EJERCICOS DE CADENA DE MARKOV 1. Una computadora se inspecciona. Se encuentra que está trabajando o que está descompuesta. En el primer caso, la probabilidad de que siga así la siguiente hora es de 0.95. Si está descompuesta, se repara, lo que puede llevar más de una hora. Siempre que la computadora este descompuesta (sin importar cuánto tiempo pase), la probabilidad de que siga descompuesta una hora más es de 0.5. SOLUCION:
Xi = 2== ==
0: Computadora se encuentra trabajando. 1: Computadora está descompuesta.
Diagrama de estados 0.05 0.95
0
0.5
1 0.5
Matriz de Probabilidades de Transición 0 0 0.95 1 0.5
1 0.05 0.5
P=
0.95
0.05
0.5
0.5
2. En un pueblo, al 90% de los días soleados le siguen días soleados, y al 80% de los días nublados le siguen días nublados. Con esta información modelar el clima del pueblo como una cadena de Markov. SOLUCION: 0: Días soleados.
Xi = 1: Días nublados. 2== Diagrama de estados == 0.9
0.1
0
1 0.2
0.8
Matriz de Probabilidades de Transición 0 0.9 0.2
0 1
1 0.1 0.8
P=
0.9
0.1
0.2
0.8
3. Suponga que la probabilidad de lluvia mañana es 0.5 si hoy llueve y que la probabilidad de un día claro (sin lluvia) mañana es 0.9 si hoy está claro. Suponga además que estas probabilidades no cambian si también se proporciona información sobre el clima de días anteriores a hoy. SOLUCION: a) Los eventos que ocurran en un estado (día con lluvia) dependerá de lo que ocurra en el otro (día sin lluvia) así sucesivamente, y así ocurrirá con la probabilidades. Por lo tanto los estados son dependientes lo que hace que se produzca una cadena de estados respecto al clima. b) Formule la evolución del clima como una cadena de Markov definiendo sus estados y dando su matriz de transición.
0: Día con lluvia.
Xi = 2== ==
1: Día sin lluvia (día claro).
Diagrama de estados 0.5
0
0.5
0.9
1 0.1
Matriz de Probabilidades de Transición
0 1
0 0.5 0.1
1 0.5 0.9
P=
0.5
0.5
0.1
0.9
4. Una partícula se mueve sobre un círculo por puntos marcados 0; 1; 2; 3; 4 (en el sentido de las manecillas del reloj). La partícula comienza en el punto 0. En cada paso tiene una probabilidad de 0.5 de moverse un punto en el sentido de las manecillas del reloj (0 sigue la 4) y una probabilidad de 0.5 de moverse en un punto en el sentido opuesto a las manecillas del reloj. Sea X t (t>=0) a localización en el circulo después del paso t; (Xt) es entonces una cadena de Markov. a) Encuentre la matriz de transición (de un paso). Diagrama de estados 0.5
0: Punto 0
1
1: Punto 1 0.5
Xi = 2== ==
0.5
0.5
2: Punto 2
0.5 0.5
0
3: Punto 3
2
0.5
0.5
4: Punto 4
4
0.5
3 0.5
Matriz de Probabilidades de Transición 0 1 2 3 4
0 0 0.5 0 0 0.5
1 0.5 0 0.5 0 0
2 0 0.5 0 0.5 0
3 0 0 0.5 0 0.5
4 0.5 0 0 0.5 0
P=
0 0.5 0 0 0.5
0.5 0 0.5 0 0
0 0.5 0 0.5 0
0 0 0.5 0 0.5
0.5 0 0 0.5 0
b) Determine la matriz de transición de t pasos Pt para t=5; 10; 20; 40; 80
5
P5 =
0 0.5 0 0 0.5
0.5 0 0.5 0 0
0 0.5 0 0.5 0
0 0 0.5 0 0.5
0.5 0 0 0.5 0
P=
10
5 PP10 =
0 0.5 0 0 0.5
0.5 0 0.5 0 0
0 0.5 0 0.5 0
0 0 0.5 0 0.5
0.5 0 0 0.5 0 20
P20 =
0 0.5 0 0 0.5
0.5 0 0.5 0 0
0 0.5 0 0.5 0
0 0 0.5 0 0.5
0.5 0 0 0.5 0
40
5 PP40 ==
0 0.5 0 0 0.5
0.5 0 0.5 0 0
0 0.5 0 0.5 0
0 0 0.5 0 0.5
0.5 0 0 0.5 0
80
P80 =
0 0.5 0 0 0.5
0.5 0 0.5 0 0
0 0.5 0 0.5 0
0 0 0.5 0 0.5
0.5 0 0 0.5 0
c) Determine las probabilidades de estado.
(π0 , π1 , π2 , π3 , π4 ) = (π0 , π1 , π2 , π3 , π4 ) x
π0 + π1 + π2 + π3 + π4 = 1
0 0.5 0 0 0.5
0.5 0 0.5 0 0
0 0.5 0 0.5 0
0 0 0.5 0 0.5
0.5 0 0 0.5 0
5. El ascensor de un edificio con bajo y dos pisos realiza viajes de uno a otro piso. El piso en el que finaliza el viaje n-ésimo del ascensor sigue una cadena de Markov. Se sabe que la mitad de los viajes que parten del bajo se dirigen a cada uno de los otros dos pisos, mientras que si un viaje comienza en el primer piso, solo el 25% de las veces finaliza en el segundo. Por ultimo, si un trayecto comienza en el segundo piso, siempre finaliza en el bajo. Se pide: a) Calcular la matriz de probabilidad de transición de la cadena b) Dibujar el grafo asociado. c) ¿Cuál es la probabilidad de que, a largo plazo, el ascensor se encuentre en cada uno de los tres pisos.
SOLUCION: 0: Bajo.
Xi = 2== ==
1: 1º Piso 2: 2º Piso
b) Diagrama de estados
0.5 0.5
0
1 0.75
2 0.25
1
a) Matriz de Probabilidades de Transición
0 1 2
0 0 0.75 1
1 0.5 0 0
2 0.5 0.25 0
P=
0
0.5
0.5
0.75
0
0.25
1
0
0
c) Estado estable
(π0 , π1 , π2 ) = (π0 , π1 , π2 ) x
π0 + π1 + π2 = 1
0
0.5
0.5
0.75
0
0.25
1
0
0
