CALCULO DE FENOMENOS TRANSITORIOS TRANSITORIOS HIDRÁULICOS EN CONDUCTOS A PRESIÓN Un flujo es estacionario o permanente cuando sus parámetros característicos (presión y velocidad) no varían en el tiempo. Si las condiciones del flujo varían en el tiempo, éste es no estacionario, no permanente o transitorio. Se distinguen 3 tipos de transitorios hidráulicos: Transitorio muy lento o cuási-estático, en el que las variables del flujo varían de manera muy lenta en el tiempo (con períodos del rango de intervalos de varias horas hasta varios días). Como un ejemplo se tiene el flujo no permanente en una red de agua potable, cuyos cambios se generan por la variación del consumo y de los niveles de agua en los tanques. Debido a que las variaciones en este tipo de flujo son muy lentas, no es necesario considerar en los métodos de análisis la inercia del flujo ni las propiedades elásticas del fluido y de las tuberías, y el flujo transitorio se puede modelar con una aplicación sucesiva de un modelo estático. Una simulación de este tipo se conoce también con el nombre análisis de períodos extendidos. T Transitorio lento u oscilación de masa, que se relaciona ante todo con el movimiento de la masa de agua en la conducción, semejante a la oscilación en dos vasos comunicantes. Los cambios de las variables en este tipo de transitorio son significativos pero no tanto como para tomar en consideración las propiedades elásticas del fluido y de las tuberías. El período de un transitorio de este tipo normalmente es de varios minutos a varias horas, y es suficiente un modelo que considere solamente el movimiento y la inercia del volumen de agua en las tuberías. Transitorio rápido o golpe de ariete, generado por cambios bruscos de la velocidad en la tubería derivados de maniobras rápidas como la parada repentina de una bomba o el cierre rápido de una válvula. Los cambios bruscos en la velocidad se acompañan de cambios bruscos en la presión que se propagan por la tubería, generando ondas de presión de período muy corto (apenas varios segundos). Las variaciones de presión en un transitorio de este tipo son importantes, por lo que resulta necesario considerar los efectos elásticos de la tubería y del líquido. En los proyectos de conducciones para agua potable pocas veces resulta necesario un análisis de períodos extendidos, siendo éste más importante para las redes de distribución. Un caso donde puede resultar necesario, es el caso de una red de conducción con varios tanques con o sin bombeo; para analizar el llenado y vaciado de los tanques en el día.
VELOCIDAD DE PROPAGACIÓN DE LA ONDA DE PRESIÓN (CELERIDAD) Cualquier cambio repentino en las condiciones del flujo que se origina en un punto de una tubería a presión se trasmite (propaga) por la tubería con una velocidad que depende de la elasticidad del fluido y de la pared de la tubería. Esta velocidad se señala con a y se denomina también celeridad, para distinguirla de la velocidad del flujo v.
ao
a=
T
(1.1)
1 + E agua D E mat δ Si la tubería fuera completamente indeformable (completamente rígida), la velocidad a sería igual a la velocidad de propagación del sonido en el fluido. La deformabilidad de la tubería disminuye la velocidad de propagación, de forma tal que es válida la siguiente ecuación: 1
Donde:
aoB - velocidad del sonido en el agua. B Eagua módulo de elasticidad volumétrica del agua. B EmatB - módulo de elasticidad (módulo de Young) del material del tubo. B D
- diámetro interior del tubo.
δ
- espesor de la pared del tubo.
La velocidad del sonido en el agua ao depende de la temperatura; para las temperaturas normales del agua en conducciones tiene valores de 1425 a 1440 m/s. El módulo de elasticidad del agua es igual a 2.074 x 10 9 N/m 2 (2.115 x 10 4 kg/cm 2 ) . El valor de E mat se toma de la Tabla 1.1. BB
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
B
B
La ecuación (1.1) es válida para tubos de pared delgada. Para el cálculo de la velocidad de propagación a se considera que un tubo es de pared delgada si su relación D/δ es igual o mayor de 25. Para tubos de pared gruesa, es decir, cuando D/δ es menor de 25 se utiliza la siguiente ecuación:
ao
a=
(1.2)
T
1 + Eagua DC Emat δ
El coeficiente C se calcula de la siguiente forma:
2δ T
T
D (1-μ 2 ) (1+μ )+
C=
T
D+δ
D
Donde μ es el coeficiente de Poisson que depende del material del tubo y se da en la Tabla 1.1. Tabla 1.1 Módulo de elasticidad, coeficiente de Poisson μ y magnitud tentativa de la velocidad de propagación a para materiales de tuberías
Material
E mat B
E mat
B
B
N/m2.10-9 P
P
P
Magnitud de a
B
kg/cm2.10-3 P
P
2
P
P
(m/s) P
Acero Fibro cemento Concreto presforzado Hierro dúctil Polietileno alta densidad PVC
200 - 212 23.5 39 166 0.59 - 1.67 2.4 - 2.75
2,030 - 2,160 240 398 1,690 6 - 17 2.45 - 2.81
0.30 0.30 0.15 0.28 0.45 0.45
1000 - 1250 900 - 1200 1050 - 1150 1000 - 1350 230 - 430 300 - 500
Usando los valores de Emat y μ de la Tabla 1.1, y las dimensiones D y δ de algunos de los tubos usados en líneas de conducción de agua potable, en la última columna de la Tabla 1.1 se presenta la magnitud tentativa de la velocidad de propagación a para tubos de diferentes materiales. Las siguientes dos primeras conclusiones se desprenden de los valores de esta tabla: B
B
a) Los cambios en el régimen de flujo a presión en una tubería se trasladan muy rápidamente de un punto a otro. Es por esto que los transitorios son bruscos y tienen una duración bastante corta. b) En las tuberías de material flexible (PVC y polietileno) los transitorios son menos bruscos que los transitorios en las tuberías de material rígido (acero, fibro cemento, concreto, hierro dúctil). PULSO DE JOUKOWSKY Teóricamente puede demostrarse que cualquier cambio instantáneo en la velocidad del flujo a presión, Δv en un punto de una tubería, genera una variación instantánea ΔH de la carga hidráulica en el mismo punto según la siguiente ecuación: a ΔH =
Δv
T
(1.4)
g donde g es la aceleración de la gravedad (g = 9.81 m/s2) y a es la velocidad de propagación de la onda. La ecuación (1.4) fue obtenida por el científico ruso Joukowsky, por lo cual se conoce con el nombre fórmula de Joukowsky, y la sobrepresión instantánea ΔH que se obtiene se denomina pulso de Joukowsky. La fórmula de Joukowsky muestra que las sobrepresiones que se producen en los transitorios pueden ser sumamente altas. Como un ejemplo, la detención instantánea de un flujo con una velocidad de unos 2 m/s en una tubería de acero (a ≈ 1,000 m/s) daría un incremento de presión del orden de los 200 m.c.a. Un incremento de presión de esa magnitud sería destructivo para la mayoría de las tuberías de conducción de agua potable. Afortunadamente los cambios del flujo no son instantáneos y las sobrepresiones normalmente no son tan altas. Los cambios en la carga hidráulica y velocidad ΔH y Δv, se trasmiten por la tubería como una onda de presión con una celeridad a, hasta que encuentren un punto de cambio ya sea de diámetro o de material, una unión con otras tuberías o un extremo de la tubería. En estos puntos la magnitud de ΔH y
Δv se transforma como se explica más adelante en el subcapítulo 1.4. Una disminución de la velocidad del flujo en la tubería genera un incremento de la presión (sobrepresión) aguas arriba y una disminución de la presión (depresión) aguas abajo, y viceversa. Esta situación se ilustra en la Figura 1.1 para el cierre de una válvula intermedia en una tubería. El cierre reduce la velocidad generando variaciones de presión, las cuales se propagan en ambos sentidos. En 3
otras palabras, la disminución repentina de la velocidad en un punto de la tubería genera una retención del flujo aguas arriba y con esto una sobrepresión repentina, y una liberación del flujo y una depresión repentina aguas abajo.
Figura 1.1 Sobrepresión y presión que genera le cierre De una válvula en un puno intermedio de una tubería TRANSFORMACIÓNES DE LAS ONDAS DE PRESIÓN En su propagación por la tubería las ondas de sobrepresión o depresión cambian su magnitud ΔH cuando encuentran un cambio del diámetro de la tubería. Una parte de la sobrepresión (depresión) continua después del cambio de diámetro, y otra parte se regresa (se refleja). Se define como coeficiente de transmisión s, a la relación de la sobrepresión (depresión) que continúa propagándose después del cambio de diámetro, con respecto a la que llega. Si el área de la tubería antes del cambio de diámetro es A1 , y después del cambio A2 , se puede demostrar que el coeficiente B s se especifica por la siguiente ecuación: B
B
B
2
A1
s=
(1.5)
T
A1+ A2 2
Ai (1.7)
s= ΣA De modo análogo se define el coeficiente de reflexión r, que expresa la relación de la sobrepresión reflejada con respecto a la que llega: r = 1- s (1.6)
T
Para el caso general de una unión de más de dos tuberías (Figura 1.2) se tiene: 4
T
Figura 1.2 Arribo de una onda de presión a una unión de tubos.
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Con i se designa la tubería desde la cual llega la sobrepresión (depresión); el coeficiente r se define sólo para ésta, y el coeficiente s se refiere a cada una de las restantes tuberías. Para un número de n tuberías de igual diámetro: 2 s= n Para el caso de una unión de dos tuberías con áreas A1 y A2 , y una sobrepresión (depresión) que llega por la tubería 1, la ecuación (1.7) se escribe como: B
B
B
B
2 A1 S = _____ A1 + A2 De acuerdo con esta última ecuación, cuando una sobrepresión (depresión) pasa de una tubería de diámetro menor a otra de diámetro mayor, la mayor parte de ésta se refleja (s < 1). Cuando la tubería se une con un tanque, éste puede considerarse como una tubería de diámetro muy grande (A2 = ∞, Figura 1.3). Para A2 = ∞ de las ecuaciones (1.5) y (1.6) se obtiene: B
B
B
B
s = 0, r = 1 Es decir, las sobrepresiones (depresiones) que llegan a un tanque no se transmiten y se reflejan por completo. Este hecho puede explicarse de la siguiente manera también: En el momento de llegar una sobrepresión al tanque en la tubería se tiene un nivel piezométrico instantáneo más alto que el nivel de agua en el tanque, y el agua en la tubería se encuentra comprimida más de lo habitual debido a la sobrepresión. La diferencia en los niveles piezométricos genera un flujo de la tubería hacia el tanque, que va descomprimiendo el agua y tiende a establecer en la tubería un nivel piezométrico igual al nivel de agua existente en el tanque. La presión en la tubería va bajando desde el tanque, y eso representa exactamente una onda de depresión reflejada. Inversamente, cuando una sobrepresión pasa de una tubería de diámetro mayor a otra de diámetro menor la sobrepresión incrementa su valor. El caso límite responde a un extremo cerrado, el cual puede considerarse como transición de cierto diámetro dado a otro diámetro igual a cero. Por las ecuaciones (1.5) y (1.6) se obtiene: s = 2, r = - 1
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Es decir, en caso de encontrarse con un extremo cerrado la sobrepresión (depresión) duplica su valor (Figura 1.4). Este hecho puede explicarse de la siguiente manera también: La onda de sobrepresión se genera por una disminución de la velocidad del flujo, que va propagándose por la tubería. Utilizando el principio de la superposición, la velocidad resultante en la tubería puede considerarse como una superposición de dos velocidades: la del flujo original antes de la sobrepresión y otra de un flujo ficticio en sentido contrario con velocidad igual a la disminución de velocidad que genera la sobrepresión. En el momento de llegar la sobrepresión a un extremo cerrado, el flujo ficticio en sentido contrario se detiene instantáneamente produciéndose una nueva sobrepresión según la fórmula de Joukowsky que se suma con la sobrepresión original, duplicándose de esta manera la sobrepresión de llegada.
Figura 1.3 Reflejo de una onda de sobrepresión de un tanque
Figura 1.4 Reflejo de una onda de sobrepresión de un extremo cerrado . TRANSITORIO EN UNA CONDUCCIÓN DE BOMBEO GENERADO POR EL PARO DE BOMBAS
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De los transitorios que se pueden presentar en una conducción por bombeo, el más desfavorable es el caso de una parada repentina de las bombas en operación, situación que se manifiesta al interrumpirse el suministro de energía eléctrica. En esta sección se examina el caso más frecuente de bombas con válvulas de no retorno que elevan el agua de un nivel a otro ubicado más alto por medio de una tubería de longitud L. Para simplificar el análisis, la tubería se supone de diámetro y velocidad de propagación de la onda constante y la influencia de las pérdidas de carga por fricción no se considera. Se presentan por separado los casos sin separación de columna y con separación de columna, dado que el fenómeno es esencialmente diferente en los dos casos. Casos sin separación de columna líquida Con el cese del suministro de energía eléctrica los equipos de bombeo rápidamente disminuyen su velocidad y con esto se reduce el gasto bombeado, lo que ocasiona depresiones sucesivas las cuales se propagan desde la planta de bombeo por la tubería con una velocidad a. Al llegar al final de la tubería éstas se reflejan y regresan. El tiempo en el que un cambio en la presión recorre la distancia de una ida y una vuelta por la tubería es 2L/a, y se denomina tiempo de duración de la fase y se señala con Tf . B
B
Si el tiempo en que las bombas dejan de impulsar agua a la tubería es menor que T f la velocidad en el inicio de la tubería disminuirá de alguna forma desde la velocidad inicial v o B
B
B
hasta cero. Cada disminución en la velocidad Δv generará una disminución en la carga ΔH (una depresión) según la fórmula de Joukowsky (1.4), de forma tal que la depresión total resultante será: B
Δ
v
∑ΔH = ∑ a. v = a. o (1.8) g g
T
Si el tiempo en que las bombas dejan de impulsar agua es mayor que Tf las variaciones en el régimen del flujo que se originan en el inicio de la tubería regresarán reflejadas al mismo punto un tiempo T f más después y modificarán las depresiones que se siguen generando. B
B
B
B
La Figura 1.5-(a) representa la línea piezométrica en la tubería en las condiciones de régimen permanente antes del transitorio. Con el cese del suministro de energía eléctrica al inicio de la tubería se presentan depresiones, que se propagan hacia el tanque (Figura 1.5-(b)). Al llegar a éste, la onda de depresión se refleja y la onda reflejada se superpone con la onda de depresión que continúa llegando (Figura 1.5-(c)). La onda reflejada tiende a igualar en su recorrido la carga en la tubería con la del tanque y después del tiempo 2L/a llega a las bombas que aún impulsan agua. A partir de este momento el transitorio puede considerarse como el resultado de la superposición de tres ondas (Figura 1.5-(d)):
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1)
La onda de depresión que todavía sale del inicio de la tubería debido a la disminución continúa del gasto de las bombas.
2)
La onda reflejada desde el tanque.
3)
La que resulta del reflejo de la onda 2 desde el inicio de la tubería.
Una vez transcurrido el tiempo 2L/a las ondas 2 y 3 neutralizan en alguna medida la depresión que se genera en las bombas. Esto impide que se produzca completamente la depresión que indica la fórmula de Joukowsky (1.4). Un golpe de ariete, en que se produzca la variación total de la carga ΔH por (1.4) se denomina golpe directo. En caso contrario el golpe es indirecto.
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Figura 1.5 Transitorio sin separación de columna en una línea de bombeo.
Figura 1.5 Transitorio sin separación de columna en una línea de bombeo (continuación)
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Figura 1.5Transitorio sin separación de columna en una línea de bombeo (continuación) Con la disminución de la velocidad de rotación de las bombas, disminuye también la carga desarrollada por éstas. Cuando la carga al inicio de la tubería resulta mayor que la carga que desarrollan las bombas, las válvulas de no retorno cierran y la velocidad al principio de la tubería se hace cero. Esta variación en la velocidad se propaga hasta que en toda la tubería se establezca una velocidad aproximadamente igual a cero y un nivel piezométrico más bajo que el nivel de agua en el tanque (Figura 1.5-(e)). Esto genera un flujo desde el tanque a la tubería, que tiende a restablecer la carga Ho (Figura 1.5-(f)). Al llegar al principio de la tubería este flujo se detiene bruscamente por las válvulas de no retorno que ya se encuentran cerradas, produciéndose una onda de sobrepresión que se propaga deteniendo en su recorrido el movimiento del agua (Figura 1.5-(g)). Al llegar esta onda de sobrepresión al tanque (Figura 1.5-(h)) en toda la conducción se tendrá una carga hidráulica mayor de la que da el tanque, lo que genera un flujo de la tubería hacia el tanque. Este flujo se acompaña de una depresión, que se propaga hacia el inicio de la tubería (Figura 1.5-(i)). Una vez que la depresión llega al inicio de la tubería, se produce una nueva depresión como una reflexión de un extremo cerrado (Figura 1.5-(j)). Puesto que el estado que demuestra la Figura 1.5-(j) es similar a el de la Figura 1.5-(b), a partir de este momento comienza un nuevo ciclo de depresión y sobrepresión y el transitorio presenta un carácter periódico. B
B
La evolución resultante de la carga hidráulica en el inicio de la tubería viene dada en la Figura 1.6.
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Figura 1.6 Evolución de la presión en el inicio de una línea de bombeo durante el transitorio que genera el paro de bombas, sin separación de columna en la línea Conclusiones para el caso de paro de bombas sin separación de la columna:
•
La sobrepresión máxima se produce al inicio de la tubería debido a la detención del flujo inverso ocasionada por las válvulas de no retorno cerradas.
•
Mientras mayor sea el valor de las depresiones al detenerse las bombas, mayores serán las sobrepresiones que se producirán después.
•
Las variaciones máximas de la presión resultan con un golpe directo (con un tiempo de paro de las bombas menor de 2L/a). Para un tiempo de paro mayor de 2L/a (golpe indirecto), por lo tanto mientras mayor sea el tiempo de paro con respecto al de retorno 2L/a menores serán las depresiones y sobrepresiones.
Estas conclusiones son importantes para la selección de una protección antiariete adecuada, como se explica en la parte dos de este libro. Casos con separación de la columna líquida Un ejemplo se muestra en la Figura 1.7. La Figura 1.7-(a) representa las condiciones iniciales (estado de régimen permanente). El paro de las bombas genera en el inicio de la tubería una depresión ΔH, la cual se propaga hacia el tanque (Figura 1.7-(b)). En el momento en que esta depresión llega a un punto la tubería, donde la presión en condiciones de régimen permanente es igual a ΔH (punto A de la Figura 1.7-(c)), en la tubería se origina una presión negativa (un vacío). El vacío en la tubería aumenta aguas abajo del punto A hasta llegar al punto B donde se produce la separación de la columna. Aguas abajo de la separación continúa propagándose hacia el tanque una depresión menor (Figura 1.7-(c)). El volumen de la separación aumenta hasta un momento en que el flujo en la tubería se invierte (del tanque a las bombas), después de lo cual el volumen de la separación disminuye hasta que la separación se cierra. El cierre produce una sobrepresión (Figura 1.7-(d)), la cual se propaga por la tubería en los dos sentidos. Al llegar la sobrepresión a las válvulas de no retorno su valor se duplica (como reflejo de un extremo cerrado) y parte hacia el tanque (Figura 1.7-(e)). Sigue un reflejo desde el tanque (Figura 1.7-(f)) y un nuevo reflejo con
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depresión desde el inicio de la tubería (Figura 1.7-(g)). Si la depresión producida es mayor que Ho + H vacío (donde H vacío es la presión con la cual se produce la separación), al inicio de la tubería puede originarse una nueva separación (Figura 1.7-(g)). Esta separación puede nombrarse surgida secundariamente o secundaria, debido a que es una consecuencia de otra separación ocurrida anteriormente. B
BB
B
B
B
Conclusiones para el caso de paro de bombas con separación de columna:
•
Las sobrepresiones en caso de golpe de ariete con separación de columna pueden presentar valores considerablemente mayores que aquellos que resultan de un golpe de ariete sin separaciones. • Las sobrepresiones resultantes de separaciones en la tubería, al propagarse y encontrar las válvulas de no retorno cerradas duplican su valor; de este modo se produce la sobrepresión máxima. En otras palabras, la causa primaria para la sobrepresión máxima es el choque de las columnas en el momento de la reunificación. • Es posible la obtención de zonas de vacío y separaciones en una gran parte de la tubería. Estas conclusiones son de vital importancia para la selección de una adecuada protección antiariete en caso de separaciones de columna. Sobre este aspecto se profundiza en la segunda parte de este libro.
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Figura 1.7 Transitorio con separación de la columna en una línea de bombeo.
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Figura 1.7 Transitorio con separación de la columna en una línea de bombeo (continuación)
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