UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
DAEF
Fac.de Ingeniería
FÍSICA I (Vectores) 1- Sean B y C dos vectores diagonales de las caras de un cubo de lado a, como se muestra en la figura. (a) Encontrar las componentes del vector D = B x C; (b) Encontrar los valores del producto escalar B.C B.C,, del producto escalar D.B. D.B. Encontrar el ángulo entre la diagonal del cubo o vector E y la diagonal vector B. z
z 12’ D
B
A
C
5.- Determinar los momentos de la fuerza F mostrada, con respecto a los puntos medios p y q de las diagonales OB y DC, respectivamente.
E
H
3’
G q
x
a
a
3- Para los vectores mostrados mostrados en la figura, el el vector que representa la operación: a - b/2 b/2 es
y
A
y
2- Un vector A de magnitud A= 2 3 tiene cosenos directores iguales y forma ángulos agudos con los ejes coordenados cartesianos. Sea B = 3i 3 i + 2j –k – k otro vector de magnitud 14 . Considérese otro vector c de magnitud c = 4 26 perpendicular a los vectores A y B. Si el vector suma A+B+C forma un ángulo agudo con el eje y., hallar hallar los cosenos cosenos directores del vector suma A+B+C
C
o
4’
a
B
F
x
6.- Dados los vectores: a = 3i – 2j, b = - 4i + j. calcular: (a) El vector suma y su modulo, (b) El vector diferencia y el ángulo que forma con el eje OX. (c) El vector c = 2a - 3b y el vector unitario que define la dirección y sentido de c. 7.- Se tienen tienen dos dos fuerzas fuerzas coplanarias y concurrentes cuyos módulos son: F 1 = 5 kgf y F 2 = 7 kgf, que forman respectivamente los siguientes ángulos con el eje OX: 60 0 y – 30 0. calcular: (a) La fuerza resultante. (b) su modulo. (c) Angulo que forma con el eje OX. 8.
Si el producto vectorial de dos vectores a x x b =
7, 3i – 6 j + 2k y sus módulos son 4 y respectivamente, calcular su producto escalar. 9-
La fuerza representada por un vector F que va de O a G, como se muestra en la figura, tiene una una magnitud de 280 lbs. Determinar el momento de esta fuerza con respecto a las cuatro esquinas A, E C, H. z
H
D
G
E
F
C
4.- Una caja tiene 16 cm de largo, 18 cm de ancho y 10 cm de alto. Encuentre la longitud de la diagonal de la caja y el ángulo que ésta forma con cada uno de los ejes.
x
y
B
A
10- Un trapecio esta sostenido en posición horizontal horizontal por tres cables ligados a tres de sus esquinas, como se muestra en la figura. las tensiones en los cables AA’, BB’ y CC’, son respectivamente, 80, 30 y 70 libras. (a) Determinar la resultante de estas tensiones. (b) Si se aplica una fuerza vertical hacia debajo de 180 libras en el punto D, ¿Cuál es la resultante de esta nueva fuerza y las tres tensiones ?
z
B
C D
x
A
y
11- Una fuerza F, de magnitud 100 libras tiene sus cosenos directores iguales a –1/2, -1/2,
2
2
→
donde d r = dx i + dy j + dz k . A lo largo de la curva x = y 2, z = 0, cuando pasa desde el punto A(1,1,0) al B(4,2,0).
,y
actúa pasando por el punto (-2, -3, 5)pies y (0, 8, 20) pies. Determinar el momento M de la fuerza F con respecto a la recta. 12. Dados los vectores: a (1,0,-1), b (1,3,0), c (2,-1,1) y d (0,-2,-1). Calcular: (a) (a . b ) ( c . d ) (b) (a x b ) . (c x d ) (c) (a . b ) (c x d ) (d) (a x b ) x (c x d ). 13. Dados los vectores a (1,3,-2 y b (1,-1,0). Calcular: (a) Su producto vectorial. (b) El área del paralelogramo que tiene a los dos vectores como lados. (c) Un vector c de modulo 6, perpendicular al plano en que se encuentra a y b . 14. Dado el vector: a = A (cos ωt i + sen ωt j ) donde A y ω son constantes y t es la variable escalar independiente, se pide: (a) Hallar su modulo y la derivada de este. (b) d a / dt y | d a / dt | (c) demostrar que a y d a / dt son perpendiculares. 15. Si v es un vector función de un parámetro t demostrar que: (a) Si v constante en dirección, entonces v x d v / dt = 0, (b) Si v es constante en módulo, entonces v . d v / dt = 0.
DERIVACIÓN DE VECTORES r
→
→
→
a)
dt 2 d A r
b)
dt 2
22. Si: r = a cos( t ) + b sen( t ) , donde a y b son vectores constantes cualesquiera no colineales y ω es un escalar constante. demostrar que: r
r
r ×
a)
2
b)
r
=
ω ( a × b ) r
r
2
dt
+ ω
r = 0 r
23.- Si: r
A( t )
→
=
18. Dado el escalar (función de punto):
b)
∫ a
dt
d r
a)
(c)
dr
r
Calcular:
→
2
dA
∫ a + b dt (b) ∫ a • b dt
Calcular: (a)
3
r
16. Dados los vectores: a(2t, sen t, 0); b(0, 2cost, t2). Calcular: (a) d (a + b ) / dt . (b) d (a . b )/ dt (c) d (a x b )/ dt . (d) d |a x b |/ dt (e) d / dt (d a / dt . b ) (f) d / dt (a x b / a . b ) 17. Dados los vectores: a (t 2, t , 1), y b (1, t , t + 1).
2
21. Sea: A = ( 3t ) i + ( t + t ) j + ( t − 2 t ) k . Hallar para t = 1 s:
2
4 ( t − 1)i − (2 t + 3) j + (6 t ) k .
3
→
× b dt .
∫
r
A( t ) dt
2 2
∫
r
[ti − 2 k ] • [ A(t ) dt ]
1
a
= x
2
2
yz + 3 x y − y ; calcular la integral
de línea:
24. Hallar el vector B(t) tal: r
2
d B
→
∫ a d r
2
dt
=
2
6t i − 8t j + 12 k
donde:
c
r
→
B
donde d r = dx i + dy j + dz k
v
( x + y )i
=
+
r
dB
= i + 5j dt para t = 0
xy j . Calcular la integral
(circulación):
∫
→
v
→
•
d r r
→
donde d r = dx i + dy j
φ = 3 x 2 y + y 2 z 3 Hallar .en el punto (1, -1, 1):
20. Dado el vector: →
v
=
( x + z )
2
i
+ x
c
→
v
× d r
2
j + ( y − z ) k .
Calcular la integral de línea: →
2
2
25.- Si: A = ( xz )i + ( 2 x − y ) j − ( yz ) k y
c
∫
2i − 3k
y
19. Dado el vector (Vector de campo): →
=
(a)
∇φ
(b)
∇•
→
A →
(c)
∇×
A
