Seminario Especial de Matemática
Repaso UNI UNI
SEMINARIO ESPECIAL DE MATEMÁTICA Ciclo Repaso UNI - 2009 I Aritmética 1.
Considere: Ln(1,4641)=0,38 Ln(1,1)=0,095
Una obra puede ser realizada por 23 obreros durante 15 días a razón de 10 horas diarias. Si el primer día trabajan 2 obreros, el segundo día 3 obreros, el tercer día 4 obreros, y así sucesivamente hasta el n - ésimo día, harían 33, 3% menos de la obra. Al momento de repartirse una bonificación de S/.4200 entre 3 obreros lo hacen en forma proporcional a sus edades que son n – 8; n /2 y n n años. Calcule cuánto de más recibiría el menor si el reparto fuese inversamente proporcional. A) S/.500 D) S/.300
B) S/.800
A) S/.1000 D) S/.1100 3.
4. 2.
Ortiz depositó S/.15 000 durante t meses. Por los 4 primeros meses se pagó el 60% a interés simple, luego con una capitalización bimestral por el tiempo restante a la misma tasa y al final se obtuvo una suma de S/.26 353,8; al cabo de ese tiempo adquiere un artefacto cuyo costo al contado es S/.3400; para ello da una cuota inicial equivalente a la tercera parte del interés simple obtenido y por el resto firmó letras de igual valor pagaderas bimestralmente mestralmente durante t /2 /2 meses. Calcule el valor nominal de las letras si la tasa de descuento es 5% mensual.
B) 20
C) 30 E) 15
En una librería se vendieron cuadernos de la siguiente manera: el primer día se vendió 3/4 del total más un cuaderno, el segundo día se vendió 3/4 de lo que quedaba más un cuaderno, y así sucesivamente. Al finalizar el día d se vendieron todos los cuadernos, además, la cantidad total de cuadernos vendidos está comprendida entre 1000 y 2000. Calcule cuántos números enteros tienen un raíz cuadrada aproximada a 1, d d en menos de 1/ d . A) 2 D) 5
– 1 –
C) S/.1200 E) S/.800
Se funden dos lingotes de oro de a y b kilates, en cantidades que son inversamente proporcionales a sus leyes. La aleación obtenida se funde con x gramos de oro puro. Para obtener 10 sortijas de 4 gramos gramos cada una una cuya liga liga es 0,2 , calcule el valor de x. Considere que 70a=59 b, con a y b b menores de 20. A) 10 D) 25
C) S/.1000 E) S/.600
B) S/.1500
B) 1
C) 3 E) 4
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5.
Se quiere dividir un terreno rectangular,
A) 40, 6 y70%
cuyas dimensiones son mnpm y abnb
B) 40,2 y 50,6%
metros, en A parcelas ( A mínimo)
C) 40, 6 y 58, 8%
cuadradas iguales, además, el lado de
D) 40,2 y 50,8% E) 40% y 50,5%
estas es una cantidad entera en metros y
al colocar una estaca en cada vértice de 7.
las parcelas se usaron B estacas.
Dado el número bacba cuya cantidad
tiene dos factores primos y estos a la
de divisores es impar, al extraer su raíz cuadrada resulta un número que tiene
vez son números consecutivos. Calcule
como sus dos últimas cifras ba.
cuántas fracciones equivalentes a A/B
Calcule m+n+p+q+r si se cumple que
existen tales que el numerador es de 3
ab, ac8= pqr , mn...6.
El número mnpm tiene 30 divisores, sólo
cifras y el denominador de 4 cifras si el A) 10
número abnb es múltiplo de 72.
B) 13
C) 14
D) 12 A) 14
B) 1
D) 22 6.
C) 13
8.
E) 7
E) 11
Sea x una variable aleatoria que indica el número de hijos y el siguiente cuadro
El siguiente polígono de frecuencia muestra las edades de un grupo de personas distribuidas distribuidas con igual ancho de clase.
muestra la distribución de su probabilidad. x
2
3
4
5
P( x)
2a
b
a
3 b
Si el valor esperado de x es 3,4 calcule lo siguiente: I. Qué tanto por ciento de las madres de familia tiene entre 2 y 5 hijos. II. Si de un total de 100 a madres de familia se sabe que el 25% son viudas, calcule la probabilidad de que al seleccionar a 3 madres de familia a lo Si se sabe que b < 20
más dos sean viudas.
calcule lo siguiente: I. El promedio de las edades.
A) 30%; 13/14
II. Al seleccionar una persona al azar,
B) 10%; 111/190
¿cuál es la probabilidad de que la edad de la persona seleccionada esté
C) 20%; 11/19 D) 30%; 113/114
comprendida entre 30 y 54 años?
E) 10%; 7/16 –2–
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Álgebra
13.
Sea f una función cuya gráfica se muestra a continuación.
9.
Z 0 números complejos tales que Sean Z y Z Z + a a −1 Z 0 = ; W = es imaginario puro y Z 2 2 Z − i con a ∈R. Calcule el menor valor del
módulo del complejo ( Z + Z 0).
A) 0
B) 1/4
C) 1/2 E) 2 / 2
D) 1 10.
Dado el sistema lineal x + λ y = −1
Esboce la gráfica de la función
( λ − 1) x − y = λ ; λ ∈ R
g( x)= f (1–| x|)
de conjunto solución S = {( x 0 ; y0 ) / x0 y0 < 0} calcule el conjunto de valores de λ. A) λ ∈ 〈– ∞; –1〉 ∪ 〈1; +∞〉 B) λ ∈ 〈–1; 1〉 C) λ ∈ 〈– ∞; –1〉 ∪ 〈1/2; 1〉 D) λ ∈ 〈– ∞; –1/2〉 ∪ 〈–1; 1〉 E) λ ∈ 〈–1; 1/2〉 ∪ 〈1; +∞〉 11.
Dado el conjunto Ac
= {x ∈ R
x2 −1−
x −1
≥ 0}
calcule la longitud del conjunto A. A) 3
B) 2
D) 1 12.
C) 1/2 E) 0
Si ( x0; y0) es una solución del sistema
x 2 = 1 + log 4 y 2 y = y . 2 x + 22 x +1
calcule el mayor valor de y0. A) 1 D) 4
B) 2
C) 2 2 E) 4 2 –3–
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14.
1 Si A = −1
Geometría
0 es una matriz tal que 1
17.
3
A = mA+ nI , I es la matriz identidad,
isósceles ( BC // AD), AM=MB, CN=ND y
n
determine el valor de m . A) 1
B) 1/4
D) –1 15.
En el gráfico, ABCD es un trapecio AR=RN . Calcule x.
C) 1/9 E) – 4
Dada la sucesión { x n} de términos positivos definida por x n−1 =
∞
∑=1( x
n
K ) , si
K
la sucesión existe, ¿a qué valor converge? A) 0 D) 1/ e
B) 1
C) e E) 3/4
A) 53º/2 B) 37º/2 C) 30º
16.
Sea f :
2 R
→ R una función definida por
D) 37º
f ( x; y )=2 x+y. Determine el punto de
E) 45º
menor abscisa de la región convexa mostrada en la figura, donde f alcanza su
18.
Del gráfico mostrado, calcule m PQ.
máximo.
A) (7; 1)
A) 35º
B) (9; 7)
B) 50º
C) (11; 3)
C) 70º
D) (3; 4)
D) 55º
E) (6; 6)
E) 75º
–4–
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19.
Según el gráfico mostrado, calcule el
21.
área de la región sombreada si se sabe que AP = 3 .
En el gráfico, T y Q son puntos de tangencia, m PS = m MN y mTL + m AQ = 200º. 200º.
Calcule x.
A) 160º B) 100º C) 80º D) 90º
A) 1
B) 2
D) 4
C) 3
E) 120º
E) 5 22. Se tiene un prisma hexagonal regular
20. La semicircunferencia y el rectángulo
ABCD, de centro O, se ubican en planos
perpendiculares, además, LM=MN , R=2 2
2
y ( AM ) +( MC ) =18. Calcule la medida del diedro entre el plano LON y el plano
ABCDEF – GHIJKL tal que AG = 5 ( AF );
se traza FQ ⊥ GD, Q en GD. Si la distancia de Q a la región hexagonal GHIJKL es 2 5 , calcule el volumen del prisma.
de la semicircunferencia.
A) 15º D) 30º
B) 53º
C) 37º E) 45º –5–
A)
75 3 2
B)
65 5 2
C)
81 15 2
D)
85 15 2
E)
69 3 2
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23. Del gráfico se sabe que ABCD es un cua-
A) 25
drado, T y P son puntos de tangencia,
B) 16
B(0; 4), TD=2 y C : x2+ y2 – 12 x – 2 y+36=0.
C) 12
Halle la ecuación de L .
D) 36 E) 28
Trigonometría 25. En el gráfico se cumple que AB=DE y
BC=EF . Los cuadrados inscritos en los
triángulos rectángulos tiene por áreas S1 y S S2.
A) 3 x=7 y B) 3 y=7 x C) 2 x=2 y D) 6 x=5 y E) 8 x=3 y 24. Se muestra un tronco de prisma regular
ABCD – FGH . Si el volumen de la pirámide
de base regular F – EAH es 8, calcule el volumen del sólido ABCD – EFGH.
Entonces, indique lo correcto.
A) S1= S2 B) S1=2 S2 C) S2=2 S1 D) S1 > S2 E) S1 < S2
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26. En el gráfico, ABCD es un cuadrado.
Determine la medida del ángulo MPC expresado en radianes.
A) 0; 2 + 1 B) 0; 2 − 1 C) 0; 2 − 1 D) 0; 2 − 1 E) 0; 2 − 1 29. ¿Cuál es el equivalente de la siguiente
expresión? tan 70º +3 tan 250º θ = arc sen 2 ( tan 10º − tan100º )
3 π 1 − arcsen 3 2 4 3 π B) − arcsen 4 3 3 − 1 π C) − arcsen 3 4 3 − 1 π 1 D) − arcsen 3 2 2 3 − 1 π E) − arcsen 2 3
A)
27.
A)
B)
ecuación sen 2 arccos ( cot ( 2 arctan x ) ) = 0
π 9
C)
7π 10
D)
7π 18
E)
Calcule la suma de soluciones de la
2π 9
π 10
30. El ángulo de inclinación de cada una de
dos rectas paralelas es α. Si una de ellas
si 0 < x <2.
pasa por el punto ( a; b) y la otra por el A) 1
B) 2
D) 2 + 1
punto (c; d ), ), calcule la distancia entre las
C) 2 − 1
rectas.
E) 2 2
A) |(c – a)senα+( d – b )cosα|
28. Definimos la función f mediante
f ( x ) =
para
B) |(c – a)cosα+( d – b )senα|
2 ( sen 3 x + sen4 x − cos3 x − cos 4 x ) sen x − cos x
π < x < 3
C) |(c+a)senα – ( d+b)cosα|
π
D) |(c – a)senα – ( d – b )cosα|
2 Determine el rango de f .
E) |(c – a)cosα – ( d – b )senα|
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31.
A) FFV B) VVF C) FVF D) FVV E) FFF
Sea la función f de periodo 2 cuyo gráfico se indica para –1 ≤ x <1.
32. En un cuadrilátero ABCD, las regiones
triangulares ABC y ADC ADC tienen el mismo perímetro. Determine el equivalente de ( AD ) ( CD )
.
( AB ) ( BC )
B
A) cos
π Para la función funci ón h( x ) = cos ( f ( x ) ) ana 2 lice la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.
2
C) cos 2
B
2
B
II. La función h es periódica, con periodo 2. III. Para x ∈ 〈0; 1〉 la función h es creciente.
D
2
B) cos Bsec D
D) sen
I. Ran( h)=[–1; 1〉
sec
2
E) sen 2
sec 2
csc
B
2
D
2
D
2
csc 2
D
2
Lima, 17 de febrero de 2009
–8–
