Practica Calificada N°5 Problemas: 1. Para Para la sigu siguie ient nte e matr matriz iz de tran transi sici ción ón,, calc calcul ule e la prob probab abil ilid idad ad de encontrars encontrarse e en el estado estado A después después de tres periodos periodos para un estado estado inicial de [0.5,0.5] .
A B
A 0.3 0.5
B 0.7 0.5
2. Para Para la matriz matriz de transi transició ción n del del proble problema ma 1, calcu calcule le las probabil probabilida idades des del estado estacionario para los estados A y B . 3. Para Para la siguien siguiente te matriz matriz de de transici transición, ón, calcu calcule: le:
las probabilidades probabilidades de encontrarse encontrarse en los estados estados X, Y o Z, después de dos periodos, si el estado inicial fue (0.3 0.4 0.3). Si actualmente la variable esta en el valor X cual será la probabilidad que tres periodos después la variable tome el valor de Y. Si el valor de la variable es Y cuantos periodos tienen que pasar en promedio para volver estar en el estado Y por primera vez. v ez. Si actualmente la variable se encuentra en el estado X cuantos periodos tienen que pasar en promedio para pasar al estado Y por primera vez.
X Y Z
X 0.2 0.8 0.7
Y 0.2 0.1 0
Z 0.6 0.1 0.3
4. La Avertz Avertz Company Company renta renta su flotilla flotilla de 500 automóvil automóviles. es. Se inspecci inspecciona ona cada automóvi automóvill una vez a la la seman semana. a. Durante Durante este este tiemp tiempo, o, pudo haber haber estado estado rentado, puede habérsele dado mantenimiento, o pueden haber sucedido ambas cosas. cosas. En la prim primer eraa seman semanaa de junio, junio, se deter determi mino no que 400 autom automóvi óvile less estaban en condiciones de ser rentados, 80 necesitaban reparaciones menores y 20 necesitaban reparaciones reparaciones mayores. En la segunda semana de junio 350 de los automóviles que estaban en buenas condiciones se encontraban en la misma circ circun unst stan anci cia, a, 40 nece necesi sita taba ban n repa repara raci cion ones es meno menore ress y 10 nece necesi sita taba ban n reparaci reparaciones ones mayores. mayores. De los 80 automóvi automóviles les que necesita necesitaban ban reparaci reparaciones ones menores menores,, 50 se encontr encontraban aban en buenas buenas condici condiciones ones,, 25 seguían seguían requiri requiriendo endo reparaci reparaciones ones menores menores y otros otros 5 requerí requerían an ahora ahora reparaci reparaciones ones mayores. mayores. Por último, de los 20 automóviles que requerían reparaciones mayores, 15 estaban en buen buenas as cond condic icio ione nes, s, 3 requ requer ería ían n repa repara raci cion ones es meno menore ress y 2 segu seguía ían n necesitando reparaciones mayores. Elabore una matriz de transición para este problema.
5. Hace mucho tiempo, en una galaxia lejana existió un planeta en el que el clima de cualquier día dependía solo del clima del día anterior. Por ejemplo, la probabilidad de que lloviera hoy dependería solo de lo sucedido ayer. Existen solo tres tipos de clima en este planeta; despejado, lluvia y nieve. En seguida se presenta la matriz de transición diaria para estos tipos de clima:
Despejado Lluvia Nieve
Despejado 0.5 0.4 0.3
Lluvia Nieve 0.3 0.2 0.4 0.2 0.3 0.4
las probabilidades de encontrarse en cada uno de los estados, después de dos periodos, si el estado inicial fue (despejado: 0.2 lluvioso: 0.4 con nieve: 0.4). Si actualmente el clima es despejado. cuál será la probabilidad que tres días después el clima se torne con nieve. Si el día de hoy es lluvioso cuantos días tienen que pasar en promedio para volver estar en un día lluvioso por primera vez. Si actualmente el clima es despejado cuantos días tienen que pasar en promedio para pasar a un día lluvioso por primera vez.
6. En la industria de la cerveza “ligera” tres marcas comparten aproximadamente el 75% de todas las ventas, la Sudco, la Millis y la Schotz. Estas tres marcas compiten en forma intensa por los clientes de la cerveza “ligera”. En tiempos recientes, la Sudco hizo que una agencia externa llevara a cabo un estudio sobre la forma en que los clientes estaban reaccionando a los anuncios. Los resultados del estudio mostraron que después de tres meses, 50% de los clientes de Sudco seguían prefiriendo la Suds Lite, 30% preferían la Millis, Light Beer y 20% preferían la Schotz Easy Beer. De los clientes de Millis, 60% seguían prefiriendo la Millis Light, 30% preferían la Suds Lite y 10% preferían la Schotz Easy. De los clientes de la Schotz, 40% seguían prefiriendo su marca, 30% preferían la Sudco y 30% preferían la Millis. a. Elabore la matriz de transición para este problema de cambio de marca. b. Determine el porcentaje de estado estacionario de los clientes que prefieren cada tipo de cerveza. 7. La Carheel Computers es una nueva empresa que se especializa en la fabricación de minicomputadoras. Sin embargo, las condiciones de flujo de efectivo de la empresa no le permite fabricar más de dos maquinas por mes. La demanda durante cada mes será una o dos maquinas. Existe una probabilidad de 0.3 para la demanda de una maquina y 0.7 para la demanda de dos maquinas. La T arheel Computers considera que debe satisfacer el nivel de demanda, cualquiera que sea. Esto exige que determine una política de producción para satisfacer la demanda. En seguida se muestra una posible política: Inventario inicial 0 1 2
Producción 2 2 1
8. En Smalltown, al 90% de los días soleados siguen días soleados, y al 80% de los días nublados siguen días nublados. Con esta información modelar el clima de Smalltown como cadena de Markov. 9. Se tiene un sistema de inventario en el que la secuencia de eventos durante cada periodo es como sigue: (1) se observa el nivel de inventario (llamemosle i) al principio de del periodo. (2) Si i ≤ 1, se piden 4-i unidades. Si i ≥ 2 , no se hace ningún pedido. (3) no se piden unidades durante el periodo, con probabilidad 1 3 ; se pide una unidad durante el periodo, con probabilidad1 3 , y se piden 2 unidades durante el periodo, con probabilidad1 3 ; se observa el nivel de inventario al principio del siguiente periodo. Defina un estado de periodo como el nivel de inventario al principio del periodo. Determine la matriz de transición que pudiera usarse para modelar este sistema de inventario como cadena de Markov. 10. Una fabrica tiene dos maquinas. Durante cualquier día, cada máquina que trabaja al principio del día tiene probabilidad x de descomponerse. Si se descompone una maquina durante el día, se manda a un taller de reparación y estará trabajando después que se descompuso. Por ejemplo, si una máquina se descompone durante el día 3, estará trabajando al principio del día 5. Si se hace que el estado del sistema sea el numero de maquinas que trabajan al principio del día, formule una matriz de probabilidad de transición para este caso. 11. En relación con el problema 8, suponga que el tiempo de mañana en Smalltown depende del tiempo que haya prevalecido los últimos dos días; como sigue:(1)si los últimos dos días han sido soleados, entonces el 95% de las veces mañana será soleado. (2) Si ayer estuvo nublado y hoy soleado, entonces el 70% de las veces mañana estará soleado. (3) si ayer estuvo soleado y hoy esta nublado, entonces el 60% de las veces mañana estar nublado. (4) Si los últimos dos días fueron nublados, entonces el 80% de las veces mañana será nublado. 12. En el prob. 10, suponga que una maquina que se descompone regresa al servicio tres días después. Por ejemplo, la maquina que se descompone hoy, el día 3 estará trabajando al principio del día. Determine una matriz de transición de probabilidad para este caso. 13. Al principio de cada año, mi automóvil está en buen, regular o mal estado. Un buen automóvil será bueno al principio del año siguiente, con probabilidad 85%, regular con probabilidad 10%, y mal con probabilidad 0.5. Un automóvil regular estará regular al principio del año siguiente con probabilidad 70% y mal con probabilidad 30%. Cuesta 6000 dólares comprar un buen automóvil, uno regular se puede conseguir por 2000 dólares; uno malo no tiene valor de venta, y se debe reemplazar de inmediato por uno bueno. Cuesta 1000 dólares al año el funcionamiento de un buen automóvil, y 1500 dólares el de uno regular. ¿Debo reemplazar mi automóvil tan pronto como se vuelva regular, o debo esperar hasta que descomponga? Suponga a que el costo de funcionamiento de un automóvil durante un año depende del tipo de vehiculo que se tiene a la mano al principio del año (después de llegar cualquier auto nuevo, si es el caso). -
14. Se tiene dos acciones. Las acciones 1, siempre se venden a 10 dólares o 20 dólares. Si hoy las acciones 1 se venden a 10 dólares, hay una probabilidad, 80% de que mañana se venda a 10 dólares. Si las acciones 1 se venden hoy a 20 dólares, hay una probabilidad. 90% a que mañana se vendan a 20 dólares. Las acciones 2 siempre se venden a 10 dólares o a 25 dólares. Si se venden hoy a 10 dólares, hay una probabilidad. 90% a que se vendan mañana a 10 dólares. Si se venden hoy a 25 dólares, hay una probabilidad. 85% de que mañana se vendan a 25 dólares. En promedio. Modele un proceso de Markov ¿Qué acciones se venden a mayor precio?. 15. La compañía de seguros Payoff cobra a sus clientes de acuerdo a su historia de accidentes. Un cliente que no haya tenido accidentes durante los últimos dos años paga 100 dólares de prima anual. Quien haya tenido un accidente en cada uno de los dos últimos años paga una prima anual de 400 dólares. A los que haya tenido un accidente durante solo uno de los últimos dos años se les cobra una prima anual de 300 dólares. Un cliente que tuvo un accidente durante el último año tiene una probabilidad de 10% de accidentarse durante este año. Si un cliente no ha tenido un accidente durante el último año tiene una probabilidad de 3% de sufrir un accidente durante este año. Durante un año dado ¿Cual es la prima que paga en promedio un cliente de Payoff? 16. El departamento de admisión del colegio estatal ha modelado la trayectoria de un estudiante en esa institución como cadena de Markov: Si ahora existen 1000 estudiantes de 1° año y 800 de 2° año (a)¿Cuántos estudiantes de 1° año se espera que no se gradúen? (b)¿Cuántos años en promedio se espera que pase en la escuela un alumno de primer año?¿los años que necesita para graduarse un alumno de 2°año?
1ª año 2º año Sale Termina
1ºaño 2ºaño
Sale
Termina
0.10 0 0 0
0.2 0.20 1 0
0 0.60 0 1
0.70 0.20 0 0
17. El departamento de admisión del colegio estatal ha modelado la trayectoria de un estudiante en esa institución como cadena de Markov:
1ª año 2º año 3º año 4º año Sale Termina
0.10 0 0 0 0 0
2ºaño 0.80 0.10 0 0 0 0
3ºaño 0 0.85 0.15 0 0 0
4ºaño 0 0 0.80 0.10 0 0
Sale 0.10 0.05 0.05 0.05 1 0
Termina 0 0 0 0.85 0 1
Se observa el estado de cada estudiante al principio de cada semestre de otoño. Por ejemplo, si un estudiante es de 3º año al principio de este semestre de otoño, habrá 80% de probabilidad de que al principio del siguiente semestre de otoño
sea de cuarto año, 15% de probabilidad de que aun sea 3º año y 5% de que salga. Suponemos que una vez que sale un estudiante ya nunca vuelve ha inscribirse. (a)Si un estudiante entra al colegio a primer año, ¿Cuántos años se espera que pasen siendo estudiante? (b)¿Cuál es la probabilidad de que se gradué un estudiante de nuevo ingreso? 18. El Herald Tibble obtuvo la siguiente información acerca de sus suscriptores: durante el primer año como suscriptores, el 20% cancelan sus suscripciones. De los que se han suscrito por un año, el 10% cancelan durante el segundo año. De los que se han suscrito por más de dos años, el 4% cancelan durante cualquier año dado. En promedio ¿Cuánto tiempo se suscribe una persona al Herald Tribble? 19. Un bosque consta de dos tipos de árboles: los cuales tienen de 0 a 1.50 metros de alto, y los que son más altos. Cada año, mueren el 40% de los árboles que tienen menos de 1.50 metros, el 10% se venden a 20 dólares cada uno, 30% permanecen entre 0 y 1.50m, y el 20% crecen mas de 1.50m. Cada año, el 50% de los árboles de más de 1.50m se venden a 50 dólares, el 20% lo venden a 20 dólares, y el 30% permanece en el bosque. (a)¿Cuál es la probabilidad de que muera un árbol de 0 a 1.50 metros antes de venderse? (b)Si se planta un árbol de menos de 1.50m, ¿Cuál es el ingreso esperado que se va ha tener con ese árbol? 20. Las cadenas absorbentes de Markov se usan en ventas para modelar la probabilidad de que un cliente que se localiza por teléfono compre finalmente un producto. Considere un cliente posible a quien nunca se ha llamado acerca de comprar un producto. Después de una llamada, hay una probabilidad de 60% de que tenga poco interés en el producto, de 30% que muestre un gran interés en el producto, y 10% de que sea borrado de la lista de los posibles clientes de la compañía. Se tiene un cliente que actualmente tiene poco interés en el producto. Después de otra llamada, hay 30% de probabilidad de que compre el producto, 20% de probabilidad de que sea borrado de la lista, 30% de que el cliente aun tenga poco interés y 20% de que exprese un interés alto. Para un cliente que actualmente exprese alto interés, después de otra llamada hay 50% de probabilidad de que compre el producto, 40% de probabilidad de que siga teniendo gran interés y 10% de probabilidad que tenga poco interés. (a)¿Cuál es la probabilidad de que un nuevo posible cliente al final compre el producto? (b)¿Cuál es la probabilidad de que un posible cliente con poco interés sea borrado de la lista final? (c) En promedio, ¿Cuántas veces habrá que llamar por teléfono a un nuevo posible cliente para que compre el producto, o para que sea borrado de la lista? 21. En el problema de la ruina del jugador, suponga que p=.60. (a)¿Que probabilidad hay de que alcance a ganar 4 dólares? (b)¿Cuál es la probabilidad de que salga sin dinero? (c)¿Cuál es la duración esperada del juego? 22. En el cuidado de pacientes ancianos en un hospital psiquiátrico, una meta principal es la colocación correcta de los pacientes en pensiones u hospitales
para ancianos. El movimiento de pacientes entre el hospital, los hogares externos y el estado absorbente (la muerte) se puede describir mediante la siguiente cadena de Markov. La unidad de tiempo es un mes: Hospital Hogares Muerte Hospital 0.991 0.003 0.006 Hogares 0.025 0.969 0.006 Muerte 0 0 1 Cada mes que pasa un paciente en el hospital cuesta 655 dólares al estado, y cada mes que pasa en una pensión le cuesta 226 dólares, también al estado. Para mejorar la frecuencia de éxitos de colocación de pacientes, el estado recientemente comenzó un “programa de resocialización geriátrica” (GRP) para preparar a los pacientes a desempeñar en las pensiones. Algunos pacientes se colocan en el GRP y a continuación pasan a pensionases menos probable que estos pacientes no la puedan ajustar a sus pensiones. Otros pacientes continúan pasando en forma directa del hospital a las pensiones sin haber tomado parte en el (GRP). El estado paga 680 dólares cada mes lo que cuesta el paciente en el GRP. El movimiento de los pacientes esta gobernado por la siguiente cadena de Markov GRP Hosp. Pension Pension Muerte (GRP) (directo) GRP 0.854 0.028 0.112 0 0.006 Hospital 0.013 0.978 0 0.003 0.006 Pensiones (GRP) 0.025 0 0.969 0 0.006 Pensiones (direct) 0 0.025 0 0.969 0.006 Muerte 0 0 0 0 1 23. Fresco, Inc.; vende refrigeradores. La fábrica otorga una garantía en todos los refrigeradores que especifica cambio gratis de cualquier unidad que se descomponga antes de tres años. Se nos da la siguiente información: (1) el 3% de todos los refrigeradores nuevos falla durante su primer año de funcionamiento; (2) el 5% de todos los refrigeradores con un año de funcionamiento falla durante el segundo año de trabajo, y (3) el 7% de todos los refrigeradores con dos años de funcionamiento falla durante su tercer año. La garantía no vale para el refrigerador de repuesto. (a) Use la categoría de cadenas de Markov para predecir la fracción de todos los refrigeradores que deberá cambiar Freezco (b) Suponga que Freezco le cuesto 500 dólares cambiar un refrigerador y que vende 10,000 refrigeradores al año. Si la fabrica redujera el plazo de garantía a dos años, ¿Cuánto dinero se ahorraría en costos de reemplazo? 24. Se usa una máquina para producir herramientas de precisión. Si la maquina esta hoy en buenas condiciones, entonces estará bien mañana con 90% de probabilidad. Si la maquina esta en mal estado hoy, entonces estará en mal estado mañana con 80% de probabilidad. Si la maquina esta en buen estado, produce 100 herramientas por día, y si esta en mal estado, 60 herramientas por día. En promedio, ¿Cuántas herramientas por día se producen? 25. La clientela compra automóviles en tres agencias. Dada la compañía a la que compro un cliente la ultima vez, la probabilidad que compre la próxima vez es Compró en Comprara en
Agencia 1 Agencia 2 Agencia 3
Agenc 1 0.80 0.05 0.10
Agenc 2 0.10 0.85 0.20
Agenc 3 0.10 0.10 0.70
(a)Si alguien posee actualmente un automóvil de agencia 1, ¿Cuál es la probabilidad, de que al menos 1 de los dos siguientes coches que compre sea agencia 1? (b)En la actualidad, a la agencia 1 le cuesta dólares en promedio cada automóvil, y el precio medio que paga al cliente es 8 000 dólares. La agencia 1 piensa instruir una garantía de 5 años. Estima que con ello se aumentará el costo en 300 dólares por automóvil, pero una investigación de mercado indica que las probabilidades cambiaran como sigue Compró en Comprara en Agenc 1 Agenc 2 Agenc 3 Agencia 1 0.85 0.10 0.05 Agencia 2 0.10 0.80 0.10 Agencia 3 0.15 0.10 0.75 ¿Debe instituir la garantía de 5 años la agencia 1? 26. Un equipo de béisbol consta de 2 estrellas, 13 novatos y 10 sustitutos. Para fines de impuestos, el propietario debe evaluar a los jugadores. Se define el valor de cada jugador como el valor total del sueldo que gana hasta su retiro. Al inicio de cada temporada, se clasifican los jugadores en cuatro categorías: Categoría 1: Estrella (una estrella gana 1 millón de dólares al año). Categoría 2: Novato (un novato gana 400 000 dólares al año). Categoría 3: Reserva (un reserva gana 100 000 dólares al año). Categoría 4: Retirado (no gana salario). Si un jugador es estrella, novato o reserva al principio de esta temporada, las probabilidades de que pase a ser estrella, novato, reserva o retirado al principio de la siguiente temporada. Esta Temporada
Estrella
Proxima temporada Novato Reserva
Estrella 0.50 0.30 Novato 0.20 0.50 Reserva 0.05 0.15 Retirado 0 0 Determine el valor de los jugadores del equipo.
0.15 0.20 0.50 0
Retirado 0.05 0.10 0.30 1
27. The Thrill of Statistics, el mejor libro de estadística para preparatoria, tiene una demanda de 5 millones de ejemplares cada otoño. Algunos de los compran el libro lo conservan, otros lo venden de nuevo a la librería. Suponga que el 90% de los estudiantes que compra un libro nuevo lo venden, 80% de los que compran un libro usado una vez lo vuelven a vender y que el 60% de los estudiantes que compran un libro usado dos veces lo vuelven a vender. Si un libro se ha usado cuatro veces o más. La pasta se le cae y ya no se puede vender. (a). En el estado estable, ¿Cuántos ejemplares nuevos debe vender el editor cada año?
(b). Suponga que la ganancia de una librería, en cada tipo de libro, se la siguiente: Libro nuevo = 6.00 dólares Libro usado una vez = 3.00 dólares Libro usado dos veces =2.00 dólares Libro usado tres veces =1.00 dólar Si el censo de estado estable representa las ventanas de la librería, ¿Cuales son las ganancias promedio de esta, por libro? 28. Hearts Dog Food y Corporal Dog Food son dos compañías que compiten fieramente en el Mercado nacional de croquetas para perro. El propietario de un perro compra una caja de croquetas por mes. Si el propietario compro Hearts la ultima vez, hay una probabilidad de 0.8 de que su siguiente compra también sea de Hearts. Si la ultima compra del dueño fue de Corporal hay una probabilidad de 0.9 de que su siguiente compra también sea de Corporal. El costo de producción de croquetas Hearts es 80 centavos por caja, que vende a $1.00 dólar (a)Si hay 40millones de propietarios de perros en los Estados Unidos, ¿Cuáles son las ventas anuales esperadas de Hearts?. 29. Al principio de un periodo, una empresa observa su nivel de inventario. Entonces puede hacer un pedido, que se recibe en forma instantánea. Por ultimo se observa la demanda del periodo. Se nos da la siguiente información: (1) Se define que hay un costo de dos dólares por cada unidad de inventario disponible al final de un periodo. (2) Se define una multa de tres dólares por cada unidad pedida que no se tiene a tiempo. Suponga que todas las unidades faltantes son ventas perdidas.(3) hacer un pedido cuesta $0.50 por unidad mas un costo fijo de 5 dólares por pedido. (4) durante cada periodo, la demanda será igual a 1, 2 y 3 unidades, con igual probabilidad. La compañía esta pensando implantar la siguiente política de pedido: al final de cada periodo, si el inventario disponible es una unidad o menos, pedir la cantidad suficiente para elevar el inventario disponible a cuatro unidades al inicio del siguiente periodo.¿Que fracción de las veces estará el inventario disponible al final de cada periodo en 0 unidades? ¿En 1 unidad? ¿En 2 unidad? ¿En 3 unidad? ¿En 4 unidad? ¿Determine el costo promedio por periodo incurrido por esa política de pedidos.?
