PROBLEMAS PROPUESTOS GENERAL

ECON. JUAN CARLOS ERAZO F

INVESTIGACIÓN OPERATIVA II TOMO II

43

Investigación Operativa Tomo I Capítulo I OBJETIVOS DEL CAPÍTULO I Al finalizar el capítulo el alumno estará en capaci dad de: 1.2.3.4..

Tener una perspectiva de lo que es la Investigación Operativa Mejorar la toma de decisiones gerenciales Entender el concepto de modelo Entender los cinco pasos pasos más importantes en I.O. a.b.c.d.e.-

Definición de un problema. Construcción de un modelo. Solución del modelo. Validación del modelo Implementación

. 5.- Ver como se se construye un modelo en dos aplicaciones gerenciales en programación lineal y análisis de decisiones.

LA INVESTIGACIÓN OPERATIVA INTRODUCCIÓN La Investigación Operativa es una técnica o, mejor, conjunto de técnicas que han surgido para coordinar la teoría con la práctica, para ayudar a resolver los problemas cada vez más complicados que surgen en la empresa. Muchos de los a vances de la Investigación Operativa se han debido a que h an encontrado nue vas técnicas matemáticas, el desarrollo de la Computacion, y, sobre todo métodos más abreviados de cálculo numérico, que ha hecho factibles las soluciones a problemas que hace unos años se consideraban fuera de nuestras posibilidades. Un caso, quizá el que más se ha popularizado, es el de la PROGRAMACIÓN LINEAL. Una de las razones principales que hacen indispensable esta ciencia es que tiene que resolver resolver cuestiones que se refieren a la empresa como totalidad. La Investigación Operativa es una ciencia considerada en formación, de ahí que no existe un concepto generalizado, y quizá por ello, están sugiriendo muchas inquietudes, pues, se puede plantear y resolver problemas en una amplia gama de actividades, originando frecuentemente frecuentemente más y nuevas po sibilidades de acción práctica en esta materia. Estas características a la vez que va confirmando la utilidad de la Investigación Operativa, derivan interesantes oportunidades para c rear modelos y aplicaciones muy m uy subjetivas y de e sta forma facilitar la "TOMA DE DECISIONES" en empresas y organizacion es. La Investigación Operativa, reúne un conjunto de ciencias como la Física, Biología, Psicología, Sociología, Economía y Matemática, Mat emática, que identificadas a un probl ema concreto contri buyen a encontrar encontrar la relación CAUSA-EFECTO, de un fenómeno y, en base a métodos matemáticos, estadísticos estadísticos y criterios cualitativos procura una definición del problema y una solución práctica. Mediante la aplicación de modelos se puede reunir el conjunto de variables variables de carácter controlable y otras no controlables, integrándolas en un contexto general y predeterminando su posible comportamiento.


INVESTIGACIÓN OPERATIVA TOMO II

44

Regularmente la Investigación Operativa utiliza métodos de aproximaciones sucesivas, es decir, generando alternativas y opciones para la decisión final, tratando obviamente de MINIMIZAR los riesgos inherentes a cada posición.

ORIGEN Y EVOLUCIÓN DE LA INVESTIGACIÓN OPERATIVA La Investigación Operativa es tan antigua como la conducta humana, pues el avance científico es consecuencia de la acumulación de diferentes investigaciones en las ciencias aplicadas. A inicios de la segunda guerra mundial, los mandos militares, solicitaron ayuda de numerosos científicos para la resolución de problemas estratégicos y tácticos. tácticos. Los científicos procedentes de diferentes disciplinas se organizaron en equipos dirigidos inicialmente a buscar la utilización óptima de los recursos. Estos fueron los primeros equipos de Investigación Operativa. Surgieron tres elementos básicos para defi nir una una operación de ataque militar. ESTRATEGIA LOGISTICA TACTICA

: : :

(Precisión de un objetivo) (Recursos disponibles) (Forma, habilidad para cumplir el objetivo con los recursos)

Se realizaron muchos ensayos para comprobar el razonamiento científico, i ntensas investigaciones, procesos de observación estadística, probabilidades, llegando a precisar una nueva forma de apreciación sobre los problemas. Al pasar el tiempo surgieron nuevos modelos, ampliándose la iniciativa a la empresa, se la consideraba como un todo, integrándola en muchos aspectos: producción, tecnología, administración, tareas, personal, etc., es decir, dando importancia a todos aquellos factores que directa o indirectamente tienen que ver con la permanencia permanenci a del del producto y de la empresa. Los casos resueltos a través de los modelos de la Investigación Operativa realmente son numerosos y con sentido de practicidad y eficiencia. Problemas planteados y resueltos mediante programación lineal, programación dinámica, problemas de colas, Problemas de transporte, métodos GANT PERT, entre los más importantes, han despertado varias ideas de aplicación. Hoy podría decirse, que toda empresa de dimensión grande o mediana aplican los métodos de la Investigación Operativa, pues, contribuye eficazmente a optimizar una gran parte de los obj etivos.

LAS FASES DE LA INVESTIGACIÓN OPERATIVA La Investigación Operativa comienza describiendo algún sistema mediante un modelo que luego se lo amplía con el propósito de determinar la mejor forma de operación del sistema. Las principales fases de un estudio de Investigación de Operaciones son las siguientes: a) b) c) d) e) f)

Formulación del problema. Construcción de un modelo representativo del sistema de estudio. Búsqueda de una solución a partir del modelo. Prueba del modelo y de lla a solución deducida a partir de éste. Establecimiento de controles sobre la solución. Poner la solución a trabajar: EJECUCION.

FORMULACIÓN DEL PROBLEMA En la formulación de un problema deben estar perfectamente establecidos los objetivos, los cursos alternativos de acción, las restricciones y los efectos del sistema de estudio. Debe tomarse en cuenta que es casi imposible dar solución correcta a un problema incorrectamente planteado.



44

Regularmente la Investigación Operativa utiliza métodos de aproximaciones sucesivas, es decir, generando alternativas y opciones para la decisión final, tratando obviamente de MINIMIZAR los riesgos inherentes a cada posición.

ORIGEN Y EVOLUCIÓN DE LA INVESTIGACIÓN OPERATIVA La Investigación Operativa es tan antigua como la conducta humana, pues el avance científico es consecuencia de la acumulación de diferentes investigaciones en las ciencias aplicadas. A inicios de la segunda guerra mundial, los mandos militares, solicitaron ayuda de numerosos científicos para la resolución de problemas estratégicos y tácticos. tácticos. Los científicos procedentes de diferentes disciplinas se organizaron en equipos dirigidos inicialmente a buscar la utilización óptima de los recursos. Estos fueron los primeros equipos de Investigación Operativa. Surgieron tres elementos básicos para defi nir una una operación de ataque militar. ESTRATEGIA LOGISTICA TACTICA

: : :

(Precisión de un objetivo) (Recursos disponibles) (Forma, habilidad para cumplir el objetivo con los recursos)

Se realizaron muchos ensayos para comprobar el razonamiento científico, i ntensas investigaciones, procesos de observación estadística, probabilidades, llegando a precisar una nueva forma de apreciación sobre los problemas. Al pasar el tiempo surgieron nuevos modelos, ampliándose la iniciativa a la empresa, se la consideraba como un todo, integrándola en muchos aspectos: producción, tecnología, administración, tareas, personal, etc., es decir, dando importancia a todos aquellos factores que directa o indirectamente tienen que ver con la permanencia permanenci a del del producto y de la empresa. Los casos resueltos a través de los modelos de la Investigación Operativa realmente son numerosos y con sentido de practicidad y eficiencia. Problemas planteados y resueltos mediante programación lineal, programación dinámica, problemas de colas, Problemas de transporte, métodos GANT PERT, entre los más importantes, han despertado varias ideas de aplicación. Hoy podría decirse, que toda empresa de dimensión grande o mediana aplican los métodos de la Investigación Operativa, pues, contribuye eficazmente a optimizar una gran parte de los obj etivos.

LAS FASES DE LA INVESTIGACIÓN OPERATIVA La Investigación Operativa comienza describiendo algún sistema mediante un modelo que luego se lo amplía con el propósito de determinar la mejor forma de operación del sistema. Las principales fases de un estudio de Investigación de Operaciones son las siguientes: a) b) c) d) e) f)

Formulación del problema. Construcción de un modelo representativo del sistema de estudio. Búsqueda de una solución a partir del modelo. Prueba del modelo y de lla a solución deducida a partir de éste. Establecimiento de controles sobre la solución. Poner la solución a trabajar: EJECUCION.

FORMULACIÓN DEL PROBLEMA En la formulación de un problema deben estar perfectamente establecidos los objetivos, los cursos alternativos de acción, las restricciones y los efectos del sistema de estudio. Debe tomarse en cuenta que es casi imposible dar solución correcta a un problema incorrectamente planteado.



45

CONSTRUCCIÓN DE UN MODELO El siguiente paso luego de la formulación de problema, es la construcción del modelo, las características esenciales de los modelos permiten describirlos de diferentes maneras. Los modelos pueden clasificarse por sus dimensiones, funciones, propósitos, temas o grado de abstracción. Los tipos básicos de modelos son los siguientes: 1.-

Modelos Icónicos Un modelo icónico es la presentación física de un objeto o de una situación. Esta representación puede darse en dos dimensiones como sucede con los planos, los mapas o la fotografía o, también, en tres dimensiones como sucede con las maquetas.

2.-

Modelos Analógicos Son representaciones que por analogía muestran características de una determinada situación. Se los utiliza, especialmente, para representar situaciones situaciones dinámicas. Son ejemplos de estos modelos las curvas de demanda, las curvas de distribución de frecuencia y los diagramas de flujo.

3.-

Modelos Simbólicos o Matemáticos Son verdaderas representaciones de la realidad y toman la forma de cifras y símbolos matemáticos. Estos son los modelos especialmente utilizados por la Investigación Operativa y un tipo de modelo simbólico es una ecuación. ecuación.

DEDUCCIÓN DE LA SOLUCIÓN Una vez establecido el modelo, el siguiente paso es obtener una solución al problema a partir del modelo. Este paso se lo desarrolla determinando la solución óptima del modelo y luego aplicando esta solución al problema real. Algunas ocasiones las complejidades matemáticas del modelo impiden obtener la solución óptima, en estos casos, una ³BUENA´ respuesta es suficiente. En otros casos, la solución óptima del modelo es una aproximación de la situación real, sin embargo, un modelo bien formulado y probado aproxima su solución óptima verdadera.

PRUEBA DEL MODELO Y DE LA SOLUCIÓN Después de obtener una solución del modelo, el modelo y la solución deben probarse. Esto puede hacerse en dos pasos: 1.2.-

Usando datos pasados, haciendo una comparación entre el rendimiento real del sistema y el rendimiento indicado por el modelo. Permite operar el sistema sin cambios y comparando su rendimiento con aquel del modelo.

ESTABLECIMIENTO DE CONTROLES Una vez que un modelo y su solución se consideran aceptables, deben colocarse controles sobre la solución con el objeto de detectar cualquier cambio significativo de las condiciones en las cuales se basa el modelo; obviamente, si cambian tanto que el modelo ya no es una representación representación precisa del sistema, el modelo debe ser invalidado.

EJECUCIÓN La ejecución es una solución obtenida a partir de un modelo, es la última fase de un estudio de investigación de Operaciones. En esta fase se explica la solución a la administración responsable del sistema en estudio. Es importante que la explicación de la solución se haga en función de los procedimientos usados en el sistema real.



46

Después de aplicar la solución al sistema, se observa la respuesta de éste a los cambios introducidos, esto permite realizar los ajustes y modificaciones adicionales requeri das por el rendimiento del sistema.

METODOS CUANTITATIVOS QUE ESTUDIA LA I.O. A continuación se presenta una breve de scripción de los diferentes modelos que estudia la I.O. 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.-

Teoría de probabilidades. Varias técnicas matemáticas. Modelos de secuenciación. Modelos de reemplazo. Modelos de inventario. Modelos de asignación. Modelos de programación dinámica. Modelos competitivos. Modelos de líneas de espera. Técnicas de simulación. Modelos de ruta. Métodos de búsqueda y heurísticos. Métodos combinados de investigación de operaciones. Modelo de Programación Lineal.

CAMPOS DE APLICACIÓN DE LA INVESTIGACIÓN OPERTIVA La I.O. tiene múltiples campos de aplicación, se utiliza en casi toda gestión que requiere la intervención de recursos para un objetivo determinado y reúna características muy bien definidas. En forma sucesiva los métodos operaci onales han ido encontrado aceptación en los siguientes campos o sectores: - Industria - Agricultura - Construcción - Comercio - Transporte

- Energía - Banca - Minería - Comunicaciones - Servicios públicos o privados

Desde el punto de vista de unidades económicas, la I.O. es un valioso instrumento para resolver problemas relacionados con los siguientes aspectos: - Producción - Inventarios - Distribución - Selección de equipos - Problemas de espera - Organización y sistemas - Localización LAY-OUT - Financiamiento

- Precios - Mercados - Comercialización - Informática - Administración - Gerencia - Factor humano - Seguridad industrial

De acuerdo a lo anterior la I.O. refleja su versatilidad para plantear, analizar y sugerir la mejor solución a los diferentes problemas que por sectores económicos o factores internos de la empresa pueden presentarse.

LIMITACIONES DE LA INVESTIGACIÓN OPERATIVA Así como esta materia nos permite resolver muchos tipos de problemas, también, encontramos algunas limitaciones en la práctica, las que pueden sinteti zarse en las siguientes:



47

a)

Capacidad del equipo investigador.- Se refiere a las restricciones en cuanto a contar con profesionales especializados en la rama.

b)

Costo de la investigación.- El costo es alto, pero, es necesario anotar que muchas empresas lo consideran como inversión ya que les permit e minimizar errores. El uso del computador.- Actualmente es necesario la utilización de los lenguajes de computación. Grado de interés de la empresa.- En los países menos desarrollados no dan el apoyo respectivo a estas investigaciones. Servicios de informática.- Generalmente las empresas no cuentan con unidades sistematizadas de información, capaz de dar agilidad a la obtención de datos, fundamentalmente con los necesarios para la identificación de coeficientes técnicos por unidad. Esta es una restricción que obstaculiza el proceso de la investigación. Es indudable, desde luego, para las empresas que cuentan con servicios internos de información, obtengan mejores resultados a través de los medios de la informática.

c) d) e)

METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN OPERATIVA La metodología debe pretender que el decidor, aquel que tomará el riesgo de la decisión (riesgo porque es de su responsabilidad el éxito o fracaso de la operación), puede afectar la decisión más racional posible, o sea, que se minimice el riesgo de ser equivocado. La metodología a utilizarse debe adaptarse ³A fin de facilitar la decisión´, para ello contará con modelos fundamentalmente matemáticos, con la calificación de los factores que intervienen en el proceso. Conocido el modelo matemático, cuantificados los parámetros que en él intervienen, habrá que hacer uso del juego lógico matemático para obtener soluciones.



48

Capítulo II Programación Lineal PROBLEMAS PROPUESTOS 1)

Para el modelo de (LA COMPAÑÍA REDDY MIKKS). produce pinturas para exteriores como para interiores, a partir de dos materias primas, M1 y M2. La siguiente tabla proporciona los datos básicos del problema: Toneladas de materia prima por tonel ada de Pintura para Pintura para Disponibilidad Exteriores Interiores máxima diaria (toneladas) Materia prima, M1 6 4 24 Materia prima, M2

1

2

Utilidad por tonelada (1000 dólares)

5

4

6

Una encuesta de mercado restringe la demanda máxima diaria de pintura para interiores a 2 toneladas. Además, la demanda diaria de pintura para interiores no puede exceder a la de la pintura para exteriores por más de 1 tonelada. Reddy Mikks quiere determinar la mezcla de producto óptima (mejor) de pinturas para interiores y para exteriores que maximice la utilidad total diaria. Construya cada una de las siguientes restricciones y expréselas con un lado derecho constante: a) La demanda diaria de pintura para interiores excede a la de la pintura para exteriores cuando menos por 1 tonelada. b) El empleo diario de materia prima M2, es cuando mucho de 6 toneladas y cuando menos 3 toneladas. c) La demanda de pintura para interiores no puede ser menor que la demanda de pintura para exteriores. d) La cantidad mínima de pintura que debe producirse, tanto para interiores como para exteriores, es de 3 toneladas. e) La proporción de pintura para interiores con la producción total de pinturas, tanto para interiores como para exteriores, no debe e xceder de 5. 2)

Para la solución factible X1 = 2, X2 = 2 del modelo de Reddy Mikks, determine. a) La cantidad no utilizada de materi a prima M1. b) La cantidad no utilizada de materia prima M2.

3)

Suponga que Reddy Mikks le vende su pintura para exteriores a un solo mayorista, con un descuento por cantidad. El resultado final es que la utilidad por tonelada será de 5.000 dólares si el contratista compra no más de 2 tonel adas diarias o de lo contrario de 4.500 dól ares. ¿Es posible modelar esta situación como un modelo de PL?

4)

Determine el espacio de solución y la solución óptima del modelo de Reddy Mikks para cada uno de los siguientes cambios independientes: a) La demanda máxima diaria de pintura para exteriores es de 2.5 toneladas. b) La demanda diaria de pintura para interiores es por lo menos de 2 tonel adas. c) La demanda diaria de pintura para interiores es exactamente de 1 tonelada más que la pintura para exteriores. d) La disponibilidad diaria de materia prima, M1, es de por lo menos 24 toneladas.



49

e) La disponibilidad diaria de materia, prima M1, es de 24 toneladas como mínimo y la demanda diaria de pintura para interiores excede a la de la pintura para exteriores en por lo menos 1 tonelada. 5)

La señorita Fernanda Erazo es una estudiante emprendedora de primer año en la Pontificia Universidad Católica del Ecuador. Comprende que ³sólo el trabajo y nada de diversión hacen de Fernanda una muchacha aburrida´. Como resultado, Fernanda quiere distribuir su tiempo disponible, de alrededor de 10 horas al día, entre el trabajo y la diversión. Calcula que el juego es dos veces más divertido que el trabajo. También quiere estudiar por lo menos tanto como juega. Sin embargo, Fernanda comprende que si quiere terminar todas sus tareas universitarias, no puede jugar más de cuatro horas al día. ¿Cómo debe distribuir Fernanda su tiempo para maximizar su satisfacción tanto en el trabajo com o en el juego?

6)

Para el modelo (DE LA DIETA). Ozark Farms utiliza diariamente por lo menos 800 libras de alimento especial. El alimento especial es una mezcla de maíz y semilla de soya, con las siguientes composiciones:

Libra por libra de alimento para ganado Alimento para ganado Proteínas Fibra Maíz 0.09 0.02 Semilla de Soya 0.60 0.06

Costo (/libra) 0.30 0.90

Los requerimientos dietéticos diarios del alimento especial estipulan por lo menos un 30% de proteínas y cuando mucho un 5% de fibra. Ozark Farms desea determinar el costo mínimo diario de la mezcla de alimento, supongamos que la disponibilidad diaria de maíz se limita a 450 libras. Identifique el nuevo espacio de solución y determine la nueva solución óptima. 7)

Para el modelo de la dieta anterior. ¿Qué tipo de solución óptima daría el modelo si la mezcla de alimento no excediera de 800 li bras al día? ¿Tiene sentido esta solución?

8)

Viviana Erazo debe trabajar por lo menos 20 horas a la semana para completar su ingreso mientras asiste a la escuela. Tiene la oportunidad de trabajar en dos tiendas al detalle: en la tienda 1 Viviana puede trabajar entre 5 y 12 horas a la semana, y en la tienda 2 le permiten trabajar entre 6 y 10 horas. Ambas tiendas pagan el mismo por hora. De manera que Viviana quiere basar su decisión acerca de cuántas horas debe trabajar en cada tienda en un criterio diferente: el factor del estrés en el trabajo. Basándose en entrevistas con los empleados actuales, Viviana calcula que, en una escala de 1 a 10, los factores del estrés son de 8 y 6 en las tiendas 1 y 2, respectivamente. Debido a que el estrés aumenta por hora, ella supone que elestrés total al final de la semana es proporcional al número de horas que trabaja en la tienda. ¿Cuántas horas debe trabajar en cada tienda?

9)

En el modelo de Reddy Mikks (problema 1), considerar la solución factible x1 = 3 toneladas y x2 = 1 tonelada. Determine el valor de las holguras asociadas para la materia prima M1, y M2.

10)

En el modelo de la dieta (problema 6), determine la cantidad excedente de alimento que consiste en 500 libras de maíz y 600 l ibras de semilla de soya.

11)

Dos productos se fabrican en un centro de maquinado. Los tiempos de producción por unidad de los productos 1 y 2 son de 10 y 12 minutos, respectivamente. El tiempo regular total de la máquina es de 2.500 minutos por día. En un día cualquiera, el fabricante vende entre 150 y 200 unidades del producto 1, pero no más de 45 unidades del producto 2. Se pueden emplear horas extras para satisfacer la demanda a un costo adicional de 0.50 de dólar por minuto.



50

a) Suponiendo que las utilidades por unidad de los productos 1 y 2 son.6.0 y 7.50 dólares, respectivamente, formule un modelo y determine el nivel óptimo de fabricación para cada producto, así como cualesquiera número de horas extra necesarias en el centro. b) Si el costo por minuto de horas extra se incrementa a 1.50 dólares, ¿la compañía debe utilizar horas extras? 12)

Determine gráficamente el rango óptimo, para los siguientes problemas. Observe los casos especiales donde c1 o c2 pueden asumir un valor de cero

Maximice z

!

2 x1

3 x 2



Sujeta a a)

3 x1  x

Maximice z

2 x2

e

5

x 2

e

0

x1 , x 2

e

0

 

4 x1

!

3 x 2



Sujeta a b)

13)

3 x1



5 x 2

x1



x 2

e

0

x1 , x 2

e

0

e

5

En el problema de la dieta (ejercicio 6), a) Determine la gama de optimilidad para la razón del costo por libra de maíz con el costo por libra de alimento de semilla de soya. b) Si el costo por libra de maíz se incrementa 20% y el del alimento de semilla de soya disminuye 5%, ¿la solución actual seguirá siendo óp tima? c) Si el costo por libra de maíz se mantiene fijo a 30 centavos de dólar y el costo por libra de alimento de semilla de soya aumenta a 1.10 dólares, ¿la solución actual seguirá siendo óptima?

14)

La tienda de comestibles B&K vende dos tipos de bebidas no alcohólicas: la marca de sabor de cola A1 y la marca propia de la tienda, B&K de colas, más económica. El margen de utilidad en la bebida de cola A1 es de alrededor de 5 centavos de dólar por lata, mientras que la de la bebi da de cola B&K suma una ganancia bruta de 7 centavos por lata. En promedio, la tienda no vende más de 500 latas de ambas bebidas de cola al día. Aún cuando A1 es una marca más conocida, los clientes tienden a comprar más latas de marca B&K, porque considerablemente es más económica. Se calcula que la venta de la marca B&K superan a las de la marca A1 en una razón de 2 a 1 por lo menos. Sin embargo, B&K vende, como mínimo, 100 latas de A1 al día. a) ¿Cuántas latas de cada marca debe tener en existencia la tienda diariamente para maximizar su utilidad? b) Determine la razón de las utilidades por lata de A1 y B&K que mantendrá inalterada la solución en (a).

15)

Baba Furniture Company emplea a cuatro carpinteros durante 10 días para ensamblar sillas y mesas. Se requieren 30 minutos para ensamblar una silla.y 2 horas para ensamblar una mesa. Por lo común, los clientes compran entre cuatro y seis sillas con cada mesa. Las utilidades son de 13.5 dólares por mesa y 5 dólares por sill a. La compañía opera un turno de 8 horas al día. a) Determine gráficamente la mezcla de producción óptima de los 10 días. b) Determine el rango de la razón de utilidades por unidad, que mantendrá inalterada la óptima (a).



51

c) Si las utilidades actuales por cada mesa y silla se reducen 10%, utilice la respuesta en (b) para mostrar la forma en la cual este cambio afecta la solución óptima obtenida en (a). d) Si las utilidades actuales por cada mesa y silla cambia a 12 y 2.5 dólares, utilice el resultado de sensibilidad en (b) para determinar si cambiará o no la solución en (a). 16)

El Banco del Pacífico está asignando un máximo de 200.000 dólares para préstamos personales y de automóviles durante el próximo mes. El banco cobra 14% por préstamos personales y 12% por préstamos para automóviles. Ambos tipos de préstamos se liquidan al final de un periodo de un año. La experiencia muestra que alrededor del 3% de los préstamos personales y del 2% de los préstamos para automóviles nunca se liquidan. Por lo común, el banco asigna cuando menos el doble de los préstamos personales a los préstamos pa ra automóviles. a) Determine la asignación óptima de fondos para los tipos de préstamos y la tasa neta de utilidad que obtendrá el banc o de todos los préstamos. b) Determine el rango de optimilidad para la razón d e las tasas de interés de préstamos personales y para automóvil que mantendrá inalterada la solución en (a). c) Supongamos que el porcentaje de préstamos personales y para automóvil no liquidados cambia a 4% y 3%, respectivamente, ¿Cómo afectaría este cambio l a solución óptima en (a)?.

17)

Electra produce dos tipos de motores eléctricos, cada uno en una línea de ensamble separada. Las respectivas capacidades diarias de las dos líneas son de 600 y 750 motores. El motor tipo 1 emplea 10 unidades de cierto componente electrónico y el motor tipo 2 sólo utiliza 8 unidades. El proveedor del componente puede proporcionar 8.000 piezas al día. Las utilidades por motor para los tipos 1 y 2 son de 60 y 40 dólares, respectivamente. a) Determine la mezcla óptima para la producción diaria. b) Determine el rango de optimalidad de la razón de utilidades por unidad que mantendrá inalterada la solución en (a)

18)

Popeye Canning tiene un contrato para recibir 60.000 libras de tomates maduros a 7 centavos de dólar por libra, con las cuales produce jugo de tomate enlatado, así como pasta de tomate. Los productos enlatados se empacan en cajas de 24 latas. Una lata de jugo requiere una libra de tomates frescos y una lata de pasta sólo requiere 1/3 de libra. La participación de mercado de las compañías se limita a 2.000 cajas de jugo y 6.000 cajas de pasta. Los precios de mayoreo por caja de jugo y de pasta son de 18 y 9 dólares, respectivamente. a) Desarrolle un programa de producción óptima para Popeye. b) Determine la razón del precio por caja con el precio por caja de pasta que permitirá que Popeye produzca más cajas de jugo que de pasta.

19)

Dean¶s Furniture Company ensambla dos tipos de gabinetes de cocina de madera precortada: regulares y de lujo. Los gabinetes regulares están pintados de blanco y los de lujo están barnizados. Tanto la pintura como el barnizado se llevan a cabo en un departamento. La capacidad diaria del departamento de ensamble puede producir un máximo de 200 gabinetes regulares y 150 gabinetes de lujo. El barnizado de un gabinete del lujo se lleva el doble de tiempo que pintar uno regular. Si el departamento de pintura /barnizado se dedica únicamente a las unidades de lujo, terminaría 180 unidades diarias. L a compañía calcula que las utilidades por unidad de los gabinetes regulares y de lujo son de 100 y 140 dólares, respectivamente. a) Formule el problema como un programa lineal y encuentre el programa de producción óptima por día. b) Supongamos que, debido a la competencia, las utilidades por unidad de las unidades regulares y de lujo deben reducirse a 80 y 110 dólares, respectivamente. Utilice el análisis de sensibilidad para determinar si la solución óptima en (a) se mantiene inalterada o no.

2 0)

Wild West produce dos tipos de sombreros estilo vaquero. El sombrero tipo 1 requiere el doble de tiempo de trabajo que el de tipo 2. Si todos los sombreros producidos únicamente son del tipo 2, la compañía puede producir un total de 400 sombreros al día. Los límites diarios del mercado son



52

de 150 y 200 sombreros de los tipos 1 y 2, respectivamente. La utilidad del sombrero tipo 1 es de 8 dólares y la del sombrero tipo 2 es de 5 dólares. a) Utilice la solución gráfica para determinar el número de sombreros de cada tipo que se debe producir. b) Determine el valor de incrementar la capacidad de producción de la compañía en un sombrero tipo 2 y el rango para la cual es aplicable este resultado. c) Si él límite de la demanda del sombrero tipo 1 disminuye a 120, determine el efecto correspondiente en la utilidad óptima, utilizando el valor unitario del recurso. d) ¿Cuál es el incremento en el valor por unidad en la participación de mercado del sombrero tipo 2? ¿En cuánto se puede incrementar la participación de mercado, al mismo tiempo que rinde el valor calculado por unidad? 2 1)

Una compañía fabrica dos productos, A y B. El volumen de ventas de A es por lo menos 80% de las ventas totales de A y B. Sin embargo, la compañía no puede vender más de 100 unidades de A por día. Los dos productos utilizan una materia prima, cuya disponibilidad máxima diaria se limita a 240 libras al día. Las proporciones de utilización de la materia prima son 2 libras para cada unidad de A y 4 libras para cada unidad de B. Los precios unitarios de A y B son de 20 y 50 dólares, respectivamente. a) Determine la mezcla óptima de los dos productos. b) Determine el valor por cambio unitario en la disponibilidad de la materia prima y su rango de aplicabilidad. c) Utilice el análisis de sensibilidad para determinar el efecto de cambiar la demanda máxima del producto A por s 10 unidades.

22)

Una compañía que opera 10 horas al día fabrica cada uno de los productos en tres procesos en secuencia. La siguiente tabla resume los datos del problema: Producto 1 2

Proceso 1 10 5

Minutos por unidad Proceso 2 Proceso 3 6 8 20 10

Utilidad por unidad $2 $3

a) Determine la mezcla óptima de los dos productos. b) Supongamos que se está considerando los tres procesos para una expansióny usted necesita determinar su prioridad. Diseñe una f orma lógica para lograr esta meta. 23)

Show & Sell puede anunciar sus productos en la radio o la televisión locales. El presupuesto para anuncios está limitado a 10.000 dólares al mes. Cada minuto de anuncios por radio cuesta 15 dólares y cada minuto de comerciales por televisión cuesta 300 dólares. A Show & Sell le agrada utilizar los anuncios por radio por lo menos el doble de los anuncios por televisión. Por lo pronto, no es práctico utilizar más de 400 minutos de anuncios por radio. La experiencia pasada muestra que se calcula que los anuncios por televisión son 25 veces más efectivos que los de la radio. a) Determine la asignación óptima del presupuesto para los anuncios por radio y televisión. b) Determine el valor por unidad de inc rementar el límite mensual en la publicidad por radio. c) Si el presupuesto mensual se aumenta a 15.000 dólares, utilice la definición de valor de la unidad para determinar la medida resultante de la efectividad publicitaria.

24)

Wyoming Electric Coop. Es propietaria de una planta generadora de energía con turbina de vapor. Debido a que Wyoming es rica en depósitos de carbón, la planta genera vapor con carbón. Sin embargo, esto crea el problema de satisfacer los estándares de emisión. Las regulaciones de la Environmetal Protection Agency (Agencia de Protección Ambiental) limitan la descarga de dióxido de azufre a 2.000 partes por millón y la descarga de humo de las chimeneas de la plante a 20 libras por hora. La Cooperativa recibe dos grados de carbones pulverizados, C1 y C2, para ser utilizados en la planta. Por lo común, los dos grados se mezclan antes de quemarlos. Por simplicidad, supondremos que el contaminante de azufre de la mezcla (en partes por millón) es un



53

promedio ponderado de la proporción de cada grado empleado en la mezcla. Los siguientes datos se basan en el consumo de una tonelada por hora de cada uno de los dos grados de carbón. Grado de carbón

Descarga de azufre en partes por millón

Descarga de humo en libras por hora

Vapor generado en libras por hora

C1 C2

1 800 2 100

2.1 0.9

12 000 9 000

a) Determine la proporción óptima para mezclar los dos g rados de carbón. b) Determine el efecto de relajar el límite de la descarga de humo 1 libra sobre la cantidad de vapor generado por hora. 25)

La división de Educación Continua en Ozark Community College ofrece un total de 30 cursos cada semestre. Los cursos que ofrece generalmente son de dos tipos: prácticos, como trabajos en madera, procesador de palabras y mantenimiento de automóviles; y humanísticos, como historia, música y bellas artes. Para satisfacer las demandas de la comunidad, es necesario ofrecer por lo menos 10 cursos de cada tipo, cada semestre. La división calcula que los ingresos por ofrecer esos cursos prácticos y humanísticos son aproximadamente 1.500 y 1.000 dólares por curso, respectivamente. a) ¿Cómo debe asignar la escuela sus cursos? b) Determine el ingreso si se incrementa el requerimiento mínimo de los cursos prácticos con un curso más. c) Determine el ingreso si se incrementa el requerimiento mínimo de los cursos humanísticos con un curso más.

26)

Burroughs Garment Company fabrica camisas para caballero y blusas para damas para Walmark Discount Strores. Walmark aceptará toda la producción que le proporcione Burroughs. El proceso de producción que incluye corte, costura y empacado. Burroughs emplea a 25 trabajadores en el Departamento de corte, a 35 en el Departamento de costura y a 5 en el departamento de empacado. La fábrica trabaja un turno de 8 horas, sólo 5 días a la semana. La siguiente tabla proporciona los requerimientos de tiempo y l as utilidades por unidad para las dos prendas: Prenda Camisas Blusas

Corte 20 60

Minutos por unidad Costura Empacado 70 12 60 4

Utilidad por unidad ($) 2.50 3.20

a) Determine el programa de producción semanal óptima para Burroughs. b) Si los requerimientos mínimos diarios de Walmark son de 2.000 camisas y 3.000 blusas, ¿es posible que Burroughs proporcione estas cantidades con su semana de trabajo actual de 5 días? De no ser así, ¿puede usted sugerir alguna forma para que Burroughs satisfaga estos requerimientos? ¿Cuál será el programa de producc ión óptimo en este caso? c) Determine el valor por hora de l os procesos de corte, costura y empacado. 27)

ChemLabs fabrica dos productos de limpieza para el hogar, A y B procesando dos tipos de m ateria prima, I y II. El procesamiento de una unidad de materia prima I cuesta 8 dólares y produce0.5 unidad de solución A y 0.5 unidad de solución B. Además, el procesamiento de una unidad de materia prima II cuesta 5 dólares y produce 0.6 unidad de solución A y 0.4 unidad de solución B. La demanda diaria de la solución A es entre 10 y 15 unidades y la de la solución es entre 12 y 20 unidades. a) Encuentre la mezcla óptima de A y B que debe producir ChemLabs. b) Determine el valor por cambio de unidad en los límites de la demanda de los productos A y B.

28)

Una línea de ensamble que consta de tres estaciones consecutivas produce dos modelos de radios: Hi-fi-1 y Hi-fi-2. La siguiente tabla proporciona los tiempos de ensamble para las tres estaciones de trabajo.



Minutos por unidad Edición de trabajo Hi-fi-1 1 6 2 5 3 4

54

Hi-fi-2 4 5 6

El mantenimiento diario de las estaciones 1, 2 y 3 consume 10%. 14% y 12% respectivamente, del máximo de 480 minutos disponibles para casa e stación, cada día. a) La compañía desea determinar la mezcla óptima de productos que minimizará los tiempos inactivos (o no utilizados) en las tres estaciones de t rabajo. b) Determine el valor de disminuir 1 punto de porcentaje el tiempo diario de mantenimiento para cada estación. 29)

Un ejecutivo de negocios tiene la opción de invertir más dinero en dos planes; el plan A garantiza que cada dólar invertido ganará 0.70 de aquí a un año y el plan B garantiza que cada dólar invertido ganará 2 dólares después de 2 años. En el plan A, las inversiones se pueden hacer anualmente y en el plan B, las inversiones se permiten únicamente en los períodos que son múltiplos de dos. a) ¿Cómo debe invertir el ejecutivo 100.000 dólares para maximizar las ganancias al final de 3 años? b) ¿Vale la pena que el ejecutivo invierta más dinero en los planes?

3 0)

OilCo construye una refinería para elaborar cuatro productos: diesel, gasolina, lubricantes y combustible para aviones. Las demandas (en barriles/día) de esos productos son 14,000, 30,000, 10,000 y 8000, respectivamente. Irán y Dubai tienen contrato para enviar crudo a OilCo. Debido a las cuotas de producción que especifica la OPEP (Organización de Países Exportadores de Petróleo) la nueva refinería puede recibir al menos el 40% de su crudo de Irán, y el resto de Dubai. OilCo pronostica que estas cuotas de demanda y de crudo permanecerán estables durante los 10 años siguientes. Las distintas especificaciones de los dos crudos determinan dos proporciones distintas de productos: un barril de crudo de Irán rinde 0.2 barril de diesel, 0.25 barril de gasolina, 0.1 barril de lubricante y 0.15 barril de combustible para avión. Los rendimientos correspondientes del crudo de Dubai son: 0.1, 0.6, 0.15 y 0.1, respectivamente. OilCo necesita determinar la capacidad mínima de la refinería, en barriles de crudo por día.

31) Ahorros S.A. desea invertir una suma que genere un rendimiento anual mínimo de $10,000. Dispone de dos grupos accionarios: acciones selectas y alta tecnología, con un rendimiento anual promedio de 10 y 25%, respectivamente. Aunque las acciones de alta tecnología dan más rendimiento, son más arriesgadas, y Ahorros desea limitar la cantidad invertida en ellas a un máximo de 60% del total. ¿Cuál es la cantidad mínima que debe invertir Ahorros en cada grupo de acciones para alcanzar la meta de inversión? 32)

Una empresa fabrica cuatro productos: A, B, C y D. Cada unidad del producto A requiere dos horas de fresado, una hora de montaje y 10 dólares de inventario en proceso. Cada unidad del producto B necesita una hora de fresado, tres horas de montaje y un costo de cinco dólares de proceso de inventariado. Una unidad del producto C requiere 2 ½ horas de fresado, 2 ½ horas de montaje y dos dólares de proceso de inventariado. Por último, cada unidad del producto D requiere cinco horas de fresado, no nec esita montaje y cuesta 12 dólares de proceso de inventariado. La empresa tiene 120 horas de fresado y 160 horas de montaje disponibles. Además, no puede disponer de más de mil dólares para proceso de inventario. Cada unidad del producto A genera un beneficio de 40 dólares; una unidad del producto B genera un beneficio de 24 dólares; las unidades del producto C generan 36 dólares y las del producto D,



55

23 dólares. No se pueden vender más de 20 unidades del producto A, ni más de 16 unidades del producto C; puede venderse cualquier número de unidades de los productos B y D. Sin embargo, hay que producir y vender por lo menos 10 unidades del producto D para satisfacer un requisito contractual. Formule el problema anterior como un problema de programación lineal. El objetivo de la empresa es maximizar los beneficios que resultan de la venta de los cuatro productos. Resuelva el problema en computadora. 33)

Una compañía vende dos productos diferentes, A y B. La información del precio de venta y de los costos unitarios es la siguiente: Producto A Producto B Precio de venta $ 60 $ 40 Costo unitario 30 10 Beneficios unitarios $ 30 $ 30 Los dos productos se fabrican en un proceso de producción común y se venden a dos mercados distintos. El proceso de producción tiene capacidad de 30 000 horas de trabajo. Se requieren tres horas para producir una unidad A y una hora para producir una unidad B. El mercado se ha estudiado y los funcionarios de la compañía consideran que el número máximo de unidades de A que pueden vender es 8.000; el máximo de B es 12 000 unidades. Los productos se pueden vender en cualquier combinación, con las limitaciones anteriores. Formule el problema anterior como un problema de programación lineal; es decir, escriba las ecuaciones apropiadas y resuélvalo graficamente.

34)

Mangus Electric Products Co. (MEPCO) produce grandes transformadores eléctricos para la industria eléctrica. La compañía tiene pedidos (Tabla) para los próximos seis meses. Se espera que el costo de manufactura de un transformador varíe un poco en los próximos meses, por cambios esperados en los costos de los materiales y en las tarifas de trabajo. La compañía puede producir hasta 50 unidades al mes con tiempo normal y hasta 20 unidades adicionales si utiliza tiempo extra. En la tabla se muestran los c ostos del tiempo normal y los del tiempo extra.

Pedidos (unidades) Costo por unidad con tiempo regular (miles de dólares) Costo por unidad con tiempo extra (miles de dólares)

Mes Mar. Abr. 34 69

Ene. 58

Feb. 36

18

17

17

20

19

19

Mayo 72

Jun. 43

18,5

19

19

21

22

22

El costo de almacenamiento en inventarios de los transformadores que no se vendan es 500 dólares por mes. Al 10 de enero, la compañía tiene 15 transformadores en existencias y desea tener no menos de cinco en existencias para el 30 de junio. Formule un problema de programación lineal para determinar el programa de producción óptimo para MEPCO. 35)

La compañía de diamantes Transval extrae diamantes de tres minas de Sudáfrica. Las tres difieren en cuanto a capacidad, número, peso de las gemas y costos; estos datos se presentan en la tabla.

Mina

Planta 1 Planta 2 Planta 3

Capacidad (m3 de tierra procesada)

Costos de tratamiento (rands por m3)

83000 310000 190000

RO.60 RO.36 RO.50

Recuento de Grado gemas (número (quintales m3) de piedras m3)

0,36 0,22 0,263

0,58 0,26 0,21



56

Según las consideraciones de mercadotecnia, se requiere una producción mensual exacta de 148 000 gemas, mientras que otro requisito exige por lo menos 130 000 quilates (así, el tamaño promedio de las gemas es, por lo menos, de 130/148 = 0.88 quilates). El problema para el gerente de la compañía es cumplir con las exigencias de mercadotecnia al menor costo. 36)

Queremos seleccionar una estrategia de publicidad para llegar a dos tipos de clientes: amas de casa de familias con ingresos anuales superiores a 10 000 dólares y amas de casa de familias con ingresos anuales inferiores a 10 000 dólares. Consideramos que las personas del primer grupo comprarán dos veces más nuestro producto que las personas del segundo grupo, y nuestro objetivo es maximizar las compras. Podemos anunciar el producto en televisión o en una revista; una unidad de publicidad en televisión cuesta 20.000 dólares y llega a aproximadamente 2.000 personas del primer grupo y a 8.000 del segundo. Una unidad de publicidad en la revista cuesta 12. 000 dólares y llega a 6.000 personas del primer grupo y a 3.000 del segundo. Hay que usar por lo menos seis unidades de publicidad en televisión y no podemos usar más de 12 unidades de publicidad en la revista, por cuestiones de política. El presupuesto para publicidad es de 180 000 dólares. Formule este problema como un problema de programación lineal, definiendo todas las variables que utilice. Resuelva por el método gráfico para encontrar la estrategia de publicidad óptima.

37)

En fechas recientes, Super Sausage Company (SSC) ha experimentado cambios radicales en los precios de las materias primas, y el gerente ha dado instrucciones a una analista para que examine las proporciones de mezcla de ingredientes que se usa SSC para fabricar salchichas. La fabricación de salchichas debe cumplir con dos requisitos clave para el producto. El porcentaje de proteína en peso debe ser por lo menos del 15% y el porcentaje de grasas en peso no puede exceder el 30% (el peso restante es de relleno). SSC dispone de las cuatro materias primas siguientes para sus mezclas, con las características que se indican: Porcentaje De Proteína

Ingrediente

B C D

A

Porcentaje de grasas

40 20 10 5

Costo por kilogramo

10 15 35 40

$ 1.80 0.75 0.40 0.15

Formule un modelo de programación lineal que ayude a SSC a determinar el programa de mezclas más deseable. Resuelva el problema en computadora. 38)

Remítase al problema de mezcla de productos. Una empresa de manufactura fabrica productos, A y B, cada uno de los cuales debe procesarse en dos máquinas diferentes. Una máquina tiene 24 horas de capacidad disponibles y la otra sólo tiene 16 horas. Cada unidad del producto A necesita tres horas en cada máquina, mientras que una unidad del producto B necesita tres horas en la primera máquina y una hora en la segunda. Los beneficios marginales son de seis dólares por unidad del producto A y siete dólares por unidad del producto B y la empresa puede vender todas las unidades que puede fabri car de los dos productos. El objetivo de la empresa es maximizar los beneficios. El problema es determinar cuántas unidades de los productos A y B deben producirse dentro de los límites de las capacidades disponibles de las máquinas. Resuelva el problem a con los dos productos A y B Suponga que la empresa tiene un tercer producto, C, que puede producirse en la primera o en la segunda máquina. Si se produce en la primera máquina se requiere una hora; si se hace en la segunda máquina, se necesitan dos horas. El producto C tiene benef icios marginales de nueve dólares por unidad. Modifique la formulación del problema para incluir el producto C.

ECON. JUAN CARLOS ERAZO F 39)


57

El Consejo de Seguridad de Estados Unidos debe asignar su presupuesto para los próximos tres años. Ya se han tomado decisiones irrevocables con respecto a varias ³áreas programadas´ y a su financiamiento total; por ejemplo, se ha asignado un total de 110.000 dólares a la prevención de fallecimientos y a la reducción en daños a propiedades por accidentes automovilísticos. Pero hay que tomar decisiones detalladas acerca de los proyectos específicos para alcanzar los objetivos de los programas. En el caso de la prevención de fallecimientos y de la reducción en daños a propiedades, la tabla contiene los proyectos que recomendaron los analistas delconsejo, junto con los datos apropiados. Los miembros del consejo quieren que usted los ayude a tomar las decisiones sobre la asignación del presupuesto (o sobre la elección y la magnitud de los proyectos). Al preguntarles cuál de los objetivos específicos es más importante, dijeron: ³¡Es una pregunta difícil! Por una parte, la vida humana es sagrada y no puede comprarse con ninguna cantidad de dinero. Por otra parte, si hay dos maneras de ahorrar el mismo número de vidas, obviamente preferiríamos el proyecto que de cómo resultado la menor cantidad de daños a propiedades´.

Proyecto 1. Publicidad para el uso de

Límite superior de gastos para el proyecto (en dólares)

Prevención esperada de Reducción esperada en fallecimientos por cada daños a propiedades por 1.000 dólares gastados cada 1000 dólares gastados

$80 000

0.33

$0

20 000

0.25

20 000

75 000

0.15

30 000

100 000

0.27

10 000

cinturones de seguridad. 2. Investigación para mejorar el diseño de carreteras. 3. Investigación para mejorar el diseño de automóviles. 4. Dólares gastados para promover leyes estatales más severas para conductores ebrios

Al preguntarles en forma específica cuál sería la ³compensación´ entre vidas salvadas y daños a propiedades que les sería indiferente, su respuesta fue: ³¡Esta pregunta es aún más difícil! Sin embargo, somos conscientes de que un organismo de gobierno ha establecido, para fines internos de asignación de recursos, un valor monetario implícito de 300.000 dólares por una vida humana que se salve (creemos que otro organismo también usa esta cifra para tomar decisiones acerca de la incorporación de características de seguridad adicionales en su equipo)´. Formule un modelo de programación lineal cuya solución represente una asignación óptima del presupuesto de 110.000 dólares, con base en la información anterior. Asegúrese de definir todas las variables que utilice, para resolver por computadora el problema formulado. 4 0)

Delight Dary Company (DD) produce una amplia gama de productos láct eos. Los productos se han separado en dos categorías principales, con el fin de planificar la producción: helados (varios sabores y tamaños) y especialidades (helado en palito, emparedados de helado, conos de helado, etc.) Cada clase de producto tienen su propio equipo de empaquetado, pero ambas usan una misma máquina de fabricación de helado; también emplean el mismo grupo de trabajadores para producir y empaquetar cada clase de producto. Los helados requieren dos horas de la máquina de fabricación de helados, una hora en su propia línea de empaquetado y tres horas de trabajo para producir 4.000 litros de producto terminado. Las especialidades requieren una hora de la máquina de fabricación de helado, una hora en su propia línea de empaquetado y seis de trabajo para producir el equivalente de 4.000 litros de producto terminado. DD puede vender 4.000 litros de helado en 300 dólares, y 4.000 litros de especialidades en 500 dólares. Los costos de materias primas son aproximadamente iguales para ambas clases de productos.



58

En la actualidad, la compañía tiene un turno de trabajo (40 horas por semana) y emplea tres trabajadores de tiempo completo y un empleado de ¾ de tiempo, para un total de 120 + 30 = 150 horas de trabajo a la semana. Formule un modelo de programación lineal para la planificación de la producción de Delight Dairy y resuelva graficamente. 4 1)

Empire Abrasive Company (EAC) produce polvo de óxido de alumno que utiliza en sus afiladoras y en sus abrasivos. Hay dos tipos de producto terminado: polvo fino polvo grueso. Existen además dos tipos de insumos llamados crudo de Surinam y crudo chino (según el país de donde proviene la bauxita de la cual se obtiene el crudo). Por último, hay dos modos de procesamiento, llamados rápido y lento, que pueden aplicarse a cualquiera de los materiales de entrada para producir diversos porcentajes de los prod uctos terminados. La tabla ± describe los porcentajes de c ada producto terminado que se obtienen de las posibles combinacionesde los materiales de entrada y de los modos de procesamiento.

Porcentaje de polvo grueso Porcentaje de polvo fino Perdidas en la producción

Entrada de crudo de Surinam Primer Segundo proceso proceso 45 25 50 70 5 5

Entrada de crudo Chino Primer Segundo proceso proceso 35 20 60 80 5 0

La tonelada de crudo de Surinam cuesta 300 dólares, mientras que la de crudo chino cuesta 350. Una tonelada de procesamiento rápido cuesta 50 dólares, y una de procesamiento lento cuesta 40 dólares. La tonelada de polvo grueso se vende a 500 dólares y la de polvo fino a 325. La planta de EAC puede procesar 1.000 toneladas de crudo por semana. No hay límites en cuanto al volumen de producto terminado que puede venderse. Formule un modelo de programación lineal para este problema que indique cómo puede llegar EAC a la situación más rentable. Nota: EAC puede usar ambos tipos de crudo y ambos tipos de procesos; es decir, puede existir soluciones fraccionarias. 42)

La compañía Consolidated ha contratado el envió de sus productos de la fábrica a los almacenes. El volumen de entregas se mide en toneladas ± kilómetro (toneladas de producto multiplicadas por el número de kilómetros hasta el punto de entrega). Consolidated tiene que entregar apro ximadamente 400.000 toneladas-kilómetro por mes. Actualmente, Consolidated paga a Speedie Trucking Company 50 centavos por tonelada ± kilómetro para que entregue el producto, pero quiere comprar una flotilla de camiones para hacerse cargo de todo o de una parte del servicio de entrega. Se consideran tres tipos de camiones: grandes camiones remolque, camiones medianos y camionetas. En la tabla se presentan los detalles de cada tipo. Tipo Remolque Mediano CAMIONETA

Costo de compra $15.000 8.000 5.000

Costo operativo (tonelada-kilómetro) $0.28 0.32 0.40

Capacidad (toneladasKilómetroPor mes) 10.000 8.000 5.000

Speedie Trucking ha indicado que seguiría entregando los productos que Consolidated no pueda distribuir con sus camiones, a la misma tarifa de 50 centavos por tonelada kilómetro. En Consolidated hay escasez de fondos de capital para equipo, y sólo se dispone de 380 000 dólares para las compras.



59

Además de la limitación del presupuesto, existen otras restricciones con respecto a los tipos de camiones que se compren. El primer punto es el área de carga disponible. Debido a las limitaciones del espacio de almacenamiento y de las maniobras de carga, no caben más de 28 camiones. Un remolque o un camión mediano ocuparía un espacio; dos camionetas ocuparían un espacio. Además, como consecuencia de los tipos y tamaños de las entregas, por lo menos dos terceras partes de los vehículos que se com pren tendrán que ser remolques o camiones medianos. Formule este problema como un problema de programación lineal. Resuelva en computadora. Tenga cuidado en la especificación del objetivo y en la definición de las variables. 43)

Acme Skateboard Company fabrica tres modelos de patinetas: regular, especial y de lujo. En la tabla se muestran los datos de costos, precio de venta y otra información relacionada con cada modelo. Modelo Regular Especial De lujo Precio de venta por unidad 7 15 25 Costo de materias primas por unidad 3 6 10 Horas de trabajo necesarias para el montaje, para 0.1 0.2 0.5 el acabado y para el empaquetado por unidad. Límite superior de la demanda para las ventas semanales. 1000 800 300 Acme tiene una fuerza de trabajo de cinco individuos asalariaos que trabajan un máximo de 40 horas por semana y que reciben una paga de 280 dólares por semana (incluyendo prestaciones) aunque no trabajen las 40 horas. Acme desea encontrar el plan óptimo de producción semanal que maximice el beneficio y la contribución al costo fijo de fuerza de trabajo. Formule un modelo de programación lineal que maximice el beneficio más la contribución a los costos fijos de fuerza de trabajo.

44)

Emory Aluminum Company fabrica rollos de papel de aluminio de distintas anchuras. Los clientes pueden pedir rollos de 60,50, 30 o 20 centímetros de ancho. El papel se fabrica con un ancho normal de 135 centímetros y las anchuras menores se cortan del rollo normal. Anchura 60 centímetros 50 centímetros 30 centímetros 20 centímetros Desperdicio (centímetros)

1

2

15

2 1 1 1 5

3 1 1 2 5

4 1

5 1

2 1

2 15

Método de corte 6 7 8 9

3 15

5

2 1 15

1 2 1 5

1 1 2 15

10

11

12

13

4

2 3 15

6 15

1 4 5

15

Hay varias maneras de cortar las anchuras menores, como se indica en la tabla. Por ejemplo, con el método 3 se cortan del rollo normal un rollo de 60 cm. de ancho, un rollo de 30 cm de ancho y dos rollos de 20 cm. Con este método queda cinco centímetros de desperdicio [135 ± 60 ± 30 ± 2(20) = 5]. Puesto que el método de corte genera ciertos desperdicios, hay algunas combinaciones (que no se indican) que no se pueden cortar. Todos los rollos para corte tienen anchura de 135 centímetros y todos los pedidos son par las medidas que se indican en la tabla. Además, todos los pedidos tienen una longitud determinada (la longitud del rollo). Emory ha recibido los siguientes pedidos para el mes de julio :Ancho 24 centímetros

Rollos pedidos 330



20 centímetros 12 centímetros 8 centímetros

60

120 480 160

¿Cómo debe cortar Emory sus rollos para satisfacer los pedidos? Formule un modelo de programación lineal para el problema, resuelva en computadora. 45)

Un fabricante ha establecido un contrato para producir 2.000 unidades de un producto en los próximos ocho meses. El programa de entregas es el siguiente: Mes

Unidades

Enero 100 Febrero 200 Marzo 300 Abril 400 Mayo 100 Junio 100 Julio 500 Agosto 300 Total 2.000 El fabricante ha estimado que le cuesta un dólar almacenar una unidad de producto durante un mes. La capacidad de su almacén es de 300 unidades. El fabricante puede producir cualquier número de unidades en un mes, ya que se producen principalmente con mano de obra temporal, fácilmente disponible. Sin embargo, existe el costo de la capacitación del nuevo personal y los costos que se relacionan con los despidos de personal. El fabricante estima que cuesta unos 785 centavos por unidad aumentar el nivel de producción de un mes al siguiente (es decir, si la producción de enero es 200 y aumenta a 300 en febrero, el costo es de 75 dólares para capacitación del personal adicional que se requiere para producir al nivel de 300 unidades). De manera análoga, cuesta 50 centavos por unidad reducir la producción de un mes al siguiente. (Al término de los ocho meses se despedirá a todos los empleados, con los costos correspondientes de la reducción de la producción). Suponga que el nivel de producción antes de enero es cero. a) Formule lo anterior como un problema de programación lineal y resuelva en computadora. b) Suponga que hay un límite de producción de 300 unidades mensuales. Formule el problema de programación lineal con esta restricción adicional y resuelva en computadora. 46)

La compañía eléctrica Stateside planifica la construcción de nuevas instalaciones en su área para los próximos 10 años. Es posible construir cuatro tipos de instalaciones de energía eléctrica: plantas de vapor que utilizan carbón para generar energía, plantas hidroeléctricas sin represa, plantas hidroeléctricas con represa, plantas hidroeléctricas con represas pequeñas (capacidad de almacenamiento de agua suficiente para cubrir las fluctuaciones diarias) y plantas hidroeléctricas con grandes represas (suficiente capacidad de almacenamiento de agua para cubrir las fluctuaciones de flujo de agua y las de demanda de energía en la temporada. El consumo de energía eléctrica se basa en tres características. La primera es el consumo anual total; se estima que el área requerirá 4 billones de kilowatts- hora hasta el décimo año. La segunda característica es el consumo máximo de energía, que por lo general ocurre en cualquier día de verano alrededor de las 4 P.M. Todos los planes deben suministrar capacidad máxima suficiente para cubrir la necesidad máxima esperada de 3.000 millones de Kilowatts en el décimo año. La tercera característica es el suministro garantizado de energía, que se mide como el suministro diurno promedio a mediados de invierno, cuando el consumo es altoy los niveles de agua APRA las plantas hidroeléctricas son bajos. El requisito de suministro garantizado hasta el décimo año es de 2.000 millones de kilowatts. Las diversas plantas de energía posibles varían en cuanto a la forma de satisfacer estas características. Por ejemplo, las plantas hidroelécticas con represas pueden proporcionar gran capacidad máxima, mientras que las plantas de vapor y las hidroeléctricas sin represas nos funcionan muy bien en este aspecto.



61

En la tabla se presentan las características de los distintos tipos de plantas. Cada una se mide en función de una unidad de capacidad, la cual se define como la capacidad para producir un billón de kilowatts ± hora por año. Observe que los tipos de plantas varían considerablemente en sus costos de inversión, así como en sus costos operativos (de explotación) anuales. Por ejemplo, el costo del carbón eleva bastante los costos anuales de las plantas de vapor, mientras que los costos operativos anuales de las plantas hidroeléctricas son relativamente menores. La última columna de la tabla muestra los costos totales actualizados, que incluyen tanto el costo de inversión como los costos operativos anuales actuali zados.

Tipo Vapor Hidroeléctrica, sin represa Hidroeléctrica, represa pequeña Hidroeléctrica, represa grande

Suministro garantizado (millones de kilowatts)

Suministro máximo (millones de kilowatts)

Costo de la inversión ( miles de dólares)

Costo total actualizado ( miles de dólares)

0.15 0.10 0.10 0.80

0.20 0.10 0.40 0.90

30 40 60 100

65 42 64 110

La compañía quiere desarrollar un plan de 10 años que detalle la capacidad de cada tipo de planta que debe construir. El objetivo es minimizar el costo total actualizado, pero existe la restricción de que no puede invertir más de 350 millones de dólares en plantas en los próximos diez años. Formule el problema como un modelo de programación lineal y resuelva en computadora. 47)

En los modelos de programación lineal, por lo general se supone que la demanda de un producto es algo conocido, cuando en la práctica esta demanda es incierta. Con frecuencia se puede incorporar esta demanda incierta a un modelo de programación lineal, como se ilustra en este ejercicio. Remítase al problema 32. Considere el producto A, para cuya demanda se supone que existe un límite superior de 10 unidades. Suponga ahora que el límite superior para la demanda del producto A es incierta pero se asigna una probabilidad de 0.4 de que se vendan 10 unidades como máximo, y de 0.6 de que se vendan 20 como máximo. Suponga también que si se producen más de 10 unidades y el límite superior de la demanda resulta ser sólo 10 unidades, se puede vender el excedente a un precio reducido que solo ofrecerá un beneficio de 10 dólares por unidad. Su objetivo es maximizar el beneficio esperado. ¿Cómo modificaría la formulación del problema 32 para lograrlo? Recomendación: Defina una nueva variable como el exceso de producción del producto A, por encima de 10 unidades, y considere los ingresos esperados que se obtendrían de la venta de estas unidades y resuelva en computadora.

48)

Remítase al problema 33. a) Resuelva el problema en forma gráfica para encontrar la combinación óptima de productos Para que los apartados (b) a (d) de este problema, considere que cada caso por separado. Convierta además a millares todas las unidades y re suelva gráficamente. b) Suponga que el número máximo de unidades del producto A que pueden venderse es 9.000 (en lugar de 8.000, como en el caso base) ¿Cuál es el efecto de la solución? ¿Cuál es el efecto de los beneficios? ¿Cuál es el precio dual para la restricción que limita las ventas del producto A? c) Suponga que el número máximo de unidades del producto B que pueden venderse es 13.000 (y no 12.000, como en el caso base). ¿Cuál es el efecto en los beneficios? ¿Cuál es el precio dual para la restricción que limita las ventas del producto B? d) Suponga que hay 31.000 horas de trabajo disponibles, en lugar de las 3.000 del caso base. ¿Cuál es el efecto en el problema? ¿Cuál es el efecto de los beneficios? ¿Cuál es el precio dual de la restricción del número de horas de trabajo?



62

e) Remítase a los apartados (b), (c) y (d) anteriores. Determine en forma gráfica los intervalos del término independiente en los cuales se mantienen los precios duales de las tres restricciones. 49)

Remítase al problema 40 (el problema de la compañía Delight Dairy). a) Suponga que se podrían obtener 10 horas de trabajos adicionales (convirtiendo la posición de ¾ de tiempo en tiempo completo). ¿Cuál es el efecto de la solución? Muestre el resultado de manera gráfica. Calcule el precio dual por hora de trabajo adicional. b) ¿Cuántas horas de trabajo adicional pueden añadirse antes de que cambie el precio dual que calculo en (b)? Muestre el resultado en forma gráfica. c) Suponga que la competencia ha hecho que el precio del helado baje de 300 a 200 dólares por cada 4.000 litros. ¿Cambiaría esto el plan de producción de DD? De ser así, ¿cuál sería el nuevo plan?

5 0)

La compañía de préstamos U-Save planifica sus operaciones para el año entrante. Ofrece cinco tipos de préstamos, descritos a continuación, junto con el rendimiento anual (porcentaje) para la compañía. Los requisitos legales y la política del a compañía imponen los siguientes límites a las cantidades que pueden entregarse en los di stintos tipos de préstamos.

Tipo de préstamos Préstamos personales Préstamos para muebles Préstamos para automóviles Segunda hipoteca de casa Primera hipoteca de casa

Rendimiento anual (porcentaje) 15 12 9 10 7

Los préstamos personales no pueden exceder el 10% de la cantidadtotal de los préstamos. La cantidad de préstamos personales y para muebles, en conjunto, no debe ser mayor del 20%. Las primeras hipotecas deben constituir por lo menos el 40% de todas las hipotecas y por lo menos el 20% del total de préstamos. Las segundas hipotecas no pueden exceder el 25% del total de préstamos.

5 1)

La compañía desea maximizar los ingresos de los intereses de los préstamos, sujetándose a las restricciones anteriores. La empresa puede prestar como máximo 1.5 millones de dólares. Formule este problema como uno de programación lineal Resuelva en computadora. . Remítase al problema 50. a) Si la compañía pudiera juntar 1.5 millones de dólares adicionales para prestarlos, ¿cuál sería el rendimiento de cada dólar adicional? ¿En qué intervalo se mantendría el valor? b) Suponga que el rendimiento anual de las segundas hipotecas aumenta del 10 al 12%. ¿Cuál sería el efecto en la solución del problema (es decir, en la cartera de préstamos)? ¿Cuál sería el efecto en el rendimiento total? Suponga que la tasa de las segundas hipotecas fuera del 14%. ¿Cuál sería el efecto? ¿Cuánto tendría que subir la tasa de las segundas hipotecas para que tuviera efecto en la cartera de préstamos?

52)

La empresa Whitt Window tiene sólo tres empleados que hacen dos tipos de ventanas a mano: con marco de madera y con marco de aluminio. La ganancia es de $60 por cada ventana con marco de madera y de $30 por cada una con marco de aluminio. Doug hace marcos de madera y puede terminar 6 al día. Linda hace 4 marcos de aluminio por día. Bob forma y corta el vidrio y puede hacer 48 pies cuadrados de vidrio por día. Cada ventana con marco de madera usa 6 pies cuadrados de vidrio y cada una de aluminio, 8 pies cuadrados.



63

La compañía desea determinar cuántas ventanas de cada tipo producir aldía para maximizar la ganancia total. a) b) c) d)

Construya y llene una tabla para este problema, identifique las actividades y los recursos. Formule un modelo de programación lineal. Use el método gráfico para resolver el modelo. Un nuevo competidor en la ciudad también produce ventanas con marco de madera. Esto puede forzar a la compañía a bajar el precio y por ende la ganancia debida a este tipo de ventanas. Cómo cambiaría la solución óptima (si cambia) si la ganancia por ventana de madera disminuye de $60 a $40? ¿Y de $60 a $20? e) Doug piensa reducir sus horas de trabajo, lo cual reduciría el número de ventanas de madera que produce por día. (Cómo cambiaría la solución óptima si hace sólo 5 marcos diarios? 53)

La Apex Televisión Company debe decidir el número de televisores de 27 y 20 in producidos en una de sus fábricas. La investigación de mercado indica ventas de a lo más 40 televisores de 27 in y 10 de 20 in cada mes. El número máximo de horas-hombre disponibles es 500 por mes. Un televisor de 27 in requiere 20 horas-hombre y uno de 20 in, 10. Cada televisor de 27 in produce una ganancia de $120 y cada uno de 20 in produce $80 de ganancia. Un distribuidor está de acuerdo en comprar todos los televisores producidos si el númerono excede el máximo indicado por el estudio de mercado. a) Formule un modelo de programación lineal. b) Use el método gráfico para resolver el modelo.

54)

La compañía Worldlight produce dos dispositivos para lámparas (productos 1 y 2) que requieren partes de metal y componentes eléctricas. La administración desea determinar cuántas unidades de cada producto fabricar para maximizar la ganancia. Por cada unidad del producto 1 se requieren 1 unidad de partes de metal y 2 unidades de componentes eléctricas. Por cada unidad del producto 2 se necesitan 3 unidades de partes de metal y 2 unidades de componentes eléctricas. La compañía tiene 200 unidades de partes de metal y 300 de componentes eléctricas. Cada unidad del producto 1 da una ganancia de $1 y cada unidad del pr oducto 2, hasta 60 unidades, da una ganancia de $2. Cualquier exceso de 60 unidades del producto 2 no tiene ganancia, por lo que fabricar más de 60 está fuera de consideración. a) Formule un modelo de programación lineal. b) Utilice el método gráfico para resolver este modelo. (Cuál es la ganancia total que resulta?

55)

La compañía de seguros Primo está en proceso de introducir dos nuevas líneas de productos: seguro de riesgo especial e hipotecas. La ganancia esperada es $5 por el seguro de riesgo especial y $2 por unidad de hipoteca. La administración desea establecer las cuotas de venta de las nuevas líneas para maximizar la ganancia total esperada. Los requerimientos de trabajo son los siguientes; Departamento

Horas-hombre por unidad Riesgo Hipoteca especial

3 Suscripciones Administración Reclamaciones 2

56)

Horas-hombre disponibles

2 0

2.400 1

0

800 1.200

a) Formule un modelo de programación lineal. b) Use el método gráfico para resolver el modelo . Weenies and Buns es una planta procesadora de alimentos que fabrica hotdogs y pan para hotdogs. Muelen su propia harina para el pan a una tasa máxima de 200 libras por semana. Cada pan requiere 0.1 libras. Tienen un contrato con Pigland, Inc., que especifica la entrega de 800 libras de productos de chancho cada lunes. Cada hot-dog requiere 1/4 de libra de producto de chancho. Se cuenta con suficiente cantidad del resto de los ingredientes de ambos productos. Por



64

último, la mano de obra consiste en 5 empleados de tiempo completo (40 horas por semana). Cada hotdog requiere 3 minutos de mano de obra y cada pan de 2 minutos de mano de obra. Cada hotdog proporciona una ganancia de $0.20 y cada pan de $0.10. Weenies and Buns desea saber cuántos hotdogs y cuántos panes deben producir cada semana para lograr la ganancia más alta posible. a) Formule un modelo de programación lineal. b) Use el método gráfico para resolver el modelo. 57)

La compañía manufacturera Omega descontinuó la producción de cierta línea de productosno redituable. Esto creó un exceso considerable en la capacidad de producción. La gerencia quiere dedicar esta capacidad a uno o más de tres productos, llamados productos 1, 2 y 3. En la siguiente tabla se resume la capacidad disponible de cada máquina que puede limitar la producción: Tipo de máquina Fresadora Torno Rectificadora

Tiempo disponible (en horas-máquina por semana) 500 350 150

El número de horas-máquina requeridas para cada unidad de los productos respectivos es,

Coeficiente de productividad (En horas máquina por unidad) Tipo de máquina Producto 1 Producto 2 Fresadora 9 3 Torno 5 4 Rectificadora 3 0

Producto 3 5 0 2

El departamento de ventas indica que las ventas potenciales para los productos 1 y 2 exceden la tasa máxima de producción y que las ventas potenciales del producto 3 son 20 unidades por semana. La ganancia unitaria respectiva sería de $50, $20 y $25, para los productos 1, 2 y 3. El objetivo es determinar cuántos productos de cada tipo debe producir la compañía para maximizar la ganancia. Formule un modelo de programación lineal y resuélvalo en computadora. 58)

Hoy es su día de suerte, Acaba de ganar un premio de $10.000. Dedicará $4.000 a impuestos y diversiones, pero ha decidido invertir los otros $6.000. Al oír las nuevas, dos amigos le han ofrecido una oportunidad de convenirse en socio en dos empresas distintas, cada una planeada por uno de ellos. En ambos casos, la inversión incluye dedicar parte de su tiempo el siguiente verano y dinero en efectivo. Para ser un socio completo en el caso del primer amigo debe invertir $5 000 y 400 horas, y su ganancia estimada (sin tomar en cuenta el valor del dinero en el tiempo) sería $4.500. Las cifras correspondientes para el segundo caso son $4 000 y 500 horas, con una ganancia estimada de $4 500. Sin embargo, ambos amigos son flexibles y le permitirían participar con cualquier fracción de participación que quiera. Si elige una participación parcial, todas las cifras dadas para la sociedad completa (inversión de di nero y tiempo, y la ganancia) se pueden multiplicar por esta fracción. Como de todas formas usted busca un trabajo de verano interesante (máximo 600 horas), ha decidido participar en una o ambas empresas en alguna combinación que maximice su ganancia total estimada. Usted debe resolver el probl ema de encontrar la mejor combinación.



65

a) Formule un modelo de programación lineal. b) Use el método gráfico para resolver el modelo, ¿cuál es su ganancia total estimada? 59)

Carne con papas es el plato favorito de Ralph Edmund. Por eso decidió hacer una dieta continua de sólo estos dos alimentos (más algunos líquidos y suplementos de vitaminas) en todas sus comidas. Ralph sabe que no es la dieta más sana y quiere asegurarse de que toma las cantidades adecuadas de los dos alimentos para satisfacer los requerimientos nutricionales. Cuenta con la siguiente información nutricional y de costo:

Ingrediente Carbohidratos Proteínas Grasa Costo/porción

Granos de ingredientes por porción Res Papas 5 15 20 5 15 2 $4 $2

Requerimiento diario (gramos) 50 40 60

Ralph quiere determinar el número de porciones diarias (pueden ser fraccionales) de res y papas que cumplirían con estos requerimientos a un costo mínimo. a) Formule un modelo de programación lineal. b) Use el método gráfico para resolver el modelo. 6 0)

Dwight es un maestro de primaria que también cría chanchos para tener ingresos adicionales. Intenta decidir qué alimento darles. Piensa que debe usar una combinación de los alimentos que venden los proveedores locales. Desea que tenga un costo mínimo al mismo tiempo que cada chancho reciba una cantidad adecuada de calorías y vitaminas. El costo y los contenidos de cada alimento se muestran en la tabla. Contenido Calorías (por libra) Vitaminas (por libra) Costo (por libra)

Alimento tipo A 800 140 unidades $0.40

Alimento tipo B 1.000 70 unidades $0.80

Cada chancho requiere al menos 8 000 calorías por día y 700 unidades de vitaminas. Una restricción más es que el alimento tipo A no sea más de un tercio de la dieta (por peso), pues contiene un ingrediente tóxico si se consume en demasía. a) Formule un modelo de programación lineal. b) Use el método gráfico para resolver el modelo. ¿Cuál es el costo diario por chancho que resulta? 6 1)

Web Mercantile vende muchos productos para el hogar mediante un catálogo en línea. La compañía necesita un gran espacio de almacén para los productos. Ahora planea rentar espacio para los siguientes 5 me ses. Se sabe cuánto espacio necesitará cada mes; pero como varía mucho, puede ser más económico rentar sólo la cantidad necesaria cada mes con contratos mensuales. Por otro lado, el costo adicional de rentar espacio para meses adicionales es menor que para el primero, y puede ser menos costoso rentar el espacio máximo los 5 meses. Otra opción es el enfoque intermedio de cambiar la cantidad total de espacio rentado (con un nuevo contrato y/o la terminación del anterior) al menos una vez pero no cada mes. El espacio requerido y los costos para l os periodos de arrendamiento son los siguientes: Espacio Período de Costo por ft 2 2 Mes requerido (ft ) arrendamiento (meses) arrendado 1 30000 1 $ 65 2 20000 2 $100 3 40000 3 $135 4 10000 4 $160 5 50000 5 $190



66

El objetivo es minimizar el costo total de arrendamiento para cumplir con los requerimientos. a) Formule un modelo de programación lineal. b) Resuelva este modelo en computadora 62)

La Medequip Company produce equipos de precisión de diagnóstico médico en dos fábricas. Se han recibido pedidos de tres centros médicos para la producción de este mes. La tabla a la derecha muestra el costo unitario de envío desde cad a fábrica a cada centro. Además, muestra el número de unidades que se producirán en cada fábrica y el número de unidades ordenadas por cada cliente. A De Fabrica 1 Fabrica 2 Orden

Costo unitario de envío Cliente 1 Cliente 2 Cliente 3 $600 $800 $700 $400 $900 $600 300 unid 200 unid 400 unid

Producción 400 unid 500 unid

Ahora debe toman la decisión sobre el plan de cuántas unidades enviar de cada fábrica a cada cliente. a) Formule un modelo de programación lineal. b) Resuelva el modelo en computadora. 63)

Fagersta Steelwonks explota dos minas para obtener mineral de hierro. Este mineral de hierro se envía a una de dos instalaciones de almacenamiento. Cuando se necesita se manda a la planta de acero de la compañía. El siguiente diagrama describe la red de distribución, donde Ml y M2 son las dos minas, Si y S2, los dos almacenes y P es la planta de acero. También muestra las cantidades producidas en las minas y las necesarias en la planta, al igual que el costo de envío y la cantidad máxima que se puede enviar al mes por cada vía. La administración desea determinar el plan más económico de envío del mineral de las minas a l a planta. a) Formule un modelo de programación lineal. b) Resuelva este modelo en computadora.

64)

Metalco Company desea hacer una nueva aleación con 40% de aluminio, 35% de zinc y 25% de plomo a partir de varias aleaciones di sponibles que tienen las siguientes propiedades: Propiedad Porcentaje de aluminio Porcentaje de zinc

1

60 10

Aleación 2 3 4 25 45 20 15 45 50

5 50 40



Porcentaje de plomo Costo ($ / libra)

30 22

60 20

10 25

30 24

67

10 27

El objetivo es determinar las proporciones de estas aleaciones que deben mezclarse para producir la nueva aleación a un costo mínimo. Formule un modelo de programación lineal y resuelva en computadora 65)

La Weigelt Corporation tienes tres plantas con exceso en su capacidad de producción. Por fortuna, la corporación tiene un nuevo producto listo para iniciar su producción y las tres plantas pueden fabricarlo, así que se podrá usar parte del exceso de este modo. El producto puede hacerse en tres tamaños: grande, mediano y chico; y darán una ganancia neta de $420, $360 y $300, respectivamente. Las plantas 1, 2 y 3 tienen capacidad de mano de obra y equipo para producir 750, 900 y 450 unidades diarias de este producto, respectivamente, sin importar el tamaño o la combinación de tamaños de que se trate. La cantidad de espacio disponible para almacenar material en proceso impone también limitaciones en las tasas de producción del nuevo producto. Las plantas 1, 2 y 3 tienen 13000, 12000 y 5000 pies cuadrados de espacio respectivo, para material en proceso de la producción diaria. Cada unidad grande, mediana y chica que se produce requiere 20, 15 y 12 pies cuadrados, respectivamente. Los pronósticos de venta indican que, si están disponibles, se pueden vender 900, 1200 y 750 unidades diarias de los tamaños respectivos grande, mediano y chico. Será necesario despedir algunos empleados en cada planta a menos que la mayor parte de esta capacidad en exceso se pueda usar con el nuevo producto. Para evitar despidos en lo posible, la gerencia ha decidido que las plantas deben usar el mismo porcentaje de su capacidad adicional con este nuevo producto. El gerente desea saber cuántas unidades de cada tamaño producir en cada planta para maximizar la ganancia. a) Formule un modelo de programación lineal. b) Resuelva este modelo en computadora.

66)

Confortable Hands es una compañía que produce una línea de guantes de invierno para toda la familia: caballeros, damas y niños. Desean decidir qué mezcla de estos tres tipos de guantes fabricar. La fuerza de trabajo es sindicalizada. Cada empleado de tiempo completo trabaja 40 horas por semana. Por contrato, el número de empleados de tiempo completo no puede ser menor que 20. Se puede contratar trabajadores no sindicalizados con las siguientes restricciones; 1) cada uno trabaja 20 horas por semana y 2) debe haber al menos 2 de tiempo completo por cadauno de medio tiempo. Los tres tipos de guantes están hechos con el mismo porcentaje de piel de vaca. La compañía tiene un contrato a largo plazo con el proveedor de piel y recibe 5000 ft2 de material por semana. Los requerimientos de material y mano de obra, y la ganancia bruta por guante vendido (sin considerar costo de mano de obra) son: Guante Caballero Dama Niño

Material req. (ft 2) 2 1.5 1

Mano de obra req.(min) 30 45 40

Ganancia bruta (por parte) $8 $10 $6

Cada empleado de tiempo completo gana $13 por hora y cada uno de medio tiempo, $10 por hora. La gerencia desea saber qué mezcla de los tres tipos de guantes producir por semana, lo



68

mismo que cuántos empleados de cada tipo contratar. Desea maximizar su ganancia neta, o sea, la ganancia bruta menos costo de mano de obra. a) Formule un modelo de programación lineal. b) Resuelva el modelo en computadora. 67)

Slim Down fabrica una línea de bebidas nutritivas para reducción de peso. Uno de sus productos es una malteada de fresa diseñada como una comida completa. La malteada contiene varios ingredientes. En la tabla seda parte de la información de estos ingredientes. Calorías de Ingrediente grasa (cuch) Sabor fresa 1 Crema 75 Suplemento 0 Vitaminas Endulzante 0 artificial Agente p/espesar 30

Calorías totales (cuch) 50 100 0

Vitaminas s(mg/cuch) 20 0 50

Harinas (mg/cuch) 3 8 1

Costo ($/cuch) 10 8 25

120

0

2

15

80

2

25

6

Los requerimientos nutritivos son los siguientes. La bebida debe tener un total de 380 a 420 calorías (inclusive). No más de 20% de las calorías totales debe venir de grasas. Debe tener al menos 50 mg de contenido vitamínico. Para el sabor, debe haber al menos 2 cucharadas (cuch.) de saborizante de fresa por cada cucharada de endulzante artificial. Por último, para que esté espeso, debe haber justo 15 mg de harinas en la bebida. La gerencia desea seleccionar la cantidad de cada ingrediente para la bebida que minimice el costo al tiempo que cumpla con los requerimientos anteriores. a) Formule un modelo de programación lineal. b) Resuelva el modelo en computadora. 68)

Joyce y Marvin tienen una guardería. Ellos intentan decidir qué dar a los niños de almuerzo. Desean mantener sus costos bajos, pero también deben cumplir con los requerimientos nutritivos para niños. Ya decidieron darles sándwiches de mantequilla de maní y mermelada y alguna combinación de galletas, leche y jugo de naranja. El contenido nutritivo de cada alimento y su costo se da en la siguiente tabla. Alimento Pan (1 reb) Mantequilla maní (l cuch.) Mermelada (l cuch.) Galleta (l pz.) Leche (l taza) Jugo (l taza)

Calorías de grasa 10 de 75

Calorías totales 70 100

Vit. C (mg) 0 0

Prot. (g) 3 4

Costo ($) 5 4

0

50

3

0

7

20 70 0

60 150 100

0 2 120

1 8 1

8 15 35

Los requerimientos nutritivos son los siguientes. Cada niño debe recibir de 400 a 600 calorías. No más de 30% de las calorías totales deben venir de grasas. Cada niño debe consumir al menos 60 mg de vitamina C y 12 g de proteína. Todavía más, por razones prácticas, cada niño necesita justo 2 rebanadas de pan (para un sándwich), al menos el doble de mantequilla de maní que de mermelada y al menos una tasa de líquido (leche y/o jugo de naranja). Joyce y Marvin desean seleccionar las opciones de alimento para cada niño que minimice el costo mientras cumple con los requerimi entos establecidos. a) Formule un modelo de programación lineal.



69

b) Resuelva el modelo en computadora. 69)

Se tienen los siguientes datos para un problema de programación lineal cuyo objetivo es maximizar la ganancia de asignar t res recursos a dos actividades no negativas. Recurso

Uso de recursos por unidad de cada actividad Actividad 1 Actividad 2

1 2 3 Contribución por unidad

2 3 2 $20

Cantidad de recursos disponible

1 3 4 $30

10 20 20

Contribución por unidad = ganancia por unidad de cada actividad. a) Formule un modelo de programación lineal. b) Use el método gráfico para resolver este modelo. c) Despliegue el modelo en una hoja de cálculo. 7 0)

Ed Butler es el gerente de producción de Bilco Corporation, que produce tres tipos de refacciones para automóviles. La manufactura de cada parte requiere procesamiento en dos máquinas, con los siguientes tiempos de procesado (en horas): Máquina 1 2

Refacción B 0.03 0.02

A 0.02 0.05

C 0.05 0.04

Cada máquina está disponible 40 horas al mes. La ganancia unitaria de cada parte fabricada está dada por:

Ganancia

A $50

Refacción B $40

C $30

Ed quiere determinar la mezcla de refacciones que debe producir para maximizar la ganancia total. a) Formule un modelo de programación lineal. b) Despliegue el modelo en computadora. c) Realice tres estimaciones de la solución óptima. Use la hoja de cálculo para verificar la factibilidad de cada una y, si es factible, encuentre el valor de la función objetivo. ¿Qué estimación tiene el mejor valor de la función objetivo? 7 1)

Usted cuenta con los siguientes datos para un problema de programación lineal cuyo objetivo es minimizar el costo de realizar dos actividades no negativas para lograr tres beneficios que no bajan de sus niveles mínimos. Beneficio 1 2 3 Costo unitario

Contribución al beneficio por unidad de actividad Actividad 1 Actividad 2 5 3 2 2 7 9 $60 $50

a) Formule un modelo de programación lineal.

Nivel mínimo aceptable 60 30 126



70

b) Utilice el método gráfico para resolver este modelo. c) Despliegue el modelo en computadora. 72)

Fred Jonasson administra la granja de su familia. Para complementar varios alimentos que se cultivan en la granja, Fred también cría cerdos para venta y desea determinar las cantidades de los distintos tipos de alimento disponibles (maíz, grasas y alf alfa) que debe dar a cada cerdo. Como los cerdos se comerán cualquier mezcla de estos tipos de alimento, el objetivo es determinar qué mezcla cumple ciertos requisitos nutritivos a un costo mínimo. En la siguiente tabla se dan las unidades de cada tipo de ingrediente nutritivo básico contenido en 1 kilogramo de cada tipo de alimento, junto con los requisitos de nutrición diarios y los costos de los alimentos: Ingrediente nutritivo Carbohidratos Proteínas Vitaminas Costo ($)

Kilogramo de maíz 90 30 10 84

Kilogramo de grasas 20 80 20 72

Kilogramo de alfalfa 40 60 60 60

Req. Mínimo diario 200 180 150

a) Formule el modelo de programación lineal. b) Despliegue el modelo en computadora. 73)

Maureen Laird es gerente de inversiones de Alva Electric Co., empresa importante en el medio oeste. La compañía ha programado la construcción de nuevas plantas hidroeléctricas a 5, 10 y 20 años para cumplir con las necesidades de la creciente población en la región que sirve. Maureen debe invertir parte del dinero de la compañía para cubrir sus necesidades de efectivo f uturas. Puede comprar sólo tres tipos de acciones, cada una cuesta $1 millón por unidad. Se pueden comprar unidades fraccionarias. Las acciones producen ingresos a 5, lO y 20 años, y el ingreso se necesita para cubrir requerimientos mí nimos de flujos de efectivo en esos años. (Cualquier ingreso arriba del mínimo requerido para cada periodo se usará para incrementar el pago de dividendos a los accionistas en lugar de ahorrarlo para ayudar a cumplir con los requerimientos mínimos de efectivo el siguiente periodo.) La siguiente tabla muestra la cantidad de ingreso generada por cada unidad de acciones y la cantidad mínima de ingreso requerida para cada periodo futuro en que se construirá una nueva planta.

Años 5 10 20

Ingresos por acción (en millones) Acción 1 Acción 2 Acción 3 $2 $1 $0.5 $0.5 $0.5 $1 $0 $1.5 $2

Flujo de efectivo mínimo requerido $400 $100 $300

Maureen desea determinar la mezcla de inversiones en estas acciones que cubrirá los requerimientos de efectivo y que mi nimizará la cantidad total invertida. a) Formule un modelo de programación lineal. b) Despliegue el modelo en computadora. 74)

Una fábrica produce dos tipos de camisas A y B, las camisas tipo A requiere 2.5 minutos para cortarlas y 5 minutos para confeccionarlas, las de tipo B requieren 4 minutos para cortarlas y 4 minutos para confeccionarlas. Se necesita 1 hora y 40 minutos para corte y 2 horas para confeccionar. El beneficio es de 2.5 dólares por cada camisa tipo A y 3 dólares por cada camisa tipo B. ¿Cuántas camisas de cada clase debe producirse para obtener la máxima ganancia?

75)

Una empresa fábrica dos productos A y B. El beneficio para A es 25 dólares por tonelada y para B 20 dólares La planta consta de 3 departamentos de producción: Cortado, Mezclado y Enlataje. El equipo en cada departamento puede, emplearse 1.5 horas diarias en el primer departamento, 4 horas en el segundo y al menos 4 en el tercer departamento. El proceso de producción es el siguiente El producto A emplea 1/4 hora de la capacidad de cortado y enlataje, y 0.5 hora de mezclado por tonelada, El producto B requiere 0.5 hora por tonelada de la capacidad de mezclado



71

y 1/3 de hora de la capacidad de enlataje. ¿Qué combinación de producto deberá elaborar la empresa para maximizar su beneficio? 76)

Una compañía produce dos tipos de pantalones A y B cada pantalón tipo A requiere del doble de mano de obra que el de tipo B. Se deben producir por lo menos 250 pantalones combinados. El mercado limita la venta diaria de pantalones tipo A, a un máximo de 75 y los de clase B a un total de 125 pantalones. Los beneficiados por pantalón son 6 dólares para el tipo A y 4 dólares para el tipo B. Determinar el número de pantalones de cada clase que maximice la ganancia.

77)

Dos productos tienen el siguiente proceso. Hay un taller que lo más que puede hacer es 200 productos del tipo A o 100 del tipo B por día. El taller de pintura tiene una capacidad diaria de 120 productos del tipo A o 160 del tipo B. También el tratamiento técnico puede procesar un total de 90 artículos del tipo A por día. El producto A tiene una utilidad de 4 dólares y el producto B de 6 dólares. Determinar la producción óptima que maximice los benefi cios.

78)

Se producen dos artículos A y B los mismos que son procesados por tres máquinas M1, M2 y M3. La máquina 1 procesa 0.5 unidad de A y 0.5 de B, M2 procesa 1 de A, 0.5 de B, M3 procesa 0.5 de A y 2 de B. Se dispone al menos de 65 horas semanales para M1, 95 para M2 y 100 para M3. El costo de A es de 3 dólares y 5 dólares el de B ¿Cuántas unidades de A y B se deben producir para que el costo sea mínimo?

79)

Un fabricante de gasolina para aviación vende dos clases de combustible A y B. El combustible A tiene 12.5% de grado 1 y 2 y 25% de gasolina grado 3. El combustible B tiene 25% de gasolina grado 2 y 3. Disponible para producción hay 25 galones/hora grado 1, 100 galones/hora grado 2 y 3. Los costos son 15 centavos por galón grado 1, el galón grado 2 cuesta 30 centavos y 45 centavos por galón grado 3. El combustible A puede venderse a 66.88 dólares por galón, mientras que el combustible B alcanza a 58.75 centavos por galón, ¿Qué cantidad debe fabricarse de cada combustible para obtener el mayor beneficio?

8 0)

Un laboratorio farmacéutico desea preparar un tónico de tal manera que cada frasco contenga al menos 32 unidades de vitamina A, 10 de vitamina B y 40 de vitamina C. Para suministrar estas vitaminas, el laboratorio emplea el aditivo X1, a un costo de 2 dólares por onza, el cual contiene 15 unidades de vitamina A, 2 de B y 4 de C, un aditivo X2 a un costo de 4 dólares por cada onza, que contiene 4 unidades de vitamina A, 2 de B y 14 de C. ¿Cuántas onzas de cada aditivo se deben incluir en el frasco para minimizar el costo?

8 1)

Las máquinas A y B pueden fabricar el mismo artículo, la máquina A produce 18 unidades por hora, mientras que la máquina B produce 10 unidades por hora. Se deben producir a lo mucho 600 unidades del artículo trabajando 40 horas semanales por lo menos; sin embargo la máquina B tiene una capacidad máxima de 35 horas semanales. Si el costo de operar la máquina A es de 25 dólares y 20 dólares la máquina B. Determinar cuántas horas por semana debe operar cada máquina para satisfacer las necesidades de producción a un costo mínimo.

82)

Una fábrica elabora dos clases de cerveza Pílsener y Club, para lo cual dispone de ingrediente para llenar por lo menos 30 botellas combinadas. Toma 1 hora llenar 20 botellas de la cerveza Pílsener y 2 horas llenar 25 botellas de cerveza Club, se dispone a lo mucho de 2 horas. La demanda de la cerveza Pílsener se estima en el mercado un total de 22 botellas y a lo mucho 10 botellas de la cerveza Club. Cada botella de Pílsener deja una utilidad de 10 centavos y 15 centavos cada botella de la cerveza Club. ¿Cuántas botellas de cada cerveza se deben llenar para alcanzar la máxima ganancia?

83)

Una fábrica elabora dos clases de champú A y B, para lo cual dispone de ingrediente para llenar a lo mucho 80 botellas combinadas de A y B. Toma 1 hora llenar 10 botellas de A y 4 horas llenar 10 botellas de B, se dispone cuando mucho de 20 horas, la demanda de A se estima a lo más en 70 botellas. La fábrica está en capacidad de llenar cuando mucho 90 botellas de A o 60 botellas de B. Cada botella de A le deja una utilidad de 80 centavos y 90 centavos la de B. ¿Cuántas botellas de A y B se deben llenar para que la fábrica obtenga Los mayores beneficios?

84)

Se fabrica dos productos A y B. Unidad de A se lleve $2 de mano de obra y $6 cada unidad de B. De materia prima se lleva $4 cada unidad de A $2 cada unidad de B. El desgaste de equipo se supone proporcional a la producción y es de $2 por cada unidad de A y $2 por unidad de B. Se dispone al menos de $36 para salarios, al menos $48 para materia prima y cuando mucho $32



72

para desgaste de equipo. Se estima que la demanda de A en el mercado es al menos 9 unidades. El beneficio de A es de 20 dólares cada unidad y 10 dólares cada unidad de B. ¿Cuál es la cantidad que se debe producir de cada producto para obtener l as utilidades más altas posibles? 85)

Una compañía produce dos tipos de sombreros vaquero. Cada sombrero del primer tipo requiere el doble de tiempo en mano de obra que el segundo tipo. Si todos los sombreros son solamente del segundo tipo, la compañía puede producir un total de 1.000 sombreros al día. El mercado limita las ventas diarias del primero y segundo tipos a 300 y 500 sombreros. Suponga que los beneficios por sombrero son $16 para el tipo A y $12 para el tipo B. Determine el número de sombreros que deben producirse de cada tipo a fin de maximizar el beneficio.

86)

Una empresa planea una campaña de publicidad para un nuevo producto. Se establecen como metas el que la publicidad llegue por lo menos a 320 mil individuos audiencia A, de los cuales al menos 120 mil tengan un ingreso mínimo anual de 5.000 dólares, y al menos 80 mil sean solteros. Se desea utilizar únicamente la radio y la televisión como medios de publicidad. Un anuncio de televisión cuesta 10 mil dólares y se estima que llegue a un promedio de 40 mil individuos audiencia A, de los cuales un 25% tienen ingresos superiores a 5.000 dólares anuales y un 20% son solteros. Un anuncio por radio FM cuesta 6 mil dólares y llega a un auditorio promedio de 10 mil oyentes clase A, de los cuales el 80% tienen ingresos superiores a los 5.000 dólares anuales y 4 mil son solteros. Hallar el número de anuncios por cada medio para minimizar el costo.

87)

Nutrientes en fertilizantes.- Un agricultor comprará fertilizantes que contienen tres nutrientes: A, B y C. Los requerimientos mínimos semanales son 80 unidades de A, 120 de B y 240 de C. Existen dos mezclas populares de fertilizante en el mercado. La mezcla I cuesta $4 por bolsa, con 2 unidades de A, 6 de B y 4 de C. La mezcla II cuesta $5 por bolsa, con 2 unidades de A, 2 de B y 12 de C. ¿Cuántas bolsas de cada mezcla debe comprar el agricultor para minimizar el costo de satisfacer sus requerimientos de nutrientes?

88)

Programa de producción.- Una compañía petrolera, que tiene dos refinerías, necesita al menos 800, 1400 y 500 barriles de petróleo de grados bajo, medio y alto, respectivamente. Cada día, la refinería I produce 200 barriles de grado bajo, 300 de medio y 100 de alto grado, mientras que la refinería II produce 100 barriles de alto grado, 100 de bajo y 200 de grado medio. Si los costos diarios son de $2.500 para operar la refinería I y de $2.000 para la refinería II, ¿cuántos días debe ser operada cada refinería para satisfacer los requerimientos de producción a un costo mínimo? ¿Cuál es el costo mínimo? (Suponga que e xiste un costo mínimo).

89)

Control de contaminación.- A causa de reglamentaciones federales nuevas sobre la contaminación, una compañía química ha introducido en sus plantas un nuevo y más caro proceso para complementar o reemplazar un proceso anterior en la producción de un químico en particular. El proceso anterior descarga 15 gramos de dióxido de azufre y 40 gramos de partículas a la atmósfera por cada litro de químico producido. El nuevo proceso descarga 5 gramos de dióxido de azufre y 20 gramos de partículas a la atmósfera por cada litro producido. La compañía obtiene una utilidad de 30 y 20 centavos por litro en los procesos anterior y nuevo, respectivamente. Si el gobierno permite a la planta descargar no más de 10.500 gramos de dióxido de azufre y no más de 30.000 gramos de partículas a la atmósfera cada día, ¿cuántos litros de químico deben ser producidos diariamente, por cada uno de los procesos, para maximizar la utilidad diaria? ¿Cuál es la utilidad diaria?

9 0)

Producción. Una compañía fabrica tres tipos de muebles para patio; sillas, mecedoras y tumbonas. Cada uno requiere madera, plástico y aluminio como se indica en la tabla siguiente. La compañía tiene disponibles 400 unidades de madera, 500 unidades de plástico y 1450 unidades de aluminio. Cada silla, mecedora y tumbona se venden en $7, $8 y $12 respectivamente. Suponiendo que todos los muebles pueden ser vendidos, determine el plan de producción de modo que el ingreso total sea maximizado. ¿Cuál es el ingreso máximo? Resuelva en computadora. Silla Mecedora Tumbona

Madera 1 unidad 1 unidad 1 unidad

Plástico 1 unidad 1 unidad 2 unidades

Aluminio 2 unidades 3 unidades 5 unidades

ECON. JUAN CARLOS ERAZO F 9 1)




Producción. Una compañía fabrica dos tipos de estantes Estándar y Ejecutivo. Cada tipo requiere tiempos de ensamblaje y de terminado como se indica en la tabla siguiente. La utilidad sobre cada unidad también se indica. El número de horas disponibles por semana en el departamento de ensamble es de 400 y en el departamento de acabado es de 510. A causa de un contrato sindical, al departamento de acabado se le garantizan al menos 240 horas de trabajo por semana. ¿Cuántas unidades de cada tipo debe producir la compañía semanalmente para maximizar sus utilidades?

Estándar Ejecutivo 93)

73

Producción. Una compañía fabrica tres tipos de muebles para patio: sillas, mecedoras y tumbonas. Cada uno requiere madera, plástico y aluminio como se indica en la tabla que sigue. La compañía tiene disponibles 400 unidades de madera, 600 de plástico y 1500 de aluminio. Cada silla, mecedora y tumbona se vende en $6, $ 8 y $12, respectivamente. Suponiendo que todos los muebles pueden ser vendidos. ¿cuál es el ingreso máximo total que puede ser obtenido? Determine las posibles órdenes de producción que generará ese ingreso. Resuelva en computadora Silla Mecedora Tumbona

92)


Tiempo de ensamble 1 hora 2 hora

Tiempo de acabado 2 horas 3 horas


Producción. Una compañía fabrica tres productos: X Y, Z. Cada producto requiere el uso de tiempo de máquina en las máquinas A y B como se da en la tabla siguiente. El número de hora por semana que A y B están disponibles para la producción son 40 y 30, respectivamente. La utilidad por unidad de X, Y y Z es $50, $60 y $75, respectivamente. Las siguiente semana deben producir al menos cinco para ese período de Z. ¿Cuál deber ser el plan de producción para ese período si la utilidad máxima es alcanzada? ¿Cuál es l a utilidad máxima? Resuelva en computadora.

Producto X Producto Y Producto Z

Máquina A 1 hora 2 horas 2 horas

Máquina B 1 hora 1 hora 2 horas

94)

Inversiones. El folleto informativo de un fondo de inversiones establece que todo el dinero es invertido en bonos que están considerados como A, AA y AAA; no mas del 30% de la inversión total está en bonos A y AA, y al menos el 50% está en bonos AA y AAA. Los bonos A, AA y AAA respectivamente obtiene un 8,7 y 6% anual. Determine los porcentajes de la inversión total que serán comprometidos a cada tipo de bono de modo que el fondo maximice el rendimiento anual. ¿Cuál es ese rendimiento? Resuelva en computadora.

95)

Control de emisiones. Una planta de cemento produce 3.300.000 barriles de cemento por año. Los hornos emiten 2 libras de polvo por cada barril producido. La planta debe reducir sus emisiones a no más de 1000000, A y B libras anuales. Hay dos dispositivos de control disponibles A y B. El dispositivo A reducirá las emisiones a ½ libra por barril y el costo es de $0.22 por barril de cemento producido. Para el dispositivo B, las emisiones son reducidas a ¼ de libra por barril y el costo es de $0.40 por barril de cemento producido. Determine el plan de acción más económico que la planta debe tomar de modo que mantenga su producción anual de exactamente 3.300.000 barriles de cemento. Resuelva en computadora

96)

Programación de envíos por camión. A causa de un incremento en los negocios, un servicio de abastecimiento encuentra que debe rentar camiones de entrega adicionales. Las necesidades mínimas son de 12 unidades de espacio con refrigeración y 12 unidades de espacio sin refrigeración. En el mercado de renta hay disponibles dos tipos de camiones. El tipo A tiene 2 unidades de espacio con refrigeración y 1 unidad de espacio sin refrigeración. El tipo B tiene 2 unidades de espacio con refrigeración y 3 unidades sin refrigeración. El c osto por milla es de $0.40



74

para A i $0.60 para B. ¿Cuántos camiones de cada tipo deben ser rentados de modo que se minimice el costo total por milla? ¿Cuál es el costo total por milla? 97)

Costo de Transporte, Un comerciante tiene tiendas en Exton y Whyton, y almacenes A y B en otras dos ciudades. Cada tienda requiere de exactamente 30 refrigeradores. En el almacén A hay 50 refrigeradores y en el B hay 20. Los medios de transporte para enviar los refrigeradores desde los almacenes a las tiendas están dados en la siguiente tabla. Por ejemplo, el costo de enviar un refrigerador desde A hasta la tienda de Exton es de $ 15. ¿Cómo debe solicitar los refrigeradores el comerciante de modo que los requerimientos se satisfagan y el costo total de transporte se minimice? ¿Cuál es el costo mínimo de transporte? Resuelva en computadora. Almacén A Almacén B

Exton $ 15 $ 11

Whyton $ 13 $ 12

98)

Compra de Baterías, Un fabricante de automóviles compra baterías de dos proveedores, X y Y. El fabricante tiene dos plantas A y B, y requiere exactamente de 6000 baterías de la planta A y de exactamente 4000 a la planta B. El proveedor X carga $30 y $32 por batería (incluyendo costos de transporte) a A y B, respectivamente. Para estos precios, X requiere que el fabricante de automóviles ordene al menos un total de 2000 baterías. Sin embargo, X no puede proveer más de 4000 baterías. El proveedor Y carga $34 y $ 28 por batería a A y a B, respectivamente, y requiere una orden mínima de 6000 baterías. Determine como debe hacer los pedidos de baterías el fabricante de automóviles a fin de que su costo total sea mínimo. ¿Cuál es el costo mínimo? Resuelva en computadora.

99)

Producción de papel para envoltura, una compañía de papel almacena su papel para envoltura en rollos de 48 pulgadas de ancho más pequeños dependiendo de los pedidos de los clientes. Suponga que se recibe un pedido de 50 rollos de papel de 15 pulgadas de ancho y de 60 rollos de 10 pulgadas de ancho. De un rollo de almacenamiento la compañía puede cortar tres rollos de 15 pulgadas de ancho y un rollo de 3 pulgadas de ancho. Como el rollo de 3 pulgadas de ancho no puede ser utilizado en esta orden, es llamado el recorte desperdiciado de este rollo. Del mismo modo, de un rollo de almacenamiento, se puede cortar dos rollos de 15 pulgadas de ancho, un rollo de 10 pulgadas de ancho, y otro de 8 pulgadas de ancho. La siguiente tabla indica el número de rollo de 15 y 10 pulgadas, junto con el desperdicio, que pueden cortarse de un rollo de almacenamiento. (a) Complete las últimas dos columnas de la tabla. (b) Supongamos que la compañía tienen suficientes rollos de almacenamiento para cubrir la orden y que al menos 50 rollos de 15 pulgadas y al menos 60 rollos de 10 pulgadas de ancho de papel para envoltura serán cortados. Si x1, x2, x3, x4 , son los números de rollos de almacenamiento que son cortados en una de las formas descritas en las columnas de la 1 a la 4 de la tabla, respectivamente, determine los valores de las x de tal forma que el desperdicio total sea minimizado. (c) ¿Cuál es la mínima cantidad de desperdicio total? Resuelva en comput adora.

Ancho de rollo Desperdicio 100)

15 pulgadas 10 pulgadas

3 0 3

2 1 8

1 -

-

Costo de mano de obra Una compañía paga a sus trabajadores calificados y semicalificados en su departamento de ensamblado $7 y $4 por hora, respectivamente. En el departamento de embarques, a los empleados se les paga $5 por hora y a los aprendices $2 por hora. La compañía requiere al menos de 90 trabajadores en el departamento de ensamblado y al menos 60 empleados en el departamento de embarques. Debido a acuerdos sindicales, deben emplearse al menos el doble de trabajadores semicalificados que de calificados. También, deben contratarse al menos el doble de los empleados de embarques que de aprendices. Resuelva por computadora para determinar el número de trabajadore s de cada tipo que la compañía debe emplear, de modo que el total de salarios por hora sea mínimo. ¿Cuál es el costo mínimo en salarios por hora? Resuelva en computadora.



Plan de producción, Una compañía fábrica tres productos X, Y, Z. Cada producto requiere el uso de tiempo de las máquinas A y B como se indica en la tabla siguiente. El número de hora por semana que A y B están disponibles para la producción son 40 y 34, respectivamente. La utilidad por unidad sobre X, Y, y Z es $ 10, $ 15 y $ 22, respectivamente. ¿Cuál debe ser el plan de producción semanal para obtener la utilidad máxima? ¿Cuál es la utilidad máxima? Resuelva en computadora, repita el problema si la compañía debe producir al menos un total de 24 unidades por semana. Producto X Producto Y Producto Z

102)

75



Transportación de Petróleo, Una compañía petrolera tiene instalaciones de almacenamiento para combustible de calefacción en las ciudades A, B, C y D. Las ciudades C y D necesitan cada una exactamente 500.000 galones de combustible. La compañía determina que A y B puede proveer cada una un máximo de 600.000 galones para satisfacer las necesidades de C y D. La tabla que se muestra a continuación proporciona los costos por galón para transportar el combustible entre las ciudades. ¿Cómo debe distribuirse el combustible para minimizar el costo total del transporte?, ¿Cuál es el costo mínimo de transporte? Resuelva en c omputadora. Desde A B

Hacia C D $ 0.01 $ 0.02 $ 0.02 $ 0.04

103)

Suponga que tratamientos medicinales y por radiación están disponibles para un paciente. Cada onza de medicamento contiene 500 unidades curativas y 400 unidades tóxicas. Cada minuto de radiación proporciona 1000 unidades curativas y 600 unidades tóxicas. El paciente requiere al menos de 2000 unidades curativas y puede tolerar no más de 1400 unidades tóxicas. Si cada onza de la medicina provoca el mismo malestar que cada minuto de radiación determine las dosis de medicamento y radiación de modo que el malestar en el paciente sea minimizado.

104)

Suponga que el medicamento A, el B y la terapia con radiación son tratamiento disponible para un paciente. Cada onza de la medicinas A contiene 600 unidades curativas y 500 unidades tóxicas. Cada onza de la medicina B contiene 500 unidades curativas y 100 tóxicas. Cada minuto de radiación proporciona 1000 unidades curativas y 1000 tóxicas. El paciente requiere al menos de 3000 unidades curativas y puede tolerar no más de 2000 unidades tóxicas. Si cada onza de A y cada minuto de radiación provocan el mismo malestar, y cada onza de B provoca dos veces más malestar que cada onza de A, determine las dosis de medicamentos de radiación de modo que el malestar para el paciente sea minimizado.

105)

Terapias con fármacos y radiación Frecuentemente existen formas alternativas de tratamiento disponibles para pacientes a los que se les diagnostica una enfermedad particular compleja. Con cada tratamiento puede haber no sólo efectos positivos en el paciente sino también efectos negativos, tales como toxicidad o malestar. Un médico debe tomar la mejor elección de estos tratamientos o combinación de tratamientos. Esta elección dependerá no sólo de los efectos curativos sino también de los ef ectos tóxicos y malestar. Suponga que usted es un médico con un paciente de cáncer bajo su cuidado y dos posibles tratamientos disponibles: administración de medicamentos y terapia de radiación. Supongamos que la eficacia de los tratamientos está expresada en unidades comunes, digamos, unidades curativas. La medicina contiene 1000 unidades curativas por onza y la radiación proporciona 1000 unidades curativas por minuto. Sus análisis indican que el paciente debe recibir al menos 3000 unidades curativas. Sin embargo, un grado de toxicidad está implícito en cada tratamiento. Suponga que los efectos tóxicos de cada tratamiento están medidos en una unidad común de toxicidad, digamos, una unidad tóxica. La medicina contiene 400 unidades t óxicas por onzas y la radiación produce 1000



76

unidades tóxicas por minuto. Con base en sus estudios, usted cree que el paciente no debe recibir más de 2000 unidades tó xicas. Además, cada tratamiento implica un grado de malestar al paciente. La medicina provoca tres veces más malestar por onza que la radiación por minuto. La tabla resume la información. El problema que se le plantea es determinar las dosis de la medicina y radiación que pueden satisfacer los requerimientos curativos y de toxicidad y, al mismo tiempo, minimizar el malestar al paciente. TABLA 7.5 Unidades Tóxicas

Malestar relativo

Unidades curativas Medicina (por onza)

1000

400

3

Radiación (por minuto)

1000

1000

1

 3000

 2000

Requerimiento 106)

NutriJenny es un centro de control del peso. Produce una amplia variedad de platillos congelados para el consumo de su clientela. Los platillos están estrictamente vigilados por su contenido nutritivo para asegurar que los clientes coman una dieta balanceada. Un nuevo platillo será una "'comida de puntas de filete". Consistirá en puntas de filete y salsa, más alguna c ombinación de chícharos, zanahorias y un bollo de pan. Nutri-Jenny desea determinar qué cantidad incluir de cada producto en el platillo para cumplir con los requerimientos nutritivos al menor costo posible. En el siguiente cuadro se da la información nutricional y su costo. Los requerimientos nutritivos del platillo son como sigue: 1) debe contener entre 280 y 320 calorías, 2) las calorías originadas en grasa no deben exceder 30% del número total de calorías, y 3) debe contener al menos 600 UI de vitamina A, 10 miligramos de vitamina C y 30 gramos de proteína. Más aún, por razones prácticas debe incluir de menos 2 onzas de carne de res y contener al menos media onza de salsa por onza de res. Producto

Calorías

Calorías originadas en grasa por hors

Puntas de filete Salsa Chícharos Zanahorias Bollo de pan

54

19 15 0 0 10

20 15 8 40

Vitamina Vitamina C A (U1 por (Mg por onza) onza) 0 0 15 350 0

Proteína (g por onza)

Costo (por onza)

8 0 1 1 1

40 35 15 18 10

0 1 3 1 0

Formule en forma algebraica.y resuelva por computadora. 107)

The Learning Center opera un campamento de verano para niños de 6 a 10 años. Su gerente, Elizabeth Reed, intenta reducir los costos operativos para evitar tener que aumentar la cuota de inscripción. Por ahora, Elizabeth planea qué dar de comer a los niños en el almuerzo. Desea mantener los costos Unidad de alimento Pan ( 1 rebanada) Mantequilla de cacahuate (1 cucharada) Jalea ( l cucharada)

Calorías originadas Calorías Vitamina C en grasa totales (mg) 15 80 0 80 100 0 0

70

4

Fibra (g) 4 0

Costo M 6 5

3

8



Manzana

0

90

6

10

35

Leche (1 taza)

60

120

2

0

20

Jugo de arándano ( 1 taza)

0

110

80

1

40

77

Al mínimo, pero también quiere estar segura de que cubre los requerimientos nutricionales de los niños. Ya decidió incluir sandwiches de mantequilla de cacahuate y jalea, y alguna combinación de manzanas, leche y jugo de arándano. En la tabla se da el contenido nutricional de cada opción de alimento y su costo. Los requerimientos nutricionales son como sigue. Cada niño debe recibir entre 300 y 500 calorías, pero no más de 30% de estas calorías deben provenir de grasa. Cada niño debe recibir al menos 60 miligramos (mg) de vitamina C y al menos 10 gramos (g) de fibra. Para asegurar sandwiches sabrosos, Elizabeth quiere dar a cada niño un mínimo de 2 rebanadas de pan, 1 cucharada de mantequilla de cacahuate, 1 cucharada de jalea, junto con al menos 1 taza de líquido {leche y jugo de arándano). Elizabeth desea seleccionar las opciones de alimentos que minimicen el costo al tiempo que cumplan todos estos requerimientos. 108)

David, LaDeana y Lydia son socios únicos y trabajadores de una compañía que fabrica relojes finos. David y LaDeana, cada uno de ellos, tienen disponibilidad de trabajar un máximo de 40 horas semanales en la compañía, mientras que Lydia cuenta con un máximo de 20 horas semanales. La compañía fabrica dos tipos de relojes: un reloj de pie y uno de pared. Para fabricar uno, David (ingeniero mecánico) ensambla las partes mecánicas internas del reloj mientras que LaDeana (ebanista) fabrica las cubiertas de madera labrada a mano. Lydia es responsable de tomar órdenes y enviar los relojes. Se muestra en seguida el tiempo requerido para cada una de estas tareas. Tiempo requenido Tarea: Reloj de pie Ensamble de mecanismo de reloj 6 horas Cubierta de madera labrada. 8 horas envió 3 horas

Reloj de pared 4 horas 4 horas 3 horas

Cada reloj de pie fabricado y enviado proporciona una ganancia de $300, mientras que cada reloj de pared da una ganancia de $200. Ahora, los tres socios quieren determinar cuántos relojes de cada tipo deben producir por semana para maximizar la ganancia total. a) b) c) d) e) f) g)

h) i) j) k)

Formule un modelo de programación lineal para este problema. Use el método gráfico para resolver el problema. Despliegue el modelo en una hoja de cálc ulo. Usar el informe de sensibilidad para determinar si esta solución óptima sigue óptima si la estimación de la ganancia unitaria para los relojes de pie cambia de $300 a $375 (sin más cambios en el modelo). Repita la parte (d) si, además de este cambio en la ganancia unitaria de relojes de pie, la ganancia unitaria estimada para relojes de pared también cambia de $200 a $175. Use el análisis gráfico para verificar sus respuestas en l as partes d y e. Para aumentar la ganancia total, los tres socios acordaron que uno de ellos aumentará ligeramente el máximo de horas de trabajo por semana. La elección de quién de ellos se basará en quién aumentaría más la ganancia total. Use el informe de sensibilidad para efectuar esta elección. (Suponga que no hay cambios en las estimaciones originales de las ganancias unitarias) Explique por qué uno de los precios unitarios es igual a cero. ¿Es válido usar los precios del informe de sensibilidad para determinar el efecto si Lydia cambiara su número máximo de horas disponibles de trabajo a la semana de 20 a 25? Si es así, ¿cuál sería el aumento en la ganancia total? Repita la parte (i) si, además del cambio para Lydia, David también cambiara su número máximo de horas disponibles semanales de 40 a 35. Use el análisis gráfico para verificar su respuesta en la parte (j).



78

109)

La Electrocomp Corporation fabrica dos productos eléctricos: acondicionadores de aire y grandes ventiladores. El proceso de ensamble de cada uno es similar en el sentido que ambos requieren una cierta de cantidad de alambrado y taladrado. Cada acondicionador de aire requiere 3 horas de alambrado y 2 de taladrado. Cada ventilador debe pasar por 2 horas de alambrado y 1 hora de taladrado. Durante el siguiente periodo de producción, están disponibles 240 horas de tiempo de alambrado y se pueden utilizar hasta 140 horas de tiempo de taladrado. Cada acondicionador de aire vendido produce una ganancia de $25. Cada ventilador ensamblado puede ser vendido con una ganancia de $15. Formule y resuelva esta situación de mezcla de producción de programación lineal para encontrar la mejor combinación de acondicionadores de aire y ventiladores que produzcan la ganancia máxima. Use el método gráfico para hallar la solución.

110)

La administración de Electrocomp se percata de que no incluyó dos restricciones críticas(vea el problema 109).En particular, la administración decide que para garantizar un suministro adecuado de acondicionadores de aire de un contrato, se deben fabricar, por lo menos, 10 de estos aparatos. Como Electrocomp incurrió en una sobreoferta de ventiladores en el periodo precedente, la administración también insiste que no se produzcan más de 80 ventiladores durante este periodo de producción. Resuelva este problema de mezcla de productos para encontrar la nueva solución óptima.

111)

Un candidato a alcalde de un pequeño pueblo asignó $40,000 para publicidad de último minuto en los días previos a la elección. Se utilizarán dos tipos de anuncios: radio y televisión. Cada anuncio de radio cuesta $200 y llega a un auditorio estimado de 3000 personas. Cada anuncio de televisión, que cuesta $500, afectará a unas 7000 personas. Al planificar la campaña de publicidad, la directora de ésta desea llegar a tantas personas como sea posible, y estipuló que se deben utilizar, por lo menos, 10 anuncios de cada tipo. Además, el número de anuncios de radio debe ser por lo menos igual al número de anuncios de televisión. ¿Cuántos anuncios de cada tipo se deberán utilizar? ¿A cuántas personas llegarán?

112)

La Outdoor Furniture Corporation fabrica dos productos, bancas y mesas de día de campo, que pueden ser usados en jardines de casas y parques. La firma cuenta con dos recursos principales: sus carpinteros (fuerza de mano de obra) y existencias de madera de pino para construir el mobiliario. Durante el siguiente ciclo de producción, están disponibles 1200 horas de mano de obra según un acuerdo con el sindicato. La firma también dispone de 3500 pies de madera de pino de buena calidad. Cada banca que Outdoor Furniture produce requiere 4 horas de mano de obra y 10 pies de madera; cada mesa de día de campo, 6 horas de mano de obra y 35 pies de madera. Las bancas terminadas redituarán una ganancia de $20 cada una. ¿Cuántas bancasy mesas de día de campo deberá producir Outdoor Furniture para obtener la ganancia máxima posible? Use el método gráfico de programación lineal.

113)

El decano de Western College of Business debe planificar las ofertas de cursos de la escuela para el semestre de otoño. Las demandas de los estudiantes hacen necesario ofrecer por lo menos 30 cursos de licenciatura y 20 de posgrado en el semestre. Los contratos del profesorado también dictan que se ofrezcan por lo menos 60 cursos en total. Cada curso de licenciatura impartido le cuesta a la universidad un promedio de $2500 en salarios de profesores, mientras que cada curso de posgrado cuesta $3000. ¿Cuántos cursos de licenciatura y posgrado deberán ser impartidos en el otoño de modo que los salarios de los profesores se mantengan en su mí nima expresión?

114)

MSA Computer Corporation fabrica dos modelos de minicomputadoras, Alpha 4 y Beta 5. La firma emplea cinco técnicos, que trabajan 160 horas cada uno al mes en su línea de ensamble. La administración insiste en que se mantengan las horas de trabajo (es decir, todas las 160 horas) de cada trabajador durante las operaciones del mes siguiente. Se requieren 20 horas de mano de obra para ensamblar cada computadora Alpha 4 y 25 para elaborar cada modelo Beta 5. MSA desea producir por lo menos 10 Alpha 4s y por lo menos 15 Beta 5s durante el periodo de producción. Las Alpha 4s generan $1200 de utilidad por unidad y las Beta 5s producen $1800 cada una. Determine el número más rentable de cada modelo de minicomputadora que se debe producir durante el siguiente mes.

115)

Un ganador de la Texas Lotto decidió invertir $50,000 al año en el mercado de valores. Piensa adquirir acciones de una firma petroquímica y una compañía de servicios públicos. Aunque una meta a largo plazo es obtener los máximos rendimientos posibles, no ha pasado por alto el riesgo



79

que implica la compra de acciones. Se asigna un índice de riesgo de 1-10 (con 10 como el más riesgoso) a cada una de las dos acciones. El riesgo total del portafolio se encuentra multiplicando del riesgo de cada acción por los dólares invertidos en ella. La tabla siguiente proporciona un resumen de la devolución y el riesgo.

Al inversionista le gustaría maximizar el rendimiento de la inversión, pero el índice de riesgo promedio de ésta no deberá ser de más de 6. ¿Cuánto deberá invertir en cada acción? ¿Cuál es el rendimiento estimado de esta inversión? 116)

Remítase a la situación de la Texas Lotto del problema 115, y suponga que el inversionista cambió de actitud sobre la inversión y desea poner mayor atención en el riesgo de la inversión. Ahora desea minimizar el riesgo de ésta mientras genere un rendimiento de por lo menos 8%. Ordene estos datos como un problema de PL y encuentre la solución óptima. ¿Cuánto deberá invertir en cada acción? ¿Cuál es el riesgo promedio de esta inversión? ¿Cuál es el rendimiento estimado de esta inversión?

117)

La casa de bolsa Blank, Leibowitz y Weinberger ha analizado y recomendado dos acciones a un club de inversionistas constituido por profesores universitarios. Estos estaban interesados en factores tales como crecimiento intermedio y tasas de dividendos. Los datos sobre cada acción son los siguientes:

Cada miembro del club tiene una m eta de inversión de (1) una ganancia de no menos de $720 a corto plazo, (2) una ganancia de por lo menos $5000 en los siguientes tres años y (3) un ingreso por dividendos de por lo menos $200 al año. ¿Cuál es la inversión más pequeña que un profesor puede hacer para satisfacer estas tres metas? 118)

Woofer Pet Foods produce un alimento de bajas calorías para perros obesos. Este producto se elabora con productos de carne y granos. Cada libra de carne cuesta $0.90 y cada libra de grano $0.60. Una libra del alimento para perros debe contener por lo menos 9 unidades de vitamina 1 y 10 unidades de vitamina 2. Una libra de carne contiene 10 unidades de vitamina 1 y 12 unidades de vitamina 2. Una libra de granos contiene 6 unidades de vitamina 1 y 9 unidades de vitamina 2. Ordene estos datos como un problema de PL para minimizar el costo del alimento para perros. ¿Cuántas libras de carne y de granos deberán ser incluidas en cada libra de alimento para perros? ¿Cuál es el costo y el contenido de vitaminas del producto final?

119)

Serendipity6 Los tres príncipes de Serendip, eemprendieron un viaje no podían llevar mucho peso; más de 300 libras los hicieron vacilar. Decidieron llevar pequeña s porciones. Cuando regresaron a Ceilán



80

Descubrieron que sus provisiones estaban a punto de desaparecercuando para su regocijo, el príncipe William encontró una pila de cocos en el suelo ³Cada uno llevará 60 rupias´, dijo el príncipe Richard con una mueca de aprobación cuando casi se tropieza con una piel de león. ³Cuidado´, exclamó el príncipe Robert con alegría cuando divisó más pieles de león bajo un árbol. ³Éstas valen más de 300 rupias cada una si sólo pudiéramos llevárnoslas hasta la playa.´ Cada piel pesaba 15 libras y cada coco cinco, pero cargaron con todo en un santiamén. El bote de regreso a la isla era muy pequeño 15 pies cúbicos de capacidad de carga, eso era todo, cada piel de león ocupaba un pie cúbico mientras que ocho cocos ocupaban el mismo espacio con todo estibado se hicieron a la mar, y en el trayecto debían calcular a cuánto podría ascender su nueva riqueza. ³¡Eureka!´ gritó el príncipe Robert, ³nuestra riqueza es tan grande que no existe otra f orma de regresar en este estado. Cualquier otra piel o coco que pudiéramos haber traídoahora nos harían más pobres. Y ahora que sé cuántos son cinco le escribiré a mi amigo Horace en Inglaterra y con toda seguridad sólo él podrá apreciar nuestra serendipity´. Formule y resuelva Serendipity mediante PL gráfica para calcular ³cuál podría ser su nueva Riqueza´. 1 2 0)

El Peed 'N Ship Ranch engorda ganado para los granjeros locales y lo envía a los mercados de carne de Kansas City y Omaha. Los propietarios del rancho desean determinar las cantidades de alimento para ganado que deben comprar de modo que qu e se satisfagan satisfagan los estándares nutricionales nutri cionales mínimos y, al mismo tiempo, se minimicen los costos totales de alimentación. La mezcla de alimentos se puede componer de los tres granos que contienen los siguientes ingredientes por libra de alimento: Alimento (onzas) Ingrediente Mezcla X Mezcla Y Mezcla Z A 3 2 4 B 2 3 1 C 1 0 2 D 6 8 4 El costo por libra de las mezclas X, Y y Z son $2, $4 y $2.50, respectivamente. El requerimiento mínimo por vaca por mes es de 4 libras del ingrediente A, 5 libras del B, 1 libra del C y 8 libras del D. El rancho enfrenta una restricción adicional: pese a cualquier circunstancia, sólo puede obtener 500 libras de la mezcla Z por mes del proveedor de alimentos. Como por lo general hay 100 vacas en el Feed 'N Ship Ranch en un momento dado, esto significa que no se puede contar con más de 5 libras de la mezcla Z para usarse en la alimentación de cada vaca por mes. a) b)

1 2 1)

Formule un problema de PL utilizando la información proporcionada. Resuelva el problema con algún programa computacional de PL.

Weinberger Elecronics Corporation fabrica cuatro productos altamente técnicos que vende a firmas aeroespaciales que tienen contratos con la NASA. Antes de ser embarcado, cada uno de los productos debe p asar a través de los siguientes dep artamentos: alambrado alambrado eléctrico, taladrado, ensamble e inspección. ins pección. El requerimiento de tiempo en horas por cada unidad producida producida y su valor lucrativo se resumen en la tabla siguiente: Departamento Utilidad por Producto Alambrado Taladrado Ensamble Inspección unidad ($) XJ201 0.5 0.3 0.2 0.5 9 XM897 1.5 1 4 1 12 TR29 1.5 2 1 0.5 15 BR788 1.0 3 2 0.5 11 La producción disponible en cada departamento cada mes y el requerimiento de producción mínima mensual para cumplir con los contratos son l os siguientes: Departamento Capacidad Producto Nivel de producción (horas) mínimo Alambrado 15.000 XJ201 150

ECON. JUAN CARLOS ERAZO F Taladrado Ensamble Inspección

INVESTIGACIÓN OPERATIVA TOMO II 17.000 26.000 12.000

XM897 TR29 BR788

81

100 300 400

El gerente de producci ón tiene la responsabilidad de especificar los niveles de producción de cada producto para el mes entrante. Ayúdelo a formular (es decir, establecer las restricciones y función objetivo) el problema de Weinberger mediante PL. 122)

Un fabricante de artículos deportivos que está desarrollando un programa de producción de dos nuevos tipos de raquetas para raquetbol recibió un pedido de 180 del modelo estándar y 90 del modelo profesional que debe ser entregado al final de este mes. Se recibió otro pedido de 200 unidades del modelo estándar y 120 del modelo prof esional, pero éste no no tiene que ser entregado sino hasta finales del mes siguiente. La producción en cada uno de los dos meses puede realirealizarse en tiempo normal o tiempo extra. En el mes en curso, una raqueta estándar puede ser producida a un costo de $40 con tiempo normal, y un modelo profesional se puede ser fabricar a un costo de $60 en tiempo normal. El tiempo extra eleva el costo de estos modelos a $50 y $70, respectivamente. Debido a un nuevo contrato de trabajo para el mes siguiente, todos los costos se incrementarán en 10% a fines de este mes. El número total de raquetas que puede ser producido en un mes en tiempo normal es 230 y 80 raquetas adicionales pueden ser producidas con tiempo extra cada mes. Dado que el pedido mayor se entregará a finales del mes siguiente, la compañía planea producir algunas raquetas e xtra este mes y almacenarlas almacenarlas hasta finales del mes siguiente. El costo de conservar las raquetas en el inventario durante un mes se estima en $2 por raqueta. Con estos datos formule un modelo m odelo de PL para minimizar minimizar el costo.

123)

Trabajando con químicos del Virginia Tech y de la Universidad George Washington, el contratista paisajista Kenneth Golding mezcló su propio fertilizante, llamado ³Holding Grow´, compuesto por cuatro complejos químicos, C-30, C-92, D-21 y E-11. A continuación se indica el costo por libra de cada complejo. Complejo químico C ± 30 C ± 92 D ± 21 E - 11

Costo por libra ($) 0.12 0.09 0.11 0.04

Las especificaciones de Golding Grow son las siguientes: 1) E-11 debe constituir por lo menos 15% de la mezcla; 2) C-92 y C-30 junt os deben constituir por lo menos 45% de la mezcla; 3) D-21 y C-92 juntos pueden constituir no más de 30% de la mezcla, y 4) Golding Grow se empaca y vende en sacos de 20libras. a) b) 124)

Formule un problema de PL para determinar qué mezcla de los cuatro compuestos permitirá a Golding minimizar el costo de un saco de 50libras 50 libras del fertilizante. Resuélvalo con computadora para encontrar la mejor solución.

(Probl ema ema de pro producción ducción ) Winkler Furniture fabrica dos tipos de vitrinas: un modelo provenzal francés y un modelo danés moderno. Cada vitrina producida debe pasar por tres departamentos: carpintería, pintura y acabado. La tabla de la página 321 contiene toda información concerniente a los tipos de producción por vitrina y capacidades de producción de cada operación por día, junto con el ingreso neto por unidad producida. La compañía firmó un contrato con un distribuidor de Indiana para produci r un mínimo de 300 vitrinas de cada modelo por semana (o 60 por día). El propietario, Bob Winkler, desea determinar una mezcla de productos para maximizar su ingreso diario. a) b)

Formule como un problema de PL. Resuelva con un programa de PL u hoja de cálculo.


125)


82

ema de decisión de inver inver sión sión) La compañía de intermediación financiera Heinlein and (Probl ema Krampf Brokerage acaba de ser instruida por uno de sus clientes para que invierta $250,000 de su dinero que obtuvo recientemente por la venta de unos terrenos en Ohio. El cliente tiene un buen grado de confianza en la casa inversora, pero también tiene sus propias ideas sobre la distribución de los fondos que se van a invertir. En particular, solicita que la firma elija las acciones y bonos que crea están bien valuados, pero dent ro de los siguientes lineamientos: lineamientos:

a) b) c)

Los bonos municipales deben constituir, por lo menos, 20% de la inversión. Por lo menos, 40% de los fondos debe ser colocado en una combinación de compañías electrónicas, aeroespaciales y farmacéuticas. No más de 50% d e la suma invertida en bonos municipales munici pales debe ser colocado en acciones de alto rendimiento y alto riesgo de una casa de beneficencia. beneficencia.

Sujeto a estas restricciones, el objetivo del cliente es maximizar el rendimiento proyectado de las inversiones. Los analistas en Heinlein and Krampf, conscientes de estos lineamientos, preparan una lista de acciones y bonos bono s de alta calidad y sus tasas de rendimiento miento correspondientes. In versiones Bonos municipales de Los Ángeles Thompson Electronics, Inc. United Aerospace Corp. Palmer Drugs Casa de beneficiencia Happy Days a) b) 126)

Tasas de rendimiento proyectado (%) 5.3 6.8 4.9 8.4 11.8

Formule este problema de selección de cartera por medio de PL. Resuelva este problema.

( Probl Probl ema ema de hor hor ar i i os de t r ra baj o en un r estau estau r rante) ante) El famoso restaurante Y. S. Chang está abierto las 24 horas del día. Los meseros y sus ayudantes entran a las 3 A.M., 7A.M., 11 A.M., 3 P.M. u 11 P.M. y cada uno cubre un turno de 8 horas. La tabla siguiente muestra el número mínimo de trabajadores necesarios durante los seis periodos en los que se divide el día. El problema de programación de horarios de Chang es determinar cuántos meseros y ayudantes deberán reportarse al trabajo al inicio de cada periodo para minimizar el personal total requerido durante un día de operación. (Sugerencia: Sea X i i igual al número de meseros y ayudantes que empiezan a trabajar en el periodo i, donde i = 1,2, 3, 4, 5,6)



83

( Probl ema de mezc la de al iment os par a animal es) El Battery Park Stable alimenta y aloja los

caballos utilizados para tirar carruajes llenos de turistas por las calle del histórico distrito ribereño de Charleston. El propietario del establo, un entrenador retirado de caballos de carreras, reconoce la necesidad de diseñar una dieta nutricional para los caballos a su cuidado. Al mismo tiempo, quiere mantener al mínimo el costo di ario total de alimentación. Las mezclas de alimentos disponibles para la dieta de los caballos son un producto de avena, un grano altamente enriquecido y un producto mineral. Cada una de estas mezclas contiene una cierta cantidad de cinco ingredientes requeridos diariamente para mantener saludable al caballo promedio. La tabla de la página 322 muestra estos requerimientos mínimos, las unidades de cada ingrediente por libra de mezcla de alimentos y los costos de las t res mezclas. Además, el propietario del establo sabe que un caballo sobrealimentado es un trabajador perezoso. Por consiguiente, determina que 6 libras de alimento por día son lo máximo que cualquier caballo necesita para funcionar apropiadamente. Formule este problema de la mezcla diaria óptima de los tres alimentos y resuélvalo.

128)

( Probl ema de sel ección de beisbol istas) Los Dubuque Sackers, un equipo de béisbol clase D, enfrenta cuatro complicados juegos de visitante contra rivales de la liga en Des Moines, Davenport, Omaha y Peoria. El director técnico ³Red´ Revelle enfrenta la tarea de programar a sus cuatro lanzadores abridores en los juegos apropiados. Como los juegos son consecutivos en menos de una semana, Revelle no puede contar con más de un lanzador que inicie en más de un juego. Revelle conoce las fortalezas y debilidades no sólo de sus lanzadores, sino también de sus oponentes. Ha desarrollado una calificación de desempeño de cada uno de sus lanzadores abridores contra cada uno de estos equipos. Las calificaciones aparecen en la tabla de esta página. ¿Qué rotación de abridores deberá establecer el director técnico Revelle para obtener el total más alto de las calificaciones de desempeño?

a) b) 129)

Formule este problema por medio de PL. Resuélvalo.

( Probl ema de sel ección de medi os) El director de publicidad de Diversey Paint and Supply, una

cadena de cuatro tiendas de venta al menudeo del área norte de Chicago, considera dos posibilidades de medios. Un plan contempla una serie de anuncios de media página en el periódico Chicago T ribune del domingo; el otro, tiempo de publicidad en la TV de Chicago. Las tiendas están expandiendo sus líneas de herramientas de "hágalo usted mismo" y el director de publicidad está interesado en un nivel de exposición de por lo menos 40% dentro de los vecindarios de la ciudad y de 60% en las áreas suburbanas del noroeste.



84

El tiempo de audiencia de TV considerado tiene un " rating " de exposición por anuncio de 5% en hogares de la ciudad y de 3% en los suburbios del noroeste. El periódico dominical tiene tasas de exposición correspondientes de 4% y 3% por anunci o. El costo de una media página de publicidad en el T ribune es de $925; un anuncio de televisión cuesta $2000. Diversey Paint desea seleccionar la estrategia de publicidad menos costosa que satisfaga los niveles de exposición deseados a) b) 13 0)

Formule con PL. Resuelva el problema.

( Probl ema de arr endamient o de aut omóvi le s) Sundown Rent-a-Car, una gran agencia de

arrendamiento de automóviles que opera en el Medio Oeste, está preparando una estrategia de arrendamiento para los seis meses siguientes. Sundown renta los automóviles a un fabricante y luego los renta al público de f orma diaria. A continuación se da una predicción de la demanda de los autos de Sundown en los seis meses siguientes:

Los automóviles pueden rentarse al fabricante durante tres, cuatro o cinco meses. Los vehículos se rentan el primer día del mes y se regresan el último día del mes. Cada seis meses Sundown notifica al fabricante de automóviles sobre el número de automóviles requeridos durante los seis meses siguientes. El fabricante ha estipulado que por lo menos 50% de las unidades rentadas durante un periodo de seis meses deben estar en el plan de arrendamiento de cinco meses. El costo mensual de cada uno de los tres tipos de arrendamiento es: $420 el de tres meses, $400 el de cuatro meses y $370 el de cinco meses. Actualmente, Sundown tiene 390 autos. El arrendamiento de 120 de ellos expira a finales de marzo. El de otros 140 a finales de abril y el del resto a finales de m ayo. Use PL para determinar cuántos automóviles deben rentarse cada mes en cada tipo de arrendamiento para minimizar el costo de arrendamiento durante el periodo de seis meses. ¿Cuántos vehículos quedan a finales de agosto? 13 1)

La gerencia de Sundown Rent-a-Car (vea el problema 130) ha decidido que tal vez el costo durante el periodo de seis meses no es el apropiado para minimizarlo porque la agencia aún puede estar obligada a meses adicionales en algunos arrendamientos después de ese tiempo. Por ejemplo, si Sundown entregara algunos automóviles al principio del sexto mes, aún estaría obligada durante dos meses más en un arrendamiento de tres meses. Use PL para determinar cuántos autos deben rentarse cada mes en cada tipo de arrendamiento para minimizar el costo de arrendamiento durante toda la duración de estos contrat os.

132)

( Probl ema de t r anspor te esc ol ar de estudiantes de pr epar at or ia) El superintendente de educación del condado de Arden, M aryland, es el responsable de asignar estudiantes a las tres preparatorias que hay en su condado. Reconoce la necesidad de transportar a un cierto número de estudiantes, ya que varios sectores del condado están bastante alejados como para ir caminando a la escuela. El superintendente divide el condado en cinco sectores geográficos ya que intenta establecer un plan que minimice el número de millas-estudiante recorridas en autobús. También reconoce que si un estudiante vive en un cierto sector y es asignado a una preparatoria de dicho sector, no hay necesidad de transportar a ese estudiante por autobús porque él o ella puede caminar a la escuela. Las tres escuelas están localizadas en los sectores B, C y E.

La tabla anexa refleja el número de estudiantes de preparatoria que viven en cada sector y la distancia en millas de cada sector a cada escuela.



85

Cada preparatoria tiene una capacidad de 900 estudiantes. Establezca la función objetivo y restricciones de este problema por medio de PL de modo que el número total de millas ± estudiante recorrida por autobús se minimice. (Observe la semejanza con el problema de transporte ilustrado con anterioridad en este capítulo.) Luego resuelva el problema. 133)

( Probl ema de asignación de pr eci os y est ra tegia de c omer cial ización) La I. Kruger Paint and

Wallpaper Store es un gran distribuidor minorista de la marca Supertrex de papeles tapiz de vinilo. Kruger desea mejorar su imagen a nivel de toda la ciudad en Miami mediante la superación de las ventas de otros distribuidores locales en el número total de rollos de Supertrex el siguiente año. Se puede estimar la función de demanda como sigue: Número de rollos de Supertrex vendidos = 20 X dólares gastados en publicidad + 6.8 X dólares gastados en exhibidores en la tienda + 12 X dólares invertidos en el inventario de papel tapiz disponible - 650,000 X porcentaje de margen de ganancia sobre el costo de venta al mayoreo de un rollo. La tienda presupuesta un total de $17,000 para publicidad en exhibidores en la tienda y en inventario disponible de Supertrex para el año siguiente. Decide que debe gastar por lo menos $3000 en publicidad; además, por lo menos 5% de la suma invertida en inventario disponible deberá ser dedicado a exhibidores. Los márgenes de ganancia en Supertrex de otros distribuidores locales oscilan entre 20 y 45%. Kruger decide que sería mejor que su margen de ganancia estuviera también en este intervalo. a) b) c) d) 134)

Ordene estos datos como un problema de PL. Resuelva el problema. ¿Cuál es la dificultad con la respuesta? ¿Qué restricción agregaría?

) El hospital Mt. Sinai en Nueva Orleans es una gran ( Probl ema de expansión de un hospital

empresa privada con 600 camas que cuenta con laboratorios, quirófanos y equipo de rayos X. Para incrementar sus ingresos, la administración del Mt. Sinai ha decidido hacer una ampliación para 90 camas en una fracción del terreno adyacente que se utiliza actualmente como estacionamiento del personal. La administración considera que los laboratorios, los quirófanos y el departamento de rayos X no se utilizan en su totalidad en el presente y no necesitan ampliarse para atender a pacientes adicionales. La adición de 90 camas, sin embargo, implica decidir cuántas camas deberán ser asignadas al personal médico para pacientes médicos y cuántas al personal quirúrgico para pacientes de este tipo. Los departamentos de contabilidad y registro médico del hospital proporcionaron la siguiente información al respecto. La permanencia promedi o en el hospital de un paciente médico es de 8 días, y genera ingresos por $2280. El paciente quirúrgico promedio permanece en el hospital 5 días y recibe una factura de $1515. El laboratorio puede manejar 15,000 pruebas por año más de las que manejaba. El paciente médico promedio requiere 3.1 exámenes de laboratorio, en tanto que el paciente quirúrgico promedia 2.6. Además, el paciente médico promedio requiere un estudio de rayos X, mientras que el paciente quirúrgico promedio requiere dos. Si el hospital expandiera su capacidad en 90 camas, el departamento de rayos X podría manejar hasta 7000 estudios sin un costo significativo adicional. Por último, la administración estima que podrían hacerse 2800 operaciones adicionales en los quirófanos existentes. Los pacientes médicos, desde



86

luego, no requieren cirugía, mientras que cada paciente quirúrgico, en general, es operado una vez. Formule este problema para determinar cuántas camas médicas y cuántas quirúrgicas se deberán agregar para maximizar los ingresos. Suponga que el hospital está abierto 365 días al año. Luego resuelva el problema. 135)

8-12 (Problema de producción de alta tecnología) Quitmeyer Electronics Incorporated fabrica los siguientes seis dispositivos periféricos para microcomputadoras: módems internos, módems externos, tarjeta de gráficos, unidades de CD, unidades de disco duro y tarjetas de expansión de memoria. Cada uno de estos productos técnicos requiere tiempo, en minutos, en tres tipos de equipo de prueba electrónico, como se muestra en la tabla.

Dispositivo de prueba 1 Dispositivo de prueba 1 Dispositivo de prueba 1

Módem interno

Móden externo

Tarjeta de circuíto

Unidades Unidades Tarjetas de CD de disco de duro memoria 6 18 17

7

3

12

2

5

3

2

15

17

5

1

3

2

9

2

Los primeros dos dispositivos de prueba están disponibles 120 horas por semana. El tercero (dispositivo 3) requiere más mantenimiento preventivo y pude ser utilizado solo 100 horas por semana. El mercado de los seis componentes de computadora es vasto y Quitmeyer Electronics cree que puede vendes tantas unidades de cada producto como las que puede fabricar. La tabla siguiente resume los ingresos y costos de material de cada producto. Dispositivo Módem Interno Módem externo Tarjeta de gráficos Unidad de CD Unidad de disco duro Tarjeta de expansión de memoria

Ingreso por unidad vendida ($) 200 120 180 130 430 260

Costo de material por unidad ($) 35 25 40 45 170 60

Además, los costos de mano de obra variables son $15 por hora en caso del dispositivo de prueba 1, $12 por hora en el dispositivo 2 y $18 por hora en el 3. Quitmeyer Electrinics desea maximizar sus utilidades. a) b) c)

136)

Formule este problema como un modelo de PL. Resuelva el problema por comput adora ¿Cuál es la mejor mezcla de productos? ¿Cuál es el valor de un minuto adicional de tiempo por semana en el dispositivo de prueba 1? ¿en el 2? ¿en el 3? ¿Deberá Quitmeyer Electrónics agregar más tiempo de dispositivo de prueba? De ser así, ¿en que equipo?

8-13 (Problema de personal en una planta nuclear) South Central Utilities acaba de anunciar el 1 de agosto la apertura del segundo generador nuclear en su planta de energía nuclear de Baton Rouge, Louisiana. Su departamento de personal ha sido instruido para que determine cuantos técnicos nucleares tienen que contratarse y capacitarse en lo que resta del año. En la actualidad la planta emplea 350 técnicos totalmente capacitados y proyecta las siguientes necesidades de personal. MES Horas hombre requeridas Agosto 40.000 Septiembre 45.000 Octubre 35.000

ECON. JUAN CARLOS ERAZO F Noviembre Diciembre


87

50.000 45.000

Según la Ley de Louisiana, en realidad el empleado no puede trabajar más de 130 horas por mes. (Un poco más de una hora por día se utiliza para marcar la entrada y salida, mantener los registros y para efectuar exploraciones diarias de radiación.) La política de South Central Utilities también dicta que los despidos no son aceptables en los meses en que la planta nuclear tiene exceso de personal. En consecuencia, si están disponibles más empleados capacitados que los que se requiere en cualquier mes, cada trabajador recibe su pago completo, aún cuando no se requiera que trabaje las 130 horas. La capacitación de nuevos empleados es un procedimiento importante y costoso. Requiere un mes de instrucción individual en el salón de clases ant es de que a un técnico nuevo se le permita trabajar solo en la instalación del reactor. Por consiguiente South Central debe contratar empleados un mes antes en que en realidad los requiera. Cada empleado nuevo hace equipo con un técnico nuclear calificado y requiere 90 horas del tiempo de este último, lo que significa que ese mes se tienen disponibles 90 horas menos del tiempo del técnico para trabajo en el reactor. Los registros del departamento de personal indican una tasa de rotación de técnicos capacitados de 5% por mes. En otras palabras, aproximadamente 5% de los empleados capacitados al inicio de cada mes renuncian al final de ese período. Un técnico entrenado devenga un salario mensual promedio de $2.000 (sin importar el número de horas trabajadas, como ya se señaló con anterioridad). Los empleados nuevos reciben $ 900 durante su mes de instrucción. a) b)

Formule este problema de personal con PL Resuelva el problema. ¿Cuántos empleados nuevos deben iniciar su instrucción cada mes?



88

Capítulo III El método Simplex PROBLEMAS PROPUESTOS Resolver por el método programación lineal:

simplex

los

siguientes

problemas

de

1)

La señorita Fernanda Erazo es una estudiante emprendedora de primer año en la Pontificia Universidad Católica del Ecuador. Comprende que ³sólo el trabajo y nada de diversión hacen de Fernanda una muchacha aburrida´. Como resultado, Fernanda quiere distribuir su tiempo disponible, de alrededor de 10 horas al día, entre el trabajo y la diversión. Calcula que el juego es dos veces más divertido que el trabajo. También quiere estudiar por lo menos tanto como juega. Sin embargo, Fernanda comprende que si quiere terminar todas sus tareas universitarias, no puede jugar más de cuatro horas al día. ¿Cómo debe distribuir Fernanda su tiempo para maximizar su satisfacción tanto en el trabajo com o en el juego?

2)

Viviana Erazo debe trabajar por lo menos 20 horas a la semana para completar su ingreso mientras asiste a la escuela. Tiene la oportunidad de trabajar en dos tiendas al detalle: en la tienda 1 Viviana puede trabajar entre 5 y 12 horas a la semana, y en la tienda 2 le permiten trabajar entre 6 y 10 horas. Ambas tiendas pagan el mismo por hora. De manera que Viviana quiere basar su decisión acerca de cuántas horas debe trabajar en cada tienda en un criterio diferente: el factor del estrés en el trabajo. Basándose en entrevistas con los empleados actuales, Viviana calcula que, en una escala de 1 a 10, los factores del estrés son de 8 y 6 en las tiendas 1 y 2, respectivamente. Debido a que el estrés aumenta por hora, ella supone que el estrés total al final de la semana es proporcional al número de horas que trabaja en la tienda. ¿Cuántas horas debe trabajar en cada tienda?

3)

Dos productos se fabrican en un centro de maquinado. Los tiempos de producción por unidad de los productos 1 y 2 son de 10 y 12 minutos, respectivamente. El tiempo regular total de la máquina es de 2.500 minutos por día. En un día cualquiera, el fabricante vende entre 150 y 200 unidades del producto 1, pero no más de 45 unidades del producto 2. Se pueden emplear horas extras para satisfacer la demanda a un costo adicional de 0.50 de dólar por minuto. a) Suponiendo que las utilidades por unidad de los productos 1 y 2 son.6.0 y 7.50 dólares, respectivamente, formule un modelo y determine el nivel óptimo de fabricación para cada producto, así como cualesquiera número de horas extra necesarias en el centro. b) Si el costo por minuto de horas extra se incrementa a 1.50 dólares, ¿la compañía debe utilizar horas extras?

4)

La tienda de comestibles B&K vende dos tipos de bebidas no alcohólicas: la marca de sabor de cola A1 y la marca propia de la tienda, B&K de colas, más económica. El margen de utilidad en la bebida de cola A1 es de alrededor de 5 centavos de dólar por lata, mientras que la de la bebida de cola B&K suma una ganancia bruta de 7 centavos por lata. En promedio, la tienda no vende más de 500 latas de ambas bebidas de cola al día. Aún cuando A1 es una marca más conocida, los clientes tienden a comprar más latas de marca B&K, porque considerablemente es más económica. Se calcula que la venta de la marca B&K superan a las de la marca A1 en una razón de 2 a 1 por lo menos. Sin embargo, B&K vende, como mínimo, 100 latas de A1 al día. a) ¿Cuántas latas de cada marca debe tener en existencia la tienda diariamente para maximizar su utilidad? b) Determine la razón de las utilidades por lata de A1 y B&K que mantendrá inalterada la solución en (a).



89

Baba Furniture Company emplea a cuatro carpinteros durante 10 días para ensamblar sillas y mesas. Se requieren 30 minutos para ensamblar una silla.y 2 horas para ensamblar una mesa. Por lo común, los clientes compran entre cuatro y seis sillas con cada mesa. Las utilidades son de 13 dólares por mesa y 5 dólares por silla. La compañía opera un turno de 8 horas al día. a) Determine la mezcla de producción óptima de los 10 días. b) Determine el rango de la razón de utilidades por unidad, que mantendrá inalterada la óptima (a). c) Si las utilidades actuales por cada mesa y silla se reducen 10%, utilice la respuesta en (b) para mostrar la forma en la cual este cambio afecta la solución óptima obtenida en (a). d) Si las utilidades actuales por cada mesa y silla cambia a 12 y 2.5 dólares, utilice el resultado de sensibilidad en (b) para determinar si cambiará o no la solución en (a).

6)

El Banco del Pacífico está asignando un máximo de 200.000 dólares para préstamos personales y de automóviles durante el próximo mes. El banco cobra 14% por préstamos personales y 12% por préstamos para automóviles. Ambos tipos de préstamos se liquidan al final de un periodo de un año. La experiencia muestra que alrededor del 3% de los préstamos personales y del 2% de los préstamos para automóviles nunca se liquidan. Por lo común, el banco asigna cuando menos el doble de los préstamos personales a los préstamos para automóviles. a) Determine la asignación óptima de fondos para los tipos de préstamos y la tasa neta de utilidad que obtendrá el banc o de todos los préstamos. b) Determine el rango de optimilidad para la razón de las tasas de interés de préstamos personales y para automóvil que mantendrá inalterada la solución en (a). c) Supongamos que el porcentaje de préstamos personales y para automóvil no liquidados cambia a 4% y 3%, respectivamente, ¿Cómo afectaría este cambio la solución óptima en (a)?.

7)

Electra produce dos tipos de motores eléctricos, cada uno en una línea de ensamble separada. Las respectivas capacidades diarias de las dos líneas son de 600 y 750 motores. El motor tipo 1 emplea 10 unidades de cierto componente electrónico y el motor tipo 2 sólo utiliza 8 unidades. El proveedor del componente puede proporcionar 8.000 piezas al día. Las utilidades por motor para los tipos 1 y 2 son de 60 y 40 dólares, respectivamente. a) Determine la mezcla óptima para la producción diaria. b) Determine el rango de optimalidad de la razón de utilidades por unidad que mantendrá inalterada la solución en (a)

8)

Dean¶s Furniture Company ensambla dos tipos de gabinetes de cocina de madera precortada: regulares y de lujo. Los gabinetes regulares están pintados de blanco y los de lujo están barnizados. Tanto la pintura como el barnizado se llevan a cabo en un departamento. La capacidad diaria del departamento de ensamble puede producir un máximo de 200 gabinetes regulares y 150 gabinetes de lujo. El barnizado de un gabinete del lujo se lleva el doble de tiempo que pintar uno regular. Si el departamento de pintura /barnizado se dedica únicamente a las unidades de lujo, terminaría 180 unidades diarias. La compañía calcula que las utilidades por unidad de los gabinetes regulares y de lujo son de 100 y 140 dólares, respectivamente. a) Formule el problema como un programa lineal y encuentre el programa de producción óptima por día. b) Supongamos que, debido a la competencia, las utilidades por unidad de las unidades regulares y de lujo deben reducirse a 80 y 110 dólares, respectivamente. Utilice el análisis de sensibilidad para determinar si la solución óptima en (a) se mantiene inalterada o no.

9)

Una compañía fabrica dos productos, A y B. El volumen de ventas de A es por lo menos 80% de las ventas totales de A y B. Sin embargo, la compañía no puede vender más de 100 unidades de A por día. Los dos productos utilizan una materia prima, cuya disponibilidad máxima diaria se limita a 240 libras al día. Las proporciones de utilización de la materia prima son 2 libras para cada unidad de A y 4 libras para cada unidad de B. Los precios unitarios de A y B son de 20 y 50 dólares, respectivamente.



90

a) Determine la mezcla óptima de los dos productos. b) Determine el valor por cambio unitario en la disponibilidad de la materia prima y su rango de aplicabilidad. c) Utilice el análisis de sensibilidad para determinar el efecto de cambiar la demanda máxima del producto A por s 10 unidades. 10)

Una compañía que opera 10 horas al día fabrica cada uno de los productos en tres procesos en secuencia. La siguiente tabla resume los datos del problema: Producto 1 2

Proceso 1 10 5

Minutos por unidad Proceso 2 Proceso 3 6 8 20 10


a) Determine la mezcla óptima de los dos productos. b) Supongamos que se está considerando los tres procesos para una expansión y usted necesita determinar su prioridad. Diseñe una f orma lógica para lograr esta meta. 11)

Show & Sell puede anunciar sus productos en la radio o la televisión locales. El presupuesto para anuncios está limitado a 10.000 dólares al mes. Cada minuto de anuncios por radio cuesta 15 dólares y cada minuto de comerciales por televisión cuesta 300 dólares. A Show & Sell le agrada utilizar los anuncios por radio por lo menos el doble de los anuncios por televisión. Por lo pronto, no es práctico utilizar más de 400 minutos de anuncios por radio. La experiencia pasada muestra que se calcula que los anuncios por televisión son 25 veces más ef ectivos que los de la radio. a) Determine la asignación óptima del presupuesto para los anuncios por radio y televisión. b) Determine el valor por unidad de inc rementar el límite mensual en la publicidad por radio. c) Si el presupuesto mensual se aumenta a 15.000 dólares, utilice la definición de valor de la unidad para determinar la medida resultante de la efectividad publicitaria.

12)

Wyoming Electric Coop. Es propietaria de una planta generadora de energía con turbina de vapor. Debido a que Wyoming es rica en depósitos de carbón, la planta genera vapor con carbón. Sin embargo, esto crea el problema de satisfacer los estándares de emisión. Las regulaciones de la Environmetal Protection Agency (Agencia de Protección Ambiental) limitan la descarga de dióxido de azufre a 2.000 partes por millón y la descarga de humo de las chimeneas de la plante a 20 libras por hora. La Cooperativa recibe dos grados de carbones pulverizados, C1 y C2, para ser utilizados en la planta. Por lo común, los dos grados se mezclan antes de quemarlos. Por simplicidad, supondremos que el contaminante de azufre de la mezcla (en partes por millón) es un promedio ponderado de la proporción de cada grado empleado en la mezcla. Los siguientes datos se basan en el consumo de una tonelada por hora de cada uno de los dos grados de carbón. Grado de carbón

Descarga de azufre en partes por millón

Descarga de humo en libras por hora

Vapor generado en libras por hora

C1 C2

1 800 2 100

2.1 0.9

12 000 9 000

a) Determine la proporción óptima para mezclar los dos g rados de carbón. b) Determine el efecto de relajar el límite de la descarga de humo 1 libra sobre al cantidad de vapor generado por hora. 13)

La división de Educación Continua en Ozark Community College ofrece un total de 30 cursos cada semestre. Los cursos que ofrece generalmente son de dos tipos: prácticos, como trabajos en madera, procesador de palabras y mantenimiento de automóviles; y humanísticos, como historia, música y bellas artes. Para satisfacer las demandas de la comunidad, es necesario ofrecer por lo menos 10 cursos de cada tipo, cada semestre. La división calcula que los ingresos por ofrecer esos cursos prácticos y humanísticos son aproximadamente 1.500 y 1.000 dólares por curso, respectivamente.



91

a) ¿Cómo debe asignar la escuela sus cursos? b) Determine el ingreso si se incrementa el requerimiento mínimo de los cursos prácticos con un curso más. c) Determine el ingreso si se incrementa el requerimiento mínimo de los cursos humanísticos con un curso más. 14)

ChemLabs fabrica dos productos de limpieza para el hogar, A y B procesando dos tipos de m ateria prima, I y II. El procesamiento de una unidad de materia prima I cuesta 8 dólares y produce0.5 unidad de solución A y 0.5 unidad de solución B. Además, el procesamiento de una unidad de materia prima II cuesta 5 dólares y produce 0.6 unidad de solución A y 0.4 unidad de solución B. La demanda diaria de la solución A es entre 10 y 15 unidades y la de la solución es entre 12 y 20 unidades. c) Encuentre la mezcla óptima de A y B que debe producir ChemLabs. d) Determine el valor por cambio de unidad en los límites de la demanda de los productos A y B.

15)

Una línea de ensamble que consta de tres estaciones consecutivas produce dos modelos de radios: Hi-fi-1 y Hi-fi-2. La siguiente tabla proporciona los tiempos de ensamble para las tres estaciones de trabajo. Minutos por unidad Edición de trabajo Hi-fi-1 1 6 2 5 3 4

Hi-fi-2 4 5 6

El mantenimiento diario de las estaciones 1, 2 y 3 consume 10%. 14% y 12% respectivamente, del máximo de 480 minutos disponibles para casa e stación, cada día. a) La compañía desea determinar la mezcla óptima de productos que minimizará los tiempos inactivos (o no utilizados) en las tres estaciones de t rabajo. b) Determine el valor de disminuir 1 punto de porcentaje el tiempo diario de mantenimiento para cada estación. 16)

Un ejecutivo de negocios tiene la opción de invertir más dinero en dos planes; el plan A garantiza que cada dólar invertido ganará 0.70 de aquí a un año y el plan B garantiza que cada dólar invertido ganará 2 dólares después de 2 años. En el plan A, las inversiones se pueden hacer anualmente y en el plan B, las inversiones se permiten únicamente en los períodos que son múltiplos de dos. a) ¿Cómo debe invertir el ejecutivo 100.000 dólares para maximizar las ganancias al final de 3 años? b) ¿Vale la pena que el ejecutivo invierta más dinero en los planes?

17)

OilCo construye una refinería para elaborar cuatro productos: diesel, gasolina, lubricantes y combustible para aviones. Las demandas (en barriles/día) de esos productos son 14,000,30,000, 10,000 y 8000, respectivamente. Irán y Dubai tienen contrato para enviar crudo a OilCo. Debido a las cuotas de producción que especifica la OPEP (Organización de Países Exportadores de Petróleo) la nueva refinería puede recibir al menos el 40% de su crudo de Irán, y el resto de Dubai. OilCo pronostica que estas cuotas de demanda y de crudo permanecerán estables durante los 10 años siguientes. Las distintas especificaciones de los dos crudos determinan dos proporciones distintas de productos: un barril de crudo de Irán rinde 0.2 barril de diesel, 0.25 barril de gasolina, 0.1 barril de lubricante y 0.15 barril de combustible para avión. Los rendimientos correspondientes del crudo de Dubai son: 0.1, 0.6, 0.15 y 0.1, respectivamente. OilCo necesita determinar la capacidad mínima de la refinería, en barriles de crudo por día.

18)

Ahorros S.A. desea invertir una suma que genere un rendimiento anual mínimo de $10,000. Dispone de dos grupos accionarios: acciones selectas y alta tecnología, con un rendimiento anual



92

promedio de 10 y 25%, respectivamente. Aunque las acciones de alta tecnología dan más rendimiento, son más arriesgadas, y Ahorros desea limitar la cantidad invertida en ellas a un máximo de 60% del total. ¿Cuál es la cantidad mínima que debe invertir Ahorros en cada grupo de acciones para alcanzar la meta de inversión? 19)

Considere el modelo de Uso de Suelo (problema 5 resuelto por computadora, capítulo II). Supongamos que el Banco Pichincha puede comprar 100 acres adicionales de terreno virgen a un precio de 450.000 dólares. Utilice los resultados del modelo para proporcionarle al banco una decisión concerniente a esta compra.

2 0)

Considere la Programación de Autobuses (problema 14 resuelto por computadora, capítulo II). a) Utilice los resultados de la salida para determinar el número total óptimo de autobuses, suponiendo que el número mínimo de autobuses para los seis periodos sucesivos se da como (i) (4, 12, 10, 7, 12, 4) y (ii) (4, 8, 7, 7, 12, 4). b) Supongamos que los requerimientos mínimos se cambian a (6, 9, 12, 7, 15, 6). Utilice el análisis de sensibilidad para determinar si la solución actual sigue siendo factible. Si es factible, determines los nuevos valores de las variables.

2 1)

Considere el modelo de desperdicio en el corte (problema 15 resuelto por computadora, capítulo II). a) Si cortamos 20 rollos utilizando la posición 1 y 100 rollos utilizando la posición 3, calcule el área de desperdicio asociada en el corte. b) Supongamos que el único rollo estándar disponible es de 15 pies de ancho.Genere todas las posiciones posibles de las cuchillas para producir rollos de 5, 7, y 9 pies y calcule el desperdicio en el recorte asociado por cada pie de largo. c) En el modelo original, si la demanda de rollos estándar de 7 pies de ancho disminuye en 80, ¿cuál es el número total de rollos estándar de 20 pies que se necesitará para satisfacer la demanda de los tres tipos de rollos? d) En el modelo original, si la demanda de rollos de 9 pies sé camba a 400, ¿Cuántos rollos estándar adicionales de 20 pies se necesitarán para satisfacer la nueva demanda?

22)

Una empresa fabrica cuatro productos: A, B, C y D. Cada unidad del producto A requiere dos horas de fresado, una hora de montaje y 10 dólares de inventario en proceso. Cada unidad del producto B necesita una hora de fresado, tres horas de montaje y un costo de cinco dólares de proceso de inventariado. Una unidad del producto C requiere 2 ½ horas de fresado, 2 ½ horas de montaje y dos dólares de proceso de i nventariado. Por último, cada unidad del producto D requiere cinco horas de fresado, no nec esita montaje y cuesta 12 dólares de proceso de inventariado. La empresa tiene 120 horas de fresado y 160 horas de montaje disponibles. Además, no puede disponer de más de mil dólares para proceso de inventario. Cada unidad del producto A genera un beneficio de 40 dólares; una unidad del producto B genera un beneficio de 24 dólares; las unidades del producto C generan 36 dólares y las del producto D, 23 dólares. No se pueden vender más de 20 unidades del producto A, ni más de 16 unidades del producto C; puede venderse cualquier número de unidades de los productos B y D. Sin embargo, hay que producir y vender por lo menos 10 unidades delproducto D para satisfacer un requisito contractual. Formule el problema anterior como un problema de programación lineal. El objetivo de la empresa es maximizar los beneficios que resultan de la venta de los cuatro productos. Resuelva el problema en computadora.

23)

Mangus Electric Products Co. (MEPCO) produce grandes transformadores eléctricos para la industria eléctrica. La compañía tiene pedidos (Tabla) para los próximos seis meses. Se espera que el costo de manuf actura de un transformador varíe un poco en los próximos meses, por cambios esperados en los costos de los materiales y en las tarifas de trabajo. La compañía puede



93

producir hasta 50 unidades al mes con tiempo normal y hasta 20 unidades adicionales si utiliza tiempo extra. En la tabla se muestran los costos del tiempo normal y los del tiempo extra.

Pedidos (unidades) Costo por unidad con tiempo regular (miles de dólares) Costo por unidad con tiempo extra (miles de dólares)

Mes Mar. Abr. 34 69

Ene. 58

Feb. 36

18

17

17

20

19

19

Mayo 72

Jun. 43

18,5

19

19

21

22

22

El costo de almacenamiento en inventarios de los transformadores que no se vendan es 500 dólares por mes. Al 10 de enero, la compañía tiene 15 transformadores en existencias y desea tener no menos de cinco en existencias para el 30 de junio. Formule un problema de programación lineal para determinar el programa de producción óptimo para MEPCO. 24)

La compañía de diamantes Transval extrae diamantes de tres minas de Sudáfrica. Las tres difieren en cuanto a capacidad, número, peso de las gemas y costos; estos datos se presentan en la tabla.

Mina




83000 310000 190000

RO.60 RO.36 RO.50


0,36 0,22 0,263

0,58 0,26 0,21


Queremos seleccionar una estrategia de publicidad para llegar a dos tipos de clientes: amas d e casa de familias con ingresos anuales superiores a 10 000 dólares y amas de casa de familias con ingresos anuales inferiores a 10 000 dólares. Consideramos que las personas del primer grupo comprarán dos veces más nuestro producto que las personas del segundo grupo, y nuestro objetivo es maximizar las compras. Podemos anunciar el producto en televisión o en una revista; una unidad de publicidad en televisión cuesta 20.000 dólares y llega a aproximadamente 2.000 personas del primer grupo y a 8.000 del segundo. Una unidad de publicidad en la revista cuesta 12. 000 dólares y llega a 6.000 personas del primer grupo y a 3.000 del segundo. Hay que usar por lo menos seis unidades de publicidad en televisión y no podemos usar más de 12 unidades de publicidad en la revista, por cuestiones de política. El presupuesto para publicidad es de 180 000 dólares. Formule este problema como un problema de programación lineal, definiendo todas las variables que utilice. Resuelva por el método gráfico para encontrar la estrategia de publicidad óptima.

26)

En fechas recientes, Super Sausage Company (SSC) ha experimentado cambios radicales en los precios de las materias primas, y el gerente ha dado instrucciones a una analista para que examine las proporciones de mezcla de ingredientes que se usa SSC para fabricar salchichas. La fabricación de salchichas debe cumplir con dos requisitos clave para el producto. El porcentaje de proteína en peso debe ser por lo menos del 15% y el porcentaje de grasas en peso no puede



94

exceder el 30% (el peso restante es de relleno). SSC dispone de las cuatro materias primas siguientes para sus mezclas, con las características que se indican:

Ingrediente

Porcentaje De Proteína


Costo por kilogramo

A 40 10 B 20 15 C 10 35 D 5 40 Formule un modelo de programación lineal que ayude mezclas más deseable. Resuelva por el método simplex. 27)

$ 1.80 0.75 0.40 0.15 a SSC a determinar el programa de

Remítase al problema de mezcla de productos. Una empresa de manufactura fabrica productos, A y B, cada uno de los cuales debe procesarse en dos máquinas diferentes. Una máquina tiene 24 horas de capacidad disponibles y la otra sólo tiene 16 horas. Cada unidad del producto A necesita tres horas en cada máquina, mientras que una unidad del producto B necesita tres horas en la primera máquina y una hora en la segunda. Los beneficios marginales son de seis dólares por unidad del producto A y siete dólares por unidad del producto B y la empresa puede vender todas las unidades que puede fabri car de los dos productos. El objetivo de la empresa es maximizar los beneficios. El problema es determinar cuántas unidades de los productos A y B deben producirse dentro de los límites de las capacidades disponibles de las máquinas. Resuelva el problem a con los dos productos A y B Suponga que la empresa tiene un tercer producto, C, que puede producirse en la primera o en la segunda máquina. Si se produce en la primera máquina se requiere una hora; si se hace en la segunda máquina, se necesitan dos horas. El producto C tiene benef icios marginales de nueve dólares por unidad. Modifique la formulación del problema para incluir el producto C.

28)

El Consejo de Seguridad de Estados Unidos debe asignar su presupuesto para los próximos tres años. Ya se han tomado decisiones irrevocables con respecto a varias ³áreas programadas´ y a su financiamiento total; por ejemplo, se ha asignado un total de 110.000 dólares a la prevención de fallecimientos y a la reducción en daños a propiedades por accidentes automovilísticos. Pero hay que tomar decisiones detalladas acerca de los proyectos específicos para alcanzar los objetivos de los programas. En el caso de la prevención de fallecimientos y de la reducción en daños a propiedades, la tabla contiene los proyectos que recomendaron los analistas delconsejo, junto con los datos apropiados. Los miembros del consejo quieren que usted los ayude a tomar las decisiones sobre la asignación del presupuesto (o sobre la elección y la magnitud de los proyectos). Al preguntarles cuál de los objetivos específicos es más importante, dijeron: ³¡Es una pregunta difícil! Por una parte, la vida humana es sagrada y no puede comprarse con ninguna cantidad de dinero. Por otra parte, si hay dos maneras de ahorrar el mismo número de vidas, obviamente preferiríamos el proyecto que de cómo resultado la menor cantidad de daños a propiedades´.

Proyecto 1. Publicidad para el uso de

Límite superior de gastos para el proyecto (en dólares)

Prevención esperada de Reducción esperada en fallecimientos por cada daños a propiedades por cada 1000 dólares gastados 1.000 dólares gastados

$80 000

0.33

$0

20 000

0.25

20 000

75 000

0.15

30 000

cinturones de seguridad. 2. Investigación para mejorar el diseño de carreteras. 3. Investigación para mejorar el diseño de automóviles.

ECON. JUAN CARLOS ERAZO F 4. Dólares gastados para

INVESTIGACIÓN OPERATIVA TOMO II 100 000

0.27

95

10 000

promover leyes estatales más severas para conductores ebrios

Al preguntarles en forma específica cuál sería la ³compensación´ entre vidas salvadas y daños a propiedades que les sería indiferente, su respuesta fue: ³¡Esta pregunta es aún más difícil! Sin embargo, somos conscientes de que un organismo de gobierno ha establecido, para fines internos de asignación de recursos, un valor monetario implícito de 300.000 dólares por una vida humana que se salve (creemos que otro organismo también usa esta cifra para tomar decisiones acerca de la incorporación de características de seguridad adicionales en su equipo)´. Formule un modelo de programación lineal cuya solución represente una asignación óptima del presupuesto de 110.000 dólares, con base en la información anterior. Asegúrese de definir todas las variables que utilice, para resolver por el método simplex el problema formulado. 29)

Delight Dary Company (DD) produce una amplia gama de productos lácteos. Los productos se han separado en dos categorías principales, con el fin de planificar la producción: helados (varios sabores y tamaños) y especialidades (helado en palito, emparedados de helado, conos de helado, etc.) Cada clase de producto tienen su propio equipo de empaquetado, pero ambas usan una misma máquina de fabricación de helado; también emplean el mismo grupo de trabajadores para producir y empaquetar cada clase de producto. Los helados requieren dos horas de la máquina de fabricación de helados, una hora en su propia línea de empaquetado y tres horas de trabajo para producir 4.000 litros de producto terminado. Las especialidades requieren una hora de la máquina de fabricación de helado, una hora en su propia línea de empaquetado y seis de trabajo para producir el equivalente de 4.000 litros de producto terminado. DD puede vender 4.000 litros de helado en 300 dólares, y 4.000 litros de especialidades en 500 dólares. Los costos de materias primas son aproximadamente iguales para ambas clases de productos. En la actualidad, la compañía tiene un turno de trabajo (40 horas por semana) y emplea tres trabajadores de tiempo completo y un empleado de ¾ de tiempo, para un total de 120 + 30 = 150 horas de trabajo a la semana. Formule un modelo de programación lineal para la planificación de la producción de Delight Dairy y resuelva por el método simplex.

3 0)

Empire Abrasive Company (EAC) produce polvo de óxido de alumno que utiliza en sus afiladoras y en sus abrasivos. Hay dos tipos de producto terminado: polvo fino polvo grueso. Existen además dos tipos de insumos llamados crudo de Surinam y crudo chino (según el país de donde proviene la bauxita de la cual se obtiene el crudo). Por último, hay dos modos de proce samiento, llamados rápido y lento, que pueden aplicarse a cualquiera de los materiales de entrada para producir diversos porcentajes de los prod uctos terminados. La tabla ± describe los porcentajes de c ada producto terminado que se obtienen de las posibles combinaciones de los materiales de entrada y de los modos de procesamiento.




La tonelada de crudo de Surinam cuesta 300 dólares, mientras que la de crudo chino cuesta 350. Una tonelada de procesamiento rápido cuesta 50 dólares, y una de procesamiento lento cuesta 40 dólares. La tonelada de polvo grueso se vende a 500 dólares y la de polvo fino a 325. La



96

planta de EAC puede procesar 1.000 toneladas de crudo por semana. No hay límites en cuanto al volumen de producto terminado que puede venderse. Formule un modelo de programación lineal para este problema que indique cómo puede llegar EAC a la situación más rentable. Nota: EAC puede usar ambos tipos de crudo y ambos tipos de procesos; es decir, puede existir soluciones fraccionarias. 3 1)

La compañía Consolidated ha contratado el envió de sus productos de la fábrica a los almacenes. El volumen de entregas se mide en toneladas ± kilómetro (toneladas de producto multiplicadas por el número de kilómetros hasta el punto de entrega). Consolidated tiene que entregar apro ximadamente 400.000 toneladas-kilómetro por mes. Actualmente, Consolidated paga a Speedie Trucking Company 50 centavos por tonelada ± kilómetro para que entregue el producto, pero quiere comprar una flotilla de camiones para hacerse cargo de todo o de una parte del servicio de entrega. Se consideran tres tipos de camiones: grandes camiones remolque, camiones medianos y camionetas. En la tabla se presentan los detalles de cada tipo. Tipo

Remolque Mediano CAMIONETA

Costo de compra $15.000 8.000 5.000

Costo operativo (toneladakilómetro) $0.28 0.32 0.40

Capacidad (toneladasKilómetro Por mes) 10.000 8.000 5.000

Speedie Trucking ha indicado que seguiría entregando los productos que Consolidated no pueda distribuir con sus camiones, a la misma tarifa de 50 centavos por tonelada kilómetro. En Consolidated hay escasez de fondos de capital para equipo, y sólo se dispone de 380 000 dólares para las compras. Además de la limitación del presupuesto, existen otras restricciones con respecto a los tipos de camiones que se compren. El primer punto es el área de carga disponible. Debido a las limitaciones del espacio de almacenamiento y de las maniobras de carga, no caben más de 28 camiones. Un remolque o un camión mediano ocuparía un espacio; dos camionetas ocuparían un espacio. Además, como consecuencia de los tipos y tamaños de las entregas, por lo menos dos terceras partes de los vehículos que se com pren tendrán que ser remolques o camiones medianos. Formule este problema como un problema de programación lineal. Resuelva por el método simplex. Tenga cuidado en la especificación del objetivo y en la definición de las variables. 32)

Acme Skateboard Company fabrica tres modelos de patinetas: regular, especial y de lujo. En la tabla se muestran los datos de costos, precio de venta y otra información relacionada con cada modelo. Modelo Precio de venta por unidad Costo de materias primas por unidad Horas de trabajo necesarias para el montaje, para el acabado y para el empaquetado por unidad. Límite superior de la demanda para las ventas semanales.

Regular 7 3

Especial 15 6

De lujo 25 10

0.1 1000

0.2 800

0.5 300



97

Acme tiene una fuerza de trabajo de cinco individuos asalariaos que trabajan un máximo de 40 horas por semana y que reciben una paga de 280 dólares por semana (incluyendo prestaciones) aunque no trabajen las 40 horas. Acme desea encontrar el plan óptimo de producción semanal que maximice el beneficio y la contribución al costo fijo de fuerza de trabajo. Formule un modelo de programación lineal que maximice el beneficio más la contribución a los costos fijos de fuerza de trabajo. 33)

Emory Aluminum Company fabrica rollos de papel de aluminio de distintas anchuras. Los clientes pueden pedir rollos de 60,50, 30 o 20 centímetros de ancho. El papel se fabrica con un ancho normal de 135 centímetros y las anc huras menores se cortan del rollo normal.

Anchura 60 centímetros 50 centímetros 30 centímetros 20 centímetros Desperdicio (centímetros)

1

2

15

2 1 1 1 5

3 1 1 2 5

4 1

5 1

Método de corte 6 7 8 9 2 1

2 15

3 15

5

2 1 15

1 2 1 5

1 1 2 15

10

11

12

13

4

2 3 15

6 15

1 4 5

15

Hay varias maneras de cortar las anchuras menores, como se indica en la tabla. Por ejemplo, con el método 3 se cortan del rollo normal un rollo de 60 cm. de ancho, un rollo de 30 cm de ancho y dos rollos de 20 cm. Con este método queda cinco centímetros de desperdicio [135 ± 60 ± 30 ± 2(20) = 5]. Puesto que el método de corte genera ciertos desperdicios, hay algunas combinaciones (que no se indican) que no se pueden cortar. Todos los rollos para corte tienen anchura de 135 centímetros y todos los pedidos son par las medidas que se indican en la tabla. Además, todos los pedidos tienen una longitud determinada (la longitud del rollo). Emory ha recibido los siguientes pedidos para el mes de julio :Ancho 24 centímetros 20 centímetros 12 centímetros 8 centímetros

Rollos pedidos 330 120 480 160

¿Cómo debe cortar Emory sus rollos para satisfacer los pedidos? Formule un modelo de programación lineal para el problema, resuelva por el método simplex. 34)

Un fabricante ha establecido un contrato para producir 2.000 unidades de un producto en los próximos ocho meses. El programa de entregas es el siguiente: Mes

Enero Febrero Marzo Mayo Junio Julio Total

Unidades

100 200 300 Abril

400 100 100 500

Agosto 2.000

300

El fabricante ha estimado que le cuesta un dólar almacenar una unidad de producto durante un mes. La capacidad de su almacén es de 300 unidades.



98

El fabricante puede producir cualquier número de unidades en un mes, ya que se producen principalmente con mano de obra temporal, fácilmente disponible. Sin embargo, existe el costo de la capacitación del nuevo personal y los costos que se relacionan con los despidos de personal. El fabricante estima que cuesta unos 785 centa vos por unidad aumentar el nivel de producción de un mes al siguiente (es decir, si la producción de enero es 200 y aumenta a 300 en febrero, el costo es de 75 dólares para capacitación del personal adicional que se requiere para producir al nivel de 300 unidades). De manera análoga, cuesta 50 centavos por unidad reducir la producción de un mes al siguiente. (Al término de los ocho meses se despedirá a todos los empleados, con los costos correspondientes de la reducción de la producción). Suponga que el nivel de producción antes de enero es cero. a) Formule lo anterior como un problema de programación lineal y resuelva en computadora. b) Suponga que hay un límite de producción de 300 unidades mensuales. Formule el problema de programación lineal con esta restricción adicional y resuelva por el método simplex. 35)

La compañía eléctrica Stateside planifica la construcción de nuevas instalaciones en su área para los próximos 10 años. Es posible construir cuatro tipos de instalaciones de energía eléctrica: plantas de vapor que utilizan carbón para generar energía, plantas hidroeléctricas sin represa, plantas hidroeléctricas con represa, plantas hidroeléctricas con represas pequeñas (capacidad de almacenamiento de agua suficiente para cubrir las fluctuaciones diarias) y plantas hidroeléctricas con grandes represas (suficiente capacidad de almacenamiento de agua para cubrir las fluctuaciones de flujo de agua y las de demanda de energía en la temporada. El consumo de energía eléctrica se basa en tres características. La primera es el consumo anual total; se estima que el área requerirá 4 billones de kilowatts- hora hasta el décimo año. La segunda característica es el consumo máximo de energía, que por lo general ocurre en cualquier día de verano alrededor de las 4 P.M. Todos los planes deben suministrar capacidad máxima suficiente para cubrir la necesidad máxima esperada de 3.000 millones de Kilowatts en el décimo año. La tercera característica es el suministro garantizado de energía, que se mide como el suministro diurno promedio a mediados de invierno, cuando el consumo es alto y los niveles de agua APRA las plantas hidroeléctricas son bajos. El requisito de suministro garantizado hasta el décimo año es de 2.000 millones de kilowatts. Las diversas plantas de energía posibles varían en cuanto a la forma de satisfacer estas características. Por ejemplo, las plantas hidroelécticas con represas pueden proporcionar gran capacidad máxima, mientras que las plantas de vapor y las hidroeléctricas sin represas nos funcionan muy bien en este aspecto. En la tabla se presentan las características de los distintos tipos de plantas. Cada una se mide en función de una unidad de capacidad, la cual se define como la capacidad para producir un billón de kilowatts ± hora por año. Observe que los tipos de plantas varían considerablemente en sus costos de inversión, así como en sus costos operativos (de explotación) anuales. Por ejemplo, el costo del carbón eleva bastante los costos anuales de las plantas de vapor, mientras que los costos operativos anuales de las plantas hidroeléctricas son relativamente menores. La última columna de la tabla muestra los costos totales actualizados, que incluyen tanto el costo de inversión como los costos operativos anuales actuali zados.

Tipo Vapor Hidroeléctrica, sin represa Hidroeléctrica, represa pequeña Hidroeléctrica, represa grande

Suministro garantizado (millones de kilowatts)

Suministro máximo (millones de kilowatts)

Costo de la inversión ( miles de dólares)

Costo total actualizado ( miles de dólares)

0.15 0.10 0.10 0.80

0.20 0.10 0.40 0.90

30 40 60 100

65 42 64 110

La compañía quiere desarrollar un plan de 10 años que detalle la capacidad de cada tipo de planta que debe construir. El objetivo es minimizar el costo total actualizado, pero existe la



99

restricción de que no puede invertir más de 350 millones de dólares en plantas en los próximos diez años. Formule el problema como un modelo de programación lineal y resuelva por el método simplex. 36)

En los modelos de programación lineal, por lo general se supone que la demanda de un producto es algo conocido, cuando en la práctica esta demanda es incierta. Con frecuencia se puede incorporar esta demanda incierta a un modelo de programación lineal. Remítase al problema 22. Considere el producto A, para cuya demanda se supone que existe un límite superior de 10 unidades. Suponga ahora que el límite superior para la demanda del producto A es incierta pero se asigna una probabilidad de 0.4 de que se vendan 10 unidades como máximo, y de 0.6 de que se vendan 20 como máximo. Suponga también que si se producen más de 10 unidades y el límite superior de la demanda resulta ser sólo 10 unidades, se puede vender el excedente a un precio reducido que solo ofrecerá un beneficio de 10 dólares por unidad. Su objetivo es maximizar el beneficio esperado. ¿Cómo modificaría la formulación del problema 22 para lograrlo? Recomendación: Defina una nueva variable como el exceso de producción del producto A, por encima de 10 unidades, y considere los ingresos esperados que se obtendrían de la venta de estas unidades y resuelva por el método simplex.

37)

La compañía de préstamos U-Save planifica sus operaciones para el año entrante. Ofrece cinco tipos de préstamos, descritos a continuación, junto con el rendimiento anual (porcentaje) para la compañía. Los requisitos legales y la política del a compañía imponen los siguientes límites a las cantidades que pueden entregarse en los di stintos tipos de préstamos. Tipo de préstamos Rendimiento anual (porcentaje) Préstamos personales 15 Préstamos para muebles 12 Préstamos para automóviles 9 Segunda hipoteca de casa 10 Primera hipoteca de casa 7 Los préstamos personales no pueden exceder el 10% de la cantidad total de los préstamos. La cantidad de préstamos personal es y para muebles, en conjunto, no debe ser mayor del 20%. Las primeras hipotecas deben constituir por lo menos el 40% de todas las hipotecas y por lo menos el 20% del total de préstamos. Las segundas hipotecas no pueden exceder el 25% del total de préstamos.

38)

La compañía desea maximizar los ingresos de los intereses de los préstamos, sujetándose a las restricciones anteriores. La empresa puede prestar como máximo 1.5 millones de dólares. Formule este problema como uno de programación lineal Resuelva por el método simplex. . La empresa Whitt Window tiene sólo tres empleados que hacen dos tipos de ventanas a mano: con marco de madera y con marco de aluminio. La ganancia es de $60 por cada ventana con marco de madera y de $30 por cada una con marco de aluminio. Doug hace marcos de madera y puede terminar 6 al día. Linda hace 4 marcos de aluminio por día. Bob forma y corta el vidrio y puede hacer 48 pies cuadrados de vidrio por día. Cada ventana con marco de madera usa 6 pies cuadrados de vidrio y cada una de aluminio, 8 pies cuadrados. La compañía desea determinar cuántas ventanas de cada tipo producir al día para maximizar la ganancia total. a) Describa la analogía entre este problema y el de Wyndor Glass Co.Después construya y llene una tabla para este problema, identifique las actividades y los recursos. b) Formule un modelo de programación lineal. c) Use el método gráfico para resolver el modelo. d) Un nuevo competidor en la ciudad también produce ventanas con marco de madera. Esto puede forzar a la compañía a bajar el precio y por ende la ganancia debida a este tipo de



100

ventanas. Cómo cambiaría la solución óptima (si cambia) si la ganancia por ventana de madera disminuye de $60 a $40? ¿Y de $60 a $20? e) Doug piensa reducir sus horas de trabajo, lo cual reduciría el número de ventanas de madera que produce por día. (Cómo cambiaría la solución óptima si hace sólo 5 marcos diarios? 39)

La Apex Televisión Company debe decidir el número de televisores de 27 y 20 in producidos en una de sus fábricas. La investigación de mercado indica ventas de a lo más 40 televisores de 27 in y 10 de 20 in cada mes. El número máximo de horas-hombre disponibles es 500 por mes. Un televisor de 27 in requiere 20 horas-hombre y uno de 20 in, 10. Cada televisor de 27 in produce una ganancia de $120 y cada uno de 20 in produce $80 de ganancia. Un distribuidor está de acuerdo en comprar todos los televisores producidos si el número no excede el máximo indicado por el estudio de mercado. a) Formule un modelo de programación lineal. b) Use el método simplex para resolver el modelo.

4 0)

La compañía Worldlight produce dos dispositivos para lámparas (productos 1 y 2) que requieren partes de metal y componentes eléctricas. La administración desea determinar cuántas unidades de cada producto f abricar para maximizar la ganancia. Por cada unidad del producto 1 se requieren 1 unidad de partes de metal y 2 unidades de componentes eléctricas. Por cada unidad del producto 2 se necesitan 3 unidades de partes de metal y 2 unidades de componentes eléctricas. La compañía tiene 200 unidades de partes de metal y 300 de componentes eléctricas. Cada unidad del producto 1 da una ganancia de $1 y cada unidad del producto 2, hasta 60 unidades, da una ganancia de $2. Cualquier exceso de 60 unidades del producto 2 no tiene ganancia, por lo que fabricar más de 60 está fuera de consideración. a) Formule un modelo de programación lineal. b) Utilice el método simplex para resolver este model o. (Cuál es la ganancia total que resulta?

4 1)

La compañía de seguros Primo está en proceso de introducir dos nuevas líneas de productos: seguro de riesgo especial e hipotecas. La ganancia esperada es $5 por el seguro de riesgo especial y $2 por unidad de hipoteca. La administración desea establecer las cuotas de venta de las nuevas líneas para maximizar la ganancia total esperada. Los requerimientos de trabajo son los siguientes; Departamento

Horas-hombre por unidad Riesgo Hipoteca especial

3 Suscripciones Administración Reclamaciones 2

42)

Horas-hombre disponibles

2 0

2.400 1

0

800 1.200

a) Formule un modelo de programación lineal. b) Use el método simplex para resolver el modelo . Weenies and Buns es una planta procesadora de alimentos que fabrica hotdogs y pan para hotdogs. Muelen su propia harina para el pan a una tasa máxima de 200 libras por semana. Cada pan requiere 0.1 libras. Tienen un contrato con Pigland, Inc., que especifica la entrega de 800 libras de productos de chancho cada lunes. Cada hot-dog requiere 1/4 de libra de producto de chancho. Se cuenta con suficiente cantidad del resto de los ingredientes de ambos productos. Por último, la mano de obra consiste en 5 empleados de tiempo completo (40 horas por semana). Cada hotdog requiere 3 minutos de mano de obra y cada pan de 2 minutos de mano de obra. Cada hotdog proporciona una ganancia de $0.20 y cada pan de $0.10. Weenies and Buns desea saber cuántos hotdogs y cuántos panes deben producir cada semana para lograr la ganancia más alta posible. a) Formule un modelo de programación lineal.



101

b) Use el método simplex para resolver el modelo. 43)

La compañía manufacturera Omega descontinuó la producción de cierta línea de productos no redituable. Esto creó un exceso considerable en la capacidad de producción. La gerencia quiere dedicar esta capacidad a uno o más de tres productos, llamados productos 1, 2 y 3. En la siguiente tabla se resume la capacidad disponible de cada máquina que puede limitar la producción: Tipo de máquina Fresadora Torno Rectificadora

Tiempo disponible (en horas-máquina por semana) 500 350 150

El número de horas-máquina requeridas para cada unidad de los productos respectivos es,

Coeficiente de productividad (en horas máquina por unidad) Tipo de máquina Producto 1 Producto 2 Fresadora 9 3 Torno 5 4 Rectificadora 3 0

Producto 3 5 0 2

El departamento de ventas indica que las ventas potenciales para los productos 1 y 2 exceden la tasa máxima de producción y que las ventas potenciales del producto 3 son 20 unidades por semana. La ganancia unitaria respectiva sería de $50, $20 y $25, para los productos 1, 2 y 3. El objetivo es determinar cuántos productos de cada tipo debe producir la compañía para maximizar la ganancia. 44)

Formule un modelo de programación lineal y resuélvalo por el método simplex. Hoy es su día de suerte, Acaba de ganar un premio de $10.000. Dedicará $4.000 a impuestos y diversiones, pero ha decidido invertir los otros $6.000. Al oír las nuevas, dos amigos le han ofrecido una oportunidad de convenirse en socio en dos empresas distintas, cada una planeada por uno de ellos. En ambos casos, la inversión incluye dedicar parte de su tiempo elsiguiente verano y dinero en efectivo. Para ser un socio completo en el caso del primer amigo debe invertir $5 000 y 400 horas, y su ganancia estimada (sin tomar en cuenta el valor del dinero en el tiempo) sería $4.500. Las cifras correspondientes para el segundo caso son $4 000 y 500 horas, con una ganancia estimada de $4 500. Sin embargo, ambos amigos son flexibles y le permitirían participar con cualquier fracción de participación que quiera. Si elige una participación parcial, todas las cifras dadas para la sociedad completa (inversión de dinero y tiempo, y la ganancia) se pueden multiplicar por esta fracción. Como de todas formas usted busca un trabajo de verano interesante (máximo 600 horas), ha decidido participar en una o ambas empresas en alguna combinación que maximice su ganancia total estimada. Usted debe resolver el probl ema de encontrar la mejor combinación. a) Formule un modelo de programación lineal. b) Use el método simplex para resolver el modelo, ¿cuál es su ganancia total estimada?

45)

Carne con papas es el plato favorito de Ralph Edmund. Por eso decidió hacer una dieta continua de sólo estos dos alimentos (más algunos líquidos y suplementos de vitaminas) en todas sus comidas. Ralph sabe que no es la dieta más sana y qu iere asegurarse de que toma las cantidades adecuadas de los dos alimentos para satisfacer los requerimientos nutricionales. Cuenta con la siguiente información nutricional y de costo:


Ingrediente Carbohidratos Proteínas Grasa Costo/porción


102

Requerimiento diario (gramos)

Granos de ingredientes por porción Res Papas 5 15 20 5 15 2 $4 $2

50 40 60

Ralph quiere determinar el número de porciones diarias (pueden ser fraccionales) de res y papas que cumplirían con estos requerimientos a un costo mínimo. a) Formule un modelo de programación lineal. b) Use el método simplex para resolver el modelo. 46)

Dwight es un maestro de primaria que también cría chanchos para tener ingresos adicionales. Intenta decidir qué alimento darles. Piensa que debe usar una combinaciónde los alimentos que venden los proveedores locales. Desea que tenga un costo mínimo al mismo tiempo que cada chancho reciba una cantidad adecuada de calorías y vitaminas. El costo y los contenidos de cada alimento se muestran en la tabla.

Contenido Calorías (por libra) Vitaminas (por libra) Costo (por libra)

Alimento tipo A 800 140 unidades $0.40

Alimento tipo B 1.000 70 unidades $0.80

Cada chancho requiere al menos 8 000 calorías por día y 700 unidades de vitaminas. Una restricción más es que el alimento tipo A no sea más de un tercio de la dieta (por peso), pues contiene un ingrediente tóxico si se consume en demasía. a) Formule un modelo de programación lineal. b) Use el método simplex para resolver el modelo. ¿Cuál es el costo diario por chancho que resulta? 47)

Web Mercantile vende muchos productos para el hogar mediante un catálogo en línea. La compañía necesita un gran espacio de almacén para los productos. Ahora planea rentar espacio para los siguientes 5 me ses. Se sabe cuánto espacio necesitará cada mes; pero como varía mucho, puede ser más económico rentar sólo la cantidad necesaria cada mes con contratos mensuales. Por otro lado, el costo adicional de rentar espacio para meses adicionales es menor que para el primero, y puede ser menos costoso rentar el espacio máximo los 5 meses. Otra opción es el enfoque intermedio de cambiar la cantidad total de espacio rentado (con un nuevo contrato y/o la terminación del anterior) al menos una vez pero no cada m es. El espacio requerido y los costos para l os periodos de arrendamiento son los siguientes: Mes 1 2 3 4 5

Espacio requerido (ft 2) 30000 20000 40000 10000 50000

Período de arrendamiento (meses) 1 2 3 4 5

Costo por ft 2 arrendado $ 65 $100 $135 $160 $190

El objetivo es minimizar el costo total de arrendamiento para cumplir con los requerimientos. a) Formule un modelo de programación lineal. b) Resuelva este modelo por el método simplex



103

La Medequip Company produce equipos de precisión de diagnóstico médico en dos fábricas. Se han recibido pedidos de tres centros médicos para la producción de este mes. La tabla a la derecha muestra el costo unitario de envío desde cad a fábrica a cada centro. Además, muestra el número de unidades que se producirán en cada fábrica y el número de unidades ordenadas por cada cliente. A De Fabrica 1 Fabrica 2 Orden

Costo unitario de envío Cliente 1 Cliente 2 Cliente 3 $600 $800 $700 $400 $900 $900 300 unid 200 unid 400 unid

Producción 400 unid 500 unid

Ahora debe toman la decisión sobre el plan de cuántas unidades enviar de cada fábrica a cada cliente. a) Formule un modelo de programación lineal. b) Resuelva el modelo por el método simplex. 49)

Fagersta Steelwonks explota dos minas para obtener mineral de hierro. Este mineral de hierro se envía a una de dos instalaciones de almacenamiento. Cuando se necesita se manda a la planta de acero de la compañía. El siguiente diagrama describe la red de di stribución, donde Ml y M2 son las dos minas, Si y S2, los dos almacenes y P es la planta de acero. También muestra las cantidades producidas en las minas y las necesarias en la planta, al igual que el costo de envío y la cantidad máxima que se puede enviar al mes por cada vía. La administración desea determinar el plan más económico de envío del mineral de las minas a l a planta. a) Formule un modelo de programación lineal. b) Resuelva este modelo por el método simplex.

5 0)

Metalco Company desea hacer una nueva aleación con 40% de aluminio, 35% de zinc y 25% de plomo a partir de varias aleaciones di sponibles que tienen las siguientes propiedades: Propiedad Porcentaje de aluminio Porcentaje de zinc Porcentaje de plomo Costo ($ / libra)

1

60 10 30 22

2 25 15 60 20

Aleación 3 45 45 10 25

4 20 50 30 24

5 50 40 10 27

El objetivo es determinar las proporciones de estas aleaciones que deben mezclarse para producir la nueva aleación a un costo mínimo.



104

Formule un modelo de programación lineal y resuelva por el método simplex 5 1)

La Weigelt Corporation tienes tres plantas con exceso en su capacidad de producción. Por fortuna, la corporación tiene un nuevo producto listo para iniciar su producción y las tres plantas pueden fabricarlo, así que se podrá usar parte del exceso de este modo. El producto puede hacerse en tres tamaños: grande, mediano y chico; y darán una ganancia neta de $420, $360 y $300, respectivamente. Las plantas 1, 2 y 3 tienen capacidad de mano de obra y equipo para producir 750,900 y 450 unidades diarias de este producto, respectivamente, sin importar el tamaño o la combinación de tamaños de que se trate. La cantidad de espacio disponible para almacenar material en proceso impone también limitaciones en las tasas de producción del nuevo producto. Las plantas 1, 2 y 3 tienen 13000, 12000 y 5000 pies cuadrados de espacio respectivo, para material en proceso de la producción diaria. Cada unidad grande, mediana y chica que se produce requiere 20, 15 y 12 pies cuadrados, respectivamente. Los pronósticos de venta indican que, si están disponibles, se pueden vender 900, 1200 y 750 unidades diarias de los tamaños respectivos grande, mediano y chico. Será necesario despedir algunos empleados en cada planta a menos que la mayor parte de esta capacidad en exceso se pueda usar con el nuevo producto. Para evitar despidos en lo posible, la gerencia ha decidido que las plantas deben usar el mismo porcentaje de su capacidad adicional con este nuevo producto. El gerente desea saber cuántas unidades de cada tamaño producir en cada planta para maximizar la ganancia. a) Formule un modelo de programación lineal. b) Resuelva este modelo por el método simplex.

52)

Confortable Hands es una compañía que produce una línea de guantes de invierno para toda la familia: caballeros, damas y niños. Desean decidir qué mezcla de estos tres tipos de guantes fabricar. La fuerza de trabajo es sindicalizada. Cada empleado de tiempo completo trabaja 40 horas por semana. Por contrato, el número de empleados de tiempo completo no puede ser menor que 20. Se puede contratar trabajadores no sindicalizados con las siguientes restricciones; 1) cada uno trabaja 20 horas por semana y 2) debe haber al menos 2 de tiempo completo por cada uno de medio tiempo. Los tres tipos de guantes están hechos con el mismo porcentaje de piel de vaca. La compañía tiene un contrato a largo plazo con el proveedor de piel y recibe 5000 ft2 de material por semana. Los requerimientos de material y mano de obra, y la ganancia bruta por guante vendido(sin considerar costo de mano de obra) son: Guante Caballero Dama Niño

Material req. (ft 2) 2 1.5 1

Mano de obra req.(min) 30 45 40

Ganancia bruta (por parte) $8 $10 $6

Cada empleado de tiempo completo gana $13 por hora y cada uno de medio tiempo, $10 por hora. La gerencia desea saber qué mezcla de los tres tipos de guantes producir por semana, lo mismo que cuántos empleados de cada tipo contratar. Desea maximizar su ganancia neta, o sea, la ganancia bruta menos costo de mano de obra. a) Formule un modelo de programación lineal. b) Resuelva el modelo por el método simplex.



105

Slim Down fabrica una línea de bebidas nutritivas para reducción de peso. Uno de sus productos es una malteada de fresa diseñada como una comida completa. La malteada contiene varios ingredientes. En la tabla seda parte de la información de estos ingredientes. Calorías de Ingrediente grasa (cuch) Sabor fresa 1 Crema 75 Suplemento 0 Vitaminas Endulzante 0 artificial Agente p/espesar 30

Calorías totales (cuch) 50 100 0

Vitaminas s(mg/cuch) 20 0 50

Harinas (mg/cuch) 3 8 1

Costo ($/cuch) 10 8 25

120

0

2

15

80

2

25

6

Los requerimientos nutritivos son los siguientes. La bebida debe tener un total de 380 a 420 calorías (inclusive). No más de 20% de las calorías totales debe venir de grasas. Debe tener al menos 50 mg de contenido vitamínico. Para el sabor, debe haber al menos 2 cucharadas (cuch.) de saborizante de fresa por cada cucharada de endulzante artificial. Por último, para que esté espeso, debe haber justo 15 mg de harinas en la bebi da. La gerencia desea seleccionar la cantidad de cada ingrediente para la bebida que minimice el costo al tiempo que cumpla con los requerimientos anteriores. a) Formule un modelo de programación lineal. b) Resuelva el modelo por el método simplex. 54)

Joyce y Marvin tienen una guardería. Ellos intentan decidir qué dar a los niños de almuerzo. Desean mantener sus costos bajos, pero también deben cumplir con los requerimientos nutritivos para niños. Ya decidieron darles sándwiches de mantequilla de maní y mermelada y alguna combinación de galletas, leche y jugo de naranja. El contenido nutritivo de cada alimento y su costo se da en la siguiente tabla. Alimento Pan (1 reb) Mantequilla maní (l cuch.) Mermelada (l cuch.) Galleta (l pz.) Leche (l taza) Jugo (l taza)

Calorías de grasa 10 de 75

Calorías totales 70 100

Vit. C (mg) 0 0

Prot. (g) 3 4

Costo ($) 5 4

0

50

3

0

7

20 70 0

60 150 100

0 2 120

1 8 1

8 15 35

Los requerimientos nutritivos son los siguientes. Cada niño debe recibir de 400 a 600 calorías. No más de 30% de las calorías totales deben venir de grasas. Cada niño debe consumir al menos 60 mg de vitamina C y 12 g de proteína. Todavía más, por razones prácticas, cada niño necesita justo 2 rebanadas de pan (para un sándwich), al menos el doble de mantequilla de maní que de mermelada y al menos una tasa de líquido (leche y/o jugo de naranja). Joyce y Marvin desean seleccionar las opciones de alimento para cada niño que minimice el costo mientras cumple con los requerimi entos establecidos. a) Formule un modelo de programación lineal. b) Resuelva el modelo por el método simplex. 55)

Se tienen los siguientes datos para un problema de programación lineal cuyo objetivo es maximizar la ganancia de asignar t res recursos a dos actividades no negativas.

ECON. JUAN CARLOS ERAZO F Recurso

INVESTIGACIÓN OPERATIVA TOMO II Uso de recursos por unidad de cada actividad Actividad 1 Actividad 2

1 2 3 Contribución por unidad

2 3 2 $20

106

Cantidad de recursos disponible

1 3 4 $30

10 20 20

Contribución por unidad = ganancia por unidad de cada actividad. a) Formule un modelo de programación lineal. b) Use el método simplex para resolver este modelo. 56)

Ed Butler es el gerente de producción de Bilco Corporation, que produce tres tipos de refacciones para automóviles. La manufactura de cada parte requiere procesamiento en dos máquinas, con los siguientes tiempos de procesado (en horas): Máquina 1 2

A 0.02 0.05

Refacción B 0.03 0.02

C 0.05 0.04

Cada máquina está disponible 40 horas al mes. La ganancia unitaria de cada parte fabricada está dada por:

Ganancia

A $50

Refacción B $40

C $30

Ed quiere determinar la mezcla de refacciones que debe producir para maximizar la ganancia total. 57)

Formule un modelo de programación lineal y resuelva por el método simplex. Usted cuenta con los siguientes datos para un problema de programación lineal cuyo objetivo es minimizar el costo de realizar dos actividades no negativas para lograr tres beneficios que no bajan de sus niveles mínimos. Beneficio 1 2 3 Costo unitario

Contribución al beneficio por unidad de actividad Actividad 1 Actividad 2 5 3 2 2 7 9 $60 $50

Nivel mínimo aceptable 60 30 126

a) Formule un modelo de programación lineal. b) Utilice el método simplex para resolver este model o. 58)

Fred Jonasson administra la granja de su familia. Para complementar varios alimentos que se cultivan en la granja, Fred también cría cerdos para venta y desea determinar las cantidades de los distintos tipos de alimento disponibles (maíz, grasas y alfalfa) que debe dar a cada cerdo. Como los cerdos se comerán cualquier mezcla de estos tipos de alimento, el objetivo es determinar qué mezcla cumple ciertos requisitos nutritivos a un costo mínimo. En la siguiente tabla se dan las unidades de cada tipo de ingrediente nutritivo básico contenido en 1 kilogramo de cada tipo de alimento, junto con los requisitos de nutrición diarios y los costos de los alimentos:

ECON. JUAN CARLOS ERAZO F Ingrediente nutritivo Carbohidratos Proteínas Vitaminas Costo ($)

Kilogramo de maíz 90 30 10 84

INVESTIGACIÓN OPERATIVA TOMO II Kilogramo de grasas 20 80 20 72

Kilogramo de alfalfa 40 60 60 60

107

Req. Mínimo diario 200 180 150

a) Formule el modelo de programación lineal. b) Resuelva por el método simplex. 59)

Maureen Laird es gerente de inversiones de Alva Electric Co., empresa importante en el medio oeste. La compañía ha programado la construcción de nuevas plantas hidroeléctricas a 5, 10 y 20 años para cumplir con las necesidades de la creciente población en la región que sirve. Maureen debe invertir parte del dinero de la compañía para cubrir sus necesidades de efectivo futuras. Puede comprar sólo tres tipos de acciones, cada una cuesta $1 millón por unidad. Se pueden comprar unidades fraccionarias. Las acciones producen ingresos a 5, lO y 20 años, y el ingreso se necesita para cubrir requerimientos mínimos de flujos de efectivo en esos años. (Cualquier ingreso arriba del mínimo requerido para cada periodo se usará para incrementar el pago de dividendos a los accionistas en lugar de ahorrarlo para ayudar a cumplir con los requerimientos mínimos de efectivo el siguiente periodo.) La siguiente tabla muestra la cantidad de ingreso generada por cada unidad de acciones y la cantidad mínima de ingreso requerida para cada periodo futuro en que se construirá una nueva planta. Años 5 10 20

Ingresos por acción(en millones) Acción 1 Acción 2 Acción 3 $2 $1 $0.5 $0.5 $0.5 $1 $0 $1.5 $2

Flujo de efectivo mínimo requerido $400 $100 $300

Maureen desea determinar la mezcla de inversiones en estas acciones que cubrirá los requerimientos de efectivo y que mi nimizará la cantidad total invertida. a) Formule un modelo de programación lineal. b) Resuelva por el método simplex. 6 0)

Una fábrica elabora dos clases de cerveza Pílsener y Club, para lo cual dispone de ingrediente para llenar por lo menos 30 botellas combinadas. Toma 1 hora llenar 20 botellas de la cerveza Pílsener y 2 horas llenar 25 botellas de cerveza Club, se dispone a lo mucho de 2 horas. La demanda de la cerveza Pílsener se estima en el mercado un total de 22 botellas y a lo mucho 10 botellas de la cerveza Club. Cada botella de Pílsener deja una utilidad de 10 centavos y 15 centavos cada botella de la cerveza Club. ¿Cuántas botellas de cada cerveza se deben llenar para alcanzar la máxima ganancia?

6 1)

Una fábrica elabora dos clases de champú A y B, para lo cual dispone de ingrediente para llenar a lo mucho 80 botellas combinadas de A y B. Toma 1 hora llenar 10 botellas de A y 4 horas llenar 10 botellas de B, se dispone cuando mucho de 20 horas, la demanda de A se estima a lo más en 70 botellas. La fábrica está en c apacidad de llenar cuando mucho 90 botellas de A o 60 botellas de B. Cada botella de A le deja una utilidad de 80 centavos y 90 centavos la de B. ¿Cuántas botellas de A y B se deben llenar para que la fábrica obtenga Los mayores benef icios?

62)

Una empresa planea una campaña de publicidad para un nuevo producto. Se establecen como metas el que la publicidad llegue por lo menos a 320 mil individuos audiencia A, de los cuales al menos 120 mil tengan un ingreso mínimo anual de 5.000 dólares, y al menos 80 mil sean solteros. Se desea utilizar únicamente la radio y la televisión como medios de publicidad. Un anuncio de televisión cuesta 10 mil dólares y se estima que llegue a un promedio de 40 mil individuos audiencia A, de los cuales un 25% tienen ingresos superiores a 5.000 dólares anuales y un 20% son solteros. Un anuncio por radio FM cuesta 6 mil dólares y llega a un auditorio promedio de 10 mil oyentes clase A, de los cuales el 80% tienen ingresos superiores a los 5.000 dólares anuales y 4 mil son solteros. Hallar el número de anuncios por cada medio para minimizar el costo.



108

63)

Control de contaminación.- A causa de reglamentaciones federales nuevas sobre la contaminación, una compañía química ha introducido en sus plantas un nuevo y más caro proceso para complementar o reemplazar un proceso anterior en la producción de un químico en particular. El proceso anterior descarga 15 gramos de dióxido de azufre y 40 gramos de partículas a la atmósfera por cada litro de químico producido. El nuevo proceso descarga 5 gramos de dióxido de azufre y 20 gramos de partículas a la atmósfera por cada litro producido. La compañía obtiene una utilidad de 30 y 20 centavos por litro en los procesos anterior y nuevo, respectivamente. Si el gobierno permite a la planta descargar no más de 10.500 gramos de dióxido de azufre y no más de 30.000 gramos de partículas a la atmósfera cada día, ¿cuántos litros de químico deben ser producidos diariamente, por cada uno de los procesos, para maximizar la utilidad diaria? ¿Cuál es la utilidad diaria?.

64)

Producción. Una compañía fabrica tres tipos de muebles para patio; sillas, mecedoras y tumbonas. Cada uno requiere madera, plástico y aluminio como se indica en la tabla siguiente. La compañía tiene disponibles 400 unidades de madera, 5000 unidades de plástico y 1450unidades de aluminio. Cada silla, mecedora y tumbona se venden en $7,58 y $12 respectivamente. Suponiendo que todos los muebles pueden ser vendidos, determine el plan de producción de modo que el ingreso total sea maximizado. ¿Cuál es el ingreso máximo?. Resuelva por el método simplex. Silla Mecedora Tumbona

65)





Producción. Una compañía fabrica tres productos: X Y, Z. Cada producto requiere el uso de tiempo de máquina en las máquinas A y B como se da en la tabla siguiente. El número de hora por semana que A y B están disponibles para la producción son 40 y 30, respectivamente. La utilidad por unidad de X, Y y Z es $50, $60 y $75, respectivamente. Las siguiente semana deben producir al menos cinco para ese período d Z. ¿Cuál deber ser el plan de producción para ese período si la utilidad máxima es alcanzada? ¿Cuál es la utilidad máxima?. Resuelva en computadora.

Producto X Producto Y Producto Z 67)


Producción. Una compañía fabrica tres tipos de muebles para patio: sillas, mecedoras y tumbonas. Cada uno requiere madera, plástico yaluminio como se indica en la tabla que sigue. La compañía tiene disponibles 400 unidades de madera, 600 de plástico y 1500 de aluminio. Cada silla, mecedora y tumbona se vende en $6, $ 8 y $12, respectivamente. Suponiendo que todos los muebles pueden ser vendidos.¿cuál es el ingreso máximo total que puede ser obtenido?. Determine las posibles órdenes de producción que generará ese ingreso. Resuelva por el método simples.

Silla Mecedora Tumbona 66)




Inversiones. El folleto informativo de un fondo de inversiones establece que todo el dinero es invertido en bonos que están cosiderados como A, AA y AAA; no mas del 30% de la inversión total está en bonos A y AA, y al menos el 50% está en bonos AA y AAA. Los bonos A, AA y AAA respectivamente obtiene un 8,7 y 6% anual. Determine los porcentajes de la inversión total que serán comprometidos a cada tipo de bono de modo que el fondo maximice el rendimiento anual. ¿Cuál es ese rendimiento?. Resuelva por el método simplex.



109

68)

Control de emisiones. Una planta de cemento produce 3.300.000 barriles de cemento por año. Los hornos emiten 2 libras de polvo por cada barril producido. La planta debe reducir sus emisiones a no más de 1000000, A y B libras anuales. Hay dos dispositivos de control disponibles A y B. El dispositivo A reducirá las emisiones a ½ libra por barril y el costo es de $0.22 por barril de cemento producido. Para el dispositivo B, las emisiones son reducidas a ¼ de libra por barril y el costo es de $0.40 por barril de c cemento producido. Determine el plan de acción más económico que la planta debe tomar de modo que mantenga su producción anual de exactamente 3.300.000 barriles de cemento. Resuelva por el método simplex.

69)

Costo de Transporte, Un comerciante tiene tiendas en Exton y Whyton, y almacenes A y B en otras dos ciudades. Cada tienda requiere de exactamente 30 refrigeradores. En el almacén A hay 50 refrigeradores y en el B hay 20. Los medios de transporte para enviar los refrigeradores desde los almacenes a las tiendas están dados en la siguiente tabla. Por ejemplo, el costo de enviar un refrigerador desde A hasta la tienda de Exton es de $ 15. ¿Cómo debe solicitar los refrigeradores el comerciante de modo que los requerimientos se satisfagan y el costo total de transporte se minimice? ¿Cuál es el costo mínimo de transporte?. Resuelva por el método simplex. Almacén A Almacén B

Exton $ 15 $ 11

Whyton $ 13 $ 12

7 0)

Compra de Baterías, Un fabricante de automóviles compra baterías de dos proveedores, X y Y. El fabricante tiene dos planta A y B, y requiere exactamente de 6000 baterías de la planta A y de exactamente 400 a la planta B. El proveedor X carga $30 y 4 32 por batería (incluyendo costos de transporte) a A y B, respectivamente. Para estos precios, X requiere que el fabricante de automóviles ordene al menos un total de 2000 baterías. Sin embargo, X no puede proveer más de 4000 baterías. El proveedor Y carga $34 y $ 28 por batería a A y a B, respectivamente, y requiere una orden mínima de 6000 baterías. Determine como debe hacer los pedidos de baterías el fabricante de automóviles a fin de que su costo total sea mínimo. ¿Cuál es el costo mínimo?. Resuelva por el método simplex.

7 1)

Producción de papel para envoltura, una compañía de papel almacena su papel para envoltura en rollos de 48 pulgadas de ancho más pequeños dependiendo de los pedidos de los clientes. Suponga que se recibe un pedido de 50 rollos de papel de 15 pulgadas de anchoy de 60 rollos de 10 pulgadas de ancho. De un rollo de almacenamiento la compañía puede cortar tres rollos de 15 pulgadas de ancho y un rollo de 3 pulgadas de ancho. Como el rollo de 3 pulgadas de ancho no puede ser utilizado en esta orden, es llamado el recorte desperdiciado de este rollo. Del mismo modo, de un rollo de almacenamiento, se puede cortar dos rollos de 15 pulgadas de ancho, un rollo de 10 pulgadas de ancho, y otro de 8 pulgadas de ancho. La siguiente tabla indica el número de rollo de 15 y 10 pulgadas, junto con el desperdicio, que pueden cortarse de un rollo de almacenamiento. (a) Complete las últimas dos columnas de la tabla. (b) Supongamos que la compañía tienen suficientes rollos de almacenamiento para cubrir la orden y que al menos 50 rollos de 15 pulgadas y al menos 60 rollos de 10 pulgadas de ancho de papel para envoltura serán cortados. Si x1, x2, x3, x4 , son los números de rollos de almacenamiento que son cortados en una de las formas descritas en las columnas de la 1 a la 4 de la tabla, respectivamente, determine los valores de las x de tal forma que el desperdicio total sea minimizado. (c) ¿Cuál es la mínima cantidad de desperdicio total?. Resuelva por el método simplex. Ancho de rollo Desperdicio

72)

15 pulgadas 10 pulgadas

3 0 3

2 1 8

1 -

-

Costo de mano de obra Una compañía paga a sus trabajadores calificados y semicalificados en su departamento de ensamblado $14 y $ 8 por hora, respectivamente. En el departamento de embarques, a los empleados se les paga $ 9 por hora y a los aprendices $ 6 por hora. La compañía requiere al menos de 90 trabajadores en el departamento de ensamblado y 60 empleados en el departamento de embarques. Debido a acuerdos sindicales, deben emplearse al menos el doble de trabajadores semicalificados que de calificados. También, deben contratarse al menos el doble de los empleados de embarques que de aprendices. Utilice el dual y el método simples para determinar el número de trabajadores de cada tipo que la compañía debe emplear,



110

de modo que el total de salarios por hora sea mínimo. ¿Cuál es el costo mínimo en salarios por hora?. Resuelva por el método simplex. 73)

Transportación de Petróleo, Una compañía petrolera tiene instalaciones de almacenamiento para combustible de calefacción en las ciudades A, B, C y D. Las ciudades C y D necesitan cada una exactamente 500.000 galones de combustible. La compañía determina que A y B puede proveer cada una un máximo de 600.000 galones para satisfacer las necesidades de C y D. La tabla que se muestra a continuación proporciona los costos por galón para transportar el combustible entre las ciudades. ¿Cómo debe distribuirse el combustible para minimizar el costo total del transporte?, ¿Cuál es el costo mínimo de transporte?. Resuelva por el método simplex. Desde A B

74)

Hacia C $ 0.01 $ 0.02

D $ 0.02 $ 0.04

Terapias con fármacos y radiacion Frecuentemente existen formas alternativas de tratamiento disponibles para pacientes a los que se les diagnostica una enfermedad particular compleja. Con cada tratamiento puede haber no sólo efectos positivos en el paciente sino también efectos negativos, tales como toxicidad o malestar. Un médico debe tomar la mejor elección de estos tratamientos o combinación de tratamientos. Esta elección dependerá no sólo de los efectos curativos sino también de los ef ectos tóxicos y malestar. Suponga que usted es un médico con un paciente de cáncer bajo su cuidado y dos posibles tratamientos disponibles: administración de medicamentos y terapia de radiación. Supongamos que la eficacia de los tratamientos está expresada en unidades comunes, digamos, unidade s curativas. La medicina contiene 1000 unidades curativas por onza y la radiación proporciona 1000 unidades curativas por minuto. Sus análisis indican que el paciente debe recibir al menos 3000 unidades curativas. Sin embargo, un grado de toxicidad está implícito en cada tratamiento. Suponga que los efectos tóxicos de cada tratamiento están medidos en una unidad común de toxicidad, digamos, una unidad tóxica. La medicina contiene 400 unidades tóxicas por onzas y la radiación produce 1000 unidades tóxicas por minuto. Con base en sus estudios, usted cree que el paciente no debe recibir más de 2000 unidades tó xicas. Además, cada tratamiento implica un grado de malestar al paciente. La medicina provoca tres veces más malestar por onza que la radiación por minuto. La tabla resume la información. El problema que se le plantea es determinar las dosis de la medicina y radiación que pueden satisfacer los requerimientos curativos y de toxicidad y, al mismo tiempo, minimizar el malestar al paciente.

Medicina (por onza) Radiación (por minuto) Requerimiento 75)

Unidades tóxicas

Malestar relativo

Unidades curativas 1000

400

3

1000

1000

1

 3000

 2000

Una compañía enlatadora ha formulado un modelo de programación lineal como auxiliar para la planificación del proceso enlatado de cosecha de melocotones (duraznos), Hay dos productos (mitades y rebanadas de melocotón) y dos categorías, (A y B). Las mitades se obtienen de melocotones de categoría A y las rebanadas se pueden obtener de una mezcla de melocotones de categoría A y las rebanadas se pueden obtener de una mezcla de melocotones de categoría A y B. Las variables de decisión son:

ECON. JUAN CARLOS ERAZO F X1 = X2 = X3 =


111

Número de kilogramos de melocotones de categoría A que se usan en las mitades. Número de kilogramos de melocotones de categoría A que se usan en las rebanadas. Número de kilogramos de melocotones de categoría B que se usan en las rebanadas.

Todas las unidades se expresan en miles de kilogramos. El objetivo es maximizar la contribución al beneficio del enlatado de la cosecha de melocotones. El problema de programación lineal se ha f ormulado como sigue: Z(MAX) = 0.15X1 + 0.12X2 + 0.12X3 Sujeto a: e 180 Demanda de mitades: X1 Demanda de rebanadas: X2 + X3 e 125 e 225 Categoría A disponible: X1 + X2 Categoría B disponible: X3 e 75 Mezcla de categorías para -4X 2 + X3 e 0 rebanadas: X1 u 0 X2 u 0 X3 u 0 a) Calcule la tabla simplex. b) ¿Existen soluciones óptimas alternativas? ¿Cómo lo sabe? 76)

Remítase al problema 76. Responda a cada una de l as siguientes preguntas. a) ¿Cuál es el precio máximo que estaría dispuesta a pagar la enlatadora por melocotones adicionales de categoría A? ¿Cuánto compraría a ese precio? b) ¿Cuál es el valor marginal de los melocotones adicionales de categoría B? ¿En qué intervalo es válido este valor marginal? c) El gerente de mercadotecnia de la enlatadora ha modificado la demanda estimada de las mitades, de 180.000 a 200.000 kilogramos. ¿Afectará este cambio de solución del problema de enlatado? ¿Cuál será el incremento de beneficio asociado por el cambio? d) Suponga que el gerente de mercadotecnia ha modificado su estimación de la demanda de las rebanadas, de 125.000 a 145.000 kilogramos. ¿Afectaría a la solución del problema de enlatado? ¿Cuál será el incremento de beneficio asociado por el cambio? e) ¿Cuánto tendría que variar el precio de las mitades de melocotón para que cambiara la solución óptima? f) La enlatadora considera un nuevo producto, rebanadas de lujo, con contribución de 0.14 dólares por kilogramo. un kilogramo de rebanadas de lujo está compuesto por medio kilogramo de melocotones de categoría A y medio kilogramo de categoría B. ¿Debe fabricarse este producto?

77)

La compañía ABC tiene la opción de fabricar dos productos durante los períodos de poca actividad. La producción de la próxima semana se ha programado de manera que la máquina fresadora este libre durante 10 horas y la fuerza de trabajo calificada tenga ocho horas disponibles. El producto A requiere cuatro horas de tiempo de máquinas dos horas de trabajo por unidad. El producto B requiere dos horas de tiempo de máquina y dos horas de trabajo. El producto A contribuye con cinco dólares por unidad a los beneficios y el producto B aporta tres dólares por unidad (sin incluir el c osto de tiempo de máquina o de m ano de obra). Use el método simplex para encontrar las cantidades de los productos A y B que deben producirse.

78)

El departamento de publicidad de una empresa quiere planificar su estrategia publicitaria para llegar a ciertos porcentajes mínimos de los grupos de altos y bajos ingresos. Se consideran dos alternativas: televisión y revistas. La publicidad en revistas tiene un factor de exposición del 2% por página para el grupo de altos ingresos, pero sólo del 1% para el grupo de ingresos bajos. La



112

televisión, por otra parte, ti ene un factor de exposición del 3% por programa para el grupo de ingresos bajos y el 1% para el de ingresos altos. La publicidad en revistas cuesta 1.000 dólares por página; la televisión, 4.000 dólares por programa. Si la empresa quiere una exposición mínima del 50% del grupo de ingresos altos y del 30% del grupo de ingresos bajos, ¿qué estrategia debe usar para minimizar el costo de la publicidad? N ota: Si una persona ve dos veces un programa o lee dos veces un anuncio, se considera que hay doble exposición; por lo tanto, es posible obtener una exposición mayor del 100%. Formule el caso anterior como un problema de programación lineal y obtenga la solución con el método simplex. 79)

La compañía de madera contrachapada Ajax revisa el programa de producción para el próximo mes. Ajax produce tres tipos de tableros de madera contrachapada. Los tableros A y B se pueden producir en dos formas, las cuales requieren distintas cantidades de pino, abeto y picea. Las cantidades disponibles de estas madera s son limitadas para secar el recubrimiento de los tableros. Existe una limitación de 10.000 tableros como capacidad máxima del aserradero Ajax. Estos requisitos se presentan en la tabla. Requisitos

Producto Variable A-1 X1 A-2 X2 B-1 X3 B-2 X4 C X5 Total disponible (miles) (000)

Pino (unidades) 2 0 2 1 1

Abeto (unidades) 0 2 1 2 1

Picea (unidades) 1 1 0 0 1

Tiempo de secado (minutos) 5 7 4 5 6

12

15

6

60

Contribución Capacidad al beneficio global (dólares por (cada uno) unidad) 1 1,00 1 1,00 1 1,20 1 1,20 1 0,80 10

Ajax quiere maximizar la contribución total al beneficio. Se añaden las siguientes variables de holgura:

8 0)

S 1 =

Pino no utilizado (miles de unidades)

S 2 =

Abeto no utilizado (miles de unidades)

S 3 =

Picea no utilizada (miles de unidades)

S 4 =

Tiempo de secado no utilizado (miles de minutos)

S 5 =

Capacidad total no utilizada (miles de tableros)

Remítase al problema 80. Responda las siguientes preguntas en forma independiente. a) ¿Cuál es el valor marginal (precio dual) de una unidad adicional de pino? ¿En qué intervalo es válido este valor marginal? b) ¿Cuál es el valor marginal de una unidad de abeto adicional? ¿En qué intervalo es válido este valor marginal? c) ¿Cuál es el valor marginal de una unidad adicional de picea? ¿En qué intervalo es válido este valor marginal? d) Suponga que la empresa quiere agregar tiempo de secado? ¿Sería rentable? ¿Cuál es el valor marginal de un minuto adicional de tiempo de secado? ¿En qué intervalo es válido este valor? e) ¿Cuál es el valor marginal de una unidad adicional de capacidad global? ¿En qué intervalo es válido este valor? f) ¿Cuánto tendría que aumentar la contribución de un tablero tipo C para que Ajax considerara su producción? g) Considere el producto B-1 (variable X 3 ). ¿Cuáles son los límites del aumento y de la reducción del beneficio por unidad antes de que cambie l a solución?



113

h) Suponga que se considera un nuevo tipo de tablero, D, que requiere una unidad de pino y 10 minutos de secado. Su contribución al beneficio es de 1.10 dólares. ¿Debe fabricarse este tablero? 8 1)

La compañía de nueces Ajax vende mezclas de nueces de dos niveles de calidad. La mezcla más costosa tiene mayor proporción de almendras, y la más barata contiene maní (cacahuate). El precio de las nueces que compra Ajax es: avellanas, un dólar por kilogramo, maní 40 centavos por kilogramo. Las dos mezclas que vende Ajax y sus precios son: mezcla B, 80 centavos por kilogramo. Ajax puede vender cualqui er cantidad de estas mezclas pero, debido a la escasez de nueces, no puede obtener más de 100 kilogramos de avellana ni más de 200 kilogramos de maní. La gerencia ha decidido que la mezcla A no debe contener más del 25% anual de maní ni menos del 40% de avellanas. La mezcla B no debe tener más del 60% de maní ni menos del 20% de avellanas. ¿Cómo deben mezclarse las nueces? Es decir, ¿cuántos kilogramos de la mezcla A deben producir (y cual debe ser su composición) y cuántos kilogramos de la mezcla B (y su composición)? Formule la tabla simplex y resuelva.

82)

Paul Bunyan Lumber Company produce tablas de madera de pino y abeto y dos tipos de madera contrachapada. La compañía tiene una contribución al beneficio de cuatro centavos por metro de tabla (m) de pino y de seis centavos por m de abeto. La madera contrachapada de tipo 1 contribuye con 1.20 dólares por tablero y la del tipo 2 obtiene 1.50 dólares por tablero. La compañía tiene 2.580 millares de metros de tabla (MMT) de pino para el mes de diciembre, los cuales pueden usar para tablas o madera contachapada; también hay 2.040 MMT de abeto. Un tablero de madera contrachapada de tipo 1 requiere 16 m de pino y 8 m de abeto. Un tablero de tipo 2 requiere 12 m de cada especie. Las tablas de madera e stán limitadas solo por la capacidad de la sierra maestra. Esta sierra puede manejar 400 MMT de cualquier especie en un mes. El aserradero de madera contrachapada puede estar restringido por la máquina descortezadora o por la secadora. En un mes no se pueden descortezar más de 250.000 tableros y haysólo 920.000 minutos de tiempo de secado disponible. Cada tablero de tipo 1 requiere cuatro minutos de secado; los tableros de tipo 2 requieren seis minutos cada uno. Las condiciones del mercado limitan el número de tablero tipo 1 que se pueden vender aun máximo de 120 000; para el tipo 2 el límite es de 100 000 tableros. Se puede vender cualquier cantidad de tablas de madera. La compañía formuló un modelo de programación lineal para sus operaciones, de la siguiente manera: Sea: Z X1 X2 X3 X4

= Contribución al beneficio, en miles de dólares. = Ventas de MMT de madera de pino. = Ventas de MMT de madera de abeto. = Ventas de millares de tableros de madera contrachapada de tipo 1. = Ventas de millares de tableros de madera contrachapada de tipo 2.

Z(MAX) = 0.04X1 + 0.06X2 + 1.20X3 + 1.50X4. Sujeto a: X1

+ 16X3 + 12X4 e 2580 X2 + 18X3 + 12X4 e 2040 X1 + X2 e 400 X3 + X4 e 250 4X3 + 6X4 e 920 e 120 X3 X4 e 100

(disponibilidad de pino) (disponibilidad de abeto) (capacidad de aserradero) (capacidad de la descortezadora) (capacidad de secad (demanda del mercado, madera contrachapada de tipo1) (demanda del mercado, madera contrachapada de tipo 2)



114

a) Encuentre la solución óptima por el método simplex. b) Suponga que se puede disponer de una unidad más (miles de minutos) de tiempo de secado. ¿Qué efecto tendría en la solución (es decir, cuáles serían los nuevos valores de X1, X2, X3 y X4)? c) ¿Cuál es el beneficio adicional asociado con la adición de una unidad (miles de minutos) de tiempo de secado? ¿En qué intervalo es válido este incremento de beneficio? d) ¿Cuál es el valor de la capacidad adicional en la sierra maestra del aserradero? ¿Cuál es el aumento o la reducción de la capacidad antes de que ocurra un cambio básico en las variables de solución? e) Suponga que se pudiera aumentar la demanda de la madera contrachapada de tipo 2 en una unidad (mil tableros) ¿Cuál sería el incremento de benefi cio? ¿En qué intervalo sería válido? f) Se propone un tercer tipo de madera contrachapada, con contribución de 1.60 dólares al beneficio. Para ello se requerirán 8 m de pino y 16 m de abeto. Además, el tiempo de secado sería de ocho minutos. ¿Debe producirse este tipo de tablero? ¿Cuál sería su beneficio marginal? 83)

Dos productos diferentes, PI y P2, se pueden fabricar en cualquiera de dos máquinas diferentes, MI y M2. El tiempo de procesamiento por unidad de cualquiera de los productos en cualesquiera de las máquinas, es el mismo. La capacidad diaria de la máquina, M1, es de 200 unidades (ya sea de P1 o de P2 o de la mezcla de ambos) y la capacidad diaria de la máquina. M2, es de 250 unidades. El supervisor del taller quiere balancear el programa de producción de las dos máquinas, de tal manera que el número de unidades producidas en máquina esté dentro de 5 unidades del número producido en la otra. La utilidad por unidad de P1 es de 10 dólares y la P2 es de 15 dólares. Prepare el problem a en la forma estándar de PL.

84)

JoShop fabrica tres productos, cuyas utilidades por unidad son de 2, 5 y 3 dólares, respectivamente. La compañía ha presupuestado 80 horas de tiempo de mano de obra y 65 horas de tiempo máquina para la fabricación de los tres productos. Los requerimientos de mano de obra por unidad de los productos 1, 2 y 3 son de 2, 1 y 2 horas, respectivamente. Los correspondientes requerimientos de tiempo máquina por unidad son de 0.1 y 0.5 horas JoShop considera la mano de obra y las horas presupuestadas como metas que puede exceder, si es necesario pero a un costo adicional de 15 dólares por hora e mano de mano de obra y de 10 dólares por hora máquina. Las respectivas utilidades por unidad para los tres productos son 2, 5 y 3 dólares. a) Formule el problema como una PL y determine todas sus soluciones básicas f actibles b) Utilice los resultados en (a) para determinar la solución óptima.

85)

Nutri-Jenny es un centro de control del peso. Produce una amplia variedad de platillos congelados para el consumo de su clientela. Los platillos están estrictamente vigilados por su contenido nutritivo para asegurar que los clientes coman una dieta balanceada. Un nuevo platillo será una "'comida de puntas de filete". Consistirá en puntas de filete y salsa, más alguna combinación de chícharos, zanahorias y un bollo de pan. Nutri-Jenny desea determinar qué cantidad incluir de cada producto en el platillo para cumplir con los requerimientos nutritivos al menor costo posible. En el siguiente cuadro se da la información nutricional y su costo. Los requerimientos nutritivos del platillo son como sigue: 1) debe contener entre 280 y 320 calorías, 2) las calorías originadas en grasa no d eben exceder 30% del número total de calorías, y 3) debe contener al menos 600 UI de vitamina A, 10 miligramos de vitamina C y 30 gramos de proteína. Más aún, por razones prácticas debe incluir de menos 2 onzas de carne de res y contener al menos media onza de salsa por onza de res. Producto

Calorías

Calorías originadas en grasa por hors

Puntas de filete Salsa Chícharos Zanahorias Bollo de pan

54

19 15 0 0 10

20 15 8 40

Vitamina Vitamina C A (U1 por (Mg por onza) onza) 0 0 15 350 0

0 1 3 1 0

Proteína (g por onza)

Costo (por onza)

8 0 1 1 1

40 35 15 18 10



115

Formule en forma algebraica. 86)

The Learning Center opera un campamento de verano para niños de 6 a 10 años. Su gerente, Elizabeth Reed, intenta reducir los costos operativos para evitar tener que aumentar la cuota de inscripción. Por ahora, Elizabeth planea qué dar de comer a los niños en el almuerzo. Desea mantener los costos Unidad de alimento Pan ( 1 rebanada) Mantequilla de cacahuate (1 cucharada) Jalea ( l cucharada) Manzana

Calorías originadas Calorías Vitamina C en grasa totales (mg) 15 80 0 80 100 0

Fibra (g) 4 0

Costo M 6 D

0 0

70 90

4 6

3 10

8 35

Leche (1 taza)

60

120

2

0

20

Jugo de arándano ( 1 taza)

0

110

80

1

40

Al mínimo, pero también quiere estar segura de que cubre los requerimientos nutricionales de los niños. Ya decidió incluir sandwiches de mantequilla de cacahuate y jalea, y alguna combinación de manzanas, leche y jugo de arándano. En la tabla se da el contenido nutricional de cada opción de alimento y su costo. Los requerimientos nutricionales son como sigue. Cada niño debe recibir entre 300 y 500 calorías, pero no más de 30% de estas calorías deben provenir de grasa. Cada niño debe recibir al menos 60 miligramos f mg) de vitamina C y al menos 10 gramos (g) de fibra. Para asegurar sandwiches sabrosos, Elizabeth quiere dar a cada niño un mínimo de 2 rebanadas de pan, 1 cucharada de mantequilla de cacahuate, 1 cucharada de jalea, junto con al menos 1 taza de líquido {leche y jugo de arándano). Elizabeth desea seleccionar las opciones de alimentos que minimicen el costo al tiempo que cumplan todos estos requerimientos. 87)

David, LaDeana y Lydia son socios únicos y trabajadores de una compañía que f abrica relojes finos. David y LaDeana, cada uno de ellos, tienen disponibilidad de trabajar un máximo de 40 horas semanales en la compañía, mientras que Lydia cuenta con un máximo de 20 horas semanales. La compañía fabrica dos tipos de relojes: un reloj de pie y uno de pared. Para fabricar uno, David (ingeniero mecánico) ensambla las partes mecánicas internas del reloj mientras que LaDeana (ebanista) fabrica las cubiertas de madera labrada a mano. Lydia es responsable de tomar órdenes y enviar los relojes. Se muestra en seguida el tiempo requerido para cada una de estas tareas.

Tiempo retenido Tarea: Reloj de pie Ensamble de mecanismo de reloj 6 horas Cubierta de madera labrada. 8 horas envió 3 horas

Reloj de pared 4 horas 4 horas 3 horas

Cada reloj de pie fabricado y enviado proporciona una ganancia de $300, mientras que cada reloj de pared da una ganancia de $200. Ahora, los tres socios quieren determinar cuántos relojes de cada tipo deben producir por semana para maximizar la ganancia total. a) b) c)

Formule un modelo de programación lineal para este problema. Use el método gráfico para resolver el problema. Despliegue el modelo en una hoja de cálculo.

ECON. JUAN CARLOS ERAZO F d) e) f) g)

h) i) j) k)


116

Usar el informe de sensibilidad para determinar si esta solución óptima sigue óptima si la estimación de la ganancia unitaria para los relojes de pie cambia de $300 a $375 (sin más cambios en el modelo). Repita la parte d si, además de este cambio en la ganancia unitaria de relojes de pie, la ganancia unitaria estimada para relojes de pared también cambia de $200 a $175. Use el análisis gráfico para verificar sus respuestas en l as partes d y e. Para aumentar la ganancia total, los tres socios acordaron que uno de ellos aumentará ligeramente el máximo de horas de trabajo por semana. La elección de quién de ellos se basará en quién aumentaría más la ganancia total. Use el informe de sensibilidad para efectuar esta elección. (Suponga que no ha y cambios en las estimaciones originales de las ganancias unitarias.) Explique por qué uno de los precios unitarios es igual a cero. ¿Es válido usar los precios del informe de sensibilidad para determinar el efecto si Lydia cambiara su número máximo de horas disponibles de trabajo a la semana de 20 a 25? Si es así, ¿cuál sería el aumento en la ganancia total? Repita la parte j si, además del cambio para Lydia, David también cambiara su número máximo de horas disponibles semanales de 40 a 35. Use el análisis gráfico para verificar su respuesta en la parte k.

88) La Electrocomp Corporation fabrica dos productos eléctricos: acondicionadores de aire y grandes ventiladores. El proceso de ensamble de cada uno es similar en el sentido que ambos requieren una cierta de cantidad de alambrado y taladrado. Cada acondicionador de aire requiere 3 horas de alambrado y 2 de taladrado. Cada ventilador debe pasar por 2 horas de alambrado y 1 hora de taladrado. Durante el siguiente periodo de producción, están disponibles 240 horas de tiempo de alambrado y se pueden utilizar hasta 140 horas de tiempo de taladrado. Cada acondicionador de aire vendido produce una ganancia de $25. Cada ventilador ensamblado puede ser vendido con una ganancia de $15. Formule y resuelve esta situación de mezcla de producción de programación lineal para encontrar la mejor combinación de acondicionadores de aire y ventiladores que produzcan la ganancia máxima. Use el método gráfico para hallar la solución. 89)

La administración de Electrocomp problema 88 se percata de que no incluyó dos restricciones críticas (vea el problema 88).En particular, la administración decide que para garantizar un suministro adecuado de acondici onadores de aire de un contrato, se deben fabricar, por lo menos, 10 de estos aparatos. Como Electrocomp incurrió en una sobreoferta de ventiladores en el periodo precedente, la administración también insiste que no se produzcan más de 80 ventiladores durante este periodo de producción. Resuelva este problema de mezcla de productos para encontrar la nueva solución óptima.

9 0)

Un candidato a alcalde de un pequeño pueblo asignó $40,000 para publicidad de último minuto en los días previos a la elección. Se utilizarán dos tipos de anuncios: radio y televisión. Cada anuncio de radio cuesta $200 y llega a un auditorio estimado de 3000 personas. Cada anuncio de televisión, que cuesta $500, afectará a unas 7000 personas. Al planificar la campaña de publicidad, la directora de ésta desea llegar a tantas personas como sea posible, y estipuló que se deben utilizar, por lo menos, 10 anuncios de cada tipo. Además, el número de anuncios de radio debe ser por lo menos igual al número de anuncios de televisión. ¿Cuántos anuncios de cada tipo se deberán utilizar? ¿A cuántas personas llegarán?

9 1)

La Outdoor Furniture Corporation fabrica dos productos, bancas y mesas de día de campo, que pueden ser usados en jardines de casas y parques. La firma cuenta con dos recursos principales: sus carpinteros (fuerza de mano de obra) y existencias de madera de pino para construir el mobiliario. Durante el siguiente ciclo de producción, están disponibles 1200 horas de mano de obra según un acuerdo con el sindicato. La firma también dispone de 3500 pies de madera de pino de buena calidad. Cada banca que Outdoor Furniture produce requiere 4 horas de mano de obra y 10 pies de madera; cada mesa de día de campo, 6 horas de mano de obra y 35 pies de madera. Las bancas terminadas redituarán una ganancia de $20 cada una. ¿Cuántas bancas y mesas de día de campo deberá producir Outdoor Furniture para obtener la ganancia máxima posible? Use el método gráfico de programación lineal.

92)

El decano de Western College of Business debe planificar las ofertas de cursos de la escuela para el semestre de otoño. Las demandas de los estudiantes hacen necesario ofrecer por lo menos 30



117

cursos de licenciatura y 20 de posgrado en el semestre. Los contratos del profesorado también dictan que se ofrezcan por lo menos 60 cursos en total. Cada curso de licenciatura impartido le cuesta a la universidad un promedio de $2500 en salarios de profesores, mientras que cada curso de posgrado cuesta $3000. ¿Cuántos cursos de licenciatura y posgrado deberán ser impartidos en el otoño de modo que los salarios de los profesores se mantengan en su mínima expresión? 93)

MSA Computer Corporation fabrica dos modelos de minicomputadoras, Alpha 4 y Beta 5. La firma emplea cinco técnicos, que trabajan 160 horas cada uno al mes en su línea de ensamble. La administración insiste en que se mantengan las horas de trabajo (es decir, todas las 160 horas) de cada trabajador durante las operaciones del mes siguiente. Se requieren 20 horas de mano de obra para ensamblar cada computadora Alpha 4 y 25 para elaborar cada modelo Beta5. MSA desea producir por lo menos 10 Alpha 4s y por lo menos 15 Beta 5s durante el periodo de producción. Las Alpha 4s generan $1200 de utilidad por unidad y las Beta 5s producen $1800 cada una. Determine el número más rentable de cada modelo de minicomputadora que se debe producir durante el siguiente mes.

94)

Un ganador de la Texas Lotto decidió invertir $50,000 al año en el mercado de valores. Piensa adquirir acciones de una firma petroquímica y una compañía de servicios públicos. Aunque una meta a largo plazo es obtener los máximos rendimientos posibles, no ha pasado por alto el riesgo que implica la compra de acciones. Se asigna un índice de riesgo de 1-10 (con 10 como el más riesgoso) a cada una de las dos acciones. El riesgo total del portafolio se encuentra multiplicando del riesgo de cada acción por los dólares invertidos en ella. La tabla siguiente proporciona un resumen de la devolución y el riesgo.

Al inversionista le gustaría maximizar el rendimiento de la inversión, pero el índice de riesgo promedio de ésta no deberá ser de más de 6. ¿Cuánto deberá invertir en cada acción? ¿Cuál es el rendimiento estimado de esta inversión? 95)

Remítase a la situación de la Texas Lotto del problema 94, y suponga que el inversionista cambió de actitud sobre la inversión y desea poner mayor atención en el riesgo de la inversión. Ahora desea minimizar el riesgo de ésta mientras genere un rendimiento de por lo menos 8%. Ordene estos datos como un problema de PL y encuentre la solución óptima. ¿Cuánto deberá invertir en cada acción? ¿Cuál es el riesgo promedio de esta inversión? ¿Cuál es el rendimiento estimado de esta inversión?

96)

La casa de bolsa Blank, Leibowitz y Weinberger ha analizado y recomendado dos acciones a un club de inversionistas constituido por profesores universitarios. Estos estaban interesados en factores tales como crecimiento intermedio y tasas de dividendos. Los datos sobre cada acción son los siguientes:



118

Cada miembro del club tiene una m eta de inversión de (1) una ganancia de no menos de $720 a corto plazo, (2) una ganancia de por lo menos $5000 en los siguientes tres años y (3) un ingreso por dividendos de por lo menos $200 al año. ¿Cuál es la inversión más pequeña que un profesor puede hacer para satisfacer estas tres metas? 97)

Woofer Pet Foods produce un alimento de bajas calorías para perros obesos. Este producto se elabora con productos de carne y granos. Cada libra de carne cuesta $0.90 y cada libra de grano $0.60. Una libra del alimento para perros debe contener por lo menos 9 unidades de vitamina 1 y 10 unidades de vitamina 2. Una libra de carne contiene 10 unidades de vitamina 1 y 12 unidades de vitamina 2. Una libra de granos contiene 6 unidades de vitamina 1 y 9 unidades de vitamina 2. Ordene estos datos como un problema de PL para minimizar el costo del alimento para perros. ¿Cuántas libras de carne y de granos deberán ser incluidas en cada libra de alimento para perros? ¿Cuál es el costo y el contenido de vitaminas del producto final?

98)

Serendipity6 Los tres príncipes de Serendip, eemprendieron un viaje no podían llevar mucho peso; más de 300 libras los hicieron vacilar. Decidieron llevar pequeña s porciones. Cuando regresaron a Ceilán Descubrieron que sus provisiones estaban a punto de desaparecercuando, para su regocijo, el príncipe William encontró una pila de cocos en el suelo ³Cada uno llevará 60 rupias´, dijo el príncipe Richard con una mueca de aprobación cuando casi se tropieza con una piel de león. ³Cuidado´, exclamó el príncipe Robert con alegría cuando divisó más pieles de león bajo un árbol. ³Éstas valen más de 300 rupias cada una si sólo pudiéramos llevárnoslas hasta la playa.´ Cada piel pesaba 15 libras y cada coco cinco, pero cargaron con todo en un santiamén. El bote de regreso a la isla era muy pequeño 15 pies cúbicos de capacidad de carga, eso era todo, cada piel de león ocupaba un pie cúbico mientras que ocho cocos ocupaban el mismo espacio con todo estibado se hicieron a la mar, y en el trayecto debían calcular a cuánto podría ascender su nueva riqueza. ³¡Eureka!´ gritó el príncipe Robert, ³nuestra riqueza es tan grande que no existe otra f orma de regresar en este estado. Cualquier otra piel o coco que pudiéramos haber traídoahora nos harían más pobres. Y ahora que sé cuántos son cinco le escribiré a mi amigo Horace en Inglaterra y con toda seguridad sólo él podrá apreciar nuestra serendipity´. Formule y resuelva Serendipity mediante PL gráfica para calcular ³cuál podría ser su nueva Riqueza´.

99)

El Peed 'N Ship Ranch engorda ganado para los granjeros locales y lo envía a los mercados de carne de Kansas City y Omaha. Los propietarios del rancho desean determinar las cantidades de alimento para ganado que deben comprar de modo que se satisfagan los estándares nutricionales mínimos y, al mismo tiempo, se minimicen los costos totales de alimentación. La mezcla de alimentos se puede componer de los tres granos que contienen los siguientes ingredientes por libra de alimento:

ECON. JUAN CARLOS ERAZO F Ingrediente A B C D


119

Alimento (onzas) Mezcla X Mezcla Y Mezcla Z 3 2 4 2 3 1 1 0 2 6 8 4

El costo por libra de las mezclas X, Y y Z son $2, $4 y $2.50, respectivamente. El requerimiento mínimo por vaca por mes es de 4 libras del ingrediente A, 5 libras del B, 1 libra del C y 8 libras del D. El rancho enfrenta una restricción adicional: pese a cualquier circunstancia, sólo puede obtener 500 libras de la mezcla Z por mes del proveedor de alimentos. Como por lo general hay 100 vacas en el Feed 'N Ship Ranch en un momento dado, esto significa que no se puede contar con más de 5 libras de la mezcla Z para usarse en la alimentación de cada vaca por mes. a) b) 100)

Formule un problema de PL utilizando la información proporcionada. Resuelva el problema con algún programa computacional de PL.

Weinberger Elecronics Corporation fabrica cuatro productos altamente técnicos que vende a firmas aeroespaciales que tienen contratos con la NASA. Antes de ser embarcado, cada uno de los productos debe pasar a través de los siguientes dep artamentos: alambrado eléctrico, taladrado, ensamble e inspección. El requerimiento de tiempo en horas por cada unidad producida y su valor lucrativo se resumen en la tabla siguiente: Producto XJ201 XM897 TR29 BR788

Departamento Alambrado Taladrado Ensamble Inspección 0.5 0.3 0.2 0.5 1.5 1 4 1 1.5 2 1 0.5 1.0 3 2 0.5

Utilidad por unidad ($) 9 12 15 11

La producción disponible en cada departamento cada mes y el requerimiento de producción mínima mensual para cumplir con los contratos son l os siguientes: Departamento Capacidad (horas) Alambrado 15.000 Taladrado 17.000 Ensamble 26.000 Inspección 12.000

Producto XJ201 XM897 TR29 BR788

Nivel de producción mínimo 150 100 300 400

El gerente de producción tiene la responsabilidad de especificar los niveles de producción de cada producto para el mes entrante. Ayúdelo a formular (es decir, establecer las restricciones y función objetivo) el problema de Weinberger mediante PL. 101)

Un fabricante de artículos deportivos que está desarrollando un programa de producción de dos nuevos tipos de raquetas para raquetbol recibió un pedido de 180 del modelo estándar y 90 del modelo profesional que debe ser entregado al final de este mes. Se recibió otro pedido de 200 unidades del modelo estándar y 120 del modelo profesional, pero éste no tiene que ser entregado sino hasta finales del mes siguiente. La producción en cada uno de los dos meses puede realizarse en tiempo normal o tiempo extra. En el mes en curso, una raqueta estándar puede ser producida a un costo de $40 con tiempo normal, y un modelo profesional se puede ser fabricar a un costo de $60 en tiempo normal. El tiempo extra eleva el costo de estos modelos a $50 y $70, respectivamente. Debido a un nuevo contrato de trabajo para el mes siguiente, todos los costos se incrementarán en 10% a fines de este mes. El número total de raquetas que puede ser producido en un mes en tiempo normal es 230 y 80 raquetas adicionales pueden ser producidas con tiempo extra cada mes. Dado que el pedido mayor se entregará a finales del mes siguiente, la compañía planea producir algunas raquetas e xtra este mes y almacenarlas hasta finales del mes siguiente.



12 0

El costo de conservar las raquetas en el inventario durante un mes se estima en $2 por raqueta. Con estos datos formule un modelo de PL para minimizar el costo. 102)

Trabajando con químicos del Virginia Tech y de la Universidad George Washington, el contratista paisajista Kenneth Golding mezcló su propio fertilizante, llamado ³Holding Grow´, compuesto por cuatro complejos químicos, C-30, C-92, D-21 y E-11. A continuación se indica el costo por libra de cada complejo. Complejo químico C ± 30 C ± 92 D ± 21 E - 11

Costo por libra ($) 0.12 0.09 0.11 0.04

L as especificaciones de Golding Grow son las siguientes: 1) E-11 debe constituir por lo menos 15% de la mezcla; 2) C-92 y C-30 junt os deben constituir por lo menos 45% de la mezcla; 3) D-21 y C-92 juntos pueden constituir no más de 30% de la mezcla, y 4) Golding Grow se empaca y vende en sacos de 20libras. a) b) 103)

(Probl ema de producción ) Winkler Furniture fabrica dos tipos de vitrinas: un modelo provenzal francés y un modelo danés moderno. Cada vitrina producida debe pasar por tres departamentos: carpintería, pintura y acabado. La tabla de la página 321 contiene toda información concerniente a los tipos de producción por vitrina y capacidades de producción de cada operación por día, junto con el ingreso neto por unidad producida. La compañía firmó un contrato con un distribuidor de Indiana para producir un mínimo de 300 vitrinas de cada modelo por semana (o 60 por día). El propietario, Bob Winkler, desea determinar una mezcla de productos para maximizar su ingreso diario. a) b)

104)

Formule un problema de PL para determinar qué mezcla de los cuatro compuestos permitirá a Golding minimizar el costo de un saco de 50libras del fertilizante. Resuélvalo con computadora para encontrar la mejor solución.

Formule como un problema de PL. Resuelva con un programa de PL u hoja de cálculo.

(Probl ema de decisión de inver sión ) La compañía de intermediación financiera Heinlein and Krampf Brokerage acaba de ser instruida por uno de sus clientes para que invierta $250,000 de su dinero que obtuvo recientemente por la venta de unos terrenos en Ohio. El cliente tiene un buen grado de confianza en la casa inversora, pero también tiene sus propias ideas sobre la distribución de los fondos que se van a invertir. En particular, solicita que la firma elija las acciones y bonos que crea están bien valuados, pero dentro de los siguientes lineamientos: a) b) c)

Los bonos municipales deben constituir, por lo menos, 20% de la inversión. Por lo menos, 40% de los fondos debe ser colocado en una combinación de compañías electrónicas, aeroespaciales y farmacéuticas. No más de 50% de la suma invertida en bonos municipales debe ser colocado en acciones de alto rendimiento y alto riesgo de una casa de beneficencia.

Sujeto a estas restricciones, el objetivo del cliente es maximizar el rendimiento proyectado de las



12 1

inversiones. Los analistas en Heinlein and Krampf, conscientes de estos lineamientos, preparan una lista de acciones y bonos de alta calidad y sus tasas de rendimiento correspondientes. In versiones Bonos municipales de Los Ángeles Thompson Electronics, Inc. United Aerospace Corp. Palmer Drugs Casa de beneficiencia Happy Days a) b)

Tasas de rendimiento proyectada (%) 5.3 6.8 4.9 8.4 11.8

Formule este problema de selección de cartera por medio de PL. Resuelva este problema.

105)

( Probl ema de hor ar i os de t r abaj o en un r estau r ante) El famoso restaurante Y. S. Chang está abierto las 24 horas del día. Los meseros y sus ayudantes entran a las 3 A.M., 7A.M., 11 A.M., 3 P.M. u 11 P.M. y cada uno cubre un turno de 8 horas. La tabla siguiente muestra el número mínimo de trabajadores necesarios durante los seis periodos en los que se divide el día. El problema de programación de horarios de Chang es determinar cuántos meseros y ayudantes deberán reportarse al trabajo al inicio de cada periodo para minimizar el personal total requerido durante un día de operación. (Sugerencia: Sea X i igual al número de meseros y ayudantes que empiezan a trabajar en el periodo i, donde i = 1,2, 3, 4, 5,6)

106)

( Probl ema de mezc la de al iment os par a animal es) El Battery Park Stable alimenta y aloja los

caballos utilizados para tirar carruajes llenos de turistas por las calle del histórico distrito ribereño de Charleston. El propietario del establo, un entrenador retirado de caballos de carreras, reconoce la necesidad de diseñar una dieta nutricional para los caballos a su cuidado. Al mismo tiempo, quiere mantener al mínimo el costo di ario total de alimentación. Las mezclas de alimentos disponibles para la dieta de los caballos son un producto de avena, un grano altamente enriquecido y un producto mineral. Cada una de estas mezclas contiene una cierta cantidad de cinco ingredientes requeridos diariamente para mantener saludable al caballo promedio. La tabla de la página 322 muestra estos requerimientos mínimos, las unidades de cada ingrediente por libra de mezcla de alimentos y los costos de las t res mezclas. Además, el propietario del establo sabe que un caballo sobrealimentado es un trabajador perezoso. Por consiguiente, determina que 6 libras de alimento por día son lo máximo que cualquier caballo necesita para funcionar apropiadamente. Formule este problema de la mezcla diaria óptima de los tres alimentos y resuélvalo.


107)

122

( Probl ema de sel ección de beisbol istas) Los Dubuque Sackers, un equipo de béisbol clase D, enfrenta cuatro complicados juegos de visitante contra rivales de la liga en Des Moines, Davenport, Omaha y Peoria. El director técnico ³Red´ Revelle enfrenta la tarea de programar a sus cuatro lanzadores abridores en los juegos apropiados. Como los juegos son consecutivos en menos de una semana, Revelle no puede contar con más de un lanzador que inicie en más de un juego. Revelle conoce las fortalezas y debilidades no sólo de sus lanzadores, sino también de sus oponentes. Ha desarrollado una calificación de desempeño de cada uno de sus lanzadores abridores contra cada uno de estos equipos. Las calificaciones aparecen en la tabla de esta página. ¿Qué rotación de abridores deberá establecer el director técnico Revelle para obtener el total más alto de las calificaciones de desempeño?

a) b) 108)


Formule este problema por medio de PL. Resuélvalo.

( Probl ema de sel ección de medi os) El director de publicidad de Diversey Paint and Supply, una

cadena de cuatro tiendas de venta al menudeo del área norte de Chicago, considera dos posibilidades de medios. Un plan contempla una serie de anuncios de media página en el periódico Chicago T ribune del domingo; el otro, tiempo de publicidad en la TV de Chicago. Las tiendas están expandiendo sus líneas de herramientas de "hágalo usted mismo" y el director de publicidad está interesado en un nivel de exposición de por lo menos 40% dentro de los vecindarios de la ciudad y de 60% en las áreas suburbanas del noroeste. El tiempo de audiencia de TV considerado tiene un " rating " de exposición por anuncio de 5% en hogares de la ciudad y de 3% en los suburbios del noroeste. El periódico dominical tiene tasas de exposición correspondientes de 4% y 3% por anunci o. El costo de una media página de publicidad en el T ribune es de $925; un anuncio de televisión cuesta $2000. Diversey Paint desea seleccionar la estrategia de publicidad menos costosa que satisfaga los niveles de exposición deseados a) b) 109)

Formule con PL. Resuelva el problema.

( Probl ema de arr endamient o de aut omóvi le s) Sundown Rent-a-Car, una gran agencia de

arrendamiento de automóviles que opera en el Medio Oeste, está preparando una estrategia de arrendamiento para los seis meses siguientes. Sundown renta los automóvilesa un fabricante y luego los renta al público de f orma diaria. A continuación se da una predicción de la demanda de los autos de Sundown en los seis meses siguientes:



123

Los automóviles pueden rentarse al f abricante durante tres, cuatro o cinco meses. Los vehículos se rentan el primer día del mes y se regresan el último día del mes. Cada seis meses Sundown notifica al fabricante de automóviles sobre el número de automóviles requeridos durante los seis meses siguientes. El fabricante ha estipulado que por lo menos 50% de las unidades rentadas durante un periodo de seis meses deben estar en el plan de arrendamiento de cinco meses. El costo mensual de cada uno de los tres tipos de arrendamiento es: $420 el de tres meses, $400 el de cuatro meses y $370 el de cinco meses. Actualmente, Sundown tiene 390 autos. El arrendamiento de 120 de ellos expira a finales de marzo. El de otros 140 a finales de abril y el del resto a finales de m ayo. Use PL para determinar cuántos automóviles deben rentarse cada mes en cada tipo de arrendamiento para minimizar el costo de arrendamiento durante el periodo de seis meses. ¿Cuántos vehículos quedan a finales de agosto? 110)

La gerencia de Sundown Rent-a-Car (vea el problema 109) ha decidido que tal vez el costo durante el periodo de seis meses no es el apropiado para minimizarlo porque la agencia aún puede estar obligada a meses adicionales en algunos arrendamientos después de ese tiempo. Por ejemplo, si Sundown entregara algunos automóviles al principio del sexto mes, aún estaría obligada durante dos meses más en un arrendamiento de tres meses. Use PL para determinar cuántos autos deben rentarse cada mes en cada tipo de arrendamiento para minimizar el costo de arrendamiento durante toda la duración de estos contrat os.

111)

( Probl ema de t ra nspor te esc ol ar de estudiantes de pr epar at or ia) El superintendente de educación del condado de Arden, Maryland, es el responsable de asignar estudiantes a las tres preparatorias que hay en su condado. Reconoce la necesidad de transportar a un cierto número de estudiantes, ya que varios sectores del condado están bastante alejados como para ir caminando a la escuela. El superintendente divide el condado en cinco sectores geográficos ya que intenta establecer un plan que minimice el número de millas-estudiante recorridas en autobús. También reconoce que si un estudiante vive en un cierto sector y es asignado a una preparatoria de dicho sector, no hay necesidad de transportar a ese estudiante por autobús porque él o ella puede caminar a la escuela. Las tres escuelas están localizadas en los sectores B, C y E.

La tabla anexa refleja el número de estudiantes de preparatoria que viven en cada sector y la distancia en millas de cada sector a cada escuela.

Cada preparatoria tiene una capacidad de 900 estudiantes. Establezca la función objetivo y restricciones de este problema por medio de PL de modo que el número total de millas ± estudiante recorridas por autobús se minimice. (Observe la semejanza con el problema de transporte ilustrado con anterioridad en este capítulo.) Luego resuelva el problema. 112)

( Probl ema de asignación de pr eci os y est ra tegia de c omer cial ización) La I. Kruger Paint and

Wallpaper Store es un gran distribuidor minorista de la marca Supertrex de papeles tapiz de vinilo.



124

Kruger desea mejorar su imagen a nivel de toda la ciudad en Miami mediante la superación de las ventas de otros distribuidores locales en el número total de rollos de Supertrex el siguiente año. Se puede estimar la función de demanda como sigue: Número de rollos de Supertrex vendidos = 20 X dólares gastados en publicidad + 6.8 X dólares gastados en exhibidores en la tienda + 12 X dólares invertidos en el inventario de papel tapiz disponible - 650,000 X porcentaje de margen de ganancia sobre el costo de venta al mayoreo de un rollo. La tienda presupuesta un total de $17,000 para publicidad en exhibidores en la tienda y en inventario disponible de Supertrex para el año siguiente. Decide que debe gastar por lo menos $3000 en publicidad; además, por lo menos 5% de la suma invertida en inventario disponible deberá ser dedicado a exhibido-res. Los márgenes de ganancia en Supertrex de otros distribuidores locales oscilan entre 20 y 45%. Kruger decide que sería mejor que su margen de ganancia estuviera también en este intervalo. a) b) c) d) 113)

Ordene estos datos como un problema de PL. Resuelva el problema. ¿Cuál es la dificultad con la respuesta? ¿Qué restricción agregaría?

( Probl ema de expansión de un hospital ) El hospital Mt. Sinai en Nueva Orleans es una gran

empresa privada con 600 camas que cuenta con laboratorios, quirófanos y equipo de rayos X. Para incrementar sus ingresos, la administración del Mt. Sinai ha decidido hacer una ampliación para 90 camas en una fracción del terreno adyacente que se utiliza actualmente como estacionamiento del personal. La administración considera que los laboratorios, los quirófanos y el departamento de rayos X no se utilizan en su totalidad en el presente y no necesitan ampliarse para atender a pacientes adicionales. La adición de 90 camas, sin embargo, implica decidir cuántas camas deberán ser asignadas al personal médico para pacientes médicos y cuántas al personal quirúrgico para pacientes de este tipo. Los departamentos de contabilidad y registro médico del hospital proporcionaron la siguiente información al respecto. La permanencia promedio en el hospital de un paciente médico es de 8 días, y genera ingresos por $2280. El paciente quirúrgico promedio permanece en el hospital 5 días y recibe una factura de $1515. El laboratorio puede manejar 15,000 pruebas por año más de las que manejaba. El paciente médico promedio requiere 3.1 exámenes de laboratorio, en tanto que el paciente quirúrgico promedia 2.6. Además, el paciente médico promedio requiere un estudio de rayos X, mientras que el paciente quirúrgico promedio requiere dos. Si el hospital expandiera su capacidad en 90 camas, el departamento de rayos X podría manejar hasta 7000 estudios sin un costo significativo adicional. Por último, la administración estima que podrían hacerse 2800 operaciones adicionales en los quirófanos existentes. Los pacientes médicos, desde luego, no requieren cirugía, mientras que cada pac iente quirúrgico, en general, es operado una vez. Formule este problema para determinar cuántas camas médi cas y cuántas quirúrgicas se deberán agregar para maximizar los ingresos. Suponga que el hospital está abierto 365 días al año. Luego resuelva el problema.

Dados los siguientes problemas primales, plantear el problema dual y resolverlos por el método simplex, luego encuentre la solución del primal 1)

BagCo produce chaquetas y bolsos de piel. Una chaqueta requiere 8m2 de piel y un bolso sólo utiliza 2 m2. Los requerimientos de mano de obra para dos productos son de 12 y 5 horas, respectivamente. Los suministros semanales actuales de los dos productos se limitan a 1200 m2 y 1850 horas, respectivamente. La compañía vende las chaquetas y los bolsos a 350 y 120 dólares, respectivamente. El objetivo es determinar el programa de producción que maximice la utilidad neta.



125

Gutchi Company fabrica bolsos, estuches para afeitar y mochilas. La fabricación de los tres productos requiere piel y material sintético y la piel es la materia prima limitante. El proceso de fabricación utiliza dos tipos de mano de obra calificada: costura y acabado. La siguiente tabla proporciona la disponibilidad de los recursos, su utilización en los tres productos y las utilidades por unidad.

Recurso Piel (pies2) Costura (horas) Acabado (horas) Precio de venta (dólares)

Requerimientos de recursos por unidad Bolso Mochila Estuche Disponibilidad para afeitar diaria 2 1 3 42 2

1

2

40

1

.5

1

45

24

22

45

Formule el problema como un programa lineal y encuentre la solución óptima utilizando TORA. Después indique si los siguientes cambios en los recursos mantendrán factible la solución actual. Para los casos se mantiene la factibilidad, determine la nueva solución óptima (valores de las variables y de la función objetivo). A continuación plantee el problema dual y resuélvalo. a) b) c) d) e) f) g)

La piel disponible se incrementa a 45 pies2 La pies disponible se disminuye en 1 pies2 Las horas de costura disponible se cambian a 38 horas. Las horas de costura disponibles se cambian a 46 horas. Las horas de acabado disponibles se disminuyen a 15 horas. Las horas de acabado disponibles se incrementan a 50 horas ¿Recomendaría usted la contratación de un trabajador adicional de costura, a 15 dólares la hora?

3)

Gapco tiene un presupuesto diario de 320 horas de mano de obra y 350 unidades de materia prima para fabricar do productos. De ser necesario, la compañía puede emplear hasta 10 horas diarias de tiempo extra de mano de obra a un costo a dicional de 2 dólares por hora. Se necesitan una hora de mano de obra y tres unidades de materia prima para producir una unidad del producto 1, y dos horas de mano de obra y una unidad de materia para producir una unidad del producto 2. La utilidad por unidad del producto 1 es de 10 dólares y la del producto 2 es de 12 dólares. Sea que x1 y x2 definan el número diario de unidades producidas de los productos 1 y 2 y que x3 sea las horas extra diarias utilizadas.

4)

Una empresa fabrica cuatro productos: A, B, C y D. Cada unidad del producto A requiere dos horas de fresado, una hora de montaje y 10 dólares de inventario en proceso. Cada unidad del producto B necesita una hora de fresado, tres horas de montaje y un costo de cinco dólares de proceso de inventariado. Una unidad del producto C requiere 2 ½ horas de fresado, 2 ½ horas de montaje y dos dólares de proceso de inventariado. Por último, cada unidad del producto D requiere cinco horas de fresado, no necesita montaje y cuesta 12 dólares de procesode inventariado. La empresa tiene 120 horas de fresado y 160 horas de montaje disponibles. Además, no puede disponer de más de mil dólares para proceso de inventario. Cada unidad del producto A genera un beneficio de 40 dólares; una unidad del producto B genera un beneficio de 24 dólares; las unidades del producto C generan 36 dólares y las del producto D, 23 dólares. No se pueden vender más de 20 unidades del producto A, ni más de 16 unidades del producto C; puede venderse cualquier número de unidades de los productos B y D. Sin embargo, hay que producir y vender por lo menos 10 unidades del producto D para satisfacer un requisito contractual.



126

Formule el problema anterior como un problema de programación lineal. El objetivo de la empresa es maximizar los beneficios que resultan de la venta de los cuatro productos. Resuelva el problema en computadora. 5)

La compañía de diamantes Transval extrae diamantes de tres minas de Sudáfrica. Las tres difieren en cuanto a capacidad, número, peso de las gemas y costos;estos datos se presentan en la tabla.

Mina




83000 310000 190000

RO.60 RO.36 RO.50


0,36 0,22 0,263

0,58 0,26 0,21


Queremos seleccionar una estrategia de publicidad para llegar a dos tipos de clientes: amas de casa de familias con ingresos anuales superiores a 10 000 dólares y amas de casa de familias con ingresos anuales inferiores a 10 000 dólares. Consideramos que las personas del primer grupo comprarán dos veces más nuestro producto que las personas del segundo grupo, y nuestro objetivo es maximizar las compras. Podemos anunciar el producto en televisión o en una revista; una unidad de publicidad en televisión cuesta 20.000 dólares y llega a aproximadamente 2.000 personas del primer grupo y a 8.000 del segundo. Un a unidad de publicidad en la revista cuesta 12. 000 dólares y llega a 6.000 personas del primer grupo y a 3.000 del segundo. Hay que usar por lo menos seis unidades de publicidad en televisión y no podemos usar más de 12 unidades de publicidad en la revista, por cuestiones de política. El presupuesto para publicidad es de 180 000 dólares. Formule este problema como un problema de programación lineal, definiendo todas las variables que utilice. Resuelva por el método simplex para encontrar la estrategia de publicidad óptima.

7)

En fechas recientes, Super Sausage Company (SSC) ha experimentado cambios radicales en los precios de las materias primas, y el gerente ha dado instrucciones a una analista para que examine las proporciones de mezcla de ingredientes que se usa SSC para fabricar salchichas. La fabricación de salchichas debe cumplir con dos requisitos clave para el producto. El porcentaje de proteína en peso debe ser por lo menos del 15% y el porcentaje de grasas en peso no puede exceder el 30% (el peso restante es de relleno). SSC dispone de las cuatro materias primas siguientes para sus mezclas, con las características que se indican: Porcentaje De Proteína

Ingrediente

B C D

A


40 20 10 5

Costo por kilogramo

10 15 35 40

$ 1.80 0.75 0.40 0.15

Formule un modelo de programación lineal que ayude a SSC a determinar el programa de mezclas más deseable. Resuelva por el método simplex. 8)

Remítase al problema de mezcla de productos. Una empresa de manufactura fabrica productos, A y B, cada uno de los cuales debe procesarse en dos máquinas diferentes. Una máquina tiene 24



127

horas de capacidad disponibles y la otra sólo tiene 16 horas. Cada unidad del producto A necesita tres horas en cada máquina, mientras que una unidad del producto B necesita tres horas en la primera máquina y una hora en la segunda. Los beneficios marginales son de seis dólares por unidad del producto A y siete dólares por unidad del producto B y la empresa puede vender todas las unidades que puede fabri car de los dos productos. El objetivo de la empresa es maximizar los beneficios. El problema es determinar cuántas unidades de los productos A y B deben producirse dentro de los límites de las capacidades disponibles de las máquinas. Resuelva el problem a con los dos productos A y B Suponga que la empresa tiene un tercer producto, C, que puede producirse en la primera o en la segunda máquina. Si se produce en la primera máquina se requiere una hora; si se hace en la segunda máquina, se necesitan dos horas. El producto C tiene beneficios marginales de nueve dólares por unidad. Modifique la formulación del problema para incluir el producto C. 9)

Delight Dary Company (DD) produce una amplia gama de productos lácteos. Los productos se ha n separado en dos categorías principales, con el fin de planificar la producción: helados (varios sabores y tamaños) y especialidades (helado en palito, emparedados de helado, conos de helado, etc.) Cada clase de producto tienen su propio equipo de empaquetado, pero ambas usan una misma máquina de fabricación de helado; también emplean el mismo grupo de trabajadores para producir y empaquetar cada clase de producto. Los helados requieren dos horas de la máquina de fabricación de helados, una hora en su propia línea de empaquetado y tres horas de trabajo para producir 4.000 litros de producto terminado. Las especialidades requieren una hora de la máquina de fabricación de helado, una hora en su propia línea de empaquetado y seis de trabajo para producir el equivalente de 4.000 litros de producto terminado. DD puede vender 4.000 litros de helado en 300 dólares, y 4.000 litros de especialidades en 500 dólares. Lo s costos de materias primas son aproximadamente iguales para ambas clases de productos. En la actualidad, la compañía tiene un turno de trabajo (40 horas por semana) y emplea tres trabajadores de tiempo completo y un empleado de ¾ de tiempo, para un total de 120 + 30 = 150 horas de trabajo a la semana. Formule un modelo de programación lineal para la planificación de la producción de Delight Dairy y resuelva por el método simplex.

10)

Empire Abrasive Company (EAC) produce polvo de óxido de alumno que utiliza en sus afiladoras y en sus abrasivos. Hay dos tipos de producto terminado: polvo fino polvo grueso. Existen además dos tipos de insumos llamados crudo de Surinam y crudo chino (según el país de donde proviene la bauxita de la cual se obtiene el crudo). Por último, hay dos modos de procesamiento, llamados rápido y lento, que pueden aplicarse a cualquiera de los materiales de entrada para producir diversos porcentajes de los prod uctos terminados. La tabla ± describe los porcentajes de c ada producto terminado que se obtienen de las posibles combinaciones de los materiales de entrada y de los modos de procesamiento.




La tonelada de crudo de Surinam cuesta 300 dólares, mientras que la de crudo chino cuesta 350. Una tonelada de procesamiento rápido cuesta 50 dólares, y una de procesamiento lento cuesta



128

40 dólares. La tonelada de polvo grueso se vende a 500 dólares y la de polvo fino a 325. La planta de EAC puede procesar 1.000 toneladas de crudo por semana. No hay límites en cuanto al volumen de producto terminado que puede venderse. Formule un modelo de programación lineal para este problema que indique cómo puede llegar EAC a la situación más rentable. Nota: EAC puede usar ambos tipos de crudo y ambos tipos de procesos; es decir, puede existir soluciones fraccionarias. 11)

La compañía Consolidated ha contratado el envió de sus productos de la fábrica a los almacenes. El volumen de entregas se mide en toneladas ± kilómetro (toneladas de producto multiplicadas por el número de kilómetros hasta el punto de entrega). Consolidated tiene que entregar apro ximadamente 400.000 toneladas-kilómetro por mes. Actualmente, Consolidated paga a Speedie Trucking Company 50 centavos por tonelada ± kilómetro para que entregue el producto, pero quiere comprar una flotilla de camiones para hacerse cargo de todo o de una parte del servicio de entrega. Se consideran tres tipos de camiones: grandes camiones remolque, camiones medianos y camionetas. En la tabla se presentan los detalles de cada tipo. Tipo

Remolque Mediano CAMIONETA

Costo de compra $15.000 8.000 5.000

Costo operativo (toneladakilómetro) $0.28 0.32 0.40

Capacidad (toneladasKilómetro Por mes) 10.000 8.000 5.000

Speedie Trucking ha indicado que seguiría entregando los productos que Consolidated no pueda distribuir con sus camiones, a la misma tarifa de 50 centavos por tonelada kilómetro. En Consolidated hay escasez de fondos de capital para equipo, y sólo se dispone de 380 000 dólares para las compras. Además de la limitación del presupuesto, existen otras restricciones con respecto a los tipos de camiones que se compren. El primer punto es el área de carga disponible. Debido a las limitaciones del espacio de almacenamiento y de las maniobras de carga, no caben más de 28 camiones. Un remolque o un camión mediano ocuparía un espacio; dos camionetas ocuparían un espacio. Además, como consecuencia de los tipos y tamaños de las entregas, por lo menos dos terceras partes de los vehículos que se com pren tendrán que ser remolques o camiones medianos. Formule este problema como un problema de programación lineal. Resuelva por el método simplex. Tenga cuidado en la especific ación del objetivo y en la definición de las variables. 12)

Acme Skateboard Company fabrica tres modelos de patinetas: regular, especial y de lujo. En la tabla se muestran los datos de costos, precio de venta y otra información relacionada con cada modelo. Modelo Precio de venta por unidad Costo de materias primas por unidad Horas de trabajo necesarias para el montaje, para el acabado y para el empaquetado por unidad. Límite superior de la demanda para las ventas semanales.

Regular 7 3

Especial 15 6

De lujo 25 10

0.1 1000

0.2 800

0.5 300

Acme tiene una fuerza de trabajo de cinco individuos asalariaos que trabajan un máximo de 40 horas por semana y que reciben una paga de 280 dólares por semana (incluyendo prestaciones)



129

aunque no trabajen las 40 horas. Acme desea encontrar el plan óptimo de producción semanal que maximice el beneficio y la contribución al costo fijo de fuerza de trabajo. Formule un modelo de programación lineal que maximice el beneficio más la contribución a los costos fijos de fuerza de trabajo.



13 0



13 1

C apítulo IV

El Problema de Transporte PROBLEMAS PROPUESTOS 1)

Tres plantas de energía eléctrica, con capacidades de 25, 40 y 30 millones de kilovatios/hora, proporcionan electricidad a tres ciudades. La demanda máxima en las tres ciudades se calcula en 30, 35 y 25 millones de kilovatios/hora. En la tabla 4-1 se proporciona el precio por millón de kilovatios/hora en las tres ciudades. TABLA 4 - 1 Ciudad 2 3 1 $ 600 $ 700 $ 400 1 Planta 2 $ 320 $ 300 $ 350 3 $ 500 $ 480 $ 450 Durante el mes de agosto hay un incremento de 20% en la demanda en cada una de las tres ciudades, que se puede satisfacer comprándole electricidad a otra red, a un precio más elevado de 1.000 dólares por millón de kilovatios/hora. Sin embargo la red no está conectada con la ciudad 3. La compañía de servicios públicos quiere determinar el plan más económico para la distribución y la compra de la energía eléctrica adicional. a) Formule el problema como un m odelo de transporte. b) Resuelva el problema con QM oTORA y determine un plan de distribución óptima para la compañía de servicios públicos. c) Determine el costo de la energía adicional comprada por cada una de las tres ciudades

2)

Resuelva el problema 1 suponiendo que hay una pérdida de 10% en la transmisión de la energía a todo lo largo de la red.

3)

Tres refinerías, con capacidades diarias de 6, 5 y 8 millones de galones, respectivamente, abastecen a tres áreas de distribución con demandas diarias de 4, 8 y 7 millones de galones, respectivamente. La gasolina se transporta a las tres áreas de distribución a través de una red de ductos. El costo de transporte es de 10 centa vos de dólar por cada 1.000 galones por milla de ducto. La tabla 4 - 3 proporciona el millaje entre las refinerías y las áreas de distribución. La refinería 1 no está conectada al área de distribución 3.

1

Planta

2 3

TABLA 4 ± 3 Tabla de distribución 2 3 1 120 180 300 100 80 200 250 120

a) Construya el modelo de transporte asociado. b) Utilice QM o TORA para determinar el programa de envío óptimo en la red. 4)

En el problema 4, supongamos que la capacidad de la refinería 3 es de sólo 6 millones de galones y que el área de distribución 1 debe recibir toda su demanda. Además, cualquier faltante en las áreas 2 y 3 incurrirá en una penalidad de 5 centavos de dólar por galón. a) Formule el problema como un m odelo de transporte. b) Resuelva el modelo resultante con QM o TORA y determine el programa de envío óptimo.



132

En el problema 4, supongamos que la demanda diaria en el área 3 desciende a 4 millones de galones. La producción excedente en las refinerías 1 y 2 se desvía por camión a otras áreas de distribución. El costo de transporte por 100 galones es de 1.50 dólares desde la refinería 1 y 2.30 dólares desde la refinería 2. La refinería 3 puede desviar su producción excedente a otros procesos químicos dentro de la planta. a) Formule el problema como un m odelo de transporte. b) Resuelva el modelo por medio de QM oTORA y determine el programa de envío óptimo.

6)

JoShop quiere asignar cuatro categorías diferentes de máquinas a cinco tipos de tareas. El número de máquinas disponibles en las cuatro categorías es de 25, 30, 20 y 30. El número de trabajos en las cinco tareas es de 20, 20, 30, 10 y 25. La categoría de máquina 4 no se puede asignar al tipo de tarea 4. La tabla 4 - 4 proporciona el costo por unidad (en dólares) de asignar una categoría de máquina a un tipo de tarea. El objetivo de problema es determinar el número óptimo de máquinas en cada categoría que va a asignarse a cada tipo de tarea. Resuelva el problema por medio de QM oTORA e interprete la solución.

1

Categoría de máquina

2 3 4

TABLA 4 - 4 Tipo de tarea 2 3 4 1 10 2 3 15 5 10 15 2 15 5 14 7 20 15 13 22

5 9 4 15 8

7)

La demanda de un artículo perecedero a lo largo de los próximos 4 meses es de 400, 300, 420 y 380 toneladas, respectivamente. Las capacidades de oferta para los mismos meses son de 500, 600, 200 y 300 toneladas. El precio de compra por tonelada varía de mes a mes y se calcula en 100, 140, 120 y 150 dólares, respectivamente. Debido a que el artículo es perecedero, la oferta de un mes actual debe comunicarse en el transcurso de 3 meses (incluyendo el mes actual). El costo mensual de almacenamiento por tonelada es de 3 dólares. La naturaleza del artículo no permite tener pedidos pendientes. Resuelva el problema como un modelo de transporte, por medio deQM o TORA y determine el programa de entrega óptimo para el artículo durante los próximos 4 meses.

8)

La demanda de un pequeño motor especial a lo largo de los siguientes cinco trimestres es de 200, 150, 300, 250 y 400 unidades. El fabricante que suministra el motor tiene diferentes capacidades de producción, calculadas en 180, 230, 430, 300 y 300 para losmismos cinco períodos. Los pedidos pendientes no están permitidos, pero el fabricante puede utilizar horas extra de producción para satisfacer la demanda, si es necesario. La capacidad de horas extra para cada período es igual a la mitad de la capacidad de la producción regular. Los costos de producción por unidad de capacidad de la producción regular. Los costos de producción por unidad para los cinco períodos son de 100, 96, 116, 102 y 106 dólares, respectivamente. El costo de las horas extra de producción por motor es 50% más alto que el costo de la producción regular. Si un motor se fabrica ahora para utilizarlo en períodos posteriores, se incurre en un costo adicional de almacenamiento de 4 dólares por motor, por período. Formule el problema como un modelo de transporte. Utilice QM oTORA para determinar el número óptimo de motores que deben fabricarse durante las horas regulares y las horas extra de cada período.

9)

En el problema de transporte en la tabla 4 - 5, la demanda total excedente a la oferta total. Supongamos que los costos de penalidad por unidad de demanda no satisfecha son de 5, 3 y 2 dólares para los puntos de destino 1, 2 y 3, respectivamente. Determine la solución óptima. $5 $6 $3 75

TABLA 4-5 $1 $7 $4 $6 $2 $5 20 50

10

80 15



133

10)

En el problema 9, supongamos que no hay costos de penalidad, pero que la demanda en el punto de destino 3 debe satisfacerse en su totalidad. Encuentre la solución óptima.

11)

En el problema de transporte no equilibrado en la tabla 4 - 6, si una unidad de un punto de origen no se envía (a cualquiera de los puntos de destino), se incurre en un costo de almacenamiento en una proporción de 3, 4 y 3 dólares por unidad para los puntos de origen 1, 2 y 3, respectivamente. Si además, toda la oferta en el punto de origen 2 debe enviarse en su totalidad, para dejar espacio para un nuevo producto, determine el programa de envío óptimo. TABLA 4-6

$1 $3 $2 30 12)

20 40 30

$1 $5 $3 20

Resuelva los modelos de asignación en la tabla. $3 $8 $6 $8 $9

13)

$2 $4 $3 20

(a) $8 $2 $10 $3 $7 $2 $9 $7 $4 $2 $7 $5 $4 $2 $3 $5 $10 $6 $9 $10

$3 $6 $9 $2 $9

$9 $1 $4 $5 $6

(b) $2 $3 $5 $6 $7 $10 $4 $2 $2 $4

$7 $6 $3 $1 $5

JoShop necesita asignar cuatro trabajos que recibió a cuatro empleados. Las diversas habilidades de éstos dan origen a costos variados por el desempeño de los trabajos. La tabla resume los datos del costo de las asignaciones. Los datos indican que el empleado 1 no puede trabajar en el trabajo 3 y que el empleado 3 no puede trabajar en el trabajo 4. Determine la asignación óptima. 1

$50 $70 $90 $70

1

Trabajador

2 3 4

Trabajo 2 3 $50 $40 $20 $30 $50 $20 $60

4 $20 $30 $70

14)

En el modelo de JoShop del problema 15, supongamos que hay disponible un empleado adicional (el quinto) para desempeñar los cuatro trabajos, a los costos respectivos de 60, 45, 30 y 80 dólares. ¿Es económico reemplazar a uno de los cuatro trabajadores actuales con el nuevo?

15)

La red en la figura 4 ± 12 proporciona las rutas de envío de los nodos 1 a los nodos 5 y 6 a través de los nodos 3 y 4. Los co stos de envío por unidad se muestran en los respectivos arcos. a) Desarrolle el modelo de transbordo correspondiente. b) Resuelva el problema por medio de TORA y muestre cómo los envíos se dirigen por las rutas de los puntos de origen a los puntos de destino. FIGURA 4 - 12 6 3

1 100

1 4 1

3

1 2

2

150

5

3 200

5

8 4

6

150



134

16)

En el problema 15, supongamos que el nodo del punto de origen 1 se puede unir con el nodo del punto de origen 2, con un costo de envío por unidad de 1 dólar. El costo de envío por unidad del nodo 1 al nodo 3 se incrementa a 5 dólares. Formule el problema como un modelo de transbordo y encuentre el programa de envío óptimo.

17)

La red en la figura 4 ± 13 muestra las rutas para enviar los automóviles de las tres fábricas (nodos 1, 2 y 3) a los tres distribuidores (nodos 6 al 8) a través de dos centros de distribución (nodos 4 y 5). Los costos de envío por autom óvil (en 100 dólares) se muestran en los arc os. FIGURA 4 ± 13 900

6

1 0.2

1

3 0.8 1.400

2

1.100

4 0.5

4.5 3

6

7

1.000

4.3 2.1 2

5 4.6

1.000

1.9

3

8

1.200

a) Resuelva el problema como un modelo de transbordo y encuentre la solución óptima por medio de QM oTORA. b) Supongamos que el centro de distribución 4 puede vender 240 automóviles directamente a los clientes. Encuentre la nueva solución óptima. 18)

Considere el problema de transporte en el cual dos fábricas surten cierto artículo a tres tiendas. El número de unidades de oferta disponibles en las fuentes 1 y 2 es de 200 y 300; la demanda en las tiendas 1, 2 y 3 es de 100, 200 y 50, respectivamente. Las unidades se pueden transbordar entre las fábricas y las tiendas antes de que lleguen a su punto de destino final. Se desea encontrar el programa de envío óptimo (utilice QM oTORA) basado en los costos por unidad en la tabla 4 - 18.

Fábrica

1

2 1

Tienda 19)

2 3

TABLA 4 - 8 Fábrica 2 1 $0 $6 $6 $0 $7 $2 $1 $5 $8 $9

1

$7 $5 $0 $1 $7

Tienda 2 $8 $4 $5 $0 $6

3 $9 $3 $1 $4 $0

Considere la red de ductos de petróleo que se muestra en la figura 4 ± 14. Loa diferentes nodos representan las estaciones de bombeo y de recibo. Las distancias en millas entre las diferentes estaciones se muestran en la red. El costo de transporte por galón entre dos nodos es directamente proporcional al largo del ducto. Desarrolle el modelo de transbordo asociado y encuentre la solución óptima utilizando QM oTORA.



135

FIGURA 4 - 14 50.000 60.000 (galones) 1

3

20

3

9

30

40 2

7

4

90.000

20.000 8

10

2

6

5 4

2 0)

Problema de la ruta más corta. Encuentre la ruta más corta entre los nodos 1 y 7 de la red en la figura 4 - 15 formulando el problema como un modelo de transbordo. La distancia entre los diferentes nodos se muestra en la red. (Sugerencia: supongamo s que el nodo 1 tiene una oferta neta de una unidad y que el nodo 7 tiene una demanda neta también de 1 unidad). FIGURA 4 - 15 1

4

2

4 7

5

9 2

5 1

4 6

5

3

7

1 3

5 7

3

2 3 6 2 1)

Use el método de transporte para elaborar una tabla de asignación óptima de envíos de las fábricas a los almacenes: Fá br icas

F1 F2 F3 Total Al macenes

W1 W2 W3 Total

C antidad disponi bl e

10 20 30 60 C antidad r equer ida

15 28 17 60

Los costos unitarios de envío son:

F1

W1 $0.90

W2 $0.95

W3 $1.30


INVESTIGACIÓN OPERATIVA TOMO II F2 F3

22)

1.00 1.05

1.40 0.85

136

0.95 1.10

Use el método de transporte para elaborar una tabla de asignación óptima de envíos de las fábricas a los almacenes: Fábricas

C antidad disponible

Almacenes

C antidad requerida

F1 F2 F3 Total

20 15 30 65

W1 W2 W3 Total

10 26 29 65

Los costos unitarios de envío son: F1 F2 F3 23)

W1 $1.10 1.20 1.10

W2 $1.12 1.00 0.90

W3 $1.20 1.05 0.95

Hay tres clasificaciones de trabajadores (P1, P2 y P3) que se pueden usar en tres trabajos (J1, J2 y J3). Cada trabajador tiene costo diferente para cada trabajo, como se indica en la tabla siguiente. El número de trabajadores que se requiere para cada trabajo también se incluye en dicha tabla. Costos directos Trabajo Trabajador J1 P1 $1.00 P2 $0.90 P3 $0.80 Trabajadores requeridos

Trabajadores disponibles $1.20 10 $1.10 15 $1.15 20 30 45

J2

J3

$1.10 $0.80 $0.85 10

Use el método de transporte para encontrar la asignación óptima. 24)

Una empresa tiene dos fábricas que abastecen a tres almacenes regionales. Los costos unitarios de transporte son: Costos unitarios de transporte Almacén Fábrica

W 1

W 2

W 3

F1 F2

$2 4

$2 1

$5 1

La fábrica 2 es vieja y tiene costo variable de manufactura de dos labores por unidad. La fábrica 1 es moderna y su producción cuesta un dólar por unidad. La fábrica 2 tiene capacidad de 25 unidades y la fábrica 1 tiene capacidad de 40 unidades. Las necesidades de los almacenes son: Almacenes

U nidades requeridas

W1 W2 W3

20 10 25

¿Cuánto debe enviar cada fábrica a cada almacén? Sume el costo de manufactura al costo de transporte para obtener un costo por ³unidad entregada´. Minimice esta cantidad. Establezca también un almacén ficticio para manejar el exceso de capacidad. R ecomendación:

25)

La compañía ABC tiene cuatro fábricas que abastecen a cinco almacenes. Los costos de envío, los requerimientos y las capacidades se indi can en las tablas siguientes:



137

Costos de envío (dólares por caja) W1 W2 W3 W4 W5 1 3 4 5 6 2 2 1 4 5 1 5 1 3 1 5 2 4 5 4

F1 F2 F3 F4

C apacidades R equerimientos

de la fábrica (miles de cajas)

(miles de cajas)

W1 W2 W3 W4 W5

80 50 50 30 40

F1 F2 F3 F4

100 60 60 50

La compañía consideraba el cierre de la cuarta fábrica (F4) por sus altos costos operativos. Si lo hubiera, se agregarían 30 unidades de capacidad a la fábrica 3. El gerente de transporte se preocupaba por el efecto de esta acción sobre los costos de transporte de la compañía. El había observado que el almacén 2 (w´2 recibía cerca de 30 000 cajas de F4. Como el costo de envío de F3 a W2 era de cinco dólares (comparado con dos dólares de F4 a W2), el gerente estimaba que el efecto de cerrar F4 sería un aumento de 90 000 dólares en los costos de transporte. ¿Está usted de acuerdo con el gerente de transporte? ¿Qué efecto cree que tendría el cierre de F4 sobre los costos de transporte? 26)

La compañía de transporte Genesee tiene cuatro terminales, A, B, C y D. Al comenzar cada día hay ocho, seis, cuatro y siete tractores en las terminales respectivas. Durante la noche anterior se cargaron los remolques en las plantas E, F, G, H e Y con las siguientes cantidades: tres, seis, cinco, seis y cinco, respectivamente. La distancia entre las terminales y las plantas se indica en la tabla ³Kilómetros entre las terminales y las plantas´. Kilometros entre las terminales y las plantas Plantas Terminales A B C D

E 20 74 60 39

F 47 13 31 41

G 17 52 51 37

H 41 40 71 21

I 62 32 68 38

¿De que terminales a que plantas hay que enviar los tractores si debe minimizarse la distancia total que recorran todos los t ractores para recoger los remolques? 27)

La compañía de productos Zeta tiene cuatro fábricas que abastecer a cinco almacenes. Los costos variables de manufactura y envío de una tonelada de producto de las fábricas a los almacenes se indican como números en la esquina superior izquierda de las casillas de la tabla anexa. Las capacidades de las fábricas y los requerimientos de los almacenes se expresan en miles de toneladas en los márgenes de la tabla. Observe que hay un almacén ficticio (llamado holgura) para tener en cuenta la diferencia entre la capacidad total y el total de los requerimientos. Después de varias iteraciones se obtiene una solución (los números en círculo con pantalla en la tabla). Responda a las siguientes preguntas en f orma independiente. a) ¿Es la solución óptima? De ser así, ¿Cuál es el costo total? b) ¿Hay una solución óptima alternativa? De ser así, ¿cuál es?

ECON. JUAN CARLOS ERAZO F Desti


s W1

F ent es

W2

W3

17

9

14

13

6

11

F2

10 8

F3

20 17

10

W5

H l r

14

0

11

12

0

12

12

0

14

6

30

15 9

C

75

10

45

es

30 20 11

F4

10 40

ci

20

30 15

i ent s

W4

25

F1

R equeri

138

20

50

0 40

30

40

50 20

200

c) Suponga que se instala un nuevo equipo que reduce el costo operativo variable en dos dólares por tonelada en la segunda fábrica (F2). ¿Es aún óptima la solución? De no ser así, ¿cuál es la nueva solución óptima? d) Suponga que el costo de transporte de F1 a W1 se reduce en dos dólares ¿Cambia el programa de envíos? De ser a sí, ¿cuál sería la nueva solución óptima? 28)

Una compañía tiene tres plantas que fabrican carriolas de bebé que deben mandarse a cuatro centros de distribución. Las plantas 1, 2 y 3 producen 12, 17 y 11 cargas mensuales, respectivamente. Cada centro de distribución necesita recibir lO cargas al mes. La distancia desde cada planta a los respectivos centros de distribución es la siguiente:

1

Planta

2 3

Distancia (millas) Centro de distribución 2 3 4 1 800 1300 400 700 1100 1400 600 1000 600 1200 800 900

El costo del flete por embarque es $100 más $0.50/milla. ¿Cuántas cargas deben mandarse desde cada planta a cada centro de distribución para minimizar el costo total: de transporte? a) Formule este problema como un problema de transporte construyendo la tabla de parámetros apropiada. b) Dibuje la representación de red para este problema. c) Obtenga una solución óptima. 29)

Tomás desearía comprar e xactamente 31itros de cerveza casera hoy y al menos 4 litros mañana. Ricardo quiere vender un máximo de 5 litros en total a un precio de $3.00 por litro hoy y de $2.70 por litro mañana. Enrique está dispuesto a vender máximo 41itros en total, a un precio de $2.90 por litro hoy y $2.80 por litro mañana. Tomás quiere saber cuánto debe comprar a cada uno para minimizar su costo y a la vez cumplir con los requerimientos mínimos para satisfacer su sed. a) Formule el modelo de programación lineal y dé la tabla símplex inicial. b) Formule este problema como un problema de transporte construyendo la tabla de parámetros apropiada. c) Obtenga una solución óptima para este problema.

3 0)

La corporación Versatech producirá tres productos nuevos. En este momento, cinco de sus plantas tienen exceso de capacidad de producción.El costo unitario respectivo de fabricación del primer producto será de $31, $29, $32, $28 y $29, en las plantas 1, 2, 3, 4 y 5. El costo unitario de fabricación del segundo producto será de $45, $41, $46, $42 y $43 en las plantas respectivas 1,2, 3,4 y 5; y para el tercer producto será de $38, $35 y $40 en las plantas respectivas 1,2 y 3, pero las plantas 4 y 5 no pueden fabricar este producto. Los pronósticos de ventas indican que la producción diaria debe ser 600, I.000 y 800 u nidades de los productos 1, 2 y 3, respectivamente. Las plantas 1, 2, 3, 4 y 5 tienen capacidades para producir 400, 600, 400, 600 y I 000 unidades diarias, sin importar el producto o combinación de productos. Suponga que cualquier planta que tiene capacidad y posibilidad de fabricarlos podrá producir cualquier combinación de productos en cualquier cantidad.



139

La gerencia desea asignar los nuevos productos a las plantas con el mínimo costo total de fabricación. a) Formule este problema como un problema de transporte construyendo la tabla de parámetros adecuada. b) Obtenga una solución óptima para este problema. 3 1)

Suponga que Inglaterra, Francia y España producen todo el trigo, cebada y avena en el mundo. La demanda mundial de trigo requiere que se dediquen 125 millones de acres a la producción de ese cereal. De igual manera, se necesitan 60 millones de acres para cebada y 75 millones de acres para avena. La cantidad total de tierra disponible en Inglaterra, Francia y España es 70, 110 y 80 millones de acres. El número de horas de mano de obra necesarias para producir un acre de trigo en los respectivos países es 18, 13 y 16 horas. La producción de un acre de cebada requiere 15,12 y 12 horas de mano de obra y la producción de un acre de avena requiere 12, 10 y 16 horas de mano de obra en Inglaterra, Francia y España. El costo de mano de obra por hora en cada país es $9.00, $7.20 y $9.90 para la producción de trigo, $8.10, $9.00 y $8.40 para la de cebada y $6.90, $7.50 y $6.30 para la de avena. El problema es asignar de la tierra en cada país de manera que se cumpla con los requerimientos de alimentación en el mundo y se m inimice el costo total de mano de obra. a) Formule este problema como un problema de transporte construyendo la tabla de parámetros apropiada. b) Obtenga una solución óptima para este problema.

32)

La compañía Move-It tiene dos plantas que producen montacargas que se mandan a tres centros de distribución. Los costos de producción unitarios son los mismos para las dos plantas y los costos de transporte (en cientos de dólares) en unidad para todas las combinaciones de la planta y centro de distribución son los siguientes:

Planta

A B

Centro de distribución 2 3 1 $800 $700 $400 $600 $800 $500

Se debe producir y mandar un total de 60 unidades por semana. Cada planta puede producir y mandar cualquier cantidad hasta un máximo de 50 unidades a la semana, de manera que hay una gran flexibilidad para dividir la producción total entre las dos plantas y reducir los costos de transporte. El objetivo de la gerencia es determinar cuánto se debe producir cada planta y después, cuál debe ser el patrón de embarque de manera que se m inimice el costo total de transporte. a) Formule este problema, como un problema de transporte construyendo la tabla de parámetros apropiada. b) Presente el problema en una hoja de Excel. c) Use Excel Solver para obtener una solución óptima. 33)

La compañía MKJ debe producir una cantidad suficiente de dos artículos para cumplir con las ventas contratadas para los próximos tres meses. Los dos productos comparten las mismas instalaciones de producción y cada unidad de ambos requieren la misma capacidad de producción. Las capacidades de producción y almacenamiento disponibles cambian cada mes, por lo tanto, puede valer la pena producir más de alguno o ambos artículos en ciertos meses y almacenarlos hasta que se necesiten. Para cada uno de los tres meses, la segunda columna de la siguiente tabla da el número máximo de unidades de los dos artículos combinados que se pueden produci r en horas normales (HN) y en horas extras (HE). Para cada producto, las columnas subsecuentes dan (1) el número de unidades necesarias para la venta contratada, (2) el costo en miles de dólares por unidad en horas normales, (3) el costo por unidad en horas extras, (4) el costo de almacenar cada unidad adicional



14 0

que se guarda para el siguiente mes. En cada caso, las cifras para los dos productos se separaron con una diagonal, con el valor del artículo (1) a la izquierda y el artículo (2) a la derecha.

Mes 1

2 3

Producción combinada máxima HN HE Ventas 10 3 5/3 8 2 3/5 10 3 4/4

Artículo 1 / Artículo 2 Costo unitario de Costo unitario producción (miles $) de almacén (miles $) HN HE 15/16 18/20 ½ 2/1 17/15 20/18 19/17 22/22

El gerente de producción quiere desarrollar un programa para el número de unidades de cada producto que debe fabricarse en horas normales y en horas extras (si se usa toda la capacidad de producción normal) para los tres meses. El objetivo es minimizar el costo total de producción y almacenaje, cumpliendo con las ventas contratadas para cada mes. No se tiene un inventario inicial y no se desea inventario fi nal después de los tres meses. a) Formule este problema como un problema de transporte construyendo la tabla de parámetros apropiada. b) Obtenga una solución óptima para este problema. 34)

Considere el problema de transporte que t iene la siguiente tabla de parámetros: Destino 2 3 4 5 Recursos 1 4 1 2 4 6 5 7 2 7 6 3 M 4 6 Origen 3 8 7 5 2 5 6 4 0 0 0 0 0 4 Demanda 4 4 2 5 5 Utilice cada uno de los siguientes criterios para obtener una solución inicial BF. Compare los valores de la función objetivo para estas soluciones. a) Regla de la esquina noroeste. b) Método de QM o TORA.

35)

Considere el problema de transporte con la tabla de parámetros que se muestra en seguida:

1 1

origen

Demanda

2 3 4 5

13 14 3 18 30 3

Destino 3 4 22 29 16 21 M 11 19 23 34 36 4 5

2 10 13 0 9 24 5

5 18 M 6 11 28 6

6 0 0 0 0 0 2

Recursos 5 6 7 4 3

Utilice cada uno de los siguientes criterios para obtener una solución inicial BF. Compare los valores de la función objetivo para estas soluciones. a) Regla de la esquina noroeste. b) Método de QM o TORA. 36)

Considere el problema de transporte cuya tabla de parámetros es: 1

Destino 2 3

4

Recursos


INVESTIGACIÓN OPERATIVA TOMO II 1

2 3 4

Origen Demanda

7 4 8 6 1

4 6 5 7 1

1 7 4 6 1

4 2 6 3 1

14 1

1 1 1 1

a) Observe que este problema tiene tres características especiales: 1) número de orígenes = número de destinos; 2) cada recurso =1, y 3) cada demanda =1. Los problemas de transporte con estas características son del tipo especial de problemas de asignación (descritos en la sección 8.3). Utilice la propiedad de soluciones enteras para explicar por qué este tipo de problemas de transporte se puede interpretar como la asignación de orígenes a destinos en una correspondencia uno a uno. b) ¿cuántas variables básicas hay en cada solución BF? ¿Cuántas son variables básicas degeneradas (=0)? c) Utilice la regla de la esquina noroeste para obtener la solución inicial BF. d) IConstruya una solución inicial BF aplicando el procedimiento general del paso inicial del método símplex de transporte. Ahora bien, en lugar de usar uno de los tres criterios para el paso 1 presentados en la sección 8.2, utilice el criterio del costo mínimo que se da en seguida para seleccionar la siguiente variable básica. [Con la rutina interactica correspondiente del OR Courseware, elija la regla de la esquina noroeste (Nortwest Corner Rule) ya que esta elección permite, de hecho, utilizar cualquier criterio]. Criterio de cómo mínimo: entre los renglones y columnas consideradas, se elige la variable xij con el menor costo unitario cij como la siguiente variable básica (los empates se rompen arbitrariamente). e) A partir de la solución inicial BF del inciso c, aplique el método símplex de transporte en forma interactiva para obtener una soluci ón óptima. 37)

Considere el problema de transporte que tiene la siguiente tabla de parámetros: Destino 3 3 8 9 0 20

2 1 8 6 2 5 M Origen 3 6 3 4(F) 0 0 Demanda 25 25 a) Resolver por el método simplex. b) Resolver por el método de transporte 1

38)

4 7 4 6 0 10

5 5 7 8 0 20

Recursos 20 30 30 20

Considere el problema de transporte que t iene la siguiente tabla de costos y requerimientos: Destino 1 1

Origen Demanda

2 3

3 2 4 3

2 7 4 3 3

3 6 3 8 2

4 4 2 5 2

Recursos 5 2 3

Utilice cada uno de los criterios que siguen para obtener una solución inicial BF. En cada caso aplique en forma interactiva el método símplex de transporte, comenzando con la solución inicial correspondiente, para obtener una solución óptima. Compare el número de interacciones que se llevan a cabo. a) Regla de la esquina noroeste, b) Método de QM o TORA,



142

La Cost-Less Corp. surte sus cuatro tiendas desde sus cuatro plantas. El costo de envío de cada planta a cada tienda se da en la siguiente tabla

:

1

Origen

2 3 4

Costo unitario de envío a cada tienda 2 3 4 1 $ 500 $ 600 $ 400 $ 200 $ 200 $ 900 $ 100 $ 300 $ 300 $ 400 $ 200 $ 100 $ 200 $ 100 $ 300 $ 200

Las plantas respectivas 1, 2, 3 y 4 realizan 10, 20, 20 y 10 envíos al mes. Las tiendas 1, 2, 3 y 4 deben recibir 20, l0, l0 y 20 envíos respectivos por mes. El gerente de distribución, Randy Smith desea determinar el mejor plan de cuántos envíos mandar de cada planta a cada tienda cada mes. El objetivo de Randy es minimizar el costo total de envío. a) Formule este problema como un problema de transporte construyendo la tabla de parámetros adecuada. b) Use la regla de la esquina noroeste para desarrollar una solución BF inicial. c) A partir de la solución básica inicial del inciso b, aplique el método de transporte en forma interactiva para obtener una solución óptima. 4 0)

La compañía Energetic debe planear el sistema de energía de un nuevo edificio. Las necesidades de energía caen en las siguientes categorías: 1) electricidad, 2) calentadores de agua y 3) calefactores de ambiente. Los requerimientos diarios de energía ( medidos en las mismas unidades) en el edificio son: Electricidad Calentadores de agua Calefactores de ambiente

20 unidades 10 unidades 30 unidades

Las tres fuentes posibles de energía son electricidad natural y una unidad de celdas solares que se puede instalar en el techo. El tamaño del techo limita la unidad de celdas solares a 30 unidades, pero no hay límite en la disponibilidad de electricidad y gas natural. Las necesidades de luz se pueden satisfacer sólo comprando la energía eléctrica (a un costo de $ 50 dólares por unidad). Las otras dos necesidades se pueden cumplir mediante cualquier fuente o combinación de fuentes. Los costos unitari os son: Electricidad Gas Natural Calentadores de agua $ 90 $ 60 Calefactores de ambiente $ 80 $ 50

Celdas Solares $ 30 $ 40

El objetivo es minimizar el costo total de cumplir con l as necesidades de energía. a) Formule éste problema como un problema de transporte, construyendo la tabla de parámetros apropiada. b) Utilice la regla de la esquina noroeste para obtener una solución BF inicial para este problema. c) A partir de la solución inicial BF del inciso b, aplique en forma interactiva el método símplex de transporte para obtener una solución óptima. d) Utilice el método de aproximación de Vogel para obtener una solución BF inicial para este problema. e) Comenzando con la solución BF inicial obtenida en d, aplique en forma interactiva el método símplex de transporte para obtener una solución óptima. f) Utilice el método de aproximación de Russell para obtener una solución BF inicial para este problema



143

g) Comenzando con la solución obtenida en el inciso f aplique en forma interactiva el método símplex de transporte para obtener una solución óptima. Compare el número de iteraciones requeridas por este algoritmo en éste y en los incisos c y e. 4 1)

Considere el problema de transporte que t iene la siguiente tabla de parámetros : Destino 1

Origen Demanda

1

2

8 6 3

2 5 4 3

Recursos 4 2

a) Elija un criterio para obtener una solución BF inicial y resuelva el problema por el método símplex de transporte. b) Formule de nuevo este problema como un problema general de programación lineal y resuélvalo por el método símplex. 42)

Una contratista tiene que acarrear grava a tres construcciones. Puede comprar hasta 18 toneladas en un foso de grava al norte de la ciudad y 14 toneladas en uno al sur. Necesita 10, 5 y 10 toneladas en las respectivas construcciones 1, 2 y 3. el precio de compra por tonelada en cada foso y los costos de acarreo son los siguientes:

Foso Norte Sur

Costo por tonelada acarreada 1 2 3 $ 30 $ 60 $ 50 $ 60 $ 30 $ 40

Precio por tonelada $ 100 $ 12 0

La contratista debe determinar cuánto acarrea de cada foso a cada construcción de manera que se minimice el costo total de compra y acarreo de la grava. a) Formule el modelo de programación lineal. Use el método de la M para construir la tabla símplex inicial lista para aplicar el método símplex pero no lo resuelva. b) Ahora formule éste problema como uno de transporte construyendo la tabla de parámetros adecuada. Compare el tamaño de esta tabla (y de la tabla símplex de transporte correspondiente) usado por el método símplex de transporte, con el tamaño de la tabla símplex del inciso a necesaria para aplicar el método símplex. c) La contratista ha observado que puede abastecer por completo las construcciones 1 y 2 del foso norte y la construcción 3 del foso sur. Utilice una prueba de optimalidad del método símplex de transporte para verificar si la solución BF correspondiente es óptima. d) Con la regla de la esquina noroeste, use la rutina interactiva del método símplex de transporte para resolver el problema f ormulado en el inciso b. e) Como siempre, sea cij, el costo unitario asociado con el origen i y el destino j dado en la tabla de parámetros construida en el inciso b. Para la solución óptima que se obtuvo en el inciso d, suponga que el valor de cij para cada variable básica xij se fija en el valor dado en la tabla de parámetros, pero que el valor de cij para cada variable no bá sica xij talvez se pueda alterar regateando porque el género de la construcción quiere aumentar sus negocios. Use análisis de sensibilidad para determinar el intervalo permisible para seguir óptimo para cada valor cij anterior y explique en qué puede ser út il esta información para la contratista. 43)

La Childfair Company tiene 3 plantas que fabrican carriolas para niños y debe enviarlas a cuatro centro de distribución. Las plantas 1, 2 y 3 fabrican 12, 17 y 11 envíos mensuales, respectivamente. Cada centro de distribución necesita recibir 10 envíos mensuales. En la tabla se da la distancia desde cada planta a los centros de distribución respectivos. Distancia al centro de distribución (millas) Planta Distancia al centro de distribución (millas) 1 2 3 4 1 800 1.300 400 700 2 1.000 1.400 600 1.000 3 600 1.200 800 900



144

El costo del flete por cada envío es $100 más 50 centavos/milla. ¿Cuánto debe enviarse desde cada planta a cada uno de los centros de distribución para minimizar el costo total de embarque? a) b)

Formule este problema como uno de transporte construyendo la tabla de parámetros apropiada. Use QM oTORA para obtener la solución óptima.

44)

Tom requiere para hoy 3 pintas de cerveza casera y mañana 4 pintas adicionales de cerveza casera. Dick está dispuesto a vender hoy un máximo de 5 pintas en total a un precio de $3.00/pinta y mañana a $2.70/pinta. Harry está dispuesto a vender hoy un máximo de 4 pintas a un precio de $2.90/pinta y mañana a $2.80/pinta. Tom desea saber cuáles deberían ser sus compras con elfin de minimizar su costo al mismo tiempo que satisfacer sus requerimientos. Formule y resuelva el modelo en una hoja de cálculo.

45)

La Versatech Corporation decidió producir tres productos nuevos. Cinco plantas sucursales cuentan ahora con capacidad de producción excedente. El costo unitario de fabricación del primer producto sería $31, $29, $32, $28 y $29 en las respectivas plantas 1, 2, 3, 4 y 5. El costo unitario de f abricación del segundo producto sería $45, $41, $46, $42 y $43 en las plantas 1, 2, 3, 4 y 5, respectivamente. El costo unitario de fabricación del tercer producto sería $38, $35 y $40 en las respectivas plantas 1, 2 y 3 las plantas 4 y 5 no cuentan con la capacidad para fabricar este producto. Los pronósticos de ventas indican que se deben producir al día 600, 1.000 y 800 unidades de los productos 1, 2 y 3, respectivamente. Las plantas 1, 2, 3, 4 y 5 tienen capacidad para producir 400, 600, 400, 600 y 1000 unidades diarias, respectivamente, sin importar el producto o combinación de productos. Suponga que cualquier planta que cuenta con la posibilidad y capacidad de producción puede fabricar cualquier combinación de los productos en cualquier cantidad. La administración desea saber cómo asignar los nuevos productos a las plantas para minimizar el costo total de fabricación. Formule y resuelva el modelo en una hoja de cálculo.

46)

Una contratista, Susan Meyer, tiene que acarrear grava a tres sitios de construcción. Puede comprar hasta 18 toneladas en una mina de grava en el norte de la ciudad y 14 toneladas en una en el sur. Necesita 10, 5 y 10 en los sitios 1, 2 y 3, respectivamente. En la tabla siguiente se dan el precio de compra por tonelada en cada mina de grava y los costos de acarreo. Costo de acarreo por tonelada al sitio

47)

Mina

1

Norte Sur

$30 60

2 $60 30

3

Pr eci o por t onel ada

$50 40

$100 120

Susan desea determinar cuánto acarrear desde cada mina a cada sitio para minimizar el costo total de comprar y acarrear grava. Formule y resuelva el modelo en una hoja de cálculo. La Ouenote Co., fabrica un producto único en tres plantas para cuatro clientes. Las tres plantas producirán 60, 80 y 40 unidades, respectivamente, durante la semana próxima. La empresa se comprometió a vender 40 unidades al cliente 1, 60 unidades al cliente 2 y al menos 20 unidades al cliente 3. Los clientes 3 y 4 también quieren comprar cuantas unidades restantes sea posible. La ganancia neta asociada con enviar una unidad de la planta i al cliente j está dada en la siguiente tabla: Cliente Planta 1 7 3 4 1 $800 $700 $500 $200 2 500 200 100 300 3 600 400 300 500 La administración quiere saber cuántas unidades vender j los clientes 3 y 4 y cuántas unidades enviar de cada plantas cada cliente para maximizar la ganancia. Formule y resuelva un modelo en hoja de cálculo para este problema.



145

La Build-Em-Fast Company acordó surtir a su mejor cliente tres artefactos durante cada una de las tres semanas siguientes, aunque fabricarlos requerirá cierto tiempo extra-Los datos relevantes de producción son como sigue Producción máxima Semana Tiempo Tiempo Costo unitario de normal extra producción en tiempo normal 1 2 3 $300 2 3 2 $500 3 1 2 $400 El costo por unidad producida en tiempo extra para cada semana es $100 más que para el tiempo normal. El costo de almacenaje es $50 por unidad por cada semana que se almacena. Ya existe un inventario disponible de dos artefactos, pero la compañía no quiere tener artefactos en inventario después de tres semanas. La administración desea saber cuántas unidades debe producir cada semana para minimizar el costo total de cumplir con e! programa de entregas. Formule y resuelva un modelo en hoja de cálculo para este problema.

49)

La MJK Manutacturing Company debe fabricar dos productos en cantidad suficiente para cubrir ventas contratadas durante cada uno de los próximos tres meses. Los dos productos comparten las mismas instalaciones de producción y cada unidad de ambos productos requiere la misma capacidad de producción. La producción disponible y las instalaciones de almacenaje cambian de un mes a otro de modo que las capacidades de producción, los costos unitarios de producción y los costos unitarios de almacenaje varían cada mes. Por lo tanto, puede valer la pena producir uno o ambos productos en exceso algunos meses y almacenarlos hasta que se necesiten. Para cada uno de los tres meses, las columnas iniciales de la siguiente tabla dan el número máximo de unidades de los dos productos combinados que pueden producirse en tiempo normal (RT) y en tiempo extra (OT). Para cada producto, las columnas subsecuentes dan (1) el número de unidades necesarias para las ventas contratadas, (2) el costo (en miles de dólares) por unidad producida en tiempo normal, (3) el costo (en miles de dólares) por unidad producida en tiempo extra y (4) el costo (en miles de dólares) de almacenar cada unidad adicional hasta el siguiente mes. En cada caso, los números para los dos productos existen separados por una diagonal /, con el número del producto 1 en el lado izquierdo y el número del producto 2 en el derecho.

Mes 1 2 3

Producción combinada máxima RT OT 10 3 8 2 10 3

Producto 1 / Producto 2 Costo unitario de Costo unitario producción ($1 000s) de almacenaje Ventas RT OT ($1 000s) 5/3 15/16 18/20 1/2 3/5 17/15 20/18 2/1 4/4 19/17 22/22

El gerente de producción pide que se desarrolle una programación para el número de unidades de cada producto que debe fabricarse en tiempo normal y, si se agota el tiempo de producción normal, en tiempo extra para cada uno de los tres meses. El objetivo es minimizar el total de los costos de producción y almacenaje al mismo tiempo que satisfacer las ventas contratadas para cada mes. No hay inventario inicial ni se desea un inventario final después de los tres meses. Formule y resuelva un modelo en hoja de cálculo para este problema. 50)

Considere un problema de asignación con la siguiente tabla de costos. PERSONA A B C

1

3 2

Trabajo 2 3 $5 $7 6 5 3 4

$4



146

La solución óptima es A-3, B-l, C-2, con un costo total de $10. a) b) 5 1)

Trace la representación de redes para este problema. Use QM oTORA para obtener la solución óptima identificada.

Se usarán cuatro barcos de carga para embarcar bienes de un puerto a otros cuatro puertos (etiquetados 1, 2, 3, 4). Puede usarse cualquier barco para hacer cualquiera de estos cuatro viajes Sin embargo, como se ve en la siguiente tabla, debido a las diferencias en los barcos y las cargas, el costo total de cargar, transportar y descargar los bienes varía considerablemente en las diferentes combinaciones barco-puerto: Planta Banco 1 2 3 4

1

$500 600 700 500

2 $400 600 500 400

3 $600 700 700 600

4 $700 500 600 600

El objetivo es asignar los cuatro barcos a los cuatro puertos diferentes de modo que se minimice el costo total de los cuatro embarques. a) b) 52)

Describa cómo se ajusta este problema al formato de un problema de asignación. Formule y resuelva este problema mediante QM oTORA.

El entrenador de una categoría de un equipo de natación necesita asignar nadadores a un equipo de relevos combinado de 200 yardas para enviarlos a las olimpiadas juveniles. Como la mayoría de los mejores nadadores son muy rápidos en más de un estilo, no está claro qué nadador debe asignar a cada uno de los cuatro estilos. Los cinco nadado res más rápidos y sus mejores tiempos (en segundos) logrados en cada estilo (para 50 yardas) son Estilo Cari Chris David Tony Ken Dorso 37.7 32.9 33.8 37.0 35.4 Pecho 43.4 33.1 42.2 34.7 41.8 Mariposa 33.3 28.5 38.9 30.4 33.6 Libre 29.2 26.4 29.6 28.5 31.1 El entrenador quiere determinar cómo asignar cuatro nadadores a los cuatro estilos para minimizar la suma de los mejores tiempos correspondientes. a) b)

53)

Describa cómo se ajusta este problema al formato de una variante del problema de asignación aunque no involucre costos. ¿Qué desempeña el papel de los costos? Formule y resuelva este problema en una hoja de cálculo.

La gerencia de la Executive Furniture Corporation decidió expandir la capacidad de producción en su fá-brica de Des Moines y reducirla en las demás fábricas. También reconoce que el mercado para sus escritorios está en permanente cambio y revisa los requerimientos de sus tres almacenes. a) b)

Utilice la regla de la esquina noroeste para establecer un programa de envíos factible inicial y calcule su costo. Encuentre la solución final.

NUEVOS REQUERIMIENTOS DE LOS ALMACENES Albuquerque (A) 200 escritorios Boston (B) 200 escritorios Cleveland (C) 300 escritorios

NUEVAS CAPACIDADES DE FABRICA Des Moines (D) 300 escritorios Envansville (E) 150 escritorios Fort Lauderdale (F) 250 escritorios



A ALBUQUERQUE DE DES MOINES 5 EVANSVILLE 8 FORT LAUDERDALE 9 54)

BOSTON

CLEVELAND

4 4 7

3 3 5

147

La Hardrock Concrete Company tiene tres plantas en tres lugares y en la actualidad trabaja en tres importantes proyectos de construcción, cada uno localizado en un sitio diferente. El costo de envío por cada camión cargado de concreto, las capacidades de planta diarias y los requerimientos diarios del proyecto se dan en la tabla anterior. a) b)

Resuelva mediante la regla de la esquina noroeste. Luego evalúe cada ruta de envió no utilizada calculando los índices de mej ora. ¿Es esta solución óptima? ¿Por qué? ¿Existe más de una solución óptima para este problema? ¿Por qué?

A DE PLANTA 1 PLANTA 2 PLANTA 3 REQUERIMIENTOS DE PROYECTOS

PROYECTO A

PROYECTO B

PROYECTO C

$10 12 9 40

$4 5 7 50

$11 8 6 60

CAPACIDAD DE PLANTA 70 50 30 150

55)

El propietario de Hardrock Concrete ha decidido incrementar la capacidad de su planta más pequeña (vea e! problema 54). En lugar de producir 30 cargas de concreto por día en la planta 3, la capacidad de esa planta se duplica a 60 cargas. Encuentre la nueva solución óptima utilizando la regla de la esquina noroeste. ¿De qué forma el cambio de la capacidad de la tercera planta ha modificado la asignación de envíos original?

56)

La Krampf Lines Railway Company se especializa en el manejo de carbón. El viernes 13 de abril, Krampf tenía carros vacíos en las siguientes localidades en las cantidades indicadas. POBLACION Morgantown Youngstown Pittsburg

OFERTA DE CARROS 35 60 25

Para el lunes 16 de abril, las siguientes localidades necesitarán carros de carbón, según el orden siguiente: POBLACION OFERTA DE CARROS Coal Valley 30 Coaltown 45 Coal Juction 25 Coalsburg 20 ----------------------------------------------- ------------------------A

COAL VALLEY

COALTOWN

COAL JUCTION

COALSBURG

DE MORGANTOWN 50 30 60 70 YOUNGSTOWN 20 80 10 90 PITTSBURGH 100 40 80 30 Con base en la tabla de distancias entre ciudades por ferrocarril, el despachador construye una tabla de millaje para las localidades anteriores. El resultado se muestra en la tabla. Minimizando las millas totales que los carros recorren para llegar a las nuevas localidades, calcule e! mejor envío de carros de carbón. Use l a regla de la esquina noroeste y el método MODI. 57)

Una empresa fabrica acondicionadores de aire para habitaciones en plantas localizadas en Houston, Phoenix y Memphis. Los aparatos se envían a distribuidores regionales localizados en Dallas, Atlanta y Denver. Los costos de envío varían y a la compañía le gustaría encontrar la forma



148

de minimizar sus costos para satisfacer las demandas de cada uno de los centros de distribución. Dallas requiere 800 acondicionadores al mes, Atlanta 600 y Denver 200. Houston tiene 850 acondicionadores de aire disponibles al mes, Phoenix 650 y Memphis 300. El costo de envío por unidad de Houston a Dallas es de $8, a Atlanta de $12 ya Denver de $10. El costo por unidad de Phoenix a Dallas es de $10, a Atlanta de $14 ya Denver de $9. El costo por unidad de Memphis a Dallas es de $11, a Atlanta de $8 ya Denver de $12. ¿Cuántas unidades deberán ser enviadas de cada planta a cada centro de distribución regional? ¿Cuál es e! costo total de esta operación? 58)

En el estado de Missouri operan tres importantes compañías generadoras de energía (A, B Y C). Durante los meses de demanda pico, la Missouri Power Authority permite a estas compañías reunir sus existencias excedentes y distribuidas a empresas similares independientes más pequeñas que no cuentan con generadores suficientemente grandes para satisfacer la demanda. La distribución de existencias excedentes se basa en el costo por kilowatt hora transmitido. La tabla siguiente muestra la demanda y existencias en millones de kilowatts horas y el costo por kílowatt hora de transmisión de energía eléctrica a cuatro compañías en las ciudades W, X, Y y Z. A

W

X

Y

Z

12¢ 8¢ 1¢ 40

4¢ 1¢ 12¢ 20

9¢ 6¢ 4¢ 50

5¢ 6¢ 7¢ 20

DE A B C DEMANDA DE ENERGIA NO SATISFECHA

OFERTA EXCEDENTE 55 45 30

Use VAM para encontrar una asignación inicial para distribuir las existencias de energía excedentes. Luego aplique la técnica MODl, para determinar e! sistema de distribución de menor costo. 59)

Considere la tabla de transporte que se presenta a continuación. Encuentre una solución inicial con base en la regla de la esquina noroeste. ¿Qué condición especial existe? Explique cómo resolverá el problema. A DE ORIGEN 1 ORIGEN 2 ORIGEN 3 ORIGEN 4 DEMANDA

6 0)

DESTINO A 8 5 7 5 110

DESTINO B 9 6 9 3 34

DESTINO C 4 8 6 7 31

OFERTA 72 38 46 19 175

Los tres bancos de sangre del condado de Franklin son coordinados por una oficina central que suministra sangre a cuatro hospitales de la región. El costo de envío de un recipiente estándar de sangre de cada banco a cada hospital se muestra en la tabl a anterior. También se da el número bisemanal de recipientes disponibles en cada banco y el número bisemanal de recipientes que se necesitan en cada hospital. ¿Cuántos envíos deberán hacerse bisemanalmente de cada banco de sangre a cada hospital de modo que los costos de envío totales se reduzcan al mínimo? A DE BANCO 1 BANCO 2 BANCO 3 DEMANDA

6 1)

HOSPITAL 1

HOSPITAL 2

HOSPITAL 3

HOSPITAL 4

OFERTA

8 12 14 90

9 7 10 70

11 5 6 40

16 8 7 50

50 80 120 250

La Medequip Company produce equipos de precisión de diagnóstico médico en dos fábricas. Se han recibido pedidos de tres centros médicos para la producción de este mes. La tabla a la derecha muestra el costo unitario de envío desde cad a fábrica a cada centro. Además, muestra el

E

.

AN

ARLOS ERAZO

INVES I ACI N OPERATIVA TOMO II

1 0

tabla anexa refl e j a el número de estudi antes de prepara tor i a que vi ven en cada sector y l a di stanci a en millas de cada sector a cada escuel a. La

ada prepara tor i a ti ene una capac i dad de estudi antes. Establ ezca l a f unci ón ob jetivo y restr i cci ones de este problema por medi o de PL de modo que el número total de mill as estudi ante recorr ida por autobús se mi nimice. bserve l a seme j anza con el probl ema de transpor te il ustrado con anter i or i dad en este capítul o. Luego resuelva el prob l ema.



Capitulo

15 1

V

Método PERT-CPM PROBLEMAS PROPUESTOS 1)

Considere los siguientes datos para las actividades de un proyecto:

a) b) c) 2)

Predecesores Inmediatos

A B C D E F

_______

B- C B D- E

Elabore un diagrama de red para el proyecto. Calcule TE y TL de cada actividad, suponiendo que el TE y el TL de la última actividad son iguales. ¿Cuál es el tiempo mínimo para la terminación del proyecto? Elabore una lista de las actividades que se encuentran en la ruta crítica.

¿Cambia la ruta de siete? Si la actividad C requiera 11 días para terminar, ¿cambiaría la ruta crítica?

Usted recibe los siguientes datos que se relacionan con las actividades de un proyecto (los números se refieren a días): Actividad A B C D E a) b) c) d)

4)

A

_______

Tiempo Estimado(días) 5 4 7 3 4 2

Considere los datos del problema 1, pero suponga ah ora que la actividad C requiere nueve días en lugar de siete. a) b)

3)

Actividad

Predecesor Inmediato _______ _______

A C B

a 2 6 1 1 6

b 6 10 15 9 10

m 4 8 5 5 8

Calcule el valor esperado (te), y la varianza del tiempo necesario para completar cada actividad. Elabore un diagrama de red y encuentre la ruta crítica, por inspección. ¿Cuál es la longitud esperada de la ruta crítica? Suponga que el tiempo requerido para completar una ruta se distribuye normalmente. Calcule la probabilidad de que la ruta ACD termine en menos de 16 días. Calcule también la probabilidad de que la ruta BE termine en menos de 16 días. ¿Cuál es la probabilidad de que el proyecto concluya en menos de 16 días?

La tabla siguiente contiene una lista de las actividades y los requisitos de secuencia, las cuales comprenden las actividades necesarias para la elaboración de una tesis.



Actividad

B C D E F G H I J K L M a) b) c) 5)

Actividad previa requerida

A Investigación literaria Formulación de temas Selección de comité Propuesta formal Selección de la compañía y contacto Informe de avances Investigación formal Recopilación de datos Análisis de datos Conclusiones Borrador (sí conclusiones) Versión final Examen oral

Tiempo Esperado (semanas) Ninguna Ninguna 5 B 2 C 2 A- D 2 D 1 A- D 6 E 5 G-H 6 I 2 G 4 J-K 3 L 1

6

Dibuje un diagrama de red que ilustre los requisitos de secuencia para el conjunto de actividades de la tabla. Asegúrese de representar las actividades con círculos y los requisitos de secuencia con flechas. Calcule los tiempos de cada actividad, suponiendo que el TE y el TL de la última actividad con iguales. ¿Cuál es el tiempo mínimo para concluir el proyecto? Indique cuáles son las actividades que se encuentran en la ruta crítica.

Considere los siguientes datos para un proyecto.

a) b) c) d) 6)

Descripción

152

Actividad

Predecesor inmediato

A B C D E

_______

A A C B- C

t i

W I

(Días 4.0 6.0 3.0 7.0 2.0

0 1.0 0 1.0 2.0

Dibuje un diagrama de red para el proyecto. Encuentre la ³ruta crítica´. ¿Cuál es su longitud esperada? ¿Cuál es la probabilidad de que la ruta ABE termine en un máximo de 15 días, suponiendo que hay independencia entre los tiempos de actividades? ¿Cuál es la probabilidad de que todo el proyecto concluya en un má ximo de 15 días?

Un proyecto se caracteriza por las actividades A a F. Las actividades predecesoras y los tiempos requeridos, así como los costos de un programa normal o urgente para cada actividad, se presentan en la tabla siguiente. a) b) c)

Use únicamente los tiempos para los programas de actividad normales y dibuje una red PERT para este problema. ¿Cuál es la ruta crítica? ¿Cuánto tardará en terminar todo el proyecto? ¿Cuál es el costo del proyecto de acuerdo con (a)? Encuentre los puntos posibles de compensación entre tiempo y costo. ¿Cuál es el tiempo mínimo para concluir el proyecto? ¿Cuál es el costo de este programa?

Actividad

Actividad predecesoras

A B C

__________

A A

Tiempo (semanas) Programa Programa Normal Urgente __________ 0 5 3 2 1

Costo (miles de dólares) Programa Programa Normal Urgente __________ 0 10 22 6 15

ECON. JUAN CARLOS ERAZO F D E F (fin) 7)

B, C B D, E

INVESTIGACIÓN OPERATIVA TOMO II 3 4 0

2 2

__________

6 10 0

153

15 25

__________

Ocean Hardware Company era una cadena de tiendas de ferretería y artículos domésticos al por menor. La compañía quería introducir un nuevo sistema de computación para elaborar la nómina de la compañía, para realizar la contabilidad de ventas (pago de compras y envío de facturas) y el control de inventarios. El controlador de la compañía trataba de establecer un programa para las diversas tareas necesarias para poner en marcha el nuevo sistema de computación. La compañía pensaba contratar programadores para desarrollar los programas d e nómina y contabilidad. Sin embargo, se contrataría una empresa de consultoría externa para elaborar el programa de control de inventarios. Algunos aspectos del programa de control de inventarios dependían del programa de contabilidad y, por lo tanto, tenía que desarrollarse después de completar el programa de contabilidad. Para concluir un programa se requería trabajo preliminar, trabajo final, pruebas, revisión, elaboración de manuales e impl antación. El nuevo gerente de operaciones de cómputo identificó la lista de tareas (actividades) necesarias que se muestra en la tabla siguiente, así como los tiempos requeridos para llevar a cabo cada una de las tareas y las actividades que tendrían que concluir antes de poder comenzar otra (actividades predecesoras). Activ idad A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S a)

Descripción

Activid Tiempo de Predece Terminación sora (meses) Analizar sistemas de computación alternativos y pedir el ___ 2 computador al fabricante Esperar la entrega del computador A 4 Contratar programadores A 1 Realizar el trabajo preliminar del programa nómina C 1½ Realizar el trabajo preliminar de contabilidad C 2½ Efectuar el trabajo final de los programas nómina y D-E 2 contabilidad Contratar al consultor externo para trabajar en el programa A 1 de control de inventarios Realizar el trabajo preliminar del programa de control de E-G 2 inventarios Efectuar el trabajo final del programa de control de F- H 2 inventarios Pruebas preliminares de los programas de nómina y F ½ contabilidad en una máquina alquilada Modificar los programas de nómina y contabilidad J ½ Instalar y probar el computador al recibir del fabricante B ½ Probar los programas de nómina y contabilidad en el K- L ½ computador instalado Preparar manuales que describan los programas de J 1 nómina y contabilidad Implantar los programas de nómina y contabilidad M- N ½ Probar el programa de control de inventarios en el I-L ½ computador instalado Preparar manuales que describan el programa de control I 1 de inventarios Implantar el programa de control de inventarios P- Q ½ Fin O- R 0 ¿Cuánto tiempo se necesitará para que esté completo el sistema de computación con los tres programas? ¿Qué actividades son críticas para hacerlo en ese tiempo?

ECON. JUAN CARLOS ERAZO F b)

8)


154

Suponga que a la dirección sólo le preocupa la minimización del tiempo para implantar los programas de nómina y contabilidad. ¿Cuánto tardaría? ¿Qué actividades son críticas en este caso?

En la figura adjunta se presenta la red para un proyecto. La (te) y la W¡ que se indican entre paréntesis para cada nudo representan el tiempo esperado y la desviación estándar respectivos, en meses, de este segmento del proyecto. a) b) c)

d)

Identifique la ruta crítica y c alcule su longitud esperada. Suponiendo que la longitud de la ³ruta crítica´ se distribuye normalmente, calcule la probabilidad de que la ruta de (a) concluya en menos de 23 meses. Terminará el proyecto en 23 meses 1. ¿Con la misma probabilidad de (b)? 2. ¿Con menor probabilidad? 3. ¿Con mayor probabilidad? ¿Por qué? Suponga que quiere reducir la probabilidad que el proyecto requiere de 23 meses. Puede reducir una de las siguientes actividades, y sólo una, en mes: A, C, E o H. ¿Cuál colocaría en un programa urgente? ¿Por qué? Nota: Suponga que la reducción disminuiría el tiempo medio de la actividad en un mes y no alteraría la varianza.

D(2,1)

E(3,1)

B(4,1

G(1,1) C(6,

2)

F(9,

FIN

1)

K(10,4)

INICIO H(5,1)

A(2,1)

J(7, 8 )

9)

En este proyecto, la reducción de actividades se puede aplicar en una amplia gama de tiempos de reducción. El costo por día de reducción es: Actividad B C D E F

Predecesor Inmediato A

Normal (días)

Ninguno Ninguno 4 A 3 E 2 A, B 2 C, D 4

Costo por Límite Día de Inferior Reducción Del tiempo 3 $450 300 2 200 1 100 1 500 1 600 3

1

Por ejemplo, la actividad C se puede reducir de su tiempo normal de tres días hasta un día, o a cualquier valor intermedio, con un costo de 200 dólares por día de reducción. a) b)

Dibuje un diagrama de red para este proyecto. ¿Cuál es la ruta crítica? ¿Cuánto duraría el proyecto si no hubiera actividades urgente s? Determine la manera menos costosa de reducir las actividades para completar el proyecto en 11 días, en diez días, en nueve días y en ocho días. Dibuje sus resultados en un diagrama de compensaciones entre tiempos y costos

ECON. JUAN CARLOS ERAZO F c)

10)

155

Suponga que el tiempo límite para concluir el proyecto es de cinco días, y que se deberá pagar una multa de 500 dólares por cada día de retraso. ¿Cuál es el número de días óptimo para reducir el proyecto? ¿Por qué?

Una empresa construye una planta para producir un nuevo alimento congelado. Se han identificado las actividades y los tiempos estimados en la tabla de abajo y se han establecido las relaciones de precedencia. ¿Cuánto durará el proyecto?, ¿Qué actividades están en las rutas críticas? Actividad

Descripción

B C D E F G H

Diseño de ingeniería del edificio Diseño de la línea productiva Diseño del horno Diseño del congelador Diseño del equipo de empaquetado Pedido y manufactura del horno Pedido y manufactura del congelador Pedido y manufactura del equipo empaquetado Envío y aceptación de propuestas para la construcción del edificio Construcción del edificio (primera fase) Construcción del edificio (segunda fase) Instalación del horno Instalación del congelador Instalación del equipo de empaquetado Pruebas de horneado Prueba de congelación Pruebas al sistema total Inspección gubernamental

A

I J K L M N O P Q R 11)


Predecesores Tiempo Inmediatas Estimado (meses) Ninguno 1.5 Ninguno 1.0 B 2.0 B 1.0 C, D 1.0 C 9.0 D 8.0 de E 3.0 I J F, J J, L H, J K, L M, O N, P N, P

A

2.0 9.0 1.5 2.0 0.5 0.5 1.0 0.5 0.5 0.5

Un proyecto se compone de las cinco actividades mostradas en la tabla de abajo. Actividad 4 B C D E

A 0.1 0.1

Tiempo en semanas 5 6 7 8 9 0.6 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 0.1 0.1 0.1 0.3 0.2 0.4 0.2 0.1 0.1 0.1 0.8 0.1

10

0.2

Tiempo esperado 7 8 6 9

Actividades predecesoras 5 Ninguna Ninguna A, B A, B C, D

Se han determinado las probabilidades de duración en semanas para cada actividad, como se indica en la tabla. Así, por ejemplo, hay una probabilidad de 0.6 de que la actividad A tarde cuatro semanas; de 0.1 de que concluya en seis; etcétera. a) b) c)

d) e)

Dibuje la red del proyecto. Observe que hay cuatro rutas. Utilice los tiempos esperados para calcular el tiempo de cada ruta. ¿Cuál es la ruta más larga o c rítica que se espera? Asigne números aleatorios a cada resultado (número de semanas) de las actividades de acuerdo con las probabilidades de l a tabla que se encuentra al final del capítulo. Utilice la tabla de números aleatorios que se encuentra al final del capítulo y seleccione al azar un tiempo para cada actividad. Calcule el tiempo para cada actividad. Calcule el tiempo para cada una de las cuatro rutas de la red y registre el tiempo de la ruta más larga y las actividades de dicha ruta. Repita (c) 25 veces (o el número que le indique su instructor). Calcule el tiempo promedio para la ruta más larga. ¿Difiere de lo que calculó en (a)? ¿Por qué? Calcule el porcentaje de tiempo durante el cual cada actividad estuvo en la ruta más larga.

ECON. JUAN CARLOS ERAZO F f) 12)


156

Condicionando a que el proyecto dure más de 21 días, calcule el porcentaje de tiempo durante el cual cada actividad estuvo en la ruta más larga.

Este problema requiere comprender la formulación de un problema de programación lineal. Considere el problema 9, en el cual las actividades se pueden colocar en programas urgentes en cualquier punto ubicado entre el tiempo normal y el límite inferior, en forma continua. Use la siguiente notación para formular el problema 9 como un problema de programación lineal. N¡ L¡ Z¡ X¡ ES ¡ ESG

13)

Notación: = Tiempo normal para la actividad ¡, ¡ =A, B, ... , F = Límite inferior del tiempo para la actividad ¡ = Costo por día para reducir el tiempo de l a actividad ¡ = Variable de decisión = tiempo permitido para la actividad ¡ = Menor tiempo de inicio para la actividad ¡ = Límite del proyecto (días) (trátese como una constante dada)

Reconstruya el modelo del reemplazo de equipo del ejercicio resuelto N° 5, suponiendo que un automóvil se debe mantener en servicio cuando menos dos años, con una vida máxima de servicio de cuatro años. El horizonte de planificación es de 1996 al 2002. Año en el que se adquirió 1996 1997 1998 1999 2000

14)

Costo del reemplazo (dólares) por determinados años en operación 2 3 4 3800 4100 6800 4000 4800 7000 4200 5100 7200 4800 4700 ---5300 --------

Un tostador eléctrico anticuado tiene dos puertas con goznes de dos resortes en la base. Las dos puertas se abren hacia fuera en dirección opuesta al elemento de calor. Una rebanada de pan se tuesta por un lado a la vez, abriendo una de las puertas con una mano y colocando la rebanada con la otra mano. Después de que se ha tostado un lado, la rebanada se voltea para tostar el otro lado. Se desea determinar la secuencia de las operaciones (colocación, tostado, vuelta y retiro) necesarias para tostar tres rebanadas de pan en el tiempo mas breve posible. Formule el problema como un modelo de la ruta más corta, utilizando los siguientes tiempos elementales para las diferentes operaciones: Operación Coloque una rebanada en cualquier lado Tueste un lado Voltee la rebanada que ya está en el tostador Retire la rebanada de cualquier lado

15)

Tiempo (segundos) 3 30 1 3

Planificación de la producción. DirectCo vende un artículo cuya demanda durante los próximos cuatro meses es de 100, 140, 210 y 180 unidades, respectivamente. La compañía puede tener en existencia solo lo suficiente para satisfacer la demanda de cada mes o bien puede tener un exceso de existencia para satisfacer la demanda de dos o más meses sucesivos. En el último caso se cobra un costo de almacenaje de 1.20 dólares mensuales por cada unidad en exceso de existencia. DirecCo calcula que el precio de compra unitario para los próximos cuatro meses es de 15, 12, 10 y 14 dólares, respectivamente. Se incurre en un costo de preparación de 200 dólares cada vez que se hace un pedido. La compañía quiere desarrollar un plan de compras que



157

minimice los costos totales de los pedidos, las compras y de mantener el artículo en existencia. Formule el problema de la ruta m as corta y utilice TORA para encontrar la solución óptima. 16)

Problema de la mochila. Un excursionista tiene una mochila de cinco pies y necesita decidir cuáles son los artículos más valiosos que debe llevar a una excursión. Hay tres artículos entre los cuales debe elegir. Sus volúmenes son dos, tres y cuatro pies cúbicos y el excursionista calcula sus valores asociados, en una escala de 0 a 100, como 30, 50 y70, respectivamente. Exprese el problema como una red de la ruta más larga y encuentre la solución óptima. (Sugerencia: un nodo en la red se puede definir como [i, v], donde i es el número del artículo y v es el volumen restante inmediatamente antes de elegir i.).

17)

Un padre de familia tiene cinco hijos (adolescentes) y les quiere asignar cinco tareas domésticas. La experiencia pasada le ha enseñado al padre que resulta contraproducente imponerle obligaciones a un hijo. Teniendo esto en mente, les pide a sus hijos que hagan una lista de sus preferencias entre las cinco tareas, com o lo muestra la siguiente tabla. Niño Rif Mai Ben Kim Kem

Tarea preferida 3, 4 o 5 1 1o2 1, 2 o 5 2

Ahora, la modesta meta del padre es terminar tantas tareas como sea posible, respetando al mismo tiempo las preferencias de sus hijos. Determine el número máximo de tareas que se pueden terminar y la asignación de las tareas a los hijos. 18)

Cuatro fábricas se dedican a la producción de cuatro tipos de juguetes. La siguiente tabla enumera los juguetes que cada fábrica puede producir. Todos los juguetes requieren la misma mano de obra y el mismo material por unidad. Las capacidades diarias de las cuatro fábricas son 250, 180, 300 y 100 juguetes, respectivamente. Las demandas diarias para los cuatro juguetes son 200, 150, 350 y 100 unidades, respectivamente. Determine los programas de producción de las fábricas que podrán satisfacer mejor las demandas de los cuatro juguetes. Fábrica 1 2 3 4

19)

Mezcla de producción de juguetes 1, 2, 3 2, 3 1, 4 3, 4

El consejo académico de la Universidad X está buscando una representación entre seis estudiantes que están afiliados a cuatro sociedades de honor. La representación del consejo académico incluye tres áreas: matemáticas, artes e ingeniería. Cuando mucho dos estudiantes de cada área pueden estar en el consejo. La siguiente tabla muestra la membresía de los seis estudiantes en las cuatro sociedades de honor. Sociedad 1 2 3 4

Estudiantes afiliados 1, 2, 3 1, 3, 5 3, 4, 5 1, 2, 4, 6

Los estudiantes que poseen habilidades en las áreas de matemáticas, artes e ingeniería, se muestran en la siguiente tabla:



Área Matemáticas Artes Ingeniería

158

Estudiantes con habilidades 1, 2, 4 3, 4 4, 5, 6

Un estudiante que posee habilidades en más de un área se debe asignar exclusivamente a un área. ¿Es posible que las cuatro sociedades de honor estén representadas en el consejo? 2 0)

Un producto es fabricado para satisfacer la demanda durante un horizonte de planificación de cuatro períodos, de acuerdo con los siguientes datos: Período 1 2 3 4

Unidades de demanda 100 110 95 125

Costo de producción por unidad(dólares) 24 26 21 24

Costo de manejo por unidad (dólares) 1 2 1 2

Debido a que no se permiten pedidos pendientes, represente el problema como un modelo de red. 2 1)

En el problema 20, supongamos que están permitidos los pedidos pendientes, a una penalidad de 1.50 de dólar por unidad, por período. Formule el problema como un modelo de red.

22)

En el problema 20, supongamos que las capacidades de producción de los períodos 1 al 4 son 110, 95, 125 y 100 unidades, respectivamente, en cuyo caso la demanda dada no se puede satisfacer sin pedidos pendientes. Suponiendo que el costo de la penalidad de los pedidos pendientes es de 1.5 de dólar por unidad, por período, formule el problema como un modelo de red.

23)

Daw Chemical es propietaria de dos plantas que fabrican un componente químico básico para dos clientes, en una proporción mensual de 660 y 800 toneladas. La capacidad de producción mensual de la planta 1 es entre 400 y 800 toneladas y la de la planta 2 es entre 450 y 900 toneladas. El costo de producción por tonelada en las plantas 1 y 2 es de 25 y 28 dólares, respectivamente. La materia prima para las plantas proporcionan dos proveedores, quienes tienen un contrato para enviar por lo menos 500 y 750 respectivamente. Daw Chemical también absorbe el costo del transporte, tanto de la materia prima como del compuesto final. Los costos del transporte por tonelada de la materia prima del proveedor 1 a las plantas 1 y 2 son 10 y 12 dólares. Los costos similares del proveedor 2 son 9 y 13 dólares, respectivamente. El costo del transporte por tonelada de la planta 1 a los clientes 1 y 2 es de 3 y 4 dólares y de la planta 2 es de 5 y 2 dólares respectivamente. Suponiendo que una tonelada de materia prima produce una tonelada del compuesto final, formule el problema como un modelo de red.

24)

Se requiere que dos escuelas públicas no integradas cambien el balance racial de sus inscripciones, aceptando a estudiantes minoritarios. Las inscripciones minoritarias deben ser entre el 30% y 40% en ambas escuelas. Los estudiantes no minoritarios viven en dos comunidades y los estudiantes minoritarios viven en otras tres comunidades. Las distancias recorridas, en millas, de las cinco comunidades a las dos escuelas se resumen enla siguiente tabla: Escuela

Inscripciones máximas

1 1.500 2 2.000 Población estudiantil

Millas de viaje redondo de la escuela Áreas minoritarias Áreas no minoritarias 2 3 2 1 1 20 12 10 4 5 15 18 8 6 5 500 450 300 1.000 1.000

Formule el problema como un modelo de red, para determinar el número de estudiantes minoritarios y no minoritarios inscritos en cada escuela



159

25)

Los cimientos de un edificio se pueden completar en cuatro secciones conectivas. Las actividades para cada sección incluyen (1) excavación, (2) colocación del acero y (3) vaciado del concreto. La excavación de una sección no puede empezar hasta que se haya completado la sección precedente. La misma restricción aplica al vaciado del concreto. Desarrolle la red del proyecto.

26)

En el problema 25, supongamos que después de excavar todas las secciones, se puede iniciar el trabajo de plomería pero sólo se puede completar el 10% del trabajo antes de vaciar el concreto. Después de que se ha completado cada sección de los cimientos, es posible iniciar un 5% adicional de la plomería, siempre y cuando la porción precedente del 5% se haya completado. Construya la red del proyecto.

27)

Una encuesta de opinión implica el diseño y la impresión de cuestionarios, la contratación y capacitación del personal, la selección de los participantes, el envío por correo de los cuestionarios y el análisis de los datos. Construya la red del proyecto, exponiendo todas las hipótesis.

28)

Las actividades en la siguiente tabla describen la construcción de una casa nueva. Construya la red del proyecto asociado. Actividad A: Despeje el lugar B: Lleve servicios públicos al lugar C: Excave D: Vacíe los cimientos E: Plomería exterior F: Construir la casa G: Instale el cableado eléctrico H: Coloque los pisos I: Coloque el techo J: Plomería interior K: Tejado L: Revestimiento del aislamiento exterior M: Instale ventanas y puertas exteriores N: Haga el trabajo de albañilería. O: Aísle paredes y techo P: Cubra paredes y techo Q: Aísle el techo R: Acabado de interiores S: Acabado de exteriores T: Jardinería

29)

Una compañía está en proceso de preparar un presupuesto para el lanzamiento de un nuevo producto. La siguiente tabla proporciona las actividades asociadas y sus duraciones. Construya la red del proyecto. Actividad A: Pronostique el volumen de ventas B: Estudie el mercado competitivo C: Diseñe el artículo y las instalaciones D: Prepare el programa de producción E: Calcule el costo de la producción F: Determine el precio de venta G: Prepare el presupuesto

3 0)

Predecesora(s) Duración (días) ..... 1 ..... 2 A 1 C 2 B-C 6 D 10 F 3 G 1 F 1 E-H 5 I 2 F-J 1 F 2 L-M 4 G-J 2 O 2 I-P 1 P 7 I-N 7 S 3

Predecesora(s) ... ... A C D B-E E-F

Duración (días) 10 7 5 3 2 1 14

Las actividades involucradas en un servicio de coro a la luz de las velas se enumeran en la siguiente tabla. Construya la red del proyecto.


INVESTIGACIÓN OPERATIVA TOMO II Predecesora( s)

Duración (días)

..... A A B-C D D F D D D J K G-L H-L-M I-N

21 14 14 3 70 14 1 1 7 7 14 1 1 1 1

Actividad A: Seleccione la música B: Apréndase la música C: Haga copias y compre libros D: Pruebas de aptitudes E: Ensayos F: Rente candelabros G: Decore los candelabros H: Coloque las decoraciones I: Ordene las túnicas para los miembros del coro J: Verifique el sistema de sonido K: Seleccione las pistas musicales L: Instale el sistema de sonido M: Ensayo final N: Fiesta para los miembros del coro O: Programa final 3 1)

El ensanchamiento de una sección de carretera requiere la reubicación (³nuevo cableado´) de 1700 pies de línea primaria elevada de 13.8 kilovatios. La siguiente tabla resume las actividades del proyecto. Construya la red asociada del proyecto. Predecesora(s)

Duración (días)

.... A A A C-D E D G H F-I F-I J-K L L D B-M-N-O P Q

1 ½ 1 ½ 3 7/2 ½ ½ 3 4 1 2 2 2 2 1/9 ½ 1

I

2

Actividad A: Revisión del trabajo B: Informe a los clientes acerca de la interrupción temporal C: Fincado de pedidos a proveedores D: Haga un reconocimiento del trabajo E: Consiga postes y material F: Distribuya los postes G: Coordine la ubicación de los postes H: Reestaquillado I: Cave hoyos J: Estructure e instale los postes K: Cubra los conductores viejos L: Tienda los nuevos conductores M: Instale el material restante N: Cubrir el conductor O: Pode los árboles P: Desconecte la energía y cambie las líneas Q: Conecte la energía y ponga a funcionar la nueva línea. R: Limpie S: Devuelva el material sobrante a los proveedores. 32)

16 0

La siguiente tabla proporciona las actividades para la compra de un automóvil nuevo. Construya la red del proyecto.

Actividad A: Realice un estudio de factibilidad B: Encuentre un comprador potencial para el automóvil actual C: Haga una lista de los posibles modelos

Predecesora(s)

Duración (días)

........ A

3 14

A

1



D: Investigue todos los modelos posibles E: Lleve a cabo una entrevista con el mecánico F: Recopile propaganda del distribuidor G: Recopile los datos pertinentes H: Elija los tres mejores modelos I : Haga una prueba de manejo con las tres elecciones. J: Reúna datos de la garantía y financieros K: Elija un automóvil L: Elija al distribuidor M: Busque el color deseado y las opciones N: Haga una nueva prueba de manejo con el automóvil elegido O: Compre el automóvil nuevo 33)

C C C D-E-F G H H I-J K L L

3 1 2 1 1 3 2 2 2 4 1

B-M-N

3

16 1

Dados los siguientes cuadros de secuencia lógica, construir el diagrama de redes, obtener los tiempos correspondientes de cada evento o suceso y la ruta crítica, tomando como base l a holgura establecida: EJERCICIO 1 EJERCICIO 2 EJERCICIO 3 EJERCICIO 4 EJERCICIO 5 EJERCICIO 6

HOLGURA HOLGURA HOLGURA HOLGURA HOLGURA HOLGURA

0 1 2 1 2 1

EJERCICIO 1 ACTIVIDAD DESPUÉS A-2 D-E-F-H-I B-3 G-J-L C-4 F-H-I D-3 J-L E-1 G-J-L F-4 J-L G-3 M-O H-2 J-K-L-R I-3 N-P-Q J-2 M-O K-1 N-P-Q L-2 R M-3 R-S N-4 R O-3 R P-2 --Q-3 T R-3 --S-2 --T-3 ---

EJERCICIO 2 ACTIVIDAD DESPUÉS A-2 E-F-G-H-I B-3 D-K-L C-4 G-H-I D-3 N-O E-1 K-L F-4 D-K-L G-3 K-L H-2 M-P-Q I-3 J-K-L-S J-2 M-P-Q K-1 N-O L-2 S M-3 S N-4 S O-3 R-S P-2 T Q-3 --R-3 --S-2 --T-3 ---



EJERCICIO 3 ACTIVIDAD DESPUÉS A-2 D-E-G-H-I B-3 F-K-L C-1 G-H-I D-3 F-K-L E-4 K-L F-3 M-O G-2 K-L H-1 J-K-L-S I-3 N-P-Q J-4 N-P-Q K-5 M-O S L-4 M-3 R-S N-2 S O-3 S P-2 T Q-3 --R-4 --S-3 ----T-2

EJERCICIO 4 ACTIVIDAD DESPUÉS A-2 E-G-H-I-J B-3 D-F C-1 H-I-J D-3 M-N E-4 D-F F-3 L-M-N G-2 L-M-N H-1 K-L-M-N-P-Q I-3 L-M-N J-4 O-P-Q K-5 O-P-Q P-Q L-4 M-3 P-Q-R N-2 P-Q O-3 S P-2 « Q-3 S R-4 « S-3 «

EJERCICIO 5 ACTIVIDAD DESPUÉS A-2 E-F-G-H-I B-3 D-J-L C-1 F-I-H D-4 N-O E-5 D-J-L F-3 J-L G-2 J-L H-3 M-P-Q I-1 J-K-L-R J-3 N-O K-4 M-P-Q L-5 R M-3 R N-2 R-S O-3 R P-2 --Q-2 T R-3 --S-4 --T-3 ---

EJERCICIO 6 ACTIVIDAD DESPUÉS A-3 E-G-H-I-J B-2 D-F C-4 H-I-J D-4 M-N E-3 D-F F-2 L-M-N G-1 L-M-N H-4 K-L-M-N-P-Q I-3 L-M-N J-2 O-P-Q K-4 O-P-Q L-3 P-Q M-4 P-Q-R N-3 P-Q O-2 S P-3 « Q-2 S R-1 « S-3 «

162


INVESTIGACIÓN OPERATIVA II TOMO II

59

EJERCICIO 7 ANTES

a) b)

ACT.

DESPUÉS

EJERCICIO 8 te

a

m

b

W 2 5

A D-E-F-H 3 B D-F 2 4 7 C D-E-F-G-H 3 6 10 D I-J-L-M 1 3 5 E J-L-M 2 3 5 F J-L-M 4 5 8 G J-K-L-M J-K- L-M 3 5 7 H J-K-L-M J-K- L-M 2 4 8 I O-Q-R 4 6 9 J N-Q-R 5 7 10 K N-Q-R 3 5 6 L O-Q-R 2 3 5 M Q-R 4 6 9 N P-S-U-V 2 4 6 O U 1 3 5 P Q-R 3 4 8 Q U-V 2 4 7 R U 3 5 9 S T-U-V 4 6 9 T --3 5 8 U --2 4 7 V --3 4 7 Calcular la probabilidad de que el proyecto se cumpla antes de 30 días o después de 33. Encontrar la ruta crítica, si se tiene un día de holgura

ANTES

ACT.

8

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U a) b)

ANTES

a)

ACT.

EJERCICIO 9 DESPUÉS te

a

m

D-F-G-H

b 3

F-H E-D-F-G-H I-L I-L J-K-Q-R-S L L L-M-N L O-P-Q-R-S Q-R-S Q-R-S R-S U T-U T-U T-U -------

2 3 1 2 4 3 2 4 5 3 2 4 2 1 3 2 3 4 3 2

4 6 3 3 5 5 4 6 7 5 3 6 4 3 4 4 5 6 5 4

W 2 5

7 10 5 5 8 7 8 9 10 6 5 9 6 5 8 7 9 9 8 7

10

1


te

Calcular la probabilidad de que el proyecto se cumpla antes de 29 días o después de 34. Encontrar la ruta crítica, si se tiene dos días de holgura

10 0

DESPUÉS

0

INVESTIGACIÓN OPERATIVA TOMO II a

m

b

ANTES

2

W

A D-E-F-G-I 3 5 B G 2 4 7 C E-F 3 6 10 D K-L-N 1 3 5 E L-N 2 3 5 F H-L-N 4 5 8 G K-L-N 3 5 7 H J-M-O-P-Q 2 4 8 I L-N 4 6 9 J L-N 5 7 10 K Q 3 5 6 L Q 2 3 5 M O-P-Q-R 4 6 9 N O-P-Q 2 4 6 O R 1 3 5 P --3 4 8 Q --2 4 7 R --3 5 9 Calcular la probabilidad de que el proyecto se cumpla antes de 30

8

a)

2

60 ACT.


a

m

b

W 2

A E 3 5 8 B D-E-F-G-H 2 4 7 C F-G 3 6 10 D M-N 1 3 5 E J-M-N 2 3 5 F M-N 4 5 8 G I-M-N 3 5 7 H J-M-N 2 4 8 I K-L-O-P-R 4 6 9 J R 5 7 10 K M-N 3 5 6 L O-P-Q-R 2 3 5 M R 4 6 9 N O-P-R 2 4 6 O --1 3 5 P Q 3 4 8 Q --2 4 7 R --3 5 9 Calcular la probabilidad de que el proyecto se cumpla antes de 29

8

ECON. JUAN CARLOS ERAZO F ANTES

a) b)

ACT.



a

m

b

W

A D-E-F-G-I 3 5 B G 2 4 7 C E-F 3 6 10 D K-L-N 1 3 5 E L-N 2 3 5 F H-L-N 4 5 8 G K-L-N 3 5 7 H J-M-O-P-Q 2 4 8 I L-N 4 6 9 J L-N 5 7 10 K Q 3 5 6 L Q 2 3 5 M O-P-Q-R 4 6 9 N O-P-Q 2 4 6 O R 1 3 5 P --3 4 8 Q --2 4 7 R --3 5 9 Calcular la probabilidad de que el proyecto se cumpla antes de 30 días o después de 33. Encontrar la ruta crítica, si se tiene un día de holgura


ANTES

2

8

a) b)

60 ACT.


a

m

b

A E 3 5 8 B D-E-F-G-H 2 4 7 C F-G 3 6 10 D M-N 1 3 5 E J-M-N 2 3 5 F M-N 4 5 8 G I-M-N 3 5 7 H J-M-N 2 4 8 I K-L-O-P-R 4 6 9 J R 5 7 10 K M-N 3 5 6 L O-P-Q-R 2 3 5 M R 4 6 9 N O-P-R 2 4 6 O --1 3 5 P Q 3 4 8 Q --2 4 7 R --3 5 9 Calcular la probabilidad de que el proyecto se cumpla antes de 29 días o después de 34. Encontrar la ruta crítica, si se tiene dos días de holgura


61

Usted debe hacer un viaje en auto a otra ciudad que nunca ha visitado. Estudiaun plano para determinar la ruta que elija, otras cinco ciudades (llamadas A, E, C, D, E) por las que puede pasar en el camino. El plano muestra las millas de cada carretera que es una conexión directa entre dos ciudades sin que otra intervenga. Estas cifras se resumen en la siguiente tabla, donde un guión indica que no hay conexión direct a sin pasar por otras ciudades. Pueblo Origen A B C D E a) b) c) d)

A 40

W 2

Millas entre ciudades adyacentes B C D E 60 50 --10 -70 -20 55 40 -50 10

Destino ----60 80

Formule este problema como uno de la ruta más corta trazando una red donde los nodos son ciudades, los arcos, carreteras, y los números la distancia en millas. Use el algoritmo descrito en el problema de la ruta más corta para resolver este problema de la ruta más corta. Formule y resuelva un modelo en hoja de cálculo. Si cada número en la tabla representa su costo (en dólares) de manejar de una ciudad a la siguiente, obtiene la ruta de tiempo costo mínimo con la respuesta del inciso b o c.


61

Usted debe hacer un viaje en auto a otra ciudad que nunca ha visitado. Estudiaun plano para determinar la ruta que elija, otras cinco ciudades (llamadas A, E, C, D, E) por las que puede pasar en el camino. El plano muestra las millas de cada carretera que es una conexión directa entre dos ciudades sin que otra intervenga. Estas cifras se resumen en la siguiente tabla, donde un guión indica que no hay conexión direct a sin pasar por otras ciudades. Pueblo Origen A B C D E a) b) c) d)

35)


A 40

Millas entre ciudades adyacentes B C D E 60 50 --10 -70 -20 55 40 -50 10

Destino ----60 80

Formule este problema como uno de la ruta más corta trazando una red donde los nodos son ciudades, los arcos, carreteras, y los números la distancia en millas. Use el algoritmo descrito en el problema de la ruta más corta para resolver este problema de la ruta más corta. Formule y resuelva un modelo en hoja de cálculo. Si cada número en la tabla representa su costo (en dólares) de manejar de una ciudad a la siguiente, obtiene la ruta de tiempo costo mínimo con la respuesta del inciso b o c.

En un pequeño aeropuerto que esta creciendo, la compañía aérea local piensa comprar un tractor nuevo para mover el tren de carros que llevan y traen el equipaje de los aviones. Dentro de tres años se instalará un nuevo sistema mecanizado de transporte de equipaje, por lo que después no se necesitará el tractor. No obstante, tendrá una carga de trabajo pesada y los costos de operación y mantenimiento aumentarán rápido con el tiempo y podría resultar costeable reemplazarlo en uno o dos años. La siguiente tabla tabla proporciona los costos descontados netos totales asociados con la compra del tractor (precio de compra menos valor de venta del tractor en uso más costos e operación y mantenimiento) al final del año i y si se reemplaza al final del año J (en donde el momento presente es el año 0) 1 0

i

1

2

$8.000

J 2 $18.000 $10.000

3 $31.000 $21.000 $12.000

El problema es determinar en qué momento (si existe) debe reemplazarse el tractor para minimizar el costo total durante los tres años.

a) b) c) 36)

Formule este como problema de l a ruta más corta. Utilice el algoritmo descrito en la sección de la ruta más corta para resolver este problema. Formule y resuelva el modelo en hoja de cálculo

Un vuelo de Speed y Airlines está a punto de despegar de Seattle Sin escala a Londres Existe cierta flexibilidad para elegir la ruta precisa, según las condiciones del clima. La siguiente red describe las rutas posibles consideradas, donde SE y LN son Seattle y Londres, respectivamente y los otros nodos representan varios lugares intermedios. El viento a lo largo de cada arco afecta mucho el tiempo de vuelo (y por ende el consumo de combustible). Con base en el informe meteorológico actual, junto a los arcos se muestran los tiempos de vuelo (en horas). Debido al alto costo del combustible, la administración ha establecido la política de elegir la ruta que minimiza el tiempo total de vuelo



62

3.5 A 4.6

D 3.4

4.7 SE

3.4 3.6 3.2

B

3.6 E

LN

3.3 4.2

3.8 C

a) b) c) 37)

3.4

F

¿Qué papel tienen las "distancias" en la i nterpretación de este problema? Use el algoritmo descrito en la secci ón de la ruta más corta para resolver este problema. Formule y resuelva el modelo en una hoja de cálculo.

La compañía Quick ha averiguado que un competidor planea lanzar un nuevo tipo de producto con ventas potenciales muy grandes. Quick ha trabajado en un producto similar programado para salir dentro de 20 meses. Sin embargo, la investigación está casi terminada ahora la administración quiere lanzar el producto más rápidamente para hacer frente a la competencia. Se deben lograr cuatro etapas independientes que incluyen lo que falta de la investigación que por el momento se lleva a cabo a paso normal. No obstante, cada etapa se puede realizar en un nivel de prioridad o de quiebre para acelerar la terminación y estos son los únicos niveles considerados en los últimos tres etapas tiempos requeridos para cada nivel se muestran en las siguientes tabl as. (Los tiempos entre paréntesis en el nivel normal se han eliminado por ser muy largos) Nivel

Investigación restante

Desarrollo

Normal Prioridad Quiebre

5 meses 4 meses 2 meses

(4 meses) 3 meses 2 meses

Diseño del sistema de manufacturación. (7 meses) 5 meses 3 meses

Inicio de producción y distribución. (4 meses) 2 meses 1 mes

Se dispone de $30 millones para las cuatro etapas. El costo (en millones de dólares) para cada nivel es: Nivel

Costo Investigación Desarrollo Diseño del Inició de restante sistema de producción y manufactura distribución Normal 3 ---Prioridad 6 6 9 3 Quiebre 9 9 12 6 La administración desea determinar el nivel al que debe realizar cada una de las cuatro etapas para minimizar el tiempo total hasta la comercialización del producto sujeto a las restricciones de presupuesto. a) b) 38)

Formule éste como un problema de la ruta más corta. Utilice el algoritmo descrito en la sección de la ruta más corta para resolver este problema.

El diagrama describe un sistema de acueductos que se origina en tres ríos (R1, R2 y R3) y termina en una ciudad importante (nodo T), donde los otros nodos son puntos de unión del sistema. Utilice unidades de miles de acres-pie; las siguientes tablas muestran la cantidad máxima de agua que puede bombearse, a través de cada acueducto, cada día.

ECON.

AN CARLOS ERAZO

INVESTI ACI N OPERATIVA TOMO II

A

A A

C -

La

a)

) ) 39)

A

63

T

E A B

-

E -

comi sión del agua desea determi nar el pl an que maxi mi ce el fl u j o de agua hac ia l a ciudad . ormul e este probl ema como un probl ema de fl u j o máximo; identifique un or igen} un desti no y l os nodos de transbordo, y trace l a red compl eta que muestre la capac i dad de cada arco. se el al gor itmo de la trayector i a de aumen to, presentado en el probl ema de fl u j o máxi mo, para resolver este probl ema. ormul e y resuel va el model o en una ho j a de cálcul o.

onsidere el probl ema de fl u jo máxi mo que se muestra en l a sigui ente red, en donde A es el nodo or i gen y el nodo de demanda y l as capac i dades son los números que se muestran j unto a l os arcos dir i gi dos.

B

A E a) )

tilice el algor itmo de la trayector ia de aumento... ormul e y resuel va un model o en ho j a de cál cul o para este probl ema.

40 )

. ormul e este problema como uno de fl u j o de costo mínimo, incl uya agregar el arco Ap . se F ! 20 .

41 )

empresa f abr icará el mi smo produc to nuevo en dos pl antas y después l o mandará a dos al macenes . La f ábr ica puede enviar una cantidad ili mit ada por f errocarr il sól o al almacén mi entras que l a f ábr ica puede mandar una canti dad ili mit ada por f errocarr il sól o al almacén . Si n embargo, se pueden usar cam iones de carga independ i entes para envi ar hasta uni dades de cada f ábr i ca a un centro de di str i buci ón desde el que se pueden envi ar hasta uni dades a cada al macén . En l a si gui ente tabl a se muestra el cos to unit ar i o de embarque para cada alt ernati va junto con l as cantidades que se produc i rán en las f ábr icas y l as canti dades que se necesitan en los al macenes.

econsidere el probl ema de fl u j o máximo presentado en el probl ema

Una



A

Costo unitario de embarque Centro de Almacén distribución 1 2 3 7 --4 --9 2 4

De Fábrica 1 Fábrica 2 Centro de distribución Asignación a) b)

60

64

Producción 80 70

90

Formule la representación de redes de este problema como un problema del fl ujo de costo mínimo. Formule un modelo de programación lineal para este problema.

42)

Reconsidere el problema 34. Ahora formule este problema como un problema del flujo de costo mínimo mostrando la representación de redes apropiada.

43)

Considere el problema de transporte que t iene la siguiente tabla de parámetros: Destino 2 3 1 6 7 4 5 8 6 30 40 30

Origen 1 2 Demanda

Recursos 40 60

Formule la representación de redes de este problema como un problema del flujo de costo mínimo. Utilice la regla de la esquina noroeste para obtener una solución B F inicial. Después utilice el método símplex de redes (sin usar la computadora) para resolverlo. 44)

Considere el problema del flujo de costo mínimo que se muestra en seguida, donde los valores de bi están dados junto a los nodos, los valores de c ij están junto a los arcos y las u ij finitas están dadas entre paréntesis junto a los arcos. Obtenga una solución B F inicial resolviendo el árbol de expansión factible con los arcos básicos A p C , B p A, C p D y C p E , donde uno de los arcos no básicos  D p A es un arco inverso. Después use el método símplex de redes (sin usar la computadora) para resolver este problema.

u AD

?50A

A

!

40

? 70A

6

D

4

3 ?0A

C

1

1

3

5

B ?80A 45)

E 5

u BE

!

40

? 60A

Cristina Phillips está a cargo de la planeación y coordinación del programa de capacitación para administración de ventas. Cristina ha enumerado la siguiente formación de actividades para este proyecto:

ECON. JUAN CARLOS ERAZO F Actividad A B C D E


Descripción de la actividad Elegir lugar Obtener oradores Plan de viaje de oradores Preparar y enviar folleto Aceptar reservaciones

Predecesores inmediatos --- A-B A-B D

65

Duración estimada 2 semanas 3 semanas 2 semanas 2 semanas 3 semanas

Construya la red de proyecto para este caso. 46)

Reconsidere el problema 45. Cristina a hecho una planeación más detallada para este proyecto y ahora tiene la siguiente lista extendida de acti vidades: Actividad A B C D E F G H I J k

Descripción de la actividad Elegir lugar Obtener oradores clave Obtener otros oradores Plan de viaje de oradores Plan de viaje de los otros Contratar comidas Negociar tarifas hoteles Preparar folletos Preparar y enviar folletos Aceptar reservaciones Preparar material didáctico

Predecesores inmediatos ---B A-B A-C A A C-G H I C-F

Duración estimada 2 semanas 1 semanas 2 semanas 2 semanas 3 semanas 2 semanas 1 semanas 1 semana 1 semana 3 semanas 4 semanas

Construya la nueva red del proyecto. 47)

Construya la red de proyecto para un proyecto con la siguiente lista de actividades. Actividad A B C D E F G H I J K L M N

48)

Predecesores inmediatos -- A B B B C D-E F G-H I I J K L

Duración estimada 1 mes 2 meses 4 meses 3 meses 2 meses 3 meses 5 meses 1 mes 4 meses 2 meses 3 meses 3 meses 5 meses 4 meses

Usted y varios amigos planean preparar una cena de lasaña. Las tareas a realizar, sus predecesores inmediatos y sus duraciones estimadas son las siguientes. Tarea B C D E F G H

Descripción de la tarea A Comprar queso* Rebanar el queso Batir 2 huevos Mezclar huevos y queso Rebanar cebollas y hongos Cocinar la salsa de tomate Hervir bastante agua Cocinar la pasta

Tarea que debe preceder

Tiempo --

A -C -E -C

30 min 5 min 2 min 3 min 7 min 25 min 15 min 10 min

ECON. JUAN CARLOS ERAZO F I Escurrir la pasta i Unir todos los ingredientes K Precalentar el horno L Hornear la lasaña No hay en el refrigerador

INVESTIGACIÓN OPERATIVA TOMO II H I, F. D. B -J, K

66

2 min 1 0 min 15 min 30 min

*

a) b) c) d) e) f)

49)

Construya la red de proyecto para preparar esta cena. Encuentre todo tas trayectorias y longitudes a t ravés de esta red. ¿Cuál es la ruta critica? Encuentre el tiempo de inicio más cercano y de terminación más cercano para cada actividad. Encuentre el tiempo de inicio más lejano y de terminación más lejano para cada actividad. Encuentre la holgura para cada actividad. ¿Cuál de las trayectorias es la ruta criticar Por una llamada telefónica, tuvo una interrupción de 6 minutos cuando debió haber estado cortando cebollas y hongos. ¿Cuánto se retrasará la cena? Si usa e! procesador de alimentos, que reduce el tiempo de corte de 7 a 2 minutos, ¿todavía está atrasada la cena?

Ken Johnston, el gerente de procesamiento de datos de Stanley Morgan Bank, planea un proyecto para instalar un nuevo sistema de información administrativo. En este momento está listo para iniciar el proyecto y desea terminar en 20 semanas. Después de identificar las 14 actividades diferentes necesarias para llevarlo a cabo, lo mismo que las relaciones de precedencia y las duraciones estimadas (en semanas), Ken elaboró la siguiente red de proyecto:

a) b) c) d)

Encuentre todas las trayectorias y longitudes a través de esta red de proyecto. ¿Cuál es una ruta crítica? Encuentre los tiempos más cercanos, más lejanos y la holgura de cada actividad. ¿Podrá Ken cumplir con su fecha de entrega si no ocurren retrasos? Use la información del inciso b para determinar qué trayectorias son una ruta crítica. ¿Qué dice esto a Ken acerca de qué actividades requieren su atención para mantenerse a tiempo? Utilice la información del inciso b para determinar ¿cuál sería la duración del proyecto si el único retraso es que la actividad I toma 2 semanas más? ¿Y si el único retraso es que la actividad H toma 2 semanas más? ¿Y si el único retraso es que J toma dos semanas más?

50) Alfred Lowenstein es el gerente de la división de investigación de Better Health, Inc, Una compañía farmacéutica grande. Su proyecto más importante es el desarrollo de un nuevo medicamento para combatir el SIDA. Él ha identificado 10 grupos en su división que deberán realizar diferentes etapas de e ste proyecto de investigación y desarrollo. Se hará referencia al trabajo de los diferentes grupos como actividades A, B,...,J; Las relaciones de precedencia para el tiempo que los grupos deben hacer su trabajo se muestran en la siguiente red de proyecto.



A

67

E

C

J

F

INICIO

FERMINACIÓN

D

G I

B

H

Para ganar la competencia, el director general de Better Health informó a Alfred que quiere el medicamento listo en 22 meses, si es posible. Alfred sabe bien que existe una incertidumbre considerable acerca del tiempo que requerirá cada grupo para hacer su trabajo. Con el enfoque de tres estimaciones de PERT, el líder de cada grupo ha proporcionado estimaciones más probables, optimistas y pesimistas para la duración de la actividad de su grupo. Con las fórmulas de PERT, estas estimaciones se han convertido en estimaciones de la media y la varianza de la distribución de probabilidad de la duración de la actividad de cada grupo, como se da en la siguiente tabla (redondeadas al entero más cercano. Actividad B C D E F G H I J a) b) c) d) 5 1)

A

Duración Media estimada Varianza estimada 4 meses 5 meses 6 meses 10 meses 4 meses 9 meses 3 meses 6 meses 8 meses 1 2 meses 4 meses 6 meses 3 meses 5 meses 1 meses 14 meses 5 meses 8 meses 5 meses 7 meses

Encuentre la ruca crítica media de este proyecto. Use esta ruta crítica media para encontrar la probabilidad aproximada de que el proyecto termine en 22 meses, Ahora considere las otras tres trayectorias de la red. Para cada una, encuentre la probabilidad aproximada de que se complete en 22 semanas. ¿Qué debe decir Alfred a su jefe sobre la probabilidad de que el medicamento esté listo en 22 meses?

Reconsidere el problema 50. Para cada una de las 10 actividades, en la tabla del problema se dan tres estimaciones que llevaron a la media y la varianza estimadas de la duración de la actividad redondeadas. Actividad 6 C D E F

A

Estimación Estimación más optimista probable 1.5 meses 2 meses 2 meses 3.5 meses 1 mes 1 .5 meses 0.5 mes 1 mes 3 meses 5 meses 1 mes 2 meses

Estimación pesimista 1 5 meses 21 meses 18 meses 1 5 meses 24 meses 1 6 meses

ECON. JUAN CARLOS ERAZO F G H I J

INVESTIGACIÓN OPERATIVA TOMO II 0.5 mes 2.5 meses 1 mes 2 meses

1 mes 3.5 meses 3 meses 3 meses

68

1 4 meses 25 meses 1 8 meses 1 8 meses

(Note que la gran incertidumbre en la duración de estas actividades de investigación hace que la estimación pesimista sea varias veces más grande que la optimista o la más probable) Ahora use la plantilla de Excel en el OR Coursewarc-(como se describe en la figura 5-11) para ayudarle a seguir las instrucciones del problema 50. En particular, introduzca las tres estimaciones pan cada actividad y la plantilla desplegará de inmediato las estimaciones de las medias y varianzas de las duraciones de las actividades. Después de indicar las rutas de interés, la plantilla proporciona las probabilidades aproximadas de que la ruta termine en 22 meses. 52)

Bill Fredlund, presidente de Lincoln Log Construcción planea presentar una licitación para un proyecto de construcción. Bill ha determinado que serán necesarias cinco tareas para realizar el proyecto. Con el enfoque de tres estimaciones de PERT, obtuvo las estimaciones de la siguiente tabla para el tiempo que llevará cada tarea. También se muestran las relaciones de precedencia.

Tarea B C D E

Tiempo requerido Estimación Estimación más optimista Probable A 3 sem. 4 sem. 2 sem. 2 sem. 3 sem. 5 sem. I sem. 3 sem. 2 sem. 3 sem.

Estimación Predecesores pesimista inmediato 5 sem. ² 2 sem. A 6 sem. B S sern. A 5 sem. B. D

Existe una multa de $500 000 si el proyecto no sé entrega en 11 semanas. Por lo tanto, Bill está muy interesado en la probabilidad de terminar el proyecto a tiempo. a) b) c) d) e)

53)

Construya la red de proyecto para el problema. Encuentre la estimación de la m edia y la varianza de la duración de cada actividad. Encuentre la ruta crítica media. Encuentre la probabilidad aproximada de termi nar el proyecto en 11 semanas. Bill concluye que la licitación que debe hacer para tener una oportunidad realista de ganar el contrato dejará a Lincoln Log Construction una ganancia de cerca de $250 000 si el proyecto termina en 11 semanas. Sin embargo, dada la multa por no entregar a tiempo, su compañía perdería $250 000 si el proyecto toma más de 11 semanas. Por lo tanto, desea presentar la licitación sólo si tiene una oportunidad de a! menos 50% de cumplir con la fecha de entrega. ¿Qué le aconsejaría?

Sharon Lowe, vicepresidente de mercadotecnia de Electronic Toys, está por iniciar un proyecto de diseño de una campaña publicitaria para una nueva línea de juguetes. El proyecto debe terminar en 57 días, a tiempo para lanzar la campaña al iniciar la temporada de Navidad. Sharon identificó seis actividades (etiquetadas A, B,..., F) para realizar este proyecto. Considerando el orden en que deben realizarse, también construyó la siguiente red de proyecto. A

C

E

F

INICIO

TERMINACIÓN

B

D

Con el enfoque de tres estimaciones de PERT obtuvo las siguientes duraciones estimadas para cada actividad.

ECON. JUAN CARLOS ERAZO F Actividad B C D E F a) b) c) d) e)

54)

A


Estimación Estimación más optimista probable 12 días 12 días 15 días 21 días 12 días 1 5 días 18 días 27 días 12 días 18 días 2 días 5 días

69

Estimación Pesimista Lidias 39 días 13 días 36 días 24 días 14 días

Encuentre la estimación de la m edia y la varianza de la duración de cada actividad. Encuentre la ruta crítica media. Use la ruta crítica media para encontrar la probabilidad aproximada de que la campaña publicitaria estará lista para lanzarse en 57 días. Ahora considere la otra ruta en la red de proyecto. Encuentre la probabilidad aproximada de que esta ruta termine en 57 días. Como estas trayectorias no se traslapan, una mejor estimación de la probabilidad de que el proyecto termine en 57 días es la siguiente. Terminará en 57 días si ambas rutas terminan en 57 días. Así, la probabilidad aproximada de que termine en 57 días es el producto de las probabilidades encontradas en c y d. Realice este cálculo. ¿Qué dice esta respuesta sobre la exactitud del procedimiento estándar usado en el inciso c?

La Lockhead Aircraft Co. Está por iniciar un proyecto para desarrollar un nuevo avión de guerra. El contrato con la Defensa dice que debe terminar en 100 semanas, con multas por entrega atrasada. El proyecto tiene 10 actividades (A,B,...,J), las relaciones de precedencia se muestran en la siguiente red. A

C

J INICIO

F

TERMINACI ÒN H

B

E I D

G

Se usó el enfoque de tres estimaciones de PERT para obtener las tres estimaciones usuales de cada actividad, como se dan en la tabla . Actividad Estimado optimista Estimado más probable Estimado pesimista A 28 semanas 32 semanas 36 semanas B 22 semanas 28 semanas 32 semanas C 26 semanas 36 semanas 46 semanas D 1 4 semanas 1 6 semanas 13 semanas E 32 semanas 32 semanas 32 semanas F 40 semanas 52 semanas 74 semanas G 1 2 semanas 16 semanas 24 semanas H 1 6 semanas 20 semanas 26 semanas I 26 semanas 34 semanas 42 semanas J 1 2 semanas 16 semanas 30 semanas a) b)

Encuentre la medía y la varianza estimadas de la duración de cada actividad. Encuentre la ruta critica media.

ECON. JUAN CARLOS ERAZO F c) d) 55)


Encuentre la probabilidad aproximada de que el proyecto termine en 100 semanas. ¿Es posible que la probabilidad aproximada obtenida en el inciso c sea mayor o menor que el valor verdadero?

Dadas las siguientes tareas necesarias para escribir una carta, construya la red, determine la ruta crítica y las holguras: Tareas A: Conseguir papel B: Conseguir sobre C: Conseguir sello D: Escribir el contenido de la carta E: Escribir dirección F: Poner el sello G: Meter la carta en el sobre H: Cerrar la carta /: Llevar la carta al buzón

56)

Tareas previas A B B, C B, D G E, F, H

Tiempo (en segundos) 20 20 30 400 60 10 20 10 300

Un proyecto consta de las siguientes acti vidades: Actividad A B C D E F a) b)

57)

70

Predecesores A B B C, D B

Duración 2 4 3 2 10 4

Dibujar la red del proyecto y determinar la ruta crítica, la holgura total y la libre de cada actividad. Comprobar, utilizando la Programación Lineal, la ruta crítica del proyecto.

La fase de un proyecto requiere las actividades que se muestran: Actividad A B C D E F G a) b)

Antecesor A A C D B, E F

Duración 3 6 14 8 4 8 9

Dibujar la red y determinar la ruta crítica, la holgura total y la libre para cada actividad. Utilizar el PL para obtener la ruta crítica del proyecto. Supóngase que se tiene que terminar el proyecto dentro de 30 días. Se puede reducir la duración de cada actividad pero se incurre en los costos que se mue stran en la tabla: Actividad A B C D E F G

Coste diario por reducir la duración de la actividad 100 80 60 70 30 20 50

Máxima reducción posible en la duración de la actividad 2 4 5 2 3 4 4

ECON. JUAN CARLOS ERAZO F c) 58)


71

Formula un PL para minimizar los costos con l os que se termina el proyecto a tiempo.

Dada la lista de las actividades que intervienen en la construcción de una casa: Tarea A = Cimientos B = Muros y techo C = Tejado D = Electricidad E = Ventanas F = Revestimiento G = Pintura

Antecesor

Tiempo 5 8 10 5 4 6 3



A B B B E C, F

Dibujar la red, determinar la ruta crítica y la holgura total y la libre para cada actividad. Supóngase que se puede reducir la duración de cada actividad contratando más trabajadores. En la tabla se dan los costos diarios de la reducción de las actividades. Establecer el PL que hay que resolver para minimizar el costo total de la terminación del proyecto dentro de 20 días. Actividad

Coste diario por reducir la duración 30 15 20 40 20 30 40

A B C D E F G 59)

Máxima reducción posible en la duración 2 3 1 2 2 3 1

Para realizar un proyecto que comienza el 1º de junio se necesitan: Actividad

Antecesores

t

t p

t

2 1 2 1 1 2 3 0.5 1 1

4 3 10 3 5 4 7 1.5 2 3

3 2 6 2 3 3 5 1 1.5 2

o

A B C D E F G H I J a) b) 6 0)

A A C A B C C F, H I

Dibujar la red, determinar la ruta crítica. Si el promotor quiere con una probabilidad del 0.99 terminar la preparación el día 30 de junio. ¿Cuándo tendrá que empezar el trabajo?

Dada la información de la tabla: Actividad

Antecesor

A B C D E F

A, B A, B B, C

Duración (días) 5 3 1 3 3 2

Numero de hombres 4 3 5 2 2 1

ECON.

AN CARLOS ERAZO G

a) ) ) 61 )

,E E

ibu j e l a red adecuada , si n contar con el número de hombres, obtenga l a ruta cr ítica. un soft are de Investi gaci ón perati va, comparar l a acumu l aci ón con el all anami ento de recursos. ibu j ar el iagrama de Barras y el de Gantt, en el caso de di sponer como máximo de hombres di ar iamente. Utilizando

arquit ecto ha establecido l a reali zaci ón de unproyecto en dif erentes tareas, obteniendo como resumen el si guiente graf o y l a tabla de datos que aparece a continuación: Un

Acti i ad

A B E G

a) b)

c) d) e)

62)

INVESTI ACI N OPERATIVA TOMO II

aci m dia días)

Var ianza

Núm ro de obreros

. . . . . . .

etermi nar l as predecesoras de cada acti vi dad. btener la duración esperada de l proyecto, su cam i no cr ítico y su var i anza según el ti empo más temprano de comi enzo . uál es el tiempo más tardío de com i enzo de l as acti vi dades E y G? uál es la probabili dad de que el proyecto termi ne antes de días? uál es la me jor sol uci ón si se di spone de como máxi mo obreros cada día? i bu j a el correspondi ente diagrama de barras. odifi cando l a duraci ón medi a de l a actividad en días, y di spon i endo de como máxi mo obreros, cuál es ahora el me j or cami no cr ítico? i bu ja su i agrama de Barras y de Gantt.

En la f abr i cación de una pi eza para un equi po electromecán i co exi sten trece acti vi dades con unas duraciones en semanas y unos requer i mi entos derecursos humanos como sigue: A C

E

I L M

Acti idad Produci r l as especifi caci ones abr i car prototipo Probar el prototipo Produci r un diseño mecán ico para l a f abr i caci ón Produci r un diseño el ectróni co para l a f abr i caci ón abr i car los componen tes mecán i cos abr i car los componen tes el ectróni cos abr i car equi po de pruebas mecán icas permanen te abr i car equi po de pruebas el ectrónicas permanen te onta je del equi po Probar l os componen tes mecán i cos Probar l os componen tes el ectrónicos onta je fi nal

raci n

ombres

acti vidades el ectróni cas y l as mecán i cas se pueden reali zar en paral el o. Las pruebas de l os componen tes mecán i cos no pueden ll evarse a cabo hasta que el equi po no se encuen tre Las



73

totalmente montado. Obtenga un cronograma con una utilización normal de recursos humanos, es decir, con el número de hombres empleados en cada actividad según se sugirió. Suponga que se puede incorporar un hombre extra a las actividades A. B, D y E, ¿qué reducción se obtendrá en la duración del proyecto, si no existe ninguna restricción en el número total de hombres disponibles? Tome 5 días hábiles por semana. 63)

Un proyecto se compone de 9 actividades Aij cuyas relaciones de precedencia se muestran en la siguiente tabla (i precedente de j), donde el vértice 0 representa el comienzo del proyecto, el vértice 6 el final. El número mínimo y máximo de hombres que pueden dedicarse a cada actividad son los siguientes: Actividad Mínimo Norma Máximo Duración a) b) c) d)

64)

A01 2 4 7 4

A02 1 2 5 6

A13 1 2 3 6

A14

A24

1 2 4 2

1 1 2 4

A36 2 4 6 2

A46 1 2 4 6

A45 1 1 2 2

A56 1 2 4 2

Determine las actividades críticas así como la duración mínima del proyecto. Dibuje un cronograma Diagrama de Barras suponiendo que cada actividad comienza lo más temprano posible. Esta solución ¿c uántos hombres utiliza como mínimo? Efectuando un allanamiento de recursos ¿con cuántos hombres se puede realizar el proyecto en el tiempo mínimo? Si la empresa sólo dispone de 5 hombres para el proyecto ¿cuál es la duración mínima del mismo? ¿Qué solución de todas las obtenidas considera que es mejor?

Un club está planeando el programa para la construcción de una piscina. El comienzo de la obra está programado para el día 1º de mayo. Las actividades, sus antecesores inmediatos y las estimaciones del tiempo de duración y la varianza, así como el número necesario de obreros para realizarla son:

Actividad A B C D E F G H I a) b)

Antecedente B B B E A, D C, F G, H

Duración esperada 6 5 3 4 1 4 12 14 2

Varianza 0.2 0.3 0.1 0.05 0.05 0.1 0.3 0.2 0.6

Obreros 1 2 4 3 2 1 3 2 4

Dibuja la red (sin utilizar tareas ficticias). Determina la ruta crítica, la duración esperada, su varianza, y los gráficos de la mejor solución. ¿Cuántos obreros hay que contratar? ¿Cuál es la probabilidad de que la piscina esté terminada al concluir la jornada laboral del día 26 de mayo? Si sólo queremos contratar a 5 obreros ¿Qué cambios se observan? Dibuja los gráficos correspondientes.

65)

Dada la lista de actividades siguientes: Actividad A B C

Tiempo mínimo 4 2 2

Tiempo máximo 8 6 10

Tiempo más probable 6 4 3

Mínimo de hombres 1 2 1

Normal de hombres 1 3 1

Máximo de hombres 2 4 2

Antecesores A

ECON. JUAN CARLOS ERAZO F D E F G H I J K a) b) c) d) e) f)

6 5 10 2 1 1 10 8

INVESTIGACIÓN OPERATIVA TOMO II 12 15 20 10 3 5 20 16

9 10 12 9 2 3 15 9

3 1 2 1 2 1 2 2

3 2 3 2 2 1 3 3

3 3 3 2 3 2 3 4

74

B B B C, D R G, H F J

Dibujar la red. Determinar la ruta crítica, la duración media esperada y su varianza, según el tiempo más temprano de comienzo, con los correspondientes Diagramas de Gantt y de Barras. ¿Cuál es la probabilidad de que el proyecto termine antes de 40 días? ¿Cuántos hombres hay que contratar para que eso ocurra? Si se disponen como máximo de 6 hombres en la empresa ¿cuál es la duración total del proyecto? Dibujar los diagramas de todas las posibi lidades. Comprobar la ruta crítica por programación li neal. Si se quiere tener la certeza del 99% de terminar el proyecto para un día determinado ¿cuántos días antes tendrá que empe zar a realizarse?


F

(

Z


75

)

0

1

2

0,0000

0,0040

0,0080

0,0398

0,0438

0,0478

0,0793

0,0832

0,0871

0,1179

0,1217

0,1255

0,1554

0,1591

0,1628

ÁREA BAJO LA CURVA NORMAL TIPIFICADA DE 0 a Z Standard 3 4 5 6 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772

0,5

0,1915

0,1950

0,1985

0,2019

0,2054

0,2088

0,2123

0,2157

0,2190

0,2224

0,6

0,2258

0,2291

0,2324

0,2357

0,2389

0,2422

0,2454

0,2486

0,2518

0,2549

0,7

0,2580

0,2611

0,2642

0,2673

0,2704

0,2734

0,2764

0,2794

0,2823

0,2852

0,8

0,2881

0,2910

0,2939

0,2967

0,2996

0,3023

0,3051

0,3078

0,3106

0,3133

0,9

0,3159

0,3186

0,3212

0,3238

0,3264

0,3289

0,3315

0,3340

0,3365

0,3389

1,0

0,3413

0,3438

0,346 1

0,3485

0,3508

0,353 1

0,3554

0,3577

0,3599

0,3621

1,1

0,3643

0,3665

0,3686

0,3708

0,3729

0,3749

0,3770

0,3790

0,3810

0,3830

1,2

0,3849

0,3869

0,3888

0,3907

0,3925

0,3944

0,3962

0,3980

0,3997

0,4015

1,3

0,4032

0,4049

0,4066

0,4082

0,4099

0,4115

0,4131

0,4147

0,4162

0,4177

1,4

0,4192

0,4207

0,4222

0,4236

0,4251

0,4265

0,4279

0,4292

0,4306

0,4319

1,5

0,4332

0,4345

0,4357

0,437 0

0,4382

0,4394

0,4406

0,4418

0,4429

0,444 1

1,6

0,4452

0,4463

0,4474

0,4484

0,4495

0,4505

0,4515

0,4525

0,4535

0,4545

1,7

0,4554

0,4564

0,4573

0,4582

0,459 1

0,4599

0,4608

0,4616

0,4625

0,4633

1,8

0,464 1

0,4649

0,4656

0,4664

0,467 1

0,4678

0,4686

04693

0,4699

0,4706

1,9

0,4713

0,4719

0,4726

0,4732

0,4738

0,4744

0,475 0

0,4756

0,4761

0,4667

2,0 2,1 2,2 2,3 2,4

0,4772

0,4778

0,4783

0,4788

0,4793

0,4798

0,4803

0,4808

0,4812

0,4817

0,4821

0,4826

0,483 0

0,4834

0,4838

0,4842

0,4846

0,4850

0,4854

0,4857

0,4861

0,4864

0,4868

0,487 1

0,4875

0,4878

0,4881

0,4884

0,4887

0,4890

0,4893

0,4896

0,4898

0,4901

0,4904

0,4906

0,4909

0,4911

0,4913

0,4916

0,4918

0,4920

0,4922

0,4925

0,4927

0,4929

0,4931

0,4932

0,4934

0,4936

2,5 2,6 2,7 2,8 2,9

0,4938

0,4940

0,494 1

0,4943

0,4945

0,4946

0,4948

0,4949

0,495 1

0,4952

0,4953

0,4955

0,4956

0,4957

0,4959

0,496 0

0,4961

0,4962

0,4963

0,4964

0,4965

0,4966

0,4967

0,4968

0,4969

0,497 0

0,4971

0,4972

0,4973

0,4974

0,4974

04975

0,4976

0,4977

0,4977

0,4978

0,4979

0,4979

0,498 0

0,4981

0,4981

0,4982

0,4982

0,4983

0,4984

0,4984

0,4985

0,4985

0,4986

0,4986

3,0 3,1 3,2 3,3 3,4

0,4987

0,4987

0,4987

0,4988

0,4988

0,4989

0,4989

0,4989

0,499 0

0,4990

0,4990

0,4991

0,499 1

0,499 1

0,4992

0,4992

0,4992

0,4992

0,4993

0,4993

0,4993

0,4993

0,4994

0,4994

0,4994

0,4994

0,4994

0,4995

0,4995

0,4995

0,4995

0,4995

0,4995

0,4996

0,4996

0,4996

0,4996

0,4996

0,4996

0,4997

0,4997

0,4997

0,4997

0,4997

0,4997

0,4997

0,4997

0,4997

0,4997

0,4998

3.5 3.6 3.7 3.8 3.9

0.4998

0.4998

0.4998

0.4998

0.4998

0.4998

0.4998

0.4998

0.4998

0.4998

0.4998

0.4998

0.4999

0.4999

0.4999

0.4999

0.4999

0.4999

0.4999

0.4999

0.4999

0.4999

0.4999

0.4999

0.4999

0.4999

0.4999

0.4999

0.4999

0.4999

0.4999

0.4999

0.4999

0.4999

0.4999

0.4999

0.4999

0.4999

0.4999

0.4999

0.5000

0.5000

0.5000

0.5000

0.5000

0.5000

0.5000

0.5000

0.5000

0.5000

0

Z 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4

Z

7 0,0279 0,0675 0,1064 0,1443 0,1808

8 0,0319 1,0714 0,1103 0,1480 0,1844

9 0,0359 0,50753 0,1141 0,1517 0,1879

PROBLEMAS PROPUESTOS GENERAL

Recommend Documents