Problemas de Masa Capitulo 18 y 25

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Problemas

Universidad de Guanajuato División de Ciencias Naturales y Exactas Campus Guanajuato Departamento de Ingeniería Química Transferencia de masa IQ20311 Dr. Agustín R. Uribe Ramírez “Problemas de distribuciones de concentración en sólidos y flujo laminar” Presentan: Barba Piña José Lorenzo Alejandro Rodríguez Badillo Héctor Hugo López Gonzales Luis Arturo Muñoz Ruiz Francisco Escobar Rizo Omar Valles Gabriela

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Problemas

INDICE

Página

I.

Resumen--------------------------------------------------------------------------4 a 36

II.

Distribuciones de concentración en sólidos y flujo laminar (18. Bird) 18.A1--------------------------------------------------------------------------46-37 18.A2---------------------------------------------------------------------------39 18.A3---------------------------------------------------------------------------40 18.A4---------------------------------------------------------------------------41 18.A5---------------------------------------------------------------------------42 18.A6---------------------------------------------------------------------------43 18.A7---------------------------------------------------------------------------44 18.B1---------------------------------------------------------------------------45 18.B2---------------------------------------------------------------------------46 18.B3---------------------------------------------------------------------------49 18.B4---------------------------------------------------------------------------49 18.B5---------------------------------------------------------------------------52 18.B6---------------------------------------------------------------------------54 18.B7---------------------------------------------------------------------------56 18.B8--------------------------------------------------------------------------18.B9-------------------------------------------------------------------------18.B10-------------------------------------------------------------------------58 18.B11-------------------------------------------------------------------------60 18.B12-------------------------------------------------------------------------62 18.B13-------------------------------------------------------------------------63 18.B14-------------------------------------------------------------------------66 18.B15------------------------------------------------------------------------18.B16-------------------------------------------------------------------------68 18.B17-------------------------------------------------------------------------68

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Problemas

18.B18------------------------------------------------------------------------70 18,B19-----------------------------------------------------------------------18.C1--------------------------------------------------------------------------71 18.C2--------------------------------------------------------------------------73 18.C3--------------------------------------------------------------------------78 18.C4-------------------------------------------------------------------------18.C5--------------------------------------------------------------------------79 18.D1--------------------------------------------------------------------------81 18.D2--------------------------------------------------------------------------83 III.

Fundamentos de la transferencia de masa (25. Welty) 24.1---------------------------------------------------------------------------86 24.2---------------------------------------------------------------------------86 24.3---------------------------------------------------------------------------87 24.4---------------------------------------------------------------------------88 24.5--------------------------------------------------------------------------24.6---------------------------------------------------------------------------89 24.7--------------------------------------------------------------------------24.8---------------------------------------------------------------------------89 24.9---------------------------------------------------------------------------90 24.10-------------------------------------------------------------------------24.11--------------------------------------------------------------------------91 24.12--------------------------------------------------------------------------92 24.13--------------------------------------------------------------------------92 24.14-------------------------------------------------------------------------24.15-------------------------------------------------------------------------24.16--------------------------------------------------------------------------93 24.17--------------------------------------------------------------------------93

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Problemas

RESUMEN Ecuaciones Diferenciales de la Transferencia de Masa. Balance total de masa (Ecuación de Continuidad) Balance microscópico de masa total para un elemento diferencial de volumen estacionario y fijo en el espacio aplicando la expresión general: Salidas-entradas + generación = acumulación En este caso no hay término de generación, por el principio de conservación de materia. Esto es cierto excepto en el caso de reacciones nucleares en las que la masa puede convertirse en energía y viceversa, pero en todos los sistemas de interés en Ingeniería Química se puede admitir que la masa se conserva como tal. La deducción se hará en coordenadas rectangulares y un volumen de control Euleriano de dimensiones x, y y z. la viscosidad del fluido en un punto,  y Vx, Vy, Vz las componentes de la velocidad.

Vx Vz

z

z  z

y

Vy

x

z

Vy y

Vx

x

x  x

y

Vz x

z

y  y

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Problemas

Cantidad de masa de entrada al elemento diferencial:

Vx x yzt  V y y xzt  Vz z yxt Cantidad de masa de salida del elemento diferencial:

Vx

x  x

yzt  V y

y  y

xzt  Vz

z  z

yxt

Cantidad de masa acumulada en el volumen de control en  t:

 t xyz   t  t xyz

Cantidad de masa generada en el elemento diferencial: Generación = 0 Entradas - Salidas + generación = acumulación Para este caso: Entradas – Salidas – acumulación = 0

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Problemas

Vx x yzt  V y y xzt  Vz z yxt -

Vx

x  x

yzt  V y

y  y

xzt  Vz

z  z

yxt  xyz   xyz t t  t -

=0

Reagrupando términos:

( Vx

x  x

 Vx x )yzt  ( V y

y  y

 V y )xzt  ( Vz y

z  z

 Vz z )yxt

 (  t  t   t )xzy  0 Dividiendo la expresión anterior por: x, y, z y t:

( Vx

x  x

 Vx x )

x



( V y

y  y

 V y ) y

y



( Vz

z  z

 Vz z )

z



(  t  t   t ) t

0

tomando el limite cuando x, y, z y t tienden a cero:

Lim

( V x

x 0

x  x

 V x x )

x

 Lim

( V y

y  y

y 0

 V y )

y

y

 Lim z 0

( V z

z  z

 V z z )

z

 Lim t 0

(  t  t   t ) t

     ( V x )  ( V y )  ( V z )  0 t x y z

Esta última expresión es el balance microscópico total de masa o la llamada ecuación de continuidad, en su forma vectorial se escribe:

     ( V )  0 t Donde:  = densidad del fluido (Kg/m3) V = velocidad del fluido (m/s).

0

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Problemas

El primer termino de esta ecuación es el termino de acumulación, y nos da la variación con el tiempo de la masa ( por unidad de volumen) dentro del elemento diferencial de control, y el segundo termino nos indica la velocidad neta de masa ( por unidad de volumen) que atraviesa los limites del volumen diferencial de control. El termino de generación. Como ya se había mencionado, es igual a cero. La ecuación deducida, se puede expresar en forma Lagrangiana, realizando las derivadas parciales de los productos Vi:

V y V V       x  Vx   Vy   z  Vz 0 t x x y y z z

Agrupando términos:

 V x V y V z       0  Vx  Vy  Vz      t x y z y z   x

Que en forma vectorial nos queda:

    V      V  0 t

Aplicando el concepto de derivada sustancial:

 D    V  0 Dt

Que es la ecuación de continuidad en forma Lagrangiana. Caso Particular. Una forma muy importante de la ecuación de continuidad es la que corresponde a un fluido incompresible, para el cual la densidad es constante, es decir, no varia ni con la posición ni con el tiempo. En este caso, la ecuación de continuidad se reduce a:

  V  0

fluidos incompresibles.

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Problemas

LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE TRANSFERENCIA DE MASA

xyz Analizando el volumen de control

, a través del cual está fluyendo una mezcla.

Volumen de control diferencial nAz

z z

y nAx

x

z nAy

y y

nAy

y

z

x nAx

x x

y nAz

z

x

La expresión de volumen de control para la conservación de masa es:



   v  n  dA  t 

C .S

c .v

dV  0

La cual en palabras se puede escribir como

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Problemas



Rapidez neta de    acumulación de masa dentro  del volumen de control   



Rapidez neta de flujo  de  masa que sale del    volumen de control  

0

Si se estudia la conservación de especie determinada, resta relación debe incluir un término que corresponde a la producción o desaparición de A pro medio de una reacción química que ocurra dentro del volumen. La relación general para el equilibrio de la masa de la especie A es:



Rapidez neta de    acumulación de masa de A dentro   del volumen de control   



Rapidez neta de flujo  de  Rapidez neta de producción      de A dentro del volumen    masa de A que sale del     volumen de control de control    

La rapidez neta de flujo de masa del volumen de control se puede calcular tomando en cuenta la masa transferida a través de la superficie de control. La masa de A transferida a través del área

 A v A. x y z x , en x, será

, sería

. Por lo tanto la rpidez de flujo de masa de la

n A, x y z x  x  n A. x y z x En la dirección de x:

n A, y x y y  y  n A. y y xz

y

En la dirección de y:

n A, z y x z  z  n A. z y x z En la dirección de z: Por lo que la acumulación de A en el volumen de control es

 A xyz t

, o en función

n A , x y z x

n A   Av A del flujo , especie A, será:

sz

0

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Problemas

Si A se produce dentro del volumen de control por medio de una reacción química a una rapidez rA, donde rA tiene la unidades (masa producida de A)/ (volumen)(tiempo), por lo que el término de rapidez de producción de A es:

rA xyz

Si se suman cada uno de los términos de flujo y acumulación se obtiene la ecuación:

n A, x y z x  x  n A, x y z x  n A, y x z  n A, z x y z  z  n A, z x y z 

y  y

 n A, y x z

y

 A xyz  rA xyz  0 t

xyz Dividiendo la ecuación anterior entre el volumen obtiene la expresión.

n A, x

x  x

 n A, x

x

x 

n A, z

z  z

 n A, z

z

 z

n A, y

y  y

 n A, y

del elemento diferencial se

y

y 

 A  rA  0 t

xyz Tomando el límite cuando

n A, x x



n A, y y



n A, z z



tienden a cero, se obtiene

 A  rA  0 t

Ecuación de continuidad del componente A

n A, x n A, y n A , z En la cual se observa que son las componentes recatangulares del vector de flujo de masa nA y la ecuación de continuidad se puede escribir como

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Problemas

  nA 

 A  rA  0 t

Para un componente B se obtiene una ecuación semejante siguiendo el mismo procedimiento.

n B , x x



n B , y

  nB 

y



n B , z z



 B  rB  0 t

 B  rB  0 t

Donde el termino rB representa la r´pidez con la que se producira B dentro del volumen de control por una reacción química. Sumando las ecuaciones de continuidad para componente A y B

   n A  nB  

  A   B    rA  rB   0...............(1) t

Para la mezcla binaria A y B se tiene

n A  n B   A v A   B v B  v

A  B   rA  rB

Sustituyendo estas ecuaciones en 1 se obtiene

   

 0 t

Ecuación de continuidad para la mezcla la ecuación de continuidad de la mezcal y de una especie dada , se pueden escribir en función de la derivada sustancial.

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Problemas

   

D 0 Dt

la ecuación de continuidad de la especie A en función de la derivada sustancial es

D A    j A  rA  0 Dt

para unidades molares es de modo semejante, donde RA representa la rapidez de producción molar B por unidad de volumen, las ecuaciones se expresan.

Componente A:

 NA 

c A  RA  0 t

componente B:

  NB 

c B  RB  0 t

para la mezcla

   N A  NB  

 c A  cB    R A  RB   0 t

por lo que la para las mezcla binaria de A y B se tienen las relaciones.

N A  N B  c A v A  c B v B  cv c A  cB  c

cuando la estequiometría de la reacción es

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Problemas

A B

en la cual se establece que se produce una mol de B por cada mol de A que desaparece

  cV 

c   R A  RB   0 t

Ec. de continuidad de la mezcla en unidades molares FOMAS ESPECIALES DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE TRASNFERENCIA DE MASA Las formas especiales de la ecuación de continuidad válidas en situaciones especiales , aparecen a continuación. Para utilizarlas se remplazan los flujos nA y NA

N A  cD AB y A  y A  N A  N B ...........(1)

que es equivalente a

N A  cD AB y A  c AV .........................(2)

para la ecuación

n A   D AB  A   A  n A  n B ............(3)

su equivalente es

n A   D AB  A   A v........................(4)

al sustituir la ecuación 3 en:

  nB 

 B  rB  0 t

se obtiene

   D AB  A     A v. 

 A  rA  0.......................(5) t

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Problemas

al sustituir ecuación 1 en

 NA 

c A  RA  0 t

se obtiene

   cD AB y A    c AV . 

c A  R A  0.......................(6) t

cualquiera de las ecuaciones 5y 6 se pueden usar en la descripción de perfiles de concentración dentro de sistemas de difusión. Estas dos ecuaciones son completamente generales, sin embargo son relativamente complejas. Las anteriores ecuaciones se puede simplificar haciendo suposiciones restrictivas.  Si la densidad, y el coeficiente de difusión se pueden suponer constante, la ecuación se transforma en.

 D AB  2  A   A   v.  v   A  rA  0...........(7)

dividiendo la ecuación entre el peso molecular de A y se reordena se obtiene.

v  c A 

c A  D AB  2 c A  R A ...............(8) t

si no hay término de producción, R A=0 y si los coeficientes de densidad y difución se suponen constantes la ecuación anterior se reduce a:

c A  v  c A  D AB  2 c A ..........(9) t como

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Problemas

 c A  

  v  c A

t 

es la derivada sustancial de cA, por lo que la ecuación se reduce a:

Dc A  D AB  2 c A ...........(10) Dt

que es una ecuación análoga a la de transferencia de calor.

DT k   2T   2T .......(11)......(12) Dt c p



donde es la difusividad térmica. La semejanza entre estas dos ecuaciones sirve de base para las analogía señaladas entre transferencia de calor y masa. En una situación en la cual no exista movimiento del fluido, v=0, ni término de producci´+on, RA=0, ni variación alguna en la difusividad o en la densidad. La ecuación

c A  v  c A  D AB  2 c A .........(13) t se reduce a:

c A  D AB  2 c A t

Ley de Fick de la difusión

la ecuación de la ley de Fick es análoga a la segunda ley de conducción de calor:

dT   2T dt

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Problemas

las ecuaciones 8,9 y 13 se pueden simplificar , cuando el proceso esta en estado

c A t  0 permanente; es decir y una difusión constante.

y la ecuación correspondiente a una densidad constante

v  c A  D AB  2 c A  R A

cuando la densidad es constante , lo mismo que la difusividad y no hay producción química, se obtiene.

v  c A  D AB  2 c A

si además v=0 la ecuación se reduce a

 2 ca  0 Ecuación de Laplace

todas las ecuaciones descritas anteriormente estan en su forma vectorial , por lo cual todas son válidas en cualquier sistema ortogonal de coordenadas para realizar la transformación se realiza escribiendo el operador Laplaciano, forma adecuada. Por lo que la segunda ley de Fick de la difusión

Ley de Fick en Coordenadas Rectangulares

  2 c A  2 c A  2 ca  c A  D AB    2  2 t y 2 z   x Ley de Fick en Coordenadas Cilíndricas

2

, en su

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Problemas

  2 c A 1 c A 1  2 c a  2 c A  c A  D AB      2 t r r r 2  2  2   r

Ley de Fick en Coordenadas Esféricas

 1   2 c A  c A c   2cA  1   1  D AB  2  r   2  sin  A   2  t r  r sin      r sin   2   r r 

Ecuación de Continuidad de A en Coordenadas Rectangulares

c A  N A, x N A, y N A, z       RA t  x y z 

Ecuación de Continuidad de A en Coordenadas Cilíndricas

c A  1   rN A, x  1 N A, N A, z       RA t  r r r  z 

Ecuación de Continuidad de A en Coordenadas Esféricas

N A c A  1  2 1   N A, sin    2 1  2 r N A, r  2 t  r r r sin   r sin  







  RA 

CONDICIONES DE FRONTERA ENCONTRADAS USUALMENTE

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Problemas

La condición inicial en los procesos de transferencia de masa es la concentración de la especie en difusión la principio del intervalo de tiempo bajo estudio, expresada ya sea en unidades molares o en unidades de concentración de masa

t0 c A  c A0 en unidades molares las condiciones de frontera que generalmente se encuentran  Se puede especificar la concentración de una superficie. Esta concentración puede estar en función de la concentración molar,cA=cA, de fracciones molares, yA=yA1 en gases o xA=xA1, en líquidos y sólidos; de concentración de masa,

 A   A1

 A   A1 o de fracción de masa,

j A  j A1  El flujo de masa en la superficie puede estar especificado, por ejemplo

o

N A  N A1

En ingeniería los casos de interés incluyen aquel en el que el flujo es cero debido a una superficie impermeable y aquellos en los que el flujo se especifica como:

j A, Z   D AB

d A dz

z 0

 La rapidez de la reacción química puede estar especificada , por ejemplo. Si A desaparece en la frontera debido a una reacción química de primer orden, se

N A1  k1c A1 puede escribir . Cuando la especie en difusión desaparece en la frontera debido a una reacción instantánea , la concentración de la especie se supone, a menudo igual a cero.  Cuando un fluido fluye en la fase para la cual está descrita la ecuación de masa, la especie puede perderse de la fase de interés por medio de la transferencia convectiva de masa. El flujo de masa en la frontera se define como:

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Problemas

N A1  k  c A1  c A 

c A Donde es la concentración de la corriente de fluido adyacente a la superficie y k el coeficiente de transferencia de masa de convección. ESTUDIO DE CASOS DE TRANSFERENCIA DE MASA. Difusión a través de una película gaseosa estancada. Consideremos el sistema de difusión que se muestra en la figura. El líquido A se evapora en el seno del gas B, e imaginemos que mediante un artificio es posible mantener el nivel del líquido en z=z1. la concentración de la fase gaseosa, expresada en fracción molar, exactamente en al interfase líquido-gas, es xA1. se admite que la concentración de A en la fase gaseosa es la correspondiente al equilibrio con el líquido de la interfase; es decir , que xA1 es la relación entre la presión de vapor de A y la presión total, P vap/p, suponiendo que A y B forman una mezcla gaseosa ideal. Finalmente, se supone que la solubilidad de B en el líquido A es despreciable. Por la parte superior del tubo (para z = z 2) circula lentamente una corriente de mezcla gaseosa A-B cuya concentración es xA2, de forma que la fracción molar de A en la parte superior de la columna permanece constante e igual a xA2. se supone que todo el sistema se mantiene a temperatura y presión constante, y que los gases A y B se comportan como ideales. Cuando el sistema alcanza el estado estacionario, existe una movimiento neto de A alejándose de la superficie de evaporación, mientras que el vapor B permanece estacionario.

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Problemas

Solución. Debido a que se trata de se utilizan ejes fijos se puede utilizar la siguiente ecuación.

Densidad de flujo con respecto a ejes estacionarios

N AZ  cD AB

=

Densidad de flujo que resulta de la difusión

+

Densidad de flujo con resulta del flujo global

x A  x A  N AZ  N BZ  z

Debido a que la densidad de flujo molar de B en dirección z es muy pequeña se puede despreciar por lo cual la ecuación nos queda.

N AZ  x A N AZ  cD AB

N AZ  

x A z

cD AB x A .............(1) 1  x A z

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Problemas

Aplicando un balance de materia en el elemento diferencial

SN AZ z  SN AZ

z  z

 0.................. 2

Dividiendo la ecuación dos entre el volumen (SN) y tomando el límite cuando queda finalmente la ecuación



z  0

dN AZ  0...........(3) dz

Sustituyendo la ecuación 1 en la ecuación 3 se obtiene

d  cD AB dx A    0 dz  1  x A dz  Para mezclas gaseosas ideales, a T y P constantes, c es una constante la difusividad es independiente de la concentración. Por consiguiente cDAB puede salir fuera de la derivada, quedando.

d  1 dx A    0 dz  1  x A dz  Integrando una vez con respecto a z se obtiene



1 dx A    C1 1  x dz A   

Volviendo a integrar se obtiene.

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Problemas



dx  1 xA 



  C1dz 

 ln 1  x A   C1z  C 2...........( 4) Para encontrar el valor de las constantes se tiene las siguientes condiciones límite C.L. 1

cuando z=z1

xA=xA1

C.L 2

cuando z=z2

xA=xA2

De acuerdo a estas las condiciones limite tenemos

 ln 1  x A1   C1z1  C 2...........(5)  ln 1  x A 2   C1z 2  C 2...........(6) De la ecuación 5 se tiene

C 2  ln 1  x A1   C1z1 ...........(7) Sustituyendo la ecuación 7 en la 6

ln 1  x A 2   C1z 2 ln( 1  x A1 )  C1z1 ...........(8) Despejando C1 se tiene

C1 

 1  x A2  1  x A1

ln 

z2 z 1





 

1    z 2  z1 

 



 1  x A2  ln    1 x A1  

 

  .....................(9)   

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Problemas

DIFUSIÓN CON REACCIÓN QUÍMICA HETERGÉNEA

Consideremos un reactor catalítico, tal como se indica en la figura, en el que se realiza la

2 A  A2 reacción de dimerización . Un sistema de este arreglo de complejidad no puede describirse exactamente mediante un desarrollo teórico. Sin embargo, se puede obtener cierta información analizando un modelo altamente simplificado. Cada partícula esta rodeada por una película gaseosa estancada a través de la cual

2 A  A2 difunde para alcanzar la superficie del catalizador. Suponiendo que la reacción se produce instantáneamente en la superficie catalítica, y que el producto A 2 difunde después en sentido contrario a través de la película gaseosa hasta alcanzar la corriente turbulenta del gas que consta de A y de A2 . se trata de encontrar una expresión para la velocidad local de conversión de A en A2, cuando se conocen el espesor efectivo de la película gaseosa , y las composiciones globales xA0 y xA20 de la corriente. Se supone que la película gaseosa es isotérmica , aunque para muchas reacciones catalíticas no se pude despreciar el calor que se genera en la reacción.

Solución De acuerdo a la estequiometría de la reacción, se mueve un mol de A 2 en la dirección z negativa por cada dos moles de A que se mueven en la dirección Z positiva. Por consiguiente se establece la siguiente relación en estado estacionario.

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Problemas

1 N A2 z   N AZ ........(1) 2 De acuerdo con esto y utilizando la ecuación

N AZ  cD AB

x A  x A  N AZ  N BZ ...........(2) z

Considerando B=A2 Sustituyendo la ecuación 1 en 2

N AZ 

x 3 N Az  cD AB A ................(3) 2 z

N AZ 

 cD AB dx A ................( 4) 1  1 x A dz 2





Aplicando ahora un balance de materia para la especie A a una delgada lámina de la película gaseosa de espesor z.

SN AZ z  SN AZ

z  z

 0.................. 5

Dividiendo la ecuación dos entre el volumen (SN) y tomando el límite cuando queda finalmente la ecuación



dN AZ  0...........(6) dz

Ahora suponiendo en la ecuación 4 que cDAA2 es una constante se obtiene.

z  0

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Problemas

d  1 dx A   0...........(7) dz  1  1 x A dz  2  

Integrando con respecto a z se obtiene



1 dx A   C1...........(8)  1  1 x dz  2 A   

Integrando nuevamente



dx A  1 1 x 2 A 





  C1dz...........(9)  

1    2 ln  1  x A   C1z  C 2...........(10) 2   De acuerdo a las condiciones límite siguientes C.L 1

para z=o

xA = xA0

C.L 2

para z=

xA= 0

Aplicando condiciones limite a ecuación 10 Condición límite 1

1    2 ln  1  x A0   C1 0   C 2...........(11) 2  

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Problemas

1   C 2  2 ln  1  x A0  ...........(12) 2   Condición límite 2

1    2 ln  1   0    C1  C 2...........(13) 2  

1   2 ln  1   x A 0   2   ..........(14) C1 



Sustituyendo ecuación 12 y 14 en 10 se tiene

 1  2 ln  1  x A0  z  1   1   2   2 ln  1  x A    2 ln  1  x A0  ....................(15)   2   2  1 1   z   1  2 x A0  ln  1  x A     1 ln  ....................(16)  2      1  1 x A0  2   

Aplicando antilogaritmo se obtiene finalmente



1   1   1  x A    1  x A0   2   2 

 z   

1

Para obtener la densidad de flujo molar a travéz de la película se obtiene a partir de la ecuación 4 integrando entre los límites de z=0 z= y x=0 x=xA0

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Problemas

N AZ dz 

dx .  cD AB ..............(4.1) 1  1 xA 2







 N AZ z 0  ln 1  1 x A 2





0 x A0

  cD AB ..............(4.2)



N AZ   ln 1  1 x A0   cD AB ..............( 4.3) 2

N AZ 

  cD AB  



ln 1  1 x A0 2



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Problemas

DIFUSIÓN CON REACCIÓN QUÍMICA HOMOGÉNEA Consideremos el sistema que se indica en la figura

En este caso el gas A se disuelve en el líquido B y difunde en al fase líquida. Al mismo tiempo que difunde, la sustancia A sufre una reacción química irreversible de primer orden:

A  B  AB

Solución Realizando el balance de materia en el elemento diferencial (entrada –salida + producción =0) se obtiene

N Az z S  N Az z  z S  k1C A Sz  0..................(1) k 1 En la expresión anterior es una constante de velocidad de primer orden para la descomposición química de A, S es un área característica de la sección transversal del líquido. Debido a la reacción química es necesrio incluir un termino que nos represente la

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Problemas

k1C A velociad de producción o desaparición de A, por lo tanto representa el número de moles de A que desaparecen por unidad de volumen y unidad de tiempo. Para simplificar la ecuación anterior se divide entre un volumen Sz,

N Az z  N Az z  z z

 k1C A  0..................(2)

Tomando el límite cuando

z  0

. Se obtiene finalmente

dN Az  k1 c A  0............(1) dz De acuerdo a la ecuación

N AZ  cD AB

x A  x A  N AZ  N BZ  z

Dado que A y AB estan en bajas concentraciones obteniendose

N Az  cD AB

x A dc   D AB A ...............(2) z dz

Sustituyendo la ecuación 2 en 1 se obtiene

 D AB

d 2cA  k1 c A  0...............(3) 2 dz

Las condiciones límite para este problema son La concentración en la superficie se mantiene en un valor fijo cA0 C.L 1 cuando z=0 cA=cA0 La difusión en el fondo del recipiente es muy pequeña, por lo que puede despreciarse . C.L.2 cuando z=L NAz=0

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Problemas

Reacomodando la ecuación 3 se tiene

 2 c A kcA  D AB z 2 a dim ensionaliz ando C 

cA c A0

y 

y y0



y W

 2 C  c A0 kC  c A0  D AB  2W 2  2 C  kW 2   C D AB  2 consideran do kW 2 2 D AB m2   2  0

Donde

a0 b   2 m  

Por tanto la solución se puede plantear

C  C1e   C 2e  .............(4) Condiciones límite

 0  1 Para

C 1 dC 0 d

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Problemas

C1  C 2  0

dC  C1e   C 2e  d Sustituyendo condiciones límite

0  C1e   C 2e 

C1e   1  C1e   0 C1e   e   C1e   0

e  e   e 

C1 

C2  1

e  e  e 

Sustiuyendo en la ecuación 4 se obtiene

C 



C  

C

e  e       e e 1   e   e  e   e    1    e e  e   e   e  e     e e 











e    1  e   1 .............(5) e   e 

Tomando en cuenta el numero adimensional (Modulo de Thiele)



kW 2 D AB

Así como las relaciones

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Problemas

e x  ex 2 x e  e x sinh x  2 cosh x 

Sustituyendo en la ecuación 5 se obtiene finalmente

C

cosh    h  1  ..............(6) cosh   

Para calcular el flux difusivo se obtiene a partir de la ecuación 6

dC   sinh    h  1  d cosh     D AB c A0 dC D C j   AB A0 sinh     1  W d cosh  W D c j A y 0  AB A0 sinh    W cos 

jA

y 0



D AB c A0  tanh  ..........(7) W

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Problemas

DIFUSIÓN EN UNA PELÍCULA LÍQUIDA DESCENDENTE: TRANSFERENCIA DE MATERIA POR CONVECCIÓN FORZADA. Consideremos concretamente la absorción de un gas A por una película laminar descendente del líquido B. La substancia A es solo ligeramente soluble en B, de forma que la viscosidad del líquido no varía apreciablemente. Tomar en cuenta que la difusión en la película líquida tiene lugar tan lentamente que A “penetra” muy poco en B( la distancia de penetración es pequeña en comparación con el espesor de la película). El sistema a estudiar se representa en al figura siguiente.

Después de realizar el balance de cantidad de movimiento en ausencia de transferencia de materia para obtener el perfil de la velocidad en una película se obtiene la ecuación. No considerando los efectos finales.

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Problemas 2   x  v z ( x)  v máx  1         

De acuerdo al problema se observa que c A variará con x y con z. por lo tanto, como elemento diferencial para aplicara el balance de materia se elige un volumen formado por la intersección de un espesor z con otro de espesor  x. por lo cual el balance general queda representado con la siguiente ecuación.

N Az z Wx  N Az

z  z

Wx  N Az x WZ  N Ax

x  x

Wz  0

Para simplificar la ecuación anterior se divide entre un volumen

N Az z  N Az z

z  z



N Az x  N Ax

Tomando el límite cuando

x  x

x z  0

y

Wzx

se obtiene

0

x  0

N Az N Az   0............(1) z x

Para la densidad de flujo molar se utiliza la ecuación

N AZ  cD AB

x A  x A  N AZ  N BZ  z

De acuerdo al problema, el componente A se mueve en dirección z debido principalmente a la convección o flujo, por lo cual la contribución por parte de la difusión puede considerarse despreciable. Y la densidad de flujo molar en dirección z resulta.

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Problemas

N AZ  x A  N AZ  N BZ ..........(2) Por el contrario en la dirección x, A se transporta esencialmente por difusión, y no existe prácticamente transporte convectivo debido a que A no es muy soluble en B, por lo que se obtiene.

N Ax   D AB

c A  x A  N Ax  Nx  x

N Ax   D AB

c A ...................(3) x

Sustituyendo ecuaciones 2 y 3 en 1 se llega a la ecuación diferencial

vz

c A  2cA  D AB .............(4) z x 2

Estableciendo las condiciones límite.

Sustituyendo el perfil de velocidad de la película en la ecuación 4



 x v máx  1       

2

 c A  2cA  D AB 2 ..................(5)   z x 

C.L.1 Al inicio del experimento cuando z=0 la concentración de A es cero Cuando Z=0

CA =0

C.L 2 En al dirección x , cuando inicialmente la película esta constituida por B puro y la concentración del líquido en al interfase ser toma como la solubilidad de A en B , que se designa como CA0

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Problemas

Cuando x=0 CA =CA0

C.L.3 Debido a que la solubilidad de A es muy pequeña en B se establece la condición

Cuando

x 

c A 0 x

Sin embargo debido a que la ecuación diferencial 5 es no lineal y de segundo orden, la solución es complicada, por lo cual se deben tomar en cuenta las consideraciones siguientes válidas para facilitar su resolución. La sustancia A penetra una pequeña distancia en la película, por lo cual la especie A tiene la impresión de que la película se mueve toda ella con una velocidad igual a vmáx. Considerando que la penetración de A no es muy grande , esta no llegara jamas a la

x 

pared sólida situada en . Por lo tanto, si la película tuviese un espesor infinito y se moviera con la velocidad vmáx, el material que difunde no notaría la diferencia, con estas consideraciones la tercera condición límite se modifica y la ecuación 5 se simplifica.

C.L.1 Al inicio del experimento cuando z=0 la concentración de A es cero Cuando Z=0

CA =0

C.L 2 En al dirección x , cuando inicialmente la película esta constituida por B puro y la concentración del líquido en al interfase ser toma como la solubilidad de A en B , que se designa como CA0 Cuando x=0 CA =CA0

C.L.3

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Problemas

Debido a que la solubilidad de A es muy pequeña en B la concentración de A cerca de la pared o en infinito es cero.

Cuando

x

Ca  0

Debido a A penetra muy poco



2  2cA  x   c A v máx  1      D AB 2 ..................(6)   z x    

c A  2c A v máx  D AB 2 ..................(6) z x c A   , z  0 x

Por lo tanto Adimensionalizando ecuación 6

C

cA c A0

x  z   L



Sustituyendo en la ecuación 6

vmáx C A0 2 c C A0  2 c    0.................(7) D AB L   2  2 Considerando

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Problemas

v máx 4 a D AB L

c  2 c a   0.................(8)   2 Condiciones límite

c   ,0   0 c(0,  )  0 c ( ,  )  0

Aplicando transformada de Laplace

 ( f ( x, z ))  F ( x, s) 

 ( f ( x, z ))   f ( x, z )e  sz dz 0

 F ( x, Z )    sF ( x, s )  f ( x,0) z  



  f ( x, z )  F ( x, s )   x  x 



Aplicando a ecuación 8

2   a ( s    , S )   c   ,0  )  0  2

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Problemas

2   as  0  2

d2y dy a  by  0 2 dx dx equivale m 2  am  b  0 Soluciones reales y diferentes

y  C1e m1x  C 2e m 2 x Soluciones real e igual

y  C1e m1 x  C 2e m 2 x

Soluciones complejas

y  C1sen (mx)  C 2 cos( mx)

m 2  as  0 m   as

  C1e

as

 C 2e 

0  C1e   C 2e  1  C1  C 2 s C1  0 C2 

1 s

as

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Problemas

1   e s

1  e s

as

a 2 s

c ( ,  )   1    , s  

 e a  s

 



  erfc a   2 t 

s

  

 

c  erfc 

 



a 2 



Vmáx 2 2    D AB L   4

 2  

  erfc  

  x vmáx   C A  C A0  efrc  2 D z  AB   







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Problemas

PROBLEMAS (18 A.1, R. BYRON BIRD - WARREN E. STEWART - EDWIN N. LIGHTFOOT) Velocidad de evaporación. Para el sistema que se muestra en la figura, ¿Cuál es la velocidad de evaporación en g/h de CCl 3NO2 (cloropicrina) en aire a 25°C? Hacer la suposición de costumbre de que el aire es una sustancia pura.

Presión total:

770mmHg

Difusividad (CCl3NO2-aire): 0.088 cm2/s Presión de vapor de la cloropicrina: 23.81mmHg Distancia del nivel de líquido hasta la parte superior del tubo: 11.14cm Densidad de la cloropicrina CCl3NO2 Área de la superficie de líquido es puesta a la evaporación: 2.29cm2 Solución: Usando el subíndice A para la cloropicrina y B para el aire: El balance en el volumen diferencial de control tomado en la figura quedaría: NAz S( z)  NAz S( z  z )

0

Dividiendo sobre el volumen y aplicando el límite cuando Δz tiende a cero lim

z  0

 NAz S(z)  NAz S(z  z )  S z

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Problemas

Se obtiene:

−∂ N Az =0 ∂z Integrando se obtiene:

Az=¿ C 1 N¿ Separando el flux total de A en la suma del flux difusivo más el convectivo se obtiene que: NAz

JAz  NAz  NTz

Sustituyendo JAz por la ley de fick:

−D AB

∂C A + X A ( N Az+ N Bz ) =C1 ∂z

Suponiendo que la velocidad de B es cero y que la concentración total es constante:

−CD AB

∂XA =C1 (1−X A ) ∂z

Separando e integrando se llega a: N J  variables N N Az

Az



ln 1  XA

Az Tz C1  z  C2 C DAB



Las condiciones límite utilizadas serian: La fracción de A en z=z1 es XA0





XA z

z1

XA1

La fracción de A evaluada en z=z2 seria





XA z

z2

XA2

El valor de las constantes obtenido es: C2 C1





ln 1  XA1 C DAB z2  z1



 1  XA2      1  XA1  

  ln 



NAz

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Problemas

Una vez teniendo el flux de A puede obtenerse la velocidad de evaporación de A. C .1 =

C D .AB z.2  z.1



 X .B2    = N .Az X .B1   

  ln



Considerando al sistema como gas ideal: PV

nRT

PR

n

T

V

C

Además, usando las ley de las presiones parciales: PB1 P

PB2

XB1

XB2

P

Sustituyendo estos resultados en el flux de A: NAz

P RT



DAB

 z2  z1

 PB2 

 ln 



 PB1 

En Z=2 la presión total es la presión ejercida por B, debido a la corriente de B puro que pasa en la parte superior del tubo. Si se considera una temperatura ambiente de 25°C, los datos necesarios para resolver la ecuación son: P  770mmHg

Pcloropicrina  23.81mmHg

PB2  770mmHg PB1  P  Pcloropicrina R  0.082

atm L K  mol

2 T  299K cm DAB  0.088 s

 z2  z1  11.14cm

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Problemas

Sustituyendo los datos en la ecuación del flux: DAB  PB2  P  4 mol NAz    ln   1.051  10  R T  z2  z1 2    PB1  m s

La velocidad de evaporación es igual al flux por el área:  8 mol

VA  NAz A  2.407  10

s

Para obtener el resultado en g/h se utiliza el peso molecular de la cloropicrina. 6g

VAg  3.957  10

s

g VAg  0.014 hr

(18A.2, R. BYRON BIRD - WARREN E. STEWART - EDWIN N. LIGHTFOOT) Sublimación de esferas de yodo en aire inmóvil. Una esfera de yodo de 1cm de diámetro, esta situada en aire inmóvil a 40°C y 747mm Hg de presión. A esta temperatura la presión de vapor del yodo es aproximadamente 1.03mm Hg. Se desea determinar la difusividad del sistema yodo-aire midiendo la velocidad de sublimación. Para ayudar a determinar condiciones experimentales razonables, a) Estima la difusividad del sistema yodo-aire a la temperatura y presión dadas, usando los parámetros de la fuerza intermolecular en la tabla E1; b) Estime la velocidad de sublimación basándose sus cálculos en la ec. 18.2-27. (supóngase que r2 es muy grande.) Este método se ha utilizado para medir difusividad, aunque es susceptible de ser cuestionado debido a la posible importancia de la convección libre. a)

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Problemas

A  I2

B  aire

M  253.81   4.982 A&

M  28.97

A

T  40 C  313.15K o



p  747 mmHg  0.983atm

kA

 550 K

 B  3.617 A&   97.0 K kB

AB 1   A  B  2  4.2995 A&

 AB   AB  

k AB



 k  k 

k AB



 550   97 

A

B

313.15  1.356 230.98  1.253

kT /  

 230.98 K  D , AB

b)

 1  x A 2 4 cDAB ln   1 r1    1 r2   1  x A1 r2  

WA 

 1  xA 2   1  x A1

WA  4 r1cDAB ln  c p

RT

WA  4 r1

pDAB  p  ln   p p   RT vap 

  0.983  0.0883 0.983   ln     0.983  1.03    82.06   313.15  WA  2.95 108 g / s WA  4  0.5m  

WA  1.06 104 g / h (18A.3, R. BYRON BIRD - WARREN E. STEWART - EDWIN N. LIGHTFOOT) Estimación del error al calcular la velocidad de absorción. ¿Cuál es el error máximo posible al calcular la velocidad de absorción a partir de la ecuación 18.5-18, si la

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Problemas

solubilidad de A en B se conoce con un error de

y la difusividad se conoce con un

error de ? Supóngase que las cantidades geométricas y la velocidad se conoce con mayor precisión. Figura (18ª.4) de la ecuación 18.5-18 :

simplificando la siguiente ecuación obtenemos:

donde K es el producto de cantidades conocidas. Donde el error en pequeños errores en

Dividiendo por

y

resulta de

es:

se obtiene la expresión fraccional error :

Donde, el porcentaje de error máximo absoluto, en la calculación de condiciones obtenidas es:

bajo las

(18 A.4, R. BYRON BIRD - WARREN E. STEWART - EDWIN N. LIGHTFOOT) Absorción del cloro en una película descendente. Se absorbe cloro de un gas en una pequeña torre experimental de pared mojada .el fluido absorbente es agua, que se mueve a una velocidad media de 17.7 cm/s. ¿Cuál es la probabilidad de absorción en g-mol/h, si la difusividad en la fase liquida del sistema cloro-agua es 1.26x10 -5 , y si la concentración de saturación de cloro en agua es 0.823 g de cloro por 100g de agua ( estos son los valores experimentales a 16°c )las dimensiones de la columna se proporcionan en la figura. Solución: La velocidad de absorción se predice por la ecuación. 18.5-18, que puede ser reescrita en términos de la velocidad media de película mediante el uso de la ecuación. 2,2-20:

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Problemas

W A =W LC

A0

√

w A=2 πr LCA 0

4 D AB V max πL

√

Ecuación 18.5-18

6 D AB ( v z ) πL

La solubilidad es:

C A 0=ρ ω A 0 / M A ≈(0.998 g soln/cm 3 )(0.00823 g Cl 2 /g soln) / ( 70.91 g Cl2 / gmol Cl2 ) −4

¿ 1.16 x 10 gmol Cl2 /cm

3

Entonces la absorción predicha es:

w A=2 π ( 1.4 x 13 cm2 ) ( 1.16 x 10−4 gmol Cl 2 /cm3 )

√

6 ( 1.26 x 10 cm / s ) ( 17.7 cm/ s ) π ( 13 cm )

¿

7.58 x 10−5 gmol =0.273 gmol/hr s

−5

2

(18. A5, R. BYRON BIRD - WARREN E. STEWART - EDWIN N. LIGHTFOOT) Medición de la difusividad por el método de la fuente puntual Se desea diseñar un sistema de flujo a fin de utilizar los resultados del problema 18C.1 para medir DAB. La corriente de aproximación de B puro debe dirigirse verticalmente hacia arriba, y la composición del gas se medirá en varios puntos a lo largo del eje z. a

Calcular la velocidad de inyección del gas WA en g-mol/s necesaria para producir una fracción molar xA ≈

0.01 en un punto situado a 1cm corriente debajo de la

fuente, en un sistema de gas ideal a 1 atm y 800°C, si v0=50cm/s y DAB ≈ b

¿Cuál es el error máximo permisible en la posición radial de la sonda para obtener muestras del gas, si la composición medida x A debe estar dentro de un margen de 1% del valor de la línea central?

Respuesta a

5cm2/s

La solución a la ecuación diferencial es:

−(v 0 /2 D AB)( s−z) WA c A= exp ⁡¿ 4 π D AB s

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Problemas

Directamente corriente abajo de la fuente, la distancia s se reduce a z, por lo tanto

c A=

la ecuación toma la forma:

WA 4 π D AB z

Entonces

W A =4 π D AB s ( 0.01c )

( 0.01RT p )

¿ 4 π D AB s

cm 2 ( 1 cm ) s

( )

¿4 π 5

((

0.01 ( 1 atm ) 82.06

atm cm 3 × ( 1073 K ) mol k

)

)

¿ 7.1× 10−6 mol/s

b

Expansión de s en potencias de r2 a z constante nos da:

√

s= √ z 2+ r 2=z 1+

s−z=z

[

[

1 r2 −… 2 z2 2

[

r2 1 r2 =z 1+ −… 2 z2 z2

]

] ]

z 1r =z 1− 2 +… s 2z

−(v 0 /2 D AB )( s−z ) WA z c A (r , z)= exp ⁡¿ 4 π D AB z s

[

][ ( ) [

] ]

v0 1 r2 1 r2 ¿ c A ( 0, z ) 1− 2 +… 1− z −… +… 2z 2 D AB 2 z2

IQ-20311

Problemas

v0 z r4 1+ +O 4 2 D AB z 2 1r 1− 2 ¿ 2z ¿ c A ( 0, z ) ¿

( ) ( )

c A (r , z)

y

x A (r , z)

deben ser menores al 1% de su valor de línea central,

tan largo como el término de segundo orden sin que el grupo al cuadrado exceda 0.01. La desviación de rs del colector de muestra del eje, a las condiciones dadas debe satisfacer entonces: 2

r s ≤(0.01)

2z 1+v 0 z /2 D AB 2

1+(50 cm/ s)(1 cm)/(2 ×5 cm /s ) ¿ ( 0.02 ) (1 cm 2) ¿ ¿ ¿ 0.00333 cm2 r s =√ 0.00333 cm2=0.058 cm (18. A6, R. BYRON BIRD - WARREN E. STEWART - EDWIN N. LIGHTFOOT) Determinación de la difusividad para un sistema éter-aire. Los datos siguientes sobre la evaporación de éter etílico (C2H5OC2H5) fueron tabulados por Jost. Los datos son para un tubo de 6.16mm de diámetro, presión total de 747mm Hg y temperatura de 22 ºC. Disminución del nivel del éter (medido desde el extremo abierto del tubo), en mm desde 9 hasta 11 desde 14 hasta 16 desde 19 hasta 21 desde 24 hasta 26 desde 34 hasta 36 desde 44 hasta 46

Tiempo, en segundos, necesario para la disminución indicada de nivel 590 895 1185 1480 2055 2655

El peso molecular del éter es 74.12, y su presión de vapor a 22 ºC es 480 mm Hg. Puede suponerse que la concentración de éter en el extremo abierto del tubo es cero. Jost proporcionó un valor de DAB para el sistema éter-aire de 0.0786 cm2/s a 0 ºC y 760 mm Hg.

IQ-20311

Problemas

Usar los datos de evaporación para encontrar DAB a 747 mm Hg y 22 ºC, suponiendo que la media aritmética de las longitudes de la columna de gas puede usar para z2-z1 en la figura 18.2-1. Además, supóngase que la mezcla éter-aire es ideal y que la difusión puede considerarse como binaria. Convertir el resultado a DAB para 760 mm Hg y 0 ºC usando la ecuación 17.2-1 Resultado a) Eq. 18.2-17 da

0.2 disminuye el nivel Valores calculados para los 6 intervalos de tiempo: (z2-z1), av., cm 1.0 1.5 2.0 ∆t para ∆z1=-0.2 cm 590 895 1185 DAB, cm2/s 0.0780 0.0771 0.0779 El promedio de estos valores: 0.07785 cm2/s b)Usando la ecuación 17.2-1 en su forma polar da:

2.5 1480 0.0777

3.5 2055 0.0784

4.5 2655 0.0780

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Problemas

(18A.7, R. BYRON BIRD - WARREN E. STEWART - EDWIN N. LIGHTFOOT) Densidad de flujo de masa desde una burbuja en circulación. a) Usar la ec. 18.5-20 para estimar la velocidad de absorción de CO 2 (componente A) desde una burbuja de dióxido de carbono de 0.5 cm de diámetro que asciende en agua pura (componente B) a 18°C y una presión de 1 atm. Pueden usarse los datos siguientes: DAB=1.46x10-5 cm2/s, C=0.041 g-mol/litro, ν=22 cm/s. b) Volver a calcular la velocidad de absorcion usando los resultados experimentales de Hammerton y Garner, quienes obtuvieron una k c media con respecto a la superficie de 117cm/h

c  0.041g  mol / litro  0.041 103 g  mol / cm3 a)

 N A  media   N A  media 

4 DABt c A0 3 D 4  1.46 10 5   22 

  0.5 

 0.04110  3

 N A  media  1.17 106 g  mol / cm2 s b)

kc  117cm / h  0.0325cm / s

 N A  media  kc  cA0  cAb  c Ab  0

 N A  media  0.0325  0.041103   N A  media  1.33 106 g  mol / cm 2 s (18. B1, R. BYRON BIRD - WARREN E. STEWART - EDWIN N. LIGHTFOOT) Deducción alternativa de la difusión a través de una película estancada. En la ecuación 18.2-14 del problema 18.2 se obtuvo una expresión para calcular la velocidad de evaporación al deferencial el perfil de concentración que se encontró unas líneas antes. Demostrar que los mismos resultados pueden deducirse sin tener que encontrar el perfil de concentración. Nótese que en estado estacionario NAZ es una constante según la ecuación 18.2-3. Luego, la ecuación 18.2-1 puede integrarse directamente para obtener la ecuación 18.2-14

IQ-20311

Problemas

Teniendo la ecuación 18.2-1

1 dX A N   AZ 1  X A dz cDAB Podemos dejarlo expresado en términos de XB

N 1 dX B   AZ X B dz cDAB



Por el método de variables separables integrando desde los limites que son X B1 y XB1, Z1 y Z2. Xb 2

dXb N Xb1 Xb  cDAZAB

ln

Z2

 dz

Z1

Xb1 N AZ  ( Z 2  Z1 ) Xb1 cDAB

N AZ 

cDAB Xb 2 ln Z 2  Z1 Xb1

A lo cual llegamos a la misma ecuación 18.2-14 (18B.2, R. BYRON BIRD - WARREN E. STEWART - EDWIN N. LIGHTFOOT) Error al despreciar el término de convección en la evaporación a) Volver a trabajar el problema planteado en el texto en el tema 18.2 despreciando el término XA(NA + NB) en la ecuación 18.0-1. Desmostrar que así se llega a

NA= z

c D AB ( x −x ) z 2−z 1 A 1 A 2

Ésta es una aproximación útil si A está presente sólo en concentraciones muy bajas. b) Obtener el resultado del inciso a), a partir de la ecuación 18.2-14 haciendo la aproximación apropieda. c) ¿Qué error se comete en la determinación de D AB en el ejemplo 18.2-2 si se usa el resultado del inciso a)? Respuesta: a) Usando la ecuación 18.0-1 despreciando el termino convectivo queda de esta manera

N A =−c D AB z

dx A dz

Ecuación 18.0-1 Despues se utiliza la ecuacion 18.2-1

NA= z

−c D AB dx A 1−x A dz

Ecuación 18.2-1 Sustituimos la ecuación 18.2-1 en la ecuación 18.2-3

IQ-20311

Problemas

−dN A =0 dz z

Ecuación 18.2-3

d c D AB dx A =0 dz 1−x A d z

(

)

Se reduce a esta expresión 2

d xA dz

2

=0

Separamos e integramos

∫d

dx A =∫ 0 dz dz

( )

dx A =C1 dz

∫ d x A=C 1∫ d z x A=C 1 z +C 2 A continuación aplicamos las condiciones limite

x A 1=C 1 z 1+ C2 x A 2=C 1 z 2+ C2

Estas ecuaciones se puede resolver simultáneamente para dar C1 y C2

C1 =

−x A 1−x A 2 z 2−z 1

C2 =x A 1+

x A 1−x A 2 z z 2−z 1 1

Por lo tanto, en la aproximación que se considera aquí, el perfil de concentracion en el sistema está dada por

x A 1 −x A z−z1 = x A 1 −x A 2 z 2−z 1

b) Para obtener el resultado en a) de la ecuación 18.2-14, podemos ampliar este último entre otras cosas una serie de Taylor, como se hizo en obtener la ecuación 18.2-16

N Az ¿Z=Z = 1

−c D AB d x A ¿ 1−x A 1 dz Z=Z

1

IQ-20311

Problemas

N Az ¿Z=Z = 1

c D AB d x B ¿ x B 1 dz Z= Z

1

XB 2

N Az ¿Z=Z =c D AB ∫ 1

XB 1

N Az ¿Z=Z = 1

Z2

d xB 1 xB ∫ dz Z 1

c D AB x ln( B 2 ) z 2−z 1 xB1

Ecuación 18.2-14 Combinamos las ecuaciones 18.2-13 y 18.2-14, se obtiene finalmente

x B , media=

x B 2 −x B 1 ln ( x B 2−x B 1 )

Ecuación 18.2-13

1 =x A 1−x A 2 x B 2−x B 1

Se obtiene esta ecuación

x B ¿ln ¿ (z 2−z 1 )¿ c D AB N Az ¿Z=Z = ¿ 1

Ecuación 18.2-15 Al desarrollar la solución de la ecuación 18.2-15 en una serie de Taylor, puede obtenerse

N Az ¿Z=Z = 1

c D AB (x A 1−x A 2 ) 1 1 [1+ ( x A 1 + x A 2 ) + ( x 2A 1 + x A 1 x A 2+ x 2A 2 ) + …] (z 2−z 1 ) 2 3

c) V= 0.0208 m3

ρ = 1.59 g/cm3

M= 154 g/mol A= 0.82 cm2 t= 10 h Δz= 17.1 cm p= 755 mm de Hg T= 0°C

N A=

Vρ MAt

g ) 3 cm N A= 2 4 (154 g/mol)(0.82 c m )(3.6 X 1 0 s ) (0.0208 c m3 )(1.59

IQ-20311

Problemas

N A=

7.26 X 1 0−9 g /mol c m2 s

D AB=

D AB=

N A RT −d x A p( ) dz z

N A RT (z 2−z 1) p ( x A 1−x A 2 ) z

D AB=

(7.26 X 1 0−9 )(82.06)(273)(17.1) 755 33 [ −0] 760 755

( )( )

D AB=0.0641 c m2 / s Error=

0.0641−0.0636 ∗100=0.79 0.0636

Problemas Transferencia de masa Capítulos 18 Bird y 25 Welty

Error =0.79 (18B3, R. BYRON BIRD - WARREN E. STEWART - EDWIN N. LIGHTFOOT) Efecto de la velocidad de transferencia de materia sobre las perfiles de concentración. a Combinar el resultado de la ece 18.2-11 con el de la eca.18.2-14 para obtener  N ( z  z1) 1  xA  exp  AZ  1  x A1 cDAB  

b c

Obtener el mismo resultado por integración directa de la ecuación 18.2-1, usando el hecho de que NAZ es constante. Obsérvese lo que ocurre cuando la velocidad de transferencia de materia se vuelve pequeña. Expanda la ecuación 18.B3-1 en una serie de Taylor y conserve solo dos términos, como es apropiado para NAZ pequeña. ¿ que ocurre con las líneas ligeramente curvas en la figura 18.2-1 cuando N AZ es muy pequeña?

Respuesta a)  N ( z  z1) 1  xA  exp  AZ  1  x A1 cDAB  

Sustituyendo la ecuación 18.2-11  N ( z  z1) 1  xA  exp  AZ  1  x A1 cDAB  

 z  z1/ z 2  z1



 exp 

N AZ ( z  z 1)  cDAB 

RESPUESTA B)



x2

x A1

1 N dx A   AZ 1  xA cDAB



z

z1

dz

Evaluando las integrales obtenemos  ln

1  xA N   AZ ( z  z1) 1  x A1 cDAB

Despejando el logaritmo y eliminando los signos negativos llegamos a la solución a)  N ( z  z1) 1  xA  exp  AZ  1  x A1 cDAB  

Respuesta C)

 N ( z  z1) 1  xA  1   AZ   ........... 1  x A1 cDAB   x A  xA1 

N AZ ( z  z1) cDAB

que tiene la ecuación de una línea recta. (18B.4, R. BYRON BIRD - WARREN E. STEWART - EDWIN N. LIGHTFOOT) Absorción con reacción química. a Volver a trabajar el problema que se analizo en el texto en s18.4, pero tomando en Z=0 como el fondo del vaso de precipitado y z=L como la interface gas-liquido. La solución de problema es similar al ejercicio 18.4, considere el planteamiento igual hasta la ecuación 18.4-4

56


2

D AB

d −K 1CA=0 dz 2

Se establecen las condiciones límite de la siguiente manera: C.L.1 en Z=L CA=CA0 C.L:2 en Z=0 NAZ=0 Adimensionalizamos la ecuación para trabajar, multiplicamos por

L2 /C A 0 D AB

Y obtenemos:

d2 Γ 2 −ϕ Γ =0 2 dζ Donde

Γ=C A /C A 0

Es una concentración a dimensional

ζ =Z / L

Es una longitud a dimensional

ϕ= √ K 1 L2 / D AB

Es un grupo adimensional llamado modulo de thiele

Ahora nuestras condiciones limite son: C.L.1 en �=1 �=1 C.L:2 en

dΓ =0 dζ

�=0

Esta ecuación tiene una solución general que es:

Γ=C 1Coshϕζ +C 2 Senhϕζ

(Ver apéndice C) Y llegamos a dos ecuaciones simultáneas:

1=C 1 Coshϕ+C 2 Senhϕ

∴ C2=0

0=0+C 2 ϕ Se obtiene:

Γ=

cosh ϕζ cosh ϕ

Volviendo a la notación original, llegamos a (perfil de Concentración):

CA = C A0

cosh

√ √

K 1 L2 Z D AB L

K 1 L2 cosh D AB

Despejando CA, y aplicando la ley de fick

57


N AZ ¿ Z=L =D AB

dCA ¿ dZ Z=L

Tenemos:

N AZ ¿ Z=L =D AB

¿

d C dz A 0

C A 0 D AB ϕ L

cosh

√ √

K 1 L2 Z D AB L

K 1 L2 cosh D AB

=

C A 0 D AB dΓ C D ϕSenh ϕζ = A 0 AB L dζ ¿ζ =1 L cosh ϕ ¿ ζ =1

Tanhϕ

Se llega al mismo resultado que en el ejercicio 18.4 b

Al resolver la ecuación 18.4-7, la solución se tomo como la suma de dos funciones hiperbólicas. Trate de resolver este problema usando la solución igualmente valida

Γ=c 1 exp ( ϕζ )+ c 2 exp ⁡(−ϕζ ) Partimos de la ecuación:

d2 Γ −ϕ2 Γ =0 2 dζ Establecemos nuestras condiciones de frontera, que serán las mismas que en el caso anterior. C.L.1 en �=1 �=1 C.L:2 en

dΓ =0 dζ

�=0

Con estas condiciones llegamos a dos ecuaciones simultáneas:

1=c 1+C 2

ϕ

−ϕ

0=C 1 ϕ e −C 2 ϕ e

Resolvemos y obtenemos el valor de las constantes: −ϕ

C 1=

1 e = ϕ −ϕ 2ϕ 1+e e +e

C 2=

e2 ϕ eϕ = 2ϕ ϕ −ϕ 1+e e +e

Sustituyendo las constantes:

1 ϕ (1−ζ ) −ϕ (1−ζ ) [e +e ] e e e e 2 Γ= ϕ −ϕ + ϕ −ϕ = 1 ϕ −ϕ e +e e +e [e +e ] 2 −ϕ

ϕζ

ϕ

−ϕ ζ

58


Usando las definiciones de las funciones hiperbólicas podemos expresarlas de la siguiente manera:

Γ=

cosh [ ϕ ( 1−ζ )] Coshϕ

Esta es la misma expresión que se obtuvo antes. c ¿En qué sentido se simplifican los resultados en las ecuaciones 18.4-10 y 18.4-12 para L muy grande y para L muy pequeña? Interprete físicamente los resultados. Se

escribe

N AZ ¿ Z=0=

la

D AB C A 0 L

ecuación

√

18.4-12

de

la

siguiente

manera.

√

K 1 L2 K 1 L2 tan h D AB D AB

Para L muy grande tenemos que la Tanh ( ∞ )= 1 por lo tanto nuestra expresión

se reduce a:

N AZ ¿ Z=0=

D AB C A 0 L

√

K 1 L2 D AB

Luego reducimos a ( L2 sale de la raíz y se elimina con L , y el termino de �AB entra a la raíz como �AB2 y nos queda):

N AZ ¿ Z=0=C A 0 √ D

AB

K1

Hacemos un análisis similar para L muy pequeño (L=0) Se escribe la ecuación 18.4-12 de la

D C N AZ ¿ Z=0= AB A 0 L

√

siguiente

manera.

√

K 1 L2 K 1 L2 tanh D AB D AB

Para L muy pequeño tenemos que la Tanh ( 0 )= 0 por lo tanto nuestra expresión se reduce

N AZ ¿ Z=0 L → 0 0 ¿ Si la distancia L es muy pequeña, prácticamente el Flux es cero, ya que la transferencia en una distancia tan pequeña es despreciable. De manera similar para la ecuación 18.4-10 Escribimos la ecuación de la siguiente forma:

√

√

√

CA K1 K 1 L2 K1 =cosh z −tanh sinh z C A0 D AB D AB D AB Para L tendiendo a infinito tenemos Tanh ( ∞ )= 1:

59


CA K1 K1 = z−tanh ∞ sinh z C A0 D AB D AB

√ √

√

CA K1 K1 = z−sinh z C A0 D AB D AB

√ [√ ]

Por lo tanto:

CA K1 =exp − z C A0 D AB

Para L tendiendo a cero tenemos que la Tanh ( 0 )= 0, por lo tanto.

CA K1 =cosh z C A0 D AB

√

(18B.5, R. BYRON BIRD - WARREN E. STEWART - EDWIN N. LIGHTFOOT) Absorción de cloro por ciclohexeno. El cloro puede ser absorbido de mezclas Cl 2-aire por olefinas disueltas en CCl4. Se encontró que la reacción de Cl2 con ciclohexeno (C6H10) es de segundo orden con respecto al Cl2 y de cero orden con respecto al C6H10. Por tanto, la velocidad de desaparición de Cl2 por unidad de volumen es

k 2 c 2A

(donde A designa

el Cl2). Vuelva a trabajar el problema 18.4, donde B es una mezcla C 6H10-CCl4, suponiendo que la difusión puede tratarse como seudobinaria. Supóngase que el aire es esencialmente insoluble en la mezcla C6H10-CCl4. Considere que la fase liquida es suficientemente profunda, de modo que L puede tomarse como infinita. a) Demuestre que el perfil de concentración esta dado por

[ √

cA 0 k c = 1+ 2 A 0 z cA 6 D AB

]

2

b) Obtenga una expresión para la velocidad de absorción de Cl2 por el liquido. c) Suponga que una sustancia A se disuelve en y reacciona con una sustancia B de modo que la velocidad de desaparición de A por unidad de volumen es alguna función arbitraria de la concentración,

f (C A) .

Demuestre que la velocidad de

absorción de A esta dada por

√

c A0

N AZ|z=0 = 2 D AB ∫ f ( C A ) d c A 0

Usar este resultado para comprobar el resultado del inciso b). Solución

60


a)

d2 c A D AB −k 1 c A =0 dz 2

Conocemos que

Debido a que tenemos una reacción de segundo orden, la ecuación anterior tiene que ser remplazada por 2

Ecuación 1 D AB

d cA dz

2

2

−k 1 c A =0

Haciendo un análisis dimensional

c=

cA c A0

Ϛ=

Y

√

k 2c A0 z 6 D AB

Sustituyendo en nuestra ecuación Ecuación 1, obtenemos una ecuación diferencial de la forma siguiente. 2

d c −6 c 2=0 2 dϚ Condiciones límite.

c ( 0 )=1 y c ( ∞ )=0 Por lo tanto

dT d2 c dp dp ( ) = p c de tal modo que = = 2 dϚ dc d Ϛ dϚ

( )( dϚdc )= p( dpdc )

p

dp =6 c 2 dc

Ecuación diferencial de primer orden y de variables separables. Tomando nuestros limites de integración, tomaremos condiciones tales que:

Ϛ=∞ , c=0 y tambien

dc = p ( c )=0 dϚ

Integrando p

c

∫ pdp=∫ 6 c 2 dc 0

0

1 2 p =2 c 3 2

o también se puede expresar como

1 =( 1+Ϛ )2 c

La expresión final del perfil de concentraciones es

61


[ √

cA 0 k c = 1+ 2 A 0 z cA 6 D AB

]

2

b) a partir del resultado de a) se obtiene la velocidad de absorción en la interfase gaslíquido.

N AZ|z=0 =−D AB

dcA dz

| √ =

z=0

2 3 k c D 3 2 A AB

d) La ecuación a resolver

−D AB

d2c A dp f ( c A ) + f ( c A ) =0 o p = 2 d c A D AB dz

Se observa que igual que antes se introduce la variable p, ahora integramos y se obtiene que

√

cA

p

cA

dc 1 2 ∫ ´p d ´p = D ∫ f ( c´ A ) d c´ A o p= dzA =− D ∫ f ( c´ A ) d c´ A AB 0 AB 0 0 Segunda integración. cA

∫ c AO

1

d c´ A

√(

2 D AB

)

=−∫ dz=−z

ć A

∫ f ( c´ A ) d c´ A

0

0

Diferenciando ambos términos con respecto q z

dc A dc =−1 y A dz dz

1

√(

2 D AB

ć A

)∫ f ( ć ) d ć A

|

A

√(

=−

z=0

2 D AB

cA 0

)∫ f (c )d c A

A

0

0

(18-B.6, R. BYRON BIRD - WARREN E. STEWART - EDWIN N. LIGHTFOOT) Experimento con dos bulbos para medir la difusividad de un gas: Análisis en estado casi estacionario. Una forma de medir las difusividades de un gas por medio de un experimento con dos bulbos. El bulbo izquierdo y el tubo desde z=-L hasta z=0, se llenan con el gas A. el bulbo derecho y el tubo desde z=0 hasta z=+L se llenan con el gas B. En el instante t=0 se abre la llave de paso y empieza la difusión; luego las concentraciones de A en los dos bulbos

x A bien agitados cambian. Se mide

AB

deduce

como una función del tiempo, y a partir de esto se

. Se desea deducir las ecuaciones que describen la difusión.

62


x A

x A

Debido a que los bulbos son grandes en comparación con el tubo, y cambian muy lentamente con el tiempo. Por lo tanto, la difusión en el tubo puede tratarse como un

x A

xA problema en estado casi estacionario, con las condiciones límite de que

=

para z=-



xA x A L1 y que x= A  1para  x z=+L. A

x  A (t )

Lave de paso

∞ Volumen V

Z=-L

Z=L

Z=0

∞ Volumen V

La fracción molar en el Todo bulboelizquierdo sistema gaseoso está en p y T Laconstantes. fracción molar en el bulbo derecho

Figura 18B.6. Bosquejo de un aparato de dos bulbos para medir difusividades de gases. Los agitadores en los dos bulbos mantienen

Escribir un balance molar con respecto a A sobre un segmento Δz del tubo (con sección

N Az  C1

transversal de área S) y demostrar que

SN Az

z

 SN Az

z z

es una constante.

0

a) Demostrar que la ecuación 18.0-1 se simplifica para este problema a:

N Az  cAB

dx A dz

N Az  cAB

dx A dz

b)

dN Az dz  0 División por Δz, tomando como límite Δz=0, dando, ecuación 18.0-1 de este problema y esto se simplifica así:

N Az  cAB

N Az  constate ó

. La

dx A dx  x A ( N Az  N Bz )   N Az  cAB A dz dz

63


N Az   N Bz Desde , esto es verdad, porque en el sistema en la constante c para toda molécula de A se mueve hacia la derecha y la molécula de B se mueve hacia la izquierda. a) Integrar esta ecuación, usando el inciso (a). sea C2 la constante de integración.

dN A dz   (

N Az  constate La ecuación de b con

xA  

N Az ) cAB

con

, cuando se integra pasa:

N Az  C1 cAB xA  x A

b) Evaluar la constante requiriendo que

En

x A

zL

para

z  L

xA  xA y

así que:

N   Az L  C1 cAB

Restando las siguientes dos ecuaciones, entonces:

xA  x  A  

N Az ( L  z) cAB x A  x  A (o1  x  A )

c) Luego, hacer

para

z  L

N Az despejar

y obtener finalmente:

1 c N Az  (  xA  ) AB 2 L Con

z  L

xA  x

 A

sabemos que:

 1 x

(1  x  A )  x  A 

 A

N Az ( L  ( L)) cAB

; por lo tanto, d) Hacer un balance de materia para la sustancia A sobre el bulbo derecho para obtener:

1 c dx  A S (  x  A ) AB  Vc 2 L dt En el balance de masa obtenido el estado del bulbo derecho con una velocidad de cambio de moles con V con la ecuación más exacta con la velocidad de moles de V por difusión y finalmente en el tubo. Entonces:

64


d (Vcx  A )  SN Az dt

Vc

dx  A 1 SAB  S (  x A )  dt 2 L

ó Donde: S=sección transversal conectando al tubo.

x A c) Integrar la ecuación del inciso f) a fin de obtener una expresión para

que

AB contenga

1  x A SAB ln( 2 )  ( t) 1 LV 2 La ecuación se integra así:

dx  A S  1    LVAB dt  C2 x A 2

SAB 1  ln(  x  A )  dt  C2 2 LV

Ó La constante de integración posiblemente se obtiene mediante el factor t=0, sabemos que

1 C2   ln(  0) 2 la fracción molar de A en el bulbo derecho es igual a cero, o

.

Para ello:

1 (  x A ) SAB 2  exp( t) 1 LV 2

1 1 SAB ln(  x  A )  ln   t 2 2 LV Ó

AB

d) Sugerir un método para graficar los datos experimentales a fin de evaluar Graficamos esta ecuación:

1  x A LV  ln( 2 ) 1 S 2 vs t (18B.7, R. BYRON BIRD - WARREN E. STEWART - EDWIN N. LIGHTFOOT) Difusión desde una gotita suspendida. Una gotita de liquido A, de radio r 1, está suspendida en una corriente del gas B. Se postula que hay una película de gas estancada esférica de radio r2 que rodea a la gotita. La concentración de A en la fase gaseosa es XA 1 para r=r1 y XA2 para el borde exterior de la película r=r2

65


a) Por medio de un balance de envoltura, demostrar que para difusión en estado

r 2 NAr es una constante en el interior de la película de gas, e

estacionario

r 12 NAr, el valor en la superficie de la gotita.

igualar al constante a

b) Demostrar que la ecuación 18.0-1 y el resultado en el inciso a) llevan a la siguiente

r1

ecuación para XA:

2

NAr1 =

−cDAB 1− XA

r2

dXA dr

c) Integrar esta ecuación entre los limites r1 y r2 para obtener NAr1 =

r2 r1 )ln cDAB ¿ r 2−r 1

XB 2 XB 1 a) 4π r

2

NAr

2

r

- 4π (r + Δr)

NAr r +Δr = 0

Dividiendo todo entre 4πΔr y aplicando el limite 2

2

4 π r NAr r −4 π ( r+ Δr) NAr r + Δr 4 πΔr 2

=0

2

r NAr r −(r + Δr) NAr r + Δr Δr

(

2

=0

2

r NAr r −(r + Δr) NAr r + Δr lim Δr Δr→ ∞

1

)

=0

d 2 dr ( r NAr) = 0 Resolviendo la ecuación diferencial 2

¿r d¿ NAr) = ∫¿

∫ 0 dr

r 12 NAr = C1 b) Como NAr = -cDAB

dXA dr

+ XA(NAr + NBr)

Suponiendo que NBr no está en movimiento se considera cero,

66


dXA dr

NAr – XA(NAr) = -cDAB

NAr(1-XA) = -cDAB

dXA dr

−cD AB NAr = (1− XA)

dXA dr

Si multiplicamos ambos lados de la ecuación por

r

c)

2

−cD AB 2 r (1− XA)

NAr =

r 2 NAr

dr r2

r2

=

∫ r 2 N Ar

dr r2 =

r 2 NAr (

1 r1

r1

r 2 NAr(

dXA dr

−cD AB (1− XA)

dXA

XB 2

AB dX A ∫ −cD (1−XA)

XB 1

-

r2 –r 1 r 2r1

NAr = - cDAB (ln

r2

1 r2

) = - cDAB (ln (1-XB2 ) – ln(1- XB1 ))

) = -cDAB (ln

(1− X B 2) (1− X B 1) )

r 2r 1 (1− X B 2) ¿ 2 (1− X B 1) ) ( r ( r 2−r 1)

(18B.10, R. BYRON BIRD - WARREN E. STEWART - EDWIN N. LIGHTFOOT) Mezclas con evaporación constante. Tolueno (1) y etanol (2) se evaporan a z=0 en un tubo vertical, a partir de una mezcla binaria líquida de composición uniforme x₁ a través de nitrógeno estancado (3), con nitrógeno puro en la parte superior. Las difusividades desiguales del tolueno y el etanol a través del nitrógeno desplazan las velocidades de evaporación relativas a favor del etanol. Analizar este efecto para un sistema isotérmico a 60° F y 760 mm Hg de presión total, si las difusividades pronosticadas a 60 °F son cD₁₂= 1.53 x 10⁻⁶, cD₁₃= 2.98 x 10⁻⁶, cD=₂₃= 4.68 x 10⁻⁶ g-mol/cm∙ s. A) Usar las ecuaciones de Maxwell-Stefan para obtener los perfiles y α (z) de fracción molar en la fase de vapor en estado estacionario en términos de las densidades de

67


flujo molar Nαz en este sistema ternario. A partir de las ecuaciones de continuidad para las tres especies, se sabe que las densidades de flujo molar son constantes. Debido a que el nitrógeno tiene una solubilidad despreciable en el líquido a las condiciones dadas, N3z =0. Como condiciones límite sean y1=y2=0 para z =L, y sean y1=y10 y y2=y20 para z=0, los últimos valores quedan por determinar. Demuestre que:

y

( z )  e A( L  z )

3

y ( z)  1

D D  C  C  B( L z) e  A( L  z )      e A B B  B A  B

N  N cD cD N B N cD C N cD D N  N cD cD A

1z

2z

13

23

1z

2z

12

12

12

1z

1z

12

13

Respuesta…Para éste sistema de estado estacionario, no reactivo, la ecuación de

dN 

z

dz

0

conservación es

N

z

Donde es constante para cada especie. Y si asumimos que el Nitrógeno en la mezcla es insoluble, tenemos pues que N3z=0 por lo tanto tenemos:

dy

N N dz cD cD   ln y   N  N   z  L   A( z  L )  cD cD  3



1z

2z

13

23

1z

3

2z

13

y

3

23

Donde

dy

y y y

 e A( z  L )

1

y con las condición de que

y N yN  y N dz cD cD dy  N   N  N     N  y  y  dz cD cD    cD 1



1z

2

1

2z

3

12

1

2

1z

12

1 entonces tenemos:

1z

12

1z

1

3

2z

12

3

1z 12



N  cD  1z

13

Y tomando como fracciones molares A, B Y C:

68


dy dz

dy

1

dz

1

 C  y B  De A ( z  L ) 1

 B y  C  De A( z  L ) 1

Resolviendo ésta ecuación diferencial:

y y y

1

 e Bz   e  Bz (c )  De A/ z  L ) dz  K

1

 Ke Bz  Ce Bz  e  Bz dz  De Bz  e (  Bz  Az  AL ) dz  Ke Bz 

1

C D ( Az  LA)  e B A B

Considerando las condiciones de Y1=0 y z=L entonces:

0  Ke BL  Por

C D  B A B

último,

D

y (z)  A  B e 1

donde la constante K de integración es:

el A( z  L )

perfil

(

de

fracción

mol

D   BL  C K    e  B A  B

del

Tolueno

es:

C D C  )e BL  Bz  B A B B

B) Una mezcla líquida con evaporación constante es aquella cuya composición se la misma que del material evaporado; es decir, para la cual N 1z/ (N1z + N 2z) = x1. Usar los resultados del inciso a) junto con los datos en equilibrio en la tabla adjunta para calcular la composición del líquido con evaporación constante a una presión total de 760 mm Hg. En la tabla, el renglón I proporciona la composición en la fase líquida. En el renglón II proporciona las composiciones en la fase de vapor en experimentos de dos componentes; éstas se expresan como valores y1 / (y1 + y2) libres de nitrógeno para el sistema ternario. El renglón III proporciona la suma de las presiones parciales del tolueno y del etanol.

I: II: III:

x1 y1/ ( y1+ y2) p1 + p2 (mm Hg)

0.096 0.147 388

0.155 0.198 397

0.233 0.242 397

0.274 0.256 395

0.375 0.277 390

Una estrategia que se sugiere para el cálculo es la siguiente: i)conjeturar una composición del líquido x1, ii) calcular y10, y20 y y30 usando las líneas 2 y 3 de la tabla; iii) calcular A a partir de la ecuación 18B.10-1, con z =0; iv) usar el resultado del inciso iii) para calcular LN2Z, LB, LC y LD, y finalmente y1 (0) para valores supuestos de N1z; v) interpolar los resultados del inciso iv) a y1 (0) = y10. para obtener las N1z y N2z correctas para la x1 hasta que LN1z/ (LN1z + LN 2z) converja a x1. La x1 final es la composición con evaporación constante.

69


(18B.11, R. BYRON BIRD - WARREN E. STEWART - EDWIN N. LIGHTFOOT) Difusión con reacción de segundo orden rápida. Un sólido A se disuelve en una corriente líquida S que fluye en un sistema de flujo isotérmico en estado estacionario. Supóngase, en concordancia con el modelo de película, que la superficie de A está cubierta por una película líquida estancada de espesor Corriente bien mezclada de B quease difundedea Stravés A que se difunde través XA0



y que el líquido fuera de la

ByS

de S

XB∞ XA

XB

A

Figura 18B.11. Perfiles de concentración para difusión con reacción rápida de segundo orden. Se desprecia la concentración

Z=0

Z=kδ

Z=δ

(plano (borde deexterno relación) de la película liquida estancada)

película está bien mezclado. 18B.11

a) Deducir una expresión para la velocidad de disolución de A en el líquido si la concentración de A en la corriente líquida principal es despreciable.

70


El balance de las especies A más la primera ley de Fick para la difusión lleva:

d 2 xA 0 dz 2

xA  C1 z  C2

que era la solución Cuando las constantes de integración se determinan a partir de las condiciones límite

xA ( )  0

xA (0)  xA 0

y

, las fracciones molares con perfiles:

z x A  xA0 (1  )  Cuando la velocidad de la disolución en A en la interfase de sólido-líquido es:

N Az

z 0

 cAS

dx A dz

z 0



cAS x A0 

b) Deducir una expresión correspondiente para la velocidad de disolución si el líquido contiene una sustancia B que, en el plano

z  k

, reacciona instantánea e

A B  P

irreversiblemente con A: (Un ejemplo de este sistema es la disolución de ácido benzoico en una solución acuosa de NaOH). La corriente líquida principal

x B consta esencialmente de B y S, donde B tiene una fracción molar de . (Sugerencia: es necesario reconocer que las especies A y B se difunden hacia una delgada zona de reacción, como se muestra en la figura. Para el sistema de la figura 18B.11, tenemos las siguientes ecuaciones diferenciales:

d 2 xA 0 dz 2 para (

0  z  k

)

2

d xB 0 dz 2

k  z  0

para ( ) Donde: K es todavía desconocido Las ecuaciones para las ecuaciones:

x A  C1 z  C2

xB  C3 z  C4

y

xA (0)  xA0 x A ( k )  0 xB (k )  0 x( )  xB

Las condiciones límite ahora son: , , , , cuando éstas se utilizan para obtener cuatro constantes de integración, obtenemos el siguientes perfiles. Validando las respectivas regiones:

x A  x A0 (1 

z ) k

71


xB  xB (1 

1 1  z) 1  k (1  k )



Hasta este punto es desconocido. Estas ecuaciones se pueden determinar de la velocidad de la difusión de A en el plano del reactor, debe ser la ecuación exacta de la ecuación de difusividad en B desde el plano de reacción

dx cAS A dz

dxB z  k   cBS dz

z 

:

z  k

Obtenemos:

cAS (

x A0 x )  cBS ( B ) k (1  k )

Ó

k 1 k  AS xA0 BS xB

Desde aquí, obtenemos:

 x 1  (1  BS  ) k AS x A0

La velocidad de la disolución sólido-líquido en la interfase es:

N Az

z 0

  cAS

dxA dz

z0



cAS x A0 cAS x A0  x  (1  BS B ) k  AS x A 0

(18B.12, R. BYRON BIRD - WARREN E. STEWART - EDWIN N. LIGHTFOOT) Experimento en celda seccionada para medir la difusividad en fase gaseosa.Se deja que el liquido A se evapore a raves de un gas estancado B que esta a 741mmHg de presión total y 25oC. A esa temperatura, se sabe que la presión de vapor de A es 60mmHg. Una vez que se alcanza el estado estacionario, la columna cilíndrica de gas se divide en secciones. Para un aparato cuya altura mide 4.22cm y tiene 4 secciones, el análisis de muestras de gas así obtenidas.

Sección

I II III IV

(z-z1) en cm Fondo de la sección 0.10 1.10 2.10 3.10

Parte superior de la sección

Fracción molar de A

1.10 2.10 3.10 4.10

0.757 0.641 0.469 0.215

a) Comprobar la siguiene expresión para el perfil de concentración en estado estacionario:

72


¿

x B 2 N AZ (Z − Z ) = xB c D AB 2

Respuesta cuando el sistema esta en evaporación y este alcanza un estado estacionario, hay un movimiento neto de B lejos de la interfase y la especie A donde es estacionaria donde NBZ =0 por lo tanto

N AZ =c D AB

dx B + X B (N AZ + N BZ ) dz

Donde tiene limites de que van de XB a XB2 y Z a Z2

c D AB ∗dx B XB N Az= dz Una ves que se tiene la ecuación diferencial se hace por variables separables Z2

X B2

N dx ∫ c DAZ dz= ∫ X B AB B Z X B

2−¿ Z Z¿ ¿ N AZ ¿ c D AB

2−¿ Z Z¿ ¿ N AZ ¿ c D AB 2−¿

N AZ Z=¿ x B 2−¿ x B c D AB N AZ Z c D AB ¿

73


(

¿ x B ¿ x B 2−

N AZ N Z2 + AZ Z c D AB c D AB

)

b) Graficar la fracción molar XB en cada celda contra el valor de z en el plano central de la celda ¿Se obtiene una line recta? Respuesta: De los datos experimentales de Log10XB contra z da una línea recta de pendiente 0,171 la intersección en z = Z1 = 0 es el logaritmo de la fracción molar de B en la interface. La intersección en registro es la longitud total de la trayectoria de difusión, donde la fracción molar de A se mantiene a cero.

(18B.13, R. BYRON BIRD - WARREN E. STEWART - EDWIN N. LIGHTFOOT) Opacamiento de superficies metálicas. En la oxidación de casi todos los metales (excluyendo los metales alcalinos alcalinos y los alcalinotérreos) el volumen de oxido producido es mayor que el del metal consumido. Por lo tanto, este oxido tiende a formar una película compacta, aislando de manera efectiva el oxigeno y el metal entre sí. Para las deducciones que siguen, puede suponerse que: a) Para que proceda la oxidación, el oxigeno debe difundirse a través de la película de oxido, y que esta difusión obedece la ley de Fick. b) La superficie libre de la película de oxido está saturada con oxigeno del aire circundante.

74


c) Una vez que la película de oxido es razonablemente espesa, la oxidación se vuelve controlada por la difusión, es decir, la concentración del oxigeno disuelto es esencialmente cero en la superficie oxido-metal. d) La velocidad de cambio del contenido de oxigeno disuelto en la película es pequeña en comparación con la velocidad de reacción. Es decir, pueden suponerse condiciones en estado casi estacionario.

1 xO2  M  MOx 2 e) La reacción implicada es

zf 

2 DO2 ,MOx t C0 x Cf

Se desea deducir una expresión para la velocidad de opacamiento en términos de la difusividad del oxigeno a través de la película de oxido, las densidades del

C0 metal y su oxido, y la estequiometria de la reacción. Sean

Cf

O2 la solubilidad del

en la

zf

película, la densidad molar de la película y el espesor de la película es:

el espesor de la película. Demostrar que

Solución: Aplicando la Ley de Fick

N O2  DO2 ,MOx

dCO2 dz

N O2  N A DO2 , MOx  DAB CO2  C A N A  DAB

dC A dz

Condiciones de Frontera

C A  C0

z0

CA  0

z  zf

Integrando la ecuación diferencial de C0 a 0 y del otro lado de la ecuación de z f a 0; se obtiene lo siguiente:

75


dC A N A  dz DAB



C0

0

dC A  

zf

0

C0  0 

NA dz DAB

NA ( z f  0) DAB

N A  DAB

C0 zf

Para el espesor de la película de oxido, se hace un balance de masa en estado no estacionario de zf en t y Δt.

 z f (t  t )  z f (t ) C f x  N A t Al dividir la ecuación anterior por Δt , y aplicando el limite cuando este tiende a 0, creamos una indeterminación, que tiene la forma de la definición de la derivada, por lo cual tenemos nuestra ecuación diferencial en función del tiempo.

 z f (t  t )  z f (t ) t



NA Cf x

Si sustituimos NA por el valor obtenido en la ecuación anterior tenemos que:

N A  DAB

C0 zf

 z f (t  t )  z f (t ) t



C 1 ( DAB 0 ) Cf x zf

 z f (t  t )  z f (t ) C 1 lim   ( DAB 0 ) t  0 t Cf x zf dz f dt



C 1 ( DAB 0 ) Cf x zf

Condición de Frontera

zf  0

t0

Resolviendo:

76


f

dz f 

z

f

DAB C0 dt Cf x

dz f  

DAB C0 dt Cf x

1 2 DAB C0 zf  t  C1 2 Cf x 1 2 DAB C0 (0)  (0)  C1 2 Cf x  C1  0 zf 

2 DAB C0 t Cf x

zf 

2 DO2 , MOx t C0 x Cf

(18. B14 R. BYRON BIRD - WARREN E. STEWART - EDWIN N. LIGHTFOOT) Factores de eficacia para discos delgados (figura 18B.14) Considérense las partículas de un catalizador poroso que tienen forma de discos delgados, de modo que el área de la superficie del borde del disco es pequeña en comparación con el área de las dos caras circulares. Aplicar el método de S18.7 para demostrar que el perfil de concentración es estado estacionario es

donde CAs es la concentración superficial de z=

, y z y b están descritos en la figura.

Demostrar que la velocidad total de transferencia de materia en la superficies z=

es

donde . Demostrar que, si el disco se corta en forma paralela al plano xy en n rebanadas, la velocidad total de transferencia de materia se vuelve

Obtener la expresión para el factor de eficacia tomando el límite

Expresar este resultado en términos del parámetro

que se definió en S18.6.

77


-----------Partícula catalítica------------

Superficie z=+b

z=0 (plano central) Superficie z=-b Figura 18B.14 Vista lateral de una partícula catalizadora en forma de disco Respuesta -Catalizador continuo Equilibrio en las especies A

Eq. 18.7-4 análoga a la expresión para el flujo molar, se obtiene una reacción irreversible.

Difusividad efectiva= constante Condiciones de contorno=

Flujo molar total:

para n discos de espesor b/n

Factor de eficacia:

78


(18. B16 R. BYRON BIRD - WARREN E. STEWART - EDWIN N. LIGHTFOOT) Efecto de la temperatura y la presión sobre la velocidad de evaporación. a) En el problema 18.2 ¿Cuál es el efecto de un cambio de temperatura y presión sobre la cantidad XA1? El comportamiento de un gas ideal se sabe que X A1= Pvapor1/P como se ah visto en paginas anteriores a la ecuación 18.2-1, puesto que la presión de vapor aumenta con la temperatura de acuerdo con la ecuación de Clausius- Clapeyron, XA1 también aumentara, por lo tanto cuando la presión total aumente X1A disminuirá. b) Si se duplica la presión ¿Cómo se afecta la velocidad de evaporación en la ecuación 18.2-14? La velocidad de evaporación se da por la ecuación c) ¿Cómo varia la velocidad de evaporación cuando la temperatura del sistema se eleva desde T hasta T’? La dependencia de la temperatura con la velocidad de evaporación puede ser expresada por la siguiente relación

c

1 T

DAB T 3/2

Y por la teoría cinética de esferas rígidas Sin embargo se sabe la teoría cinética de esferas rígidas subestima la dependencia de la temperatura si observamos la pendiente de la figura 17.2-1 por lo tanto deducimos que (la velocidad evaporación de T’: velocidad de evaporación de T) = (T’/T)3/4 (18B.17, R. BYRON BIRD - WARREN E. STEWART - EDWIN N. LIGHTFOOT) Obtener los límites siguientes para la ecuación

( √

W AR=4 πR D A c AR 1−

√ )

k ´1´ a k ´´ a R coth 1 R DA DA

( 43 π R )( k 3

´´ 1

:

a ) c AR

R →0

W AR=−

R →∞

W AR=−( 4 π R 2 ) ( k ´1´ a D A ) 2 c AR

1

Respuesta Para partículas pequeñas

79


W AR=4 πR D A c AR

( √

√ )

´´

´´

k a k a 1− 1 R coth 1 R DA DA

Si se tiene que para expansión de la cotangente hiperbólica: 3

coth X=

Si

X=

√

5

1 X X 2X + − + +… X 3 45 945 k ´1´ a R DA

entonces:

W AR=4 πR D A c AR (1−X cothX )

[ ( [ (

W AR=4 πR D A c AR 1−X

3

X2 X 4 2 X6 − + +… 3 45 945

W AR=4 πR D A c AR 1− 1+

Sustituyendo

5

1 X X 2X + − + +… X 3 45 945

)]

)]

√

k ´1´ a X= R DA

[(

W AR=4 πR D A c AR 1− 1+

2

4

6

(√ ) ( √ ) ( √ ) k ´´1 a R DA 3

−

k ´1´ a R DA 45

2

+

k ´1´ a R DA 945

+…

)]

W AR ≈−4 π R 3 c AR ( k ´1´ a ) Cuando R tiende a 0 significa que no hay difusión en las paredes del líquido q va fluyendo y la velocidad molar solo estaría en función de los términos de superficie y la velocidad de reacción. Para partículas pequeñas

( √

W AR=4 πR D A c AR 1−

√ )

k ´1´ a k ´´ a R coth 1 R DA DA

Usando identidades hiperbólicas se tiene que:

80


cothX =

Tomando

e 2 x +1 e2 x −1 X =λR

y

√

k ´´1 a λ= DA

:

W AR=4 πR D A c AR (1−λR cothλR )

(

W AR=4 πR D A c AR 1− λR

e2 λR +1 e 2 λR −1

)

Si sumamos y restamos 1 no se altera la ecuación pero sirve para hacer algunos arreglos:

W AR=4 πR D A c AR

(

( e 2 λR −1 ) +2 e 2 λR + 1−1+1 1− λR =4 πR D A c AR 1− λR e 2 λR −1 e 2 λR −1

(

)

[ (

W AR=4 πR D A c AR 1− λR+

2 λR e −1 2 λR

)]

[

−1

W AR=4 πR D A c AR 1−( λR+2 λR ( e 2 λR −1 ) Aplicando el teorema del binomio para

[ (

)

)]

( e 2 λR −1 )

−1

1 W AR=4 πR D A c AR 1− λR+2 λR e−2 λR− e−4 λR +… 2

(

:

))]

W AR=4 πR D A c AR [ 1−( λR+ 2 λR e−2 λR + … ) ] Usando la algebra: 1 2 ´´ W AR ≈− ( 4 π R ) ( k 1 a D A ) 2 c AR

Cuando R tiente a infinito significa que hay difusión a través de la interface y que en una región muy extensa la velocidad molar si está en función dela difusión, la velocidad de reacción y la superficie. (18B.18, R. BYRON BIRD - WARREN E. STEWART - EDWIN N. LIGHTFOOT) Velocidad de evaporación para una fracción molar pequeña del líquido volátil. En la ecuación 18.2-15, expandir

 1 1    ( xB )ln  x A1  x A 2 

ln

1  x A 2  1  x A1

En una serie de Taylor apropiada para fracciones molares pequeñas de A. primero vuelva a escribir el logaritmo del cociente como la diferencia de los logaritmos. Luego, expanda

81


ln ⁡( 1−x A 1 )

y

l n ⁡( 1−x A 2)

en

x A 1=1

una serie de Taylor alrededor de

y

x A 2=1 , respectivamente. Compruebe que la ecuación 18.2-16 es correcta. Solución: A partir de la ecuación 18.2-13 obtenida de los perfiles de concentración media de la difusión de un líquido A en estado estacionario que se evapora a través de una corrientes de gas B



ln( xB 2 / xB1 ) 1  xB  ln x B 2  x B1

Se sustituyen las siguientes expresiones

xB1  1  x A1

x A1  1  xB1

xB 2  1  x A 2

x A 2  1  xB 2

Obtenemos:

  1 1 1  x A 2  ln  xB  ln  1  x A2  1  xA1   1  x A1 Para así obtener la ecuación 18B.18-1

 1  x A 2 1 1    ln  1  x A1  xB  ln  xA1  xA2  Aplicando la ley de los logaritmos pasamos de dividiendo a restando las expresiones de

1−x A 2 y 1−x A 2 .



1 xB 

 ln

ln(1  x A 2 )  ln(1  x A1 ) x A1  x A2

Para enseguida expandir en series de Taylor.



1 xB 



1 xB 



1 xB 

ln

1 1      x A 2  x A2 2  x3A 2       x A1 2 3     x A1  x A 2



 x A1  xA 2 

ln

 1 ln



1 2  x A1 2

1 3  x A1 3 



   

1 1 x A21  xA2 2    x3A1  x3A 2       2 3 x A1  x A 2

1 1  x A1  x A2    x A21  x A1 x A2  x A2 2      2 3

82


(18C.1, R. BYRON BIRD - WARREN E. STEWART - EDWIN N. LIGHTFOOT) Difusión desde una fuente puntual en una corriente móvil. Una corriente del fluido B en movimiento laminar posee una velocidad uniforme v 0. En algún punto de la corriente (que se toma como el origen de coordenadas) se inyecta la especie A a una velocidad pequeña WA g-mol/s. Se supone que esta velocidad es suficientemente pequeña, de modo que la velocidad media de masa no se desvía considerablemente de v 0. La especie A es arrastrada por la corriente (en la dirección z) y al mismo tiempo se difunde en forma axial y radial. a) Demostrar que un balance de materia en estado estacionario con respecto a la especie A sobre el elemento en forma de anillo que se indica conduce a la siguiente ecuación diferencial parcial si se supone que DAB es constante:

[ ( )

∂C A ∂ C A ∂2 C A 1 ∂ v0 =D AB r + ∂z r ∂τ ∂τ ∂ z2

]

b) Demostrar que la ecuación anterior también puede escribirse como:

v 0

( zs ∂∂Cs + ∂∂Cz )=D A

A

[ ( )

AB

2

2 1 ∂ 2 ∂ CA ∂ CA z ∂ CA s + +2 2 2 ∂ s ∂ s s ∂ s ∂z s ∂z

]

Donde s2= r2 + z2 c) Comprobar( bastante laborioso) que la solución

CA=

[( ) ]

WA v0 exp − (S−Z ) 4 π D AB s 2 D AB

Satisface la ecuación diferencial anterior. d) Además, demostrar que la ecuación anterior también satisface las siguientes condiciones limite: C.L.1:

en s=∞,

C.L.2:

cuando s

C.L.3:

en r = 0,

CA=0 0,

−4 π 2 D AB

∂C A ∂s

WA

∂C A =0 ∂r

Explicar el significado físico de cada una de estas condiciones. Solución a)

(2 π ∆ r N Ar )∨¿ r+ ∆ r=0 ( 2 π ∆ r N Ar )∨¿r−¿ (2 π ∆ r N AZ )∨¿ Z+∆ Z + ¿ ( 2 π ∆ r N AZ )∨¿ Z −¿ ¿ 83


(2 π ∆ r N Ar )∨¿ r+ ∆ r =0 2π ∆r ∆ z ( 2 π ∆ r N AZ )∨¿Z+ ∆ Z +¿ ( 2 π ∆ r N AZ ) ∨¿ Z −¿ ¿ ¿

( 2 π ∆r N Ar ) ∨¿r −

r N Az r N Az ¿∨¿ z ¿ ¿∆z ¿ r N Ar r N Ar ¿∨¿ r ¿ ¿∨¿r +∆ r −¿ ¿∨¿z +∆ z−¿ ¿ ¿ lim ¿ ∆ z→0

Usando la definición de derivada parcial, obtenemos:

r

∂ N Az ∂ ∂ N Ar + r =0 ∂ z ∂r ∂r

(

)

Se utiliza la expresión para el flujo molar (D) de la tabla 17.8-2:

N Ar=−c D AB

∂ xA ∂c + c A v ¿r =−D AB A ∂r ∂r

N Az=−c D AB

∂ xA ∂c + c A v ¿z =−D AB A + c A v 0 ∂z ∂z

Para lograr estas ecuaciones se supone que hay difusión insignificante en r, y que la diferencia entre la velocidad y la masa molar no es importante en este sistema. Esto es valido únicamente si la concentración de A en la mezcla es pequeño. b) Para hacer el cambio de variable, se utiliza cA (r,z)= cA (s,z) , y aplicar la regla de la cadena de diferenciación parcial de la siguiente manera:

( ∂∂cz ) =( ∂∂cs ) ( ∂∂ sz ) +( ∂∂cz ) =( ∂∂cs ) zs +( ∂∂cz ) A

A

z

∂2 c A

A

z

r

A

s

A

z

s

∂2 c A z ∂ c A z ∂2 c A z ∂2 c A z ∂ c A 1 ∂2 c A = − + + − + s ∂ s2 s ∂ s s 2 ∂ s ∂ z s ∂ s ∂ z s ∂ s s ∂ z 2

( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ∂ z2

∂ ∂c A ∂ ∂cA = = ∂ z ∂ z r ∂s ∂ z r

r

z ∂ ∂cA + ∂z ∂z z s

r

) (

84

)


∂cA ∂ cA = ∂z z ∂s

∂cA r ∂s = ∂r z ∂s z s

( ) ( )( ) ( ) r

z

∂cA ∂ cA = ∂r z ∂s

r2 ∂ c A = ∂s z s

s 2−z 2 s z

( ) ( ) ( )

[ ( ) ] ( [ ( ) ]) ( )

∂cA 1 ∂ r r ∂r ∂r

=

z

∂cA 1 ∂ r s ∂s ∂r

=

z

z

∂2 c A s 2−z 2 1 ∂ c A + s ∂s ∂ s2 s2

s 2+ z 2 s2 z

( )

c)

f ( s , z )=c A

4 π D AB 1 −v 0 1 = exp ( s−z ) = exp ⁡(−α ( s−z )) WA s 2 D AB s

(

)

Entonces

( ∂∂ fz )=αf

z ∂ f −zf z = 2 − αf s ∂z s s

( ∂∂ fz )=−fs −αf

∂2 f =α 2 f 2 ∂z

( )

2

( )

z ∂2 f z f = −2 α −2 α 2 f s ∂ z ∂s s s

(

) (

)

1 ∂ 2∂f s =α 2 f 2 s ∂s ∂z

( )

B.C 1 está claramente satisfecho. Para que calcular la derivada:

∂ cA W A −1 −α ( s−z ) α −α ( s−z ) = e − e ∂ s 4 π D AB s 2 s

(

Entonces

−4 π s 2 D AB

examinarBC2, primero

tenemos

)

∂ cA =W A e−α (s− z) (1−αs) ∂s

Cuando s se hace pasar a cero (lo que implica que z tiende a cero también), el lado derecho de la ecuación anterior pasa a Wa, y tanto la segunda condición de contorno se satisface. Para examinar BC 3 tenemos que calcular la derivada con respecto a r:

( ∂∂cr ) =( ∂∂cs ) rs = 4 πWD A

A

z

A

z

e−α ( s− z) (1−αs) AB

r s

85


s= √ r 2 + z 2 . Cuando r tiende a 0, va a z.

Donde Los

significados

de

las tres condiciones

de

contorno

son

las

siguientes:

- BC1: la concentración de A en una superficie esférica a una distancia infinita, desde el punto de inyección debe ser cero (ya que A es la difusión en todas las direcciones) - BC2:

Esta

es

una declaración

de

que Wa es la

tasa

de

inyección de

A.

BC3: Esto significa que el máximo en la concentración debe estar en el eje z. (18C.2, R. BYRON BIRD - WARREN E. STEWART - EDWIN N. LIGHTFOOT) Difusión y reacción en un catalizador parcialmente impregnado. Considérese una esfera catalítica como la de §18.7, excepto que el ingrediente activo del catalizador solo esta presenten en la región anular entre r=kR y r=R: En la región I (0 ˂ r ˂ kR), En la región II (kR ˂ r ˂ R)

K 1´á = 0 K 1´á = constante ˃ 0

Una situación como esta puede presentarse cuando el ingrediente activo se coloca sobre las partículas después de hacer los pellets, como se hace para muchos catalizadores comerciales. a) Integrar la ecuación 18.7-6 por separado para las regiones activa e inactiva. Luego, aplicar las condiciones limite apropiadas para evaluar las constantes de integración y resolver para el perfil de concentración en cada región. Elaborar dibujos cualitativos para ilustrar las formas de los perfiles. b) Evaluar WAR, la velocidad molar total de conversión de A en una sola partícula.

Región anular comprendida a estudiar.

18.7  6

DA

1 d 2 dc A (r )  k1´ác A r 2 dr dr

Región I.

DA

1 d 2 dc A (r )  k1´ác A r 2 dr dr

k1´á  0

86


1 d dc A (r 2 )  0( D A ) 2 r dr dr

r R





CA C AR

1 d d ( 2 )0 2  d d

2

d d ( 2 )0 d d

d  c1 d

 d   c1 

d 2

2  d (

d )   0 d d



c1  c2 

Región II.

dc A 1 d dc DA 2 ( r 2 A )  k 2´ác A dr r dr dr

k2´á  cte f 0

f (r) r 1 df ( r ) f   2 r dr r

cA 

d  2 dc A d df ( r ) r   r    dr  dr dr dr  r

d 2 f ( r ) df ( r ) df ( r )  f ( r )  r   dr 2 dr dr 

d 2 f (r ) dr 2

87


m2 

k´ DAC

Haciendo

d 2 f (r)  m2 f (r )  0 2 dr Cuyo teorema de solución es conocido, teniendo:

rc A  f ( r )  c1 cosh(mr )  c2 sinh( mr ) Condiciones de frontera.

donde   0 ,   

1. 

c1 (0,  )  0

2. 

 k

  f (r )

3. 

 k

d f (r )  d d

4. 

 1

f (r )  1

c1  0

f (r)   Así, empleando como sustitución: Y con las condiciones de frontera tenemos:

1  c1II cosh   c2 II sinh  1  c1 II cosh   (

cosh  k   k sinh  k ) sinh  sinh(1  k )   k cosh  (1  k )

1 (

cosh  k   k sinh  k ) sinh   c1II cosh  sinh(1  k )   k cosh  (1  k )

1 (

cosh  k   k sinh  k ) sinh   c1II cosh  sinh(1  k )   k cosh  (1  k )

c1II 

 k cosh  k  sinh  k sinh  (1  k )   k cosh  (1  k )

Resolviendo simultáneamente:

88


c1

1  c2 II sinh   cosh 

II

Sustituyendo

0(

1  c2 sinh   1 1 1   1  )  2 cosh  k   sinh  k  c2 II  2 sinh k   cosh  k cosh  k k  k   k  II

1 1  c2 II sinh  1 1  1   sinh  k   cosh  k  ( ) cosh  k   sinh  k   2 2 k cosh   k k  k  

c2 II 

1  1  sinh  k   cosh  k II 2 k  k   1  c2 sinh  1 cosh   1   2 cosh  k   sinh  k k  k 

c2 II 

1  1  sinh  k   cosh  k II 2 k  k   1  c2 sinh  1 c2 II  1   2 cosh  k   sinh  k k  k 

cosh  

c2 II 

cosh  k   k sinh  k sinh  (1  k )   k cosh  (1  k )

Ahora para:

1  c1II cosh   c2 II sinh  Y sustituyendo:

1  c1 II cosh   (

1 (

cosh  k   k sinh  k ) sinh  sinh  (1  k )   k cosh  (1  k )

cosh  k   k sinh  k )sinh   c1II cosh  sinh  (1  k )   k cosh  (1  k )

c1II 

 k cosh  k  sinh  k sinh  (1  k )   k cosh  (1  k )

Y finalmente sustituyendo los valores de las constantes en los perfiles de concentración. Región I:

89




c1  c2 

 k cosh  k  sinh  k cosh  k   k sinh  k sinh  (1  k )   k cosh  (1  k )    sinh  (1  k )   k cosh  (1  k ) 

 k cosh  k  sinh  k cosh  k   k sinh  k    sinh  (1  k )   k cosh  (1  k )  sinh  (1  k )   k cosh  (1  k )

k   sinh  (1  k )  cosh  (1  k ) 



Región II:

rc A  f ( r )  c1 cosh( mr )  c2 sinh( mr )

  c1 cosh( mr )  c2 sinh( mr ) 

 k cosh  k  sinh  k cosh  k   k sinh  k (cosh( mr ))  (sinh( mr )) sinh  (1  k )   k cosh  (1  k ) sinh  (1  k )   k cosh  (1  k )



cosh(mr )   k cosh  k  sinh    sinh( mr )  cosh  k   k sinh  k  sinh  (1  k )   k cosh  (1  k )

B) Velocidad molar total de conversión.

WA  4 RDA

dc A dr

WA  4 RDAc AR

rR

d dr

rR

WA (dr )  4 RDAc AR (d  )

W

A

( dr )  4 RDAc AR  (d ) 90


cosh( mr )   k cosh  k  sinh    sinh( mr )  cosh  k   k sinh  k   WA  4 RDAc AR  1   sinh  (1  k )   k cosh  (1  k )  

(18C.3, R. BYRON BIRD - WARREN E. STEWART - EDWIN N. LIGHTFOOT) Velocidad de absorción de una película descendente. a) Según un balance global de la materia sobre la película , los moles totales d A que se transfieren por unidad de tiempo a través de la interface gas-liquido deben ser iguales a la velocidad de flujo molar total de A a través del plano z=L esta velocidad se calcula como sigue:

c A ⌉ z =Ldx A ⌉ Z=L dx ¿ ¿ c¿ ∞

¿ ) =w

v max

∫¿ 0

Ecuación 18c3-1

δ

1 ∫¿ δ 0 ( wδ v max ) ¿ w A =lim ¿ δ→∞

b) insertar la solución para CA en la ecuación 18.5-15 en el resultado del inciso a) para obtener: ∞

w a=w v C A 0 max

¿ W V max

❑

2 c AO √π

√

2 ∫ √π 0

(

∞

∞

∫

)

exp (−ξ 2 ) d ξ dx

X /√ 4 D AB L /V max

4 D AB L ∫ V max 0

∞

(∫

2

)

exp ( −ξ ) d ξ du

u

Ecuación 18C3-2

c) cambiar el orden de integración en la integral doble para obtener:

W A =W LC

A0

√

∞

4 D AB V Z , max .2∫ exp (−ξ 2) πL 0

ξ

(∫ )

du dξ

0

Ecuación 18c3-3

Solución:

91


a). Los moles totales de A transferidos por unidad de tiempo a través de la interface gaslíquido es WA. Esto tiene que ser equiparada a la cantidad, de A, que está dejando en la

δ.

película de espesor finito δ

W A =W ∫ C A ( X , Z )|X = L V Z ( X ) dx 0

Se supone que A se difunde una distancia muy corta en la película, a continuación, VZ (x) puede ser igual a la velocidad del fluido en la interface gas-líquido, Vz, MAX y tomándola fuera de la integral. Además, puesto que CA (x, z) es prácticamente cero más allá de una distancia pequeña en comparación con infinito.

δ , la integración se puede extender hasta el

c A ⌉ z =Ldx A ⌉ Z=L dx ¿ ¿ c¿ ∞

Esto conduce a.

¿ ) =w v

max

∫¿

Ec.18c.3-1

0

δ

1 ∫¿ δ 0 ( wδ v max ) ¿ w A =lim ¿ δ→∞

b) insertando CA (x, z) en la ecuación. 18c.3-1 y cambiando a la variable u no requiere explicación adicional. x

CA 2 =1− C A0 √π Despejando

√ 4 D AB Z /V

∫

y sustituyendo en la ecuación del inciso a, obtenemos: ∞

max

¿ W V max

❑

Ecuación 18.5-15

0

CA

w a=w v C A 0

max exp ( −ξ2 ) d ξ

2 ∫ √π 0

2 c AO √π

√

(

∞

∫

)

exp (−ξ 2 ) d ξ dx

X /√ 4 D AB L /V max

∞

4 D AB L ∫ V max 0

∞

(∫ u

2

)

exp ( −ξ ) d ξ du

u=x / √ 4 D AB L/V max

92


c) cambiando el orden de integración requiere que especificar la región de integración. En este caso es una región triangular que se extiende desde u = 0 para u = ∞ , y desde la línea diagonal

ξ = u a través de ξ = ∞ .

Cuando el orden de integración se invierte, es necesario integrar exactamente la misma región, pero esta vez desde

ξ

=0 a

ξ

= ∞

y desde u = 0 hasta la diagonal u =

ξ . Esto conduce a eq.18c3-3. W A =W LC

A0

√

∞

4 D AB V Z , max 2 .2∫ exp (−ξ ) πL 0

ξ

(∫ )

du dξ

0

Eq.18c3-3.

Hecho esto, la integral en el interior se puede realizar analítica para dar.

W A =W LC

A0

√

4 D AB V Z , max ∞ .2∫ ξexp (−ξ 2 ) dξ πL 0

Ahora la integral restante se puede hacer también para dar.

¿ W LC

A0

√

4 D AB V Z , max . (−exp (−ξ2 ) )|∞0¿ W LC πL

A0

√

4 D AB V Z , max πL

Que está de acuerdo con la ecuación. 18.5-18

W A =W LC

A0

√

4 D AB V max πL

Ecuación 18.5-18

(18C.5, R. BYRON BIRD - WARREN E. STEWART - EDWIN N. LIGHTFOOT) Evaporación en estado estacionario. En un estudio de la evaporación de una mezcla de metanol (1) y acetona (2) a través de aire (3), se midieron los perfiles de concentración de las tres especies en el tubo después de que se alcanzó el estado estacionario. En esta situación, la especie 3 no se mueve, y las especies 1 y 2 se difunden hacia arriba, con las densidades del flujo molar Nz1 y Nz2, fueron medidas en los experimentos. También se midieron las concentraciones interfaciales de estas dos especies, x10 y x20. Además, se conocen los tres coeficientes de difusión binaria. La interfase está ubicada en z=0, y el extremo superior del tubo de difusión esta en z=L. a) Demostrar que la ecuación de Maxwell-Stefan para la especie 3 puede resolverse a fin de obtener

x 3=x 30 e Aζ (18C .5−1) Donde A = v113 + v223 , con v  L/cD y =z/L   b) Luego comprobar que la ecuación para la especie 2 puede resolverse a fin de obtener

x 2=x 20 e Bζ +

v 212 Cx ( 1−e Bζ ) + 30 ( e Aζ −e Bζ ) (18 C .5−2) B A−B

Donde B = v112 + v212 y C = v212 – v223. c) Comparar las ecuaciones anteriores con los resultados publicados. d) ¿Qué tan bien se ajustan las ecuaciones 18C.5-1 y 18C.5-2 a los datos experimentales?

93


Solución: a) Primero tenemos que la ecuación de Maxwell-Stefan para difusión de varios componentes en gases a baja densidad es N

( x β N α −x α N β )

β=1

c D αβ

∇ x α =−∑

donde α =1,2,3, … , N

Sustituimos

[

]

d x3 x N −x N x N −x N =− 1 z 3 3 z 1 + 2 3 3 2 y como el componente 3 no se mueve N 3 =0 dz c D 13 c D 23

[

d x 3 x3 N z 1 x 3 N 2 = + dz c D13 c D23

]

d x3 N1 N = + 2 x3 dz c D13 c D23

(

)

Separamos variables e integramos x 3L

d x3 L N 1 N ∫ x =∫ c D + c D2 dz 3 13 23 x z

(

3

ln x3|

ln

)

)|

N1 N x3L L = + 2 z c D c D z x3 13 23

(

[ ](

)

[(

)

x3 N1 N = + 2 ( L−z ) x3 L c D13 c D 23

x3 N1 N =exp + 2 ( L−z ) x3 L c D13 c D23

]

Donde sabemos que v  L/cD y =z/L  

(v 113 + v 223 )ζ x3 =exp ⁡¿ x3 L x 3=x 3 L exp ⁡[ ( v 113 + v 223 ) ζ ] Y sabemos que A = v113 + v223 y aplicamos la condición z=0 Aζ

x 3=x 30 e ⁡ b) En este caso volvemos a aplicar la ecuación de Maxwell-Stefan, ahora para el componente dos, sustituimos y obtenemos

94


d x 2 x 2 N 3−x 3 N 2 x 2 N 1−x1 N 2 = + dz c D 23 c D 12 Consideramos que N3=0

d x 2 x 2 N 1−x 1 N 2 x 3 N 2 = − dz c D12 c D 23

Tenemos que v  L/cD y =z/L  

d x2 =( x 2 v 212−x 1 v 212 ) −x 3 v 232 dζ

Ponemos nuestra ecuación en términos de x2 y x3 para reducir variables

1−x (¿ ¿ 2−x 3 )v 212 x 2 v212 −¿ ¿ d x2 =¿ dζ

Desarrollamos y nos queda

v 212 + v 112 ¿ v212 −v 232 d x2 =x2 ¿ dζ

Despejamos y sustituimos por B = v112 + v212 y C = v212 – v223

v v212 −v 232 x3 (¿)−v 212 x 2(¿ ¿ 212+ v 112 )=¿ d x2 −¿ dζ

d x2 −B x 2=C x 3−v 212 dζ Y sabemos que

x 3=x 30 e

Aζ

, así que nos queda

d x2 −B x 2=C x 30 e Aζ −v 212 dζ Obtenemos una ecuación diferencial lineal de primer orden, determinamos su factor de integración y procedemos a resolverla Encontramos que su factor de integración es

I =e−Bζ

, así que nos queda ya despejada

la ecuación

95


ζ

x 2=e Bζ ∫ e−Bζ ( C x 30 e Aζ −v 212 ) dζ 0 ζ

x 2=e Bζ ∫ e(A −B )ζ C x 30−v 212 e−Bζ dζ + C1 0

Tomando en cuenta que C1=x20, nos queda: Aζ

Cx e C x 30 v 212 v 212 x 2= 30 +e Bζ x 20 − − + A−B A−B B B

(

)

(18D.1, R. BYRON BIRD - WARREN E. STEWART - EDWIN N. LIGHTFOOT) Factores de eficacia para cilindros largos. Deducir la expresión para ŋA para cilindros largos que se análoga a la ecuación 18.7-16. Despreciar la difusión a través de los extremos de los cilindros. Usando la ecuación que se uso para esferas se aplicara para un cilindro Balance de Materia

N Ar ǀr∗2 πrL−N Ar ǀr +∆ r∗2 π ( r + ∆ r ) L+ R A 2 πr ∆ rL =0 2 π ∆ rL d ( r N Ar ) =r R A dr N Ar=−D A

d cA dr

Sustituyendo

1 d d cA r =−R A r dr dr

( ) 1 d dc D r =−k a c r dr ( dr ) DA

A

A

1

} a {c} rsub {A} 1 d d cA DA r =k ¿1 r dr dr

(

)

A

cA(R)=cAR

,

cA (0)=finite

} a {c} rsub {A}} over {{D} rsub {A}} ¿ k1 1 d d cA r =¿ r dr dr

(

)

96


} a {c} rsub {A}} over {{D} rsub {A}} right ) =0 ¿ k1 ¿ dcA 1 d r −¿ r dr dr

(

)

Condiciones límite CA=cAR para r=R CA= Finita para r=0 Resolviendo la ecuación y aplicando las condiciones de frontera, la solución es:

c A =c 1 I o

(√

k }1 a} over {{D} rsub {A}} r}

right ) + {c} rsub {2} {K} rsub {0} left (sqrt {{{k} rsub {1} rsup {

DA

a

r

)

K0 no satisface la condición de frontera en r = 0, debemos igualar c2=0. Por lo tanto la ecuación queda así:

} a} over {{D} rsub {A}} r} right ) k ¿1 ¿ √¿ c A =c 1 I o ¿

La condición de frontera en r = R, da la constante C1.

} a} over {{D} rsub {A}} R} right ) k ¿1 ¿ √¿ c A =c 1 I o ¿

El perfil de concentración es por lo tanto:

cA =I c AR o

(√

k }1 a} over {{D} rsub {A}} r}

right )} over {{I} rsub {o} left (sqrt {{{k} rsub {1} rsup {

DA

a

R

)

El flujo molar de A en la superficie es entonces:

} a} over {{D} rsub {A}}} right ) ¿ k1 ¿ √¿ I0

(√

k }1 a} over {{D} rsub {A}} R}

right )} {I} rsub {1} left (sqrt {{{k} rsub {1} rsup {

DA

(

W AR=2 πRL −D AB

a

)

R ¿

d cA −( 2 πRL) D A c AR ǀ = ¿ dr r=R

)

97


} {c} rsub {A} a) ¿ −k 1 2

W AR ,0=(π R L) ¿ A continuación se evalúa el factor de efectividad

} a} over {{D} rsub {A}} R} right )} k ¿1 ¿ √¿ 2I1

(√

} a} over {{D} rsub {A}} R} right )} over {left (sqrt {{{k} rsub {1} rsup {

k1

DA W η A = AR =¿ W AR ,0

a

)

R I 0¿

Generalizando el modelo para el cilindro:

} a} over {{D} rsub {A}}} {R} over {2} ¿ k1 ¿ } a} over {{D} rsub {A}}} {{V} rsub {P}} over {{S} rsub {P}} = sqrt {{{k} rsub {1} rsup { k a π R2 L Ʌ= 1 =√ ¿ DA 2 πRL

√

Por lo tanto el argumento es:

} a} over {{D} rsub {A}} R} =2Ʌ ¿ k1 ¿ √¿

Se

expresa el

factor

de

eficacia en

términos

del

módulo generalizando

asi

el resultado deseado:

ηA=

I 0 (2 Ʌ) Ʌ I 0 (2 Ʌ)

IO y I1 son funciones modificadas de Bessel (18D.2, R. BYRON BIRD - WARREN E. STEWART - EDWIN N. LIGHTFOOT) Absorción de un gas en una película descendente con reacción química. Volver a trabajar el problema que se analizó en 18.5 y se describe en la figura 18.5-1, cuando el gas A reacciona con el líquido B por medio de una reacción química irreversible de primer orden en la fase líquida, con constante de velocidad k 1”’. Específicamente, encuentre la expresión para la velocidad de absorción total, análoga a la que se proporcionó en la ecuación 18.5-18. Demostrar que el resultado para la absorción con reacción simplifica convenientemente a la expresión para absorción sin reacción.

98


Área en z: Wx Área en x: Wz Balancedeabsorción enla película líquida descendente: WxNAz z  WxNAz zz  WzNAx x  WxNAz xx  RA  0 Dividiendo entreel volumen y aplicando el límite NAz NAx   RA  0 z x NAz  J Az  VzCA  seconsidera quela difusión es muy pequeña esta sedesprecia NAz  VzCA 2 2    x   x  Vz (x)   m áx  1     NAz   m áx  1    CA           NAx  J Ax  VxCA  no hayconvección en x sólo difusión

CA x La velocidad dereacción seexp resa: RA  k1 "'CA  el balanceseexp resa dela siguientemanera: 2   x  CA 2CA  m áx  1     DAB  k1 "'CA  b  z x2  Las condicioneslímite: NAx  J Ax  DAB

C.L. 1 : en z 0, CA  0 C.L. 2 : en x 0, CA  CA0 C.L. 3 : en x b,

CA 0 x

Adimensionalizando

C

CA C A0

 

Z L

x a

 máx L DAB

L k1 "' máx

C  2C   aC   2

99


ahoralascondicionesserán: C   , 0  0 C  0,    1

C  ,    0 Para resolver la ecuaciónordinaria:

   ,    f    g   C C  dC   gf '    d C C      2

2 2C   C   C 2C    2 2 d C    f g'      2        2    d 2

C  0  1 C    0 d2C gf ' dC  2 2 2 d f g' d d2C f' dC  2 2 2 d f g' d f'  2g'2  A 3 f df  Af 3 d df  f 3  Ad 

1 1  A  C1  f   2 2f 2(A  C1

100


dg  d

A 2 A d 2

 dg  

A   C2 2  0  0 g

   0

   

g

A  0   C2 C2  0 2

f



1  2  A 0    C1

C1  0 f



1 2 A

A  2





1  2A

 4

C  0  1 C    0 C  C1  exp   2  d  a C2 

0

1  C1  exp   2  d  a C2 0

0

C2  1 a 0  C1  exp   2  d  a C2 

0



 0

exp  

0

 2

C1   C

2



1   0 1 / 2 d    2  01 /2 2 2(1) 

 2



 2

C1 1 2

 2





 0

exp   2  d  a1

101


25.1 (Welty, Wicks, Wilson) Obtenga la ecuación (25.11) correspondiente a la componente A en función de las unidades molares, empezando con la expresión de volumen de control correspondiente a la conservación de la masa.

∇∙ N A +

∂CA −R A =0 ecuación 25.11 ∂t

La rapidez neta de flujo molar de la especie A, será:

en ladirección de x : N A , x ∆ y ∆ z|x+∆ x −N A , x ∆ y ∆ z|x

102


en ladirección de y : N A , y ∆ x ∆ z|y +∆ y −N A , x ∆ x ∆ z|y

en ladirección de z : N A , z ∆ x ∆ y|z +∆ z−N A , z ∆ x ∆ y|z La rapidez de acumulación de A en el volumen de control es:

∂ cA ∆x∆ y∆z ∂t

Si A se produce dentro del volumen de control, la rapidez de producción molar de A es:

RA ∆ x ∆ y ∆ z

De acuerdo a la relación general para el equilibrio:

{

}{

}{

}

Rapidez neta de rapidez neta de rapidez de flujo molar acumulación + − producción química =0 de A , desde el de A dentro del de A dentro del volumen de control volumen de control volumen de control

N A , x ∆ y ∆ z|x+ ∆ x −N A , x ∆ y ∆ z|x + N A , y ∆ x ∆ z|y+∆ y −N A , y ∆ x ∆ z|y + N A , z ∆ x ∆ y|z +∆ z−N A , z ∆ x ∆ y|z + Al dividir la ecuación entre el volumen,

∆ x ∆ y ∆ z y cancelar términos se tendrá:

N A , x|x+ ∆ x − N A ,x|x N A , y|y+∆ y −N A , y|y N A , z ∆ x ∆ y|z +∆ z−N A , z ∆ x ∆ y|z ∂c A + + + −R A=0 ∆x ∆y ∆z ∂t Si se evalúa esta expresión en el límite, cuando

∆ x ,∆ y, ∆z

tienden a cero, se

obtiene:

∂c ∂ ∂ ∂ N A , x+ N A , y + N A , z + A −R A =0 ∂x ∂y ∂z ∂t

La ecuación anterior es la ecuación de continuidad de la componente A. Como

N A , x , N A , y y N A , z son las componentes rectangulares de vector de flujo molar

N A la

∂cA

ecuación se puede escribir de la siguiente forma: ∇∙ N A + ∂ t −R A=0 25.2 (Welty, Wicks, Wilson) Obtenga la ecuación de continuidad de la componente A, utilizando un volumen de control cilíndrico e infinitamente grande, y coordenadas cilíndricas. Respuesta: Balance de masa: Rapidez de flujo de masa de A desde el volumen

¿

Rapidez neta de acumulación

+¿ de A dentro del volumen

−¿

Rapidez de producción química de A dentro

0

103

∂ cA ∆x ∂t


de control de control

de control

En forma de ecuaciones: La rapidez de flujo de masa es:

del volumen

ρ A v A =n A

n Ar r ∆ θ ∆ z ¿r +∆ r −n Ar r ∆ θ ∆ z ¿ r +n Aθ ∆ r ∆ z ¿ θ+∆ θ −n Aθ ∆ r ∆ z ¿ θ+ n Az r ∆ θ ∆ r ¿z +∆ z−n Az r ∆ θ ∆ r ¿ z + Dividiendo todo sobre el volumen:

n Ar r ¿ r+ ∆ r−n Ar r ¿ r n Aθ ¿θ+ ∆ θ−n Aθ ¿θ n Az ¿ z +∆ z−n Az ¿ z ∂ ρ A + + + −R A=0 r∆r r ∆θ ∆z ∂t Aplicando el límite cuando

r ∆ θ , ∆ r y ∆ z tienden a cero, y por la definición de

derivada:

1 ∂ n Ar r 1 ∂ n Aθ ∂n Az ∂ ρ A + + + −R A =0 r ∂r r ∂θ ∂z ∂t 25.3 (Welty, Wicks, Wilson) Transforme la ecuación de coordenadas rectangulares:

CA NAx NAy NAz     RA t x y z

A una ecuación equivalente en coordenadas cilíndricas. Respuesta: La ecuación de coordenadas rectangulares anterior, se formula tomando un volumen de control diferencial, estableciendo un balance en el que se suponemos, la densidad de flujo molar entra por las tres partes de nuestro volumen de control, que en este caso sería un cubo, tal y como se muestra en la figura.

xy xz

yz

Es decir por la pared , y por , donde las entradas y salidas de densidad de flujo molar es igual a la acumulación de masa que se puede dar tanto por las variaciones de las entradas y salidas de flujo, o debido a una reacción. Pues ahora haremos exactamente lo mismo pero para un volumen de control cilíndrico en el que suponemos que la densidad de flujo molar entra y sale por todo nuestro volumen de control. Primero establecemos el balance para el flujo molar que entra por el área nuestro volumen de control que en la figura se observa como las flechas en rojo.

rd dz

de

104

∂ ρA r ∆θ∆ ∂t


NAr z r  NAr z

r  r

drdz Ahora para el área verde.

NAr z   NAr z

que se observa en la figura con las flechas en   

rd dr

En seguida para el área que se muestra como el flujo que entra en la figura con las flechas azules.

NAr r z  NAr r

z  z

Ahora tomamos nuestros balances para formar uno general.

NAr z r  NAr z

r  r

 NAr z   NAr z

Dividimos nuestro balance entre el volumen

N A r  N Ar r r

r  r



NA   NA    NA z  NA  r  z

  

 NAr r z  NAr r

r r z

z  z

 RA 

z  z

 RA 

CA t

, y tenemos que.

CA t

lim

r r z 0

Si tomamos el límite cuando

resulta que.

1  (rNAr ) 1 NA NAz CA    RA  r r r  z t 25.4 (Welty, Wicks, Wilson) Una celda de Arnold es un aparato sencillo que es utilizado para medir coeficientes de difusión de gases. Un estanque liquido se mantiene en el fondo del tubo de diámetro pequeño. Un gas, insoluble en el líquido, fluye a través de la boda del tubo extrayendo los vapores de A que se difunden a través de gas que se encuentra sobre el estanque de líquido. En condiciones isotérmicas e isobáricas, la evaporación de A es un proceso en estado permanente. Reduzca la ecuación general de transferencia de masa para escribir la ecuación diferencial específica que describa este proceso de transferencia de masa. ¿Cuál sería la forma de la ley de Fick, correspondiente a la especie A que se substituiría en la ecuación diferencial? Proporcionar dos condiciones de frontera que pudieran ser utilizadas para resolver la ecuación diferencial resultante.

105


Solución: Escribimos la ecuación general de transferencia de masa y tomamos los términos que se necesitan:

 J Ax J Ay J Az  x A x x x   vx A  v y A  vz A        A x y z  y z   t  x

c

De esta ecuación eliminamos el término de acumulación y generación ya que el proceso es en estado estacionario, si consideramos que el transporte convectivo se realiza hacia el eje x y el transporte molecular hacia el eje z eliminamos los términos que no nos sirven para que la ecuación quede de la siguiente forma:

x  J  c  vx A  Az  0 x  z  La ley de Fick quedaría de la siguiente manera considerando el transporte difusivo en dirección de z

J Az   DAB

C Az z

Y las condiciones de frontera que podemos utilizar para resolver la ecuación diferencial son las siguientes:

C Az  0 | z  z2 z C Az  C A0 |z  z1

C Az  0 | z  z2 z C Az  C A0 |z  z1

25.6 (Welty, Wicks, Wilson) Demuestre que la ecuación (25.5) se puede escribir en la forma:

106


∂ ρA + ( ∇∙ ρ A v )−D AB ∇2 ρ A =r A ∂t ∇∙ n A +

∂ ρA −r A =0 Ecuación 25.5 ∂t

De la ecuación

n A =−ρ D AB ∇w A +w A ( n A + nB ) Esto equivale a

n A =−ρ D AB ∇w A + ρ A v

Al sustituir esta ecuación en la ecuación 25.5

∇∙(−ρ D AB ∇w A + ρ A v )+

∂ ρA −r A =0 ∂t

Por tanto:

−∇∙ ρ D AB ∇w A +∇∙ ρ A v + Si la densidad

ρ

∂ ρA −r A =0 ∂t

y el coeficiente de difusión

D AB

se suponen constantes

obtenemos:

ρA ∂ρ +∇∙ ρ A v+ A −r A =0 ρ ∂t

( )

−∇∙ ρ D AB ∇

−D AB ∇∙ ∇ρ A + ∇∙ ρ A v + −D AB ∇2 ρ A +∇∙ ρ A v +

∂ ρA −r A=0 ∂t

∂ ρA −r A =0 ∂t

Y por tanto la ecuación se puede escribir:

∂ ρA + ( ∇∙ ρ A v )−D AB ∇2 ρ A =r A ∂t

25.8 (Welty, Wicks, Wilson) Se están secando en una corriente de aire unas esferitas de jabón de radio R. Suponga que la humedad del aire es contante y corresponde a una concentración superficial de agua en el jabón, de CA1. Si la concentración inicial uniforme de agua en el jabón es CA0, escriba: la ecuación diferencias y las condiciones de frontera necesarias para describir la concentración local de agua en función del radio, r, y del tiempo, t. Suponga que no existe resistencia a la transferencia de masa de la interface al aire y que el coeficiente de difusión del agua dentro de las esferas de jabón es constante. Respuesta: Para un volumen esférico el balance general de transferencia es.

uur CA  NA  RA 0 t

107


No existe acumulación en este sistema debido a una reacción por lo tanto.

uur CA  NA  0 t

Para desglosar nuestro balance difusivo tenemos que considerar que la concentración de las esferas de jabón solo varia en la dirección radial y no varía ni en

NA4 r 2 r  NA4 r 2

r  r



CA t

Dividimos entre el volumen y tenemos que

NA r

r



NAr 2

r  r

r 2 r







ni en

.

4 r 2 r

CA t

lim

r  0

Tomamos el límite cuando



1  2 CA ( r N Ar )  r 2 r t

y resulta que.

Sustituimos la ley de fick teniendo en cuenta que no tenemos flux convectivo.



1  2 CA CA (r DAB ) 2 r r r t

Las condiciones para el sistema son.

CA(r  R, 0)  CA0 CA( R, t )  CA1 CA (0, t )  0 t

25.9 (Welty, Wicks, Wilson) Se hace pasar gas A sobre una superficie catalizadora plana sobre la cual la reacción de dimerización 2A-----B. No hay reacción alguna en la fase fluida. El producto B que se origina, se difunde alejándose de la superficie e internándose en la corriente de fluido. Si la transferencia de masa de A a la superficie se representa por medio de una difusión a través de una capa gaseosa, reduzca la ecuación diferencial general de transferencia de masa para obtener una ecuación diferencial que describa la difusión de A.

108


NAZ NAz

z



NAZ z  NAZ

NAZ

z

z z

lim

z z

NAZ z  NAZ z z



z

z  0

dNAz 0 dz

 C1

 DAB

JAZ  XANT  C 1

NB 

CAB

1 NA 2

CDAB

dxA 1  C 1(1  xA) dz 2

dCA  X A ( N A  NB )  C 1 dz

dxA 1  XA(CA  CB )  C 1 dz 2

CDAB

CAB

dxA 1  xA(1  xA)  C 1 dz 2

1  dxA 1 C1  NA 2  2  dz 1 2 CD AB (1  xA) 2

1 C1 2 In(1  xA)  C 2  Z 2 CDAB CDAB 

dxA  XA( NA  NB )  C1 dz

2 In(1 

1 C1 xA)  Z  C2 2 CDAB

1 2 In(1  xA)  C 2 C1 2  Z CDAB ZC 1 1 2 In(1  xA)  C 2 2

25.11 (Welty, Wicks, Wilson) Un trozo de carbón comprimido está formado con un contenido inicial de humedad de con un radio de humedad de

ρA

ρA

0

. El carbón es de forma aproximadamente esférica

r 0 . Se le coloca en un secador de aire que produce un contenido de ,0

en la superficie inferior. Reduzca la ecuación diferencial general de

transferencia de masa para obtener una ecuación diferencial que describa el proceso de secado en el interior del carbón comprimido. 25.12 (Welty, Wicks, Wilson) un gran carro cisterna se vuelca y derrama su herbicidad sobre un campo. Fluido permanece sobre la tierra durante 30 min, antes de evaporarce en la atmosfera. Reduzca la ecuación general de transferencia de masa para escribir lo que se pide acontinuacion: a) La ecuación diferencial en estado permanente que describa la evaporación del hervicidad en el aire.

109


b) La ecuación diferencial que describa la difucion del herbicida al terreno. Respuesta a) Volumen diferencial

Ece general de balance

Como no hay movimiento del fluido y no hay generación Ra=0 y v=0 C A  DAB  2C A t

Supóngase delta como símbolo del gradiente Como solo hay difusión hacia el aire ósea evaporación quiere decir que solo hay transferencia de masa en la dirección z para nuestro sistema coordenado ) coordenadas cilíndricas.   2Ca C A  DAB  2 t  z 

Respuesta inciso b) Ahora se supone que solo hay transferencia de masa hacia el terreno en dirección radial puesto que se supone que se expande hacia el terreno lo que nos deja:   2Ca 1 C A C A  DAB    2 t r r   r

25.13 (Welty, Wicks, Wilson) Utilice la ecuación diferencial general de transferencia de masa para escribir una ecuación diferencial específica que describa el perfil de concentración de un organismo si a este se le coloca inicialmente, en un fluido estancado o gel y, al difundirse, sufre una división celular que se comporta de acuerdo con la reacción de primer orden: A→2 A Proporcione dos condiciones de frontera que puedan usarse para resolver la ecuación diferencial.

110


[

]

∂C A ∂ N Ax ∂ N Ay ∂ N Az + + + =R A ∂t ∂x ∂y ∂z Suponiendo estado estacionario y que solo hay difusión en z

∂ N Az =R A ∂z

A=¿2 A R¿ Suponiendo que solo hay difusión y que el gel es un medio inmóvil se obtiene:

∂ J Az =2 A ∂z

∂CA ∂ D AB =2 A ∂z ∂z

(

)

2

D AB

∂ CA ∂z

2

=2 A

Condiciones de frontera utilizadas para obtener las constantes serian:

∂C A ( L ) =0 ∂z

C A =C Ao 25.16 (Welty, Wicks, Wilson) Fluye un líquido sobre una hoja delgada y plana de sólido soluble. Sobre la región en la que está ocurriendo la difusión, la velocidad del líquido se puede suponer paralela a la placa y dada por la relación distancia a la placa y

v =ay , donde

y

es la

a es una constante. Demuestre que la ecuación que rige la

transferencia de masa, con algunas suposiciones para simplificarla, es:

∂2 c A ∂2 c A ∂c D + =ay A 2 2 ∂x ∂x ∂y

(

)

Haga una lista de las suposiciones hechas para simplificar la ecuación. Solución:

∇. Ñ A +

δ CA =R A δt

En el estado estacionario

dCA 1) dt =0

111


2) ninguna reacción homogénea

R A =0

3) sin difusión molecular en la dirección z 4) sin movimiento en el fluido en la dirección y

N Ay=−c D AB

d yA +CA v y dy

5) c y DAB son constantes

N X =ay

N AX =−D AB

d cA +a AA y dx

∂ N AX ∂ N Ay + =0 dx dy 2

2

∂ CA ∂CA ∂ CA −D AB +ay −D AB =0 2 2 dx ∂X ∂y D AB

[

2

2

]

∂ C A ∂ CA ∂C A + =ay 2 2 ∂X ∂x ∂y

25.17 (Welty, Wicks, Wilson) Respuesta: los líquidos A y B están separados, inicialmente, por medio de un disco removible al quitar dicho disco, hay una interdifusion unidimencional de ambos líquidos. Escriba la ecuación diferencial de la distribucionde concentraciones, de la especie A y establezca las condiciones de frontera necesarias para resolver la ecuación diferencial.

n Ar r ¿ r+ ∆ r−n Ar r ¿ r n Aθ ¿θ+ ∆ θ−n Aθ ¿θ n Az ¿ z +∆ z−n Az ¿ z ∂ ρ A + + + −r A=0 r∆r r ∆θ ∆z ∂t

∂C A 1 ∂(r N Ar ) 1 ∂ N Aθ ∂ N A + + + =r A ∂t r ∂r r ∂θ ∂z

Con difusividad y densidad constantes:

[ ( )

]

∂C A ∂ C A vθ ∂ C A ∂ CA ∂ C A 1 ∂2 C A 1 ∂ 2 C A 1 ∂ +v r + + vz =D AB r + 2 + +rA ∂t ∂ r r ∂θ ∂z r ∂r ∂r r ∂ θ2 r ∂ z2

112


113

Problemas de Masa Capitulo 18 y 25

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