Problema 1: El caso de MOVE-U TRUCK RENTAL RENTAL COMPANY Modelos cuanttat!os "ara la admnstrac#n$ %a!s & MCKeo'n
La Move-U Truck Rental Company se especializa en el arrendamiento de camiones a personas que sean realizare sus propias mudanzas. El gerente de distribucin de la compa!"a# $ % Miller# est& considerando aplicar un ' cargo por traslado( para cubrir el costo de enviar camiones desde las &reas en las que )ay sobrantes a otros lugares en los que se necesitan. *ntes de decidir si debe aplicar el cargo por traslado al costo de arrendamiento de los camiones que se dirigen a &reas en las que )ay sobrantes# desea determinar la proporcin del n+mero total de camiones que# a largo plazo# acabar"an en cada una de las &reas de renta. ,i las proporciones son aproimadamente las mismas# el cargo por traslado ser& innecesario si no es as"# el cargo depender& de la proporcin del total que termine en cada regin $ % )a dividido la parte del pa"s que atiende la compa!"a en tres regiones/ norte# central y sur. 0e registros previos se )a determinado que de los camiones que se rentan cada mes en el norte# ()* van van a una una ciud ciudad ad del norte# norte# +)* termin terminan an en la regin regin central central y ,)* se devuelven a la compa!"a en la regin sur. 0e manera similar# la compa!"a )a determinado que# cada mes# 123 de los camiones que se rentan en la regin central se devuelve devuelven n en la misma# misma# +)* se devuelven en el norte y el +)* restante se devuelve en el sur. 4or +ltimo# de los camiones que se rentan cada mes en la regin sur # ()* se devuelven en el norte y )* en la regin central. En este momento# )* de los camiones se encuentran en el norte# +)* en la parte central y +)* est&n en la regin sur. 0ado el patrn de movimientos de los camiones# la Move-U Company est& interesada en saber lo siguiente/ 5. 67u8 67u8 prop proporc orci in n de los camio camione ness se enco encont ntra rar& r& en cada cada regi regin n desp despu8s u8s de un mes9 mes9## 60espu8s de dos meses9 :. 67u8 proporcin proporcin de los los camiones camiones estar& en cada cada regin despu8s despu8s de un periodo periodo 'largo(9 'largo(9 An.lss del caso
4uede construirse una tabla para resumir la in;ormacin re;erente a la proporcin de camiones que tienen en una regin de origen y llegan a otra de destino. Regin donde Regin donde se devuelve se renta Norte Central /ur Norte Central /ur
)0( )0+ )0(
)0+ )0 )0
)0, )0+ )0
Proporción de camiones que se regresan a cada región
En esta tabla# la regin donde se renta el camin se lista en el etremo izquierdo izquierdo y y la regin en donde se devuelve el camin aparece en la parte su"eror . 4or e
=tra ;orma de plantear esta relacin# es que eiste una probabilidad de )0( de que un camin rentado en el norte sea regresado en la misma regin > norte?. =bs8rvese que para cualquier regin# la suma de las probabilidades es uno# lo que signi;ica que un camin rentado debe ir a alg+n lado. Norte Central /ur ,uma Norte )0( )0+ )0, 10) Central )0+ )0 )0+ 10) /ur )0( )0 )0 10)
@tese tambi8n que la regin en la que se regresa un camin depende solamente de la regin en la que se rent es decir# el estado ;inal del camin depende slo de su estado m&s reciente. ,i un camin ;ue rentado alguna vez en la regin central# no a;ecta el lugar en que se le regrese si a)ora se renta en el norte. El )ec)o de que )aya una probabilidad asociada con el lugar en el que se devolver&n los camiones y que esta regin en la que se devuelven dependa solo de la regin en la que se rente# signi;ica que esta situacin satis;ace las consideraciones b&sicas de los proceso de Markov >propiedad markoviana?. Una consideracin adicional para los problemas de este tipo es que )abr& ocurrencias repetidas del evento ba
Un m8todo ilustrativo para responder las primeras preguntas re;erentes a la ;lotilla de camiones consiste en utilizar un en;oque de '&rbol( en la siguiente ;igura# se muestra el diagrama de &rbol para un camin que se renta en la regin NORTE en el mes ). Ubicación
Ubicación
Probabilidad de cada
en el
en el
en el
ubicación en el
mes 0
mes 1
mes 2
mes 2
Ubicación
0.2 0.2
Norte
0.3 0.5
0.3 Norte
0.3
Central
0.4 0.3
0.2 0.5
Sur
0.4 0.4
2
Norte
0.04
Central
0.06
Sur
0.10
Norte
0.09
Central
0.12
Sur
0.09
Norte
0.10
Central
0.20
Sur
0.20
Los nodos del &rbol son las ubicaciones en los meses 2# 5 y :# y en las ramas del &rbol aparecen las probabilidades de cada transicin. Las probabilidades de encontrarse en cada uno de los estados en el mes : se calculan multiplicando las probabilidades individuales de transicin. 4or e
4ara determinar la probabilidad de que un camin se encuentre en el norte despu8s de dos meses# se suman las tres probabilidades de encontrarlo en el norte/ P(estar en el norte en el mes 2 dado que se encontraba en el norte en el mes 0) = 0.04 + 0.09 + 0.10 = 0.23
0e manera similar/ P(estar en el centro en el mes 2 dado que estaba en el norte en el mes 0) = 0.06 + 0.12 + 0.20 = 0.38 P(estar en el sur en el mes 2 dado que se estaba en el norte en el mes 0) = 0.10 + 0.09 + 0.20 = 0.39
Utilizando la notacin matricial# estos c&lculos para el mes 5 aparecer&n de la siguiente manera/ N
[1
C
0
S
0
]
ector de probabilidad para comenzar en el norte
N
C
S
0.2 0.3 0.2
0.3
0.5
0.4 0.4
0.4
=
0.3
Matriz de transicin de un mes
N
C
S
[ 0.2
0.3
]
0.5
ector de probabilidad despu8s de un mes
4ara el segundo mes >empezando en el norte? se repiten los c&lculos/ N
[ 0.2
C
0.3
S
N
]
0.2 0.3 0.2
0.5
ector de probabilidad despu8s de un mes
C
S
0.3
0.5
0.4 0.4
N
0.4
=
0.3
Matriz de transicin de un mes
[ 0.23
C
0.38
S
]
0.39
ector de probabilidad despu8s de dos meses
=bs8rvese que estas series de c&lculos puede combinarse en una solo de la siguiente manera/ N
[1
C
0
S
N
C
S
0.3
0.5
]
0.2 0.3 0.2
0
0.4 0.4
N
0.2 0.3 0.2
0.3 0.4
ector de probabilidad Matriz de transicin probabilidad para de un mes comenzar en el norte
C 0.3 0.4 0.4
S
N
C
0.5
0.4 0.3
Matriz de transicin de un mes
=
[ 0.23
0.38
ector de despu8s de dos meses
El c&lculo del vector de probabilidad despu8s de dos meses depende del vector de probabilidad en el mes ) y de la matr4 de transc#n de un mes. En los c&lculos anteriores# se utiliz un vector de probabilidad inicial que representaba un camin que )ab"a comenzado en el norte. 3
S
0.39
]
4ara calcular la proporcin de camiones que se encontrar&n en cada regin despu8s de dos meses# simplemente se sustituye la proporcin original de camiones que se encuentra en cada regin y se considera como el vector inicial de probabilidad es decir# [0.4 0.3 0.3] . 4or ello# los c&lculos se convierten en/ N
[ 0.4
C
S
0.3
]
0 .3
4roporcin de camiones en el mes 2
N
C
S
0.2 0.3 0.2
0.3
0.5
0.4 0.4
N
0.2 0.3 0.2
0.3 0.4
Matriz de transicin de un mes
C
S
N
C
0.5
0.3
0.4
0.4
=
0.3
0.4
Matriz de transicin de un mes
[ 0.236
0.3
4roporcin de camiones en el mes :
0e estos c&lculos# puede verse despu8s de dos meses que el :B.D3 de todos los camiones se encontrar&n en el norte el mB.3 estar&n en la regin central y BF.3 en el sur. La segunda pregunta que interesa responder es la proporcin de camiones que se encontrar"a en cada regin despu8s de un ' periodo largo(. 4ara contestarla# pueden repetirse los c&lculos mes con mes# o programar una computadora. Mes 2 5 : B 1 G D F @orte 2.1222 2.:B22 2.:BD2 2.:B 2.:BD 2.:BD 2.:BD 2.:BD 2.:BD Central 2.B222 2.BD22 2.B2 2.BD1 2.BDB 2.BDB 2.BDB 2.BDB 2.BDB ,ur 2.B222 2.1522 2.BF2 2.BFGH 2.BFD: 2.BFD: 2.BFD: 2.BFD: 2.BFD: En la tabla anterior se observa que el vector de probabilidad cambia de su valor inicial de/ [0.4 0.3 0.3] a [0.238 0.376 0.386]
en F meses
=bserve tambi8n que el cambio entre vectores subsiguientes disminuye al aumentar el n+mero de meses. Este patrn de vectores de probabilidad pr&cticamente iguales indica que se )a alcanzado una condicin de estado estable >o estado estacionario? cuando la proporcin de camiones en cada regin permanece igual. Esta proporcin de estado estable de camiones es :B.F3 en el norte B.D3 en la regin central y BF.D3 en el sur. %esarrollo matem.tco
El an&lisis anterior puede resumirse utilizando la siguiente notacin/ P ij
I probabilidad de cambiar del estado i al estado j en un paso
P
I matriz ;ormada por los valores P ij >matriz de transicin?
si (t)
I probabilidad de encontrase en el estado i en el periodo j
S(t)
I vector de probabilidades de estado en el periodo t
4or e
si (t) s1(0 I 2.1 ) 4
S
S(0)
J2.1 2.B 2.BK
0.38
s2 (0 I 2.B ) s3(0 I 2.B )
P 12 I 2.B P 13 I 2.G P 21 P 22 P 23 P 31 P 32 P 33
I I I I I I
2.B 2.1 2.B 2.: 2.1 2.1
Utilizando esta notacin# es posible plantear varios resultados clave. En primer lugar# se tiene que la suma de las probabilidades de estado debe ser igual a 1/ s1(t) = + s2 (t) + s3(t) + … + s n(t) = 1
para un caso con n estados
0e manera similar# para cada rengln de la matriz de transicin P # se tiene la suma/ para i = 1, 2, …, n
pi1 + pi2 + pi3 + ... + p in = 1
Recu8rdese que esto implica que debe )acerse alguna transicin )acia un estado en cada paso. La transicin de un periodo al siguiente se encuentra incluida en la ecuacin/ S(t + 1) = S(t) P
4ara el primer periodo >t = 0 ? se convierte en/ S(1) = S(0) P
para el segundo periodo > t = 1?# se tiene/ S(2) = S(1) P = S(0) P P = S(0) P 2
En general# este resultado se convierte en/ S(t) = S(0) P t
*)ora# para la condicin de estado estable# se tiene/ S = S(t + 1) = S(t)
0onde S es el vector de probabilidad de estado estable# que es el mismo sin importar el periodo# lo que implica que/ S = S P
Es decir# el vector de estado estable sigue siendo igual despu8s de una transicin de una etapa. 4ara el e
[ s1
s2
s 3 ] = [ s1
s2
0.2 s 3 ] 0.3 0.2
Terminando los c&lculos# se llega al sistema de ecuaciones/ s1 = 0.2s1 + 0.3s 2 + 0.2s3 s2 = 0.3s1 + 0.4s 2 + 0.4s3 s3 = 0.5s1 + 0.3s 2 + 0.4s3 5
0.3 0.4 0.4
0.5 0.3 0.4
,e sabe tambi8n que la suma de estas probabilidades es igual a 1 por lo tanto/ 1 = s1 + s2 + s3
,e encuentran los valores de s1 # s2 # s3 utilizando las 1 ecuaciones anteriores# llegando a las probabilidades de estado estable siguientes/ s1 = 0.238
s2 = 0.376
s3 = 0.386
Estos valores son las mismas proporciones de estado estable que se obtuvieron usando el programa de computadora sin embargo# ;ue posible determinar estos valores resolviendo yn sistema de ecuaciones lineales# en vez de repetir el procedimiento )asta que la di;erencia entre los valores de dos meses se volviera peque!a. Un detalle que resulta importante tomar en cuenta con respecto a esta condicin de estado estable es que no depende del estado inicial. ,i se comenzara con un vector de probabilidades [0.5 0.25 0.25] o uno de [0.33 0.33 0.34] # a largo plazo siempre se terminar"a con el mismo vector de proporciones de estado estable [0.238 0.376 0.386] . 4ara resumir el desarrollo de las cadenas de Markov# si eiste una matriz de transicin de una etapa P = [P i ] j y un vector de estado para el periodo t # S(t)# entonces se tiene que/ S(t + 1) = S(t) P
4ero dado que/ S(t + 1) = S(t) P = S(t – 1)P 2 = … = S(1) P t-1 = S(0) P t
4uede decirse que/ S(t) = S(0) P t
Tambi8n puede obtenerse el vector de probabilidades de equilibrio o de estado estable# S # resolviendo el sistema de ecuaciones de;inido por/ n
S = S P
y
∑s
i
=1
i =1
para determinar los valores apropiados de si que ;orman S # el vector de equilibrio.
6
Problema (: El caso de un e5ecut!o de una cadena de tele!s#n Modelos cuanttat!os "ara la admnstrac#n$ %a!s & MCKeo'n A Mark Goldman, vicepresidente de la NBS TV Network, se le encargó determinar una poltica de programación para la cadena! "a NBS compite por captar televidentes con las cadenas de televisión #B# $ ABS! Al principio de cada temporada %en septiem&re', cada una de las cadenas intenta captar una ma$or cantidad de televidentes que sus competidores inclu$endo nuevos programas $ volviendo a programar otros! Goldman se encontra&a en pro&lemas porque la NBS (a&a tenido un mal desempe)o en las *ltimas dos temporadas con el +ormato de sus programas! Tam&in (a&an surgido crticas porque la cadena tenda a cancelar los programas con muc(a rapide- si el n*mero de televidentes %.rating/ o .tasa de audiencia/' era inicialmente &a0o! #omo resultado de las crticas se (a&a decidido no cancelar ning*n programa (asta que +uera evidente que seguira teniendo un n*mero reducido de televidentes! 1ado que los televidentes normales, con &astante +recuencia, al principio de la temporada tenderan a cam&iar de cadena con el o&0eto de ver programas nuevos o de volver a ver programas antiguos, Goldman (a decidido esperar a que se esta&ilice la proporción de televidentes que ven un programa determinado! "e (a pedido a uno de sus su&ordinados que tiene una maestra en administración de empresas, Bill 2as(ington, que estudie el periodo en el que cada cadena estar3 o+reciendo un programa nuevo para que determine cu3les ser3n las proporciones de televidentes +inales! Si Bill puede predecir estos valores, Mark estar3 en posi&ilidades de tomar una decisión con respecto a un nuevo programa de la NBS, .S(ampoo va a la 4niversidad/, sin tener que esperar (asta que las pre+erencias de los televidentes se vuelvan o&vias a travs de los datos de los .ratings/ o recuentos de tasa de audiencia! Bill supone que la selección de un televidente espec+ico se ve in+luenciada m3s que nada por el programa m3s reciente que (a o&servado en ese periodo $ que las proporciones +inales en realidad son valores de estado esta&le! #on esta &ase, decide utili-ar un en+oque de cadena de Markov para a&ordar el pro&lema! #onsidera que el pro&lema de selección de los televidentes se a0usta a las consideraciones de este modelo con su+iciente cercana como para permitir aplicar el modelo al pro&lema!
ill )a elaborado la siguiente matriz de transicin utilizando datos recopilados en a!os anteriores y re;erentes a la ;orma en que los televidentes tienden a cambiar de una cadena a otra# semana a semana# para el tipo de programas que se considera/ N6/ C6C A6/ N6/ 2.: C6C 2.B A6/ 2.:
2.1 2.B 2.:
2.1 2.1 2.D
En esta matriz# los valores que se muestran son la ;raccin de televidentes que ver&n el programa de cada cadena durante esta semana# dada la cadena que vieron la emana anterior. 4or e
Tambi8n se supone que todos los televidentes que vieron la televisin la semana pasada la ver&n esta semana. 0ado que esta es una cadena de Markov# la proporcin de televidentes de estado estable que estar&n viendo el programa de cada una de las cadenas >suponiendo que todos los programas permanecen en la televisin el tiempo su;iciente para que se estabilice el patrn de televidentes?# puede determinarse utilizando los m8todos de las cadenas de Markov. En este caso# se tiene/ 0 2 0 3 0 2 .
[ s1
s2
s 3 ] = [ s1
s2
s3 ]
.
.
04 03 02 .
.
.
0 0 0
4 4 6
.
.
.
En donde/ s1 I proporcin de estado estable de televidentes que observan la @, s2 I proporcin de estado estable de televidentes que observan la CC s3 I proporcin de estado estable de televidentes que observan la *,
Esto conduce a/ s1 = 0.2s1 + 0.3s 2 + 0.2s3 s2 = 0.4s1 + 0.3s 2 + 0.2s3 s3 = 0.4s1 + 0.4s 2 + 0.6s3
0e donde/ – 0.8s1 + 0.3s2 + 0.2s3 = 0 0.4s1 – 0.7s2 + 0.2s 3 = 0 0.4s1 + 0.4s2 – 0.4s3 = 0
que cuando se combinan con la ecuacin adicional/ 1 = s1 + s2 + s3
puede resolverse para determinar las proporciones del estado estable. En este caso# se obtiene que los valores de las proporciones del estado estable son/ s1 = 0.227
s2 = 0.273
s3 = 0.500
En otras palabras# cuando los televidentes se )an decidido respecto a los programas que les gusta ver/ •
::.3 observar&n lo que la @, o;rece# ',)ampoo va a la Universidad(
•
:.B3 ver&n el programa que presenta la CC# 'Cuatro es una multitud(
•
G2.23 estar&n observando el programa de la *,# 'Los demonios de 0anny(
Con base en estos deprimentes pronsticos# Mark $oldman puede tomar una decisin anticipada con respecto a si debe mantener o cancelar el programa. ,i decide cancelarlo# estar& en posibilidades de utilizar la proposicin de estado estable de televidentes para
8
Problema +: Ecuacones C7a"man-Kolmo8oro! 9n!est8ac#n de O"eracones$ amd; Ta7a
Consid8rese la siguiente cadena de Mrakov con dos estados/ 0 2 0 6
P =
0 0
.
8 4
.
.
.
,i S(0) = [0.7 0.3] # determ"nese/ S(1)# S(4), S(8), NS(n) y las de m&s necesarias )asta encontrar las probabilidades de estado estable >es decir# cuando los renglones de la matriz P n sean iguales al vector S(n)?. P2
0.2 = 0.6
0.8 0.4
0.52 0.36
P 4 = P 2P 2 =
0.443 0.417
P 8 = P 4P 4 =
0.48 0.64
0.2 0.6
0.8 0.4
0.52 0.36
0.48 0.64
0.557 0.443 0.583 0.417
0.52 = 0.36 0.443 = 0.417
0.557 0.4281 = 0.583 0.4274
0.48 0.64 0.557 0.583 0.5719 0.5726
5tctera %63galo usted'
Entonces# de acuerdo con las ecuaciones C)apman-Oolmogorov/ S(t) = S(0) P t / S (1) = S ( 0 ) P 1 = [ 0.7
0.2 0.3] 0.6
0.8 0.4
= [ 0.32
S (4) = S ( 0 ) P 4 = [ 0.7
0.443 0.3] 0.417
0.557 0.583
S ( 8) = S ( 0 ) P 8 = [ 0.7
0.4281 0.3] 0.4274
0.5719 = [ 0.4279 0.5726
= [ 0.435
0.68] 0.565] 0.5721]
5tctera %63galo usted'
El resultado interesante es que# por e
9
Problema : El caso de la mo!ldad de clases socales
,upngase que en la sociedad slo eisten los estratos socioeconmicos alto# medio y ba
Estado 0 / Clase alta
•
Estado 1/ Clase media
•
Estado 2 / Clase ba
4adres
M B
0 45 0 05 0 01 .
.
.
A
0 48 0 70 0 50 .
.
.
M
0 07 0 25 0 49 .
Ai
.
.
B
4or e
.
.
0 48 0 70 0 50 .
.
.
0 07 0 25 0 49 .
.
.
Las ecuaciones de estado estable son/ π ! = π ! P !! + π " P "! + π # P #! π " = π ! P !" + π " P "" + π # P #" π # = π ! P !# + π " P "# + π # P ## 5 = π ! + π " + π #
Reemplazando los Pij obtenemos/ π ! = π ! 2.1G + π " 2.2G + π# 2.25 π " = π ! 2.1F + π " 2.E2 + π# 2.G2 π# = π ! 2.2E + π " 2.:G + π# 2.1H 5 = π ! + π " + π #
Recuerde que una de estas es redundante.
Resolviendo las ecuaciones obtenemos valores/ ! = 0.07
# = 0.62
" = 0.31
0espu8s de muc)as generaciones# la probabilidad de pertenecer a la clase alta# media y ba
Problema ,: El an.lss de las cuentas "or cobrar M3todos cuanttat!os "ara los ne8ocos$ Anderson$/'eene;$<llams 10
Una aplicacin de contabilidad en la que los proceso de Markov )an producido resultados +tiles implica la estimacin de la reserva para cuentas por cobrar de dudosa recuperacin o# simplemente# dudosas. Esta reserva es una estimacin de la cantidad de cuentas por cobrar que al ;inal demostrar&n ser incobrables. Consid8rese la situacin de las cuentas por cobrar para la tienda departamental AeidmanPs la cual emplea dos categor"as para sus cuentas por cobrar/ 5? Las cuentas que se clasi;ican con 2 Q B2 d"as de antigedad# y :? Las cuentas que se clasi;ican con B5 Q H2 d"as de antigedad. ,i cualquier porcin del saldo de una cuenta ecede de H2 d"as# esa porcin se clasi;ica como una deuda incobrable. AeidmanPs sigue el procedimiento de clasi;icacin de antigedad del saldo total en la cuenta de cualquier cliente de acuerdo con la ;actura sin pagar m&s antigua. 4or e
4ara ver cmo puede considerarse la operacin de cuentas por cobrar como un proceso de Markov# primero conc8ntrese en lo que le sucede en la actualidad a un dlar en las cuentas por cobrar. Con;orme la ;irma contin+e operando en el ;uturo# puede considerarse cada semana como un ensayo de un proceso de Markov# con un dlar eistente en uno de los siguientes estados del sistema/ Estado 1 Categor"a de pagado Estado ( Categor"a deuda incobrable Estado + Categor"a 2 Q B2 d"as Estado Categor"a B5 Q H2 d"as
4or lo tanto# puede rastrearse el estado semana a semana de un dlar usando un an&lisis de Markov para identi;icar el estado del sistema en una semana o periodo particular. Usando un modelo de proceso de Markov con los estados anteriores# se de;inen las probabilidades de transicin como sigue/ P ij I probabilidad de que un dlar en el estado en una semana se mueva a estado 5 en la
siguiente semana. Con base en las transiciones )istricas en el rubro de cuentas por cobrar# se elabor la siguiente matriz de probabilidades de transicin# P # para AeidmanPs/ P11 p 21 p = p 31 p 41
p12
p13
p 22
p 23
p 32
p 33
p 42
p 43
p14
1.0 0.0 p 24 = p 34 0.4 p 44 0.4
0.0 1.0 0.0 0.2
0.0 0.0 0.3 0.3
0.0 0.0 0.3 0.1
=bs8rvese 7ue la probabilidad de que un dlar en la categor"a 2 Q B2 d"as >estado B? se mueva a la categor"a pagado >Estado 5? en el siguiente periodo es de 2.1. *dem&s# este dlar tiene una probabilidad de 2.B de que permanecer& en la categor"a de 2 Q B2 d"as >estado B? una semana despu8s# y una probabilidad de 2.B de que estar& en la categor"a B5 Q H2 d"as >estado 1? una semana despu8s. =bs8rvese# adem&s# que un dlar en una cuenta de 2 QB2 d"as no puede )acer la transicin a una deuda incobrable >estado :? en una semana. Una propiedad importante de las cadenas de Markov# para la situacin de las cuentas por cobrar de AeidmanPs# es la presencia de estados absorbentes . 4or e
Matr4 =undamental ; c.lculos asocados
,iempre que un proceso de Markov tiene estados absorbentes# no se calculan las probabilidades de estado estable debido a que cada unidad a ;inal de cuentas termina en uno de los estados absorbentes. Con estados absorbentes presentes# interesa conocer la probabilidad de que una unidad termine en cada uno de los estados absorbentes. 4ar el problema de AeidmanPs# se desea conocer la probabilidad de que un dlar que en la actualidad est& en la categor"a de 2 QB2 d"as de antigedad termine pagado >estado absorbente 5? as" como la probabilidad de que un dlar en esta categor"a de antigedad termine como una deuda incobrable >estado absorbente :?. Tambi8n se desea conocer estas probabilidades de estado absorbente para un dlar que en la actualidad est& en la categor"a de B5 Q H2 d"as de antigedad. El c&lculo de las probabilidades de estado absorbente requiere la determinacin y uso de lo que se llama matr4 =undamental . La lgica matem&tica que subyace en la matriz ;undamental est& ;uera del alcance de este curso sin embargo# como se ver&# la matriz ;undamental se deriva de la matriz de probabilidades de transicin y es relativamente ;&cil de calcular para los proceso de Markov con un n+mero peque!o de estados. * continuacin se mostrar& el c&lculo de la matriz ;undamental y la determinacin de ls probabilidades de estado absorbente para la tienda departamental AeidmanPs. Los c&lculos comienzan dividiendo la matriz de probabilidades de transicin en las siguientes cuatro partes/ 1 0 0 0 p = 0 4 0 4
00 10 00 02
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 0 0
0 0 3 3
.
.
.
.
0 0 1 0 0 0 0 0 = 00 10 0 3 R 0 1 .
.
.
.
.
.
00 00
0 0
.
.
0 0
.
.
Q
.
.
0onde/ 0 4 0 4
R =
.
.
0 0
0 2
0 3 0 3
Q =
.
!
.
.
.
0 0
3 1
.
.
4uede calcularse una matriz N# llamada matriz ;undamental# usando la siguiente epresin/ $ = ( – &) – 1
0onde 9 es la matriz identidad# cuyos elementos son 1 en la diagonal principal y ) en todo el resto de la matriz. El super"ndice – 1 se usa para indicar el inverso de la matriz ( – &). @tese que para usar la epresin anterior# la matriz de identidad 9 debe elegirse de tal manera que sea del mismo orden >es decir# con el mismo n+mero de renglones y de columnas? que la matriz & . En el e
I =
13
0 1
*)ora# continuando con el problema del e
I −Q =
.
.
0 0 0 3 − 1 0 0 3 .
.
.
.
0 3 0 7 = 0 1 − 0 3 .
.
.
.
− 0 3 09 .
.
Un m8todo para obtener la matriz inversa# es el de los determinantes de la matriz/ ' = (0.7 * 0.) – (– 0.3 * – 0.3) = 0.54 N = (I − Q)
0.90 / 0.54 = 0.30 / 0.54
−1
0.30 / 0.54 1.67 = 0.70 / 0.54 0.56
0.56 1.30
Multiplicando la matriz ;undamental por una porcin R de la matriz P# se obtienen las probabilidades de que los dlares de cuentas por cobrar que est8n al inicio de los estados B o 1 alcancen con el tiempo cada uno de los estados absorbentes. La multiplicacin de @ por R para el problema de AeidmanPs proporciona los resultados/ 1 67 0 56
NR =
.
.
0 56 0 4 1 30 0 4 .
.
.
.
0 0
0 0 89 = 2 0 74
.
.
.
.
0 11 0 26 .
.
El primer rengln del producto $ es la probabilidad de que un dlar en la categor"a de 2 Q B2 d"as de antigedad termine en cada estado absorbente por lo tanto# se observa una probabilidad de )0>? de que un dlar en la categor"a de 2 Q B2 ser& pagado y una probabilidad de )011 de volverse una deuda incobrable. 0el mismo modo# el segundo rengln muestra las probabilidades asociadas con un dlar en la categor"a B5 Q H2 d"as es decir# un dlar en la categor"a B5 Q H2 d"as tiene una probabilidad de )0@ de que al ;inal se pague y una probabilidad de )0( de que resulte ser incobrable. Establecmento de la reser!a "ara cuentas de dudosa recu"erac#n
,ea que # represente un vector de dos elementos# que contiene los saldos actuales de las cuentas por cobrar en las categor"as de 2 Q B2 d"as y B5 Q H2 d"as es decir# # = [ 1
2 ]
%#lares totales en la cate8orBa ) +) dBas
%#lares totales en la cate8orBa +1 ?) dBas
,upngase que el saldo de cuentas por cobrar al B5 de diciembre de AeidmanPs muestra D1$))) en la categor"a de 2 Q B2 d"as >estado B? y D($))) en la categor"a B5 Q H2 d"as >estado 1?/ # = [1,000
2,000]
4uede multiplicarse # por $ para determinar cu&nto de los D+$))) se recaudar"an y cu&nto se perder& por e
0 89 2 000] 0 74 .
,
.
0 11 = [ 2 370 0 26 .
,
630]
.
4or lo tanto# se observa que D($+@) del saldo de las cuentas por cobrar se recaudar&n y D+) se considerar&n como deudas incobrables. Con base en este an&lisis# el departamento de contabilidad puede establecer una reserva para cuentas incobrables de D+). La multiplicacin de #$ slo es una ;orma conveniente de calcular las recaudaciones y las deudas incobrables resultantes de las cuentas por cobrar. 14
Recu8rdese que la matriz $ mostr una probabilidad de )0>? de cobrar en la categor"a de 2 Q B2 d"as y una probabilidad de )0@ de cobrar en la categor"a B5 Q H2 d"as. 4or lo tanto# como se mostr con el c&lculo de #$ # se espera recaudar un total de/ (1,000)*0.8 + (2,000)*0.74 = 2,370
,upngase que con base en el an&lisis anterior# a AeidmanPs le gustar"a investigar la probabilidad de reducir la cantidad de deudas incobrables. Recu8rdese que el an&lisis indic que eiste una probabilidad de 11* de que el saldo en la categor"a de 2 Q B2 d"as y una probabilidad de (* de que el saldo en la categor"a de B5 Q H2 d"as de antigedad sean incobrables. ,upngase que AeidmanPs est& considerando instituir una nueva pol"tica de cr8dito que implica un descuento por pronto pago. La administracin cree que la pol"tica ba
.
.
.
00 10 00 02 .
.
.
.
0 0 0 0
0 0 3 3
.
.
.
.
0 0 0 0 0 1 0 1 .
.
.
.
,e observa que la probabilidad de que un dlar en la categor"a de 2 Q B2 d"as de antigedad )aga una transicin a la categor"a pagado en el siguiente periodo# )a aumentado a )0 y que la probabilidad de que un dlar en la categor"a de 2 Q B2 d"as )aga una transicin a la categor"a de B5 Q H2 d"as# )a disminuido a )01. 4ara determinar los e;ectos de estos cambios en el gasto por deudas incobrables# debe calcularse N# NR y 6NR. Empezando por calcular la matriz ;undamental N/ N = ( I − Q)
−1
N = ( I − Q)
−1
1.0 = 0.0
0.1 0.1
0.0 0.3 − 1.0 0.3
0.7 = − 0.3
− 0.1 0.9
−1
1.5 = 0.5
−1
0.17 1.17
*l multiplicar N por R# se obtienen las nuevas probabilidades de que los dlares en cada categor"a de antigedad terminen en los dos estados absorbentes/ 1 5 0 5
NR =
.
.
0 17 0 6 1 17 0 4 .
.
.
.
0 0
0 0 97 = 2 0 77
.
.
.
.
0 03 0 23 .
.
,e observa que con la nueva pol"tica de cr8dito se esperar"a que slo +* de los ;ondos en la categor"a de 2 Q B2 de antigedad y (+* de los ;ondos en la categor"a de B5 Q H2 d"as de antigedad ser&n incobrables.
15
,i# como antes# se asume un saldo actual de D1$))) en la categor"a de 2 Q B2 d"as de antigedad y D($))) en la categor"a de B5 Q H2 d"as de antigedad# puede calcularse la cantidad total de cuentas por cobrar que terminen en los dos estados absorbentes multiplicando 6 por NR# obteniendo/ BNR = [1 000 ,
0 97 2 000] 0 77 .
,
.
0 03 = [ 2 510 0 23 .
,
490]
.
4or lo tanto# la mueva pol"tica de cr8dito muestra un impacto por deudas incobrables de D?). a
Problema : El dlema del rat#n
Un ratn est& encerrado en una tienda de quesos que tiene 1 secciones intercomunicadas mediante puertas de acceso por las cuales el ratn puede pasar con la misma probabilidad# seg+n se muestra a continuacin/
16
RE* 0E EVA%%C%W@ =0E$* S*R%C*C%W@
EM4*C*0=
Muestre el diagrama de relaciones correspondiente/
* partir de este diagrama# construya la matriz de probabilidades de transicin/
4
I
,ala E)ibicin 2 5X: 5X: 5XB
,ala E)ibicin odega Sabricacin Empacado
odega Sabricacin Empacado 5XB 5XB 5XB 2 2 5X: 2 2 5X: 5XB 5XB 2
Encuentre las probabilidades de estado estable del sistema/
4,E
4
4S
4E
I
4,E
4
4S
4,E
I I I I I
5X:4 5XB4,E 5XB4,E 5XB4,E 4,E
4 4S 4E
5
4E
2 5X: 5X: 5XB
5XB 2 2 5XB
5XB 2 2 5XB
5XB 5X: 5X: 2
4,E
4
4S
2 5XB4,E 5XB4,E 5XB4,E 5X:4 2 2 5X:4 I 5X:4S 2 2 5X:4S 5XB4E 5XB4E 5XB4E 2 Y 5X:4S Y 5XB4E Y 5XB4E Y 5XB4E Y 5X:4 Y 5X:4S Y 4 Y 4S Y 4E
Resuelva el sistema de ecuaciones utilizando la ;uncin ,=LER/
1
4E
6Cmo interpreta estos resultados para un periodo de F )oras laborables9 * la larga# la probabilidad de que el ratn se encuentre en/ La sala de e)ibicin es de
B23 o bien# 2.B2 Z F Z D2/ durante 511 minutos
La zona de empacado es de
B23 o bien# 2.B2 Z F Z D2/ durante 511 minutos
El &rea de bodega es de
:23 o bien# 2.:2 Z F Z D2/ durante HD minutos
El cuarto de ;abricacin es de
:23 o bien# 2.:2 Z F Z D2/ durante HD minutos
T=T*L
F )oras I 1F2 minutos
*)ora calcule la probabilidad de que el velador de la ;&brica mate al ratn poniendo queso envenenado en la zona de empacado o que lo saque de la ;&brica abriendo la puerta que da de la bodega al patio de carga eterior. RE* 0E EVA%%C%W@ =0E$* S*R%C*C%W@
EM4*C*0=
Replantee el diagrama de relaciones con esta nueva in;ormacin.
18
,*L%0*
en consecuencia# la matriz de probabilidades de transicin cambia tambi8n a/ ,ala E)ibicin odega 4 I ,alida Sabricacin Empacado Muerte
,ala E)ibicin 2 5XB 2 5X: 5X1 2
odega ,alida 5XB 2 2 5XB 2 5 2 2 5X1 2 2 2
Sabricacin Empacado Muerte 5XB 5XB 2 2 5XB 2 2 2 2 2 5X: 2 5X1 2 5X1 2 2 5
PSE
PB
PS
Pf
PE
PM
0.00 0
0.33 3
0.00 0
0.33 3
0.33 3
0.00 0
0.1 0.1 = 9 9
0.33 3
0.00 0
0.33 3
0.00 0
0.33 3
0.00 0
0.2 0.2 = 5 5
0.00
0.00
1.00
0.00
0.00
0.00
0.4
0
0
0
0
0
0
0
Pf
0.50 0
0.00 0
0.00 0
0.00 0
0.50 0
0.00 0
0.1 0.1 = 7 7
PE
0.25 0
0.25 0
0.00 0
0.25 0
0.00 0
0.25 0
0.1 0.1 = 5 5
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
1.00
0.0
0
0
0
0
0
0
0
0.19
0.25
0.40
0.17
0.15
0.00
PS E
PB PS
PM
19
=
=
0.4 0
0.0 0
1.0 1.0 = 0 0
