Primer nivel 1. El rectángulo de la figura está dividido en cuatro rectángulos más pequeños mediante dos líneas paralelas a sus lados. En tres de ellos se ha escrito el perímetro correspondiente. ¿Cuál es el perímetro del cuarto rectángulo?
2. Los nueve números del 1 al están escritos uno en cada ficha. Con las nueve fichas ha! que formar tres números de tres dígitos cada uno de modo que la suma de los tres números así o"tenidos tenga el má#imo valor posi"le. ¿$e cuántas maneras diferentes pueden disponerse las fichas? 3. %ea ABCD un cuadrilátero tal que
-allar k de de modo que el área del cuadrilátero A'B'C'D' sea sea )4 veces el area del rectángulo ABCD.
que satisfacen 2. -allar todos los números enteros X que ) x .:3; x x < = ). x x + 3
3. ¿%e pueden distri"uir los números del 1 al 1' en las casillas del ta"lero de modo que la suma de los números u"icados en tres casillas consecutivas sea siempre menor o igual que )3? Primer nivel 1. Con los dígitos 1, ), 5, 3, 4, ', &, *, se forman tres números A, B, C , de tres dígitos distintos cada uno, usándose los nueve dígitos. ¿%e puede lograr que ninguno sea múltiplo de 5 ? un triángulo con ( B=54o,
3. El ár"ol geneal>gico de una familia se inicia en el matrimonio de Eduardo ! Cecilia que tiene tres hi0os8 rlando, Luis ! 7anuel. $e estos tres hi0os, rlando ! Luis se casan ! 7anuel queda soltero. @ara cada uno de los siguientes matrimonios se repite la misma situaci>n :ellos tienen tres hi0os de los cuales dos se casan ! uno queda soltero<. $eterminar el número de personas incluidas en el ár"ol geneal>gico hasta la d2cima generaci>n :incluir todos los espososAas<. ACLARACION8 rlando, Luis ! 7anuel son de la primera generaci>n. Segundo nivel 1. -allar todos los números de 5 dígitos tales que al elevarlos al cuadrado tienen las tres últimas cifras iguales ! en el mismo orden que el número original. tiene ( A=)&o ! n del lado AB tal que CP es es perpendicular a m. La "isectri+ del ángulo APC interseca interseca a BC en en R ! ! a AC en en S. -allar las medidas de los ángulos CRS ! CSR .
3. %e tiene una circunferencia de longitud )1. %e han marcado en la misma ) puntos, P 1,P ),P 5,... ,P ) ), siguiendo el sentido de giro igual al relo0, de modo que el arco que une el punto P 1 con el P ) mide 19 el arco que une el punto P ) con el P 5mide )9 el arco que une el punto P 5 con el P 3 mide 59 ... 9 ! así sucesivamente el arco que une el punto P ) ) con el P 1 mide ). -allar todos los pares de puntos marcados tales que el segmento que los une es diámetro de la circunferencia. Tercer nivel 1. -allar el resto de dividir 11... 14 veces ... 11 por 11. 2. B"icar en cada casillero vacío de la ta"la un número natural, de modo que en cada fila ! en cada columna se forme una progresi>n aritm2tica. ACLARACION8 La ra+>n de una progresi>n aritm2tica puede ser positiva o negativa. @or e0emplo8 14, 1&, 1, )1, ... tiene ra+>n positiva ! 4&, 43, 41, 3* tiene ra+>n negativa.
que satisfacen 2. -allar todos los números enteros X que ) x .:3; x x < = ). x x + 3
3. ¿%e pueden distri"uir los números del 1 al 1' en las casillas del ta"lero de modo que la suma de los números u"icados en tres casillas consecutivas sea siempre menor o igual que )3? Primer nivel 1. Con los dígitos 1, ), 5, 3, 4, ', &, *, se forman tres números A, B, C , de tres dígitos distintos cada uno, usándose los nueve dígitos. ¿%e puede lograr que ninguno sea múltiplo de 5 ? un triángulo con ( B=54o,
3. El ár"ol geneal>gico de una familia se inicia en el matrimonio de Eduardo ! Cecilia que tiene tres hi0os8 rlando, Luis ! 7anuel. $e estos tres hi0os, rlando ! Luis se casan ! 7anuel queda soltero. @ara cada uno de los siguientes matrimonios se repite la misma situaci>n :ellos tienen tres hi0os de los cuales dos se casan ! uno queda soltero<. $eterminar el número de personas incluidas en el ár"ol geneal>gico hasta la d2cima generaci>n :incluir todos los espososAas<. ACLARACION8 rlando, Luis ! 7anuel son de la primera generaci>n. Segundo nivel 1. -allar todos los números de 5 dígitos tales que al elevarlos al cuadrado tienen las tres últimas cifras iguales ! en el mismo orden que el número original. tiene ( A=)&o ! n del lado AB tal que CP es es perpendicular a m. La "isectri+ del ángulo APC interseca interseca a BC en en R ! ! a AC en en S. -allar las medidas de los ángulos CRS ! CSR .
3. %e tiene una circunferencia de longitud )1. %e han marcado en la misma ) puntos, P 1,P ),P 5,... ,P ) ), siguiendo el sentido de giro igual al relo0, de modo que el arco que une el punto P 1 con el P ) mide 19 el arco que une el punto P ) con el P 5mide )9 el arco que une el punto P 5 con el P 3 mide 59 ... 9 ! así sucesivamente el arco que une el punto P ) ) con el P 1 mide ). -allar todos los pares de puntos marcados tales que el segmento que los une es diámetro de la circunferencia. Tercer nivel 1. -allar el resto de dividir 11... 14 veces ... 11 por 11. 2. B"icar en cada casillero vacío de la ta"la un número natural, de modo que en cada fila ! en cada columna se forme una progresi>n aritm2tica. ACLARACION8 La ra+>n de una progresi>n aritm2tica puede ser positiva o negativa. @or e0emplo8 14, 1&, 1, )1, ... tiene ra+>n positiva ! 4&, 43, 41, 3* tiene ra+>n negativa.
son perpendiculares entre sí. 3. En el triángulo ABC , las medianas tra+adas desde B ! desde C son %i AC mide mide 14 ! AB mide 1, calcular cuánto mide BC .
Primer nivel 1. er>nica ! su amigo Dulio entraron a una li"rería de ahía lanca ! compraron por valores enteros diferentes, superiores a F1. Cada uno quiso pagar con un "illete de F), pero el dueño no tenía cam"io para co"rarle a ninguno de los dos. Entonces Dulio ofreci> pagarle con un "illete de F4 ! así pudo darle el vuelto. /l ver esto, er>nica sac> un "illete de F4 ! el li"rero pudo co"rarle a ella tam"i2n. ¿Cuál es el número mínimo de "illetes que podía tener el li"rero cuando llegaron los amigos? NOTA8 Los "illetes en circulaci>n son de F1, F4, F), F1, F4, F), F1. 2. Escri"ir en cada v2rtice de un cuadrado una potencia de ) ! luego, en cada lado ! en cada diagonal escri"ir el producto de los números asignados a sus e#tremos, de modo tal que la suma de los 1 números escritos sea 544. ACLARACION8 Las potencias de ) son ) =1, )1=), ))=3, ... ! D siguiendo el sentido 3. En una circunferencia de centro O ! radio 1 se marcan los puntos A, B, C ! o o o horario. %i AOB=1) , BOC=' ! COD=14 , calcular el área del cuadrilátero ABCD.
Segundo nivel 1. Escri"ir en cada casilla de la pirámide un número natural ma!or que 1 de modo que8 •
•
La casilla superior tenga escrito el 4'14)*. El número escrito en cada casilla sea igual al producto de los números escritos en las dos casillas so"re las que está apo!ada.
! D salen simultáneamente de un mismo punto de una pista 2. Cuatro autos A, B, C ! circular. A ! B van en una direcci>n, C ! ! D en la direcci>n contraria. Godos tienen distintas velocidades, pero constantes. / los 4 minutos de la partida, A cru+a por primera ve+ a C ! ! en el mismo instante, B cru+a por primera ve+ a D. / los *5 minutos de la partida, A ! B se encuentran por primera ve+. ¿Cuánto tiempo transcurre desde la partida hasta que C ! ! D se encuentran por primera ve+? de centro O ! una circunferencia C' que que pasa por O ! corta 3. $ada una circunferencia C de a C en en A ! B, sea C :distinto :distinto de O< un punto de C' que que está en el interior de la circunferencia C . La recta AC corta corta nuevamente a la circunferencia C en en D. $emostrar que CB=CD.
Tercer nivel 1. Gomando como v2rtices los puntos de intersecci>n de las prolongaciones de los lados de un he#ágono regular H se o"iene un nuevo he#ágono regular H 1. $e la misma manera, a partir de H 1 se constru!e H ) ! así sucesivamente. ¿Cuál es el primer he#ágono H n cu!a área es ma!or que 14 veces el área del he#ágono H ?
2. Consideramos los números enteros de 1 a 1 inclusive. %umamos entre sí todos los que tienen todos sus dígitos pares ! sumamos entre sí todos los que tienen todos sus dígitos impares. ¿Cuál suma es ma!or? ACLARACION8 es par. tal que una 3. $ados tres puntos no alineados A, B, C , construir una circunferencia con centro en C tal de las tangentes tra+adas desde A sea paralela a una de las tangentes tra+adas desde B. Hndicar los pasos de la construcci>n.
Primer nivel - Primer día 1. Dulia intercam"i> los dígitos de un número de 5 cifras de modo que ningún dígito quedo en su posici>n original. $espu2s rest> el número vie0o menos el nuevo ! el resultado es un número de ) cifras que es un cuadrado perfecto. -allar todos los resultados que pudo o"tener Dulia. 2. ¿Cuál es el mínimo número de casillas que se de"en colorear en el ta"lero de ' x ' para que sea imposi"le recortar de la parte sin pintar un peda+o con la siguiente forma8 un triángulo escaleno de área &. %ea A1 un punto del lado BC ! ! 3. %ea ABC un sean B1 ! C 1 en las rectas AC ! ! AB respectivamente, tales que AA1, BB1 ! CC 1 son paralelas. -allar el área del triángulo A1B1C 1.
Primer nivel - Segundo día 4. La familia /lvare+, la familia eníte+ ! el matrimonio Cáceres almor+aron en la misma parrilla. Los /lvare+, que comieron 5 "ifes, ) ensaladas ! 4 gaseosas, gastaron $ 45. 45. Los eníte+, que comieron 4 "ifes, 5 ensaladas ! gaseosas, gastaron $ 1. 1. ¿Cuánto gastaron los Cáceres que comieron, entre los dos, 1 "ife, 1 ensalada ! 1 gaseosa? . / cada dígito ,1,),5,3,4,',&,*, le corresponde una letra distinta. -allar los números ABACDE , CAFDG, CHHBAED si se sa"e que son las longitudes de los lados de un triángulo. ACLARACI!N8 Es sa"ido que cada lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos. ". ¿%e puede dividir dos he#ágonos regulares iguales en ' partes cada uno ! formar con los 1) peda+os 5 estrellas iguales :de seis puntas, regulares< sin agu0eros ni superposiciones? Segundo nivel - Primer día 1. %e tienen 1& cartas ro0as, numeradas de 1 a 1& ! 1& cartas "lancas, numeradas de 1 a 1&. Iormar 1& pares de 1 carta ro0a ! 1 carta "lanca tales que las sumas de los 1& pares sean 1& números consecutivos. 2. ¿Es posi"le escri"ir los 11 números desde 1*4 hasta 14 en algún orden de modo que el número de 33 cifras que se o"tiene resulte primo? el punto medio de AB ! " el punto del lado AC tal tal 3. $ado un triángulo ABC , con BC < AC, se ! el o que A"="C+CB. $emostrar que si !"B= entonces AC=5.CB ! recíprocamente, si AC=5. CB entonces !"B=o.
Segundo nivel - Segundo día 4. En cada casilla de un ta"lero de n x n :n 3< se coloca un número de modo tal que cada número colocado resulte ser el promedio de dos de los números que están en casillas lindantes :es decir, que comparten un lado con dicha casilla<. ¿Cuál es la má#ima cantidad de números distintos que pueden aparecer en el ta"lero? . %ean una circunferencia de centro O ! un paralelogramo ABCD tales que A,B ! C pertenecen a la circunferencia ! O pertenece al lado AD. Las rectas AD, CD ! BO cortan nuevamente a la circunferencia en ! , M , # respectivamente. $emostrar que los segmentos #! , #M ! #D son iguales entre sí. ". $emostrar que entre 4 números enteros positivos menores o iguales que 1 siempre se pueden elegir algunos :eventualmente uno solo< de modo que su suma sea un cuadrado perfecto. Tercer nivel - Primer día 1. A A1... An es un polígono regular de n+1 v2rtices :n)<. Hnicialmente se colocan n piedras en el v2rtice A. En cada operaci>n permitida se mueven simultáneamente ) piedras, a elecci>n del 0ugador8 cada piedra se traslada desde el v2rtice en el que se encuentra hasta uno de los ) v2rtices ad!acentes. -allar todos los valores de n para los cuales es posi"le tener, despu2s de una sucesi>n de operaciones permitidas, una piedra en cada uno de los v2rtices A1,A),... ,An. ACLARACION8 Las dos piedras que se mueven en una operaci>n permitida pueden estar en el mismo v2rtice o en v2rtices distintos. 2. @ara cada entero positivo n sea %:n< el número de pares ordenados : x,& < de enteros positivos tales que 1 x + 1 & = 1 n @or e0emplo, para n=) los pares son :5,'<, :3,3<, :',5<. @or lo tanto %:)<=5. a. $eterminar %:n< para todo n ! calcular %:14<. ". $eterminar todos los pares n tales que %:n<=5.
3. %ea ABCD un paralelogramo ! P un punto tal que ) PDA = ABP ! ) PAD = PCD. $emostrar que AB = BP = CP .
Tercer nivel - Segundo día 4. -allar el menor número natural que es suma de naturales consecutivos, es suma de 1 naturales consecutivos ! además es suma de 11 naturales consecutivos. . %ean ,( números reales tales que la ecuaci>n x 5 +
:;1<. x ) ; '. .x J ( =
tiene tres raíces reales. $emostrar que )() )+1)5. ACLARACION8 )x) indica el valor a"soluto de x . @or e0emplo, )4) = 4 9 )-1,)5) = 1,)5, etc.
". %e marcan los )& puntos : ,(,* < del espacio tales que , ( ! * toman los valores , 1 o ). / estos puntos los llamaremos Kco!unturasK. Btili+ando 43 varillas de longitud 1 se unen entre sí todas las co!unturas que están a distancia 1. ueda así formada una estructura cú"ica de ) x ) x ). Bna hormiga parte de una co!untura A ! avan+a a lo largo de las varillas9 cuando llega a una co!untura gira grados ! cam"ia de varilla. %i la hormiga regresa a A ! no ha visitado más de una ve+ ninguna co!untura e#cepto A, a la que visit> ) veces, al iniciar el paseo ! al finali+arlo, ¿cuál es la ma!or longitud que puede tener el recorrido de la hormiga? Primer nivel 1. esolver el crucigrama num2rico colocando un dígito en cada casilla
-ori+ontales 8 número de dos cifras igual a la suma de los dígitos de vertical. E8 número de tres cifras igual a / vertical J hori+ontal J C vertical erticales 8 número de tres cifras múltiplo de . C8 número de tres cifras que es el cuadrado de $ hori+ontal.
2. En un triángulo /C que tiene (=5& o ! (C=5*o se marcan los puntos @ ! en el lado C de manera tal que (/@ = (@/ = (/C. %e tra+a por una paralela a /@ ! se tra+a por C una paralela a /, que corta a la anterior en $. Calcular ($C. 3. En un hotel de ahía ha! 1) personas distri"uidas entre la recepci>n, el "ar, el comedor ! el sal>n de reuniones. La cantidad de personas que ha! en el "ar es un quinto de la que ha! en el comedor9 en la recepci>n ha! un octavo de las que ha! en el sal>n. /l pasar die+ personas del comedor al sal>n ! seis del "ar a la recepci>n, en la recepci>n ha! un se#to de las que quedan en el comedor. ¿Cuántas personas ha"ía inicialmente en cada uno de los lugares mencionados del hotel?
Segundo nivel 1. -allar todos los naturales de dos cifras tales que al elevarlos al cu"o se o"tienen números que terminan en dos cifras iguales. 2. %ean /C$ un rectángulo, 7 punto medio del lado C, M punto medio del lado C$ ! @ el punto de intersecci>n de $7 ! M. %e sa"e que (@7 = 51 o ! que ($/M = )' o. Calcular (/7.
3. En un polígono regular de n v2rtices numerados de 1 a n, ha! tres personas8 A, B ! C paradas en el v2rtice 1. En un momento dado, ellas comien+an a caminar por los lados. A camina en el sentido de la numeraci>n de los v2rtices : 1 ;N ) ;N 5 ;N ...< ! B ! C lo hacen en sentido contrario. A se cru+a con B por primera ve+ en un v2rtice ! con C dos v2rtices mas adelante. %e sa"e que A camina el do"le de rápido que B ! B el do"le de rápido que C . ¿Cuántos v2rtices
tiene el polígono ! en que v2rtices ocurren los encuentros?
Tercer Nivel 1. @ara hacer una torre de naipes de 1 piso se usan ) naipes, para hacerla de ) pisos se usan & naipes, para hacerla de 5 pisos se usan 14 naipes.
¿Cuántos naipes ha! que usar para hacer una torre de 1 pisos?
2. -a! que asignar a los v2rtices de un decágono regular números naturales distintos de modo que se cumpla la siguiente propiedad8 la suma de los cuadrados de los números de dos v2rtices consecutivos siempre es igual a la suma de los cuadrados de los números de los v2rtices opuestos. Completar los v2rtices que faltan.
3. En una circunferencia de centro , / es un diámetro ! @ un punto de / que dista cm. de . %e tra+an dos cuerdas perpendiculares a / que miden 1* cm ! 13 cm respectivamente, de0an a entre am"as ! distan * cm entre si. Calcular la medida de la cuerda paralela a las otras que pasa por @.
Primer nivel 1. ¿Cuántos números naturales de 3 cifras terminan en 5' ! son múltiplos de 5'? 2. En el rom"oide /C$ las diagonales se cortan en el punto I :los lados iguales son / = C ! C$ = $/<. %o"re la prolongaci>n del lado C se marca un punto E de modo que CI = CE ! el cuadrilátero ICE$ es rom"oide. ¿%i /C = 1)) grados, cuanto mide el ángulo /$E?
3. Colocar en cada casilla vacía un dígito distinto de cero de modo tal que a partir de la segunda fila, el número de cada casilla sea igual a la resta de los dos números u"icados en las casillas vecinas de la fila anterior.
Segundo nivel 1. Empe+ando con 3', se forma una secuencia de dígitos colocando, en cada paso, a continuaci>n del ultimo número escrito, el producto de los dos últimos dígitos que se escri"ieron :los primeros 4 dígitos son8 3')3*...<. Calcular el dígito que esta en la posici>n 1'.
2. %ea t una recta ! @ un punto e#terior. %o"re la recta se marcan de i+quierda a derecha los puntos /, , C, $, E de modo que @/=@, @=C, @C=C$ ! @$=$E. %e tra+a por @ la paralela a t ! se marca en esta paralela el punto tal que @E$ es un paralelogramo. %i los ángulos E$ ! /@ son iguales, ¿cuánto mide el ángulo @/?
3. El druida @anorami# desea preparar )3 cucharones de una p>cima mágica que contenga las sustancias /, , C por partes iguales. $ispone de un recipiente donde ha! / ! C me+clados por partes iguales9 otro en el que ha! / ! me+clados en la proporci>n )85 ! un tercero en el que ha! ! C me+clados en la proporci>n 18). ¿Cuántos cucharones de cada recipiente de"e me+clar para o"tener la p>cima deseada? MG/8 las cantidades O e P están en proporci>n )85 si OAP=)A5.
Tercer nivel 1. Colocar números naturales distintos ! ma!ores que 1 en las casillas de manera que siempre el número de una casilla sea múltiplo del que esta en la casilla anterior ! que la suma de los cinco números sea 41&.
2. Bna hormiga parte del hormiguero ! recorre en línea recta un tramo de d cm, luego gira o ! recorre en línea recta otro tramo de dA) cm, luego vuelve a girar o ! recorre un tramo de dA:))< cm, ! así sucesivamente. El sentido en que gira lo decide en cada v2rtice. ¿Cuál es la menor distancia al hormiguero a la que puede estar la hormiga despu2s de ha"er recorrido 1 tramos?
3. Encontrar G$/% las ternas de números reales :#,!,+< que verifican simultáneamente8 #) J ! J + = 1 # J !) J + = 1 # J ! J + ) = 1
Primer nivel 1. eempla+ando x e & por dígitos, hallar todos los números naturales de cinco cifras '4 x 1& que son múltiplos de 1). ). Bn "arco navega entre dos orillas paralelas, siguiendo el recorrido de la figura.
%e sa"e que ( ABC = (CDX ! (CBD = (CDB. Calcular ( ABC . :( ABC signfica Kel ángulo ABC K<
3. Hván co"ra en un "anco un cheque por F)& ! le pide al ca0ero que le entregue cierta cantidad de "illetes de F1, ) veces esa cantidad de "illetes de F) ! el resto en "illetes de F4. ¿Cuántos "illetes de cada clase le entrega el ca0ero? Segundo nivel 1. Bn auto via0a de / a C a velocidad constante de Qil>metros por hora. En el camino entre / ! C pasa por . Cuando son las *hs de la mañana haq recorrido 1A3 de la distancia entre / ! ! cuando son las 1 de la mañana !a ha recorrido 5A3 del camino entre ! C. Calcular la distancia entre / ! C. ). %i se escri"e 1& ! a continuaci>n el año en que naci> Iernando, se o"tiene un número de ocho cifras que es un cuadrado perfecto. Con esta informaci>n, hallar todos los años tales que el año es múltiplo de la edad que cumple Iernando ese año.
3. %ea ABCD un rectángulo con AB = 5 ! BC = 1'. %i E ! F son puntos en los lados AB ! CD, respectivamente, tales que el cuadrilátero AFCE es un rom"o, calcular la medida de EF . Tercer nivel 1. Bn grupo de amigos se reparten en partes iguales 3 monedas de 1 peso, hasta que lo que so"ra no alcan+a para darle una moneda más a cada uno. %i el grupo tuviera una persona más, la cantidad so"rante no ha"ría variado. Lo mismo ocurre si el grupo tuviera dos personas más. $ecidir si con esta informaci>n se puede determinar, sin am"igRedades, el número de personas del grupo. En caso afirmativo, dar ese número. En caso negativo, e#plicar por qu2.
2. El triángulo ABC tiene AB = ) , BC = )* ! ( ABC = 154o. %i H es el pie de la altura tra+ada desde A ! M es el punto medio de AC , calcular la medida de HM . 3. -allar todos los valores de # que son soluciones de la ecuaci>n
Primer nivel 1. $aniela, Hván, Laura ! 7atías escri"en números naturales de cinco dígitos distintos formados por los dígitos 1, ), 5, 3, ! 4. $aniela hace la lista de todos los que tienen la primera cifra igual a 1. Hván hace la lista de todos los que tienen las dos primeras cifras formadas por los dígitos 1 ! ) en cualquier orden. Laura hace la lista de todos los que tienen las tres primeras cifras formadas por los dígitos 1, ) ! 5, en cualquier orden. 7atías hace la lista de todos los que tienen las cuatro primeras cifras formadas por los dígitos 1, ), 5 ! 3, en cualquier orden. -a! números naturales de cinco cifras distintas, formados por los dígitos 1, ), 5, 3 ! 4, que no figuran en ninguna de las cuatro listas. ¿Cuántos son los números que no figuran en ninguna lista? 2. %ean ABC un triángulo : ANo< ! M el punto medio del lado BC . %i
Segundo nivel 1. -allar todos los números naturales x , & , tales que
2. %ean ABC un triángulo, E el punto medio AC ! O el punto medio de BE . La recta AO intersecta al lado BC en D. %i AO=1), calcular OD. 3. $iremos que un número natural es res/ si su desarrollo "inario tiene un cantidad impar de dígitos 19 ' no es travieso porque su desarrollo "inario es 11 que tiene un cantidad par de dígitos 1. $eterminar la cantidad de números traviesos que son menores o iguales que 1&. Tercer nivel
1. -allar /0/s los números naturales n tales que Sn )A4T es un número primo. /CL//CHUM8 Los corchetes indican la parte entera del número que encierran. @or e0emplo, S1A4T=), S1)1A4T=3, etc. 2. -allar el último dígito antes de la cola de ceros del número 1V J )V J )1V J ... J 'V J &V. /CL//CHUM8 La notaci>n nV indica el producto de todos los números entre 1 ! n. @or e0emplo, 3V=3.5.).1=)3, 1V=1..*.&.'.4.3.5.).1=5')**, etc.
3. Los cuatro lados de un trapecio is>sceles son tangentes a una circunferencia ! los puntos de tanencia son v2rtices de un cuadrilátero cu!a área es 3A del área del trapecio. %i es la "ase menor del trapecio ! ( es la "ase ma!or del trapecio, hallar A(.
#AN$% Primer nivel 1. /na, Ceci ! 6a"i son amigas. El sá"ado fueron a comprar los pasa0es del tren para ir de vacaciones. /na no lleva"a dinero, entonces, entre Ceci ! 6a"i, pagaron los tres pasa0es. Ceci puso $12 ! 6a"i $13 . ¿Cuánto de"e devolverle /na a Ceci? P ¿Cuánto de"e devolverle a 6a"i? 2. ABDE es un rectángulo. BCD es un triángulo equilátero. El perímetro del polígono ABCDE es de 245 m. %i BC=53 m. ¿Cuál es la longitud de AB?
3. Elsa gast> $62 en lácteos9 llevo quesos, helados ! flanes. Cada queso cuesta $2, cada helado cuesta $6 ! cada flan cuesta $7. ¿Cuántos artículos de cada clase pudo ha"er comprado? $a todas las respuestas posi"les. Segundo nivel 1. En el campo ABCDE de la figura AB=6.BC ! el triángulo CDE es equilátero. @ara alam"rar el campo se necesitan 783 m de alam"re. ¿Cuánto se necesita para alam"rar la parcela triangular solamente?
2. Laura compr> 6,48 m de tela a $9,58 el metro. $e ese peda+o de tela, de :8 *m de ancho, corto cuadrados de 18 *m de lado para confeccionar pañuelitos. En ese mismo negocio se vendían tro+os cuadrados de 18 *m de lado a $67,58 la docena. ¿Cuánto ahorr> Laura al hacer ella misma los cortes? 3. ¿Cuántos rectángulos con algún v2rtice en A ha! en la figura?
Tercer nivel 1. El triángulo CDE ! el rectángulo ABCE tienen igual altura. El área del polígono ABCDE es :6 *m6 . %i AB=9,5 *m. ¿Cuál es la longitud de la altura del triángulo?
2. 7ariano compra un diario todos los días ! una revista deportiva todos los domingos9 paga por el total a fin de mes. En un mes de 18 días en el que hu"o cuatro domingos pag> $:7. El diario cuesta $7,48 de lunes a sá"ado ! $6,48 los domingos. %o"re el precio de venta, el dueño del quiosco tiene una ganancia del 68; por los diarios ! del 18; por las revistas. ¿Cuánto gan> ese mes con las compras de 7ariano? 3. ¿Cuántos cuadriláteros :polígonos de 2 lados< ha! en la figura?
Primer nivel 1. /licia ! eatri+ lleva"an F4 cada una. /licia compr> 5Qg de helado ! un postre. @ara poder pagar tuvo que pedirle F3 prestados a eatri+. eatri+ compr> 1Qg de helado ! un postre del mismo precio que el de /licia9 despu2s de pagar ! prestarle a /licia los F3, le quedaron F1'. ¿Cuánto costa"a el postre?
2. Con ' fichas rectangulares, todas iguales, se arm> esta figura. En cada ficha rectangular la longitud del lado ma!or es cuatro veces la longitud del lado menor. El perímetro de una ficha es 5cm. ¿Cuál es el perímetro de la figura?
3. En la figura se quiere pintar cada cuadradito de ro0o o de a+ul. Los dos cuadraditos de la i+quierda no pueden ser ro0os a la ve+. Los dos cuadraditos de la derecha no pueden ser ro0os a la ve+. ¿$e cuántas maneras puede hacerse?
Segundo nivel 1. @ara hacerse socio del Clu" de Mataci>n se de"e pagar F4. Cada ve+ que utili+an la pileta del Clu", los socios pagan F),4 ! los no socios pagan F&,4. ¿@or lo menos cuántas veces ha! que utili+ar la pileta para que resulte más "arato ser socio?
2. Con los dígitos8 1 ; ) ; 5 ; 3 ; 4 ! , ¿cuántos números de cuatro cifras que son múltiplos de 4 ! tienen todas las cifras distintas se pueden armar? E#plica por qu2.
3. ACE es un triángulo equilátero. B, D ! F son puntos medios de los lados del triángulo ACE. G, H e son puntos medios de los lados del triángulo BDF. , ! ! " son puntos medios de los lados del triángulo GF.
¿u2 fracci>n del cuadrilátero ABDE rpresenta la +ona ra!ada?
Tercer nivel 1. En la escuela ha! 5' alumnos. El 1W de los alumnos usa anteo0os. $e los que no usan anteo0os, la cuarta parte practica nataci>n. ¿Cuántos alumnos no usan anteo0os ! no practican nataci>n? 2. Con los dígitos ; & ; ' ; 4 ! , ¿cuántos múltiplos de 4 menores que 1 se pueden armar? E#plica por qu2.
3. El rectángulo ABCD tiene 5)cm) de área. M es punto medio de BC . AB = ). AD DR = BM ¿Cuál es el área del triángulo ARM ?
Primer nivel 1. $iego colecciona estampillas que pone en ál"umes. Cada ál"um tiene 5) páginas. En cada página pega igual número de estampillas. Giene 5 ál"umes completos ! otro con s>lo 4 páginas llenas. En el ál"um incompleto tiene ' estampillas. ¿Cuántas estampillas tiene en total?
2. El rectángulo ABCD tiene 3*cm de perímetro ! está formado por 5 cuadrados iguales. CE = EF = FD
EM = )CE
¿Cuál es el perímetro de la figura ra!ada?
3. Con las cifras 4, 3, 5, ) ! 1, se quieren formar números de cinco cifras distintas. %i el 5 de"e ocupar el lugar de las centenas o el de las decenas, ¿cuántos números distintos se pueden armar? Segundo nivel 1. Bna heladera se vende a F''. %i se paga al contado re"a0an la d2cima parte del precio. %i se compra a cr2dito el precio total resulta F113 más que el precio de contado. Comprándola a cr2dito se pagan F al momento de la compra., F)1 al momento de la entrega ! el resto en 3 cuotas iguales. ¿Cuánto ha! que pagar por cada cuota?
2. ¿Cuántos triángulos se pueden formar con sus v2rtices en los puntos de la figura?
Los triángulos ABC , FDC ! GEC son is>sceles. AB = 5 AC El perímetro de ABC es *3cm. D es punto medio de BC E es punto medio de DC F es punto medio de AC G es punto medio de FC ¿Cuál es el perímetro de la figura ra!ada?
3. Tercer nivel 1. Lucía fue a la feria del li"ro. @ag> F4 de entrada. Compr> varios li"ros ! un diccionario. Los li"ros costa"an F*39 al agregar el diccionario, el total supera"a los F1. @or compras superiores a F1 se hace un descuento del 14W !, además, se devuelve el importe de la entrada. Lucía pag> con un "illete de F1 ! uno de F). Le devolvieron F13,4. ¿Cuál era el precio de venta del diccionario?
2. 7arcela olvid> las cuatro cifras del c>digo de su tar0eta. ecuerda que su c>digo no tiene cifras repetidas, que las tres primeras cifras están, en algún orden en su número de documento ! que la cuarta cifra no está en su número de documento. El número de documento de 7arcela es )&1)&**&. ¿Cuántos son los posi"les números del c>digo de la tar0eta de 7arcela?
3. El rectángulo ABCD está formado por tres cuadrados de 1m) de área. E es punto medio de BC F es punto medio de AD ¿Cuál es el área de la figura ra!ada?
1 %i escri"es todos los múltiplosde 4 entre 1 ! ', ¿cuántas veces escri"es el 4? ) El avi>n sali> de 7endo+a, entre los pasa0eros ha"ía 5 mu0eres ! algunos varones. Cuando hi+o escala en C>rdo"a su"ieron )' varones ! )' mu0eres ! no "a0> nadie. /l despegar nuevamente el número de mu0eres era los )A4 del número total de pasa0eros. ¿Cuántos varones ha"ía entre los pasa0eros del avi>n antes de la escala en C>rdo"a? 5 Con cuatro pie+as triangulares iguales se arm> la figura I. Cada pie+a triangular /C tienen )3cm de perímetro, /C = *cm 5 /C = 3 /
¿Cuál es el perímetro de la figura I?
tercer nivel 1 El %r. @2re+ compr> 3 0uguetes8 un avi>n, un "ote, un coche ! una grúa para regalar a sus tres nietos8 @edro, Gomás ! 7artín. El %r. @2re+ quiere repartir los 3 0uguetes ! no quiere que ningXun nieto se quede sin 0uguetes. ¿$e cuántas maneras distintas puede regalarlos? ) $on Dos2, el ferretero, por cada 3 tornillos que compra encuentra 3 defectuososo ! los devuelve. @or cada 1 tornillos que vende regala 4. %i vendi> 1) tornillos ! no le qued> ninguno, ¿cuántos tornillos ha"ía comprado $on Dos2? 5 En la figura C = ) /9 el /E es un triángulo is>sceles de &) cm) de área ! C$E es un rectángulo. Calcula el área del cuadrilátero /$E.
primer nivel 1
Cada cuadradito tiene * cm de perímetro. Con ' cuadraditos iguales se form> esta figura. ¿Cuál es el perímetro de la figura?
) las tenía 1* figuritas el sá"ado pasado. El domingo ! el lunes compr> 1 figuritas cada día. El martes ! el mi2rcoles compr> el do"le de figuritas que el martes. -o!, que es 0ueves ! no compr> figuritas, tiene en total &3 figuritas. ¿Cuántas figuritas compr> las el martes?
5 Con v2rtices en los puntos que se dan, ¿cuántos cuadriláteros se pueden di"u0ar? Enum2relos.
segundo nivel 1
/ un triángulo equilátero de &4cm de perímetro se le sacan 5 triangulitos, tam"i2n equiláteros, de 4cm de lado, como en la figura. ¿Cuál es el perímetro de la figura ra!ada?
) La cooperadora compr> manuales ! li"ros. @ag>, en total, F')3. @or los 14 li"ros, que son todos de igual precio, pag> F)3. @or cada manual pag> el do"le de lo que pag> por cada li"ro. ¿Cuántos manuales compr>?
5 Bn tren empia+a su recorrido en la estaci>n / ! lo termina en la estaci>n I. Entre la estaci>n / ! la estaci>n I están las estaciones , C, $ ! E. %e quiere ir de la estaci>n / a la I parando en una o más de las estaciones intermedias. ¿$e cuantás maneras distints se puede organi+ar el via0e en tren? Enum2relas.
tercer nivel 1 Bn fa"ricante de 0a"ones vende cada paquete a F4&,'. Bn paquete contiene una docena de ca0as ! cada ca0a contiene 3 0a"ones. %i un comprador pide más de 1 paquetes, el fa"ricante hace un descuento del 4W so"re el total. /!er reci"i> un pedido de ' 0a"ones. ¿Cuánto de"erá pagar el comprador por este pedido?
) /C$ es un trapecio is>sceles. CEI es un cuadrado de 5'm ) de área. %i el área del trapecio es el triple del área de CEI, ¿Cuánto mide el segmento /$?
5 Con los dígitos 1 ; ) ; 5 ; 3 ! 4 se arman números de 3 cifras que son múltiplos de 5 ! de 4. %i se pueden repetir cifras, ¿cuántos números se pueden formar? E#plica por qu2.
Primer nivel 1. $on Enrique compr> 1 lapiceras. ende la mitad a F)4 cada una ! 1 lapiceras a F )1 cada una. ¿/ cuánto de"e vender cada una de las que le quedan para o"tener, en total, F)5*?
2. Bn triángulo equilátero /C está partido en 1' triangulitos equiláteros iguales como muestra la figura.
@ara "ordear la parte som"reada se necesitan 11) cm de cinta. ¿Cuál es el perímetro del triángulo /C ?
3. /na tiene 5 carteras "lancas, 1 ro0a ! 1 a+ul ! 5 pares de +apatos a+ules, 1 par de +apatos ro0os ! 1 par de +apatos "lancos. %iempre que sale lleva +apatos ! cartera, pero nunca usa cartera ! +apatos del mismo color. ¿$e cuántas maneras distintas puede com"inar /na sus carteras ! sus +apatos? Segundo nivel 1. En el cine de la esquina, que tiene 1' localidades, ha! una funci>n por día. $e lunes a mi2rcoles la entrada cuesta F 3 ! de 0ueves a domingo, F&. La semana pasada se vendieron8 el lunes, la cuarta parte del total de entradas9 el martes, la mitad del total de entradas9 el mi2rcoles, el 0ueves, el viernes ! el sá"ado, todas las entradas. La recaudaci>n de la semana fue de F 43'. ¿Cuántas entradas se vendieron el domingo? 2. 7iguel tiene varias pie+as rectangulares de madera, todas iguales entre sí. Con 3 de esas pie+as forma esta figura, de '* cm de perímetro.
Con 5 de esas pie+as forma esta otra figura, de 4) cm de perímetro.
¿Cuánto mide cada uno de los lados de una pie+a rectangular?
3. Las hermanos L>pe+ son 48 /ni, Ceci, $ani, $iego, ! Dos2. $ani ! $iego son melli+os entre sí. Los 4 hermanos quieren sacarse una foto, todos sentados en fila, pero los melli+os $ani ! $iego quieren estar uno al lado del otro. ¿$e cuántas maneras pueden sentarse para sacarse la foto?
Tercer nivel 1. En la confitería, los sándYiches cuestan F 43 el ciento. Bn Qilo de "om"ones más un Qilo de masas cuestan como 4 sándYiches. Bn Qilo de "om"ones cuesta como un Qilo ! cuarto de masas. %usana fue a la confitería con un número entero de pesos. $espu2s de comprar &4 sándYiches, lo que le qued> le alcan+a"a para comprar 1 Qilo de "om"ones pero no le alcan+a"a para comprar 1 Qilo ! medio de masas. ¿Cuánto dinero lleva"a %usana? $a todas las respuestas posi"les. 2. En el pentágono /C$E se tra+an las diagonales /$ ! CE que se cortan perpendicularmente en el punto , de modo que8 E = cm9 $ = 1) cm9 /C es un cuadrado ! el triángulo C$E tiene 14 cm) de área.
¿Cuál es el área del pentágono /C$E? 3. @epito tiene & alam"res de longitud 1 ! & alam"res de longitud ). Bsando todos o algunos de estos alam"res, arma ! desarma rectángulos que no son cuadrados. ¿Cuántos rectángulos de distinto tamaño puede armar? Hndica la longitud de sus lados.
Primer nivel 1. $os familias8 papá, mamá ! los chicos fueron al teatro. Los @2re+ tienen 5 chicos, los %mith tienen 3 chicos. La entrada de una persona ma!or cuesta F )4. Los %mith pagaron F 15* por todas sus entradas. ¿Cuánto pagaron los @2re+?
2. Con tres pie+as de madera8 una cuadrada :/<, de 3* cm de perímetro ! dos rectangulares : ! C<, se arm> un cuadrado como muestra la figura. El perímetro del cuadrado formado con las tres pie+as es de &' cm. ¿Cuál es el perímetro del rectángulo C?
3. 7aría practica tenis ! nataci>n. Duega al tenis todos los 0ueves ! practica nataci>n un día cada 5 :un día sí ! los dos días siguientes no<. -o! es 0ueves ! 7aría practic> los dos deportes. ¿$espu2s de cuántos días, a partir de ho!, 7aría volverá a practicar los dos deportes en el mismo día? Segundo nivel
1. /ndr2s compr> un sill>n que le entregaron dos semanas despu2s. El día que lo compr>, /ndr2s pag> F 15 que era la tercera parte del precio. / la semana siguiente, /ndr2s pag> la cuarta parte de lo que le falta"a. El día que se lo entregaron, pag> lo que le falta"a más F1) por gastos de envío. ¿Cuánto pag> /ndr2s el día de la entrega? 2. Este ta"lero tiene ) filas ! 3 columnas. %e quieren poner ' fichas iguales, una en cada casilla, de modo que ninguna columna quede vacía. ¿$e cuántas maneras puede hacerse? 3. /$I6 es un cuadrado. /H- ! C$ED son rectángulos. / = C = C$ = EI = 6-. El rectángulo -EI6 tiene 4' cm de perímetro. ¿Cuál es el perímetro de la figura som"reada?
Tercer nivel 1. La %ra. 6arcía guarda las monedas de )4 centavos en un frasco verde ! las monedas de 1 centavos en un frasco ro0o. El último día del año, en el frasco verde ha"ía F)4 ! en el frasco ro0o F 3. Ese día decidi> regalarle a Duan 5 de cada 1 monedas de )4 centavos ! 4 de cada 1 monedas de 1 centavos. ¿Cuántos pesos le regal> a Duan? 2. El rectángulo /EI6 tiene 1* cm de perímetro. / = C = C$ = $E = EI. El área del triángulo -$ es )A del área del triángulo EI. ¿Cuál es el área del triángulo I-6?
3. Duan escri"e una lista de todos los números de 5 cifras distintas que puede formar con los dígitos ) ; 5 ; 3 ; &. @a"lo escri"e una lista de todos los números de ) cifras distintas que puede formar con los dígitos ) ; 5 ; 3 ; &. /ldo elige un par de números8 uno de la lista de Duan, uno de la lista de @a"lo ! los suma. ¿$e cuántas maneras puede elegir /ldo el par de números para que la suma sea múltiplo de 4? 1 Laura tiene dos Qioscos cerca de su casa. En el Qiosco /, por cada F 1 que gasta le hacen un descuento de F 1. En el Qiosco , por cada F 1 que gasta le hacen un descuento de F). Laura hace un gasto en el Qiosco / ! paga, con el descuento, F *&. %i Laura hiciera ese mismo gasto en el Qiosco , ¿cuánto de"ería pagar, teniendo en cuento el descuento que hace el Qiosco ? 2 Los rectángulos /6H ! $EI son iguales. $ = ) /. El perímetro del rectángulo $EI es de 43 cm. Los triángulos C$ ! 6-H son equiláteros. ¿Cuál es el perímetro de la figura de v2rtices /C$EI6-H?
3 ¿Cuántos números impares divisi"les por 4, ha! entre 43 ! )1? E#plica por qu2.
4 /malia, runo ! Carla organi+aron una rifa para 0untar dinero para el via0e de egresados. Entre los tres vendieron 3 rifas ! 0untaron F )54. Carla vendi> ) rifas más que runo. runo vendi> 1 rifas más que /malia. ¿Cuánto dinero recaud> runo? C$E es un rectángulo de 3* cm) de área. /I6 es un cuadrado. / = C El área del cuadrado es 1A5 del área del rectángulo. ¿Cuál es el perímetro de la figura /C$EI6?
" ¿Cuántos múltiplos de 5 ha! entre * ! )1? E#plica por qu2.
números pares que son
& En una escuela, las dos terceras partes del alumnado son varones ! ha! 15' alumnas :mu0eres<. Bn cuarto del alumnado tiene computadora, un se#to de los alumnos con computadora son varones. ¿Cuántas alumnas :mu0eres< no tienen computadora? ¿u2 fracci>n del total del alumnado representan?
' El cuadrado /C$ tiene 133 C7) de área. C = 5 @C, C$ = 3 $ ! /$ = 4 /. ¿Cuál es el área del triángulo @? ( Luis tiene un nuevo tra"a0o. $e"e tra"a0ar8 13 horas por semana, de lunes a viernes, ! por día, no menos de ) horas ! siempre un número entero de horas. ¿$e cuántas maneras distintas puede repartir sus horas de tra"a0o durante la semana? 1) /gustina, etina ! Camila fueron 0untas a comprar un regalo de cumpleaños. /gustina lleva"a F 1 ! pag> el regalo. El regalo cost> F *3. epartieron el gasto en partes iguales. etina le dio su parte. Camila s>lo le dio la mitad de su parte. ¿Cuánto dinero le qued> a /gustina?
). En la figura8 /CD ! EI6- son cuadrados iguales. D$ = $I ! $E = ) EI La figura tiene 143 cm de perímetro. ¿Cuánto miden los lados del rectángulo $EHD?
5. /na se olvid> el número de su credencial pero recuerda que8 tiene seis cifras todas distintas, entre las cifras no ha! ni ni 1, las seis cifras van de menor a ma!or. ¿Cuál puede ser el número de la credencial de /na? $a todas las posi"ilidades.
1. Luis tenía el do"le de dinero que 7iguel. Cuando Luis le dio a 7iguel F 3), los dos se quedaron con la misma cantidad. ¿Cuánto dinero tenía Luis inicialmente?
). El polígono /C$E tiene 1) cm de perímetro. / = 5 C ! E$ = $C. El perímetro del rectángulo /CE es igual al perímetro del triángulo EC$.
¿Cuánto miden los lados del triángulo EC$?
5. La mamá de Davier tiene8 ) "illetes de F 4, 4 "illetes de F ), 1 "illetes de F1 ! ) "illetes de F 4. Le quiere dar a Davier F 1 en "illetes. ¿$e cuántas maneras le puede dar los F 1? $a todas las posi"ilidades. 1< El servicio de remises co"ra una suma fi0a por via0e ! cierta cantidad por cada Qil>metro recorrido. /na pag> F 4,1 por un via0e de 5 Qm. @edro pag> F *,' por un via0e de * Qm. ¿Cuánto co"ra por Qil>metro? ¿Cuánto pagará Laura por un via0e de 1) Qm? )< El trapecio /$EI se parti> en un rectángulo ! dos triángulos rectángulos iguales, como muestra la figura. El triángulo C$E tiene &* cm) de área , CE = 15 cm ! /$ = 3 EI. ¿Cuál es el área del trapecio /$EI?
5< La com"inaci>n para a"rir la cerradura de la ca0a fuerte es un número de seis cifras. Las cifras están ordenadas de ma!or a menor, son todas distintas ! ninguna es cero. ¿Cuál puede ser el número de la com"inaci>n? $a todas las posi"ilidades. 1< Los ' alumnos de quinto grado saldrán de e#cursi>n. El precio total de la e#cursi>n es de F433. La tercera parte de los chicos, como pag> por adelantado, pag> s>lo F4. ¿Cuánto pag> cada uno de los otros chicos? )< @edro tiene un 0uego con muchas pie+as cuadradas todas iguales entre sí ! muchas pie+as rectangulares todas iguales entre sí. Con ) pie+as cuadradas se arma 1 pie+a rectangular. Con las pie+as del 0uego arma esta figura formada por 3 pie+as rectangulares ! ) pie+as cuadradas. Bna pie+a rectangular tiene )3cm de perímetro. ¿Cuál es el perímetro de la figura?
5< En una clase de educaci>n física el profesor divide a los chicos en equipos de distinto número según la actividad. %i forma grupos de & no o"ra ningún chico. Cuando forma equipos de 5, de 3 o de ' siempre so"ra 1 chico. ¿Cuál es el menor número posi"le de chicos de esa clase?
1< En la primera fila del teatro ha! 4 asientos. @ara la funci>n de esta noche Duan compr> las 4 entradas de la primera fila para 2l ! sus amigos8 /na, $ani, Edu ! 7ar. %i /na ! 7ar se sientan una al lado de la otra, ¿de cuántas maneras distintas podrán sentarse los 4 chicos? )< El %r. L>pe+ es dueño de las tres cuartas partes de una empresa. Cuando se repartieron las ganancias de 1, el %r. L>pe+ reci"i> como adelanto F1).' que representa"an el 5 W de sus ganancias. ¿Cuánto dinero gan> la empresa en 1? 5< El trapecio rectángulo /C$ tiene 1)cm) de área. / = C ! C = ) /$. ¿Cuál es el área del triángulo /C?
3< El lunes se vendieron el 5 W de los paquetes de galletitas que ha"ía en el dep>sito. El martes se vendi> la cuarta parte de lo que queda"a. /ún quedan 34 paquetes. ¿Cuántos paquetes ha"ía al comien+o? )< Con los dígitos 1 ; ) ; 5 ; 3 ! ' , Duan escri"e s>lo los números de cuatro cifras distintas en los cuales el número formado por las dos últimas cifras :decenas ! unidades< es divisi"le por el dígito que ocupa el lugar de las centenas. ¿Cuántos números distintos puede escri"ir Duan ? E0emplo8 •
Duan escri"e '1)5 porque )5 es divisi"le por 1.
•
Duan no escri"e '3)5 porque )5 no es divisi"le por 3.
5< En el cuadrado /C$, las diagonales /C ! $ se cortan en el punto . %o"re las prolongaciones de las diagonales se marcan los puntos E, I, 6 ! - de modo que E = I = 6 = -. El área del triángulo C es de &) cm) ! = 5A3 I. ¿Cuál es el área de la figura de v2rtices /I6C-$E ?
1. Con una "otella de gaseosa se llenan ' vasos. $espu2s de la fiesta quedaron 14 "otellas vacías ! 4 "otellas por la mitad. ¿Cuántos vasos se ha"ían llenado en la fiesta? ). La figura /C$E tiene '5 cm de perímetro ! los lados C, C$, $E, ! E/ son iguales. En el rectángulo /CE, C es el do"le de /. ¿Cuál es el perímetro del triángulo C$E?
1. @ara llenar el ál"um se necesitan 5) figuritas. /!er Camila tenía completa la cuarta parte. -o! le regalaron )3 paquetes de ' figuritas cada uno. $espu2s de a"rir todos los paquetes, encontr> s>lo 5& figuritas repetidas. ¿Cuántas figuritas le faltan todavía para completar el ál"um?
). En la figura, /CE es un rectángulo de * cm de perímetro. CE = 3 C, C$ = $E. El triángulo C$E tiene *' cm de perímetro, ¿Cuál es el perímetro de la figura /C$E?
5. En el "ar de la escuela, ofrecen "e"idas ! golosinas. Las "e"idas son8 t2, caf2, mate cocido ! chocolate, que se pueden tomar con a+úcar o sin a+úcar. Las golosinas son8 alfa0ores, "om"ones ! chupetines. ale quiere elegir una "e"ida ! una golosina. ¿$e cuántas maneras puede hacerlo? Hndica cuáles son.
1. Los
de los pasa0eros de un tren turístico son e#tran0eros. -a! &) pasa0eros argentinos. Los
e#tran0eros ocupan las
partes de los asientos del tren. ¿Cuántos asientos tiene el tren?
). En una pared rectangular de 1) m de ancho se coloca un port>n cuadrado, de0ando 5 m a la i+quierda ! el do"le a la derecha. La superficie de pared que queda alrededor del port>n es 5 m ) . ¿Cuál es la altura de la pared?
3. En el quiosco venden paquetes de caramelos de distintas clases. Los de fruta cuestan F) cada uno, los de chocolate F3 ! los de miel F5. /na quiere comprar de las tres clases ! quiere gastar F 5. ¿Cuántos paquetes de cada clase puede comprar? Hndica todas las posi"ilidades.
Primer nivel 1. /gustín puede comprar una "icicleta en 1) cuotas de F &* cada una o en un único pago de F &4. ¿Cuánto ahorra si la compra en un único pago?
). El cuadrilátero /C$ está partido en ) triángulos8 /$ ! C$. /$ es equilátero ! tiene 5' cm de perímetro. C$ es is>sceles, con C = C$ ! tiene 5) cm de perímetro. ¿Cuál es el perímetro del /C$?
5. Bna "anda de rocQ está formada por un guitarrista, un "aterista, un trompetista ! un cantante. @ara el saludo se u"ican en una fila. %i el cantante nunca puede estar ni al principio ni al final de la fila, ¿de cuántas maneras distintas pueden u"icarse? $a todas las posi"ilidades. 1. $el dinero disponi"le para la competencia, la tercera parte se us> para gastos de organi+aci>n9 el resto se reparti> entre los 5 primeros premios. El primero reci"i> F *9 el segundo reci"i> la mitad de lo que ha"ía reci"ido el primero ! el tercero, la mitad de lo que ha"ía reci"ido el segundo. ¿Cuánto dinero ha"ía disponi"le para la competencia? ). Con tres pie+as rectangulares iguales se arm> un nuevo rectángulo como muestra la figura. El perímetro de una pie+a es 43 cm. ¿Cuál es el perímetro del nuevo rectángulo?
5. / 6a"i le gusta usar prendas de color negro. $e este color tiene8 un saco, un chaleco, un pantal>n ! una remera. Cada día se quiere poner una o más de estas prendas. ¿$urante cuántos días puede usarlas de manera diferente? Hndica cuáles de estas prendas usa en cada caso. 1. Gres amigos van a almor+ar todos los días al mismo lugar. Eligen siempre el menú / o el . El lunes, dos piden el menú / ! uno el menú , gastan F 111 en total. El martes, uno pide el menú / ! dos piden el menú , gastan en total F5 menos que el lunes. ¿Cuánto cuesta cada menú? ). En la figura8 /$E es un rectángulo, / = ) C ! $ = cm. Zrea de /C$E = 1* cm). ¿Cuánto mide /? 5. Camila mira, todos los días, tres programas de televisi>n de una hora de duraci>n cada uno. El programa / se emite a las 1* horas, a las ) horas ! a las )) -oras. El programa se emite a las 1* horas, a las 1 horas ! a las )) horas.
El programa C se emite a las 1 horas, a las )1 horas ! a las )) horas. Cada día quiere ver los tres programas completos. ¿$e cuántas maneras distintas puede elegir los horarios en que mira los tres programas cada día? Hndica en qu2 horario mira cada programa. 1. @or F& se compran8 4 alfa0ores, 1 chocolate ! 3 turrones. Cada alfa0or cuesta un tercio de lo que cuesta un chocolate. Cada chocolate cuesta el do"le de lo que cuesta un turr>n. ¿Cuál es el precio de cada golosina? ). @a"lo tiene cuatro ca0as con lápices. En la ca0a celeste tiene 3 lápices9 en la ca0a naran0a 4 lápices9 en la ro0a ' ! en la verde & lápices. @uede hacer alguno de los siguientes movimientos en cualquier orden8 /. Elegir 5 ca0as, sacar un lápi+ de cada una de estas ca0as ! poner los 5 en la ca0a restante. . %acar 5 lápices de una ca0a ! poner 1 en cada una de las 5 ca0as restantes. $espu2s de varios de estos movimientos, en la ca0a celeste quedan 4 lápices ! en la ca0a verde quedan 1) lápices. ¿Cuántos lápices quedan en la ca0a naran0a ! cuántos en la ca0a ro0a? 7uestra c>mo llegaste a la respuesta. 5. %o"re una recta se marcan los puntos /, , C, ! $ en ese orden. 7 es el punto medio del segmento /, M es el punto medio del segmento C$, 7M = &cm. ¿Cuál es la longitud de la suma de los segmentos /C J /$ J $ J C ?
1. Godas las latas que ha"ía en el dep>sito se distri"u!eron en 135 ca0as. Godas las ca0as tenían igual número de latas. Como resulta"a imposi"le cargar todas las ca0as en la camioneta, se vaciaron 11 ca0as ! se reparti> su contenido entre las otras ca0as. /hora, cada una de las ca0as que quedan tiene ) latas más. ¿Cuántas latas ha! en total?
2. Las figuras / ! están formadas por cuadrados de 1cm de lado.
Con ellas, sin superponerlas, se arman nuevas figuras de manera que, donde se tocan las figuras / ! tienen lados enteros en común. ¿%e puede armar una figura de 1'cm de perímetro? E#plica por qu2.
3. En la cuadrícula de la figura se quieren pintar de ro0o 3 cuadraditos de modo que un cuadradito ro0o no tenga a su alrededor ningún otro ro0o. ¿$e cuántas maneras distintas se puede hacer?
Tercer nivel 1. 7e+clando 0ugos de naran0a, QiYi ! pomelo se preparan los 0ugos /, ! C que se envasan en "otellones de 4 litros. @ara 4 litros del 0ugo / se necesitan8 1 litro de 0ugo de naran0a, ) de 0ugo de QiYi ! ) de 0ugo de pomelo. @ara 4 litros del 0ugo se necesitan8 ) litros de 0ugo de naran0a, 1 de 0ugo de QiYi ! ) de 0ugo de pomelo. @ara 4 litros del 0ugo C se necesitan8 ) litros de 0ugo de naran0a, ) de 0ugo de QiYi ! 1 de 0ugo de pomelo. Con * litros de 0ugo de naran0a, 44 litros de 0ugo de QiYi ! & litros de 0ugo de pomelo, ¿cuántos "otellones de 4 litros de cada clase de 0ugo se pueden preparar?
2. Los puntos de la figura están en una cuadrícula. Cada cuadradito de la cuadrícula tiene 1cm de lado. %e quiere di"u0ar un triángulo con v2rtices en los puntos de la cuadrícula que tenga 1A) cm) de área. ¿Cuántas posi"ilidades distintas ha!? E#plica por qu2.
3. Bn tren tarda 34 seg en pasar completamente a trav2s de un túnel de 35m de largo. / la misma velocidad tarda 14 seg en pasar completamente al poste del tel2fono. ¿u2 largo tiene el tren? 1 Bn grupo de personas quieren ir todas 0untas de e#cursi>n. -a! dos agencias que hacen esa e#cursi>n8 / ! . Las dos agencias tienen el mismo número de autom>viles. La agencia / tiene 4 autos de ' asientos ! el resto de 3 asientos. La agencia tiene 4 autos de 3 asientos ! el resto de ' asientos.
Mo pueden ir por la agencia / porque, aunque llenen todos los lugares disponi"les, falta lugar para 13 personas. Pendo por la agencia llenan todos los lugares disponi"les ! pueden via0ar todos. ¿Cuántas personas forman el grupo? ) 7artín di"u0> un rectángulo /C$ con el lado / ma!or que el lado C. %o"re el lado / marc> el punto ! so"re el lado C$ el punto % de modo que el /C$ qued> dividido en el cuadrado /%$ ! el rectángulo C%. El segmento mide ' cm. El perímetro del rectángulo C% es igual a los cinco octavos del perímetro del cuadrado /%$. ¿Cuál es el perímetro del rectángulo /C$? 5 Con los dígitos8 1 ; 1 ; ) ; ) ; 5 ; 5 ; 3 ; 3 se escri"en números de * cifras. a. /ldo escri"e números que empie+an en 1 ! tienen los dos 5 separados por tres cifras. ¿Cuántos de estos números puede escri"ir /ldo? @or e0emplo8 /ldo puede escri"ir el número 15))3531. ". runo escri"e números que tienen8 los dos 3 separados por cuatro cifras, los dos 5 separados por tres cifras, los dos ) separados por dos cifras ! los dos 1 separados por una cifra. ¿Cuál es el ma!or de los números que escri"e runo ?
1 En la escuela, 4[, '[ ! &[ se pueden cursar en el turno mañana o en el turno tarde. El total de alumnos de 4[, '[ ! &[ es &539 en el turno tarde ha! 1 alumnos más que en el turno mañana. El total de alumnos de 4[ es )3&9 en el 4[ turno tarde ha! & alumnos más que en el 4[ turno mañana. En '[ ha!, en total, 1 alumno más que en &[ . En '[ del turno mañana ha! 4 alumnos más que en 4[ del turno mañana. ¿Cuántos alumnos ha! en &[ del turno tarde? ) El triángulo /C es is>sceles con /C = C ! (/C = 3A5 sceles, rectángulos e iguales entre sí.
a. ¿Cuál es el área de toda la figura? ". ¿Cuál es el perímetro de la parte som"reada? 5 Los padres de Davier quieren comprar un departamento que cuesta F 1) pero no disponen de todo el dinero. @agarán una parte al contado ! el resto en dos partes iguales8 la primera mitad, con el )W de recargo, en 5 cuotas iguales ! la otra mitad, con el 4W de recargo, en 14 cuotas iguales. @or cada una de las 14 últimas cuotas de"erán pagar F )1*3. ¿u2 porcenta0e del valor del departamento pagaron al contado? ¿Cuánto de"erán pagar por cada una de las primeras 5 cuotas? 1 /C$EI es un he#ágono regular. 7, @, ! % son los puntos medios de los lados C, C$, EI ! I/, respectivamente. $ es un arco de circunferencia de centro C ! radio C$. El perímetro de toda la figura es de apro#imadamente '4,4 cm. ¿Cuál es el área de la parte som"reada?
) Duan sum> números impares consecutivos ! o"tuvo como resultado 1)5&4. ¿Cuál es el ma!or de los números que sum> Duan? @or e0emplo8 4 ! & son dos impares consecutivos9 5&9 59 31 ! 35 son cuatro impares consecutivos. 5 Bn comerciante compr> tres artículos por un total de F 33 ! despu2s los vendi> ! o"tuvo una ganancia del 5W. Bno de los artículos le dio una ganancia del )W, otro una ganancia del )4W ! el tercero una ganancia del 4W. Lo que pag> por el artículo que le dio menor porcenta0e de ganancia es igual a la suma de los precios de venta de los otros dos artículos. ¿Cuánto pag> el comerciante por cada uno de los tres artículos? 1 runo, $iego ! Iede fueron al supermercado. runo pag> con F4 ! reci"i> F1) de vuelto. $iego ! Iede pagaron, cada uno, con un "illete de F1. runo ! Iede gastaron entre los dos, F*. El vuelto de $iego fue la mitad del vuelto de Iede. ¿Cuánto gast> $iego?
Con tres triángulos equiláteros se arm> esta figura. El triángulo grande tiene 3* cm de perímetro. El lado del triángulo mediano es la mitad del lado del triángulo grande. El lado del triángulo pequeño es la mitad del lado del triángulo mediano. ¿Cuál es el perímetro de la figura?
3 El a"uelo retir> F134 del "anco. %>lo le dieron "illetes de F) ! de F4. Mo le dieron ninguna moneda. ¿Cuántos "illetes de cada clase puede ha"er retirado? Enumera todas las posi"ilidades. 1 Gengo pie+as de cart>n de forma rectangular. %i coloco 5 de estas pie+as una al lado de la otra sin superponerlas, como en la figura, o"tengo un cuadrado de )3 cm de perímetro. %i ahora coloco las 5 pie+as sin superponerlas, pero de otra manera, o"tengo un rectángulo que no es un cuadrado. $i"u0a este rectángulo e indica su perímetro. ) En la "i"lioteca, un tercio de los li"ros son de 7atemática. -a! 5 li"ros de Lengua. -a! )3 li"ros de Ciencias %ociales. -a! tantos li"ros de Ciencias Maturales como de Lengua. ¿Cuántos li"ros ha! en total en la "i"lioteca? 5 7atías tiene 5 ca0as8 una ro0a, una verde ! otra a+ul9 ! 3 medallas8 una de oro, una de plata, una de "ronce ! una de co"re. uiere guardar todas las medallas en las ca0as de modo que ninguna ca0a quede vacía. ¿$e cuántas maneras distintas puede hacerlo? Enum2ralas.
1 Duan escri"e una lista de 4 dígitos. El primer tramo de la lista es 1)534'&1)534'&** ! despu2s repite este tramo desde el principio al fin. ¿Cuál es la cifra que ocupa el lugar número 1&? ¿Cuál es la cifra que ocupa el lugar número 1*? E#plica por qu2.
) /ni ! eti tenían algunos ahorros. Este mes cada una gast> una parte. /ni gast> )A5 de sus ahorros ! le quedaron F5'. eti gast> 5A3 de sus ahorros. %i el mes pasado tenían entre las dos F)*, ¿cuántos pesos le quedaron a eti?
5 Bn rectángulo /C$ tiene ' cm de perímetro ! / = 5 C. En cada v2rtice se recort>, como muestra la figura, un triángulo rectángulo is>sceles de ) cm de cateto. ¿Cuál es el área de la figura ra!ada?
1. E+equiel tenía *3 figuritas en el ál"um ro0o ! ) figuritas en el ál"um a+ul. -o! peg> la misma cantidad de figuritas en cada ál"um. /hora tiene, en el ál"um ro0o, el triple de figuritas que en el a+ul. ¿Cuántas figuritas peg> en cada ál"um? 2. En la figura de v2rtices /C$E, se marcaron 7, punto medio de / ! M, punto medio de E$. /l tra+ar los segmentos 7M ! $, la figura queda partida en dos cuadrados ! un triángulo equilátero. El cuadrado /7ME tiene 4' cm de perímetro. ¿Cuál es el perímetro de la figura /C$E?
3. En un campeonato de fút"ol cada equipo 0uega 1 partidos en total. Cada ve+ que gana o"tiene 5 puntos ! cada ve+ que empata o"tiene 1 punto. /l final del campeonato, el equipo limpo o"tuvo un total de )* puntos. ¿Cuántos partidos gan>, cuántos partidos empat> ! cuántos partidos perdi> el equipo limpo? $a todas las posi"ilidades. 1. En el cine, en la funci>n del domingo, las entradas cuestan F & para menores ! F1) para ma!ores. Cada ma!or compr>, además de su entrada, entradas para ) menores. Este domingo por la venta de entradas se o"tuvieron F1'5*. ¿Cuántas entradas se vendieron en total?
2. Bn rectángulo /C$ tiene igual perímetro que un cuadrado de ) cm de lado. El lado / mide 1) cm más que el lado C. ¿Cuánto mide cada lado del rectángulo /C$? 3. En el pentágono /C$E se tra+aron todas las diagonales desde el v2rtice / ! todas las diagonales desde el v2rtice . Hdentifica todos los triángulos que quedaron di"u0ados. ¿Cuántos son?
1. En el clu" el 3 W de los socios son varones. Entre los varones, el 54 W son ma!ores de )4 años.
-a! ))3 socios varones ma!ores de )4 años. ¿Cuántas mu0eres son socias del clu"?
2. En un rectángulo /C$ se marcaron 7 punto medio del lado / ! M punto medio del lado C. %i 7 = ) M, el triángulo 7M tiene 5' cm) de área, ¿cuál es el área del polígono /7MC$?
3. $elfina tiene que elegir sus horarios para las clases de nataci>n. uiere ir dos veces por semana, nunca dos días seguidos, un día a la mañana ! otro a la tarde, una hora cada ve+. -a! clases de nataci>n de lunes a sá"ado a las , a las 1 ! a las 11 ! por la tarde, de lunes a viernes, a las 1& ! a las 1*. ¿$e cuántas maneras distintas puede $elfina armar sus horarios de la semana? Primer nivel 1. El a"uelo quiere repartir entre sus nietos, 7artín ! Duan, F)'3. / Duan le da F14 cada semana9 a 7artín le da F1* cada semana. ¿$espu2s de cuántas semanas ha"rá repartido el a"uelo los F)'3? 2. La figura está formada por un cuadrado grande ! uno pequeño. El perímetro del cuadrado pequeño es )3 cm. El perímetro del cuadrado grande es el triple del perímetro del cuadrado pequeño. ¿Cuál es el perímetro de la figura? 3. ¿Cuántos triángulos ha! en la figura? E#plica c>mo los contaste.
1. @edro tenía F)&. /!er gast> la mitad de lo que tenía. -o!, de que le queda"a, gast> la cuarta parte. ¿Cuántos pesos tiene ahora? ). Con un cuadrado de ' cm de perímetro ! dos triángulos rectángulos iguales, se pueden armar8 la figura H de 1) cm de perímetro ! la figura HH de 15) cm de perímetro. ¿Cuál es el perímetro de cada uno de los triángulos?
lo
5. Eduardo quiere ir de / a $. @uede hacerlo sin paradas, parando solamente en o parando en ! en C. Cada tramo del camino puede hacerse en colectivo, en su"te o en tren. ¿$e cuántas maneras puede ir Eduardo de / a $? Hndica c>mo lo hace.
Tercer nivel 1. Bna fá"rica arma "icicletas de tres modelos8 de carrera, de paseo ! plega"les. $e las que arm> este mes la mitad son de carrera, la tercera parte de paseo ! ha! 3& plega"les. ¿Cuántas "icicletas se armaron este mes en la fá"rica? 2. /C$ ! /7M son rectángulos. / = 5C. 7 es punto medio de /9 M es punto medio de /$. El perímetro de /7M es '3 cm. ¿Cuál es el área de /C$?
3. ¿Cuántos triángulos ! cuántos cuadriláteros ha! en la figura? E#plica c>mo los contaste.
Primer nivel 1. En un campeonato, cada equipo 0ug> )3 partidos. /l final del campeonato8 El equipo / no empat> ningún partido ! gan> 1 más de los que perdi>. El equipo no perdi> ningún partido ! empat> ' más de los que gan>. ¿Cuántos partidos gan> cada uno de los dos equipos en ese campeonato? 2. Los triángulos /D, C$E, EI6 ! -HD son iguales. La figura CE6-D tiene los ' lados iguales ! cm de perímetro. $I = 1* cm ! $E = EI. El triángulo C$E tiene 5' cm de perímetro. ¿Cuál es el perímetro del rectángulo /$IH?
3. 7irta, /licia e Hn2s le!eron un mismo li"ro de menos de 5 páginas. 7irta le!> & páginas el primer día ! el resto a 1 páginas por día. /licia le!> ) páginas el primer día ! el resto a 11 páginas por día. Hn2s le!> 4 páginas el primer día ! el resto a páginas por día. ¿Cuántas páginas tiene el li"ro? Segundo nivel 1. En una escuela, de primero a s2ptimo grados ha! un total de 313 alumnos. Los alumnos de quinto, se#to ! s2ptimo, 0untos, representan un tercio del total. %i en quinto hu"iera 5 alumnos más, en se#to hu"iera & alumnos más ! en s2ptimo hu"iera ) alumnos más, ha"ría igual número de alumnos en quinto, se#to ! s2ptimo. ¿Cuántos alumnos ha! en quinto grado, cuántos en se#to ! cuántos en s2ptimo? 2. Bn terreno de forma cuadrada se cerc> colocando un poste en cada esquina ! varios postes en los lados, siempre a igual distancia entre sí. En total se utili+aron )3 postes. El área del terreno es de 133 m). ¿Cuál es la distancia entre dos postes consecutivos de un mismo lado?
3. Con los dígitos 1 \ 3 \ \ ' \ & \ , ¿cuántos números pares menores que )4 se pueden formar? Tercer nivel 1. @or las casillas H ! HH del pea0e s>lo pasan autos, que pagan F ) ! camiones, que pagan F 5. /!er, por la casilla HH pasaron el do"le de autos ! la mitad de camiones que los que pasaron por la casilla H. /!er, en la casilla H se recaudaron F *3 ! en la casilla HH, F 5 más que en la H. ¿Cuántos autos ! cuántos camiones pasaron a!er por la casilla HH? 2. /C$ es un paralelogramo. $- es perpendicular a /. /- = -$
- = 5& cm
El triángulo /-$ tiene 55* cm ) de área. ¿Cuál es el área del paralelogramo /C$?
3. Con los dígitos 1 \ 3 \ \ ' \ & \ , ¿cuántos números múltiplos de 5, ma!ores que 1 ! menores que )4 se pueden formar?
Primer nivel 1. Bna arañita va ! viene so"re una rama de '3 cm de largo. @rimero va de una punta a la otra. %e da vuelta ! va hasta la mitad de la rama9 allí se da vuelta ! va hasta la mitad del camino que recorri> la última ve+. -ace esto dos veces más, recorriendo cada ve+ la mitad del camino anterior. ¿Cuántos centímetros recorri> en total?
2. El cuadrado grande tiene &) cm de perímetro. Los cuadrados pequeños tienen lado igual a la mitad del lado del cuadrado grande. ¿Cuál es el perímetro de la figura?
3. ¿Cuántos rectángulos ha! en la figura? E#plica c>mo los contaste.
1. La asociaci>n de vecinos vende "onos contri"uci>n. -a! "onos de F) ! de F *. La cantidad de "onos de F * que se vendi> es el triple de la cantidad de "onos de F ) que se vendi>. En total se recaudaron F 11. ¿Cuántos "onos de cada clase se vendieron?
2. La figura se arm> con pie+as cuadradas ! rectangulares colocadas en forma alternada, comen+ando por una pie+a rectangular de lados de ) cm ! 1 cm . Cada pie+a se puede armar con ) pie+as iguales a las que tiene a su i+quierda. ¿Cuál es el perímetro de la figura?
3. ¿Cuántos cuadriláteros ha! en la figura? E#plica c>mo los contaste.
