O IMPIADA DE FÍSICA Perú
MA UAL DE PROBLEMAS Autores: Hugo Luy Sánchez (
[email protected]) Max So o Romero (
[email protected]
m)
Dan Pariasca (
[email protected] ) Pedro Reye Dávalos (
[email protected])
2012
Introducción Desde el año 1991 nuestro país participa en la olimpiada iberoamericana de física, muchos equipos se han formado en las escuelas peruanas que ha permitido que profesores y alumnos realicen trabajos y tareas fuera de las horas de clase y a la vez genere discusión de diversos temas que no están dentro del temario de la secundaria peruana. La olimpiada peruana de física se desarrolló con el propósito de reconocer a los jóvenes peruanos con talento para la física, es de larga data que el nivel de física en el Perú estuvo desde un principio influenciada por el estilo ruso prueba de ello fue la llegada de una cantidad enorme de libros de autores rusos en la década de los 80 y que hasta hoy aún tienen vigencia en el nivel preuniversitario peruano. Un tema importante que ha permitido desarrollar en la escuela secundaria con motivo de la OPF son las prácticas experimentales que han hecho ver la necesidad de avanzar en ese aspecto en todos los niveles académicos de la formación del alumno peruano, desde hace dos años los seleccionados peruanos desarrollan esta capacidad por medio de clases de laboratorio en la Universidad Nacional Mayor de San Marcos, Universidad Nacional de Ingeniería y Universidad Nacional del Callao, es una ardua tarea que los jóvenes entrenador e ntrenadores es peruanos tenemos que desarrollar en los alumnos sin tener un trabajo de referencia y que a pequeños pasos se está volviendo sistematizado. Son nuevos tiempos y la globalización ha permitido que nuestro país reciba influencia de libros y autores extranjeros, son de mucha ayuda los clásicos libros americanos de los autores Sears, Serway y Resnick, este último año han aparecido libros Brasileños del autor Renato Brito y de las olimpiadas paulistas de física, junto con los problemas del IIT-JEE de la India, todo esto está convergiendo con el aumento del interés por parte de los jóvenes
peruanos hacia las olimpiadas de física y científicas en general, lo cual más adelante será la base de un desarrollo científico en nuestro país. Presentamos este manual con motivo de la Olimpiada Iberoamericana de Física Granada 2012 para compartir algunos problemas empleados en los entrenamientos del equipo peruano. Los autores de este manual pertenecemos a diversas academias y colegios preuniversitarios con un mínimo de 3 años de dictado para este tipo de eventos académicos, si los problemas son de mucho provecho para los lectores entonces diremos que se cumplió el objetivo.
Los autores Lima 12 de setiembre del 2012
ÍNDICE
Problemas de Mecánica Problemas de Termodinámica Problemas de Electromagnetismo Problemas de Oscilaciones y Ondas Bibliografía Webgrafía
MECÁNICA Editado por Max Soto Romero PROBLEMA 1 En el preciso instante en que el sistema empieza a rotar con una aceleración angular de magnitud 5 rad/s² se coloca un pequeño bloque en la posición mostrada, determine la medida del ángulo que rota el sistema hasta el instante en que el bloquecito comienza a deslizarse sobre la plataforma, siendo en coeficiente de rozamiento entre el bloque y la plataforma 0,8 y 1 g = 10 m/s²
2,5 m
RESOLUCION La fuerza de fricción 1 va estar dirigido al centro de la trayectoria circunferencial y por lo tanto hace las veces de fuerza centrípeta
f
2
2
mw =
4
2
1
La fuerza de fricción 2 equilibra al peso
f
2
m = 2
2
2
g
La fricción 1 y 2 son componentes de la fricción que se manifiesta entre el bloque y la plataforma, esta fuerza tendría una magnitud de: 2
4
f = m ( w R
2
2
+
g )
Pero sabemos que por la ley de Charles A. Coulomb tendríamos 2
4
µ m α R = m ( w R 2
2
2
2
2
2
+
g )
Desarrollando esta expresión, finalmente quedaría
µ 2α 2 −
g 2 2
=
w4
Por cinemática circunferencial
w
2
=
2αθ
Dando forma a la rapidez angular y operando convenientemente
θ
=
1 2
µ 2 −
g 2
α 2
2
Reemplazando los valores del enunciado del problema se tiene
θ = 0,3rad
PROBLEMA 2 Una barra homogénea de masa m, se sujeta al techo por sus extremos y por su centro con ayuda de hilos de igual de igual material y longitud, uno de los extremos está sujeto con hilo doble, si los hilos no son inelásticos la magnitud de la fuerza de tensión en el hilo central es:
RESOLUCION Como la barra está sujeta en el extremo derecha por dos cables, se establecerá el equilibrio estando la barra inclinada Por simetría las tensiones en los extremos tiene que ser iguales esto significa que el hilo izquierdo se estira el doble de los hilos de la derecha y la del medio la semi suma de los extremos
2a
a 3a/2
Como ya se estableció el equilibrio la sumatoria de fuerzas debe ser cero, entonces la sumatoria de las tensiones debe ser en magnitud igual al peso
T1 + T2 + T3
=
mg
Siendo T2 la magnitud de la tensión en la cuerda central
3
β (2a ) + β ( a ) + β (2a ) = mg 2
Desarrollando
β a =
2 11
mg
Ahora reemplazamos en T2
T2 T2
=
=
3
β ( a ) 2
3 11
mg
PROBLEMA 3 Un satélite artificial se mueve alrededor de radio es 3R 3R, como resultado de una acción frenado la rapidez del satélite disminuye moverse por una órbita elíptica, determine el
la tierra por una órbita circular cuyo de corta duración del dispositivo de de tal forma que este empieza a periodo en la trayectoria elíptica
R: radio de la tierra
PROBLEMA 4 La barra homogénea de 60 cm de longitud se deja en libertad de la posición mostrada y se detiene cuando adopta su posición vertical en el interior del mercurio, determine la densidad de la barra, no considere ningún tipo de rozamiento Densidad del mercurio =13600 kg/m
30 cm
PROBLEMA 5 Una esferita de masa m se deja caer y colisiona inelásticamente con un carrito de masa M que se encuentra inicialmente en reposo, determine la medida del ángulo que forma la dirección del movimiento de la esferita inmediatamente después del choque con el eje x no considere rozamiento y el coeficiente de restitución en el choque cumple la siguiente relación
e 2
tan θ
=
M
+
m
Ɵ
TERMODINÁMICA Editado por Dan Pariasca
1. La siguiente figura muestra un dispositivo que permite determinar el valor de Cp/Cv de un gas en forma aproximada. Una botella de capacidad razonable (digamos unos pocos litros), está equipada con un grifo H y un manómetro. La diferencia de presión entre el interior y el exterior se determina mediante la observación de la diferencia de alturas h de las dos columnas del manómetro. La botella se llena con el gas que se esta investigando, a una presión ligeramente superior con respecto a la atmosférica. Luego, la botella se deja en paz con el grifo cerrado hasta que la temperatura del gas en la botella sea la misma que la temperatura del exterior en la habitación. En ese instante la lectura del manómetro es h I. Posteriormente el grifo se abre durante un tiempo muy corto, lo suficiente para que la presión interna sea igual a la presión atmosférica, ya con el grifo cerrado, nuevamente se espera que la temperatura interior se iguale con la exterior, momento en el cual la lectura del manómetro es hF. Obtenga una expresión para el Cp/Cv en función de hI y hF, si consideramos que el gas se comporta en forma ideal.
H
2. Un ciclo Diesel ideal está compuesto por un proceso de expansión isobárico, uno de expansión isentrópico, uno isométrico y finalmente uno de compresión isentrópico. El proceso de combustión en este ciclo se obtiene como un proceso de adición de calor a presión constante. De hecho, es lo único que lo diferencia del ciclo de Otto. Se define como la relación de cierre r c como la proporción de los volúmenes del cilindro después y antes del proceso de combustión, y la relación de compresión r como la proporción entre los volúmenes inicial y final durante la compresión isentrópica. Si un ciclo Diesel ideal con aire como fluido de trabajo tiene una relación de compresión de 20 y una relación de cierre de admisión de 3. Al principio del proceso de compresión el fluido de trabajo está a 1atm, 25°C y 2L. Mediante suposiciones de aire frío estándar, determine: I. La temperatura y presión del aire al final de cada proceso. II. La salida de trabajo neto y la eficiencia térmica. III. Comparar la eficiencia de este ciclo con uno de Otto, el cual funciona con la misma relación de compresión. Nota: suposiciones del aire estándar: •
•
•
•
El fluido de trabajo es aire que circula de modo continuo en un circuito cerrado y siempre se comporta como un gas ideal. Todos los procesos que integran el ciclo son internamente reversibles. El proceso de combustión es sustituido por un proceso de adición de calor desde una fuente externa. El proceso de escape es sustituido por un proceso de rechazo de calor que regresa el fluido de trabajo a su estado inicial.
3. Un cilindro con paredes adiabáticas está cerrado en ambos extremos y se divide en dos volúmenes por un pistón sin fricción que también está térmicamente aislante. Inicialmente, el volumen, la presión y la temperatura del gas ideal en cada lado del cilindro es igual a V 0, P0 y T0, respectivamente. Una bobina de calentamiento en el volumen de la derecha se utiliza para calentar lentamente el gas de ese lado hasta que la presión alcance 64P0/27. Si el CV, capacidad calorífica molar a volumen constante del gas, es independiente
de la temperatura y P yT 0 0. IV. V. VI. VII. VIII.
CP/CV=1,5. Encontrar lo siguiente en términos de V 0,
El cambio de entropía del gas en el lado izquierdo; El volumen final a mano izquierda La temperatura final de la izquierda La temperatura final de la derecha El trabajo realizado sobre el gas en el lado izquierdo
Solución: I.
II.
Debido a que el pistón y las paredes del recipiente están aislados adiabáticamente, no existe transferencia de calor al volumen de gas que se encuentra al lado izquierdo, motivo por el cual su entropía no varia. Al inicio, el gas contenido en ambos lados del pistón presenta la misma presión, volumen y temperatura.
P0
V0
P0
V0
T0
T0
Como el pistón está aislado térmicamente, al suministrar calor al lado derecho, el volumen de gas contenido en el lado izquierdo experimenta una compresión adiabática hasta que el pistón otra vez se encuentre en equilibrio.
P1 T1
V1
P2 T2
V2
Luego tenemos: ఊ = ଵ ଵఊ భ ം
మ య
9 ଵ = ൬ ଵ ൰ = ൬64 /27൰ = 16 III.
Como la cantidad de moléculas en ambos lados se mantiene constante, el producto / también debe ser constante.
= ଵ ଵ ଵ Despejando el valor de ଵ tenemos:
4 ଵଵ ଵ= = 3 IV.
Notamos que el incremento de volumen en el lado derecho coincide con la disminución del volumen en el lado izquierdo. Además, la presión en ambos lados debe ser la misma de esta forma se justifica que el pistón móvil se encuentra en reposo. Así tenemos:
7
23
ଶ = + 16 = 16
ଶ=
V.
= ଶ ଶ ଶ ସబ ଶଷ ଶ ଶ = ଶ ଵ = 92 27
Como el sistema del lado izquierdo experimenta un proceso adiabático, el incremento de energía interna debe ser igual al trabajo realizado sobre el sistema. De la primera ley de la termodinámica obtenemos:
=∆
Como el CV es independiente de la temperatura la energía interna del gas debe ser solo función de T.
=
− =
También:
ು = ೇ
y
De estas expresiones:
= 1− ∆ = 1 −1 ሺ ଵ − ଵሻ = 1 −1 ሺ ଵ ଵ −
2
ሻ = 3
4. Para muchas sustancias existe un valor de temperatura TT y de presión PT tales que bajo esas condiciones coexisten en equilibrio las tres fases (sólido, líquido, gas): el llamado punto triple de la sustancia. Por ejemplo, para el agua: TT = +0.0075°C y PT = 4.58 mm Hg. El calor de vaporización del agua en el punto triple es LV= 2.48×103kJ/kg y el calor de fusión del hielo es LF= 0.34×103kJ/kg. Encuentre el calor de sublimación del agua, LS , en el punto triple. Solución: Para poder determinar el Calor latente de sublimación, analizaremos tres procesos entre estados muy cercanos al punto triple del agua. Como podrán notar el esquema mostrado no ilustra exactamente la gráfica P vs T para el agua ya que esta presenta una anomalía que modifica la pendiente entre la fase sólida y líquida. Cabe resaltar que este detalle no modifica el resultado esperando en la solución del problema. P
LÍQUID SÓLID P2 P1 P3
GAS
T1 TSTF TT T2 T3TV
T
Al cambiar del estado (1) al estado (2) una cierta cantidad de agua “m”, esta debe experimentar fusión. De esta manera el calor necesario para el proceso será:
ଵ→ଶ =
ሺ௦ௗሻሺ − ଵ ሻ +
+
ሺ௨ௗሻ ሺ ଶ − ሻ
Donde el primer elemento es el calor necesario para elevar la temperatura de la sustancia desde T 1hasta TF. El segundo elemento es el calor necesario para el cambio de fase, donde L F es el calor latente de fusión. El tercer miembro de la expresión es el calor necesario para calentar la sustancia ya en fase líquida desde T F hasta T2. Empleando la primera ley de la termodinámica tenemos:
௦ + ∆ ଵ→ଶ ଵ→ଶ = ଵ→ଶ Remplazando los datos de la primera expresión:
ሺ௦ௗሻሺ − ଵ ሻ +
+
௦ ሺ௨ௗሻሺ ଶ − ሻ = ଵ→ଶ + ∆ ଵ→ଶ
Análogamente para el proceso del estado (2) al estado (3):
௦ + ∆ ଶ→ଷ ଶ→ଷ = ଶ→ଷ ሺ௨ௗሻ ሺ ଶ − ሻ +
+
௦ ሺ௦ሻሺ ଷ − ሻ = ଶ→ଷ + ∆ ଶ→ଷ
Y del mismo modo para el proceso desde el estado (3) al estado (1):
௦ + ∆ ଷ→ଵ ଷ→ଵ = ଷ→ଵ
ሺ௦ሻ ሺ − ଷ ሻ −
+
௦ ሺ௦ௗሻሺ ଵ − ሻ = ଷ→ଵ + ∆ ଷ→ଵ
Observe que el segundo elemento de esta expresión lleva un signo negativo, esto se debe a que en la sublimación indirecta el agua libera calor. Este mismo detalle no lo tomamos en cuenta en las otras cantidades de calor porque la variación de temperatura tiene implícitamente esa información, si ∆ es positivo entonces el sistema absorbe calor, en caso contrario lo libera. Ahora, si consideramos la esfera más próxima al punto triple, las variaciones de temperatura en los calores sensibles serían prácticamente diferenciales. Como consecuencia, la sumatoria de todas estas cantidades de calor debe ser cero. Además, también se puede considerar que los procesos (1) →(2), (2)→(3) y (3) →(1) son isobáricos ya que la diferencia entre presiones también es mínima.
+ +
−
−
௦ ௦ ௦ = ଵ→ଶ + ∆ ଵ→ଶ + ଶ→ଷ + ∆ ଶ→ଷ + ଷ→ଵ + ∆ ଷ→ଵ
=
ሺ∆ ଵ→ଶሻ + ∆ ଵ→ଶ + ሺ∆ ଶ→ଷሻ + ∆ ଶ→ଷ + ሺ∆ ଷ→ଵሻ + ∆ ଷ→ଵ + − = ሺ∆ ଵ→ଶ + ∆ ଶ→ଷ + ∆ ଷ→ଵሻ + ∆ ଵ→ଶ + ∆ ଶ→ଷ + ∆ ଷ→ଵ
Finalmente, como el proceso es cíclico, el estado final y el inicial tienen los mismos parámetros termodinámicos, igual presión, volumen, temperatura, energía interna etc. Motivo por el cual todos los elementos del lado derecho se eliminan.
+ − =0 + = Notamos como era de esperarse, que el calor latente de sublimación sea el resultado de la suma entre el calor latente de fusión y vaporización ya que para obtener directamente una sustancia en fase gaseosa a partir de la fase sólida, es necesario vencer las fuerzas de cohesión en las fases intermedias.
5. En un tubo vertical liso abierto por ambos extremos y con secciones diferentes arriba y abajo se encuentran dos émbolos, unidos por un hilo inextensible, y entre los émbolos, un mol de gas perfecto. El área del émbolo superior es ΔS = 10cm2 mayor que la del inferior. La masa total de los émbolos m = 5kg. La presión atmosférica P0 = 1atm. ¿En cuántos kelvin debe calentarse el gas contenido entre los émbolos, para que éstos se desplacen 5cm?
SOLUCIÓN: S1
P0S1 S1 W1
PgasS1
S1
5cm T
T PgasS2 T
T h=5cm
P0S2
S2 W2
S2
Como el sistema se encuentra en equilibrio, la sumatoria de fuerzas sobre cada émbolo debe ser nula. Émbolo de área S1:
ଵ+
+ ଵ=
௦ ଵ
Émbolo de área S2:
௦ ଶ + ଶ = ଶ + De ambas ecuaciones obtenemos la siguiente expresión:
ሺ ଵ + ଶሻ = + ௦ ሺ ଵ − ଶ ሻ De este resultado, se puede observar que la presión del gas solo depende de la presión atmosférica, el peso total de los émbolos y la diferencia de sus áreas, por lo cual concluimos que el proceso es isobárico, es decir la presión es constante. En estas condiciones se cumple que:
௦ ∆
= ∆
Del gráfico, como la cuerda es inextensible, el desplazamiento de cada embolo debe ser el mismo y el cambio en el volumen debe ser igual a ∆ = ℎ∆ .
൬ + ሺ ଵ ∆+ ଶሻ൰∆ = ∆ ∆ = ൬ + ሺ ଵ ∆+ ଶሻ൰ ∆ = 0,9
Electrost tica y Electromagnetismo Editado por Hugo Luyo ánchez
1. Un disco de radi está rotando con una velocidad an gular constante w respecto de un eje fijo que pasa por su centro. Pe mitiendo que los electrones libres sean los portadores de carga. Halle la diferencial de potencial entre l centro del disco y la periferia d el disco, en los siguientes casos: a) Cuando no hay campo magnético b) Cuando h y un campo magnético perpendicular ntrando al plano de disco de magnitud
Solución a): Para un electrón dentr del disco a una distancia del eje se mueve en un círculo por ello sobre él existe una fuerza que lo jala hacia el je. De la segunda ley de Newton,
=
ଶ
Esta fuerza es origin da por el campo eléctrico radial originado por la redistribución de electro nes en el disco por tanto la fuerza q e actúa sobre el electrón es
= =
ଶ
Donde es la carga del electrón y se cumple
el campo eléctrico originado, tenemos que
= − ф/ Si remplazamos el hallado en el paso anterior en esta útlima expresión e integramos respecto de de 0 a el radio del disco, obtenemos que la diferencia de potencial es
ଶ ଶ/2
= Solución b):
Dado que los electrones a un distancia del eje se mueven en círculo y por tanto tienen una velocidad lineal, esto junto a la existencia de un campo magnético entrando al plano del disco permite que el electrón experimente la fuerza magnética igual a
= Hacia fuera del disco, por tanto nuevamente existe un reordenamiento de las cargas dentro del disco, pero notemos que depende y este último depende del radio de giro asi
= Además tenemos que entre cual es igual a
y
+
, existe una diferencia de potencial dV lo
= donde se origina por la redistribución de cargas, sobre un electrón actúan entonces la fuerza magnética y la fuerza eléctrica asi
= de donde
=
, remplazando en la ecuación de diferencial de potencial
= = si hacemos integración sobre r que varía de 0 a R, tenemos
=
ଶ/2
2. Un alambre de largo , el cual es libre de moverse en un plano vertical y lleva una corriente estacionaria de , está en equilibrio a una , el cual está fijo en un plano altura ℎ sobre un alambre muy largo horizontal y lleva una corriente estacionaria . Demostrar que cuando es jalado hacia abajo una pequeña distancia ejecuta un movimiento armónico simple y halle su periodo de oscilación. Solución: Sobre el alambre superior actúan dos fuerzas, su peso y la fuerza de repulsión magnética entre los alambres pues llevan corrientes en direcciones opuestas, por ese motivo el alambre permanece fijo en esa posición. Calculemos la fuerza de repulsión magnética, tenemos que
= µ /2 ℎ = Notamos que varía inversamente proporcional a ℎ, si jalamos hacia abajo el alambre entonces ℎ disminuye y aumenta por tanto existe una fuerza restauradora opuesta a la deformación que la originó, si jalamos un y hacia abajo, ahora por medio de ecuaciones la fuerza resultante hacia arriba es
∗= −µ /2 ሺℎ − ሻ + Dado que
<< ℎ, remplazando lo del equilibrio, tenemos ∗= − ሺ1 − /ℎሻିଵ +
por aproximación de Newton nos queda
∗= − ሺ1+ /ℎ −1ሻ ∗= − /ℎ Donde vemos que la fuerza recuperadora es proporcional a y además de opuesta al mismo, lo cual es la condición para que presente movimiento armónico simple, la aceleración resulta en
= − /ℎ donde
ଶ=
/ℎ, de donde el periodo =2 /
3. Una carga positiv a de masa ubicada a una distanciia en el mismo plano donde se bica el alambre que lleva una corrient , se lanza a la carga con una velocidad alejándose del alambre. Halle la máxima separación entre l alambre y la partícula. 4. Dos capacitores lanos paralelos con diferente distancia entre sus placas se conectan en paralelo a un cierto voltaje. Una carga p ositiva se traslada desde el punto 1 que está exactamente en el punto medio entre las placas del capacitor ଵ al punto 2 que se ubica a un distancia de la placa negativa de ଶ igual a la mitad de la distancia e tre las placas de ଵ . ¿Se realiza trabajo durante este proceso?
5. Dos conductores rectos infinitos colocados perpendicula mente los cuales tienen densidades de cargas lineales β1 y β2 son olocados a una distancia a. ¿Có o depende la interacción entre ellos e la distancia de separación a?
6. Dos cargas punt uales y cuyas magnitudes son iguales en valor absoluto se ubic n a una cierta distancia una de otra. sumiendo que el valor del campo eléctrico es positivo si coincide con la dirección positiva del eje , halle los signos de las carga para cada d istribución de los campos eléctricos entre las cargas mostrados en la figur s (a), (b), (c) y (d).
7. Dos varas muy largas son conectadas por medio de un i ductor de autoinductancia , y f rman un plano con una inclinación r specto de la horizontal. Hay u conductor movible de masa que se puede mover a lo largo del plano (ver figura). El coeficiente de fricción entr el conductor y las varas es µ, la separación entre las varas es ℎ, y la a eleración de la gravedad es . T do este sistema es colocado dentro de un campo magnético perpendicular al plano. En este problema pu de despreciar la resistencia e inductancia de las varillas y el conductor. A uma que el conductor movibl está en reposo al inicio, luego es solt do sin empujarlo. Halle las respuestas a las siguientes preguntas: a) Hallar la d sigualdad para la cual el conductor mó vil empieza a moverse h cia abajo. Escriba su respuesta en funci ón de ,µ. b) Asuma que la desigualdad de la pregunta a) es sa isfecha y el conductor móvil empieza a moverse hacia abajo. E prese la magnitud e la corriente en el inductor en función del desplazami nto del conductor medido desde su osición inicial. Escriba su respuesta en función de ℎ, , , .
c) Halle la m xima velocidad ௫ del conductor mie tras se está moviendo. Escriba sus respuesta en función de ℎ, , , , , ,µ. dሻ Halle la m gnitud de la corriente máxima en el inductor ௫ mientras el conductor se está moviendo en términ s de
ℎ, , , , , µ.
e) Asumiendo que el coeficiente de fricción es peque a, halle la cantidad d calor disipada por la fricción durante n tiempo largo. Escriba su respuesta en función de ℎ, , , , , . f) ¿cuál es el error relativo de la respuesta anterior ara µ = ଶఈ ?
8. Una diferencia de potencial es aplicada entre una esfera conductora y una placa conductora (la esfera lleva carga positiva y la plac lleva carga negativa). Las dimensiones de la placa son muchos grand es que las distancia entre la esfera y la placa. Una carga puntual positiva se mueve del punto 1 al punto 2 a través de un camino paralelo a la placa. ¿se realiza algún trab jo en este proceso?
Oscilaciones y Ondas Editado por Pedro Manuel Reyes Dávalos.
1. PLATAFORMAOSCILANTE
Una carga descansa sobre una plataforma horizontal. Esta empieza a moverse en sentido vertical a la frecuencia w y amplitud
, tal
w2
> g que .Suponiendo que la velocidad inicial es nula y que la plataforma empieza a elevarse, determine:
a) ¿A qué altura respecto a la posición inicial saltará la carga después de separarse? Cierto tiempo después la carga lanzada hacia arriba retornará y experimentará continuas colisiones con la plataforma. Si consideramos estas colisiones como absolutamente elásticas, determine: b) ¿Con qué amplitud debe oscilar la plataforma para que surja una resonancia peculiar: la carga, lanzada por la plataforma, después de cada colisión aumenta la altura de su elevación? (Compilado y adaptado de Problemas de Física /O. Ya. Sávchenko)
2. PÉNDULOS TRILLIZOS
Tres hilos de longitud 30 cm cuelgan de un mismo gancho por uno de sus extremos. Atadas al otro extremo, los tres hilos tienen tres esferitas de masas idénticas. Los dos péndulos exteriores son desviados un pequeño ángulo α y β (con α < β ) permaneciendo en el mismo plano vertical. Luego, el péndulo de la izquierda se suelta e inmediatamente después de chocar contra la esfera central en reposo, la esfera de la derecha es soltada.
a) Calcular qué tiempo después de iniciado el movimiento de la esfera izquierda esta llega a su punto más alto por primera vez. b) Encuentre una expresión para la atura máxima a la que logra llegar la esfera central. c) Determine el periodo del sistema.
(Problema tomado de http://www.ipn.unikiel.de/projekte/ipho/data/44_IPhO_2013_1Rd_Handzettel_web.pdf)
3. INTERACCIÓN ARMONIOSA
Un bloque cilíndrico macizo de densidad ρ y masa 2 M flota en reposo en un líquido de densidad ρ o , con su base inferior sumergido una profundidad h por debajo del nivel del líquido. Una esferita de masa M se suelta desde una altura H por encima de la superficie de la base superior del bloque realizando una colisión perfectamente elástica y que
H
h
consideraremos instantánea. Como resultado de esta, el bloque es sacado de su posición de equilibrio y comienza a desarrollar un movimiento oscilatorio vertical. a) Determine, en términos de la altura
y el módulo de la aceleración de la
gravedad g , la rapidez V o con la que la esferita golpea al bloque. b) Determine en términos de V o las rapideces: de la esferita bloque después del primer choque elástico.
ve y vb del
Por simplicidad, para este problema, despreciaremos las fuerzas de viscosidad que afectan al bloque durante su movimiento oscilatorio, así como también, las que afectan a la esferita durante su movimiento de caída vertical. c) Demuestre que el movimiento oscilatorio que realiza el bloque después del primer impacto es del tipo armónico simple (M.A.S).
v
d) Determine, en términos de b , la amplitud del M.A.S realizado por el bloque. e) Determine en términos de y el periodo de oscilación del bloque. Está claro que después del primer choque elástico la esferita y el bloque chocarán en repetidas ocasiones, y es muy probable que la configuración inicial del sistema jamás se repita. Es decir, que en algún instante posterior el bloque y la esferita jamás vuelvan al reposo y en sus posiciones originales. f) ¿Cuál debe ser la relación h para que, en algún instante posterior, la configuración inicial del sistema se repita? y ¿cuál sería el periodo de oscilación del sistema?
4. MOLÉCULA DIATÓMICA
La energía potencial de interacción entre dos átomos de masa m que forman una cierta molécula está dado por
U ( r )
=
ar
5
−
−
br 1 −
Donde r es la separación entre los átomos, y a y b son constantes. Demostrar que cuando la molécula absorbe cierta radiación, aquella, entra en resonancia cuando la frecuencia de la radiación es ω =
8b b m 5a
3/ 4
(Tomado de http://bacterio.uc3m.es/docencia/profesores/raul/fisica1tel/ficheros/examenes/EXFE02TEa.pdf)
5. ONDA ESTACIONARIA
En una cuerda de 120 cm de longitud se forma una onda estacionaria con la particularidad de que los puntos para los cuales la amplitud de desplazamiento igual a 3,5 mm dista 15 cm uno del otro. Hallar la amplitud máxima de desplazamiento y el modo al que corresponden estas oscilaciones.
6. ONDAS EN TRAYECTORIA CIRCULAR
Un aro circular de cuerda está girando en el sentido de las manecillas del reloj en ausencia de la gravedad terrestre. La velocidad tangencial con la
v
que se desplazan los puntos de esta cuerda es o . Determine la rapidez de propagación con la que viajan las ondas por este aro.
