PROBLEMAS PROPUESTOS SOBRE VECTORES
1. Qué condiciones deben cumplir A, B para que se cumpla cada una de las siguientes proposiciones en forma independiente?
a) μ A μ B 0 b) μ A μ B 2 μ B c) μ A μ A 0
SOLUCIÓN:
2. El producto escalar de A y B toma los siguientes valores. a) A B AB b) A B 1 2 AB
En cada caso indique las características del vector proyección de A sobre B . SOLUCIÓN:
3. En el paralelepípedo ABCDEFG indicado en la figura determinar:
a) PQ Y ST en función de sus componentes. b) El ángulo formado por PQ y SE. SOLUCIÓN: a) PQ OQ OP
ST OQ OP
PQ 0 i 4 j 4 k
PQ 3 i 0 j 0 k 3 i 4 j 4 k
ST 6 i 0 j 0 k
ST 0 i 4 j 2 k 6 i 4 j 2 k
b) SE OE OP SE 0 i 0 j 4 k 6 i 4 j 2 k SE 6 i 4 j 2 k
PQ SE θ cos1 PQ SE 1 0 i 4 j 4 k 6 i 4 j 2 k θ cos 42 42 62 42 22 8 θ cos1 5,667,48 θ 79,11
4. Determinar la suma de A, B y C en donde A 5 i 10 j 7 k ; B 9 i 4 j 2 k y C es un vector en el plano XY que forma un ángulo de 45° con la dirección positiva del eje de las X y se aleja del origen, su magnitud es 12.
SOLUCIÓN: C X 12 cos 45 8,5 C Y 12 cos 45 8,5
C 8,5 i 8,5 j 0 k
R A B C
R 22,5 i 2,5 j 9 k
R 5 i 10 j 7 k 9 i 4 j 2 k 8,5 i 8,5 j 0 k
5. Encontrar el valor de 2 A 3 B A 4 B, conociendo que A 4 u, B 3 u y
que el vector A es perpendicular al vector B . SUGERENCIA: Escoger un sistema de referencia adecuado. SOLUCIÓN:
B 3 i 0 j 0 k
A 0 i 4 j 0 k
R 20 i 4 j 0 k 33 i 0 j 0 k 0 i 4 j 0 k 43 i 0 j 0 k R 0 i 8 j 0 k 9 i 0 j 0 k 0 i 4 j 0 k 12 i 0 j 0 k R 9 i 8 j 0 k 12 i 4 j 0 k R 2 A 3 B A 4 B
R 76
6. Sabiendo que A es 10 i 5 j 3 k y B tiene una longitud de 10m, la proyección B Y 5 m el ángulo director α 60. Y que el vector C se inicia en el punto 0, 4, 5 y finaliza en el punto 2, 2, 1. Encontrar un vector D que satisfaga a:
A B 1 2 C D 0
SOLUCIÓN:
A 10 i 5 j 3 k
B 5 i 5 j 7,07 k
C 2 i 2 j 4 k
A B 1 2 C D 0
10 i 5 j 3 k 5 i 5 j 7,07 k 1 2 i 2 j 4 k D 0 2 15 i 0 j 4,07 k i j 2 k D 0 14 i j 6,07 k D 0 D 14 i j 6,07 k
8.
A partir de la figura determinar: a) El vector R 2 NP 3IB 4CF b) El vector proyección de MI sobre AD c) El ángulo entre NJ y GA
d) Un vector perpendicular a GC y GP P:
Punto medio de AD
SOLUCIÓN: a) NP OP ON
NP 5 i 6 j 4 k
NP 5 i 3 j 4 k 0 i 9 j 0 k
IB OB OI
IB 5 i 6 j 4 k
IB 10 i 0 j 8 k 5 i 6 j 4 k
CF OF OC
CF 10 i 6 j 8 k
CF 0 i 6 j 8 k 10 i 0 j 0 k
R 2 NP 3IB 4CF
R 10 i 12 j 8 k 15 i 18 j 12 k 40 i 24 j 32 k R 65 i 54 j 12 k R 2 5 i 6 j 4 k 3 5 i 6 j 4 k 4 10 i 6 j 8 k
b) MI OI OM
MI 5 i 3 j 0 k
MI 5 i 6 j 4 k 0 i 9 j 4 k
AD OD OA
AD 10 i 6 j 8 k
AD 10 i 6 j 0 k 0 i 0 j 8 k
MI AD
MI AD AD
MI AD
5 i 3 j 0 k 10 i 6 j 8 k 10 i 6 j 8 k
MI AD
μ AD
10 2 6 2 8 2
50 18 14,14
MI AD 2,26 0,70 i 0,42 j 0,57 k
MI AD 1,6 i 0,95 j 1,28k
10 2 6 2 8 2
0,70 i 0,42 j 0,56 k
c) NJ OJ ON NJ 5 i 6 j 0 k 0 i 9 j 0 k NJ 5 i 3 j 0 k
GA OA OG
GA 0 i 6 j 8 k
GA 0 i 0 j 8 k 0 i 6 j 0 k
NJ GA θ cos NJ GA 1
5 i 3 j 0 k 0 i 6 j 8 k θ cos1 2 2 2 2 5 3 6 8
5,83 10 θ 72,02 18
θ cos1
d) GC OC OG
GC 10 i 6 j 0 k
GC 10 i 0 j 0 k 0 i 6 j 0 k
GP OP OG
GP 5 i 3 j 4 k
GP 5 i 3 j 4 k 0 i 6 j 0 k
i
j
k
GC GP 10
6 0
5
3 4
GC GP 24 i 40 j 30 30 k
GC GP 24 i 40 j 0 k
9. Dados A 3 i 7 j y B 2 j 3 k Encuentre:
a) El vector R A B b) El vector perpendicular a A y B c) El ángulo entre A y R
SOLUCIÓN: a) R A B
R 3 i 7 j 2 j 3 k
R 3 i 9 j 3 k
b)
i
j
k
A B 3
7 0 0 2 3
A B 21 i 9 j 6 k
c) 1 A R θ cos A R 1 3 i 7 j 3 i 9 j 3 k θ cos 32 7 2 32 9 2 32
9 63 7,61 9,95
θ cos1
θ 161,96
10. Determine la suma de A, B, C, donde A 3 i j ; B contenido en el plano XZ, en la dirección N 20 O se aleja del origen su longitud es 3m. Los ángulos directores de C son β 15 y γ 105, su módulo es 10m.
SOLUCIÓN: 11. Una pelota es lanzada en línea recta desde el origen 0 a un punto P10, 15, 0 m . Hallar: a) Los cosenos directores. b) Un vector en la dirección de OP cuya longitud sea 3m. c) Las proyecciones XY, YZ, XZ de OP
SOLUCIÓN:
12. Un carro parte de P0, 50, 60 km con respecto a la pista, en dirección S 60 E y llega a una distancia de 75km, luego cambia de rumbo y corre 100km siguiendo una dirección y sentido que coincide con el unitario de: R 5 i 12 k
a) Encuentre la posición final del carro con respecto a la pista. b) El vector unitario de la posición final SOLUCIÓN:
13. En la figura determinar:
AB AE CD OC OD BE 100 u CB DE OA 80 u
a) El ángulo formado por AC y EC b) El vector proyección de OC sobre CD SOLUCIÓN:
14. Encontrar el ángulo formado por la velocidad y la aceleración en el instante en que la rapidez es 30m/s en la dirección N 30 O y un ángulo de elevación de 45°, la aceleración es de 5 m s 2 en dirección 0,6 i c j 0,4 k
SOLUCIÓN: 15.
En la figura determinar: a) La posición geográfica de L con respecto a Q b) La proyección de OQ sobre QL c) El unitario de V LN 2PQ
SOLUCIÓN:
16. Dos cubos de 12 y 20 cm de lado, están colocados como indica la figura. Encontrar:
a) AJ NB b) El ángulo formado por JM y GF c) La proyección de HK sobre GF SOLUCIÓN: a)
AJ OJ OA
AJ 12 i 20 j 20 k
AJ 12 i 20 j 0 k 0 i 0 j 20 k
NB OB ON
NB 20 i 32 j 20 k
NB 20 i 0 j 20 k 0 i 32 j 0 k
R AJ NB
R 32 i 12 j 0 k
R 12 i 20 j 20 k 20 i 32 j 20 k
b) JM OM OJ
JM 12 i 12 j 12 k
JM 0 i 32 j 12 k 12 i 20 j 0 k
GF OF OG GF 20 i 0 j 0 k 0 i 20 j 0 k GF 20 i 20 j 0 k
JM GF θ cos JM GF 1
12 i 12 j 12 k 20 i 20 j 0 k θ cos1 2 2 2 2 2 12 12 12 20 20
240 240 20,78 28,28
θ cos1
θ 144,76
c) HK OK OH
HK 12 i 12 j 12 k
HK 12 i 32 j 0 k 0 i 20 j 12 k
GF OF OG
GF 20 i 20 j 0 k
GF 20 i 0 j 0 k 0 i 20 j 0 k
HK GF
HK GF
μ GF
GF
12 i 12 j 12 k 20 i 20 j 0 k 20 i 20 j 0 k
HK GF
20 2 20 2
20 2 20 2
HK GF
17. Conociendo los vectores: A 2 i 3 j 6 k y B 2 i 4 j 4 k . Determinar el vector proyección del vector A sobre la recta de acción del vector B .
SOLUCIÓN:
AB
A B
B
AB
2 i 3 j 6 k 2 i 4 j 4 k 2 i 4 j 4 k
μB
22 42 42 22 42 42 4 12 24 0,33 i 0,66 j 0,66 k AB 6
A B 1,76 i 3,52 j 3,52 k
18. Se tiene una cuerda fija en el punto A y se hala con una fuerza de 50N de modo que el otro extremo está en el punto B.
Determinar:
a) El vector fuerza
F en términos de
i , j , k .
b) La proyección del vector F sobre DG
SOLUCIÓN: a)
μ r
r 4 i 10 j 3 k
4 i 10 j 3 k
4 2 10 2 32
μ r 0,36 i 0,89 j 0,27 k
F 50 N 0,36 i 0,89 j 0,268k
F 18 i 44,5 j 13,5k
b)
DG G D
DG 8 i 0 j 0 k
DG 4 i 0 j 0 k 4 i 0 j 0 k
F DG
FDG
DG
μ DG
18 i 44,5 j 13,5k 8 i 0 j 0 k i 0 j 0 k
FDG
FDG
8
144 8
i 0 j 0 k
FDG FDG 18 i 0 j 0 k
19. Dados los puntos A2, 1, 2; B5, 1, 4 y C7, 2, 1. Determinar los siguientes vectores: a) b) c) d)
paralelo a AB y de módulo 15N. E perpendicular al triangulo ABC y módulo 20. F de módulo 10u y paralelo a la bisectriz del ángulo ABC . G en la dirección de AC y con módulo igual al módulo de la proyección de AB sobre BC e) Determinar " m" para que Q 5 i m j k sea perpendicular al vector AB. D
f) El vector H a i b j 5 k que sea paralelo a BC .
SOLUCIÓN: a)
AB B A
AB 3 i 2 j 2 k
AB 5 i j 4 k 2 i j 2 k
μ AB
3 2 2 2
2
D = 10,90 i- 7, 28 j+ 7, 28k
b) BC = C- B
BC = 2 i+3 j-3k
BC = 7 i+ 2 j+1k - 5 i- j+ 4k
i
j
k
2
2
3
3
2
AB BC 6 6 i 9 4 j 9 4 k
AB BC 0 i 13 j 13 k
0 i 13 j 13 k
μ ABBC
13 2 13 2
μ ABBC 0 i 0,707 j 0,707 k
E 20 0 i 0,707 j 0,707k
E 0 i 14,14 j 14,14k
c) d) ABBC =
AB•BC BC
ABBC = ABBC =
× mBC
3 i- 2 j+ 2 k • 2 i+ 3 j- 3 k × 2 i+ 3 j- 3 k 22 + 32 + 32
-6 4,69
2
μ AB 0,727 i 0,485 j 0,485 k
D =15N 0,73i-0,49 j+0,49k
AB BC 3
3 i 2 j 2 k
22 + 32 + 32
× 0, 426 i+ 0, 639 j- 0, 639 k
ABBC = 0,54 i+ 0,82 j-0,82k
AB BC 0,542 0,822 0,822 AB BC 1,28
AC C A
AC 5 i j k 5 i j k μ
AC 7 i 2 j 1 k 2 i j 2 k
AC
52 1 1
μ AC 0,962 i 0,192 j 0,192 k
G 1,28 0,962 i 0,192 j 0,192k
G 1,23 i 0,25 j 0,25k
e)
AB Q 0
3 i 2 j 2 k 5 i m j k 0
15 2 m 2 0 m
13 2
m 6,5
Q 5 i 6,5 j k
f)
μ BC
BC 2 i 3 j 3 k
2 i 3 j 3 k
2 3 3 2
2
2
μ BC 0,426 i 0,639 j 0,639 k
k H μ BCz
5 H 0,639
H
5 0,639
H 7,82
H 7,82 0,426 i 0,639 j 0,639k
H 3,33 i 5 j 5 k
