Problemas Resueltos de Calculo Integral MA-II Ccesa007

Facultad de Ingeniería Industrial y Sistemas Escuela de Ingeniería Agroindustrial Asignatura: Matemática II

1)

Prof. Demetrio Ccesa Rayme

  ∫  SOLUCION:

           =  =  =  = = = 2  4  

2)

∫ √ √ −    SOLUCION:

A la función, se expresa en la forma:

 √ √  = 2  2√ √   2 = 212  212  212 − +− − =    2    

Entonces:

  √ √   = −  2+−  −   + ++ +   = 41  221 2  41    2 2 2 + ++ + 2√ 4√ 2√ = 41  221  41  

3)

∫(  √ √   1)(√ √   1) SOLUCION:

Efectuando la multiplicación de

((  √ √ 1)( 1)(√ √ 1)  1)

, es decir:

(  √ √   1)(√ √   1) =   1 

, entonces:

   2  ( √ √ 1)( 1)(√ √ 1)= 1)= 1= 5 

4)

∫ +   SOLUCION:

A la integral escribiremos en la forma:

 3l n         = 3   l n   =3l n||  2  

5)

 ∫ −+ SOLUCION:

Cuando en el denominador se tiene una expresión cuadrática como en éste caso, se completa cuadrados

 413= 413=  44 44 9=2  9  =  2  9 = 13   3 2     413

6)

+ ∫ +

SOLUCION:

Cuando se observa que el diferencial del denominador se encuentra en el numerador o su diferencia esté en un factor de proporcionalidad, en éste caso de aplica la formula (7) es decir: Sea

 =  2 ⇒=2 ⇒=2  1,,    21   =  2 = 12 ln|  2|   +

 de  de donde, ahora reemplazando en la

integral:

7)

∫

SOLUCION:

Sea:

=1  ⇒  = 4 ⇒ = =   1  =  4 = 14 ln|| = 14 1|  

Ahora reemplazando en la integral:

8)

∫   

SOLUCION:

En éste ejercicio se aplicara la formula es decir:

Sea:

=⇒=⇒=       1 2 2      =   = 2 . 5    = 5   

Ahora reemplazando en la integral:

9)

   ∫ − √ √  SOLUCION:

A la integral dada lo escribiremos en la forma:

 −    = = ∫ − ∫  √ √ 

………………(1)

Ahora aplicando la formula (6), es decir:

Sea:

= ⇒=−

de donde

−= = 

….(2)

Luego reemplazando (2) en (1) se tiene:

       2 2     −√ √     =   = 3    = 3   

10)

∫    SOLUCION:

En ésta integral aplicamos la formula, es decir:

Sea:

=ln ⇒= 

, ahora reemplazando reemplazando en la integral se

tiene:

l nln = lnln  =  = 2   = l2n  

11)

 ∫  +++++ SOLUCION:

A la expresión, agrupemos en la forma: f orma:

 1    1   =  1    1   1    = 1   11   1    =  1    1   1  

    ∫  +++++ = ∫ √ √ ++  +√ √ + ++ = ∫1  √ √ 1     √ √ ++ …..(1)

Ahora aplicamos la formula es decir:

Sea:

=1√ √  =1 1     ⇒  = √ √ ++

….(2)

Reemplazando (2) en (1) se tiene:

  1  1 =    = 2 =2 1   1    

12)

∫ +√ √ √ √  SOLUCION:

En el presente ejercicio aplicaremos la formula (7); es decir: Sea

=1√ √ 

, de donde

= =  √ √   √ √   =    entonces

Ahora reemplazando en la integral dada, se tiene:

 1√ √ √ √  = 23   = 23 ln||   = 23 ln1√ √   

13)

∫ ++ (+)+)+  SOLUCION:

  1    1  1       =  1        1 1    1  ∫  ++++++   =    +  En primer lugar aplicamos la propiedad (7) es decir:

Ahora aplicamos las formulas (6), (8) y (10) es decir:

14)

  ∫ ++ 

SOLUCION:

 3=    9 =       9

;

reemplazando en la

integral tenemos:

         3 1 2    9 1 2     9 = = 3    9  = = 3    9  99 

=  ∫ +  ∫  =          15)

 ∫ +

SOLUCION:

En forma similar al caso anterior, el numerador expresamos en la forma:

1 =   1     1     1     1 =    1 =   1    1    =      1 = ln||  17  |  1|      , ahora reemplazamos en la integral dada:

16)

∫ −+ SOLUCION:

  =  69   =  3    4  65 =3⇒=cos  =   4 = 14 ln   22= 14 ln 5 1 5    65

Sea

17)

 ∫ √ √ −−−− SOLUCION:

En la expresión completamos cuadrados:

 66=3  69 =33

Ahora reemplazando en la integral y aplicando la formula (1)

∫ √ √ −−−− = ∫  −−++ = +√ √    

18)

∫ √ √ −+ −+

SOLUCION:

Completando cuadrados en el denominado:

52 =  214=1  4       √ √ 52 =  =l n 1 52 5 2  5 2  1 1  4

Ahora reemplazando en la integral y aplicando la formula (2)

∫ √ √ −−   ∫ √ √ −=−lnn⇒⇒=∫ =√ √ −−

19)

SOLUCION:

Sea



……(1)

…..(2)

Reemplazando (2) en (1) se tiene:

 √1  =  √1  = =ln x  

20)

  ∫ √ √ −−  

SOLUCION:

∫ √ √ −− = =  ∫ −   A la integral dada escribiremos así:

….(1)

Sea

=  ⇒  = 2 cos 

….(2)

Ahora reemplazando (2) en (1) se tiene:

21)

   1  1  1    √ √ 2    =  =  =         =    2 2 √2 2 √ √ 2 2 √ √ 2    ∫ √ √  21

SOLUCION:

 21=1  2   2  1  =   1 2      1 =  2 1   21l n 1   21  √ √ 22− 2 =     =       =       √2

Completando cuadrados: Reemplazando y aplicando la formula (5) se tiene:

22)

∫

SOLUCION:

Completando cuadrados: Ahora reemplazando y aplicando la formula (1)

23)

√ √ ∫ ++√ √ − −– √ √ −−  

83 8 3 5  √124

SOLUCION:

A la expresión; separamos y simplificamos:

 = √ √ 2   √2  √2  = √ √  22 √2 √ √ 2 √4 2   √ √ 2   √2  

  2   √2 √ √  = √ √ 2   √2    √ √ 2   √2   = √21   √ √ 2 1 

Ahora reemplazamos en la integral dada se tiene:

 √ √ 2  √ √ 4  √ √ 2     = [√ √ 2 1   √ √ 2 1 ]] =  √ √ 2    √ √ 2 

=√ √ 2l n   2    

24)

 ( )  −) −  ∫ +√ √ +

SOLUCION:

   1 1      1 1        1           1√ √   1 =    1√ √   1 =    1    1

= 1   ⇒  = 1 1  = 1 ⇒  =   1 2 ⇒   1 =   2

Ahora hacemos la sustitución:

Enseguida reemplazamos en la integral

    | |   1     1  1     1√ √   1 =  √  2 = √ √ 2   secsec √ √ 2   = √ √ 2 arcsecc  √ √ 2|1|    +

25)

∫ √ √  +   SOLUCION:

 √ √ 179  =  √ √  9 9 8  =  √ √ 99   8  √ √   9

=     9   8  √ √   9 = 12    925l n    9

26)

45  2 ∫   45 SOLUCION:

Sea

 =  45⇒=2  2 , ⇒   2 = 

;

  45 45  2 =    2 =  cos2   = coss 45 2   2 2 ∫ cos reemplazando en la integral.

27)

SOLUCION:

= ⇒= 2 2

Sea dada

28)

, reemplazando reemplazando en la la integral

cos  2 2== cos.==    (√ √ √ √ ++)+)

∫

SOLUCION:

Sea

29)

 = √ √   4⇒  = √ √ +

; reemplazando en la integral dada:

  4 √ √   4 =     = ln|sec| sec| =ln =ln secsec   44   ∫   



SOLUCION:

Sea

=ln ⇒= 

; ahora reemplazando reemplazando en la integral dada:

30)

    =    .  = ln|| =ln|ln |  

3 5  ∫ sec35 =35 ⇒=3 ⇒= 

SOLUCION:

Sea

, ahora reemplazando en la

integral dada:

sec35 3 5 = sec 3 = 13 ln|sec sec|   = 13 ln|sec35 3 5 35|  

31)

∫ ( √ √   ) √ √ ++√ √  √ √   = √ √   ⇒= √ √ ++√ √  √ √   

SOLUCION:

Sea

, ahora reemplazando en la

integral dada:

  √ √   sec(√ √ )  )2√ √     =       .= =    = (√ √ )  ) 2√ √ 

32)

) (√ √ ) )   √ √ cos cos ∫ sec(c(√ √ )      √ √  √ √   = √ √ ⇒= ⇒=    ⇒   = √ √     

SOLUCION:

Sea

De donde, ahora reemplazando en la integral se tiene:

sec( sec(√)  √ )  (√)  √ )    √ √ cos  = 2 s sec.c. . = 2se2secc   33)

18 ∫ √ √ 18

SOLUCION:

=2sec(√ √ ) )  

Se conoce que:

44== +   ⇒ 18=24

, ahora reemplazando reemplazando en la integral integral dada:

 √ √ 18= 18=   224=√ √  4= 2 4.= √ √ 2 4 4 

34)

∫ ℎ.

SOLUCION:

    ℎ= = + = +    =   ⇒ =   ℎ = 2  1  = 2  1 = 2    = 2   

Como: Hacer:

35)

, reemplazando reemplazando en la integral dada:

3ℎ78ℎ7 ∫3ℎ78ℎ7

SOLUCION:

3ℎ78ℎ7 3ℎ78ℎ7=3 =3 ℎ7.8 ℎ7.= 3ℎ77  877  

36)

∫ 5.ℎ . 

SOLUCION:

=ℎ⇒=ℎ 

Sea , reemplazando reemplazando en la integral integral dada, y por por la formula (9) de la primera parte se tiene:

37)

    5 5       5 .ℎ =5 = = ln 5   = ln 5   ∫ ℎ .

SOLUCION:

    +  ℎ .==    =    −  2

 ;   ; reemplazando en la

integral dada:

 − 1 1     − ℎ  . = 4     2= = 4  2  2 2

38)

= 14 ℎ22 ℎ22   = 14  ℎℎ22 2  

∫ ℎ . cosh ..

SOLUCION:

 ℎ   ℎ  ℎℎ .. = = ℎℎ ℎ.= 5  

39)

∫ .cosh ℎ 

SOLUCION:

  ℎ          cosh   ℎ == ℎ .cos  .  = = 2  

40)

ℎ (√ √ ) √ √  ∫ ℎ(

SOLUCION:

ℎ(√ √ )) √ √  =2 ℎ(√ √ )) (√ √ )=2cosh( )=2cosh(√ √ )  )

41)

∫ ℎ 1 1     ℎ  = = 2 ℎ  .2.= 2  ℎ   

SOLUCION:

42)

∫  √ √   2 

SOLUCION:

Sea

=2 ⇒=2 ⇒=

, reemplazando en la integral: integral:

     √ √   2  =   2 √ √   =    2  



Continuar

43)

∫ √ √ −−

SOLUCION:

∫ √ √ −− = ∫ √ √ −− =1 ⇒  =1 ⇒=  Sea

…..(1)

; reemplazando en (1)

        =  √1   =  1√ √    2  = 12    −= 12 223  2  √1

 1= 3    = 3 1= √ √ 3 3   =  1   1  3  3     =  3  1  2  23  1  2  

44)

∫  √ √ 1   

SOLUCION:

∫ √1= = ∫ √1      =1 ⇒  = 11  ⇒⇒   =   Sea

….(1)

; reemplazando en (1)

45)

  1  =   1      = 1   √ √   2  = 12 1 2√ √   2  = 12 2      2= 3   13   17    25 1    13 1    17 1     =  ∫

√ √ −

SOLUCION:

   ∫ √ √ −= ∫ √ √ −   2   =  1 ⇒ =1 ⇒  = =      √  1 =   √  1 =  31 2 √√ = 23  1  = 23      = 23     1  +  =  1 ⇒= =    √ √  1 =  5√ √  = 15   = = 730   = 307   1  

………..(1)

Sea

46)

; reemplazando en (1)

∫

SOLUCION:

Sea

47)

; reemplazando en la integral integral dada:

 −  ∫       ( (√ √   ) .   

SOLUCION:

Por la identidad:

  = +

  , de donde:

1=2 

 2cos(5 2cos(5√ √ 4)=√ √   4)= 2  1cos(5 1cos(5√ √ 4)=√ √   4)= 2√ √ 2cos2cos 5√ √ 2 4 =2cos5√ √ 2 4

 2   2cos(5 2cos(5√ √ 4)=  4)=  22cos 22cos 5 √ √ 2 4 = √ √ 2  1cos 1cos 5√ √ 2 4 = √ √ 2.2. √ √ 2cos2cos 5√ √ 4 4 =2cos 5√ √ 4 4

 2   2   22cos( 22cos(5√ √   4) =  2cos 2cos 2√ √ 4 4 = √ √ 2.2.  1cos 1cos 5 √ √ 4 4

= √ √ 2.2. √ √ 2cos2cos 5√ √ 8 4 =2cos 5√ √ 8 4  −   2   2   22cos(5 22cos(5√ √   4) .  =2cos 5√ √ 8 4 . −   = 5√ √ 8 4 ⇒ 85  = = 2√ √  ⇒ − = = 165 

Ahora reemplazamos en la integral dada:

  2   2   22cos( 22cos(5√ √   4) . − =2 cos 165  = = 325    Continuar……. cambiando a la variable original……… Ccesa