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Problemas resueltos de Cinemática de la Partícula Problema 01
La posición de una partícula que se mueve sobre el eje OX de un sistema de 2 coordenadas está dada x(t) = 1 + 8t - 2t , donde la posición esta en metros y el tiempo en segundos. Determine a) La velocidad inicial en t = 5s 2 x(t) =1 + 8t - 2t v(t) = 8 – 4 t v(5) = 8 – 4 85) = - 12 m/s b) La aceleración en t = 2s 2 a(t) = a(t)= - 4 m/s Problema 02 3 2 Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta x=2t -4t +5 m. Hallar la expresión de la velocidad La aceleración del móvil en función del tiempo.
v=
2 – 8t
m/s
a=
2 = 12 t – 8 m/s
Problema 03
El vector de posición por un móvil es x(t)= 5 t⃗ + 2 t⃗ . (m). Calcular: a) Hallar la velocidad media desde t 1= 0 s y t 2 = 3 s ()() vm = vm = 2 x(3)= 5 (3)⃗ + 2 (3)⃗ = 15⃗ + 18⃗ m 2 x(0)= 5(o)⃗ + 2(0)⃗ = 0⃗ + 0⃗ ⃗ ⃗(⃗ ⃗) ⃗ ⃗) vm = = = 5⃗ + 6⃗ m/s b) La velocidad instantánea en función de t v= 5⃗ + 4 t⃗ m/s c) El módulo de la velocidad instantánea V= = ()=√ 2
d)
La aceleración instantánea en función de t 2 a= a= 4⃗ m/s Problema 04 2 La ecuación de un movimiento está dada por la e cuación x= (4 t + 6 t + 5)⃗ Determine la ecuación de la velocidad y la aceleración instantánea. 2 v(t) = v(t)= 8 t + 6 ⃗(m/s) a(t) = a(t) = 8⃗(m/s ) Problema 05 2 La posición de una partícula en el plano viene dada por la ecuación vectorial x(t)= ( t – 4)⃗ + ( t + 2)⃗ . Calcular: a) La posición del móvil para t= 2 s y t= 4 s 2 x(2)= ( 2 – 4)⃗ + ( 2 + 2)⃗ = 4⃗ m 2 x(4)= ( 4 – 4)⃗ + ( 4 + 2)⃗ = 12⃗ + 6⃗ m
b) La velocidad instantánea para t= 1 s v(t) = v(t)= 2 t⃗ + ⃗ (m/s) v(t)= 2 (1)⃗ + ⃗ = 2⃗ + ⃗ (m/s) c) La aceleración instantánea 2 a(t) = a(t)= 2⃗ (m/s ) Problema 06 2 2 El vector de posición de una partícula es x(t)= (3 t + 1)⃗ + (4 t + 2)⃗ . Calcular: a) Hallar la velocidad media en el intervalo t 1=2 s y t2 = 4 s ()() vm = vm = 2 2 x(4)= (3 (4) + 1)⃗ + (4 (4) + 2)⃗ = 49⃗ + 66 ⃗ 2 2 x(2)= (3 (2) + 1)⃗ + (4 (2) + 2)⃗ = 13⃗ + 18⃗ ⃗ ⃗(⃗ ⃗) ⃗ ⃗ vm = = = 18⃗+ 24⃗ m/s b) La velocidad instantánea en función de t v(t) = v(t)= 6t⃗ + 8t⃗ m/s c) El módulo de la velocidad instantánea V= = ()=√
d) La aceleración instantánea en función de t 2 a(t) = a(t) = 6⃗ + 8⃗ (m/s ) Problema 07 3
2
Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta de acuerdo a la ley v=t -4t +5 m/s. Si en el instante t 0=2 s. está situado en x 0=4 m del origen. Calcular la posición x del móvil en cualquier instante.
∫ (
x – 4 = (evaluamos de 2 a t) nos
La aceleración de un cuerpo que se mueve a lo largo de una línea recta viene dada por 2 2 la expresión. a=4-t m/s . Sabiendo que en el instante t0=3 s, la velocidad del móvil vale v0=2 m/s. Determinar la expresión de la velocidad del móvil en cualquier instante
∫( ) v – 2 = 4 (t) 3+2 Problema 09
v – 2 =4 t
(evaluamos de 2 a t) nos queda
() () - (4(3) – ) v – 2 = 4 t - - (12 - ) v – 2= v= 4 t / s
v= 4 t -
- (3)
v= 4 t -
–
La posición de una partícula que describe una línea recta queda definida mediante la expresión , donde si t está en s, s resulta en m. Determine: a) la aceleración de la partícula cuando su velocidad es de 7 m/s b) su velocidad media desde t= 3 hasta t = 6 s. c) Dibuje las gráficas tiempo-posición,tiempo-velocidad y tiempo-aceleración del movimientode la partícula, durante los primeros seissegundos. Resolución
Ecuaciones del movimiento
v=
=t
2
a=
– 9
= 2t
a) Tiempo en que la velocidad es 7 m/s 7 = t 2 - 9 t2 = 16 t = ±4 La raíz negativa no tiene significación física en este caso, por lo tanto t=4 Para a= 2 t t = 4 a = 2 (4 )= 8 m/s 2 b) Vm=
=
t= 6s y t= 3 s
()
= 72 – 52= 20 m
()
= 9 – 25= -16 m
Vm=
()
= 12 m/s
c) Tabulación para dibujar las gráficas V (m/s)
0 2 -9 0
t x v a
S (m)
3 -16 0 6
6 20 27 12
2
a(m/s )
t (s) t(s) t (s)
Problema 10
La velocidad de un punto P que se mueve sobre el eje de las ordenadas, que es un eje 2 vertical dirigido hacia arriba, se puede expresar como v = 6 t − 24, en donde v se da en ft/s y t en s; además, cuando t = 0, entonces y = 6 ft. Calcule: a) la magnitud y ladirección de la aceleración del punto cuando t = 3 s; b) el desplazamiento del punto P durante los primeroscuatro segundos; c) la longitud que recorre duranteese mismo lapso.
d) Dibuje esquemáticamente lasgráficas del movimiento del punto P. Ecuaciones del movimientoComo
entonces:dy = vdt ∫ dy = ∫vdt
y = ∫(6t 2 - 24)dty = 2t 3 - 24t + C Si t = 0, y = 66 =2(0)3– 24(0)+C 6 = C
Por tanto:y = 2t 3 - 24t + 6v = 6t 2– 24
a = 12 t
a) Para t = 3a = 12(3)= 36 ft/ s 2;
b) y y4 y0En donde: y = 2t 3 - 24t + 6y4= 2(4)3 – 24 (4)+ 6= 128 – 96 +6 =38 y0 = 2(0)3 – 24(0) + 6 = 0 – 0 + 6 = 6 m y 38 6 y 32 ft c) Para conocer la distancia que recorre, investigaremos cuando v = 0 v = 6t 2– 24 0 = 6t 2– 24t 2= 24/6 t 2= 4t 2Sólo la raíz positiva tiene significado físico t= 2 sy = 2t 3 - 24t + 6y2 = 2 (2) 3– 24(2)+ 6 = 16 – 48 + 6 = - 26 m Por tanto, la partícula se movió de y0 = 6 a y2 = 26 y luego a y4 = 38 D y (0 2) y (2 4) D 26 6 38 (26) 32 64 D d) Tabulación para dibujar las gráficas t y v a y (ft)
