1.En la Edad Oscura, Harvard, Dartmouth y Yale admitieron sólo a estudiantes varones. Asumir Que, en ese momento, el 80 por ciento de los hijos de los hombres de Harvard fueron a Harvard y El resto fue a Yale, el 40 por ciento de los hijos de los hombres de Yale fueron a Yale, y el resto Dividido uniformemente entre Harvard y Dartmouth; Y de los hijos de Dartmouth, 70 El porcentaje se destinó a Dartmouth, el 20 por ciento a Harvard y el 10 por ciento a Yale. (I) Encontrar La probabilidad de que el nieto de un hombre de Harvard fuera a Harvard. (Ii) Modificar Lo anterior asumiendo que el hijo de un hombre de Harvard siempre fue a Harvard. De nuevo, Encontrar la probabilidad de que el nieto de un hombre de Harvard fue a Harvard. 2. Considere un experimento de conejos de apareamiento. Observamos la evolución de un gen particular que aparece en dos tipos, G o g. Un conejo tiene un par de genes, ya sea GG (dominante), Gg (híbrido: el orden es irrelevante, por lo que gG es el mismo que Gg) o gg (recesivo). En el apareamiento de dos conejos, la descendencia hereda un gen de cada uno de sus padres con probabilidad. Por lo tanto, si unimos a un dominante (GG) con un híbrido (Gg), la descendencia es Dominante con probabilidad 1/2 o híbrido con probabilidad 1/2. Comience con un conejo de determinado carácter (GG, Gg, o gg) y mate con un híbrido. los La progenie producida se vuelve a acoplar con un híbrido, y el proceso se repite a través Un número de generaciones, siempre apareando con un híbrido. (I) Anote las probabilidades de transición de la cadena de Markov así definida. (Ii) Supongamos que comenzamos con un conejo híbrido. Sea μn la distribución de probabilidad Del carácter del conejo de la generación n -ésima. En otras palabras, Μn (Gg), μn (Gg), μn (gg) son las p robabilidades de que el conejo de la generación n-ésima n-ésima sea GG, Gg, o gg, respectivamente. Calcule μ1, μ2, μ3. ¿Se puede hacer lo mismo para μn para general ¿norte? 3. Una
cierta máquina de cálculo utiliza solamente los dígitos 0 y 1. Se s upone que transmite Uno de estos dígitos a través de varias etapas. Sin e mbargo, en cada etapa, hay una probabilidad P que el dígito que entra en esta etapa se cambia cuando sale y un Probabilidad q = 1 - p que no lo hará. Formar una cadena de Markov para representar el proceso de Transmisión tomando tomando como estados los dígitos 0 y 1. ¿Qué es la matriz de transición Probabilidades Ahora dibuje un árbol y asigne probabilidades asumiendo que el proceso comienza en estado 0 y se mueve a través de dos etapas de transmisión. ¿Cuál es la probabilidad de que el Máquina, después de dos etapas, produce el dígito 0 (es d ecir, el dígito correcto)? 4. Supongamos que la profesión de un hombre puede clasificarse como profesional, obrero experto, O mano de obra no calificada. Supongamos que, de los hijos de hombres profesionales, el 80% Profesionales, el 10 por ciento son obreros calificados y el 10 por ciento son obreros no calificados. En el caso de los hijos de obreros calificados, el 60 por ciento son obreros calificados, el 20 p or ciento son Profesionales, y el 20 por ciento no son calificados. Por último, en el caso de los trabajadores no calificados, 50 por ciento de los hijos son obreros no calificados, y el 25 por ciento cada uno está en el otro Dos categorías. Supongamos que cada hombre tiene al menos un hijo, y forma una cadena de Markov Siguiendo la profesión de un hijo elegido al azar de una familia dada a través de varios Generaciones. Establecer la matriz de las probabilidades de transición. Encuentre la probabilidad de que un Elegido al azar nieto de un trabajador no calificado es un hombre profesional. 5. Tengo 4 paraguas, algunos en casa, algunos en la oficina. Sigo moviéndome entre el hogar Y oficina. Me llevo un paraguas solo si llueve. Si no llueve dejo el Paraguas detrás (en casa o en la oficina). Puede ocurrir que todos los paraguas estén Un lugar, estoy en el otro, empieza a llover y debe irse, así que me mojo. 1. Si la probabilidad de lluvia es p, ¿cuál es la pro babilidad de que me moje? 2. Las estimaciones actuales muestran que p = 0,6 en Edimburgo. Cuantos paraguas debo Tienen para que, si sigo la estrategia anterior, la probabilidad de que me moje es menor de 0,1? 10. Smith está en la cárcel y tiene 3 dólares; Puede salir en fianza si tiene 8 dólares. Un guar dia
Se compromete a hacer una serie de apuestas con él. Si Smith apuesta un dólar, gana un dólar Con probabilidad 0.4 y pierde A dólares con probabilidad 0.6. Encuentra la probabilidad de que Gana 8 dólares antes de perder todo su dinero si (a) apuesta 1 dólar cada vez (tímido estrategia). B) apuesta, cada vez, tanto como sea posible, pero no más de lo necesario para Llevar su fortuna hasta 8 dólares (estrategia audaz). C) ¿Qué estrategia da a S mith la Mejor oportunidad de salir de la cárcel? 17. Dos jugadores, A y B, juegan el juego de los centavos a j uego: en cada vez n, cada jugador Tiene un penique y debe convertir secretamente el penique a las cabezas o las colas. Los jugadores entonces Revelan sus elecciones simultáneamente. Si los peniques coinciden (ambas cabezas o ambas colas), El jugador A gana el penique. Si las monedas no coinciden (una cabeza y una cola), el jugador B gana el penique. Supongamos que los jugadores tienen entre ellos un total de 5 peniques. Si En cualquier momento un jugador tiene todos los peniques, para mantener el juego en marcha, le da uno Volver al otro jugador y el juego continuará. (A) Mostrar que este j uego puede ser Formulado como una cadena de Markov. B) ¿Es la cadena regular (irreducible + aperiodic?) (C) Si el jugador A comienza con 3 peniques y el jugador B con 2, ¿cuál es la probabilidad de que A Perderá sus peniques primero? 18. Un proceso se mueve sobre los números enteros 1, 2, 3, 4 y 5. Comienza en 1 y, en cada sucesivo Paso, se mueve a un entero mayor que su posición actual, moviéndose con igual probabilidad A cada uno de los restantes enteros más grandes. El estado cinco es un estado absorbente. Encontrar El número esperado de pasos para llegar al estado cinco. 30. Una compañía de seguros de auto clasifica a sus clientes en tres categorías: pobre, satisfactoria Y preferido. Nadie pasa de pobre a preferente o de preferente a pobre en un año. 40% de los clientes de la categoría pobre se convierten en satisfactorios, el 30% Los de la categoría satisfactoria se mueven a los pr eferidos, mientras que el 10% se vuelven pobres; 20% de Los que están en la categoría preferida se degradan a satisfactorios. (A) Escriba la matriz de transición para el modelo. (B) ¿Cuál es la fracción limitante de los conductores en cada una de estas categorías? Claramente Teorema que está aplicando para calcular esto.) 31.
El Presidente de los Estados Unidos le dice a la persona A su intención de correr o no En las próximas elecciones. Entonces A transmite la noticia a B, quien a su vez transmite el mensaje A C, y así sucesivamente, siempre a alguna nueva persona. Asumimos que hay una probabilidad A que una persona cambiará la respuesta de sí a no cuando la transmita a la siguiente Persona y una probabilidad b que él o ella lo cambiará de no a sí. Elegimos como Indica el mensaje, sí o no. Las probabilidades de transición son El estado inicial representa la elección del Presidente. Supongamos que a = 0.5, b = 0.75. (A) Suponga que el Presidente dice que él o ella correrán. Encuentre la longitud esperada De tiempo antes de la primera vez que la respuesta se pasa incorr ectamente. (B) Encuentre el tiempo medio de recurrencia para cada estado. En otras palabras, encontrar lo esperado Cantidad de tiempo ri , Para i = sí e i = no se requiere volver a ese estado 63. En tenis, el ganador de un juego es el pri mer jugador en ganar cuatro puntos, a menos que la puntuación sea 4-3, en cuyo caso el juego debe continuar hasta que un jugador gane por dos puntos. Suponer Que el juego ha llegado al punto en el que un jugador está tratando de obtener dos puntos por delante Para ganar y que el servidor independientemente gane el punto con probabilidad 0.6. Qué Es la probabilidad de que el servidor ganará el juego si el marcador está empatado 3-3? Si está adelante Por un punto Detrás de un punto?
81.
Hay dos barajas de cartas. La baraja 1 contiene 50 cartas rojas, 30 cartas azules y 20 Jokers. La cubierta 2 contiene 10, 80, 10, respectivamente. En cada etapa seleccionamos una tarjeta de cubierta. Si seleccionamos una tarjeta roja entonces, seleccionamos una tarjeta de la otra cubierta en la siguiente etapa. Si seleccionamos una tarjeta azul, seleccionamos una carta de la misma cubierta en la siguiente etapa. Si, en cualquier etapa, un Joker es seleccionado,
entonces el juego termina. Las tarjetas se sustituyen Las cubiertas. Establecer una cadena de Markov y encontrar, si primero recoger una tarjeta al azar de Una baraja al azar, cuántos pasos se tarda en la media para que el juego termine.
