. Podemosafirmarcomoverdadero que: I. Carolina se sienta frente a Brenda. II. Amalia se sienta junto a Doris. III. Fiorella se sienta frente a Amalia. a) I y II b) I y III c) II y III

49) A, B, C y D son: mecánico, electricista, soldador y carpintero, llevan uniforme: blanco, amarillo, rojo y azul. El mecánico derrotó a B en el  juego al sapo. C y el soldador  juegan a menudo al bingo con los hombres de rojo y azul. A y el carpintero tienen envidia al hombre de uniforme azul, quien no es el electricista, pues, éste usa uniforme blanco. ¿Qué oficio tiene C? a) Ingeniero d) Soldador b) Electricista e) Carpintero c) Mecánico

50) En una actividad promocional se encuentran 4 amigas: Doris, Pamela, Amelia y Luisa; ellas a su vez son: psicóloga, doctora, arquitecta y abogada, aunque nonecesariamenteeneseorden. La abogada, que es prima de Pamela, es la mayor de todas y siempre va a la playa con Luisa. Doris que es la menor de todas, es vecina de la arquitecta quien a su vez, es la que más gana. Si Luisa, quien es la que menos gana, es menor que la doctora, ¿qué ocupación tiene Pamela?

d) Todas e) N.A.

a) Doctora d) Abogada b) Psicóloga e) N.A. c) Arquitecta

Números cargados de sorpresas El número áureo. La maldición pitagórica. El pentagrama o polígono estrellado de 5 puntas es el símbolo de los pitagóricos... Por aquellas ironías de la historia su símbolo es por tador del germen de los inconmensurables, de los números irracionales. De hecho es un poema al número áureo. Para sorpresa de los pitagóricos, su símbolo contiene el número áureo como razón entre segmentos no una sino varias veces. De hecho el cociente entre cada segmento de la estrella y el inmediato menor es el número de oro. ¿Cómo lo descubrieron? Con toda seguridad fue al intentar resolver el problema de dividir un segmento en dos par tes, de tal manera que el cociente entre la parte mayor y la menor coincida con el cociente entre la longitud total y la parte mayor. Euclides. Elementos VI.3 "Un segmento está dividido en media y extrema razón cuando el segmento total es a la parte mayor como ésta a la menor". Desde los griegos hasta nuestro días el número áureo ha sido el patrón de armonía y un símbolo de perfección en todas las Artes: escultura, pintura, arquitectura... y hasta en los objetos más cotidianos, desde una tarjeta de crédito hasta un paquete de tabaco tienen la proporción áurea. Pero además de su omnipresencia en las creaciones humanas y en la Naturaleza, la divina proporción nos guarda muchas más sorpresas, en concreto es maravillosa su relación estrecha con el número 1. 1

φ= 1 +

1

1+ 1+

25

1 1 + ...

φ = 1+ 1 + 1 + 1 + ...

Resolución de Ecuaciones Ecuación

• x2 = 16

1. DEFINICIÓN Es una relación de igualdad que se establece entre dos expresiones matemáticas que tienen como mínimo una variable. A las variables que intervienen en una ecuación se les denomina incógnitas y a los valores que satisfacen la igualdad se les llama soluciones de la ecuación. Ejemplo:

* 3x + 5 = 2x + 11 ⇒x=6 Indeterminada Si tiene infinitas soluciones. Ejemplos: • x - 5= x -3 - 2

*

3 x + 5 = 11 → solución: x = 2 igualdad

5(x + 3) + 7 = 4(x + 3) + x + 10 ⇒ 5x+ 15 + 7 = 4x + 12 + x + 10 5x - 5x = 22 - 22 0=0

 Ecuación incompatible

incógnita •

soluciones: 4 y -4

• xº - 1 ; x ≠ 0

incógnita •

 

→ Tiene dos

x 2 = 4 → soluciones:

x=2 x = -2

Es aquella que no tiene solución posible. Ejemplos:

igualdad

• x + 3= x- 3

2. CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES SEGÚN SUS SOLUCIONES Pueden ser compatibles o incompatibles:

• 0.x= 3

* 4(x + 3) + 2 = 3(x + 2) - 5 + x 4x + 12 + 2 = 3x + 6 - 5 + x 4x - 4x = 1 - 14 0 = -13

x=4 Solución: y = 1

Hay diversas formas de resolver un sistema de ecuaciones, nosotros nos centraremos en resolver utilizando los siguientes métodos: - Méto do de r educc ión o eliminación. - Método de sustitución. - Método de igualación. Ejemplo: Resuelve el sistema siguiente: 2x + 3y = 13 ... (I) 3x - y = 3 ... (II) utilizando los tres métodos mencionados. Resolución: POR REDUCCIÓN O ELIMINACIÓN

Multiplicamos la ecuación (II) por 3 y luego sumamos, con lo cual eliminarem os la incógnita “y” y obtendremos el valor de “x”. 2x + 3y = 13 9x - 3y = 9 11x = 22 →

 Ecuación compatible

Es aquella que tiene al menos una solución posible. Se subdivide en: Determinada Si tiene un número finito de soluciones. • 3x + 2 = 14

→ Tiene una

solución: 4

26

3. SISTEMA DE ECUACIONES Conjunto de ecuaciones cuyas soluciones comunes se busca obtener en caso que existan. Ejemplo: x+y=5 x-y=3 (Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.)

ya que satisface ambas ecuaciones

∴ x=2

Conocido el valor “x” se reemplaza en (I) o (II) para determinar el valor de “y”. Reemplazamos en (I): 2(2) + 3y = 13 ∴ y = 3 Solución:

x=2 y=3

Por sustitución De (II) despejamos la variable “y” para luego reemplazarlo en (I).

Despejando “x”: 15x = 6 → x =

1. Resuelve: 3(x - 7) + 5 = 2x + 4 3x - y = 3 →  3x - 3 = y .... A 2x + 3 y = 13 2x + 3(3x - 3) = 13 2x + 9x - 9 = 13 →

∴ x = 2

Con “x” conocido, reemplazamos en A y hallamos “y”. y=3 POR IGUALACIÓN De(I) y (II) despejamos “x” o “y”, en este caso vamos a despejar “y”. De I: 2x + 3y = 13 → 3y = 13 - 2x → y =

13 - 2x ... A 3

De II: 3x - y = 3 → 3x - 3 = y ... B Igualando A y B : 13 - 2x = 3x - 3 → 13 - 2x = 9x - 9 3 22 = 11x ∴ x=2 Reemplazando en A o B obtenemos: y=3

Resolución:

4. Resuelve:

Primero desaparecemos los paréntesis, multiplicando 3 por (x - 7). 3x - 21 + 5 = 2x + 4 Transponiendo términos: 3x - 2x = 4 - 5 + 21 x = 20

2. Resuelve: (x + 3)2 + 7 = (x + 6) (x + 4) Resolución: Primero desaparecemos los paréntesis, aplicando productos notables. (x + 3)2 + 7 = (x + 6) (x + 4) Se tiene:

Transponiendo y agrupando términos: 9 + 7 - 24 = x 2 - x2 - 6x + 10x

Nicolás Oresme (1323 - 1382) fue probablemente el primero en usar el signo + para la suma en sulibroAlgorismus proportionum, escrito supuestamente entre 1356 y 1361. Anteriormente “+” se escribía “et” del latín “y”. Después también se uso p (plus).

+ 27

13x 3x 1 5 + = 4 9 + 12 2 Resolución: 2 1 1 1 1

4 2 1 1 1

9 9 9 3 1

12 6 3 1 1

2 2 3 3

MCM = 2 x 2 x 3 x 3 MCM = 36 18 (3x) + 9(1) = 4(13x) + 3(5) 54x + 9 = 52x + 15 54x - 52x = 15 - 9 2x = 6 x=3

5. Resuelve:

x2 + 6x + 9 + 7= x2 + 10x + 24

Reduciendo: Luego:

6 15

-8 = 4x -2 = x

Observación: Nota que se procura tener a la incógnita con coeficiente positivo.

3. Resuelve: 10x + 2x + 3(x + 8) - 30 = 0 Resolución: Efectuando el paréntesis:  10x + 2x + 3x + 24 - 30 = 0 15 x - 6 = 0

x = 4x2 - 5x + 50 - x Resolución: x+x =

4x2 - 5x + 50

2x = 4x2 - 5x + 50 Elevando al cuadrado: (2x)2 = 4x2 - 5x + 50 4x2 = 4x2 - 5x + 50 0 = -5x + 50 x =

50 5

x = 10

7)

Nivel I

a) 26 b) 11 c) 7

Encadaunodelossiguientesejercicios, halla x. 1)

d) 8 e) 9

8)

d) 6 e) 8

d) 5 e) 3

9)

x x 2 + 3 = a) 4 b) 5 c) 6

25 6 d) 7 e) 8

2x/3 = 4 a) 2 b) 4 c) 6

7x - 12 = 9 a) 1 b) 2 c) 4

3)

14)

3x + 18 = 39 a) 5 b) 6 c) 7

2)

3(x - 2) = 27

d) 8 e) 10

x x =1 2 3 a) 4 b) 5 c) 6

2x - 1 =3 3 a) 2 b) 3 c) 4

15)

d) 5 e) 6

d) 7 e) 8

Nivel II Resuelve las siguientes ecuaciones:

x + 9 = 18 16) 4x - 4 = x . 16 a) 7 b) 8 c) 9

4)

d) 2/7 e) - 2/3

d) 3 e) 4

11) 3(2x + 14) + 20 = 6(3x - 5)- 28

d) 8 e) 10

12) 5(x - 1) + 3(x + 2) = 7(x + 1)

a) 6 b) 8 c) 9

d) 10 e) 12

a) -4 b) 6 c) 5/3

d) 1/2 e) -6

3x - 1 = x + 9 a) 1 b) 3 c) 5

28

a) 5 b) 3/2 c) - 7/2

3x + 1 = x + 13 a) 2 b) 4 c) 6

6)

10) 3x - 5 + 2x = 7x + 2 a) 1 b) -2 c) -4

d) -3 e) -1

2x + 3 = x + 5 a) 0 b) 1 c) 2

5)

d) 10 e) 11

d) 7 e) 9

13)

2x + 6 3x - 7 = 5 4 a) 21 b) 23 c) 27

d) 29 e) 30

17) 2x - 4,2 = 3,8 a) 1 b) 4 c) 2

d) 5 e) 3

18) -3x - 9 + 5x + 10 = 4x + 8 - x a) -7 b) 7 c) 6

19)

20)

d) -6 e) 5

x+5 = 3 4 2x - 2 a) 10 b) 13 c) 12

25) Indica el valor que verifica: 3(x - 1) + 4(x + 2) = 26

d) 5 e) -6

a) 1 b) 2 c) 3

26)  Resuelve: x x = 11 x+ + 2 3 a) 4 b) 5 c) 6

2(5 - x) 4(x - 2) = 2 5 a) 5/4 b) 1/2 c) -3/5

d) 11/3 e) 3/8

d) 2 e) -3

a) 4 b) 3 c) 2

28)

d) -4 e) 6

29)

a) 1 b) 4 c) 2

d) 3 e) 5

24)  Resuelve: 3(x + 1) + 4(x - 2) = 16 a) 1 b) 2 c) 3

29

d) 4 e) 5

30)

d) 3 e) 4

d) 3 e) 4

x x 3x = 10 + 12 5 2 a) 6 b) 8 c) 10

31) 5(x + 8) + 4(x - 6) = 71 a) 6 1 9 b) 5 2 9

d) 5 3 7 e) 6 2 3

c) 6

32) (-x -4) - (4x - 2 + 3) = -(6x - 8) + (2x - 4 + 3) a) 7 b) -12 c) -5

d) 5 e) 8

33) Indica el valor de “x” que verifica las siguientes igualdades: x x= x -9 4 2

5 x-2 x+3 + = 3 2 3 a) 0 b) 1 c) 2

23) Halla “x” en la ecuación: 4(x + 1) = 20

d) 1 e) 0

x-2 x-1 + 2 4 =2 a) 0 b) 1 c) 2

22) Halla “x” en la ecuación: 3(x - 1) - 4(5 - x)= 2(6 + x) a) 3 b) 4 c) 7

d) 7 e) 8

27)  Resuelve: 5x - 5 =3 x+1

21)  Resuelve: 5(x - 2) + 3x = 2(3x + 4) a) 9 b) 6 c) 7

d) 4 e) 5

Nivel III

d) 11 e) 13

a) 12 b) 8 c) -6

d) -8 e) 9

34) 2x - 1 - x + 13 =3x + 5(x + 1) 24 3 8 a) 12 b) 8 c) -6

d) -8 e) 9

35)

1 x 1 2x + x+ 16 = 2 6 3 9 a) -12 b) 15 c) 9

36)

d) 8 e) -7

1 1 1 - x - (2x- 1) = 0 (x-2)+ 3 3 4 a) -3 b) -4 c) -5

d) -6 e) -7

37) Calcula "x" en: 5x = 4y x(x + 2y) = (9 + y) (9 - y) a) 3 b) 3.5 c) 4

d) 5 e) 6

41) Calcula "x" en : x 3 x +3 x + 6 = 4 +4 4 4 a) 6 b) 32 c) 40

d) 24 e) 56

42) Si

4y=9x y - x = 40 , calcula "x". a) 24 b) 32 c) 40

d) 48 e) 56

43) Calcula x . y en: 2x + y = 6 x-y+1=4

38)  Resuelve: x 1 x 1 x - 1 1- x - - + = + 3 3 4 4 5 5 6 6 a) 0 b) 1 c) 2

d) 5 e) 4

d) -2 e) 2

40) Calcula el valor de "x" en: x +1 a+b+1 = x-1 a + b -1 a) a b) b c) a+b

30

d) 18 e) 36

d) ab e) a - b

a) -1 b) 0 c) 2

d) 3 e) 4

47) Si

x = 2y 2y = 3z x + y + z = 11, halla x + 2 y + 2z . a) 32 b) 26 c) 27

d) 18 e) 29

48) Halla “2a” en: 7a + 1 3(a-1) 2(a+1) = + 10 10 5 a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

49) Si 44) Calcula "x" si: x 6 2y + 1 2 = ∧ = x 2 y 2+3x

39) Calcula el valor de "a" en: 2a 3 5a 2 3a 6a 6 5 + + - = - + 7 4 9 7 4 13 13 + 9 a) -1 b) 0 c) 1

a) 17 b) 34 c) 51

46) Calcula a + b si: 3a - 8 = -b a=b+4

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

a) 15 b) 14 c) 13

50) Si

45)  Resuelve: 3x + 2y = 18 x - y = -4 a) x = 2 y=2

d) x = 4 y=3

b) x = 3 y=6

e) x = 5 y=6

c) x = 2 y=6

x + y = 12 y+z=8 x + z = 10, calcula x + y + z . d) 12 e) 11

a-b+c=5 b-c+d=7 c-d-e=4 a+b+d=9 e-a+f=2,

calcula 2(a + b + c + d + f). a) 27 b) 54 c) -14

d) 26 e) -28

Planteo de Ecuaciones Objetivos

Al finalizar el presente capítulo, el estudiante estará en capacidad de: 1. Desarro llar la capacida d de comprensión de textos (enunciados de problemas) de diversa índole, para su posterior representación simbólica. 2. Desarrollar la capacidad de abstracción cuantitativa, es decir, capacidad para representar simbólicamente las cantidades y las relaciones existentes entre ellas. 3. Enfrentar de manera adecuada las diferentes formas de plantear y resolver una ecuación. 4. Relacionar los diversos problemas con situaciones de la vida cotidiana.

Aspectos Elementales 1. �QUÉ ES UNA ECUACIÓN? Es una igualdad conformada por números e incógnitas en la que nuestra finalidad será hallar el valor de la variable.

La comunicación es una actividad muyimportanteparalavidaydesarrollo de todo ser, pues así se pueden transmitir situaciones de peligro, de hambre, de malestar, etc. Por ejemplo, los animales, para poder comunicarse, han logrado diferentes tipos de lenguaje, algunos tan sorprendentes y sofisticados como en el caso de los delfines o los murciélagos (que inclusive llevaron al hombre a inventar el radar). Estos animalitos emiten señales sonoras de alta frecuencia, imperceptibles al oído humano. Existen otros lenguajes, quizás, más “sencillos” de comprender como es el caso del perro. Es sabido que al llegar a casa, él te recibirá “saludándote” moviendo la colita. Ésta es un señal de afecto. O también cuando en algún momento al acercanos nos gruñe; ésta es una señal de incomodidad. El ser humano, lógicam ente, no escapa a esta característica; sin embargo él ha logrado desarrollar diferentes tipos de lenguaje, como por ejemplo: el lenguaje simbólico, el lenguajecromático,ellenguajegestual, el lenguaje matemático, el lenguaje textual, etc.

31

Indica servicios higiénicos masculinos

Estos corresponden al lenguaje simbólico. Cuando caminas por la calle y el semáforo está en rojo, para ti indica que puedes cruzar la pista. Cuando vas a la playa y ves una bandera de color rojo, nos indica que el mar está demasiado agitado y por lo tanto no debes nadar. Estos son ejemplos del lenguaje cromático.

Indica que algo está correcto

Indica silencio

Observa los siguientes gráficos: Indica que algo está incorrecto

2. �PARA QUÉ ESTUDIAMOS ESTE TEMA? Para desarrollar y utilizar en forma adecuada la notación y el vocablo, para poder representar acciones y resultados relacionados con el mundo real y la vida diaria con sus situaciones problemáticas.

Indica primeros auxilios

Indica peligro

Indica proceso correcto

Enellenguajematemático hacemos uso de los “números” (que en realidad son los numerales) y de algunas operaciones conocidas (suma: +; resta: - ; multiplicación: x; etc.) Observa los ejemplos: 8+2x3

4

;

49 68

2

En el lenguaje textual hacemos uso de las “letras” (que en realidad son grafemas) y las reglas gramaticales. Un ejemplo de este lenguaje es todo lo que has leído anteriormente. Todos estos ejemplos han sido vistos, porque en el tema de hoy relacionaremos dos lenguajes: el matemático y el textual, interpretándolos de manera adecuada para la solución de problemas.

Parte Teórica En este tema no hay una teoría nueva. Todas las herramientas que necesitas para solucionar problemas, tú ya las conoces. Quizáslo más dificultosoquepuede haber es interpretar adecuadamente el lenguaje textual y traducirlo al lenguaje matemático. No hay una regla específica para esta “traducción”, sinembargo,aquítienesunosejemplos que de seguro te ayudarán.

1. MÉTODO PARA LA RESOLU� CIÓN DE UN PROBLEMA 1. Lee cuidadosamente el problema y estudialo hasta que quede perfectamente clara la situación que se plantea. 2. Identifica las cantidades comprendidas en el problema, tanto las conocidas como las desconocidas. 3. Planteo del problema: Se elige la incógnita por una letra, “x” por ejemplo y se efectúa con ella y con los datos, las operaciones que indique el enunciado.

 Resolución de la ecuación

Dicha ecuación se resuelve según las reglas que se enunciaron. * Observación: Para el planteo de una ecuación es importante tener en cuenta “la coma”, veamos. Ejemplo:

Lenguaje Textual

• La suma de

Lenguaje Matemático x+y

dos números.

• La suma de

los cuadrados de dos números.

• El cuadrado

de la suma de dos números.

• La suma de

dos números consecutivos.

• El cuádruple de lo que tengo, aumentado en 20.

• El cuádruple, de lo que tengo aumentado en 20.

32

a2 + b2

El triple de un número, aumentado en 8

3x + 8 El triple, de un número aumentado en 8 3(x + 8)

(a + b)2

4(x + 20); tengo “x”

Resolución: El número es: n 

n + 432 = 3n - 8 440 = 2n n = 220

* Si la expresión hubiera sido: “El triple de la diferencia del número con 8”, se simbolizaría así: 3(n - 8) El número es 220. 2. Una habitación rectangular tiene de largo tres veces su anchura y su perímetro mide 24 m. Halla las dimensiones del rectángulo. Resolución: Sea el rectángulo de ancho "x" x 3x Dato del problema: 3x + 3x + x + x = perímetro 8x = 24 x=3 Luego, las dimensiones son: largo = 9 ancho = 3

x + (x + 1)

4x + 20; tengo “x”

1. Halla un número, tal que al agregarle 432 obtendremos su triple disminuido en 8.

El asterico, para representar la multiplicación proviene de Johann Rahn (1622 - 1676), quien en 1659 lo usó en su libro Teutsche Álgebra.

*

3. En una reunión hay 64 personas, siendo el número de niños el triple de los adultos. ¿Cuántos son niños y adultos? Resolución: Si “x” es el número de adultos, el de niños será 3x.

Según el enunciado: x + 3x = 64 4x = 64 x = 16

7)

La suma de dos números pares consecutivos es 110. Halla el menor de los números. a) 52 d) 56

Luego; los reunidos son: adultos = 16 niños = 3x16 = 48

b) 108 e) 60

c) 54

Nivel I 8) 4. Halla tres número s pares consecutivos que sumados den 216.

1)

a) 8 d) 5

Resolución: Si llamamos “x” al primero, entonces “x + 2” y “x + 4” serán los otros dos.

¿Cuál es el número que aumentado en 3 es 8?

2)

b) 3 e) 6

Según el enunciado: x + (x + 2) + (x + 4) = 216 x + x + x + 6 = 216 3x + 6 = 216 3x = 210 x = 70

a) 100 d) 271

3)

5. Halla dos números que sumados den 300 y restados 200.

4)

c) 122

La mitad de un número es 29, ¿cuál es el número? a) 56 d) 38

∴ Los números son 70; 72 ; 74

b) 99 e) 70

b) 58 e) 68

a) 53 d) 59

c) 4

¿Cuáleselnúmeroquedisminuido en 72 resulta 199?

c) 60

La cuarta parte de un número es 20. El triple de dicho número es:

La suma de dos números impares consecutivos es 112. Halla el mayor de los números.

9)

b) 55 e) 61

c) 57

La diferencia de dos números es 36. Si al mayor se le disminuye en 12 se tiene el cuádruple del menor. Halla el producto de los números dados. a) 352 d) 224

b) 328 e) 330

c) 334

10) El exceso de 15 sobre 8 es igual al exceso de “A” sobre 2. ¿Cuánto vale “A”? a) 7 d) 6

b) 9 e) 5

c) 8

Resolución: Llamemos“x” al mayor de ambos, el menor valdrá 300 - x, la diferencia de ambos números es 200 que se formulará por la ecuación: x - (300 - x) = 200

a) 120 d) 480

5)

b) 240 e) 520

c) 360

La suma de un número con su doble, su triple y su cuádruplo es 110. ¿Cuál es el número?

Eliminando el paréntesis: a) 15 d) 10

x - 300 + x = 200 2x = 500 x = 250 6) ∴ El mayor: 250

El menor: 50

c) 9

La suma de dos números consecutivos es 91. Halla el número mayor. a) 46 d) 91

33

b) 8 e) 11

b) 71 e) 45

c) 81

11) El exceso del triple de un número sobre 55 equivale al exceso de 233 sobre el número. Halla el número. a) 72 d) 56

b) 80 e) 76

c) 64

12) Si al doble de un número natural, aumentado en 3 se eleva al cuadrado, resulta mayor en 10 que 111. El cuádruple del número es: a) 4 d) 36

b) 16 e) 32

c) 42

13) El perímetro de un rectángulo es de 84 m. Si el largo excede en 8 m al ancho, ¿cuál es el área del rectángulo? a) 400 m2 b) 420 m2 c)240 m2 d) 360 m2 e) 425 m2

14) El número de hombres es cinco veces el número de mujeres. Si en total hay 42 personas entre hombres y mujeres, ¿cuántas mujeres hay? a) 7 d) 15

b) 10 e) 35

b) 7 e) 15

c) 11

16) Halla un número, tal que al agregarle 504 obtenemos su triple disminuido en 8. b) 260 e) 250

c) 256

17) ¿Cuál es el número cuyo óctuplo aumentado en 24 es tanto como su quíntuplo más 60? a) 13 d) 16

34

b) 12 e) 17

19) La suma de cinco números consecutivos es 475. Halla el número intermedio. a) 93 d) 99

b) 95 e) 100

c) 97

c) 14

24) Entre A, B y C tienen 140 soles. Si C tiene la mitad de A y A tiene 10 soles más que B, ¿cuánto tiene A? a) S/. 60 b) S/. 30 d) S/. 40 e) S/. 45

20) El triple del exceso de un número equivale al cuádruple del exceso del mismo número sobre 30. Halla el mencionado número. a) 50 d) 45

b) 60 e) 55

c) 65

a) 45 d) 5

b) 15 e) 60

d) 20 y 21 e) 21 y 22

23) ¿Cuántos buzos tiene Diego si sabemos que al octuplicarlos y restarle ocho, obtenemos siete vecesdichacantidadaumentada en tres? a) 15 d) 14

b) 11 e) 16

b) 6 cm e) 12 cm

c) 7 cm

26) En una fiesta el número de hombres es cinco veces más que el número de mujeres. Si en total hay 42 personas entre hombres y mujeres, ¿cuántos hombres hay? a) 36 d)7

b) 35 e) 5

c) 6

c) 30

22) Halla dos números consecutivos, tales que el cuádruple del mayor disminuido en el triple del menor nos da 23. a) 17 y 18 b) 18 y 19 c)19 y 20

c) S/. 50

25) La cola de un lagarto mide 8 cm y el cuerpo mide el triple de su cabeza. Si el lagarto tiene 32 cm de largo, ¿qué longitud tiene la cabeza? a) 5 cm d) 8 cm

21) El dinero que tengo aumentado en su mitad es 45. ¿Cuánto tengo?

Nivel II

a) 262 d) 200

a) S/. 270 b) S/. 240 c)S/. 210 d) S/. 180 e) S/. 220

c) 5

15) Si los tres lados de un triángulo miden 2x + 3, 3x - 1 y 4x + 3 centímetros y el perímetro de la figura es de 23 cm, indica el mayor de estos lados. a) 5 d) 13

18) David y Sonia tienen juntos S/. 480 pero Sonia tiene S/. 60 más que David. ¿Cuánto tiene David?

c) 13

27) Una casaca cuesta igual que cierto reloj, pero el costo de una camisa es la tercera parte del costo de dicho reloj. Si la casaca y la camisa juntas cuesta 80 soles, ¿cuánto cuesta la camisa? a) S/. 60 d)S/. 30

b) S/. 50 e) S/. 20

c) S/. 40

28) El perímetro de un rectángulo mide 126 cm. Si su base es el doble de su altura, ¿cuáles son sus dimensiones? a) 20 y 40 cm d) 23 y 46 cm b) 21 y 42 cm e) 18 y 36 cm c) 22 y 44 cm

29) Un padre compra para su hijo una corbata y una camisa por 300 soles. Si el precio de la camisa es el cuádruplo que el de la corbata, ¿cuánto vale la corbata? a) S/. 60 b) S/. 70 d) S/. 90 e) S/. 65

c) S/. 80

30) ¿Qué número es aquel cuyo exceso sobre 17 equivale a la diferencia entre los 3/5 del número y la sexta parte del mismo? a) 17 d) 30

b) 34 e) 60

c) 15

Nivel III 31) Una papaya pesa 1 kg más la mitad de su peso. ¿Cuánto pesa? a) 1 kg b) 1,5 kg c) 2 kg d) 0,5 kg e) absurdo

32) Preguntando a un alumno por su nota en un examen responde: “Si cuadruplico mi nota y resto 30, tendría el exceso de 25 sobre mi nota”. ¿Cuánto le falta al alumno para obtener 20? a) 11 d) 10

b) 12 e) 9

c) 13

33) Entre Carlos, Ernesto y Alex tienen S/. 1800. Si Ernesto tiene el triple de lo que tiene Carlos, y Alex tiene S/. 200 menos de lo que tiene Carlos, ¿qué cantidad tiene Ernesto? a) S/. 200 b) S/. 400 c) S/. 1200

35

d) 1300 e) 1400

34) Reparte 285 en dos partes, tales que 2/3 de la mayor divididos entre 4/9 de la menor nos da 1 de cociente y 40 de residuo. Halla la parte menor. a) 167 d) 120

b) 135 e) 118

c) 140

35) Halla la longitud de un puente si sabemos que el cuádruple de dicha longitud, disminuido en 80 metros es equivalente al triple de dicha longitud, disminuida en 70 metros. a) 10 m d) 5 m

b) 12 m e) 8 m

c) 15 m

36) Divide 260 en dos partes, tales que el duplo del mayor dividido entre el triple del menor nos da 2 de cociente y 40 de residuo. Halla el mayor de ellos. a) 170 d) 190

b) 180 e) 200

c) 150

37) El número de días que asistí a la academia excede en 7 a los que no asistí, y se observa que en determinado mes no asistí 11 días. Este mes puede ser: a) enero b) febrero c) marzo

d) abril e) mayo

38) Se tiene un número de tres cifras pares consecutivas, el mayor posible. ¿Cuál es la diferencia de la cifra de decenas y centenas? a) 1 d) 6

b) 2 e) 8

c) 4

39) En una reunión hay 50 personas, cuando se retiran 8 varones y 6 damas, la diferencia entre varones y damas es 12. ¿Cuántas damas se quedan? a) 24 d) 18

b) 12 e) 26

c) 32

40) Un padre al morir deja 80 000 soles para que sean repartidos entre sus dos hijos y su esposa. Si el mayor recibe 12 000 soles más que el menor, y la esposa tanto como sus dos hijos juntos, ¿cuánto recibe el hijo menor? a) S/. 12 000 b) S/. 14 000 c) S/. 15 000

d) S/. 17 000 e) S/. 10 000

41) Juan le dice a Fidel: “Préstame 30 soles para tener ambos la misma cantidad”. Fidel le responde: “Mejor págame los 10 soles que me debes y así tendré 9 veces lo que te queda”. Entre ambos tienen: a) S/. 80 b) S/. 60 c)S/. 120 d) S/. 140 e) S/. 100

42) A cierto número par, se le suma los dos números pares que le preceden y los dos impares que le siguen, obteniéndose en total 968 unidades. El producto de los dígitos del número par en referencia es: a) 162 d) 150

b) 120 e) 63

c) 36

43) D e 4 5 a l u m n a s q u e s e presentaron a rendir el examen de matemática, el número de aprobadas fue el cuádruple del de desaprobadas. ¿Cuántas alumnas aprobaron el curso y cuántas no? a) 36 y 9 b) 37 y 8 c) 38 y 7

d) 39 y 6 e) 35 y 70

44) Se tiene que el número de ovejas más bueyes es 30, el de bueyes más vacas es 50; el de vacas más cabras es 70 y el de vacas más ovejas es 40. ¿Cuántas vacas menos que cabras hay? a) 40 d) 15

b) 30 e) 10

c) 20

47) Los pasajes en microbús valen S/. 0.80 y S/. 1.50 para universitarios y adultos, respectivamente. Luego de una vuelta en la que viajaron 80 de esas personas se recaudó S/. 78. ¿Cuántos universitarios viajaron? a) 40 d) 50

b) 60 e) 70

b) 50 e) 25

a) 18 d) 9

b) 12 e) 6

c) 15

c) 80

48) Subiendo la escalera de tres en tres, Rosa da seis pasos más que subiendo de cinco en cinco. ¿Cuántos peldaños tiene la escalera? a) 45 d) 35

49) Tengo 30 monedas. Unas son de cinco soles y otras de un sol. Si tengo en total 78 soles, ¿cuántas monedas son de cinco soles?

c) 40

50) Entre ocho personas tienen que pagar en partes iguales S/. 200. Como algunos de ellos no pueden hacerlo cada uno de los restantes tiene que pagar S/. 15 más. ¿Cuántas personas no pagaron? a) 3 d) 6

b) 4 e) 7

c) 5

Reto 45) Si se matriculan 20 alumnos más en el salón de 1.º de secundaria habría entonces el triple de las que quedan si se hubieran ido 4 alumnos. ¿Cuántos alumnos se matriculan? número de = alumnos a) 15 d) 20

Si se matriculan 20 más: ____ Si se retiran 4: ____

b) 16 e) 21

c) 18

46) Los pasajes en microbús valen S/. 0.80 y S/. 1.50 para universitarios y adultos, respectivamente. Luego de una vuelta en la que viajaron 80 de esas personas se recaudó S/. 78. ¿Cuántos universitarios viajaron? a) 40 d) 50

b) 60 e) 70

c) 80

Lo que dijo el reo En un determinado país donde la ejecución de un condenado a muerte solamente puede hacerse mediante la horca o silla eléctrica, se da la situación siguiente que permite a un cierto condenado librarse de ser ejecutado. Llega el momento de la ejecución y sus verdugos le piden que hable, y le manifiestan: "Si dices una verdad, te mataremos en la horca, y si mientes te mataremos en la silla eléctrica". El preso hace entonces una afirmación que deja a los verdugos tan perplejos que no pueden, sin contradecirse, matar al preso ni en la horca, ni en la silla eléctrica. ¿Qué es lo que dijo el reo?

Los números racionales obtienen su denominación de la idea de los griegos clásicos, influidos por la filosofía de los pitagóricos de que el universo era reducible a números y a las relaciones entre ellos. Pensaban que la realidad se podía explicar a través de las relaciones exactas entre segmentos, los números decimales con finitas cifras o con infinitos dígitos decimales aunque periódicos.

3 5 = 0,6 Fracción

1 3 = 0,333... Fracción

36

Decimal exacto

Decimal periódico

 Edades Objetivos

1. Ejercitar la capacidad de resolver los diferentes tipos de ejercicios sobre edades. 2. Utilizar de manera adecuada, las tablas de doble entrada paralaresolucióndeejercicios sobre edades que involucren a dos o más sujetos. 3. Aplicar métodos prácticos para el planteo y resolución de los ejercicios de manera rápida y sencilla. 4. Consolida r lo aprendido en el tema “Planteo de Ecuaciones”, mediante la resolución de ejercicios que constituyen unacontinuación de dicho tema ya estudiado. 1. INTRODUCCIÓN Debidoaqueestosproblemassobre edades tienen un texto que debemos interpretar y traducir, cabe plantear la siguiente interrogante: ¿Por qué no se estudiaron este tipo de problemas en el capítulo anterior sobre planteo de ecuaciones? Lo que sucede es que esta clase de ejercicios pueden ser resueltos empleando formas particulares y prácticas muy interesantes y efectivas (incluso sin ecuaciones), y es por ello queameritansertratadosenuncapítulo aparte en el cual se propondrán otras técnicas de planteo y resolución de problemas. La importancia del tema aquí desarrollado, queda en evidencia por cuantocontribuyeaenriquecernuestro conocimiento de otras técnicas de planteo y resolución de ecuaciones, y consolida las ya estudiadas en el capítulo anterior.

37

2. OBSERVACIÓN En todo problema sobre edades se pueden distinguir principalmente tres elementos: sujetos, tiempos y edades. Sobre ellos trataremos a continuación. 3. NOCIONES PREVIAS

Tiempos

Expresiones

Futuro En un problema pueden darse uno o más futuros. Se le identifica por las siguientes expresiones:

Dentro de... Tendré... Tendremos, Tuviésemos, Tendrás, ... La suma de nuestras edades será..., etc.

3.1. Sujetos Son los protagonistasdelproblema, a quienes corresponden las edades y que intervienen en el problema. Ejemplo: Gisela es cinco años menor que Jorge pero tres años mayor que Janeth. 3.2. Tiempos Es uno de los elementos más importantes, ya que las condiciones del problemaocurrenentiemposdiferentes (pasado, presente o futuro) y todo depende de su correcta interpretación. Es decir: Tiempos

Expresiones

Presente En un problema existe un solo presente. Se le identifica por las siguientes expresiones:

Tengo... Tenemos... Tienes... Hoy la edad... La suma de nuestras edades es..., etc.

Pasado En un problema pueden darse uno o más pasados. Se le identifica por las siguientes expresiones:

Hace... Teníamos... tuvimos ... Tenía, tuve, ... Tenías, tuviste, ... La suma de nuestras edades fue..., etc.

3.3. Edad La edad representa el tiempo de vida de un sujeto. Entre las edades se establecen determinadas relaciones, llamadas condiciones, las cuales se cumplen en un mismo tiempo o entre tiempos diferentes. Ejemplo: Hoy tengo 26 años, pero dentro de cuatro años tendré el doble de la edad que tenía hace 11 años. Tiempo

Edad

Hace 11 años

15

Hoy 

26

Dentro de 4 años

30

Para facilitar su resolución, clasificaremos los problemas en dos tipos.

* Con un solo sujeto

Por condición del problema:

Cuando interviene la edad de un solo sujeto.

3x + 5 + x + 5 = 46 4x = 36 x = 9 (Edad de Ángel)

Resolución:

Ejemplo: Respuesta: 9 años

hoy tengo

Dentro de 20 años tendré tres veces la edad que tenía hace 10 años. ¿Qué edad tuve hace tres años? Resolución: Asumiendo la edad actual “x” años: hace 10 años x - 10 pasado

dentro de 20 años

x presente

hace 12 años

1. Hoy tengo 20 años, ¿podrías decir qué edad tenía hace seis años y cuántos años cumpliré dentro de ocho años?

x + 20 = 3(x - 10) x + 20 = 3x - 30 20 + 30 = 3x - x 50 = 2x x = 25 ↓ Edad actual es 25 años.

Tiempo Presente

2. Cuatro veces la edad que tendré dentro de 10 años, menos tres veces la edad que tenía hace cinco años, resulta el doble de mi edad actual. ¿Cuánto me falta para cumplir 60 años? Resolución:

Ejemplo: La edad de Sara es el triple de Ángel y dentro de 5 años ambas edades sumarán 46 años. En la actualidad Ángel tiene:

hace 5 años x-5 pasado

dentro de 10 años

x presente

x+10 futuro

Resolución:

Por condición del problema:

Desarrollemos el cuadro:

4(x + 10) - 3(x - 5) = 2x x + 55 = 2x x = 55 (edad actual)

Presente Pasado

Sara Ángel

38

dentro de 5

3x

3x+5

dentro de 5

x

x+5

Presente

hoy tengo hace dentro 6 años de 8 años

20 años

Cuando intervienen las edades de dos o más sujetos.

dentro de 8 años

Resolución:

Por condición del problema:

* Con varios sujetos

dentro de 14 años

hace 5 años

x+20 futuro

↓ Hace tres años tuve 22 años.

3. Si actualmente tengo 16 años, ¿podrás completar el siguiente esquema que se da a continuación?

↓

Para cumplir 60 años me faltan: 60 - 55 = 5 años

En todo análisis de datos, es muy importante que distingamos los valores absolutos (frecuencias absolutas) de los valores porcentuales (frecuencia relativa). Veamos un ejemplo. Compararemos el número de enfermos de SIDA entre el País X (10 000 casos) y el País Y (20 000 casos). ¿Es más la influencia epidemiológica en X o en Y? A la vista parece que el país Y tiene la enfermedad más desarrollada. Pero este dato puede ser engañoso, porque si sabemos que: El país X tiene 100 000 habitantes, y el país Y tiene 2 000 000 habitantes, ¿en qué país crees que la enfermedad es más preocupante? Ciertamente en el país X porque hay 10 000 enfermos entre 100 000 habitantes, lo que significa que el 10% de la población está enferma. En cambio en el país Y sólo el 1% de la población está enferma. Ahora sí podemos comparar los datos.

%

7)

Nivel I 1)

Dentro de 34 años Lizet tendrá 63 años. ¿Qué edad tiene actualmente? a) 23 años b) 26 años c) 27 años d) 29 años e) 30 años

2)

3)

39

c) 61

b) 45 e) 60

c) 48

Un niño tiene 8 años y 6 meses. ¿A cuántos meses equivale su edad? a) 98 d) 104

6)

b) 54 e) 82

Dentro de 26 años Abel tendrá 71 años. ¿Cuántos años tiene actualmente? a) 42 d) 52

5)

c) 54 años

¿Cuántos años transcurrieron desde 1943 hasta el año 2004? a) 51 d) 71

4)

a) 24 d) 48 8)

Si Margarita tiene 13 años, ¿cuánto le falta para tener 67 años? a) 36 años b) 47años d) 67 años e) 74 años

b) 100 e) 110

c) 102

Yo tengo 9 años y mi mamá, cuatro veces mi edad. ¿Cuántos años tiene mi mamá? b) 32 e) 38

c) 36

Sally tiene 8 años y María 15 años. ¿Cuál será la suma de sus edades dentro de tres años? a) 26 años b) 27 años c) 29 años d) 32 años e) 30 años

9)

Una madre tenía 22 años cuando nació su hija. ¿Cuál será la edad de la madre cuando su hija cumpla 17 años? a) 35 años b) 37 años c) 39 años d) 41 años e) 40 años

10) Si a la edad actual de Sergio se le suma 19, tendría la misma edad de Carla, que tiene 57 años. ¿Cuál es la edad actual de Sergio? a) 36 años b) 38 años c) 40 años d) 42 años e) 43 años 11) Si a la edad actual de Pedro le aumentas 16 y le disminuyes 9 te da 24. ¿Cuántos años tiene Pedro? a) 17 d) 20

b) 18 e) 22

c) 19

Juana es 15 años mayor que su hermano Pepe quien tiene 9 años. ¿Cuál es la suma de las edades de los dos?

12) Betty tiene la mitad de la edad de Melanie, Melanie el triple de la edad de Lizet. Si Lizet tiene 8 años, ¿cuál es la suma de las 3 edades?

a) 18 años b) 33 años c) 22 años d) 16 años e) 24 años

a) 32 años b) 44 años c) 36 años d) 40 años e) 30 años

13) Patricio este año cumple 19 años. ¿En qué año nació Patricio? a) 1985 d) 1988

b) 1989 e) 2006

c) 1986

14) Julia nació en 1986. ¿En qué año cumplirá 32 años? a) 2018 d) 2015

b) 2019 e) 2020

c) 2017

15) Hace 10 años tenía 5 años. ¿Qué edad tendré dentro de 6 años? a) 20 años b) 21 años c) 16 años d) 22 años e) 23 años Nivel II 16) Dentro de dos años tendré el doble de la edad que tenía hace ocho años. ¿Cuál es mi edad actual? a) 16 años b) 24 años c) 15 años

d) 22 años e) 18 años

17) Si tengo 32 años, ¿dentro de cuántos años tendré el doble de la edad que tenía hace 12 años? a) 10 d) 4

b) 12 e) 8

c) 6

18) Si tengo 28 años, ¿dentro de cuántos años tendré el triple de la edad que tenía hace 18 años? a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3 a) 35 años b) 40 años c) 45 años

19) Si tengo 24 años, ¿hace cuántos años tenía la mitad de la edad que tendré dentro de 16 años? a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

20) Dentro de 10 años mi edad será el doble de la edad que tuve hace 10 años. ¿Cuántos años tengo? a) 29 d) 31

b) 32 e) 33

c) 30

21) ¿Qué edad tengo si la edad que tenía hace 10 años es a la edad que tendré dentro de 50 años como 1 es a 4? a) 20 años b) 40 años c) 50 años

d) 60 años e) 30 años

22) Kiko tiene 14 años menos que Adrián y ambas edades suman 56 años. Se deduce que: I. Kiko tiene 21 años. II. Kiko tiene 35 años. III. Adrián tiene 18 años. a) Sólo I b) Sólo II c) I y II

24) Dentro de 13 años el joven Miguel, tendrá ocho veces la edad que tenía hace ocho años. ¿Cuál será su edad dentro de 24 años?

d) Sólo III e) Ninguna

d) 50 años e) 55 años

a) 8 d) 16

a) 31 d) 30

Pasado Presente 3x 38 26 5x b) 12 e) 20

c) 18

Pasado Presente 30 36 24 x b) 34 e) 28

c) 32

28) En el siguiente esquema, halla x 23) Laura dice: “Dentro de tres años tendré el doble de lo que tenía hace siete años”. Halla la raíz cuadrada de la edad de Laura aumentada en 8. a) 17 d) 9

40

b) 25 e) 5

c) 14

Carmen Diana a) 50 d) 60

c) 12

30) En el esquema anterior, halla y. a) 26 d) 28

b) 32 e) 25

c) 24

Nivel III

27) En el siguiente esquema, halla x Alfredo Luis

b) 16 e) 15

d) 18 años e) 36 años

26) Dado el siguienteesquema, halla 2x.

Lili Malú

Pasado Presente Futuro Lolo 12 18 y Coco x 20 30 a) 14 d) 10

25) Hace ocho años la edad de A era el triple que la de B y dentro de cuatro años la edad de B será los 5/9 de la de A. Halla la edad actual de A. a) 16 años b) 32 años c) 24 años

29) En el siguiente esquema, halla x.

Pasado Presente 40 x x 80 b) 52 e) 66

c) 55

31) En el siguiente cuadro de edades: Iris Diana

Presente Futuro n 36 14 4n

calcula la edad de Iris hace 7 años. a) 5 años b) 4 años c) 2 años

d) 6 años e) 3 años

32) Mirtha dice: “Dentro de 16 años mi edad será tres veces la edad que tenía hace dos años”. ¿Qué edad tengo? a) 9 años b) 12 años c) 14 años

d) 15 años e) 11 años

33) Halla la edad de Vanessa si al duplicar su edad para luego aumentarla en 28 años obtenemos el cuádruple de la de ella disminuida en 16 años. a) 20 años b) 21 años c) 22 años

d) 23 años e) 24 años

34) Natalie dice: “Si al doble de la edad que tendré dentro de 4 años le restamos el doble de la edad que tenía hace 4 años, resultaría la edad que tuve hace 2 años”. ¿Cuántos años tiene Natalie? a) 12 d) 18

b) 15 e) 20

c) 16

35) Scarlet le plantea a una de sus hermanas el siguiente problema: “Hace 10 años tenía la mitad de la edad que tendré dentro de 8 años”. ¿Qué edad tiene Scarlet? a) 28 años b) 30 años c) 25 años

d) 23 años e) 32 años

36) La suma de edades de dos personas es 30 años. Si dentro de 10 años la edad de uno será el doble de la edad del otro, ¿cuál es la edad de este último? a) 20 años b) 21 años c) 19 años

d) 18 años e) 22 años

37) Hace 10 años la edad de “A” era el doble que la de “B”, y dentro de 10 años la edad de “B” será los 3/4 de la de “A”. Halla las edades actuales. a) 30 y 20 años d) 30 y 40 años b) 20 y 40 años e) N.A. c) 10 y 25 años 38) La edad actual de un hombre es 9/5 de la edad de su esposa y dentro de cuatro años la edad de su esposa será los 3/5 de la suya. Halla la edad actual del hombre. a) 24 años b) 28 años c) 32 años

41

d) 36 años e) 39 años

39) Hace 20 años la edad de Ana era 8 veces la edad de Bertha, y dentro de 10 años la edad de Ana será solo el doble de la edad de Bertha. Halla la edad de Bertha. a) 20 años b) 60 años c) 25 años

d) 30 años e) 24 años

40) Si al cuádruple de la edad que tendré dentro de 8 años, le restamos el doble de la edad que tenía hace 5 años, resultaría el triple de mi edad, aumentada en 19 años. ¿Qué edad tengo? a) 18 años b) 31 años c) 23 años

d) 41 años e) 16 años

41) Un padre tiene 28 años y su hijo un año. ¿Dentro de cuántos años la edad del padre será el cuádruplo de la de su hijo? a) 6 d) 4

b) 8 e) 3

c) 10

42) La suma de las edades de dos personas es 30 años. Si dentro de 10 años la edad de uno será el doble de la edad del otro pero hace 10 años, ¿cuál es la edad de este último? a) 20 años b) 21 años c) 19 años

d) 18 años e) 22 años

43) Un padre le dice a su hijo. "Ahora tu edad es la quinta parte de la mía, pero hace 5 años era la novena parte". ¿Qué edad tiene el padre? a) 40 años b) 60 años c) 50 años d) 70 años e) 80 años

44) Maira tiene 24 años, su edad es el séxtuplo de la edad que tenía Coco cuando Maira tenía la tercera parte de la edad que tiene Coco. ¿Qué edad tiene Coco? a) 18 años b) 21 años c) 24 años

d) 20 años e) 14 años

45) ¿Cuántosaños tieneuna persona sabiendo que la raíz cuadrada de la edad que tenía hace 5 años más la raíz cuadrada de la edad que tendrá dentro de 6 años suman 11? a) 27 años b) 31 años c) 35 años

d) 32 años e) 30 años

46) Una señora tuvo trillizos cuando tenía 19 años. Hoy suman las edades de todos, 59 años. ¿Qué edad tendrán los trillizos dentro de 2 años? a) 10 años b) 12 años c) 13 años

d) 9 años e) 7 años

47) Una persona en el mes de junio resta a los meses que ha vivido los años que tiene y obtiene 445. ¿En qué mes nació dicha persona? a) setiembre d) diciembre b) octubre e) enero c) noviembre 48) Yo tengo el doble de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes, y cuando tú tengas la edad que yo tengo, la diferencia de nuestras edades será 6 años. ¿Qué edad tengo? a) 30 años b) 22 años c) 26 años

d) 28 años e) 24 años

 Repaso 6)

Nivel I

a) 1 d) 7

En cada uno de los siguientes ejercicios halla x. 7) 1)

b) 5 e) 8

c) 2 a) 4 d) 1/21

2x 3x = 26 3 3

b) 7 e) 2

b) 5 e) 2

a) 1 d) 7

c) 5

8)

5x + 2 = 2x + 7 a) 1 d) 3

b) 5 e) 8

b) 3 e) 4

a) -10 d) 60

c) 2

5(x +8) + 4(x - 6) = 8x+20 a) 1 d) 7

c) 4

9)

3x + 5 = 2x + 7 a) 1 d) 7

4)

b) 6 e) 5

c) 2

5x =2 3 a) 9 d) 15

a) 4 d) 7

b) 5 e) 8

10) 5(x + 2) + 2x = 6x + 12

b) 10 e) 3

c) 12

x x - =2 2 3 a) 10 d) 12

42

c) 6

a) 4 d) 12

b) 3 e) 2

c) 7

x x 2 3

a) -7 b) 5 c) 1/17 d) -15/17 e) -150/17 b) 6 e) 14

c) 15

b) -40 e) -60

c) 30

14) 5(x+2) - 3(x-1) - (x+5)= 40 a) 32 d) 40

c) 5

4x + 2 = x + 14

11) 4(x + 5)- x + 5 = 5)

c) 1/5

13) 4(x - 5) -10x = 40 - 5x

15) 3)

b) 21 e) 21/4

2x - 3 = 13 a) 8 d) 3

2)

12) x +3 + x = 4 1 + 1 2 6 2 2

2x + 3 = 7x - 7

b) 20 e) 42

c) 25

x-1 x+1 + = 10 2 3 a) 60 d) 51

b) 50 e) 1/5

c) 51/5

Nivel II 16) ¿Cuál es el número que disminuido en 5 resulta 8? a) 10 d) 17

b) 5 e) 13

c) 8

17) La quinta parte de un número es 12. ¿Cuál es el número? a) 12 d) 50

b) 60 e) 40

c) 120

18) El doble de un número, aumentado en 5 resulta 13. Halla dicho número. a) 4 d) 13

b) 5 e) 15

c) 7 a) 40 d) 70

19) El quíntuplo de un número aumentado en su doble resulta 21. Halla el triple de dicho número. a) 3 d) 7

b) 9 e) 15

c) 12

20) El exceso de un número sobre 7 resulta 3. Halla el doble de dicho número. a) 10 d) 15

b) 5 e) 25

c) 20

21) El exceso del triple de un número sobre 10 equivale a la suma de dicho número con 6. Halla el número. a) 8 d) 15

b) 10 e) 6

c) 12

22) La suma del doble de un número más su mitad resulta 15. Halla el quíntuplo de dicho número. a) 6 d) 15

b) 30 e) 45

23) El excesodel doble de unnúmero sobre 40 equivale al exceso de 110 sobre el número. Halla el número.

c) 12

b) 20 e) 50

c) 150 a) 77 b) 69 c) 46

24) Sepagaunadeudacon10billetes de S/. 20 y el doble de billetes de S/. 10. Halla la deuda. a)S/. 100 b) S/. 200 c)S/. 300 d)S/. 400 e) S/. 500

25) Se tiene 2 grupos de monedas, uno con 84 piezas y otro con 38. ¿Cuántas monedas deberemos pasar del primer grupo al segundo, para que en ambas existan la misma cantidad de ellas? a) 32 d) 64

b) 23 e) 46

c) 61

26) Se efectúa una compra de 24 cajas conteniendo 50 tizas cada una. Si todas son distribuidas entre 16 profesores, ¿cuántas recibe cada uno? a) 68 d) 85

b) 65 e) 75

b) S/. 9 e) S/. 8

43

30) Compré el cuádruple de caballos que de vacas. Si hubiera comprado 5 animales más de cada clase tendría el triple númerodecaballosquedevacas. Halla la diferencia entre caballos y vacas. a) 70 b) 60 c) 75

d) 90 e) 95

Nivel III

31) Mi abuelito nació en el año 1923, ¿cuántos años tiene actualmente? a) 78 d) 83

b) 80 e) 84

c) 81

32) Una persona en el año 2004, tiene 68 años. ¿En qué año nació? a) 1 924 b) 1 928 d) 1 942 e) 2 001

c) 1 936

c) S/. 6

28) Si Héctor recibiese 480 soles resultaría triplicado lo que tiene. ¿Cuánto es lo que tiene Héctor? a) S/. 120 b) S/. 240 c) S/. 360

d) 96 e) 23

c) 55

27) Si Micaela recibe S/. 12, tendría el doble que si hubiera recibido S/. 2. ¿Cuánto tiene Micaela? a) S/. 5 d) S/. 2

29) Tengo 2 frascos de 666caramelos cada uno. ¿Cuántos caramelos debo sacar de uno y echarlo en el otro, para que la diferencia de las cantidades sea 46?

d) S/. 480 e) S/. 560

33) Natty en el año 2003 cumplirá 15 años. ¿En qué año cumplirá 28 años? a) 2 009 b) 2 012 d) 2 016 e) 2 010

c) 2 014

34) La suma de las edades de dos personas es 64 años y su diferencia es 24 años. ¿Cuál es la edad del mayor? a) 22 d) 48

b) 36 e) 50

39) Si m * n = 3m - n + 5, halla 7 * 6. a) 20 d) 21

b) 19 e) 23

46) En el cuadro que se muestra a continuación, completa los espacios en blanco. c) 22

+8

-3

c) 44

Pasado Presen Fut 1

a) 24 d) 32

b) 26 e) 30

c) 28

Laura

40) Si x y = x3 + y2 + 1, calcula 2  3 a) 13 d) 16

b) 15 e) 17

a) 46 años b) 48 años c) 52 años d) 56 años e) 41 años

37) La suma de las edades de Jorge y Carlos es 108 años y su diferencia es 24 años. ¿Cuál es la edad del mayor? a) 50 años b) 60 años c) 65 años d) 66 años e) 42 años

38) Alfredo nació cuando su padre tenía 27 años y contaba con 33 años cuando éste murió. ¿Cuánto tiempo vivió el padre? a) 50 años b) 60 años c) 65 años d) 66 años e) 40 años

12

c) 18 47) En el cuadro adjunto: -5

2 2 41) Si se sabe que a ♣b = a +b , 2

calcula 4 ♣ 8 36) Cuando Jair nació, Leoncio tenía 2 años. Si hoy sus edades suman 80 años, ¿cuál es la edad de Leoncio?

a) 40 d) 50

b) 30 e) 60

c) 20

b) 15 e) 64

b) 196 e) 156

45) Si: m  n =

c) 281

a) 10 años b) 12 años c) 15 años

d) 18 años e) 21 años

49) Dentro de 15 años tendré el triple de la edad que tuve hace nueve años. ¿Cuántos años tengo?

m+n 2, 3

b) 25 e) 35

marca lo correcto.

48) Halla la edad de Patty si sabemosquealagregarle40años obtenemos el triple de dicha edad aumentada en 10 años.

Calcula 7  8 a) 20 d) 90

Pasado Presente Futuro Scarlet a 21 y Jesús x 17 b

c) 60

43) Si m n = (a+b)a - b. calcula 8  6 . a) 140 d) 144

+9

a) a = 15; x = 13 b) y = 29; a = 14 c) b = 27; a = 17 d) x = 12; y = 30 e) x = 14; b = 28

42) Si a # b = 5a(b - 2), calcular 6 # 4 . a) 30 d) 32

Fut 2

16

Gildder

35) Al preguntarle a Manuel por su edad, dijo: "Es igual a la de Martín más cuatro". Si ambas suman 60 años, ¿cuál es la edad de Manuel?

+7

c) 15

a) 18 d) 24

b) 19 e) 21

c) 25

50) Hace seis años tenía la tercera parte de la edad que tendré dentro de 10 años. ¿Cuál es mi edad actual? a) 12 años b) 14 años c) 15 años

44

d) 17 años e) 18 años

Ordenamiento Lineal, Vertical y Horizontal Objetivos  Capacitar al alumno a

diferenciar su ubicación vertical y horizontal.  Potenciar su imaginación y

creatividad.

En este capítulo nos encontraremos condiversostiposdeproblemasencuya resolución debemos tener en cuenta lo siguiente:   La información que nos da el

ejercicio necesita ser ordenada.

1. CRECIENTE O DECRECIENTE

Ejemplo 2:  Mirtha

Ejemplo 1:

Camila.

Ricardo, Daniel, Mauricio y Sebastián conversan acerca de su estatura. Ricardo: «Soy más alto que Mauricio pero más bajo que Sebastián». Daniel: «No soy el más bajo». Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda: a) Mauricio puede ser el más bajo. ( ) b) Sebastián es el más alto. ( ) c) Daniel es más alto que Ricardo. ( )

  Se comienza el ordenamiento

utilizando la información precisa o la más relacionada.  Debemos verificar que la respuesta

final que hallamos cumpla con las condiciones del problema. Para su mejor estudio, han sido agrupados según la manera de ordenar la información en:

A. Ordenamiento Lineal En este caso se procede a ordenar la información, ubicando los datos en forma horizontal o vertical, según sea el caso.

45

es 3 cm más alta que

Resolución:

 Angela

es 2 cm más baja que

Camila.  Kiara

es 5 cm más baja que Mirtha.

 Nataly

es 3 cm más baja que

Camila. Indica verdadero (V ) o falso(F), según corresponda: a) Kiara y Angela son de la misma talla. ( b) Nataly es la más baja. ( c) Camila es la más alta . d) Mirtha es la más alta. (

Talla Resolución: Graficando tenemos:

Sebastián Ricardo

Daniel

Mirtha 3 cm

Mauricio Entonces: a) (F) b) (F) c) (F)

Camila 2 cm Angela – Kiara 1 cm Nataly En conclusión : a) b) c) d)

(V) (V) (F) (V)

(

) ) ) )

Juntando los datos:

2. LATERAL Izquierda Oeste Occidente

Derecha Este Oriente

Ejemplo 3: Cuatro amigos viven en la misma calle, además:   Renzo

vive a la izquierda de

Johnny.  La casa de Johnny queda junto y a

la derecha de la de Jorge.  Jorge vive a la izquierda de Oscar.

¿Quién vive a la izquierda de los demás?

Denix

Jam

Max

Alex

Rpta : El volcán Alex es el que está más al este de los demás.

B. Ordenamiento por Posición de Datos Los datos del problema se ubican de forma vertical en un cuadro o lista, de forma que entre ellos exista una relación que el enunciado nos indicará. Ejemplo 5:

Resolución: Ubicando según los datos: Casas de: Johnny Oscar

Renzo Jorge

Cuatro hermanos viven en un edificio de 4 pisos. Si Jorge vive en el primer piso, Juan Carlos vive más abajo que Ángel y Hugo vive en el piso inmediatamente superior al de Juan Carlos, ¿en qué piso vive Hugo?

Rpta: A la izquierda vive Renzo. Resolución: Ejemplo 4:

4.  piso

Ángel

3.er piso

Juan Carlos

2.  piso

Hugo

1.er piso

Jorge

º

El volcán Alex está ubicado al este de Max. El volcán Jam al oeste de Max. El Denix a su vez está ubicado al oeste de Jam. ¿Cuál está ubicado más al oeste?

º

Resolución: Considera: Izquierda de «M» Oeste de «M»

Derecha de «M» M

Este de «M»

Max

Alex

Jam

Max

Denix

Jam

46

Rpta : Hugo vive en el segundo piso.

Ejemplo 6: En una carrera entre cinco compañeros, María llegó en el primer lugar y Lucía en último lugar. Si Juana le sigue a Leticia e Irene está mejor ubicada que Juana, ¿quién ocupa el segundo lugar?

En el principio fue... Pitágoras Sin duda a Pitágoras le debemos el nacimiento de la Matemática como ciencia. De hecho el término Matemática se lo debemos a él. Podemos resumir la deuda de la Humanidad con los pitagóricos en estos cuatro puntos:   Proporcionan la primera visión cosmológica del universo físico.  Afirman que la esencia del mundo físico es matemática.   Colocan número natural origen, fundamento y explicación de todas las cosas.  Son los responsables de la organización del saber en las 4 ramas que perdurarán hasta los tiempos de Newton: Aritmética, Geometría, Música y Astronomía. El famoso Cuadrivium Medieval. Pero los matemáticos les debemos algo más importante: el nacimiento de la Teoría de Números. Filolao, un siglo después de Pitágoras llegó a afirmar: “Todas las cosas que pueden ser conocidas tienen número; pues no es posible que sin número nada pueda ser conocido ni concebido”. Lospitagóricosconsiderabanalos números como los componentes últimos de los objetos materiales. Más o menos como nuestros átomos. Seguramente a esta concepción más materialista debamos la existencia de los números triangulares y de los números poligonales desde los albores de la Matemática.

8)

Resolución: Los datos los colocamos en un cuadro horizontal según el puesto que llegaron. 1.er  puesto

2.  puesto

3.er  puesto

4.  puesto

5.  puesto

María

Irene

Leticia

Juana

Lucía

º

º

a) Sara d) Emma b) Maruja e) Ricardo y Sara c) Ricardo

º

9) Rpta : Irene llegó en segundo lugar.

Si Sara es mayor que Maruja y Maruja es mayor que Ricardo, ¿quién es el menor?

Si Percy es más bajo que Eduardo y Percy es más alto que Iván, ¿quién es el más bajo? a) Iván d) Mario b) Percy e) No se puede c) Eduardo saber

3)

Nivel I 1)

Se tieneun edificiocon cuatro pisos y en cada piso vive una familia. La familia «Melena» vive un piso más arriba que la familia «Guata». La familia «Duende» vive más arriba que la familia «Pirulín» y la familia «Melena» más bajo que la familia «Pirulín». ¿En qué piso viven los «Melena»?

a) Ricardo d) Fernando b) Jorge e) Wilkins c) Julio 4)

º

5) Si Pablo vive en el piso inmediato superior al piso donde vive Erick, ¿cuál de los siguientes enunciados debe ser verdadero? I. Carlos vive en el tercer piso. II. Javier y Erick viven en el primer piso. III. Erick vive en el tercer piso. a) Sólo III b) Sólo II c) Sólo I

47

Si Fernando hubiera obtenido 12, ¿cuál sería la nota de Wilkins? a) 16 b) 17 c) 18

6)

d) I y II e) I y III

Enunciado (preg. 3 – 7) Julio, Fernando, Jorge, Wilkins y Ricardo conversan sobre sus notas obtenidas en el último examen de RM. Julio obtuvo tres puntos más que Jorge pero dos puntos menos que Wilkins; Jorge obtuvo dos puntos más que Fernando y este último obtuvo tres puntos más que Ricardo.

¿Quién obtuvo la calificación más baja? a) Ricardo d) Fernando b) Jorge e) Wilkins c) Julio

a) 1.er piso d) 4.º piso b) 2. piso e) 2.º y 3.er piso c) 3.er piso 2)

¿Quién obtuvo la calificación más alta?

Si Jorge hubiera obtenido 11, ¿cuál sería la nota de Ricardo? a) 04 b) 05 c) 06

7)

d) 19 e) 20

d) 07 e) 08

¿Cuál es la diferencia de notas de los que obtuvieron el mayor y menor puntaje? a) 08 b) 09 c) 10

d) 11 e) 12

10) Si Rubén es más alto que Rafael y Rafael es más alto que Freddy, ¿quién es el más bajo? a) Rubén b) Rafael c) Freddy

d) Freddy y Rafael e) No se puede saber

Si se sabe que:  Julio es más alto que Perico pero más bajo que Luciano.   Luciano es más alto que Calixto pero más bajo que Renato. 11) El más alto es: a) Julio d) Renato b) Perico e) Calixto c) Luciano. 12) El más bajo podría ser: a) Perico b) Renato c) Julio

d) Luciano e) Manuel

13) Podrían tener la misma estatura.... a) Renato y Calixto b) Luciano y Perico c) Julio y Perico d) Calixto y Julio e) Calixto y Luciano 14) Es cierto que: a) Renato es más bajo que Calixto. b) Luciano es más alto que Renato. c) Julio es el más bajo. d) Perico es más bajo que Calixto. e) Perico es más bajo que Renato.

Nivel II Cinco amigos viven en casas contiguas, además:  Alberto vive a la derecha de Pedro.   Sergio vive entre Pedro y Martín.   Fabio vive a uno de los extremos justo al lado de Alberto.   Martín vive a la izquierda de Pedro. 15) ¿Quién vive a la derecha de las otras cuatro personas? a) Martín b) Sergio c) Pedro

d) Alberto e) Fabio

16) ¿Quién vive a la izquierda de las otras cuatro personas? a) Martín b) Sergio c) Pedro

d) Alberto e) Fabio

17) ¿Quién vive al centro? a) Martín b) Sergio c) Pedro

d) Alberto e) Fabio

18) Juan es más alto que Raúl y Pedro es más alto que Juan. ¿Quién es el de menor estatura? a) Raúl b) Juan c) Pedro

d) a y b e) No se puede precisar

19) Julio es más veloz que Arturo y Tony es tan rápido como Julio. ¿Quién es el más lento? a) Julio b) Arturo c) Tony

d) Julio y Tony e) No se puede precisar

20) Gina nació antes que Lina; Maricielo es mayor que Lina pero no que Gina. Por lo tanto: a) Lina es la mayor. b) Gina no es la mayor. c) Maricielo es la mayor. d) Gina es la mayor. e) Ninguna es correcta.

48

21) En un edificio de cuatro pisos viven cuatro profesores, Shirley, Angélica, Kenyo y Úrsula. Si se sabe que:   Angélica no vive junto a Shirley ni a Kenyo.   Kenyo vive más arriba que Shirley y más abajo que Angélica. ¿Entre quiénes vive Úrsula? a) Angélica y Kenyo. b) Angélica y Shirley. c) Kenyo y Shirley. d) Vive sola e) N.A. 22) En cierta prueba, Rosa obtuvo menos puntos que María; Laura menos puntos que Lucía; Noemí el mismo puntaje que Sara; Rosa más puntaje que Sofía; Laura el mismo que María y Noemí más que Lucía. ¿Quién obtuvo el menor puntaje? a) Rosa b) Noemí c) Sofía

d) Laura e) Sara

23) Cinco hermanas viven cada una en un piso diferente de un edificio de cinco pisos.   Yolanda vive en el quinto piso.  Claudia vive en el segundo piso.  Karen vive dos pisos abajo de Yolanda.  Claudia vive un piso arriba de Ángela. ¿En qué piso vive Gianina? a) Primero d) Cuarto b) Segundo e) Quinto c) Tercero 24) Un libro de Lenguaje es más baratoqueunodeRazonamiento Matemático, un libro de Matemática es más caro que uno de Razonamiento Matemático, pero no más que uno de Historia. ¿Cuál libro es el más barato y cuál el más caro? a) Matemática y Lenguaje b) Lenguaje y Raz. Matemático c) Lenguaje e Historia. d) M a t e m á t i c a y R a z . Matemático e) Matemática e Historia.

25) Laciudad«A»tienemáshabitantes que la ciudad «B». La ciudad «B» tiene menos habitantes que la ciudad «C» pero más que la ciudad «D». Si la ciudad «A» tiene menos habitantes que la ciudad «C», ¿qué ciudad tiene más habitantes? a) «C» b) «A» c) «B»

d) «D» e) «A» y «B»

26) Miguel y Enrique nacieron el mismo día. Luis es menor que Enrique. William es menor que Luis, pero Carlos es mayor que Miguel. Por lo tanto, el menor de todos es: a) Miguel d) Carlos b) Enrique e) Luis c) William 27) En un edificio de cuatro pisos, viven cuatro hermanos cada uno en un piso diferente:  Hugo vive en el tercer piso, arriba de Quique.  Percy vive en el segundo piso, abajo de Manuel. ¿En qué piso vive Manuel? a) Primero d) Cuarto b) Segundo e) Ninguno c) Tercero

28) Pancho es mayor que Lucho, Anacleto es menor que Antonio, Zoila es menor que Anacleto y Lucho es más viejo que Antonio. Entonces es cierto que: a) Lucho es el menor. b) Antonio es el menor. c) Zoila es la menor. d) Pan cho es men or que Anacleto. e) Lucho no es mayor que Zoila.

29) Cuatro hermanas se sientan en una fila de cuatro asientos contiguos:  Miluska y Ana se sientan en los extremos.  Norka no se sienta al lado de Ana. ¿Al lado de quiénes se sienta Katy? a) Norka y Ana b) Norka y Miluska c) Ana y Miluska d) De ninguna e) No se sienta 30) En una mansión de cuatro pisos viven los monstruos: Wilkins, Fernando, Julio y Jorge, uno por piso. Si se sabe que Wilkins vive entre Fernando y Julio, y Jorge un piso más arriba que Fernando, ¿en qué piso vive Julio? a) 2.º piso d) 4  piso b) 1.er piso e) N.A. c) 3.  piso to

33) Identifica a la mayor de un grupo de personas, sabiendo que:  Pedro es mayor que Sofía pero menor que Matilde.  Sofía es mayor que Sixto.  Sandro es mayor que Pedro. a) Matilde d) Pedro b) Sofía e) Falta c) Sandro información

31) La ciudad X tiene más habitantes que la ciudad W. La ciudad W tiene menos habitantes que la ciudad Y pero más que la ciudad Z. Si X tiene menos habitantes que Y, ¿qué ciudad tiene más habitantes? a) X b) Y c) W

d) Z e) Ninguna

32) En un examen, Miriam obtuvo menos puntos que Andrea, Teresa obtuvo menos puntos que Miriam y Mónica obtuvo más puntos que Andrea. ¿Quién obtuvo el menor y el mayor puntaje, respectivamente? a) Miriam y Andrea b) Andrea y Teresa c) Teresa y Mónica d) Teresa y Miriam e) Miriam y Mónica

49

a) Chavetón – Cara de loco b) Navajita – Chavetón c) Cara de loco – Chavetón d) Pistolón – Navajita e) Navajita – Cara de loco 38)  Lassiguientesafirmacionespueden ser verdaderas a excepción de:

34) Cinco amigos están sentados en una banca en el cine, ubicados uno a continuación de otro. Zenaida y Pedro se ubican en forma adyacente. Pedro no está al lado de Silvia ni de Juan, Zenaida está en un extremo. Si Silvia y Manuel están peleados, ¿quién se sienta al lado de Silvia? a) Zenaida d) Manuel b) Pedro e) José c) Juan

er 

Nivel III

37) ¿Adyacente a quiénes podría vivir Pistolón?

35) Sabiendo que:  Aldo es más alto que Pepe.  Lucho es más bajo que Juan.  Juan es más bajo que Pepe. ¿Quién es el más alto? a) Aldo b) Lucho c) Pepe d) Juan e) Aldo y Juan son de igual tamaño. Enunciado (preg. 36 – 39)  Las cuatro casas son

contiguas.   Chavetón vive al este de Navajita.  Navajita vive al oeste de Cara de loco.  Cara de loco vive al oeste de Pistolón.

36) ¿Quién vive más al oeste? a) Chavetón b) Navajita c) Cara de loco d) Pistolón e) Faltan datos

a) Chavetón puede vivir al oeste de Pistolón. b) Chavetón puede vivir entre Navajita y cara de loco. c) Cara de loco puede vivir entre Navajita y Chavetón. d) Pistolón puede vivir al oeste de Navajita. e) Navajita no vive al este de Cara de loco. 39) Si Pistolón vive al oeste de Chavetón, entonces es necesariamente cierto que: a) Pistolón vive más lejos de Navajita que de Cara de loco. b) Cara de loco vive más cerca de Navajita que de Pistolón. c) Chavetón vive entre Cara de loco y Pistolón. d) Navajita es el que vive más cerca de Cara de loco. e) Más de una es correcta.

Enunciado (preg. 40 – 42) En una carre ra de autos participaron: Veloz, Rápido, Raudo, Saeta y Bala y se sabe que no hubo empates. Además:  Rápido llegódos puestos antes que Saeta.  Veloz llegó antes que Bala y Raudo.   Raudo llegó antes que Rápido.

40) ¿Quién llegó en primer lugar? a) Saeta b) Bala c) Veloz

d) Rápido e) Raudo

41) ¿Quién llegó en quinto lugar? a) Saeta b) Bala c) Veloz

d) Rápido e) Raudo

42) ¿A cuántos autos superó Rápido? a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

43) X es el niño más alto del salón. En la misma aula, Y es más alto que Z y más bajo que W. ¿Qué afirmaciones son correctas? I. Y, Z y W son más bajos que X. II. X es más alto que W y más bajo que Z. III. Z es el más bajo de lo s mencionados. a) Sólo I b) Sólo II c) I y II

d) I y III e) II y III

44) En la clasificación final de un torneo ecuestre, María quedó primera, Pilar quedó quinta y Sandraocupóellugarintermedio entre ambas. Si Jéssica quedó en algún lugar delante de Pilar y Cecilia lo hizo inmediatamente después de Sandra, ¿quién quedó en segundo lugar? a) Pilar b) Sandra c) Jessica

d) Cecilia e) María

45) De cinco cicudades V, W, X, Y y Z se sabe que:  La ci udad X tiene m ás habitantes que la ciudad W y está al oriente de la misma.   La ciudad W tiene menos habitantes que Y pero más que Z y está al occidente de V.  La ciudad V está al occidente de Y y Z, pero tiene más habitantes que Y. ¿Cuáles de las siguientes ciudades están al oriente de W y tiene menos habitantes que Y? I. V II. X III. Z a) I y II b) Sólo II c) I y III

46) Si Leono tiene más fuerza que Pantro, pero no tanto como Yaga, a su vez Tigro tiene igual fuerza que Yaga pero menos que Munra que se da igual con Reptilio. Indica los que tienen mayor y menor fuerza. a) Munra , Reptilio – Pantro b) Munra – Pantro c) Yaga – Tigro d) Tigro – Leono e) Tigro – Reptilio 47) En una familia hay 3 hijos profesionales: un ingeniero, un médico y un abogado. Sus nombres son: Hugo, Paco y Luis. Hugo es el mayor de todos y no es abogado; a Paco nunca le gustó anatomía; el menor de todos es médico. Entonces es cierto que: I. El mayor es Paco. II. Luis es abogado. III. El menor es Luis. IV. Hugo es ingeniero. a) I y IV b) II y IV c) III y IV

50

d) Sólo III e) Todas

d) I y II e) I y III

48) En una carrera intervienen siete participantes. Los jueces determinan que no puede haber empates. Sabiendo que:  L llegó un puesto detrás de M.  N llegó dos puestos detrás de K.  P llegó cinco puestos detrás de M.  Q llegó un puesto detrás de P. Luego, R llegó: a) Entre M y K b) Entre N y K  c) Dos puestos detrás de N d) Después de P e) Antes de M

49) Sobre una mesa hay tres naipes en hilera.  A la izquierda del rey hay un as.  A la derecha de la jota hay uno de diamantes.  A la izquierda del de diamantes hay uno de tréboles.  A la derecha del de corazones hay una jota. ¿Cuál es el naipe del medio? a) Rey de tréboles b) As de tréboles c) Jota de diamantes d) As de diamantes e) Jota de tréboles

50) Seis amigas están escalando una montaña. Carla está más abajo que Juana, quien se encuentra un lugar más abajo que María. Daniela está más arriba que Carla pero un lugar más abajo que Tania, quien está más abajo que Rosa, que se encuentra entre Juana y Tania. ¿Quién está en el cuarto lugar del ascenso? a) María b) Juana c) Carla d) Tania e) Daniela

Ordenamiento Circular y Test de Decisiones Objetivos  Potenciar el razonamiento

Luego, terminando de completar:

Resolución: «M se sienta junto y a la derecha de N, pero frente a P».

Q P

R

T

M

innovador.  Que el alumno tenga

P

creatividad e ingenio.

N

M

Ordenamiento Circular En estos casos se presenta la información indicándose que se ubican los datos alrededor de un objeto, formando así una línea cerrada (circunferencia).

↓ Rpta.: T está entre N y P. N Ejemplo 2: «Q no se sienta junto a N».

«A», «B», «C», «D», «E», «F», «G» y «H» se sientan alrededor de un mesa circular con ocho asientos, distribuidos simétricamente.

Q (I) Los ejercicios de este tema son un tanto complicados y se necesita mayor atención y un minucioso análisis.

Q (II)

P

M

Seis amigos M, N, P, Q, R y T se sientan alrededor de una mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente.

A

G C

«R no se sienta junto a P»; esto descarta la posibilidad (II) y tendríamos:

N y frente a P.

Q R

P

 R no se sienta junto a P.

¿Entre quiénes se sienta T?

M N

51

D F

N

 M se sienta junto y a la derecha de

 Q no se sienta junto a N.

H

E

Ejemplo 1:

Si se sabe que:

B

Responde : a) ¿Quién se sienta frente a «F»? _________________________ b) ¿Quién(es) está(n) a la derecha de «C»?   _________________________ c) ¿Quién está a la izquierda de «A» y  junto a «D»?   _________________________ d) ¿Quién está al frente del que está tres asientos frente a la izquierda de «G»?   _________________________

Ejemplo 3:

Resolución:

Seis amigos se ubican alrededor de una fogata. Talía no está sentada al lado de Nelly ni de Paúl. Fausto no está sentado al lado de Rosa ni de Paúl. Nelly no está al lado de Rosa ni de Fausto. Denis está  junto y a su derecha de Nelly. ¿Quién está sentado a la izquierda de Fausto? Resolución:

Resolveremos de una forma sencilla, analizando los datos y colocándolos en una tabla. «Heinz salió con la amiga de Nancy». Nancy Paola

La suma de los inversos de los números triangulares

Manuel Heinz

Tomando en cuenta los datos, la ubicación ocupada por los amigos será la siguiente:

Sonia

X

César «Paola no simpatiza con Nancy».

Talía

Nancy Paola

Fausto

Rosa

Paúl

Denis Nelly

Rpta.: A la izquierda de Fausto está sentada Talía.

Test de Decisiones En algunos casos, la existencia de una diversidad de datos hace necesaria la construcción de una tabla o cuadro, en el cual se relacionan los datos proporcionados marcando las relaciones existentes y descartando las que no cumplen las condiciones del problema. Ejemplo 4: A una cita pactada por internet asistieron tres amigos: Manuel, Heinz y César; y tres damas: Paola, Nancy y Sonia. Terminada la cita, cada uno de ellos se fue acompañado por una dama. Heinz salió con la amiga de Nancy, Paola que no simpatiza con Nancy, salió antes que Manuel. a) ¿Quién acompañó a Sonia? b) ¿Con quién salió Manuel?

52

Sonia

Manuel Heinz

X X

X



César

X

«Paola salió antes que Manuel». Nancy Manuel Heinz

X

César

SIGLO XVII La fiebre de las series

Paola

Sonia

X

X

X





X

Finalmente, Nancy salió con Manuel. Nancy Paola

Sonia

Manuel



X

X

Heinz

X

X



César

X



X

Luego: a) Heinz acompañó a Sonia. b) Manuel salió con Nancy.

Cuando Leibniz llega a París, con su máquina de calcular debajo del brazo, con fama de abogado y diplomático brillante y con mucho éxito con las damas en los salones de la época, no tenía aún una base matemática sólida. Lejos quedan todavía los años de fundación del cálculo. Leibniz pidió a Huygens que le introdujera en los círculos científicos del París de la época. Éste le puso un examen previo, una especie de selectividad para acceder a su petición. Le planteó que calculase la suma de esta serie, que curiosamente tiene que ver con los números triangulares: 1 1 1 1 1 + + + + + ... = S 3 6 10 15  Leibniz, que a pesar de su escasa formación, era un genio, dio la respuesta de forma ingeniosa: Calculó, no la suma, sino su mitad: 1/2 · S = 1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + ... = =(1– 1/2)+(1/2 – 1/3)+(1/3 – 1/4)+(1/4 – 1/5)... = = 1– 1/2+1/2 – 1/3+1/3 – 1/4+1/4 – 1/5... = 1 Luego: S = 2 Y los medios científicos y matemáticos parisinos abrieron sus puertas de par en par a Leibniz y quizás gracias a ello, pudo nacer el cálculo diferencial e integral.

Ejemplo 5: Mónica, Lesly e Isabel viven en tres ciudades diferentes: Loreto, Arequipa y Tumbes; y estudian una carrera distinta: ingeniería, arquitectura y contabilidad, aunque no necesariamente en ese orden. Se sabe que: I. II. III. IV. V.

Nivel I

Mónica no vive en Arequipa. Lesly no vive en Tumbes. La que vive en Arequipa no estudia arquitectura. Quien vive en Tumbes estudió contabilidad. Lesly no estudia ingeniería.

1)

a) ¿Dónde vive Lesly? b) ¿Qué estudia Isabel? c) ¿Quién vive en Tumbes?

En una mesa circular se encuentran distribuidos simétricamente tres niños: Gabriel, César y Freddy. Si Freddy está junto y a la izquierda de César, ¿cuál es el orden en que se sientan los niños empezandoporGabriely siguiendo el sentido antihorario? a) GFC b) FCG c) GCF

Resolución:

d) CGF e) CFG

De I, II, III y V: 2) Sí  No Sí  Sí  Loreto Arequipa Tumbes Ingeniería Arquitectura Contabilidad X

Mónica Lesly

X

X



X

Isabel

En una mesa cuadrada se sientan cuatro personas: Pedro, Pablo, Wilma y Betty, una en cada esquina. Se sabe que:  Frente a Pedro está Betty.  Pablo no está a la izquierda de Betty. ¿Quién está a la izquierda de Wilma? a) Betty b) Pablo c) Pedro

d) Nadie e) Falta información

Observamos que Lesly no estudia contabilidad, porque no vive en Tumbes, por lo tanto, estudia arquitectura. 3) Loreto Arequipa Tumbes Ingeniería Arquitectura Contabilidad Mónica

X

X





X

X

Lesly



X

X

X



X

Isabel

X



X

X

X



En conclusión :

53

a) Lesly vive en Loreto. b) Isabel estudia contabilidad. c) En Tumbes vive Mónica.

Cuatro amigos se sientan alrededor de una mesa redonda en la que hay cuatro sillas distribuidas simétricamente. Sabemos que:  Juan se sienta junto y a la derecha de Luis.  Pedro no se sienta junto a Luis.  José está entretenido viendo cómo los otros tres discuten. Según esto podemos afirmar: a) José y Juan se sientan juntos. b) Luis y José no se sientan  juntos. c) No es cierto que José y Juan no se sientan juntos. d) Pedro se sienta junto y a la derecha de José. e) Pedro se sienta junto y a la derecha de Juan.

4)

Cinco personas A, B, C, D y E se sientan alrededor de una mesa circular que tiene cinco asientos.  A se sienta entre B y C.  E se sienta al lado de B. ¿Cuál de las sigui entes afirmaciones es verdadera? I. C se sienta junto a D. II. A se sienta junto a E. III. D se sienta junto a E. a) I y II b) I y III c) II y III

5)

7)

a) Chun – Lee b) Riu c) Bruce d) Chun – Lee o Riu e) Bruce o Chun – Lee

d) Ninguno e) Falta información

Cuatro amigos se sientan alrededor de una mesa redonda con cuatro sillas distribuidas simétricamente. Si se sabe que:  Pilar no se sienta junto a Julia.  Pamela se sienta junto y a la derecha de Julia. ¿Dónde se sienta Jorge?

8)

a) Frente a Pamela b) Frente a Pilar c) A la izquierda de Julia d) A la derecha de Pilar e) Más de una es correcta 6)

En una mesa circular seis super héroes (Batman, Robin, Superman, Acuaman, Flash y la Mujer Maravilla) se ubican simétricamente. Si se sabe que:  Superman está a la izquierda de la Mujer Maravilla y frente a Acuaman.  Robin está frente a Batman y no está al lado de Acuaman. ¿Quién está a la izquierda de Flash? a) Robin b) Mujer Maravilla c) Superman d) Batman e) Acuaman

En una mesa circular, cuatro peleadores (Bruce, Riu, Ken, Chun–Lee) se ubican simétricamente. Si se sabe que:  Ken se sienta frente a Riu.  Bruce se sienta frente a Chun– Lee. ¿Quién está a la derecha de Ken?

Cuatro hermanas: Nancy, Rosa, Graciela y Nilda se sientan alrededor de una mesa circular que tiene cinco asientos.  Entre Rosa y Graciela hay un asiento vacío.  Nilda no se sienta junto a Rosa. ¿Quiénes se sientan junto a Nancy? a) Graciela y Nilda b) Rosa y Graciela c) Nilda y Rosa d) Ninguna e) Faltan datos

9)

En la biblioteca de una universidad, 8 alumnos se sientan en una mesa circular, guardando iguales distancias. Todos son alumnos de diversas facultades. El de Ingeniería está frente al de Educación y entre los de Economía y Farmacia, el de Periodismo está a la izquierda del de Educación y frente al de Economía, frente al de Farmacia está el de Derecho; éste a su vez está a la siniestra del de Arquitectura. ¿Cuál de ellos está entre los estudiantes de Biología y Educación? a) El de Periodismo b) El de Economía c) El de Biología d) El de Arquitectura e) El de Educación

54

10) Seis personas juegan al póquer alrededor de una mesa redonda, Lito no está sentado al lado de Elena ni de Juana. Félix no está al lado de Gino ni de Juana, Pablo está junto y a su derecha de Elena. ¿Quién está sentado a la derecha de Pablo? a) Pablo b) Félix c) Elena

d) Juana e) Gino

11) En una fiesta se encuentran tres amigos: Darío, Armando y Gerardo. Ellos a su vez son: profesor, marinero y contador, aunque no necesariamente en ese orden. El profesor, que es vecino de Gerardo, siempre va de compras con Darío. Si Gerardo fue compañero de estudios del marinero, ¿qué ocupación tiene Darío? a) Profesor b) Marinero c) Contador d) Doctor e) N.A. 12) Patty, Claudia y Rosemary son tres tutoras de primer, segundo y tercer año, aunque no necesariamente en ese orden. Si:  Claudia es tutora de primer año.  Rosemay no es tutora de segundo año. ¿Quién es la tutora del salón de tercer año? a) Patty d) Rosemary b) Diana e) N.A. c) Claudia 13) A una reunión asistieron tres amigos: Marcos, Hugo y Carlos; y tres damas: Pilar, Nora y Sara. Terminada la actividad, cada uno de ellos salió acompañado por una dama. Hugo salió con la amiga de Nora, Pilar, que no simpatiza con Nora, salió antes que Marcos. ¿Quién acompañó a Sara y con quién salió Marcos? a) Hugo y Pilar b) Hugo y Nora c) Carlos y Pilar d) Carlos y Nora e) N.A.

14) Tres amigos: Gílder, José y Beto comentan acerca del equipo del cual son hinchas: «U», Cristal y Cienciano.  Gilder dice: «No soy hincha de Cienciano ni de Cristal».  José dice: «Me gustaría que mi equivo tuviera una camiseta como la del Cienciano».  Beto dice: «Me encanta el uniforme rojo de mi equipo». Si el más inteligente es hincha de la «U», ¿quién es éste? a) Gilder b) José c) Beto

d) Mauricio e) N.A.

15) Cuatro amigos: Ángel, Ian, Mauro y Roberto viven en cuatro distritos diferentes. Además se sabe que:  Ian no vive en Jesús María, pero Roberto vive en Pueblo Libre.  Ángel va a Jesús María a visitar a Mauro.  A Ian le gustaría vivir en San Isidro. ¿Dónde vive Ángel?¿Quién vive en San Borja? a) Jesús María e Ian b) San Isidro y Mauro c) San Isidro y Roberto d) Pueblo Libre y Roberto e) Pueblo Libre e Ian Nivel II 16) Trespersonas:Antonio,Fernando yJorgetienendiferentesaficiones: fútbol, básquet y tenis, y gustan de colores diferentes: azul, rojo y blanco. Si se sabe que:  Fernando no practica tenis.  El basquetbolista no gusta del rojo.  Antonio no practica básquet.  Quien practica tenis gusta del blanco.  Fernando no gusta del azul. ¿Qué afición tiene Antonio? ¿Cuál es el color favorito de Jorge? a) Fútbol y blanco b) Tenis y rojo c) Fútbol y rojo d) Tenis y blanco e) Tenis y azul

55

17) Albino, Beto y César viven en distritosdiferentes,ysemovilizan usando transportes distintos. Los distritos son: La Victoria, Lima, Pueblo Libre y los medios son: bicicleta, moto y automóvil.  Cuando Beto tenga dinero se comprará una moto y se mudará a Pueblo Libre.  Desde que César vive en Lima ya no tiene bicicleta.  El que vive en La Victoria usa 2 automóviles por la distancia. ¿Qué medio usa el que vive en Pueblo Libre? a) Faltan datos b) Bicicleta c) Automóvil d) Moto e) N.A. 18) Almorzaban juntos tres políticos: el señor Blanco, el señor Rojo y el señor Negro. Uno de ellos llevaba corbata blanca, otro roja y el otro, negra, pero no en el mismo orden. En un corto diálogo, se escucha que:  El señor de la corbata roja dice: «Es curioso, a pesar de que nuestros apellidos son los mismos que los colores de nuestras corbatas, ninguno lleva su correspondiente».  El señor Blanco responde: «Tiene usted razón». ¿De qué color es la corbata del señor Blanco? a) Blanca b) Negra c) Roja

d) Azul e) Verde

19) «A», «B» y «C» tienen una mascota cada uno: perro, gato y mono. Si «B» le dice a la que tiene el gato, que la otra tiene un perro y «C» le dice a la que tiene el perro, que debería vacunarlo contra la rabia; entonces: a) «A» tiene el mono. b) «C» tiene el gato. c) «B» tiene el perro. d) Faltan datos e) N.A.

20) Tres amigos: Ana, Beto y Carlos, tienen distintas profesiones: profesor, médico y electricista, no necesariamente en ese orden. Si:  Ana es médico.  Beto no es el electricista. ¿Cuál es la profesión de Carlos? a) Profesor d) Contador b) Médico e) Ninguna c) Electricista 21) Cinco hermano s P, Q, R, S y T se sientan alrededor de una mesa circular que tiene cinco asientos.  P se sienta entre Q y R.  T se sienta al lado de Q.   ¿Cuáldelassiguientesafirmaciones son verdaderas? I. R se sienta junto a S. II. P se sienta junto a T. III. S se sienta junto a T. a) I y II d) I y III b) II y III e) Las tres c) Ninguna

22) D i a n a , E l e n a , F i o r e l l a , Alejandro, Bruno y Carlos se sientan alrededor de una mesa circular con seis sillas distribuidas simétricamente de modo que:  Alejandro se sienta frente a Fiorella.  Dos personas del mismo sexo no se sientan juntas. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I. Alejandro se sienta adyacente a Diana y Elena. II. Fiorella se sienta a la derecha de Carlos. III. Elena se sienta a la izquierda de Bruno. a) Sólo I b) I y II c) I y III

d) II y III e) Ninguna

23) Seis amigos juegan al póquer alrededor de una mesa redonda. Además se sabe que:  Luis no está sentado al lado de Enrique ni de José.  Fernando no está al lado de Gustavo ni de José.  Enrique no está al lado de Gustavo ni de Fernando.  Pedro está a la derecha de Enrique. ¿Quién está sentado junto y a la izquierda de Fernando? a) Pedro d) Gustavo b) Enrique e) Fernando c) Luis 24) Seis amigos: Ángel, Daniel, Mario, Raúl, Sergio y Tomás se reúnen para cenar en una mesa redonda. Si se sabe que:  Raúl no se sentó al lado de Tomás ni de Ángel.  Mario no se ubicó al lado de Ángel ni de Raúl.  Sergio no se sentó al lado de Tomás ni de Mario. ¿Quién se sentó junto y a la izquierda de Ángel? a) Sergio b) Daniel c) Mario

d) Tomás e) Raúl

25) En una mesa circular hay seis asientos simétricamente colocados ante la cual se sientan 6 amigas a jugar monopolio. Además se sabe que:  Lucía no está sentada al lado de Leticia ni de Juana.  María no está al lado de Cecilia ni de Juana.  Leticia no está al lado de Cecilia ni de María.  Irene está junto y a la derecha de Leticia. Entonces es cierto: I. Irene está junto y a la derecha de María. II. Lucía está frente a Leticia. III. Juana está junto y a la izquierda de Cecilia. a) Sólo I b) Sólo II c) I y III

56

d) II y III e) Todos

26) Seis amigos A, B, C, D, E y F se sientan alrededor de una mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente.   Además:  D no se sienta junto a B.  A se sienta junto y a la derecha de B y frente a C.  E no se sienta junto a C. ¿Entre quiénes se sienta F? a) C y E b) C y B c) A y D

d) C y A e) B y E

27) En una mesa circular con seis asientos distribuidos simétrica– mentesesientancincohermanos: Erica, Fabiola, Miluska, Guisela y Francisco. Si se sabe que:  Francisco y Miluska no se sientan juntos.  Guisela se sienta junto a Erica y Francisco.  Fabiola se sienta frente a Guisela. ¿Quién se sienta frente al sitio vacío? a) Erica d) Guisela b) Miluska e) Fabiola c) Francisco 28) Víctor, Daniel y Beto son militares con tres rangos distintos: soldado, cabo y mayor, aunque no necesariamente en ese orden. Si:  Beto es el soldado.  Daniel no es el cabo. ¿Cómo se llama el mayor? a) Víctor b) Daniel c) Beto

d) F.D. e) N.A.

29) Tres hermanos practic an natación, atletismo o básquet; y cada deporte se identifica con un color: azul, rojo o verde. Juan no sabe nadar; el que juega por el verde es atleta; los rojos no juegan básquet y Gustavo participa por el verde. ¿Qué deporte le corresponde a Alberto y Gustavo, respecti vamente? a) Natación y básquet b) Básquet y atletismo c) Atletismo y natación d) Natación y atletismo e) Faltan datos 30) Tresniños tienen como mascotas a un sapo, un pez y a un hámster y les han puesto como nombres Boris, Alex y Cuty. Se sabe que Alex no croa y que a Boris le cambian periódicamente el agua. Entonces, el pez, el hámster y el sapo se llaman respectivamente: a) Alex, Boris, Cuty b) Cuty, Alex, Boris c) Boris, Cuty, Alex d) Alex, Cuty, Boris e) Boris, Alex, Cuty Nivel III 31) Rommel, Álex, Luis y Eduardo practicanlossiguientesdeportes: fútbol, atletismo, natación y tenis; y viven en los distritos de Los Olivos, Breña, San Borja y Miraflores. Si se sabe que:  Luis no vive en Los Olivos ni en Breña.  El atleta vive en Los Olivos.  Rommel vive en Miraflores.  Eduardo es futbolista.  El nadador nunca ha emigrado de San Borja. ¿Qué deporte practica Rommel? a) Natación b) Atletismo c) Fútbol d) Tenis e) Básquetbol

32) Tres muchachos llamados: Coco, Willy y Carlos, gustan ver TV los sábados por la tarde; uno gusta de programas deportivos, otros policiales y el otro culturales. Se sabe que Willy disfruta cuando ve encuentros reñidos por TV. Carlos le ha dicho a Coco que alquile una película con mucha acción. Entonces, es cierto que: a) Willy gusta de programas deportivos. b) C o c o v e p r o g r a m a s culturales. c) Carlos ve películas policiales. d) Will y no ve prog rama s culturales. e) Todas son ciertas. 33) Se sabe que las profesiones de Julissa, Elisa, Rita y Kelly son: profesora, nutricionista, abogada y odontóloga. ¿Quién es la abogada y quién es la odontóloga?, si sabemos que:  Julissa está casada con el hermano de la nutricionista.  Elisa y la odontóloga van a trabajar en la movilidad de la nutricionista.  Las solteras de Rita y la profesora son hijas únicas.  Elisa y Kelly son amigas de la abogada, la cual está de novia. a) Rita – Julissa b) Rita – Elisa c) Julissa – Kelly d) Elisa – Kelly e) Kelly – Rita 34) Tatán, Tetén y Titín son tres ladronzuelosquerobaronunreloj, una billetera y una chompa (no necesariamente en ese orden). Se sabe que Tetén utilizó el artículo que robó para abrigarse, en cambio el artículo que robó Tatán se malogró con un golpe. Entonces; el reloj, la billetera y la chompa fueron robados respectivamente por: a) Titín, Tetén, Tatán b) Tatán, Titín, Tetén c) Tetén, Tatán, Titín d) Tatán, Tetén, Titín e) Titín, Tatán, Tetén

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35) Por mi casa vive un gordo, un flaco y un enano que tienen diferentes temperamentos. Uno para alegre, otro colérico y el otro triste. Si se sabe que:  Al gordo nunca se le ve reír.  El enano para molesto porque siempre lo fastidian por su tamaño. Entonces, es cierto que: a) El gordo para alegre. b) El flaco para triste. c) El enano para triste. d) El flaco para alegre. e) El gordo para colérico. 36) En una mesa circular de 7 sillas se sientan a discutir cuatro obreros: A, B, C y D y tres empleados: X, Y y Z. Sabiendo que:  Ningún empleado se sienta  junto a otro empleado.  B se sienta junto a D, pero Z no se sienta junto a ellos. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones son correctas? I. Entre D y Z hay por lo menos 2 asientos. II. X se sienta junto a B. III. A se sienta junto a Y. a) Sólo I b) I y II c) Sólo II

d) I y III e) II y III

37) Cinco amigos: A, B, C, D y E se sientan alrededor de una mesa circular y se sabe que:  Las 5 sillas se encuentran distribuidas simétricamente.  A se sienta junto a B.  D no se sienta junto a C. Podemos afirmar con certeza que: I. D se sienta junto a A. II. E se sienta junto a C. III. B se sienta junto a D. a) Sólo I b) Sólo II c) I y II

d) I y III e) Todas

38) En una mesa circular hay 6 asientos y se sientan 4 amigos: A, B, C y D.  Nadie se ha sentado junto a A.  Si llega un amigo más, podría estar junto a B.  Frente a D no hay nadie. ¿Quién está frente a C? a) A o B b) A c) D

d) A o nadie e) Nadie

39) Seis amigos: Ángel, Daniel, Mario, Raúl, Sergio y Tomás se reúnen para jugar naipes en una mesa circular. Si se sabe que:  Raúl no se sentó al lado de Tomás ni de Ángel.  Mario no se ubicó al lado de Ángel ni de Raúl.  Sergio no se sentó al lado de Tomás ni de Mario. ¿Quién se sentó junto y a la derecha de Tomás? a) Mario b) Daniel c) Sergio

d) Ángel e) Raúl

40) Cuatro amigos: José Luis, Juan, Carola y Kathya, se sientan alrededor de una mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente. Si se sabe que: entredospersonasdelmismosexo hay un asiento vacío adyacente a ellas. Kathya se sienta junto a José Luis. Podemos afirmar que: I. Carola se sienta junto a Juan. II. José Luis se sienta frente a Carola. III. Kathya se sienta frente a Juan. a) Sólo I b) Sólo II c) I y II

d) II y III e) Todas

41) En una mesa circular se sientan 8 amigos: A, B, C, D, E, F, G y H. Si se sabe que:  H está frente a A y D frente a G.  D no está a la izquierda de A, pero si a la izquierda de E.  B está frente a E y a la derecha de G.  C está frente a F, F está a la derecha de B y H no está junto a F. ¿Quién está junto y a la derecha de A? a) G b) C c) F

d) E e) D

42) Luis, Judith, Armando y su prima Marilyn, ordenaron helados de sus sabores favoritos. Cada uno ordenó un sabor diferente. Tomaron: helado de chocolate, fresa, vainilla y marrasquino. A Armando y Marilyn no les gusta la fresa. Judith tomó chocolate. Marilyn solía tomar marrasquino pero se cansó de éste. ¿Qué ordenaron Armando y Marilyn, respectivamente? a) Chocolate y fresa b) Vainilla y fresa c) Marrasquino y chocolate d) Marrasquino y vainilla e) Fresa y marrasquino 43) Los señores Pérez, Mercado, Benites y Jara tienen profesiones diferentes: Arquitecto,Sociólogo, Contador y Agrónomo. Se van de vacaciones a diferentes lugares: Huaraz, Trujillo, Cusco e Iquitos. El Sr. Pérez trajo un caimán, siendo Mercado el arquitecto que admiró la belleza del Lanzón de Chavín, Benites no es sociólogo, Jara cumplió su deseo de conocer el Cusco. El Agrónomo no conoce Trujillo. ¿Quién fue a Trujillo y cuál es su profesión? a) Benites – Agrónomo b) Jara – Contador c) Benites – Contador d) Jara – Arquitecto e) Jara – Sociólogo

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44) Un estudiante, un médico y un abogado comentan que cada uno de ellos ahorra en un banco diferente:  «Yo ahorro en Interbank», dice el médico a Roberto.  Tito comenta: «El banco que más interés paga es el Wiese».  El abogado dice: «Mi secretaria lleva mi dinero al Banco de Lima».  El tercer personaje se llama José. ¿Cómo se llama el estudiante? a) Roberto b) Roberto o José c) José d) Faltan datos e) Tito 45) En una reunión se encuentran 4 amigos: Miguel, José, Roberto y Eduardo;éstosasuvezson:atleta, futbolista, obrero, ingeniero, aunquenonecesariamenteenese orden. El atleta que es primo de Miguel es el más joven de todos y siempre va al cine con José o Roberto, que es el mayor de todos, y es vecino del futbolista, quien a su vez es millonario. Miguel que es pobre, es 5 años menor que el ingeniero. ¿Cuál es la ocupación de Roberto? a) Obrero b) Ingeniero c) Futbolista d) Atleta e) Millonario

46) Los profesores: Danilo, Héctor, Roberto y Willy enseñan en un colegio quienes dictan las materias de : Razona– miento Verbal, Aritmética, Razonamiento Matemático y Álgebra. Si sabemos que:  Robertoesamigodelprofesorde Razonamiento Matemático.  El profesor de Aritmética no conoce a Héctor, ni al que dicta Álgebra.  Willy y el profesor de Álgebra son amigos en común con el profesor de Razonamiento Matemático.  El único amigo de Danilo es Willy.   Entonces: a) Willy dicta Razonamiento Matemático. b) Roberto dicta Aritmética. c) Danilo dicta Álgebra. d) Héctor dicta Razonamiento Matemático. e) Willy dicta Álgebra. 47) Tres amigos: Pepe, Juan y Carlos tienen 3 polos: verde, rojo y azul, no necesariamente en ese orden. Pepe le dice al de polo rojo que el de polo azul está enfermo, y el de polo rojo le pregunta a Carlos cómo está de ánimo. ¿Qué polo le correspo nde a Juan? a) Verde b) Azul c) Rojo

d) Verde o azul e) Faltan datos

48) Cinco amigas se compran bicicletas de cinco colores diferentes. Todos los sábados salen a pasear e intercambian sus bicicletas (aunque no necesariamente todas), como el sábado que pasó:  Sandra se encuentra triste recostada en un muro, arrepentida por no haber comprado la bicicleta blanca que compró Estela.  Judith se encuentra paseando alegremente en la bicicleta negra de su amiga.  La dueña de la bicicleta roja se entrena duramente en la bicicleta verde de Pamela.  Yulissa mira la bicicleta azul. ¿Quién es la dueña de la bicicleta roja y quién de la negra? a) Sandra – Judith b) Sandra – Yulissa c) Yulissa – Sandra d) Yulissa – Judith e) Judith – Sandra

49) Gabriela, Paula, Roxana y Virginia viven en los siguientes distritos: Barranco, Comas, Lima y La Molina, pero no necesariamente en ese orden. Además, cada una tiene una ocupación diferente: arquitecta, electricista, periodista y vendedora. Se sabe que:  Gabriela no vive en La Molina.  Virginia vive en Barranco y es periodista.  La arquitecta vive en Comas.  Roxana no vive en Lima ni en Comas.  La vendedora vive en La Molina. La asociación correcta es: a) Paula – Barranco – periodista b) R o x a n a – B a r r a n c o – vendedora c) R o x a n a – L a M o l i n a – vendedora d) V i r g i n i a – B a r r a n c o – electricista e) Virginia – Lima – electricista

50) Juan, Pedro, Martín y Sergio son cuatro amigos que son hinchas de la «U», «Municipal», «Alianza Lima» y «Cristal» y sus cursos preferidos son: Lenguaje, Historia del Perú, Razonamiento Matemático y Geometría. Además:  El hincha de la «U» prefiere Razonamiento Matemático.  Juan es hincha del Municipal. (uno de los diez que quedan)  Sergio prefiere Lenguaje y es hincha de Oscar Limache.  Al hincha de «Alianza Lima» no le gusta ni RM ni Geometría (con las justas sabe sumar).  Pedro conversa con el hincha de la «U» acerca del último clásico del fútbol peruano. (Por supuesto, ganó la «U»: 3 – 0) ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son necesariamente ciertas? I. Martín es hincha de la «U». II. El curso preferido de Juan es Geometría. III. El curso preferido de Martín es Historia del Perú. a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III

Leonardo da Vinci Pintor, escultor y arquitecto italiano, nacido en el Castillo de Vinci, cerca de Florencia, en 1452 y muerto en el Castillo de Clou (Francia) el 2 de mayo de 1519. Mostró desde su niñez singular aptitud para las artes del dibujo, las matemáticas y la música. Los dibujos que hizo a su antojo, libre de toda influencia, mostraban ya tal habilidad. Es asombroso escuchar todo lo que se decía de Leonardo, en una carta del artista dirigida al duque de Milan, relata extensamente sus invenciones al declarar que sabe hacer pontones muy ligeros de fácil transpor te, destruir por completo una plaza fuerte si no está construida sobre la roca; fabricar bombardas de gran efecto; trazar hábiles caminos para llegar en silencio, hasta el enemigo, etc, etc, ... etc. Un genio del cual se dice que debió vivir en el siglo XXI.

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d) I y II e) Todos