Prob. 2F2
Relación entre las formulas de la rendija y el anillo circular. Cuando un anillo es muy delgado puede considerarse muy aproximadamente a una rendija estrecha. Por consiguiente, se puede aplicar los resultados del problema 2E. Por ejemplo, a partir del problema 2E es posible obtener la velocidad volumétrica de flujo en un anillo cuyo radio de la pared externa es R y de la interna (1 – ε).R , siendo ε pequeño, tomando 2B igual a εR y ω igual a 2πR, con lo que,
Demostrar que se obtiene el mismo resultado a partir del flujo volumétrico en una sección de corona circular, dado por
Tomando para k el valor (1-ε) y desarrollando la expresión de Q en potencias de ε. Esta operación requiere del uso del a serie de Taylor,
Y efectuar después una división. Sol.
La velocidad volumétrica de flujo, a través de una sección de corona circular esta dada por:
Haciendo k = (1-ε), se tiene:
Desarrollando por partes (1-ε)4 = (1-ε)2 (1-ε)2 = (1 – 2ε + ε2) (1 – 2ε + ε2) = 1 – 4ε + 6ε2 – 4ε3 + ε4
…………………… (3)
1 – (1-ε)4 = 4ε – 6ε2 +4ε3 - ε4 2
3
= ε (4 – 6ε + 4ε – ε )
……………………….. (4)
(1-ε)2 = 1 – 2ε + ε2 1 - (1-ε)2 = 1 - 1 – 2ε + ε2 = 2ε – ε2 (1 - (1-ε)2)2 = (2ε – ε2)2 = ε2 (2 – ε)2 2
2
= ε (4 – 4ε + 4ε )
………………………….. (5)
……………………… (6)
Reemplazando (4), (5) y (6) en (2):
De donde:
Prob. 2G2
Flujo laminar en una película que desciende por el exterior de un tubo circular. Una experiencia de absorción de gases, un fluido viscoso asciende por el interior de un pequeño tubo circular, para descender después por la parte por la parte exterior del mismo. a) Demostrar que la distribución de la velocidad en la película descendente (despreciando los efectos finales) es:
b) Obtener una expresión para la velocidad volumétrica de flujo en la película. c) Demostrar que el resultado obtenido en b) se transforma en:
La siguiente fig. muestra en forma esquemática el proceso de flujo:
r z
R aR
Sol. a) Balance de cantidad de movimiento en estado estacionario (Veloc. de entrada C.M.) – (Veloc. de salida C.M.) + (suma de las fuerzas que actúan sobre el sistema) = 0 Elemento del fluido de volumen
2πr Δr Δz
2πr Δz τrz ǀr
2πr Δz τrz ǀr
Trasporte molecular de cantidad de movimiento
2πr Δr (ρ Vz2) ǀz
Fig. 1
Transporte conectivo de cantidad de movimiento
Efecto del campo gravitacional
2πr Δr Δz ρg
2πr Δr (ρ Vz2) ǀz + Δz
Considerando la figura 1, el balance de cantidad de movimiento alrededor de un elemento infinitesimal de fluido, de volumen 2 πr Δr Δz, conduce a: (2πr Δz τrz ǀr + 2πr Δr (ρ Vz2) ǀz) - (2πr Δz τrz ǀr + Δz + 2πr Δr (ρ Vz2) ǀz) + (2πr Δr (ρ Vz2) ǀz + Δz) = 0 Dividiendo ahora entre el volumen 2π r Δr Δz y ordenando se obtiene:
Balance de materia en estado estacionario
2πr Δr (ρ Vz) ǀz Área de flujo 2πr Δr Δz
Elemento de fluido de volumen 2πr Δr Δz
2πr Δr (ρ Vz) ǀz + Δz (Veloc. de entrada de materia) – (Veloc. de salida de materia) = 0
2πr Δr (ρ Vz) ǀz - 2πr Δr (ρ Vz) ǀz + Δz = 0 Simplificando y considerando que el fluido es incompresible ( ρ = cte.), se deduce: Vz ǀz = Vz ǀz + Δz Que indica que la velocidad del fluido V z es la misma en cualquier posición Z. Este resultado permite eliminar el 2do término del primer miembro de la ecuación (2), es decir:
Tomando límite cuando Δr 0, se tiene:
Y ahora, teniendo en cuenta la ley de newton de la viscosidad:
Y sustituyendo en (4), se obtiene la ecuación diferencial para el flujo de una película que desciende por el exterior de un tubo circular:
Sujeta a las condiciones límites: (C.L.1) (C.L.2)
r = R , Vz = 0 r = aR , dVz/dr = 0
Integrando:
Reemplazando la C.L.2 en la ecuación (7), se tiene:
De donde:
Reemplazando, ahora la C.L.1 y la ec. (9) en (8):
De donde:
Luego, sustituyendo las ec. (9) y (10) en (8), se obtiene la distribución de velocidad de la película descendente (despreciando los efectos finales):
b) Velocidad volumétrica de flujo en la película descendente Vz(r)
r
r + dθ
Área de flujo dA = rdθ dr
Por definición, el caudal o velocidad volumétrica de flujo esta dada por:
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ * + ∫ ∫∫ ∫
Haciendo n = r/R
Integrando término a término se obtiene:
Ordenado:
ec. Del caudal de la película
c)
δ = espesor de la película
liquida que desciende. δ = aR – R = R(a – 1) ω = ancho de la película = 2πR δ
ω
Reemplazando 2πR por ω y R3 por δ3/(a – 1)3, se obtiene:
Aplicando sucesivamente el teorema de L’ Hospital, se obtiene:
Y reemplazando en la ec. (13) obtenemos la ec. De flujo volumétrico de una película liquida muy delgada que desciende por la superficie exterior de un tubo circular:
Prob. 2H2
Flujo No – Newtoniano en un tubo circular a) Deducir la formula análoga a la de Hagen- poiseuille para el modelo de Ostwald de Wale (ley de la potencia). Al hacer la deducción debe de eliminarse primeramente el signo de valor absoluto. Como para el flujo en un tubo dVz/dr es siempre negativo, la ley de la potencia se transforma en este caso en:
||
Explicar cuidadosamente estas transformaciones. b) Deducir una expresión de la velocidad volumétrica para el flujo en un tubo de un fluido de Ellis:
Sol.
a) En la figura siguiente se muestra un elemento infinitesimal de fluido, de volumen rΔrθΔz, que se desplaza axialmente por el interior de un tubo circular:
Dirección z
r∆θ ∆z
∆r
∆θ
Eje central del tubo Fig. 1
Transporte molecular (viscoso) de cantidad de movimiento
r∆θ∆zτrzІr+∆r
r∆θ∆zτrzІr
α
Fig. 2
Transporte convecctivo de cantidad de movimiento
r ∆θ Δr (ρ Vz2) ǀz + Δz
r ∆θ Δr (ρ Vz2) ǀz
Fig. 3
Acción de las fuerzas de presión y del campo gravitacional
r ∆θ Δr Pǀz
r∆θΔr∆zρg sen α
r ∆θ Δr P ǀz + Δz
r ∆θ Δr ∆z
La aplicación del balance de movimiento al elemento del fluido de la fig. (1), conduce a:
[ () ][ ( )] ()
Dividiendo entre el volumen r∆r∆θ∆z y ordenado se tiene:
Balance de materia en estado estacionario:
θΔ
θΔ
ρ
ρ
(Veloc. de entrada de materia) – (Veloc. de salida de materia) = 0
de donde:
(ρVz)ǀz = (ρVz)ǀz+∆z
Como ρ = cte. (fluido incompresible), se deduce que: Vzǀz = Vzǀz+∆z…………………. (4) Este resultado indica que la velocidad del fluido es constante a lo largo de una línea de corriente, es decir Vz = cte. En cualquier posición z. Así mismo, la ec. (4) permite eliminar el segundo termino del primer miembro de la ec. (3), así:
Al tomar limites cuando ∆z 0 y ∆z 0, se obtiene:
Y haciendo P= p – ρgz senα, se tiene:
Ya que la presión de un fluido que fluye por una tubería varia linealmente en función de la longitud, yendo de mayor a menor presión.
Para un fluido cuyo comportamiento reologico está dado por la le de potencia, el esfuerzo cortante se define como:
Como para un flujo de fluidos en un tubo circular dVz/dr es siempre negativo, entonces:
Asi mismo, como el valor absoluto de una cantidad negativa o positiva es siempre positiva, se tiene:
Luego, la ec. (6) se transforma en:
Ahora, reemplazamos la ec. (7) en (5), se obtiene:
Sujeta a las siguientes condiciones límites: (C.L.1): (C.L.2):
r = 0 , dVz/dr=0 r=0
,
Vz = 0
Si se integra una vez, la ec. (8) conlleva a:
Teniendo en cuenta la C.L.1, se deduce que C 1 = 0 Luego,
De donde:
⁄ ⁄
Integrando otra vez se obtiene:
⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ *⁄ ⁄+ ⁄ ⁄ * ⁄+
Como Vz = 0, para r = R (C.L.2), entonces:
Ahora al sustituir el valor de C2 en la ec. (9), se deduce el perfil de velocidad para el flujo de un fluido que sigue la ley de la potencia, es decir:
Flujo volumétrico o caudal
El flujo volumétrico, para un tubo circular, está dado por:
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ * ⁄+
Sustituyendo (10) en (11), se tiene:
Siendo,
⁄ ⁄ ∫ * ⁄+
Integrando (12), se obtiene:
Y haciendo x = r/R:
⁄ ∫ * + ∫ * ⁄+
Reemplazando B, se obtiene la ec. Análoga a la de Hagen – Poiseuille para el modelo de Ostwald de waele:
⁄ ⁄ ||
b) Velocidad volumétrica de flujo para un fluido de Ellis que fluye por una tubería circular.
Cuya integración conduce a:
Como τrz = 0, cuando r = 0, entonces C1 resulta ser 0, es decir:
Luego, de la ec. (14) se deduce:
Por otro lado, el modelo de Ellis representado por:
||
Consta de tres parámetros positivos ajustables:
,
y α.
Asi mismo, el valor absoluto de τrz siempre es positivo. Por tanto, el termino:
También es positivo. También en la parte a), se ha iniciado que para el flujo de fluido en un tubo circular dVz/dr es siempre negativo y por consiguiente:
De lo anterior expuesto, necesariamente el esfuerzo cortante debe ser positivo. Luego, se deduce que:
Prob. 2I2
Flujo de un fluido de Bingham en un tubo circular Un tubo vertical está lleno de un fluido de Bingham y cerrado por el extremo inferior mediante una lámina. Al separar la lámina, el fluido puede salir o no del tubo por gravedad. (Véase la Fig. 2.1) Explíquese este hecho y establézcase un criterio de flujo para este experimento.
