Facultad de Ingeniería Industrial y Sistemas Escuela de Ingeniería Agroindustrial Asignatura: Matemática II
1)
Prof. Demetrio Ccesa Rayme
∫ SOLUCION:
= = = = = = 2 4
2)
∫ √ √ − SOLUCION:
A la función, se expresa en la forma:
√ √ = 2 2√ √ 2 = 212 212 212 − +− − = 2
Entonces:
√ √ = − 2+− − + ++ + = 41 221 2 41 2 2 2 + ++ + 2√ 4√ 2√ = 41 221 41
3)
∫( √ √ 1)(√ √ 1) SOLUCION:
Efectuando la multiplicación de
(( √ √ 1)( 1)(√ √ 1) 1)
, es decir:
( √ √ 1)(√ √ 1) = 1
, entonces:
2 ( √ √ 1)( 1)(√ √ 1)= 1)= 1= 5
4)
∫ + SOLUCION:
A la integral escribiremos en la forma:
3l n = 3 l n =3l n|| 2
5)
∫ −+ SOLUCION:
Cuando en el denominador se tiene una expresión cuadrática como en éste caso, se completa cuadrados
413= 413= 44 44 9=2 9 = 2 9 = 13 3 2 413
6)
+ ∫ +
SOLUCION:
Cuando se observa que el diferencial del denominador se encuentra en el numerador o su diferencia esté en un factor de proporcionalidad, en éste caso de aplica la formula (7) es decir: Sea
= 2 ⇒=2 ⇒=2 1,, 21 = 2 = 12 ln| 2| +
de de donde, ahora reemplazando en la
integral:
7)
∫
SOLUCION:
Sea:
=1 ⇒ = 4 ⇒ = = 1 = 4 = 14 ln|| = 14 1|
Ahora reemplazando en la integral:
8)
∫
SOLUCION:
En éste ejercicio se aplicara la formula es decir:
Sea:
=⇒=⇒= 1 2 2 = = 2 . 5 = 5
Ahora reemplazando en la integral:
9)
∫ − √ √ SOLUCION:
A la integral dada lo escribiremos en la forma:
− = = ∫ − ∫ √ √
………………(1)
Ahora aplicando la formula (6), es decir:
Sea:
= ⇒=−
de donde
−= =
….(2)
Luego reemplazando (2) en (1) se tiene:
2 2 −√ √ = = 3 = 3
10)
∫ SOLUCION:
En ésta integral aplicamos la formula, es decir:
Sea:
=ln ⇒=
, ahora reemplazando reemplazando en la integral se
tiene:
l nln = lnln = = 2 = l2n
11)
∫ +++++ SOLUCION:
A la expresión, agrupemos en la forma: f orma:
1 1 = 1 1 1 = 1 11 1 = 1 1 1
∫ +++++ = ∫ √ √ ++ +√ √ + ++ = ∫1 √ √ 1 √ √ ++ …..(1)
Ahora aplicamos la formula es decir:
Sea:
=1√ √ =1 1 ⇒ = √ √ ++
….(2)
Reemplazando (2) en (1) se tiene:
1 1 = = 2 =2 1 1
12)
∫ +√ √ √ √ SOLUCION:
En el presente ejercicio aplicaremos la formula (7); es decir: Sea
=1√ √
, de donde
= = √ √ √ √ = entonces
Ahora reemplazando en la integral dada, se tiene:
1√ √ √ √ = 23 = 23 ln|| = 23 ln1√ √
13)
∫ ++ (+)+)+ SOLUCION:
1 1 1 = 1 1 1 1 ∫ ++++++ = + En primer lugar aplicamos la propiedad (7) es decir:
Ahora aplicamos las formulas (6), (8) y (10) es decir:
14)
∫ ++
SOLUCION:
3= 9 = 9
;
reemplazando en la
integral tenemos:
3 1 2 9 1 2 9 = = 3 9 = = 3 9 99
= ∫ + ∫ = 15)
∫ +
SOLUCION:
En forma similar al caso anterior, el numerador expresamos en la forma:
1 = 1 1 1 1 = 1 = 1 1 = 1 = ln|| 17 | 1| , ahora reemplazamos en la integral dada:
16)
∫ −+ SOLUCION:
= 69 = 3 4 65 =3⇒=cos = 4 = 14 ln 22= 14 ln 5 1 5 65
Sea
17)
∫ √ √ −−−− SOLUCION:
En la expresión completamos cuadrados:
66=3 69 =33
Ahora reemplazando en la integral y aplicando la formula (1)
∫ √ √ −−−− = ∫ −−++ = +√ √
18)
∫ √ √ −+ −+
SOLUCION:
Completando cuadrados en el denominado:
52 = 214=1 4 √ √ 52 = =l n 1 52 5 2 5 2 1 1 4
Ahora reemplazando en la integral y aplicando la formula (2)
∫ √ √ −− ∫ √ √ −=−lnn⇒⇒=∫ =√ √ −−
19)
SOLUCION:
Sea
……(1)
…..(2)
Reemplazando (2) en (1) se tiene:
√1 = √1 = =ln x
20)
∫ √ √ −−
SOLUCION:
∫ √ √ −− = = ∫ − A la integral dada escribiremos así:
….(1)
Sea
= ⇒ = 2 cos
….(2)
Ahora reemplazando (2) en (1) se tiene:
21)
1 1 1 √ √ 2 = = = = 2 2 √2 2 √ √ 2 2 √ √ 2 ∫ √ √ 21
SOLUCION:
21=1 2 2 1 = 1 2 1 = 2 1 21l n 1 21 √ √ 22− 2 = = = √2
Completando cuadrados: Reemplazando y aplicando la formula (5) se tiene:
22)
∫
SOLUCION:
Completando cuadrados: Ahora reemplazando y aplicando la formula (1)
23)
√ √ ∫ ++√ √ − −– √ √ −−
83 8 3 5 √124
SOLUCION:
A la expresión; separamos y simplificamos:
= √ √ 2 √2 √2 = √ √ 22 √2 √ √ 2 √4 2 √ √ 2 √2
2 √2 √ √ = √ √ 2 √2 √ √ 2 √2 = √21 √ √ 2 1
Ahora reemplazamos en la integral dada se tiene:
√ √ 2 √ √ 4 √ √ 2 = [√ √ 2 1 √ √ 2 1 ]] = √ √ 2 √ √ 2
=√ √ 2l n 2
24)
( ) −) − ∫ +√ √ +
SOLUCION:
1 1 1 1 1 1√ √ 1 = 1√ √ 1 = 1 1
= 1 ⇒ = 1 1 = 1 ⇒ = 1 2 ⇒ 1 = 2
Ahora hacemos la sustitución:
Enseguida reemplazamos en la integral
| | 1 1 1 1√ √ 1 = √ 2 = √ √ 2 secsec √ √ 2 = √ √ 2 arcsecc √ √ 2|1| +
25)
∫ √ √ + SOLUCION:
√ √ 179 = √ √ 9 9 8 = √ √ 99 8 √ √ 9
= 9 8 √ √ 9 = 12 925l n 9
26)
45 2 ∫ 45 SOLUCION:
Sea
= 45⇒=2 2 , ⇒ 2 =
;
45 45 2 = 2 = cos2 = coss 45 2 2 2 ∫ cos reemplazando en la integral.
27)
SOLUCION:
= ⇒= 2 2
Sea dada
28)
, reemplazando reemplazando en la la integral
cos 2 2== cos.== (√ √ √ √ ++)+)
∫
SOLUCION:
Sea
29)
= √ √ 4⇒ = √ √ +
; reemplazando en la integral dada:
4 √ √ 4 = = ln|sec| sec| =ln =ln secsec 44 ∫
SOLUCION:
Sea
=ln ⇒=
; ahora reemplazando reemplazando en la integral dada:
30)
= . = ln|| =ln|ln |
3 5 ∫ sec35 =35 ⇒=3 ⇒=
SOLUCION:
Sea
, ahora reemplazando en la
integral dada:
sec35 3 5 = sec 3 = 13 ln|sec sec| = 13 ln|sec35 3 5 35|
31)
∫ ( √ √ ) √ √ ++√ √ √ √ = √ √ ⇒= √ √ ++√ √ √ √
SOLUCION:
Sea
, ahora reemplazando en la
integral dada:
√ √ sec(√ √ ) )2√ √ = .= = = (√ √ ) ) 2√ √
32)
) (√ √ ) ) √ √ cos cos ∫ sec(c(√ √ ) √ √ √ √ = √ √ ⇒= ⇒= ⇒ = √ √
SOLUCION:
Sea
De donde, ahora reemplazando en la integral se tiene:
sec( sec(√) √ ) (√) √ ) √ √ cos = 2 s sec.c. . = 2se2secc 33)
18 ∫ √ √ 18
SOLUCION:
=2sec(√ √ ) )
Se conoce que:
44== + ⇒ 18=24
, ahora reemplazando reemplazando en la integral integral dada:
√ √ 18= 18= 224=√ √ 4= 2 4.= √ √ 2 4 4
34)
∫ ℎ.
SOLUCION:
ℎ= = + = + = ⇒ = ℎ = 2 1 = 2 1 = 2 = 2
Como: Hacer:
35)
, reemplazando reemplazando en la integral dada:
3ℎ78ℎ7 ∫3ℎ78ℎ7
SOLUCION:
3ℎ78ℎ7 3ℎ78ℎ7=3 =3 ℎ7.8 ℎ7.= 3ℎ77 877
36)
∫ 5.ℎ .
SOLUCION:
=ℎ⇒=ℎ
Sea , reemplazando reemplazando en la integral integral dada, y por por la formula (9) de la primera parte se tiene:
37)
5 5 5 .ℎ =5 = = ln 5 = ln 5 ∫ ℎ .
SOLUCION:
+ ℎ .== = − 2
; ; reemplazando en la
integral dada:
− 1 1 − ℎ . = 4 2= = 4 2 2 2
38)
= 14 ℎ22 ℎ22 = 14 ℎℎ22 2
∫ ℎ . cosh ..
SOLUCION:
ℎ ℎ ℎℎ .. = = ℎℎ ℎ.= 5
39)
∫ .cosh ℎ
SOLUCION:
ℎ cosh ℎ == ℎ .cos . = = 2
40)
ℎ (√ √ ) √ √ ∫ ℎ(
SOLUCION:
ℎ(√ √ )) √ √ =2 ℎ(√ √ )) (√ √ )=2cosh( )=2cosh(√ √ ) )
41)
∫ ℎ 1 1 ℎ = = 2 ℎ .2.= 2 ℎ
SOLUCION:
42)
∫ √ √ 2
SOLUCION:
Sea
=2 ⇒=2 ⇒=
, reemplazando en la integral: integral:
√ √ 2 = 2 √ √ = 2
Continuar
43)
∫ √ √ −−
SOLUCION:
∫ √ √ −− = ∫ √ √ −− =1 ⇒ =1 ⇒= Sea
…..(1)
; reemplazando en (1)
= √1 = 1√ √ 2 = 12 −= 12 223 2 √1
1= 3 = 3 1= √ √ 3 3 = 1 1 3 3 = 3 1 2 23 1 2
44)
∫ √ √ 1
SOLUCION:
∫ √1= = ∫ √1 =1 ⇒ = 11 ⇒⇒ = Sea
….(1)
; reemplazando en (1)
45)
1 = 1 = 1 √ √ 2 = 12 1 2√ √ 2 = 12 2 2= 3 13 17 25 1 13 1 17 1 = ∫
√ √ −
SOLUCION:
∫ √ √ −= ∫ √ √ − 2 = 1 ⇒ =1 ⇒ = = √ 1 = √ 1 = 31 2 √√ = 23 1 = 23 = 23 1 + = 1 ⇒= = √ √ 1 = 5√ √ = 15 = = 730 = 307 1
………..(1)
Sea
46)
; reemplazando en (1)
∫
SOLUCION:
Sea
47)
; reemplazando en la integral integral dada:
− ∫ ( (√ √ ) .
SOLUCION:
Por la identidad:
= +
, de donde:
1=2
2cos(5 2cos(5√ √ 4)=√ √ 4)= 2 1cos(5 1cos(5√ √ 4)=√ √ 4)= 2√ √ 2cos2cos 5√ √ 2 4 =2cos5√ √ 2 4
2 2cos(5 2cos(5√ √ 4)= 4)= 22cos 22cos 5 √ √ 2 4 = √ √ 2 1cos 1cos 5√ √ 2 4 = √ √ 2.2. √ √ 2cos2cos 5√ √ 4 4 =2cos 5√ √ 4 4
2 2 22cos( 22cos(5√ √ 4) = 2cos 2cos 2√ √ 4 4 = √ √ 2.2. 1cos 1cos 5 √ √ 4 4
= √ √ 2.2. √ √ 2cos2cos 5√ √ 8 4 =2cos 5√ √ 8 4 − 2 2 22cos(5 22cos(5√ √ 4) . =2cos 5√ √ 8 4 . − = 5√ √ 8 4 ⇒ 85 = = 2√ √ ⇒ − = = 165
Ahora reemplazamos en la integral dada:
2 2 22cos( 22cos(5√ √ 4) . − =2 cos 165 = = 325 Continuar……. cambiando a la variable original……… Ccesa