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Juan Carlos Suárez Arditto
TRABAJO TR ABAJO DE DINAMICA PROBLEMAS DE SISTEMAS VARIABLES DE PARTÍCULAS
SISTEMAS VARIABLES DE PARTÍCULAS : Todos los sistemas de partículas considerados hasta ahora están compuestos por partículas bien Todos definidas. Estos sistemas no ganarán o perderán partículas durante su movimiento. Sin embargo, en un gran número de aplicaciones de ingeniería es necesario considerar sistemas variables variables de partículas, esto es, sistemas que están ganando o perdiendo continuamente partículas partículas o ambas cosas al mismo tiempo. Considere, por eemplo, una turbina hidráulica. Su análisis implica la determinaci!n de las fuer"as eercidas por una corriente de agua sobre los álabes giratorios, # se advierte que las partículas de agua en contacto con los álabes forman un sistema que cambia en todo momento # que adquiere # pierde partículas partículas de manera continua. continua. $os cohetes cohetes proporcionan otro otro eemplo de sistemas variables, variables, #a que su propulsi!n depende de la e%pulsi!n e%pulsi!n continua de partículas de combustible. combustible.
Empuje causado por un fujo desviado : 1. Una manuera des!ara aua a raz"n de #
m
3
/¿
min !on $elo!idad de %& m's
desde la (o(a de un )ote de )om)eros. Determine el em(u*e desarrollado (or el motor (ara mantener al )ote en (osi!i"n esta!ionaria. Re!ordad +ue la densidad de la !orriente del aua, - 1&&& /' m
3
.
Solución: Datos del problema: Q=#
m
3
/¿ min
3
8 60
m sg
$ %& m's 3 ρagua =1000 kg / m
Cantidad de mo$imiento ini!ial0
V A &
2m3
4rin!i(io de Im(ulso 5 !antidad de mo$imiento0
F x i + F y j ¿ ( ∆ t )=( ∆ m) v F x i + F y j =
∆m ∆ t $
( )( dm v dt
cos35 °i + sen 35 °
j)
El em(u*e del motor $iene dado (or la !om(onente de la 6uerza en 70
dm
Em(u*e del motor F x = dt v cos35 °
Donde0
dm =¿ -8 dt
3
8 m kg 1000 3 ∗( ) 60 sg m
8000 60
kg sg 199.99
kg sg
(
F x =
133.33
)( )
kg ∗ sg
50
m ∗cos35 ° %:;1N 5.46 k. sg
El em(u*e desarrollado (or el motor de)e de ser iual a %.:;/N.
!eacciones en soportes de paletas: <. Un !=orro de aire a alta $elo!idad sale de la )o+uilla A !on una $elo!idad
V A
>
una raz"n de ?u*o de masa de &.9; /'s. El aire in!ide so)re una (aleta o!asionando +ue ire =asta la (osi!i"n mostrada. @a (aleta tiene una masa de ; /. Si se sa)e +ue la manitud de la $elo!idad del aire es iual en A > B, determine a3 la manitud de la $elo!idad en A, )3 las !om(onentes de las rea!!iones en O.
Solución: Datos del problema: dm kg 0.36 dt sg m paleta ;/ Su(onamos +ue la $elo!idad del !=orro de aire es la misma en A > B0
V A =V B =V
A(li!ando el (rin!i(io de im(ulso > !antidad de mo$imiento0
Momento so)re O0
&.1&3 Δm3 v &.<%&3 " Δt ) &.1%&3 Δm3 v !os%& &.%&&3 Δm3 v sen %& &.1&3 Δm3 v &.1%&3 Δm3 v !os%& &.%&&3 Δm3 v sen %& &.<%&3 " Δt ) v F&.1&3 Δm3 &.1%&3 Δm3 !os%& &.%&&3 Δm3 sen %&G &.<%&3 " Δt ) dm dt ( 0.250 )W Δ t ¿ v Δ m (0.190 )+( 0.150 ) cos50 ° +(0.500 ) sen 50 ° ¿ (0.250 )W 0.66944
¿
( 0.250 m ) ( 6 kg ) ( 9.81 m ) sg
v A
2
0.66944 m
∗1
kg sg
0.36
Com(onentes en 70
2m3 $ R x ( ∆ t ) 2m3 $ sen %& R x ( ∆ t ) 2m3 $ sen %& 2m3 $
¿ R x
Δm ( ) ¿ $ sen %& $3 ∆ t
¿ R x dm ( ) v ¿ sen %& 13 dt
R x R x
(
kg sg
0.36
)(
61.058
)
m (sen 50 ° + 1 ) sg
&'%.%(
Com(onentes en >0
R y ( Δt )−W ( Δt ) =−( Δm) v cos50 ° R y ( Δt )=W ( Δt ) −( Δm ) v cos50 °
v A
6#.$5%
m / sg
R y =
R y =
W ( Δt )−( Δm ) v cos 50 °
( Δt ) W ( Δt ) ( Δm) v cos 50 ° − ( Δt ) ( Δt )
R y =W −
( Δm ) v cos 50 ° ( Δt ) 50 °
( dm ) R y =W − v cos 50 ° ( dt ) R y =¿
)( (
)
m cos ¿ sg ( 6 kg ) 9.81 m2 −¿ sg 61.058
)
44.)'
R= √ (−38.82 ) +( 44.73 ) 2
=
tan α
(
kg sg
0.36
2
5*.(
44.73 38.82
−1 44.73
α = tan (
38.82
R %.
) :.&:
:.&:
Empuje desarrollado por un ventilador: 9. Un $entilador de (iso, diseHado (ara arro*ar aire a una $elo!idad má7ima de ; m's en una estela de :&& mm de diámetro, está sostenido (or una )ase !ir!ular de <&& mm de diámetro. Si se sa)e +ue el (eso total del ensam)le es de ;& N > +ue su !entro de ra$edad se u)i!a dire!tamente (or en!ima del !entro de la (la!a )ase, determine la altura = má7ima a la !ual de)e o(erarse el $entilador (ara +ue no se $uel+ue. Su(ona +ue la densidad del aire es - 1.<1 /' m del aire.
3
> des(re!ie la $elo!idad de a(ro7ima!i"n
Solución: Datos del (ro)lema0
V aireFinal = 6
m sg
kg - 1.<1
3
m
V aireingreso =0 Base <&& mm &.< m 4eso del !on*unto ;&N V aireinal −V aireingreso dm 3 F = ¿ dt V aireinal −0 F = ρ ! ¿ 3 4ara 8 tasa de ?u*o de $olumen3 tenemos +ue su $elo!idad de asto seKn su !entro de ra$edad entrea0
8
8
V aireinal∗ " ∗d
2
4
6
m ∗" ∗(0.4 )2 sg &.<:L 4
3
m sg
6
m sg
3 3 %.:: N kg m F =(1.21 3 )( 0.24 " )¿ sg m
DC@0 @a uerza e*er!ida so)re el $entilador (or el ?u*o de aire es iual > o(uesta al em(u*e. Cuando el $entilador está a (unto de $ol!arse la uerza normal N se a(li!a en D.
# $ =0 e$itando el mo$imiento3 6 = 5 &.1m3 & %.::N = ;& N &.1 m 6 &m %= 5.474 & #.$*6m
Sistemas +ue ,anan o pierden masa: :. Un autom"$il de *uuete se im(ulsa mediante aua e7(ulsada desde un tan+ue interno. El (eso del autom"$il $a!o es de &.: l) > (uede !ontener < l) de aua. Si se sa)e +ue la ra(idez má7ima del autom"$il es de # t's, determine la $elo!idad relati$a del aua +ue se e7(ulsa desde el tan+ue interior.
Solución: Datos del problema: W va'io =0.4 l ( )an*ue =2 l( V max ❑auto =8
t sg
A(li!ando el (rin!i(io de im(ulso > !onser$a!i"n de mo$imiento en un sistema de (art!ulas +ue (ierdan masa tenemos0
Com(onentes en 70 m v + 0=( Δm )( v + u cos 20° )+( m + Δm)( v + Δv )
∆ v =u cos20 °
Δm m + Δm ∆v
Reem(lazamos
(or el dieren!ial de $elo!idad d$ >
dieren!ial de masa 5dm, nos +ueda0
d v =−u cos20 °
v
dm m interando nos +ueda0 m m0
m
∫ dv =∫ −u cos20 ° dm m v0
m0
ln ¿
¿
20 ° ¿
v −v 0=−u cos ¿ m0 m Siendo
v 0 &
ln ¿
¿
20 ° ¿
v =u cos ¿
Δm (or el (e+ueHo
@a $elo!idad má7ima se da !uando m m el (eso del !o!=e $a!o. 0.4 + 2
