Problemas propuestos Dinámica de estructuras

PROBLEMAS RESUELTOS 1.1 -1.3 A partir de la definición básica de rigidez, determine la rigidez efectiva del resorte combinado y escriba la ecuación de movimiento para los sistemas resorte-masa que se muestran en las figuras P1.1 a P1.3.

1.4 Deduzca la ecuación que controla el movimiento libre de un péndulo simple consistente en una barra infinitamente rígida sin masa, articulada en el punto O, con una masa m conectada en la punta (figura P1.4). Linealice la ecuación para las oscilaciones pequeñas y determine la frecuencia natural de oscilación.

1.5 Considere el movimiento libre en el plano  xy de un péndulo compuesto que consta de una barra infinitamente rígida suspendida de un punto (figura P1.5). La longitud de la barra es  L y su masa m se distribuye uniformemente. La anchura de la barra uniforme es b y su espesor es t . El desplazamiento angular de la línea central del péndulo medida desde el eje  y se indica mediante θ (t ). (a) Deduzca la ecuación que controla θ (t ). (b) Linealice la ecuación para θ pequeños. (c) Determine la frecuencia natural de las oscilaciones pequeñas.

1.6 Repita el problema 1.5 para el sistema mostrado en la figura P1.6, el cual difiere sólo en un sentido: su ancho varía de cero en O a b en el extremo libre.

1.7 Desarrolle la ecuación que controla el movimiento longitudinal del sistema de la figura P1.7. La barra está hecha de un material elástico con módulo de elasticidad  E ; el área de su sección transversal es A y su longitud es L. Desprecie la masa de la barra y mida u desde la posición de equilibrio estático.

1.8 Un disco rígido de masa m está montado en el extremo de un eje flexible (figura P1.8). Desprecie el p eso del eje y el amortiguamiento, y deduzca la ecuación de la vibración torsional libre del disco . El módulo cortante (de rigidez) del eje es G.

1.9-1.11 Escriba la ecuación que controla la vibración libre de los sistemas mostrados en las figuras P1.9 a P1.11. Suponiendo que la viga carece de masa, cada sistema tiene un solo GDL definido como la deflexión vertical bajo el peso w. La rigidez a la flexión de la viga es  EI y su longitud es L.

1.12 Determine la frecuencia natural de un peso w suspendido de un resorte en el punto medio de una viga simplemente apoyada (figura P1.12). La longitud de la viga es  L y su rigidez a la flexión es  EI . La rigidez del resorte es k . Suponga que la viga carece de masa.

1.13 Deduzca la ecuación de movimiento para el marco que se muestra en la figura P1.13. La rigidez a la flexión de la viga y las columnas es como se indica. La masa concentrada en la viga es m; de manera alternativa, suponga que el marco no tiene masa y desprecie el amortiguamiento. Compare el resultado con la ecuación (1.3.2) y comente el efecto del empotramiento de la base.

2.1 Una mesa pesada se apoya sobre patas de acero planas (fi gura P2.1). Su periodo natural de vibración lateral es de 0.5 segundos. Cuando se sujeta una placa de 50 libras a su superficie, el periodo natural de vibración lateral se alarga a 0.75 segundos. ¿Cuáles son el peso y la rigidez lateral del sistema?

2.7 Imagine un clavadista que pesa 200 libras al final de un trampolín con un voladizo de 3 pies. El clavadista oscila a una frecuencia de 2 Hertz. ¿Cuál es la rigidez a flexión EI del trampolín?

2.14 El sistema de suspensión vertical de un automóvil se idealiza como un sistema de 1GDL amortiguado viscosamente. Bajo el peso de 3000 libras del automóvil, el sistema de suspensión experimenta una deflexión de 2  pulgadas. La suspensión está diseñada para ser críticamente amortiguada. (a) Calcule los coeficientes de amortiguamiento y rigidez de la suspensión. (b) Con cuatro pasajeros de 160 libras en el automóvil, ¿Cuál es la fracción de amortiguamiento efectiva? (c) Calcule la frecuencia de vibración natural para el caso (b).

3.4 Una máquina se apoya sobre cuatro resortes de acero cuyos amortiguamientos pueden despreciarse. La frecuencia natural de la vibración vertical del sistema máquina-resorte es de 200 ciclos por minuto. La máquina

genera una fuerza vertical p(t )  p0 sen ωt . La amplitud del desplazamiento vertical de estado estacionario resultante =

 para la maquina es uo 0.2 pulg cuando la maquina está funcionando a 20 revoluciones por minuto (rpm), 1.042  pulg a 180 rpm y 0.0248 pulg a 600 rpm. Calcule la amplitud del movimiento vertical de la maquina si los resortes de acero se sustituyen por cuatro aisladores de caucho que proporcionan la misma rigidez, pero introducen un =

amortiguamiento equivalente a ζ velocidades de la máquina.

=

25% para el sistema. Comente la eficacia de los aisladores a diferentes

3.5 Un aparato de aire acondicionado que pesa 1200 lb se atornilla en medio de dos vigas paralelas de acero simplemente apoyadas (fi gura P3.5). El claro libre de las vigas es de 8 pies. El segundo momento del área de la sección transversal de cada viga es de 10 pulg4. El motor de la unidad funciona a 300 rpm y, a esta velocidad,  produce una fuerza vertical desbalanceada de 60 lb. Desprecie el peso de las vigas y suponga 1% de amortiguamiento

viscoso en el sistema; para el acero E 30,000 ksi. Considere la fuerza desbalanceada y determine las amplitudes de la deflexión en estado estacionario y la aceleración de estado estacionario (en g’s) para las vigas en sus puntos medios. =