FORMULACIÓN FORMULACIÓN HAMILTONIANA: ECUACIONES
1. El punto de suspensión de un péndulo simple de masa m y de longitud l está obligado a moverse a lo largo de una pista horizontal, y está conectado a un punto de la periferia de un volante de masa y de radio a . El volante gira libremente alrededor de un centro fijo en la pista. Hallar la hamiltoniana del sistema, y las correspondientes ecuaciones del movimiento de Hamilton.
x = 2a cos θ + l sin φ y = −l cos φ x = −2asinθ θ + l cos φ φ y = lsinφ φ
T p =
m
l 2φ 2 + 2a 2 m sin 2 θ θ 2 − 2alm sin θ cos φ θ φ
2 1 T D = I θ 2 2 a
1 I = ∫ ρ l 2 π rdr r 2 = 2π a 4 ρ l = M = π a 2 l ρ = MR 2 4 0
(
)
V = −mgl cos φ
I l 2 φ 2 + + 2a 2 m sin 2 θ θ 2 − 2alm sin θ cos φ θ φ + mgl cos φ 2 2
L =
m
L =
1 2
(φ , θ )⋅ A ⋅ φ
θ
48
ml 2 − 2alm sin θ cos φ A= 2 2 − 2alm sin θ cos φ I + 4a m sin θ P φ φ P = = A ⋅ P θ θ 1 T ( −1) P ⋅A ⋅P 2 I + 4a 2m sin 2 θ 2al sin θ cos φ 1 ⋅ A(−1) = 2alm sin θ cos φ ∆ ml 2
T =
∆ ≡ ml 2 ( I + 4a 2m sin 2 θ ) − 4a 2l 2m2 sin 2 θ cos2 φ
H =
1 ( I + 4a 2m sin 2 θ ) P 2 + ml 2 P 2 + 4alm sin θ cos φ P P − mgl cos φ φ θ θ φ 2∆
No hay ninguna que sea obviamente cíclica, aunque H se conserva: H=E, al no depender explícitamente del tiempo. Las ecuaciones de Hamilton son:
∂ H ∂ H =− P ; φ = φ ∂φ ∂ P φ ∂ H ∂ H =− P ; θ = θ ∂θ ∂ P θ -------------------------------------------
2. La Lagrangiana de un sistema con dos grados de libertad puede escribirse en la forma L =
m 2
[( q sinω t + ω q cos ω t ) 2 + (ω qsinω t ) 2 ]
¿Cuál es la Hamiltoniana correspondiente?¿Se correspondiente?¿Se conserva? Introduciendo la nueva coordenada Q = qsinω t , hallar la Lagrangiana en función de Q y su derivada, y también la correspondiente correspondiente Hamiltoniana H .¿Se conserva H ?
49
L =
[(q sinω t + ω q cos ω t ) 2
m
2
+ (ω qtsinω t ) 2
]
∂ L = msinω t ( q sinω t + ω q cos ω t ) ∂q H = pq − L p =
H =
m 2
q 2 sin 2ω t − ω 2 q 2
m 2
donde q = (
p
− ω q cos ω t )
msinω t
1 sinω t
Entonces la Hamiltoniana es: H =
m
p
(
2 msinω t
− ω q cos ω t ) 2 − ω 2 q 2
m 2
No se conserva al depender del tiempo. Q
=
qsin ω t
Q
=
q sin ω t + q ω cos ω t
L 1 H 1
=
=
m
2
( Q 1
2m
2
+
2
P 1
ω 2 Q
−
1 2
2
)
P 1 2
m ω Q
=
m Q
2
Sí, se conserva. -----------------------------------------
3. Considérese un cilindro de radio R radio R,, libre de girar respecto de su eje de simetría, situado verticalmente, y cuyo momento de inercia respecto de tal eje es I . Sobre la superficie lateral del cilindro está fija rígidamente una espira uniforme ó pista helicoidal, a lo largo de la cual puede deslizarse sin rozamiento un un punto material de de masa m . El ángulo formado por la hélice respecto de la vertical es tal que desciende una altura 2πα por cada vuelta que se da alrededor del cilindro. Supóngase que la partícula parte del reposo desde la parte superior del cilindro y se desliza bajo la influencia de la gravedad. Usando un sistema de coordenadas cualquiera, obtener la Hamiltoniana para el sistema combinado partícula-cilindro, y resolver completamente el movimiento del sistema. Interprétense todas las variables cíclicas del sistema.
50
x = r cos(φ + θ )
; y = r sin(φ + θ )
z = −αφ siendo la constante de la espiral: L = 2πα
1
T particula =
2
[
m ( R 2 (φ + θ ) 2 + α 2φ 2
]
1 T cilindro = I θ 2 2 V = −mg αφ L =
T =
1 2
1 2
[
m α
2
φ 2
+ R
2
(φ 2
+ 2φ θ + θ 2 )
]+ I
θ 2 2
+ mgaφ
m(α 2 + R 2 ) mR 2 φ 1 φ = (φ , θ ) A 2 mR 2 + mR I θ 2 θ
(φ , θ )
φ 1 p1 = A ⋅ p 2 φ 2 mR 2 + I − mR 2 p1 ( p1 , p 2 ) T = 2 2 2 2∆ m(α + R ) p 2 − mR 1
siendo
∆ = m(α 2 + R 2 )( I + mR 2 ) − m 2 R 4 pero θ es cíclica de modo que p2 es constante: p2 = β = const . Lo que equivale a la conservación del momento angular total. De hecho, como el sistema parte del reposo β = 0 , mR 2φ + ( mR 2 + I )θ = 0. Entonces, T =
1 2∆
( mR 2 + I ) p1 . 2
51
Definiendo
1 µ
≡
mR 2 + I
∆
,
H =
p1
2
2µ
− mg αφ
Las ecuaciones de movimiento son: φ =
∂ H ∂ p1
φ =
; p 1 = −
p1
; p 1 = mg α
µ
p1 = mg α (t − t 0 ) = mg α t ; φ = φ 0 +
φ = φ 0 +
∂H ∂φ
(θ = φ = 0) en t = 0.
mg α 2 µ
t 2
mg α
mR 2 + I
2
m(α 2 + R 2 )( I + mR 2 ) − m 2 R 4
t 2
Movimiento uniformemente acelerado: = φ
mg α
= θ
;
µ
mR 2
mg α
µ mR 2 + I
----------------------------------------
4.
Una Hamiltoniana de un grado de libertad tiene la forma H ( p, q, t ) =
en donde
p 2 2α
− pqbe
− α t
+
q2 2
[bα e
− α t
]
(α + be − α t ) + k
α , b y k son constantes.
a) Hallar la Lagrangiana asociada a esta Hamiltoniana. b) Obtener una Lagrangiana equivalente que no dependa del tiempo explícitamente, explicando someramente la base del procedimiento seguido. c) Escribir la Hamiltoniana correspondiente a esta segunda Lagrangiana y explicar su relación con la Hamiltoniana anterior.
H =
con β ≡ be −α t
p 2 2α
− β pq +
γ 2
q2
; γ ≡ bα e −α t (α + be −α t ) + k L( q, q ) = q p − H
q =
52
∂ H p = − β q ∂ p α
Entonces, L =
p 2 2α
−
γ q 2 2
Sustituyendo el p: L (q, q ) =
α 2
( q + β q) 2 −
γ 2
q2
Recuérdese que por el origen variacional de las ecuaciones de Lagrange L es dF equivalente al Lagrangiano L1 ≡ L + dt siendo F arbitrario. Nótese que d dt
q 2e
−α t
= 2qqe −α t − α q 2 e −α t .
Resulta inmediato ver que L1 ≡ L −
α d 2 dt
(q 2 e
−α t
)=
α 2
q 2 −
k 2
q2,
de modo que el Lagrangiano equivalente es el del oscilador armónico: L1 =
α
H 1 =
α
2
q 2 −
k
q 2 +
k
2
q2
y el Hamiltoniano asociado es: 2
2
q2.
----------------------------------------
5.
Dos masas puntuales m1 y m2 están unidas por una cuerda de longitud constante l . La primera partícula puede puede moverse libremente sin rozamiento rozamiento sobre un plano horizontal, mientras la segunda cuelga verticalmente de la cuerda que pasa por un orificio practicado en dicha superficie. Obtener el
Lagrangiano, también el Routhiano correspondiente, y el Hamiltoniano. Reducir el problema a una cuadratura. 1. Lagrangiano. Usamos
y θ como coordenadas.
53
x1
cos θ = (l − − z ) cos θ , entonces x1 = −(l − z ) sin θ θ − z
sin θ y1 = (l − z ) sin θ , entonces y 1 = (l − z ) cos θ θ − z
T =
1 2
1
m1 ( x12 + y 12 ) +
2
m1 + m 2
2 = m 2 z
2
2 + z
m1 2
(l − z ) 2 θ 2
V = −m 2 gz L =
m1 + m 2 2
Nótese que θ es coordenada cíclica:
m1
2 + z
2
(l − z ) 2 θ 2 + m 2 gz
∂ L = 0. El correspondiente momento conjugado ∂θ
es constante p 2 =
∂ L = m1 ( l − z ) 2 θ = const = α . ∂θ
2. Routhiano. Es
R ( z , p1 ; p 2 ) = p 2θ − L = m1 (l − z ) 2 θ 2 −
m1 + m 2 2
2 − z
m1 2
(l − z ) 2 θ 2 + V
Finalmente: R ( z , p1 ; p 2 ) =
p 22
1
2 m1 (l − z )
2
− m 2 gz −
m1 + m 2 2
2 z
Las correspondientes ecuaciones de Lagrange tienen un solo grado de libertad, z , puesto que p 2 = const = α .
− m 2 gz +
El potencial efectivo es
α 2 2m1 (l − z ) 2
.
d ∂ R
∂ R = 0. − ∂ z dt ∂ z Entonces, p 22 ∂ = (m1 + m 2 ) z (m 2 gz − ). ∂ z 2m1 (l − z ) 2
Naturalmente, Naturalmente, una primera primera integral integral de la ultima ultima ecuación es es la ecuación ecuación de la energía: energía: m1 + m 2
2
− m 2 gz + z
p 22
2
2m1 (l − z ) 2
= E = const
, se obtiene la solución para z (t ) : Despejando z
∫ dt = ∫
dz (t ) z
=∫
dz z m1 + m 2
54
E + m 2 gz −
p 22 2m1 (l − z ) 2
Para la coordenada cíclica θ (t ) tenemos:
∫ d θ = ∫
p 2 m1 [l − z (t )]
2
dt ,
lo que reduce la solución a dos cuadraturas.
El Hamiltoniano es trivial de obtener al ser diagonal la matriz a invertir: p1 = p 2 =
p1 ∂ L ; z = = (m1 + m 2 ) z ∂ z m1 + m 2
p 2 ∂ L = m1 (l − z ) 2 θ ; θ = m1 (l − z ) 2 ∂θ
T=
p12
2(m1 + m 2 )
H = T + V =
+
p12 2(m1 + m2 )
Evidentemente H es también cíclico en θ :
p 22
2m1 (l − z ) 2 +
p22 2 m1 (l − z ) 2
− m2 gz
∂ H = 0 ⇒ p2 = const = α . ∂θ
Nótese que la existencia existencia de una coordenada cíclica reduce reduce en dos(no dos(no en uno) el el orden del sistema a integrar, al desaparecer tanto la coordenada como su momento conjugado del problema diferencial. Ello no era obvio en los ejemplos anteriores en los que usamos el formalismo lagrangiano en vez del hamiltoniano. -----------------------------------------6.
A partir de la formulación de Lagrange para un sistema descrito por n coordenadas generalizadas qi : a) constrúyase una función G(q i , p i , t ) , análoga a la hamiltoniana, en la que las variables independientes sean qi y p i . b) Dedúzcanse las correspondientes ecuaciones de movimiento.
a) A partir de la lagrangiana L(q i , q i , t ) , construimos la función G(q i , p i , t ) mediante una transformación de Legendre: G = q i p i − L (q i , q i , t ) .
Diferenciando esta expresión se obtiene: dG = q i d p i + p i dq i −
∂ L ∂ L ∂ L dq i − dq i − dt ∂q i ∂q i ∂t
55
Aquí, el segundo y el tercer término se anulan en virtud de la ecuación de Lagrange, ∂ L / ∂q i = p i , mientras que de la definición de momento generalizado, p i = ∂ L / ∂q i , resulta: dG = q i d p i − p i dq i −
∂ L dt ∂t
De forma que la diferencial de la nueva función G expresada en función de q i , p i y t como variables independientes.
b) Para obtener las ecuaciones de movimiento, comparamos el resultado anterior con la forma general de la diferencial de G (q i , p i , t ) , dG =
∂G ∂G ∂G dq i + d p i + dt , ∂q i ∂ p i ∂t
obteniéndose qi =
∂G , ∂ p i
p i = −
∂G , ∂q i
∂G ∂ L =− , ∂t ∂t que son las ecuaciones del movimiento pedidas. ------------------------------------7.
En un sistema de n grados de libertad el cálculo de 2n constantes del movimiento del tipo f i(q1 ,..., qn , p1 ,...,pn , t), i = 1,...,2n, permite, en principio, integrar el problema. Considérese una partícula de masa m que se mueve en un plano vertical cartesiano ( q1 , q2) bajo la acción de la gravedad. Sin recurrir a la integración de las ecuaciones de Hamilton, sino utilizando éstas en la ecuación general de una constante del movimiento, encontrar cuatro constantes del movimiento de forma a recuperar a partir de ellas la conocida solución general: q1 = c1 + c2t ; q2 = c3 + c4t − gt gt 2 /2. Nota) : busque soluciones a la ecuación en derivadas parciales para una ( Nota) constante del movimiento que dependan alternativamente de un par de variables conjugadas: primero, sólo de ( q1 , p1); segundo, sólo de ( q2 , p2). Combínelas después con otras constantes del movimiento triviales para dar el resultado pedido).
Tomando q1 como la coordenada espacial horizontal y q2 la vertical, la hamiltoniana de la partícula es H ≡
p12
2m
+
p22
2m
56
+ mgq2
de modo que ∂ H ∂ p1
=
p1 m
,
∂ H ∂ p 2
=
p 2 m
,
∂ H ∂ q1
=0,
∂ H ∂ q 2
= mg
y las ecuaciones de Hamilton son p1 1 = q m p q 2 = 2 m
p 1 = 0 p 2 = −mg
Mientras que la condición para que una función f (q1, q2, p1, p2, t ) sea una constante del movimiento es
− mg
∂ f ∂ p2
+
p1 ∂ f m ∂ q1
+
p2 ∂ f m ∂ q2
+
∂ f ∂ t
=0
Busquemos una solución a esta ecuación del tipo f (q1, p1, t ). ). Una simple inspección de la ecuación permite ver que q1 −
p1t m
= c1
es una solución. Procediendo de forma equivalente, podemos ver que p1 = mc2 q2 −
p2t gt 2 m
−
2
= c3
p2 + mgt = mc4 son también soluciones. Combinando todas ellas, encontramos la trayectoria del tiro parabólico. parabólico. -----------------------------------------
8.
La ecuación de movimiento de una masa m que se desliza sin rozamiento bajo la influencia de la gravedad, a lo largo de un cable cuya forma es la de una curva suave y = f ( x) , viene dada por: 2 2 cosh x + x senh x cosh x + gsen h x = 0 . x
a) Demostrar que la simple definición p = m x lleva a una representación de la ecuación de movimiento anterior en variables ( x , p) que no es hamiltoniana. b) Encontrar la buena definición del momento conjugado a la posición x que sí lleva a una representación hamiltoniana. c) Encuentre el hamiltoniano. a) Haciendo la transformación m = p , la ecuación del movimiento se reduce a:
57
x =
p
=
m
∂ H
p 2
p = −
m
∂ p
,
tanh x − mg
tanh x cosh x
∂ H
=−
∂
Queda claro que, con estas ecuaciones, no se cumple ∂ 2 H ∂ p∂ x = ∂ 2 H ∂ x∂ p . No pueden, por lo tanto, derivar de un formalismo hamiltoniano.
b) La energía potencial es V ( x, y ) = mgy = mg f ( x) . Mientras, la cinética viene dada por: T =
m 2
( x 2 + y 2 ) =
m 2
( x
2
+ x 2 f ′( x ) 2 )
Una vez construido el lagrangiano, llegamos a la siguiente ecuación de Lagrange: d
[m x (1 + f ′( x) )] + mg f ′( x) = dt (1 + f ′( x ) ) + m x (2 x f ′( x ) f ′′( x ) ) + mg f ′′( x ) = 0 m x 2
2
Identificando términos con los de la ecuación del enunciado: 1 + f ′( x ) 2 = cosh 2 x; 2 f ′( x) f ′′( x) = senh x cosh x; f ′( x ) = senh x De lo que deducimos fácilmente que:
f ( x) = cosh x Dicho todo lo anterior, es fácil ver que: p =
∂ L ∂ x
= m x (1 + senh 2 x ); x =
p
(
m 1 + senh 2 x
)
c) H = x p − L = x p − p 2
1
(
2 m 1 + senh 2 x
)
1 2
(
)
m x 2 1 + senh 2 x + mg cosh x =
+ mg cosh x -------------------------------------------
9.
Obtenga el hamiltoniano de un móvil, sometido a un potencial V , que se desplaza sobre un disco horizontal que gira con una velocidad angular constante ω . Hágalo en los sistemas de referencia del laboratorio y del disco y establezca la relación entre ambos hamiltonianos. Utilice la notación ( xlab , ylab ) para las coordenadas en el sistema “laboratorio” y ( x, x, y ) para las correspondientes correspondientes en el sistema que gira con el disco. 58
Lo importante aquí, es tener en cuenta que, para la construcción del hamiltoniano, T y y V tienen que ser evaluadas en el sistema inercial (laboratorio). L =
m 2
2 vlab − V ( xlab , ylab )
Las ecuaciones que relacionan las coordenadas del sistema laboratorio y las del sistema no inercial giratorio, son: xlab = x cos θ − y sen θ ylab = y cos θ + x sen θ Si el disco gira, por ejemplo, en el sentido contrario a las agujas del reloj, la diferenciación con respecto al tiempo de las ecuaciones (con θ = t ) v x , lab = v x cosθ − v y sen θ −
( x sen θ + y cosθ ) v y , lab = v y cosθ + v x sen θ + ω ( x cosθ − y sen θ ) Un simple cálculo nos lleva a: 2 = v x2 + v y2 2ω (v y x − v x y ) + ω 2 r 2 vlab
(r
2
obtenemos = x 2 + y 2 ) . Sustituyendo la expresión anterior en el lagrangiano inicial, obtenemos
su representación en las coordenadas del sistema giratorio. El paso siguiente es el de la obtención de los momentos en el sistema giratorio.
∂ L = m(v x − ω y ) ∂v x ∂ L p y = = m(v y + ω x ) ∂v y p x =
El hamiltoniano en el sistema no inercial se construye de la forma usual H = p x v x + p y v y − L = p x2 + p y2 2m
+ ω ( yp x − xp y ) + V ( x, y )
Finalmente, la relación entre ambos hamiltonianos se obtiene teniendo en cuenta que el correspondiente al sistema inercial será aquél que resulta de hacer nula la velocidad angular en la ecuación anterior: H ω ≠ 0 = H ω = 0 − l z -------------------------------------------
10.
La relación entre los hamiltonianos de una partícula moviéndose en un potencial V , definidos, respectivamente, respectivamente, en un sistema inercial inercial y en un sistema no inercial que gira alrededor del eje z con velocidad angular constante , es 59
( l z es la componente correspondiente correspondiente del momento angular definido en el sistema no-inercial). Haciendo uso de esta última relación demuestre el Teorema de Larmor, que asegura que puede eliminarse el efecto de un campo magnético estacionario uniforme sobre una partícula cargada en movimiento colocándose el observador en un sistema de referencia giratorio. Halle la frecuencia con la que debe girar el sistema de referencia no inercial (frecuencia de Larmor).
H no −inercial = H inercial − ω l z
Ayuda: Recuerde que el lagrangiano de una partícula cargada en un campo e electromagnético viene dado por L = 12 mv 2 − eΦ + v ⋅ A . Recuerde también que la
c
ecuación A = 1 ( B × r ) define un campo magnético uniforme. Por último, tome el eje z 2
como dirección del campo uniforme B y como eje de giro del sistema giratorio. Dado el lagrangiano del enunciado del problema es fácil obtener el momento conjugado y el hamiltoniano (recuerde que estamos en un sistema inercial). Son, respectivamente,
e
2
p = mv + A, c
1 e H inercial = p − A + eΦ 2m c
H es constante sólo si los campos son estacionarios. En el campo magnético de características impuestas en el enunciado –campo magnético uniforme en la dirección z dirección z y A = 1 ( B × r ) – el hamiltoniano se transforma en: 2
H
inercial
=
p
2
2m
+
2
1 x2 + y2 B 2 + eΦ − eB l ) z 2 ( 2mc 2mc 4 e
Podemos, ahora, invocar el problema 9. Es posible establecer una comparación con la relación del enunciado si tenemos claro que la componente del momento cinético canónico en el sistema inercial y en el no-inercial. Esto siempre puede comprobarse aplicando una transformación del sistema de coordenadas del laboratorio, ( 1 , y1 ) , a las del sistema giratorio ( X , Y ) : X = x1u sin wt + y1 sin wt , Y = y1u sin wt − x1 sin wt
.
Una vez comprobado esto es inmediato encontrar la frecuencia de Larmor y el hamiltoniano en el sistema giratorio: ω L = −
eB 2mc
p 2 e2 1 2 2 + H giratorio = r B + eΦ 2m 2mc2 4
Vemos que el término lineal en B en B está está ausente. Esto indica que, si el campo es pequeño, la dependencia en éste es despreciable (en términos de segundo orden). 60
-------------------------------------------
11.
Sabemos que no existe una forma estándar de obtener una función generatriz que lleve a una formulación más conveniente. Sin embargo, el empleo de las propiedades que deseamos en la formulación de destino, permite obtenerla fácilmente. Un ejemplo clásico es el de la función F 1(q, Q, t ) en el caso de la caída libre de un cuerpo en un campo gravitatorio mgq . Queremos que en la nueva formulación, el Hamiltoniano, K , sea sólo función de la coordenada, Q , y que = p . Obtenga a partir de se cumpla la equivalencia equivalencia entre los dos momentos, P = estos requisitos la forma de la función F 1(q, Q, t ) . (Recuerde que p = ∂ F 1 ∂q , P = − ∂ F ∂Q y K = H + ∂ F ∂ t ) 1 1
Partimos de la expresión K = H , que se traduce en el contexto presente en f (Q ) =
p 2
+ mgq ,
2m
entendiéndose que f (Q ) expresa la forma de K . De esta última expresión obtenemos
[
p = 2m f (Q ) − 2m 2 gq
1 2
]
Podemos hacer uso del requisito dado por la identificación de ambos momentos ∂ F ∂ F p = P = 1 = − 1 ∂q ∂Q Se desprende que f (Q ) = mgQ . Finalmente, la función generatriz resulta de la integración de la ecuación 1 ∂ F 2 p = [2m g (Q − q )]2 = 1 ∂q dando F 1 (q, Q ) = −
1
3 2
[2m g (Q − q)] 2
3m 2 g
-------------------------------------------
12.
·Un cuerpo, de masa m=1, se mueve en un campo en el cual la energía potencial es g f ( x ) , siendo g la la aceleración de la gravedad. Se sabe que la ecuación del movimiento es A( x ) x + B ( x ) x + gC ( x ) = 0 , siendo A( x ), B( x x ), x ) y C ( x x ) tres funciones continuas. Si A( x ) = 1 + 4a 2e-2ax − 8a 2e-3ax + 4a 2e-4ax , a.- ¿Cuál es la expresión de la energía potencial?; Dibújela; b.- ¿ Cuál es la expresión del hamiltoniano?; c.- ¿ Cuál es la frecuencia de las pequeñas oscilaciones alrededor alrededor del equilibrio?
Sea V ( x , y ) = gy = g f(x) la energía potencia. La ecuación de Lagrange es:
(1 + f ′ ) x + (2 x f ′f ′′) x + g f ′′ = 0 2
, con f ′ = df dx .
Comparando con la ecuación A( x ) x + B( x ) x + gC ( x ) = 0 ,
identificamos
61
A( x ) = 1 + f ′2
Si A( A( ) es la expresi expresión ón dada dada en el enunci enunciado ado,, tendrem tendremos: os: f ′2 = 4a 2 e−2 ax − 8a 2 e−3ax + 4a 2 e −4 ax − ax ⇒ f ′ = 2 ae− ax 1 − e − ax ⇒ f = 1 − e
2
2
− ax y su gráfica es: a) La energía potencial es V = g 1 − e
b) El hamiltoniano es H = T + V , con: T = m 2
m 2
( x
2
+ y 2 ) =
m 2
( x
2
+ x 2 f ′ 2 ) =
(
)
x 2 1 + 4a 2 e − 2 ax − 8a 2 e −3 ax + 4a 2 e −4 ax =
(
V = g 1 − e −ax
m 2
x 2 A( x );
)
2
c) La frecuencia de las pequeñas oscilaciones alrededor del equilibrio ( x=0) x=0) vendrá dada a partir del desarrollo de V para para pequeños desplazamientos:
(
V = g 1 − e
)
− ax 2
≈ ga 2 x 2 + O( x 3 )
quedándonos con el término cuadrático, obtenemos el potencial de un oscilador armónico, de frecuencia: ω = a
2 g m
-------------------------------------------
13.- Encontrar el Lagrangiano y el Hamiltoniano de un péndulo que consta de una masa m unida a una vara rígida y sin masa AB de longitud l,libre de moverse en el plano vertical. El extremo A de la vara sólo puede moverse en la dirección vertical y de modo que su desplazamiento respecto al origen de coordenadas O esta fijado por una función del tiempo γ (t ) . La gravedad actúa verticalmente y hacia abajo. b)Mostrar que la aceleración vertical del punto A, γ (t ) , tiene el mismo efecto sobre la ecuación del movimiento que una campo gravitacional dependiente del tiempo.¿Se conserva el Hamiltoniano? ¿Es el Hamiltoniano igual a la energía total del sistema?
62
de la figura tenemos a) Tomando como coordenada la variable θ de lsenθ + θ = γ x = lsenθ , z = γ − l cos θ → x = θ l cos θ , z 1 1 T = mv 2 = m l 2 θ 2 + 2γ θl senθ + γ 2 ; V = − mg (l cos θ − γ ) , 2 2
(
L =
1 2
)
(
)
2 2 2 m l θ + 2γ θl senθ + γ + mg ( l cos θ − γ ) ;
p − m l γ senθ ∂ L = pθ = m l 2θ + m l γ senθ → θ = θ ml 2 ∂θ θ − L
H = pθ
=
2 1 ( pθ − ml γ senθ )
2
ml 2
1
− mγ 2 + V 2
∂ L = ml γ θ cos θ − mglsenθ dt ∂θ ∂θ + ml γ cos θ − ml γ cos θ + mglsenθ = 0 senθ + ml γ θ θ ml 2θ
b)
d ∂ L
= ml 2θ + ml γ senθ + ml γ θ cos θ ;
senθ γ
g
g (t )
. senθ . dónde g (t ) = g + γ l l l Dado que el Hamiltoniano depende del tiempo, a través de γ (t), (t), no es una cantidad x conservada. La ecuación que define la coordenada θ, tg θ = , también depende γ (t ) − z = − θ
− senθ = −
del tiempo por lo que la Hamiltoniana no representa la energía total del sistema (puede comprobarse directamente sobre la expresión calculada). -------------------------------------------
14. Razónese si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a) Dado un sistema hamiltoniano (por simplicidad de un grado de libertad) una cantidad dinámica F (q, p, t ) que depende explícitamente del tiempo podría ser constante del movimiento. b) El sistema dinámico x1 = ax1 −
x 2 2
− x1 x 22 ; x 2 = x1 − x 2 , es un sistema
hamiltoniano. a) No existe ninguna condición que exija que una una constante del movimiento no dependa del tiempo, siempre y cuando cumpla la condición:
63
[ H , F ] =
∂ F . ∂t
matriz H tal tal que el b) Para que un sistema sea hamiltoniano tiene que existir una matriz H sistema tenga la siguiente estructura ∂ H ∂ H x1 = ; x 2 = − ∂ x 2 ∂ x1 y esto solo se cumplirá si ∂ 1 ∂ 2 H ∂ x2
∂
=
1
∂ x1∂x2
=−
∂x2
y fácilmente vemos que no se cumple para el sistema propuesto. -------------------------------------------
15. A partir de la formulación de Lagrange para un sistema descrito por n coordenadas generalizadas generalizadas qi : 1. Constrúyase una función G (q i , p i , t ) análoga a la hamiltoniana, en la que las variables independientes sean qi y p i . 2. Dedúzcanse las correspondientes ecuaciones de movimiento. Realicemos una transformación de Legendre para
y diferenciemos dicha expresión
que, reorganizando queda
Por otro lado, teniendo en cuenta la forma funcional requerida para diferencial total debe ser
Igualando ambas expresiones diferenciales
y reorganizando
Debido a la independencia de variables ha de cumplirse
64
su
Teniendo en cuenta las ecuaciones de Lagrange
obtenemos
con lo que las ecuaciones del movimiento con la nueva funcional G serán
-------------------------------------------
16. En el sistema representado en la figura, el cilindro se mueve por rodadura sobre una superficie lisa, la varilla del pédulo es rígida y muy ligera y la bola del péndulo es pequeña. (ver figura al inicio de la solución). Se pide: 1 - Hallar el lagrangiano , el hamiltoniano y las ecuaciones del movimiento suponiendo que la unión entre el péndulo y el cilindro es rígida. 2 - Hallar lo mismo que en el apartado anterior pero suponiendo que la unión entre el péndulo y el cilindro es articulada y sin rozamiento. 3 - En el caso anterior, hallar la reacción a la que está sometida la unión péndulocilindro. 4 - Hallar las frecuencias de oscilación para pequeñas desviaciones de la posición de equilibrio. Discutir los límites para M << m y m << M << M . (Nota: Este problema fue propuesto por un alumno en la sección de Buzón de Intercambio de la pagina web de la asignatura. NO es un problema planteado en los EXAMENES) 1). En el caso de una unión rígida el conjunto cilindro-péndulo tiene un único grado de libertad, ya que el desplazamiento del cilindro sobre el plano y el ángulo de oscilación del péndulo son proporcionales. Tomaremos como coordenada el ángulo θ que forma la horizontal con el péndulo.
65
-θ
La coordenada cartesiana X cartesiana X del del cilindro, tomando como origen la posición del cilindro en la que θ=0, será: X = − Rθ → X = − Rθ , y las coordenadas del péndulo son: = lsenθ − Rθ → x = lθ cos θ − Rθ , y = −l cos θ → y = l θ sen sen θ . La Energía Cinética es la suma de las energías de la masa suspendida en el péndulo y del cilindro, que tiene energía de translación y de rotación: 2
1 1 X T = Iw I w2 + MX 2 + m ( x 2 + y 2 ) = MR 2 + MX 2 + m ( x 2 + y 2 ) = 2 2 2 22 2 R 2
1
1
11
1
3 2 1 1 3 MX + m ( x 2 + y 2 ) = M + m R 2 + ml 2 − 2mlR cos θ θ 2 4 2 2 2 Construir ahora el Lagrangiano y el Hamiltoniano es inmediato: 1 3 L = M + m R 2 + ml 2 − 2mlR cos θ θ 2 + mgl cos θ , 2 2 pθ =
∂ L 3 2 2 M m R ml 2 mlR c o s θ = + + − θ , ∂θ 2 θ − L
H = pθ
=
1
2
pθ
2 ( m + 3 2 M ) R 2 + ml m l 2 − 2mlR co c os θ
− mgl cos θ .
Las ecuaciones del movimiento son también inmediatas, calculemos ahora la ecuación de Lagrange ∂ L d ∂L
∂θ
−
dt ∂θ
=
mlRθ 2 senθ − mgl senθ − ( ( m + 3 2 M ) R 2 + ml 2 − 2mlR cos θ ) θ + mlRθ 2senθ + mglsenθ = 0 (1). Si consideramos la ecuación de movimiento E = T + V , con 66
3 θ 2 2 2 E = M + m R + ml − 2mlR cos θ − mgl cos θ 2 2 2 ( E + mgl cos θ ) = θ 2 , y por tanto 3 2 2 2 M + m R − 2mlR cos θ + ml t
θ
0
0
3 2 2 M + m R − 2mlR cos θ + ml 2 d θ (2) 2 ( E + mgl cos θ )
∫ dt = ∫
2). En el caso en que la unión es articulada tenemos dos grados de libertad. Necesitamos dos coordenadas generalizadas: mantendremos el ángulo θ del apartado anterior, y X, posición del cilindro x = X + l sin θ x = X + l θ cos θ , . y = −l cos θ y = l θ sin θ Y el Lagrangiano 1 3 2 θ cos θ + MX L = m X 2 + l 2θ 2 + 2 Xl + mgl cos θ (3) 2 4 y las ecuaciones de Lagrange: 3 2 m + M + θml cos θ − ml θ sin θ = 0 x , (4) 2
(
)
xml cos θ + θml 2 − ml sin θ = 0 y a partir de ellas podemos despejar la ecuación para el ángulo l 3 2 sin θ 3 θ ml cos θ − m M θ m l s i n θ g m M + − − + cos θ 2 cos θ 2
= 0 (5)
A partir de aquí es directo calcular el hamiltoniano y las ecuaciones del movimiento.
3). La reacción a la que esta sometida la unión péndulo-cilindro es igual a la fuerza ejercida para mantener la ligadura de esta unión. Para calcular esta fuerza sólo tenemos que plantear el problema ignorando la ligadura, con tres grados de libertad correspondientes a los movimientos horizontales de M y m y al vertical de m, y a partir de la expresión de la ligadura calcular el multiplicador de Lagrange correspondiente. Si suponemos que la masa m no esta ligada al cilindro y tomando como coordenadas generalizadas: z generalizadas: z , coordenada horizontal del centro de masas, θ y r coordenadas polares de la masa m con el origen de coordenadas en el centro del cilindro, tenemos que cos θ − m' r = z senθ , − m' r θ X = z − m' rsenθ → X cos θ + M ' r senθ , + M ' r θ x = z + M ' rsenθ → x = z cos θ , y = − r cos θ → y = r θ senθ − r
con m' =
m
y M ' =
M
= 1 − m' m+ m+ y la ligadura vendrá dada por (notación del apartado 2.4 del Goldstein): f ( z , θ , r ) = r − l = 0 → dr = 0 → a1r = 1 , a1θ = a1z = 0 . Por tanto la Lagrangiana tendrá la siguiente expresión:
67
L =
1
m 2 2 2 3 2 µ 2 2 2 2 2 2 m + M z + m sin θ r + r θ + µ 2 cos θ r + r θ 2 2 m µ 2 , con
− µ1 z ( rθ cos θ + r sin θ ) + 2rrθ sin θ cosθ ( µ 2 − m ) ) + mgr cosθ 1
= mM (m + M ) , µ 2 = mM ( M + 3 2 m) (m + M ) 2 .
La única ecuación de Lagrange que necesitamos para calcular el valor de λ es: ∂ L d ∂ L = r = 0, − + λ a1r = 0 , donde substituimos las condiciones de ligadura r = l , r ∂r dt ∂r a1r = 1 , para obtener la expresión de la fuerza de ligadura: λ=−
µ 1 2
zsin θ + lθ( µ2 − m) senθ cos θ − lθ 2 ( m cos 2 θ + µ2 sen 2θ´) − mg cos θ .
4). A) Para el primer caso, tenemos que el punto de equilibrio es θ = 0 , por lo que para
oscilaciones pequeñas la ecuación (1), con senθ ≈ θ , cos θ ≈ 1 y despreciando términos de orden mayor a 1, toma la forma 3 2 2 = 0, mgl θ + m + M R + ml ml − 2mlR θ 2 y por tanto la frecuencia de oscilación será mgl
w= (m +
3
.
M ) R + ml − 2mlR 2 Sobre la que podemos tomar los siguientes limites: - M>>m, y entonces w → 0 . Se comportaría prácticamente como un cilindro girando sobre el plano, en el que no habría movimiento periódico.
-
2
2
gl
m>>M, y w →
R 2 + l 2 − 2lR
=
gl
( R − l )
2
.
B) Idem para el segundo caso. La ecuación (5) la podemos escribir como: g m + 3 M 2 =0 θ + θ 3 M 2 y por tanto
(
)
(
)
g m + 3 M 2 w= , 3 M 2 y los limites son: -
M>>m, y entonces w =
-
m>>M, y w →
g
, que corresponde a la frecuencia de un péndulo l simple. El movimiento del cilindro será igual al del centro de masas, velocidad constante, y estará desacoplado del péndulo. g 3 , es decir cómo un péndulo de longitud l ' = l . 3 2m l 2m
68
------------------------------------------17. Una partícula de masa m tiene su movilidad restringida a la superficie de una esfera de radio R. No actúan fuerzas exteriores sobre la partícula. ¿Cuál es el número de coordenadas generalizadas necesario para describir a)
el problema? Escoja el sistema de coordenadas coordenadas más apropiado y escriba el lagrangiano y b) el hamiltoniano c) Pruebe que el movimiento de una partícula se realiza a lo largo de un círculo máximo. a) y b) Son dos grados de libertad y escogiendo coordenadas esféricas 1 2 2 sen θ L = mR 2 θ 2 + ϕ 2 y
(
)
2 pϕ 2 p + H = 2 θ 2 2mR sen θ ∂ H 2 sen θ = constante c) p ϕ = − = 0 ⇒ p ϕ = mR 2ϕ ∂ϕ 1
Podemos coger las coordenadas (θ , θ , ϕ ) tal tal que que la cond condic ició ión n ini inici cial al es
(t = 0) = 0 .
Como en este caso sen 2 θ no puede ser cero para todo tiempo, concluimos que = 0 para todo t . El movimiento de la partícula se realiza a lo largo de un círculo máximo. -------------------------------------------
18. Obtenga las ecuaciones de Hamilton para los casos siguientes. 1.- Caso en el que las fuerzas generalizadas generalizadas Qi sean suma de una componente derivada de un potencial y de otra que no lo es: Qi = −
∂V + Qi′ ∂qi
2.- Caso de un sistema no holónomo, con ecuaciones de ligadura
∑a
lk
q k + al t =0 .
k
En un caso u otro tenemos, respectivamente ′ ∂L Qk d ∂L − = λ a j jk dt ∂q ∂q k
k
∑ j
o, lo que es lo mismo ′ ∂ L Qk p k − = ∂qk λ j a jk
∑ j
Por lo tanto, aplicando el procedimiento usual de obtención de las ecuaciones de Hamilton, se obtiene ′ ∂ H ∂H Qk qk = p k = − + ∂ pk ∂qk λ j a jk
∑ j
junto a las ecuaciones al k qk + al t =0
∑ k
69
-------------------------------------------
19.- Una partícula de masa m = 1 se mueve sobre la superficie de rotación dada por la ecuación z = −
1 2
ρ
−
1 ρ
, dónde ρ 2 = x 2 + y 2 . La partícula está sometida a la
acción de la gravedad (tomar por comodidad g = 1 ) dirigida en el sentido negativo del eje z . a) escribir el lagrangiano y el hamiltoniano del sistema. b) Determinar las integrales primeras del movimiento. c) Discutir las condiciones para las que existe movimiento en todo tiempo (no alcanza reposo), las que producen una órbita acotada (en ρ ) y las que producen una órbita ilimitada. a) Tomando coordenadas polares ya que es una superficie de revolución tenemos que el lagrangiano y el hamiltoniano vienen dados por 2 1 ρ 2θ 2 1 2 1 1+ + 3 + + + 2 L = ρ 2 2 2 ρ ρ ρ ρ
1
H =
2
P 2
1 2
1
1 +
2 ρ
+
2
2
+
J 2 2 ρ 2
−
1
−
1
ρ ρ 2
y
, dónde P = P ρ , J = P θ .
ρ 3
b) Las integrales primeras son la energía y el momento J = ρ 2θ . c) Podemos interpretar el movimiento como uno unidimensional sujeto a un potencial efectivo
J 2 1 1 − 1 2 − . V eff = 2 ρ ρ Podemos distinguir ahora dos comportamientos i. Si J 2 > 2 el potencial esta acotado inferiormente
Por tanto si E < 0 el movimiento esta limitado, la variable ρ esta ρ esta acotada superior e inferiormente. Si E ≥ 0 la variable ρ aumenta ρ aumenta indefinidamente. ii Si J 2 ≤ 2 la gráfica del potencial efectivo tiende a menos infinito en el origen
70
Por lo que si E < 0 el movimiento esta acotado.
71
