Problemas de Álgebra, Geometría y Trigonometría Nietushil

r=

cosn

270. Demostrar que para cualquier valor entero y positive de n, lacantidad an

an _b n ~5

= ~ ,

don de

1+,/5

a=-~- ,

L

b =-1+.Js 2

'

es un numero entero y positivo.

271. Demostrar que si los numeros reales aI' a 2, ••• , an' ... satisfacen a la condici6n - 1 < ai S;; 0, i = 1,2 ... . , entonces para cualquier valor de n se cum pie la desigualdad

42

PROBLEMAS DE MATEMATICAS ELEMENTALES

Este se alcanza siendo _

b

(4)

Xo - 2a'

272. La enesima potencia generalizada de cualquier nUmero a, designada por el simbolo (a)n' para los valores enteros y

De fonna amiloga se examina el problema sobre el valor nuiximo del trinomio, en el caso en que a < 0

no negativos de n se determina de la siguiente manera: si n=O, (a)n=l, siendo n>O, (a)n = a(a - n + 1). Demostrar que para la potencia generalizada de la swna de dos nUmeros es valida de la formula de binomio de Newton

273. Dos ferrocarriles rectos AA ' YBB' son perpendiculares entre si y se cruzan en el punto C. Las distancias AC y BC son respectivamente iguales a a y b. De los puntos A y B parten al

Valores maximos y minimos

mismo tiempo dos trenes en direccion hacia C con las velocidades VI y V1 respectivamente. GAl cabo de cuanto tiempo despues de su partida la distancia entre los trenes sera minima? GA que es igual esta distancia minima?

Para hallar el valor minimo del trinomio cuadrado

274. Los puntosAy B se encuentran en la via principal y rectilinea

Y =ax 2 +bx+c

(1)

en el caso en que a> 0, el trinomio se representa en la forma y

= a(x + ~)2 2a

_ &2-4aO'. 4a

(2)

Puesto que el primer sumando en el miembro derecho no es negativo sea cual fuere el valor de x y el segundo sumando no depende de x, el trinomio adquiere su valor minimo con la condici6n de que el primer sumando es igual a cero. Asi pues, eI valor minimo del trinomio es igual a

Yo

& 2 _ 4ac = - - 4-a-

que va del Oeste al Este. El punto B se encuentra a 9 km mas al Este que A. Un coche parte del punto A hacia el Este, y se desplaza uniformemente con una velocidad de 40 klnlh. AI mismo tiempo, una motocicleta sale del punto B en la misma direcci6n con una aceleraci6n con stante igual a 32 kJnIh2 • Hallar la distancia maxima entre el coche y la motocicleta en el curso de las dos primeras horas de movimiento.

Indicaci6n. Es util trazar la grafica de la distancia entre el coche y la motocicleta en funci6n del tiempo. 275. Hallar el valor maximo de la expresi6n

(3)

210g4 x + l2210g2 x·210g ·~, x

ALGEBRA

280. Hallar el numero complejo z que satisface a las igualdades

suponiendo que x varia entre 1 y 64.

::"':121 _

x_· ax 2+h

(a > 0,

b > 0).

5

I :- 8i i -"3

276. Hallar el valor maximo de la funci6n

y =_

43

' :-41-1

Y I :-81- .

281. Hallar el producto de la multipl icaci6n

277. Hallarel valorminimo de laexpresi6n

282. Entre los numeros complejos z que satisfacen a la condici6n

siendo x 2: 0.

Iz -

278. Hallar el valor minimo de la funci6n

I


I+Ix - b I+ Ix - c I+!x - d I'

donde a < b < c < d son numeros reales fijos y x adquiere valores reales arbitrarios.

25i ! ~ 15,

hallar el numero con menor argumento. Trazar el dibujo. 283.;.,A cmil condici6n debeni satisfacer el numero complejo a + bi para que se Ie pueda presentar en la forma

a+bi= Indicacion. Es c6modo llevar a cabo los razonamientos sefialando los numeros a, b, c y den el eje numerico.

Numeros complejos

(Izl es el m6dulo del numero complejo z).

J+1X'

donde x es un numero real? 284. ;.,Cua! valor maximo puede adquirir el m6dulo del numero

complejozsi 279. Hallar todos los valores de z que satisfacen la igualdad

J-ix

i z+~ I =I?

285. A traves del punto A se han trazado n rayos bajo angulos iguales a ";' . En uno de estos rayos, a la distancia d de A se ha tornado un punto B, del cual se baja una perpendicular al rayo vecino. De la base de esta perpendicular se baja de nuevo una perpendicular al rayo siguiente y as! sucesivamente hasta 10 infmito.

44

PROBLEMAS DE MATEMATICAS ELEMENTALES

Hallar la longitud L de la linea quebrada que se enreda alrededor deA, obtenida de este modo, y aclarar como variaraL al aumentar el numero n, en particular, al aumentarlo ilimitadamente. 286. Un numero de seis cifras empieza por la izquierda con la cifra I. Si se pasa esta cifra del primer lugar al ultimo sin alterar el orden de las demas cinco cifras, se obtiene un nuevo numero tres veces mayor que el inicial. Hallar el numero inicial. 287. Demostrar que si el numero realp = abc (a, bye son cifras de las clases correspondientes) es divisible entre 37, entonces los numeros q = beay r=eab tambien son divisibles entre 37. 288. Demostrar que la suma de los cubos de tres numeros enteros sucesivos es divisibles entre 9.

GEOMETRIA

A. PLANIMETRiA Observaciones preliminares Senalemos las siguientes relaciones entre los elementos de un triangulo de lados a, bye y los angulos opuestos A, Bye correspond ientemente. 1. Teorema de los senos:

a _ b _ e _ 2R sen A - sen B - sen C , donde R es el radio del circulo inscrito.

289. Demostrar que la suma

2. Teorema de los cosenos: es divisible entre 3 para cualquier valor entero y positivo de n. Para calcular el area S de un triangulo, ademas de la formula 290. 120 bolas iguales se han colocado compactamente en forma de una piramide triangular regular. (,Cuantas bolas hay en la base? 291. En un cajon se han metido k cajones. En cada uno de estos kcajones, 0 bien se han metido kcajones 0 no se hametido ni uno y as! sucesivamente. Hallar la cantidad de cajones vacios si m cajones resultaron llenos.

Donde acs uno de los lados del triangulo y ha es la altura bajada a este lado, a continuacion se emplean las siguientes formulas: Formula de Heron

S

="j p(p -

a)(p - b)(p - c).

GEOMETRiAIPlanimetria

donde p

= a+i+ c es el semiperfmetro; S

= 1absenC;S = I'p.

donde r es el radio del cfrculo inscritoen el triangulo y pes el semiperimetro.

1. Problemas de calculo 292. En el triangulo ABC, el angulo A es dos veces mayor que el B. Por los lados conocidos bye hallar ellado a. 293. Los catetos de un triangulo rectangulo son iguales a b y c. Hallar la longitud de la bisectriz del angulo recto. 294. Hallar el tercer lado de un triangulo, si se conocen dos de sus lados a y b, y se sabe que las medianas correspondientes a estos lados se cruzan formando un angulo recto. (,Para cuales condiciones existe este triangulo? 295. El angulo del vertice de un triangulo, cuyos lados laterales son iguales a a y b (a < b), esta dividido en tres partes iguales por rectas, cuyos segmentos dentro del triangulo son entre Sl como m:n (m < n). Hallar las longitudes de estos segrnentos. 296. Intersectar el triangulo dado ABC con una recta DE paralela al lado BC, de modo que el area del triangulo BDE sea igual a la magnitud dada IC-. (,Para cuales relaciones entre IC- y el area del triangulo ABC el problema es soluble y cuantas soluciones tiene?

45

297. A traves de cierto punto tornado dentro del triangulo, se han trazado tres rectas paralelas respectivamente a sus lados. Estas rectas dividen el area del triangulo en seis partes, tres de las cuales son triangulos con areas iguales a SI' S2 YS3' Hallar el area del triangulo dada. 298. Los lados bye de un triangulo son conocidos. Hallar el tercer lado x, si se sabe que es igual a la altura bajada a este lado. (,Para cuales relaciones entre bye existe este triangulo? 299. En el trianguloABC se han trazado las alturasAA I, BBI y CC I' cuyas bases se han unido entre sf. Determinar la relaci6n entre el area del trianguloAIBjC j yel area del trianguloABC, si se conocen los angulos del trianguloABC. 300. En el trianguloABC, a traves del punto de intersecci6n de las bisectrices de los angulos B y C, se ha trazado una recta A1N paralela aBC hasta su intersecci6n con los ladosAB y AC en los puntos My N respectivamente. Hallar la dependencia entre los segmentos A1N, BM y CN. Examinar los casos: 1) las dos bisectrices son interiores; 2) las dos bisectrices son exteriores; 3) una de las bisectrices es interior y la otra exterior. 4) (,Cuando coincidiran los puntosMy N?

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PROBLEMAS DE MATEMATICAS ELEMENTALES

301. Dentro de un triangulo regular se ha tornado un punto arbitrario P, desde el cual se han bajado las perpendiculares PD, P E y PF a los lados BC, CA y AB respectivamente. Hallar PD+PE+PF BD+CE+AF

302. Hallar la relacion entre el area del triangulo ABC y el area de otro triangulo, cuyos lados son iguales a las medianas del triangulo ABC.

308. Se conocen las bases superior e inferior a y b de un trapecio. Hallar la longitud del segmento que une las mitades de las diagonales del trapecio. 309. Cada uno de los vertices de un paralelogramo se ha unido con las mitades de los dos lados opuestos. LQue parte del area del paralelogramo compone el area de la figura limitada por las Ifneas trazadas?

303. En un triangulo con lados a, b y c se ha inscrito una semicircunferencia, cuyo diametro se encuentra sobre ellado c. Hallar el radio de esta semicircunferencia.

310. Los puntos P, Q, R y S son respectivamente las mitades de los lados AB, BC, CD y DA del paralelogramo ABCD. Hallar el area de la figura limitada por las rectas AQ, BR, CS y DP, si se conoce que el area del paralelogramo es igual a a-.

304. Hallar los angulos de un triangulo recrnngulo, si se sabe que el radio de la ci rcunferencia circunscrita a este triangulo es al radio de la circunferencia inscrita como 5 :2.

311. Se conocen las cuerdasde dos arcos de unacircunferencia de radio R. Hallar la cuerda del arco igual a la suma de los arcos dados 0 a su diferencia.

305. A un rectangulo dado circunscribir un nuevo rectangulo, el area delcual seaigual anr. (,ParacuaJ valordemessolubleel problema?

312. La distancia entre los centros de dos circunferencias que se cruzan, de radios Ry r, es igual ad. Hallar el area de su parte comun.

306. Sobre ellado AB del rectanguloABCD hallar un punto E, desde el cuallos ladosAD y DC se yean bajo angulos iguales. (,Para cual relacion entre los lados del rectangulo es soluble el problema?

313. Tres circunferencias de radios r, r l y R tienen contacto exterior de dos en dos. Hallar la longitud de la cuerda cortada por la tercera circunferencia de la tangente intema com un de las dos prirneras circunferencias.

307. Hallar el area de un trapecio isosceles, si su altura es igual a h y su lade lateral se ve desde el centro de la circunferencia circunscrita bajo el angulo u .

314. Dos circunferencias de radios Ry r(R > r) tienen contacto interior. Hallar el radio de una tercera circunferencia que hace contacto con las dos primeras y con su diametro comun.

GEoMETRiAlPlanimetrfa

315. Tres circunferencias iguales que tienen contacto entre SI de dos en dos, hacen contacto exterior con un circulo de radio r. Hallar las areas de los tres triangulos curvilineos formados por dichas circunferencias. 316. Con el segmento de longitud 2a + 2b Y sus partes de longitudes 2a y 2b tornados como diametros, se han construido semicircunferencias que se encuentran a un mismo lado del segmento. Hallar el radio de la circunfe-rencia que hace contacto con las tres circunferencias construidas. 317. Se tienen dos rectas paralelas y un punto A entre elias. Hallar los lados del triangulo rectangulo, el vertice del angulo recto del cual se encuentra en el punto A y los vertices de los angulos agudos descansan en las rectas paralelas dadas, si se conoce que el area del triangulo es igual a una magnitud dadaE. 318. Dentro de un poligono regular de n lados iguales aa se han inscrito n circunferencias igualesde modo que cada una de estas hace contacto con dos lados contiguos del poligono y con otras dos circunferencias. Hallar el area de la «estrella» formada en el centro del poligono. 319. Por uno de los puntos C del arcoAB de una circunferencia se han trazado dos rectas arbitrarias que cortan la cuerda AB en los puntos D y Ey ala circunferencia, en los puntos Fy G. 2,Para cual posicion del punto C en la cuerda AB, al cuadrilatero DEGF se Ie puede circunscribir una circunferencia?

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320. Dentro de un angulo agudo se inscriben circunferencias que hacen contacto una con otra. Demostrar que los radios de estas circunferencias forman una progresion geometrica. Hallar la dependencia entre eI denominador de la progresion y la magnitud del angulo agudo. 321. En el punto A de un plano Pesta ubicado un manantial de luz. Sobre el plano se ha colocado un espejo semies-ferico de radio 1, cuya superficie especular interior esta dirigida hacia eI plano de tal modo que el eje de simetria del espejo es perpendicular al plano P en el punto A. Determinar la distancia desde eI espejo basta el plano y el radio del circulo iluminado en el plano P, si se conoce que el angulo minimo entre los rayos reflejados por el espejo y el plano P es igual alSO. 322. Los centros de cuatro circunferencias de radio r estan dispuestos en los vertices de un cuadrado cuyo lado es a. Hallar el area S de la parte comun de las cuatro circunferencias que se encuentran dentro del cuadrado. 323. Las diagonales de un trapecio dividen a este en cuatro triangulos. Hallar el area del trapecio, si las areas de los triangulos adyacentes a las bases son iguales a SI y S2' 324. Expresar las diagonales de un cuadrilatero inscrito por medio de sus lados. Obtener el teorema de Ptolomeo: en todo cuadrilatero inscriptible el producto de las diagonales es igual a la sum a de los productos de los lados opuestos.

48

PROBLEMAS DE MATEMATICAS ELEMENTALES

2. Problemas de construccion 325. Se conocen dos circunferencias de diferentes radios, una fuera de la otra, y un punto A en una de elias. Trazar una tercera circunferencia que haya contacto con las dos dadas y que pase porel puntoA. Examinar los distintoscasos posibles de disposici6n del punto A en la circunferencia dada. 326. Se conocen una circunferencia, una recta y un punto A sobre esta recta. Trazar una nueva circunferencia que haga contacto con la circunferenciay la recta dadas y que pase por el puntoA. Examinar detalladamente las soluciones que tiene el problema en distintos casos. 327. Se tienen una recta, una circunferencia y un puntoA en esta circunferencia. Trazar una nueva circunferencia que haga contacto con la recta y la circunferencia dadas y que pase por el puntoA. Analizar detalladamente las soluciones que tiene el problema en cada caso determinado. 328. Construir un triangulo recmngulo, si se conocen su h ipotenusa c y la altura h bajada ala hipotenusa. Hallar la longitud de los catetos y aclarar para cual relaci6n entre h y c es soluble el problema. 329. Se conocen las longitudes de los ladosAB, BC, CD y DA de cierto cuadrilatero plano. Trazar este cuadrilatero, si se sa be que la diagonal AC divide al anguloA por la mitad.

330. Trazar un triangulo por los puntos de intersecci6n de las prolongaciones de la bisectriz, la mediana y la altura que parten de un mismo vertice, con el circulo de la circunferencia circunscrita at triangulo. 331. Tomando los vertices de un triangulo como centros, circunscribir circunferencias de modo que hagan contacto de dos en dos. Examinar los casos de contacto exterior y los casos de contacto interior. 332. Inscribir el triangulo ABC en una circunferencia dada, si se conocen el vertice A, la direcci6n de la altura hA y el punto de intersecci6n de la altura hB con la circunferencia. 333. Cortar un trapecio con una recta paralela a la base, de modo que el segmento de esta recta dentro del trapecio se divida por las diagonales en tres partes iguales. 334. Construir un cuadrado, si se conocen uno de sus vertices y dos puntos ubicados en los dos lados, 0 sus continuaciones, que no pasan por el vertice dado. 335. A traves de un punto M que se encuentra sobre la baseAC del trianguloABC, trazar una rectaMN, que separe del triangulo una parte, cuya area sea igual a -} del area de todo el triangulo. (,Cuantas soluciones tiene el problema? 336. En un triangulo dado inscribir, haciendo uso de un compas y una regia, un rectangulo con una de sus diagonales dadas.

GEOMETRiAlPlanimetria

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337. A una circunferencia dada circunscribir un triangulo, si se con ace uno de sus angulos y ellado opuesto a este angulo. Hallar la condici6n de solubilidad de este problema.

343. Demostrar que si P, Q, R son respectivamente los puntos de intersecci6n de los lados BC, CA y AB (0 sus prolongaciones) del trianguloABC con cierta recta, entonces

338. Se tienen una recta CD y dos puntosA y B no pertenecientes a esta recta. Hallar en la recta dada un punto M de modo que

PB QC RA =1. PC QA RB

LAMC

= 2LBMD.

3. Problemas de demostracion 339. Demostrar que la mediana de todo triangulo es menor que la semisuma de los lados que la comprenden y mayor que la diferencia entre esta semisuma y la mitad del tercer lado. 340. Demostrar que en todo triangulo ABC la distancia desde el centro de la circunferencia circunscrita a este triangulo hasta su lado BC es dos veces menor que la distancia del punto de intersecci6n de las alturas al verticeA. 341. Demostrar que la suma de las distancias desde un punto cualquiera, tornado dentro de un triangulo regular, hasta los lados de este triangulo es una magnitud constante, que no depende de la posici6n del punto. 342. Demostrar que en todo triangulo, al mayor lado Ie corresponde menor bisectriz.

344. En el triangulo rectangulo ABC el cateto AC es tres veces mayor que AB. EI cateto AC esta dividido por los puntos K y F en tres partes iguales. Demostrar que LAKB + LAFB + LACB

= ~.

345. Supongamos que sean a y bios catetos de un triangulo rectangulo, c su hipotenusa y h la altura bajada desde eJ vertice del angulo recto a la hipotenusa. Demostrar que el triangulo con los lados h, c + h y a + b es rectangulo. 346. En un triangulo is6sceles de base a y lado b, el angu 10 del vertice es igual a 20°. Demostrar que a 3 + b 3 = 3ab 2 . 347. Demostrar que el angulo de un triangulo sera agudo, recto u obtuso, segun que ellado opuesto sea menor, igual 0 mayor que el doble de la mediana correspondiente. 348. En el triangulo is6sceles ABC el angulo del vert ice B es igual a 20°. En los lados AB y BC se han tornado respectivamente los puntos Q y P de modo que LACQ = 60° y LCAP = 50° . Demostrar que LAPQ = 80° .

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PROBLEMAS DE MATEMATICAS ELEMENTALES

349. Demostrar que si entre los lados a, b y c de un triangulo existe la dependencia a 2 = b 2 + bc, entonces los angulosA y B opuestos a los lados a y b satisfacen a la igualdad LA = 2L B. 350. EI trianguloAOB ha sido girado en su plano 90° alrededor del vertice 0, como resultado de 10 cual el vert ice A ha pasado al punto Aj y el vert ice B, al B j • Demostrar que en el triangulo OAB I la medianadeiladoABj es laalturadel ilOAIB (demanera analoga, la mediana dellado A jB en el triangulo OA jB es la altura del Ll OABI ). 351. Demostrar que la suma de los productos de las alturas de un triangulo acuffingulo por los segmentos de estas comprendidos entre el ortocentro y el vertice es igual a la semisuma de los cuadrados de los lados. Generalizar esta proposicion para el caso de un triangulo obtusangulo. 352. Supongamos que las longitudes a, by c de los lados de un triangulo satisfacen a las desigualdades a < b < c, formando una progresion aritrnetica. Demostrar que ac = 6Rr, donde R es el radio de la circunferencia circunscrita al triangulo y r, el radio de la circunferencia inscrita en el mismo. 353. Demostrar que el cuadrado de la bisectriz, trazada desde el vert ice de un triangulo arbitrario, es igual al producto de los lados laterales menos el producto de los segmentos de la base. Aclarar el sentido de la igualdad indicada para el caso de un triangulo isosceles.

354. Sobre los ladosAB y AC del trianguloABCse han trazado, en sentidos opuestos, dos segmentos BD = CE. Demostrar que el segmento DE se divide por ellado BC en proporcion inversa ala proporcion de los lados AB y AC. 355. Demostrar que en todo triangulo la bisectriz se encuentra entre la mediana y la altura trazadas desde el mismo vertice. 356. Demostrar que una recta simetrica con la mediana respecto ala bisectriz del angulo interno de un triangulo, divide allado opuesto en partes proporcionales a los cuadrados de los lados contiguos. 357. Sobre los lados de un triimgulo ABC se han tornado los puntos P, Q Y R de modo que tres rectas AP, BQ y CR se intersectan en un mismo punto. Demostrar que

AR·BP·CQ = RB·PC·QA. 358. Demostrar que en todo triangulo, la relacion entre los radios

R y r de las circunferencias circunscrita e inscrita y la distancia I entre los centros de estas circunferencias, es

359. Demostrar que en todo triangulo, la relacion entre el radio de la circunferencia circunscrita a este triangu 10 y el radio de la circunferencia inscrita en el mismo no supera a

1.

GEOMETRiAlPlanimetria

360. Demostrar que para todo triangulo rectangulo es valida la desigualdad 0,4 < ~ < 0,5, donde res el radio de la circunferencia circunscrita y h, la altura bajada ala hipotenusa. 361. Demostrar que en todo triangulo acutangulo

donde ka' kb y kc son las perpendiculares bajadas del centro de la circunferencia circllnscrita, a los lados correspondientes; ry R son los radios de las circllnferencias inscrita y circunscrita.

Indicacion. Los miembros izquierdo y derecho de la igualdad buscada pueden ser expresados por medio de los lados y los angulos del triangulo. 362. Los verticesA, By C de un triangulo estan lInidos los puntos A "B, y C dispuestos arbitrariamente sobre los lados opuestos (excepto en los vertices). Demostrar que los puntos medios de los segmentosAA" BB, y CC, no se encuentran en unamisma recta.

,

363. A traves de un punto arbitrario 0, tornado dentro del triangulo

ABC, se han trazado las rectas DE, FK Y MN paralelas respectivamente a AB, A C y BC Los puntos F y M se encuentran sobre elladoAB; Ey K, sobreBCy Ny D, sobreAC Demostrar que

51

AF + BE + CN = 1. AB BC CA 364. En un triangulo se ha inscrito un cuadrado de modo que uno de sus lados se encuentra sobre ellado mayor del triangulo. Demostrar que la desigualdad < x < 2r, don de xes la longitud dellado del cuadrado y r es el radio de la circunferencia inscrita en dicho triangulo.

Er

365. Demostrar que los pWltoS medios de los lados de un triangulo, las bases de las alturas y los puntos medios de los segmentos de las alturas, comprendidos entre cada vert ice y el punto de intersecci6n de las alturas, representan nueve puntos que se encuentran en una misma circunferencia. Demostrar, al mismo tiempo, que el centro de esta circunferencia es el punto medio del segmento que lme el punto de intersecci6n de las alturas del triangulo dado con el centro de la circunferencia circunscrita y que su radio es igual a la mitad del radio de la circunferencia circunscrita. 366. En un triangulo, desde las bases de cada altura se han bajado perpendiculares a los otros dos lados. Demostrar que: I) las bases de estas perpendiculares son los vertices de un hexagono, tres lados del cual son paralelos a los lagos del triangulo; 2) a este hexagono se Ie puede circunscribir una circunferencia. 367. Demostrar que en todo triangulo rectangulo la suma de los catetos es igual ala suma de los diametros de las circunferencias inscrita y circunscrita.

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PROBLEMAS DE MATEMAnCAS ELEMENTALES

368. Demostrar que en el triangulo rectangulo, la bisectriz del angulo recto divide en dos partes iguales al angulo formado por la mediana y la aitura bajada ala hipotenusa. 369. Dos triangulosABCy AIBIC[ estan dispuestos simetricamente uno al otro respecto al centro de la circunferencia comun de radio r, circunscrita a estos triangulos. Demostrar que el producto de las areas de los triangulosABCy AIBIC[ y los seis triangulos obtenidos de la intersecci6n de sus lados es igual a r16.

370. Demostrar que la diferencia entre la suma de los cuadrados de las distancias, des-de un punto arbitrario M de un plano hast a dos vertices opuestos del paralelogramo ABCD y la suma de los cuadrados de las distancias desde el mismo punto, hasta los otros dos vertices, es una magnitud constante.

371. Sobre los lados del triangulo ABC se han construido los triangulos equilaterosABC I , BCA I y CAB I, no superpuestos al ~ ABC. Demostrar que las rectasAAI' BBI y CC I se intersectan en un punto. 372. Sobre los lados AB, AC y BC del triangulo ABC, tornados como bases, se han construido tres triangulos is6sceles semejantes ABP, ACQ YBCR, los dos primeros fuera del triangulo dado y el tercero hacia el mismo lado que este. Demostrar queAPRQes un paralelogramo (0 que los puntos A, P, Ry Q pertenecen a una misma recta).

373. Cierto punto 0 de un plano se ha unido con los vertices del paralelogramoABCD. Demostrarqueel area de! trianguloAOC es igual a la suma 0 a la diferencia de dos de los triangulos adyacentes formados por dos de las rectas OA, OB, OC y OD y ellado correspondiente del paralelogramo. Examinar los casos cuando el punto 0 se encuentra dentro y fuera del paralelogramo.

374. En el trapecioABCD la suma de los angulos de la base AD es igual a ~. Demostrar que el segmento que une los puntos medios de las bases es igual a la semidiferencia de las bases.

375. Demostrar que la suma de los cuadrados de las diagonales de un trapecio es igual ala suma de los cuadrados de los lados laterales con el doble del producto de las bases. 376. Demostrar que la recta que une los puntos medios de los lados paralelos de un trapecio pas a por el punto de intersecci6n de las diagonales.

377. Demostrar que si el segmento que une los puntos medios de los lados opuestos de un cuadrilatero es igual a la semisuma de los otros dos lados, el cuadrilatero es un trapecio.

378. Demostrar que si las diagonales de dos cuadrilateros son respectivamente iguales y se intersectan formando angulos iguales, los cuadriliiteros son equidimensionales. 379. Demostrar que por 10 menos una de las bases de las perpendiculares bajadas desde un punto tornado arbitrariamente

GEoMETRiAlPlanimetria

dentro de un polfgono convexo a los lados de este, se encuentra en el mismo lado, y no en su prolongaci6n. 380. Demostrar que las bisectrices de los angulos internos de un paralelogramo, en su intersecci6n forman un rectangulo, cuyas diagonales son iguales a la diferencia de los lados adyacentes del .parale\ogramo.

53

385. Tres circunferencias iguales se cruzan en un punto. EI segundo punto de intersecci6n de dos cualesquiera de estas circunferencias y el centro de la tercera determinan a la recta que pas a por dichos puntos. Demostrar que las tres rectas que se obtienen se intersectan en un punto.

381. Demostrar que las rectas que unen sucesivamente los centros de los cuadrados construidos sobre los lados de un paralelogramo y que son contiguos a este por fuera, forman tambien un cuadrado.

386. Dos circunferencias tienen contacto interno en el puntoA . EI segmento AB esel diametro de la circunferencia mayor. La cuerda BK de la circunferencia mayor hace contacto con la circunferencia menor en el punto C. Demostrar que AC es la bisectrizdel trianguloABK.

382. Demostrar que si en un cuadrilatero arbitrario ABCD se trazan las bisectrices internas, los cuatro puntos de intersecci6n de las bisectrices de los angulosA y C con las bisectrices de los angulos B y D se encuentran sobre una circunferencia.

387. En el sector de una circunferencia de radio R se ha inscrito una circunferencia de radio r. La cuerda del sector es igual a 2a. Demostrar que III

383. A una circunferencia se Ie han trazado dos tangentes. Demostrar que la longitud de la perpendicular bajada desde un punto arbitrario de la circunferencia a la cuerda que une los puntos de contacto de estas tangentes con la circunferencia, es la media proporcional entre las longitudes de las perpendiculares trazadas desde el mismo punto a las propias tan gentes. 384. Demostrar que las bases de las perpendiculares bajadas desde un punto arbitrario de una circunferencia a los lados de un triangulo inscrito en esta ultima, se encuentran en una misma recta.

- =--

r

R

+- . a

388. A una circunferencia se Ie han trazado dos tan gentes que cortan en los puntos A y B a una recta que pas a por el centro de la circunferencia, formando con esta recta angulos iguales. Demostrar que cualquier tangente (m6vil) corta en las tangentes (fijas) dadas unos segmentosACy BD, el producto de los cuales es constante. 389. Demostrar que la suma de los cuadrados de las longitudes de dos cuerdas de una circunferencia, perpendiculares entre sf y que se cruzan, es mayor que el cuadrado del diametro de la circunferencia, y que la suma de los cuadrados de los segrnentos,

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PROBLEMAS DE MATEMAnCAS ELEMENTALES

en los cuales el punta de interseccion divide a las cuerdas, es igual al cuadrado del diametro. 390. Demostrar que si se divide la cuerda de una circunferencia en tres partes iguales y los extremos de la cuerda y los puntas de division se unen can el centro de la circunferencia, entonces, el angulo central correspondiente se dividini en tres partes, una de las cuales es mayor que las otras dos. 391. Demostrar que si de los extremos del diametro de una circunferencia se trazan dos cuerdas que se cruzan, la suma de los productos de cada cuerda por su segmento desde el extremo del diametro hasta el punto de interseccion es una magnitud constante. 392. Desde cada uno de dos puntos de una recta se han trazado dos tangentes a una circunferencia. En los angulos formados con sus vertices en estos puntos se han inscrito circunferencias de iguales radios. Demostrar que la linea de los centros de estas circunferencias es paralela a la recta dada. 393. Demostrar que si el diametro de una semicircunferencia se divide en dos partes arbitrarias y a cada una de estas se la circunscribe una semicircunferencia dentro de la semicircunferencia dada, entonces, el area encerrada entre las tres semicircunferencias sera igual al area de la circunferencia cuyo diametro es igual a la longitud de la perpendicular levantada dentro de la semicircunferencia dada desde el punto de division de su diametro.

394. Demostrar que si dos puntos se encuentran fuera de una circunferencia y la recta que los une no corta a esta circunferencia, entonces la distancia entre estos dos puntos es mayor que la diferencia de las longitudes de las tangentes a la circunferencia, trazadas desde los puntas dados, y menor que su suma. Demostrar, ademas, que una de estas desigualdades no se cumplira si la recta corta a la circunferencia. 395. A traves del punto medio C de una cuerda arbitraria AB de una circunferencia, se han trazado dos cuerdas KL y MN (K YM se encuentran a un mismo lado de AB), Q es el punto de interseccion de AB y KN, P es el punta de interseccion de AB y ML. Demostrar que QC = CPo 396. Una circunferencia ha sido dividida arbitrariamente en cuatro partes, y los puntas medios de los arcos obtenidos se han unido con segmentos de rectas. Demostrar que entre estos segmentos dos senin perpendiculares entre Sl. 397. Demostrar que para cualquier linea quebrada cerrada en el plano, cuyos segmentos no se cruzan entre Sl, existe una circunferencia cuyo radio es igual a

*

del perimetro de la linea

quebrada y fuera de la cual no hay ning(In punta de la quebrada. 398. (,Puede ser regular un triangulo, las distancias desde los vertices del cual hasta dos rectas perpendiculares entre Sl se expresan con numeros enteros?

GEoMETRiAlPlanimetria

399. En dos puntos A y B de una recta, por un mismo lado de esta, se han levantado dos perpendiculares AA I = a y BB I = b. Demostrar que conservando sin variac ion las magnitudes ay b, el punto de interseccion de las rectasAB I y AlB se encontrara a una misma distancia de la rectaAB independientemente de la posicion de los puntos A y B. 400. En el angulo recto con el vertice A se ha inscrito una circunferencia; By C son los puntos de contacto. Demostrar que si a dicha circunferencia se Ie traza una tangente que corte a los lados AB y AC en los puntos My N, entonces, ella cortara en estos lados los segmentos ME y NC, la suma de las longitudes de loscualesesmayorque 1(AB + AC),ymenorque HAB + AC). 401. Una circunferenciade radio igual a la altura de cierto triangulo isosceles, rueda por la base de este triangulo. Demostrar que la magnitud del arco cortado en esta circunferencia por los lados laterales del triangulo permanece constante. LSera justa esta proposici6n para un triangulo no isosceles? 402. Demostrar que las diagonales de un cuadrilatero inscrito en una circunferencia son entre sl como la sum a de los productos de los lados concurrentes en los extremos de las diagonales. 403. Demostrar que la sum a de los cuadrados de las distancias desde un punto cualquiera de una circunferencia hasta los vertices de un triangulo regular inscrito en esta circunferencia, es una magnitud con stante, que no depende de la posici6n del punto en la circunferencia.

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404. Demostrar que si una circunferencia tiene contacto interior con tres lados de uncuadrilatero y corta al cuarto lado, entonces la suma de este ultimo lado y ellado opuesto es mayor que la suma de los otros dos lados del cuadrilatero. 405. Demostrar que si una circunferencia tiene contacto interior con tres lados de un cuadrilatero, el cuarto lado del cual no corta ala circunferencia, la suma del cuarto lado y del opuesto es menor que la suma de los otros dos lados del cuadrilatero. 406. Se tienen dos semicircunferencias iguales que hacen contacto una con otra de modo que sus diametros se encuentran en una misma recta. Trazamos a estas una tangente comun e inscribirnos una circunferencia que haga contacto con esta tangente y las dos semicircunferencias dadas; luego, inscribimos una segunda circunferencia que haga contacto con la primera y las dos dadas; a continuacion, trazamos una tercera circunferencia que haga contacto con la segunda y las dos dadas y asi sucesivamente hasta 10 infinito. Utilizando esta construccion, demostrar que, cuando n aumenta inconmensurablemente, la suma de los quebrados

tiende a la unidad, es decir, que ,'2

+ 2'3 + ... + n(~+1) = 1.

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PROBLEMAS DE MATEMATICAS ELEMENTALES

407. En el punto A, que se encuentra ala distancia a del centro de una mesa redonda de biHar de radio R, hay una bola elastica, cuyas dimensiones pueden ser despreciadas.lA cual punto B del borde del billar hay que dirigir la bola para que, despues de rebotar dos veces del borde, vue Iva al punto A? 408. De un punto A, dispuesto dentro de un angulo con espejos como lados, sale un rayo de luz. Demostrar que el numero de reflexiones que experimenta este rayo por parte de los lados del angulo, siempre es fmito. Hallarel nUmero de reflexiones, si el angulo dado es igual a u, y el rayo forma can uno de los lados un angulo ~. Aclarar las condiciones para las cuales este rayo pasa de nuevo porel puntoA.

4. Lugar geometrico de los puntos 409. En una circunferencia se tienen dos puntas fijosA y B Yun punta m6vil M En la prolongaci6n del segmentoAMfuerade la circunferencia se traza el segmento A1N = MB. Hallar ellugar geometrico de los puntas N. 410. Se tienen dos rectas paralelas y un punta 0 entre ellas. A traves de este punta se traza una secante arbitraria que carta a las rectas paralelas en los puntas A y A'. Hallar ellugar geometrico de los extremos de la perpendicular a la secante, levantada del punto A " cuya longitud es igual a OA.

411. Hallar ellugar geometrico de los puntos para los cuales la suma de las distancias hasta dos rectas dadas m y I es igual a la longitud a de un segmento dado. Examinar los casos de rectas que se cruzan y paralelas. 412. Hallar ellugar geometrico de los puntos, para los cuales la diferencia de las distancias hasta dos rectas dadas m y I es igual a un segmento de longitud dada. Examinar los casos de rectas que se cruzan y paralelas. 413. En un plano se tienen dos segmentosABy CD. Hallar el lugar geometrico de los puntos M, que poseen la propiedad de que la suma de las areas de los triangulos AMB y CMD es igual a cierta constante a2• 414. Se tienen una circunferenciaK y su cuerdaAB. Se examinan todos los triangulos inscritos en esta circunferencia, cuya base es la cuerda dada. En cad a triangulo se toma el punto de intersecci6n de las alturas. Hallar ellugar geometrico de estos puntos. 415. Dentro de una circunferencia dada se ha fijado un punto A que no coincide con el centro. A traves de este punto A se ha trazado una cuerda arbitraria y en susextremos, tangentes a la circunferencia que se cruzan en el punto M. Hallar el lugar geometrico de los puntos M 416. Demostrar que ellugar geometrico de los puntos M, las distancias desde los cuales hasta dos puntos dados A y B se encuentran en la relaci6n

GEoMETRlAlPlanimetria

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es una circunferencia con centro en la rectaAB.

punto S. Demostrar que todas las rectas RS, obtenidascomo resultado de esta construcci6n, se cruzan en un punto perteneciente a la circunferencia dada.

Expresar el diametro de esta circunferencia por medio de la longitud a del segmentoAB. Examinartambien el caso en que

5. Determinacion de los valores maxim os y minimos

E=l. q 417. Se tienen un segmento AB y un punto C sobre este. Cada par de circunferencias, una de las cuales pas a por los puntosA y C, y la otra, por los puntos C y B, tiene, ademas de C, un punto comun mas D. Hallar ellugar geometrico de los puntos D.

421. Se tienen dos rectas paralelas y un puntoA entre elias, que se encuentra a la distancia a de una de las rectas y a la distancia b de la otra. El punto A sirve de vert ice de los angulos rectos de unos triangulos rectangulos, los otros dos vertices de los cuales se encuentran en cada una de las rectas paralelas. l,Cual de los triangulos tiene menor area?

418. Los lados de un polfgono deformable permanecen respectivamente paralelos a las distancias dadas, mientras que todos los vertices, excepto uno de ellos, se deslizan por las rectas dadas. Hallar ellugar geometrico de las posiciones del ultimo vertice.

422. Se conoce un triangulo rectlingulo, uno de los angulos agudos del cual es igual a u. HaHar la relaci6n entre los radios de las circunferencias circunscrita e inscrita y determinar para cual valor de u esta relaci6n sera minima.

419. Se conocen una circunferenciaK de radio r y su cuerdaAB de longitud 2a. Supongamos que sea CD una cuerda m6vil de la misma circunferencia, de longitud constante 2b. Hallar ellugar geometrico de los puntos de intersecci6n de las rectas AC y BD.

423. De un rectangulo de lados a y b se ha cortado un triangulo, cuyos catetos son iguales a a l y bl. l,C6mo debe cortarse la parte restante para obtener un rectangulo de maxima area, cuyos lados sean paralelos a los lados del rectangulo dado?

420. A traves de un punto P que se encuentra sobre una circunferencia dada y un punto Qperteneciente a una recta dada, se traza una circunferencia arbitraria que cruza por segunda vez la circunferencia dada en el punto R, y a la recta dada, en el

424. Sobre uno de los lados de un angulo agudo se han elegido dos puntos A y B. Hallar en el otro lade del angulo un punto C tal, que el anguloACB sea el maximo. Construir el punto C con ayuda de un com pas y una regIa.

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PROBLEMAS DE MATEMATICAS ELEMENTALES

425. Hallar en una recta dada I un punto tal, que la diferencia de las distancias desde esta recta hasta dos puntos conocidosA y B que se encuentran a un mismo lado de la recta, sea la menor, as! como un punto tal, que esta diferencia sea la mayor. 426. A traves de un punto A que se encuentra dentro de un angulo, se ha trazado una recta que corta de este angulo un triangulo de minima area. Demostrar que el segmento de esta recta, comprendido entre los lados del angulo, se divide en el punto A en dos mitades. 427. Demostrar que de todos los triangulos con un angulo com un

B. ESTEREOMETRIA Observaciones preliminares Expongamos una serie de formulas para el dlculo de los voilimenes y las superficies de poliedros y cuerpos de rotacion, suponiendo que Ves el volumen del cuerpo, S/la superficie lateral, S el area de su base y H la altura.

Piramide: V

= sf.

Piramidetruncada: V = ~ (SI + S2 + ~SJS2)' donde SI y S2 son las areas de las bases superior e inferior de la piramide. Como (circular recto): V

= JtR;H.

donde R es el radio de la base del eono: 428. Entre todos los triangulos de igual base e igual angulo del vertice, hallar el triangulo de mayor perfmetro. 429. Sobre la base BC de un triangulo ABC (0 sobre su prolongacion) se ha tornado arbitrariamente un punto D y a los triangulosACD y BCD se les han circunscrito circunferencias. Demostrar que la relacion de los radios de estas circunferencias es una magnitud con stante. Hallar la posicion del punto D, para la cualla magnitud de estos radios sea minima. 430. De un triangulo dado cortar dos eircunferencias iguales de radio maximo.

donde I es la generatriz.

Cilindro (circular recto) : V = rr.R2 H, donde R es el radio de la base; Sf =2rr.RH. COl1otruncado: V

= ~- (R12 + Ri + Rj R2 ),

donde RI YR2 son los radios de las bases del cono;

GEOMETJUAJEstereometria

donde I es la generatriz.

Esfera: V

= 1nR3 ,

S

433. Hallar la superficie de una piramide regular de n caras y de volumen V, si el radio de la circunferencia inscrita en su base es igual al radio de la circunferencia circunscrita ala secci6n paralela a la base y que se encuentra a una distancia h de esta.

= 4nR2,

donde R es el rad io de la esfera.

Sector esferico : V

= 21t~2h ,

donde R es el radio de la esfera y h la altura del segmento 0 capa esferica correspondiente.

Segmento esferico (casquete esferico): V Sl

=

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= t nhz (3R -

h) ,)

2nRh,

donde R es el radio de la esfera y h la altura del segmento.

434. Una piramide regular pentagonal SABCDE ha sido cortada por un plano que pasa por los vertices A y C de la base y por los puntos medios de las aristas DSy ES. Hallar el area de la secci6n, si q es la longitud dellado de la base de la piramide y b la longitud de la arista lateral. 435. Una piramide regular triangular ha sido cortada por un plano que pasa por uno de los vertices de la base y por los puntos medios de dos de sus aristas laterales. Hallar la relaci6n entre la superficie lateral de la piramide y el area de su base, si se conoce que el plano secante es perpendicular ala cara lateral.

1. Problemas de calculo 431. EI volumen de un prisma triangular regular es V, el angulo entre las diagonales de dos de sus caras, trazadas desde un mismo vertice, es igual a u. Hallar ellado de la base del prisma.

436. De un prisma regular cuadrangular se ha cortado, por un plano que pasa por la diagonal de la base inferior y uno de los vertices de la base superior, una piramide cuya superficie total es S. Hallar la superficie total del prisma, si se conoce que el angulo del vertice del triangulo, que se obtiene en la secci6n es igual a u.

432. Desde el vertice S de una piramide regular cuadrangular se ha bajado a la base una perpendicular SB. Del punto medio 0 del segmento SB se han bajado las perpendiculares OM de longitud h ala arista lateral y OK de longitud b a la cara lateral. Hallar el volumen de la piramide.

437. Calcular el volumen de una piramide regular triangular si se sabe que el angulo plano del vertice es igual a u y el radio dela circunferencia a la cara lateral es igual a r. 438. Una piramide regular cuadrangular con ellado de la base igual a a y el angulo diedro de la base igual a 2 u , se ha cortado

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PROBLEMAS DE MATEMAnCAS ELEMENTALES

por un plano que divide alanguio diedro de la base por la mitad. Hallar el area de la secci6n.

439. Sobre el cielo raso de una sala de forma de un cuadrado de lado a, se ha construido un techo de la siguiente manera: cada par de vertices adyacentes del cuadrado, que forma el cielo raso de la sala, esta unido por medio de rectas con el punto medio del lado opuesto; con cada uno de los cuatro triangulos obtenidos, tomados como base, se ha construido una piramide, cuyo vertice se proyecta al punto medio dellado correspondiente del cuadrado. Las partes de las caras de estas cuatro piramides, dispuestas por encimade las demas, forman el techo. Hallar el volumen del desvan (es decir, el espacio entre el cielo raso y el techo), si la altura de cada pin'tmide es igual a h.

pasa por el punto de intersecci6n de las diagonales de la base, y que los angulos diedros contiguos a los lados paralelos de la base son entre sl como 2: 1.

443. En el planoP setiene el anguloBAC=60°. EI puntoSdista 25 cm del vertice del angulo A, 7 cm dellado AB y 20 cm del lado AC. Hallar la distancia desde el punto Shasta el plano P. 444. En una piramide hexagonal regular, cuyo angulo plano en el vertice es igual a a, se ha trazado una secci6n que pasa por la diagonal mayor de la base y que forma con el angulo diedro un angulo {3. Hallar la relaci6n entre el area de la secci6n y el area de la base.

440. Hallar el angulo diedro entre las caras laterales de una piramide regular triangular, si el angulo diedro formado por una de las caras laterales y la base es igual a a .

445. Los tres angulos pIanos de un angulo triedro son agudos. Uno de ellos es igual a a; los angulos diedros adyacentes a este angulo plano son iguales a 13 y y respectivamente. Hallar los otros dos angulos pianos.

441. En una piramide regular triangular SABC, el angulo plano del vertice es igual a a, y la distancia mas corta entre la arista lateral y ellado opuesto de la base es igual ad. Hallar el volumen de esta piramide.

446. Calcular el volumen de una piramide regular de altura h, si se sabe que esta piramide tiene por base un poligono, la suma de los angulos intemos del cual es igual a n7r, y la relaci6n entre la superficie lateral y el area de la base es igual a k.

442. Una piramide tiene por base un trapecio is6sceles, cuyos lados paralelos son iguales a a y b (a > b), y los segmentos desiguales de las diagonales forman un angulo
447. Se examina un cubo cuya arista es Q. Por los extremos de cada tres aristas que parten del vert ice comun, se ha trazado un plano. Hallar el volumen del cuerpo limitado por estos pianos.

GEOMETRiAlEstereometria

448. Por el centro de la base de una pinimide hexagonal regular se ha hecho una secci6n paralelamente a la cara lateral. Hallar la relaci6nentre el area de la secci6n y el area de la cara lateral. 449. Por cada una de las aristas de un tetraedro se ha trazado un plano paralelo a la arista opuesta. Hallar la relaci6n entre el volumen del paralelepipedo obtenido y el volumen del tetraedro. 450. Sobre las caras de una pirimide cuadrangular regular, como bases, se han construido tetraedros regulares. Hallar la distancia entre los vertices externos de dos tetraedros adyacentes, si el lado de la base de la piramide es igual a a. 451. A traves de cierto punto de la diagonal de un cubo de arista a se ha trazado un plano perpendicular a esta diagonal. 1) Aclarar cual es la figura que se obtiene en la secci6n de este plano con las caras del cubo. 2) Hallar las longitudes de los segmentos que se obtienen en la secci6n del plano con las caras del cubo, en funci6n de la distancia x del plano secante al centro de simetria 0 del cubo. 452. Se exam ina la proyecci6n de un cubo de arista a sobre un plano perpendicular a una de las diagonales del cubo. i., Cuantas veces el area de la proyecci6n sera mayor que el area de la secci6n del cubo por un plano que pasa por el punto medio de la diagonal y que es perpendicular a esta ultima? 453. Ellado de la base de una piramide cuadrangular regular es igual a a, la altura de la piramide es h. A traves de uno de los

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lados de la base de la piramide y el punto medio de la arista lateral que se cruza con dicho lado, se ha trazado una secci6n. Determinar la distancia desde el vertice de la piramide hasta el plano de esta secci6n.

454. En un tetraedro regular SABC cuya arista es igual a a se han trazado tres pIanos, cada uno de los cuales pasa por uno de los vertices de la base del tetraedro ABC y los puntos medias de dos aristas laterales. Hallar el volumen de la parte del tetraedro, dispuesta sobre todos los pianos secantes. 455. La piramide SABCD tiene por base un rombo con las diagonales AC = a y BD = b. La arista lateral SA es perpendicular al plano de la base e igual a q. Por el punta A y el punto medio K de la arista SC se ha trazado un plano perpendicular a la diagonal BD de la base. Determinar el area de la secci6n. 456. En un prisma cuadrangular regular se han trazado dos secciones paralelas: una de ellas pasa por los puntas medias de los lados contiguos de la base y por el punto medio del eje, la otra divide al eje en la relaci6n de 1:3. Conociendo que el area de la primera secci6n es igual as, hallar el area de la segunda. 457. Una piramide triangular ha sido seccianada por un plano en dos poliedros. Hallar la relaci6n de los volumenes de estos poliedros, si se conoce que el plana secante divide a tres aristas laterales, que concurren en uno de los vertices de la piramide, en las proporcianes 1:2, 1:2, 2: 1, contanda desde el vertice.

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PROBLEMAS DE MATEMATlCAS ELEMENTALES

458. Hallar el volumen de una pinimide triangular, si el area de sus caras son So' Sl' Sl' S3' Y los angulos diedros, adyacentes a la cara de area So' son iguales entre Sl. 459. Par los puntas medias de dos aristas paralelas de un cuba, que no se encuentran en una misma cara, se ha trazado una recta, alrededor de la cual el cuba ha sido girado 90°. Determinar el volumen de la parte comun del cubo inicial y eI girado, conociendo que la arista del cuba mide a. 460. A traves del vertice de un cono se ha trazado un plano que forma con la base del can a un angulo a. Este plano carta ala base por la cuerdaAB de longitud a, que une los extremos del arco de la base del cono, correspondiente al angulo central [3. Hallar el volumen del cono.

461. Un cono y un cilindro tienen una base comun, y el vertice del con a se encuentra en el centro de la otra base del cilindro. Hallar el valor del angulo formado par el eje del cono y su generatriz, si se canace que las superficies totales del cilindro y del cono son entre Sl como 7:4. 462. En un co no se ha inscrito un cilindro cuya altura es igual al radio de la base del cono. Hallar el angulo entre el eje del cono y su generatriz, si se sabe que la superficie total del cilindro es al area de la base del cono como 3 :2. 463. En un cono cuya generatriz I forma con el plano de la base un angulo a, se ha inscrito un prisma regular de n lados, todas

las aristas del cua) son iguales entre S1. Hallar )a superficie total del prisma. 464. Los cuatro lados de un trapecio equilatero hacen contacto can un cilindro cuyo eje es perpendicular a los lados paralelos del trapecio. Hallar el angulo formado por el plano del trapeeio y el eje del cilindro, conociendo que las bases del trapecio miden a y b, y su altura es igual a h. 465. En un prisma recto que tiene par base un triangulo rectangulo se ha inscrito una esfera. En el triangulo de la base del prisma, la perpendicular de longitud h, bajada desde el vertice del angulo redo a la hipotenusa, forma con uno de los catetos un angulo a. Hallarel volumen del prisma. 466. En una piramide regular de n lados con ellado de la base igual a a y el arista lateral b se ha inscrito una esfera. Hallar el radio de esta esfera. 467. En una piramide triangular regular se ha inscrito una esfera. Hallar el angulo de inclinaei6n de la cara lateral de la piramide respecto al plano de la base, conoeiendo que la relaei6n entre el volumen de la piramide y el volumen de la esfera es igual a 27-13 . 41f 468. A una esfera de radio r se Ie ha cireunserito una piramide regular de n lad os, el ungulo diedro de la base de la eual es igual a a. Hallar la relaci6n entre el volumen de la esfera y el volumen de la piramide.

GEOMETRWEstcreometria

469. Hallar la relaci6n entre el volumen de una piriunide regular de n lados y el volumen de la esfera inscrita en esta pinimide, conociendo que las circunferencias circunscritas a la base y a las caras laterales de la pinimide son iguales entre sf. 470. Hallar la altura de una piramide cuadrangular regular, si se conoce que el volumen de la esfera circunscrita a la piramide es V, y que la perpendicular bajada del centro de la esfera a su cara lateral forma con la altura de la piramide un angulo a. 471. En una piramide que tiene por base un rombo con un angulo agudo igual a a, se ha inscrito una esfera de radio R. Las caras laterales de la piramide forman con el plano de la base un cingulo \jf. Hallar el volumen de la piramide. 472. Dos piramides regulares de n lados con iguales bases se han unido por estas bases. Hallar el radio de la esfera inscrita dentro del poliedro obtenido, conociendo que ellado de la base· comun de las piramides es igual a a y las alturas de estas ultimas son hy H. 473. Dos piramides regulares de n lados con iguales bases, pero de diferentes alturas, han sido unidas por estas bases, y al poliedro obtenido se Ie ha circunscrito una esfera de radio R. Hallar las alturas de las piramides, conociendo que ellado de la base es igual a a. i,Para cuat relaci6n entre a y R es soluble el problema? 474. En un prisma regular de n lados se ha inscrito una esfera que hace contacto con todas las caras del prisma. AI prisma se Ie

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ha circunscrito otra esfera. Hallar la relaci6n entre los volumenes de las dos esferas. 475. En una esfera se ha inscrito un tetraedro regular yen este tetraedro, una nueva esfera. Hallar la relaci6n entre las superficies de las dos esferas. 476. En un tetraedro regular se ha inscrito una esfera. En la esfera se ha inscrito un nuevo tetraedro regular. Hallar la relaci6n entre los volumenes de los dos tetraedros. 477. Se tienen dos esferas concentricas de radios r y R (R>r). i,Para cual relaci6n entre R y r, dentro de la esfera mayor se puede construir un tetraedro regu lar de modo que tres vertices de su base se encuentren en la esfera mayor y tres de sus caras laterales hagan contacto con la esfera menor? 478. Se han tomado dos vertices opuestos de un cuba y por los puntos medios de seis aristas que no pasan por estos vertices se ha trazado un plano secante que divide al cuba en dos partes. En cada una de estas partes se ha colocado una esfera que hace contacto con tres caras del cubo y el plano secante. LCuantas veces el volumen de cada esfera sera menor que el volumen del cubo? 479. Desde un punto de una esfera de radio R se han trazado tres cuerdas iguales que forman un angulo a una con la otra. Detemlinar la longitud de estas cuerdas.

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PROBLEMAS DE MATEMATICAS ELEMENTALES

480. En una pirfunide triangular SABC las aristas SA, SC y SB son de dos en dos perpendiculares: AB = BC = a, BS = h. Hallar el radio de la esfera inscrita en la pirfunide.

481. Hallar el angulo diedro

486. La razonentre la altura de un co no y el radio de la esfera circunscrita a este es igual a q. Hallar la relacion de los vohlmenes de estos cuerpos. (,Para cuales valores de q es soluble el problema? 487. Hallar la razon del volumen de una esfera al volumen del co no recto circunscrito a esta esfera, si la superficie total del cono es n veces mayor que la superficie de la esfera. 488. Calcular los radios de las bases de un cono truncado circunscrito a una esferade radio R, conaciendo que la raz6n de la superficie total del cono truncado a la superficie de la esfera es igual am. 489. En un cono se ha inscrito una esfera de radio r. Hallar el volumen del cono, conociendo que eI plano que hace contacto con la esfera y que es perpendicular a una de las generatrices del cono se encuentra ala distancia d del vert ice del cono. 490. En un cono, en el cual el angulo de la secci6n axial del vertice es igual a a, se ha inscrito una esfera de radio R. Hallar el volumen de la parte del cono dispuesta por encima de la esfera.

491. Determinar los radios de dos esferas, que al cruzarse forman una lente biconvexa, si se conace que el espesor de la lente es igual a 2a, su superficie total es Sy su diametro 2R. 492. En un cono se ha inscrito una esfera. La razon de los volumenes de estas dos figuras es k. Hallar la relaci6n entre los

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volumenes de los segmentos esfericos cortados de la esfera por un plano que pas a por la linea de contacto de la esfera con el cono.

493. En una esfera S de rad io R se han inscrito ocho esferas de menor radio, cada una de las cuales hace contacto con las dos vecinas, y todas juntas tienen contacto con la esfera S por la circunferencia de mayor diametro. Luego, en el espacio entre las esferas se ha inscrito otra esfera S] que hace contacto con las ocho esferas de menor radio y con la esfera S. Hallar el radio p de esta ultima esfera. 494. En una esfera S de radio R se han inscrito ocho esferas iguales, cada una de las cuales hace contacto con tres esferas vecinas y la esfera S. Hallar el radio de las esferas inscritas, conociendo que sus centros se encuentran en los vertices de un cubo. 495. En una csfera se han inscrito dos conos iguales, cuyos ejes coinciden, y los vertices de los cuales se encuentran en los extremos opuestos del diametro de la esfera. Hallar la relaci6n entre el volumen de la parte comun de estos dos conos y el volumen de la esfera, conociendo que la raz6n de la altura h del cono al radio R de la esfera es igual a k. 496. Las areas de dos secciones paraleias de una esfera, dispuestas a un mismo lado respecto a su centro, son iguales as] y S2. La distancia entre estas secciones es iguai ad. Hallar ei

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area de la secci6n paralela a las secciones dadas y que divide por la mitad la distancia entre estas ultimas.

497. Sobre un plano P descansan tres esferas iguales de radio R que hacen contacto una con otra. Un cono circular recto esta dispuesto de tal manera que el plano de su base coincide con P, y las esferas dadas hacen contacto con el cono y se encuentran fuera de el. Hallar el radio de la base del cono si su altura es igual

aqR. 498. Se tienen cuatro esferas iguales de radio R, cada una de las cuales hace contacto con las otras tres. Una quinta esfera tiene contacto exterior con cada una de las esferas dadas, y una sexta, contacto interior. Hallar la relaci6n entre el volumen de la sextaesfera V6 y el volumen de la quinta VS. 499. En un plano se encuentran tres esferas iguales de radio R, cada una de las cuales hace contacto con otra de elias. Una cuarta esfera hace contacto con cada una de las tres esferas dadas y con el plano. Hallar el radio de la cuarta esfera. 500. Sobre un plano reposan cuatro esferas iguales de radio R. Tres de ellas hacen contacto entre sf de dos en dos, y la cuarta tiene contacto con dos de estas tres. Sobre estas esferas se colocaron dos esferas iguales de menor diametro que hacen contacto una con la otra y con tres de las esferas dadas. HaIlar la relaci6n entre los radios de las esferas grande y pequefia.

66

PROBLEMAS DE MATEMATICAS ELEMENTALES

2. Problemas de demostracion 501. Se tiene un conn truncado cuya superficie lateral es igual al area de un circulo que tiene por radio a la generatriz del cono truncado. Demostrar que en el cono dado se puede inscribir una esfera. 502. Se tiene un cono truncado cuya altura es media proporcional entre los diametros de las bases. Demostrar que en el cono se puede inscribir una esfera. 503. Demostrar que al unir tres vertices de un tetraedro regular con el punto medio de la altura bajada desde el cuarto vertice, se obtienen tres rectas perpendiculares entre Sl de dos en dos. 504. Sea R el radio de una esfera circunscrita a una piramide cuadrangular regulary r, el radio de una esfera inscrita en esta piramide. Demostrar que j{ I"

?

-J2 + 1.

Indicacion. Expresar ~ en funci6n de tg ~,donde a es el angulo diedro entre la base y la cara lateral. 505. Desde el punto 0 de la base ABC de una piramide triangular SABC, se han trazado las rectas OA " OB' Y OC', paralelas respectivamente a las aristas SA, SB y SC, hasta su intersecci6n con las caras SBC, SCA YSAB respectivamente en los puntos A',B'yC'.

Demostrar que

506. Se examinan dos triangulosABC y A IBI C I que se encuentran en pIanos no paralelos y cuyos lados son de dos en dos no paralelos. Al mismo tiempo, las rectas que unen los vertices correspondientes se intersectan en un punto O. Demostrar que las prolongaciones de los lados correspondientes de los triangulos se cruzan de dos en dos y que los puntos de su intersecci6n se encuentran en una misma recta.

507. Demostrar que los segmentos que unen los vertices de cierta piramide triangular con los centros de gravedad de las caras opuestas se cruzan en un punto y se dividen por este punto en la relaci6n 1:3. 508. Demostrar que el area de cualquier secci6n triangular de una piramide triangular arbitraria no es mayor que el area de una de sus caras. 509. Una de las dos piramides triangulares con base comun, se encuentra dentro de la otra. Demostrar que la sum a de los angulos pIanos del vertice de la piramide interior es mayor que la suma de los angulos pIanos de la piramide exterior.

510. Cuatro esferas cuyos centros no se encuentran en lin plano, hacen contacto entre si de dos en dos. Cada dos de estas esferas deterrninan un plano perpendicular a SllS !ineas de centros y que

GEOMETRiAlEstereometria

tiene contacto con ambas esferas. Demostrar que los seis pianos que se obtienen de tal modo tienen un punto eomun.

67

516. Demostrar que todo plano que pasar por los puntos medios de dos aristas opuestas de un tetraedro, divide a este en dos partes equidimensionales.

511. Demostrar que si en una piramide triangular la suma de las longitudes de cualquier par de aristas opuestas es la misma, los vertices de esta piramide son los centros de cuatro esferas que hacen contacto entre sf de dos en dos.

517. Demostrar que si todos los angulos diedros de eierta piramide triangular son iguales, entonces todas las aristas de esta piramide son tam bien iguales.

512. i.,A cual condici6n deberan satisfacer los radios de tres esferas que tienen contacto entre sf de dos en dos, para que a estas esferas se las pueda trazar un plano tangente com un?

518. Sobre dos pianos paralelos se encuentran los segmentos AB y CD. Los extremos de estos segmentos son los vertices de cierta piramide triangular. Demostrar que el volumen de la pirimide no varia si estos segmentos se desplazan por estos pianos paralelamente a sf mismos.

513. Demostrar que sf un punto se desplaza por el plano de la base de una piramide regular, permaneciendo dentro de esta base, la suma de las distancias de este punto hasta las caras laterales es constante. 514. Demostrar que dos pianos trazados por los extremos de las tres aristas de un paralelepfpedo, que parten de los extremos de la diagonal de este ultimo, cortan a esta diagonal en tres partes iguales. 515. Demostrar que si un plano trazado por los extremos de tres aristas de un paralelepfpedo, que parten de un mismo vertice, corta del paralelepfpedo un tetraedro regular, entonces el paralelepipedo puede ser cortado por un plano de modo que en la secci6n se obtenga un hexagono regular.

519. Demostrar que la recta que corta las dos caras de un angulo diedro forma con ellas angulos iguales solamente cuando los puntos de intersecci6n equidistan de la arista. 520. En el espacio se examinan dos segmentosAB y CD que no se encuentran en un plano. Supongamos que sea A1N el segmento que une sus puntos medios. Demostrar que AD+BC

>MN

2

(aqufAD, BCy A1N son las longitudes de los segmentos correspondientes).

68

PROBLEMAS DE MATEMAnCAS ELEMENTALES

521. Demostrar que cualquier angulo plano de un cingulo tetraedro arbitrario es menor que la suma de los otros tres angulos pianos. 522. Demostrar que cualquier angulo tetraedro convexo puede ser cortado por un plano de manera tal, que en la seccion se obtenga un paralelogramo. 523. Demostrar que si en una piramide triangulartodas las caras son equidimensionales. entonces estas son iguales.

3. Lugar geometrico de los puntos 524. Hallar ellugar geometrico de las proyecciones de un punto dado en el espacio sobre un plano que pasa por otro punto dado. 525. Hallar ellugar geometrico de los centros de las secciones de una esfera por pianos que pasan por una recta dada l. Examinar los casos en que la recta cOrta ala esfera, es tangente a ella 0 no tiene con ella puntos comunes. 526. Hallar ellugar geollletrico de los centros de las secciones de una esfera por pianos qu~~ pasan por un punto dado C. Examinar los casos en que el punto C se encuentra fuera de la esfera, en su superficie 0 dentro de ella. 527. Hallar ellugar geometrico de los puntos desde los cuales se pueden trazar ala esfera dada de radio R, tres tangentes que formen con tres angulos pianos rectos un angulo tetraedrico.

528. Hallar ellugar geometrico de los pies de las perpendiculares bajadas desde un punto dado del espacio a las rectas que se encuentran en un plano dado y que se cruzan en un punto. 529. Se tienen un plano P y dos puntos A y B fuera de este plano. A traves de A y B se trazan todas las esferas posibles que hagan contacto con el plano P. Hallar ellugar geometrico de los puntos de contacto. 530. Un plano corta al angulo triedrico par el triangulo ABC. Hallar el lugar geometrico de los centros de gravedad de los triangulos ABC con la condicion de que: a) los vertices A y B son fijos; b) el vertice A es fijo .

4. Valores maximos y minimos 531. Un cuba se corta par un plano que pasa par una de sus diagonales. l,COIllO debera ser trazado este plano para que el area de la seccion sea minima? 532. En una piramide triangular se hacen secciones paralelas a dos de sus aristas que no se cruzan. Hallar la seccion de mayor area.

69

TRlGONOMETRiA

x+v x-y cosx + cosy = 2cos 2 cosT'

TRIGONOMETRIA

x+y

x-y

cosx -cos y = 2sen-2- sen T Observaciones preliminares Expongamos algunas de las formulas que se encuentran en los problemas propuestos a continuacion. 1. Funciones trigonometricas de la suma y la diferencia de dos angulos:

sen (x + y) = sen x cos y sen(x - y) = sen xcos y cos(x + y) = cos x cos y cos(x - y) = cos x cos y

+ cos x sen y. - cos xsen y. - sen x sen y. + sen ~ sen y.

(1) (2) (3) (4)

'

(11 )

(12)

4. Multiplicacion de funciones trigonometricas

1

sen x sen y = icos(x - y) - cos(x + y)i '

(13)

cosxcosy=ticos(x- y) + cos(x + y)i ,

(14)

senxcosy = tlsen(x- y)+sen(x+ y)i,

(15)

~

l-cos2x = 2'

(16)

~

l - cos 2x X = - 2'

(17)

sen- x cos-

5. Expresion de sen x, cos x Y tg x en funcion de

tg i .

2. Angulos doble y triple: 2tg ~

sen 2x = 2sen x cos x, ~ 2 cos 2x = cos~ x - sen x, sen 3x = 3sen x - 4sen 3 x, cos3x = 4cos 3 x-3cosx.

(5) (6) (7) (8)

senx =- -;l+ tg

cos X =

x+~

sen x + sen y = 2sen 2

x+y

x-y

cos-2-, x-y

sen x - seny = 2cosTsen - 2- '

(9)

(10)

(18)

2 ,

(19)

l - tg 2 ~ -

-0-

l+tg"t

tgx 3. Suma y diferencia de funciones trigonometricas:

,

1

2tg~

=--;-. l-tg 1

(20)

6. Funciones trigonometricas inversas.

a) Valores principales de las funciones trigonometricas inversas:

70

PROBLEMAS DE MATEMAnCAS ELEMENTALES

y

= arcsen X , si X = sen y y - ~ :<: ; y :<: ; ~ , Y = arccos X, si X = cos y y 0:<::; y :<: ; n,

(22)

y=arctgx, si x=tgy y -~
(23)

Y = arccotgx, si

X

= cotg y

y 0< y < n.

(21)

(24)

b) Funciones trigonometricas inversas de valuaci6n multiple: Arcsen x

= (-lr arcsen x + nn, n = 0, ± 1, ± 2, ... (25) (26) Arccosx = ± arccos x - 2nn, (27) Arctg x = arctg x + nn, Arccotg x

= arccotg x + nn.

(28)

Las f6rmulas (25}-{28) determinan el aspecto general de los angulos correspondientes al valor dado de la funci6n trigonometrica.

535. Demostrar que para todos los valores admisibles de x es valida la f6rmula tg x + tg2x - tg3x

= tg xtg 2x tg 3x.

536. Demostrar que para todos los valores admisibles de xes justa la igualdad tg 3x

= tg x tg(~ - x )tg(~ + x).

537. Demostrar la identidad sen a + sen ~ + sen y - sen(a + ~ + y) =

= 4 sen a;~ sen ~ ;1 sen y;n . 538. Demostrar que si a +

~

+ y = n, entonces

sen a + sen ~ + sen y = 4cos~ cos% cos~.

1. Transformaci6n de las expresiones que contienen funciones trigonometricas

X

+ cos 6

~

+ y = J[ se

sen 2na + sen 2nfJ + sen 2n y = (- 1)yn+14 sen na sen nfJ sen ny.

533. Demostrar la identidad sen 6

539. Demostrar que para un valor entero de n y a + cumple la identidad

X

=I-

i sen

2

2x.

534. Demostrar que cos 2 a + cos 2 (a + ~)- 2 cosa cos ~cos(a +~) = sen 2 ~.

540. Demostrar que si cos( a +

~

)=0, entonces

sen(a + 2~) = sen a.

541. Demostrar que si 3 sen

~

=sen(2 a +

tg(a+~)=2tga

~),

entonces

J'RIGONOMETRiA

546. Sea x + y + Z

para todos los valores admisibles de a y 13 .

71

= ~ k.l,Para cuales valores enteros de k la

suma

542. Demostrar que si sen a = A sen (a +(3), n.)

tg ( a+f-'

sen p

= cosP-A

tg Y tg z + tg z tg x + tg x tg Y no depended de x, y y z?

para todos los valores admisibles de a y 13.

547. Hallar las relaciones algebraicas entre los angulos a, 13 y

543. Demostrar que si los angulos a y 13 estan enlazados en la relaci6n

y, si se conoce que tg a

senp sen(2ap)

+ tg 13 + tg Y = tg a tg 13 tg y.

~

m

548. Transfomlar en una multiplicaci6n la expresi6n

entonces se cumple la igualdad

l+~

~

m+n

cotg 2 2x-tg 2 x-8cos4xcotg4x.

549. Transformar en una multiplicaci6n la expresi6n

I-tga·tgp m-n

544. Demostrar que si cos x . cos y . cos Z

7=

0, entonces es v31ida

sen 2 a + sen 2 13 + sen 2 y + 2 cos a cos 13cosy - 2.

550. Calcular, sin emplear las tablas, la expresi6n

laf6rmula cos(x+y+z)=

= cosxcos ycosz(l- tgxtgy - tgytgz - tg ztgx).

551. Demostrar que cos'S -cos s = 2' 7l

545. Demostrar que si a, 13, y son los {mgulos de un triangulo,

I

552. Demostrar que

entonces se cum pie la igualdad tg ~2 tg [l2 + tg2 [l tg2 1'. +2 tg .I 2 tg ~

271

= 1.

cos ~71 + cos .'!~ + cos.£7t 7 7 7

= 21. .

72

PROBLEMAS DE MATEMATICAS ELEMENTALES

553. CaJcu\ar, sin hacer uso de las tablas, la expresi6n 4

4 3lt

1t

4 5lt

4 7lt

sen T6 + sen T6 + sen ]"6 + sen ]"6. 554. Demostrar que

2sen 17x +.J3 cos5x + sen 5x

= O.

561. Resolver la ecuaci6n

tg 20° tg 40° tg 80°

= .J3.

sen 2 x( tg x + I) = 3 sen x(cos x - sen x) + 3.

2. Ecuaciones trigonometricas y sistemas de ecuaciones A.

560. Resolver la ecuaci6n

555. Resolver la ecuaci6n

~gx

1+lgx

-

sen x COS 3 X

3

'

sen x + cos) x

= 1- ~ sen 2x.

563. Resolver la ecuaci6n

ECUACIONES TRIGONOMETRIC AS

sen 3 X cos X 556. Resolver laecuaci6n

562. Resolver la ecuaci6n

=

*.

_1,- _ _ 12- _ _ 1__ _ 1_, _ _ _ 1 ____ 1_ _ sen" x cos x tg 2 x colg - x sec 2 x cosec 2 x

= -3.

564. Resolver la ecuaci6n

= I + sen 2x. 565. Resolver la ecuaci6n

557. Resolver la ecuaci6n 1 + senx + cos x + sen2x + cos 2x

~ (sen 4 x + cos 4 x)

= O.

558. Resolver 1a ecuaci6n 1 + sen x + cos 3x = cos x + sen 2x + cos 2x.

= sen 2 x cos 2 X + sen x cos x.

566. Resolver laecuaci6n (1 + k) cos x cos(2x - a) = (I + k cos 2x) cos(x - a). 567. Resolver laecuaci6n

559. Resolver la ecuaci6n (sen 2x + ,,/3 cos2x») - 5 = cos (~- 2x).

sen ax sen bx

=

sen ex sen dx,

TRlGONOMETRiA

donde a, b, c y d son los terminos positivos sucesivos de una progresi6n aritmetica.

sen 2x - 12( sen x - cos x) + 12 = O. 575. Resolver la ecuaci6n

568. Resolver la ecuaci6n

2 + cos x = 2 tg 1. 569. Resolver la ecuaci6n

1+ 2 cosec x = 576. Resolver la ecuaci6n

cotg 2 x = l+senx.

cotg x - 2 sen 2x = 1.

2 cos x cos(f3 - x) = cos 13.

2 tg3x - 3 tg2x

= tg 2 2x tg 3x.

578. Resolver la ecuaci6n

571. Hallar cos
sen a + sene
cos 2 (a + x) + cos 2 (a - x) = a, donde 0 < a < 2. Analizar para cuMes valores de a tiene soluci6n el problema.

t, si sen a

2 cotg 2x - 3 cotg 3x = tg 2x. 579. Resolver la ecuaci6n

6 tg x + 5 cotg 3x = tg 2x.

572. Hallar cotgx de la ecuaci6n

+ cos a = ;; y el angulo

a se encuentra en los Ifmites entre 0 y 45°. 574. Resolver la ecuaci6n

l+cosx

577. Resolver la ecuaci6n

570. Hallar tg x de la ecuaci6n

573. Hallar el valor de tg

sec 2 ~

-T'

580. Resolver la ecuaci6n sen 5 X

-

cos 6 X = ~I~ - ~I- . cosx

senx

581. Resolver la ecuaci6n

tg (x - B.)tg x tg (x + B.) = 4

4

4cos 2 x . toE-cotgE "2 2

582. LPara cuales valores de a tiene soluci6n la ecuaci6n

sen 2 x-senxcosx-2cos 2 x=a?

73

74

PROBLEMAS DE MATEMATICAS ELEMENTALES

590. Resolver laecuaci6n

Hallar esta soluci6n.

583. Hallar todos los valores de a, para los cuales es soluble la ecuaci6n sen 4 x - 2 cos-') x + a 2

8sen 6 x + 3cos2x + 2cos4x + 1 = O.

591. Resolver la ecuaci6n

= 0.

,., cos 3x cos 3 x + sen -,x sen 3 x = 0.

584. Resolver la ecuaci6n 592. Resolver la ecuaci6n x

cos n..£ cos 2rr..£ cos 4rr 3xl cos 8n :1 cos 16rr 3I 31 31 J

= 321 .

8

8

sen x + cos x =

17 32 .

585. Resolver la ecuaci6n 593. Resolver laecuaci6n cos 7x - sen 5x = -J3(cos 5x - sen 7x).

sen 10 x + cos 10 x

29 = 16 cos 4 2 x.

586. Resolver la ecuaci6n 594. Resolver la ecuaci6n 2 - (7 + sen

2x)sen 2,

587. Hallar sen x y cos x,

x + (7 + sen 2x)sen4 x = O.

" )3 . sen 3 x + sen 3 2x + sen 3 3x - (sen x + sen 2x + sen -'x

SI

595. Resolver la ecuaci6n a cos x + b sen x = c. . Para cua! G

sen ')n - x + cos 2n x = 1,

condici6n respecto a, bye es soluble el problema? donde n es un numero entero positivo.

588. Resolver la ecuaci6n asenx +b h cos x+a

= acosx+h.(a 2 ":2b 2 ). b sen x+a

596. Resolver la ecuaci6n

senC~ + 3;)=2sen(~Z -1)·

589. Resolver laecuaci6n 597. Resolver la ecuaci6n 32

cos 6

x - cos 6x = 1.

TRlGONOMETRiA

75

sen x = cosec x + sen y, (cos4x-cos2x)2 =sen3x+5. 598. Resolver la ecuaci6n . (sen x + cos x}fi = tg x + cotg x.

cosx = sec x + cos y. 603. Resolver el sistema de ecuaciones sen 3 x =

1sen y,l

cos 3 x = -lL cos

599. Demostrar que la ecuaci6n (sen x + -fj cosx )sen 4x = 2

y.1 )

604. Resolver el sistema de ecuaciones tg x + tg Y = I,}

no tiene soluci6n.

cos x cos y = --k . -v2

600. Determinar en que limites se puede variar el parametro A para que la ecuaci6n sec x + cosec x = A tenga una raiz x que satisfaga ala desigualdad 0 < x < ~.

605. Resolver el sistema de ecuaciones sen x sen y =

~ 4-.,)2 '} _I

tgxtgy - 3' 606. Resolver el sistema de ecuaciones

B. SISTEMAS TRIGONOMETRlCOS

x+ y

601. Hallar todas las soluciones del sistema de ecuaciones

=
cos x cos y = a.

sen(x + y) = 0,[

sen(x-y)=O.r

GPara cwiles valores de a es soluble el sistema?

J

que satisfagan las condiciones: 0 :::; x :::; n, 0 :::; y :::; n.

607. Hallar todos los valores de a, para los cuales es soluble el sistema de ecuaciones

602. Resolver el sistema de ecuaciones sen xcos2y = a 2 +

I,}

cosxsen 2y = a.

76

PROBLEMAS DE MATEMAnCAS ELEMENTALES

GPara cuales valores de a son posibles las soluciones halladas? Resolver este sistema.

612. Resolver el sistema de ecuaciones 608. Resolver el sistema de ecuaciones

== 2sen(y + ~4),1 r tgy+ t;y ==2sen(x-1)'J

tgx + _L

cos(x - 2y) = acos 8 y,l

tgx

sen(x-2y)=acos 3 yJ GPara cuales val ores de a es soluble el sistema?

609. Hallar cos(x + y), si x e y satisfacen al sistema de ecuaciones sen

y

x+ sen y = a,}

cos x + cos y

613. Eliminar x e y del sistema de ecuaciones asen 2 x+bcos 2 X=I'l

a cos 2 y + b sen 2 y = I, atgx

btgy'J

=

=b

admitiendo que el sistema es soluble y que a*- b.

610. GPara cuales valores de a es soluble el sistema de ecuaClOnes x- y =

a,l

2(cos 2x + cos 2y)

= 1 + 4 cos 2 (x -

y)? j

~

en funci6n de A y B con la condici6n

sena == A sen (J,

tg a

== B tg (J.

615. Resolver el sistema de ecuaciones

y,}

= tg 3 sen x = cos 2y. tgx

Hallar las soluciones de este sistema. 611. Hallar todas las soluciones del sistema 8 cosx cos ycos(x - y) + 1 =

614. Expresar cos a y sen de que

616. Resolverel sistema de ecuaciones

0,1

x + y = a.)

sen x + sen y

= sen(x + y), Ixi + Ivi = I. i I

'" I

TRIGONOMETRiA

623. Demostrar que para a < 1/32, la ecuaci6n

617. Resolver el sistema de ecuaciones sen(y -3x)

3

= 2sen 3 x,l

cos(y - 3x) = 2 cos 3 x.J

618. Aclarar a cwiles condiciones debenin satisfacer los numeros a, bye, para que el sistema de ecuaciones sen x + sen y = 2a,l

= 2b, ~ tgxtgy = c J

cos x + cos y

tenga por 10 menos una soluci6n.

620. Calcular el arcsen (cos

.

624. Demostrar la f6nnula

= {arcsen~l-x2,

rr-arcsen~l-x2,

O~x~l;

si si -1~x~O.

625. Demostrar las f6rmulas arcsen( -x) = - arcsen x, arccos( - x) = n - arccos x. ~

+ 21m ::::: x

~~

+ 21m, entonces

627. Demostrar que si 0 < x < 1 y

a = 2arctg II~x, f3 = arcsen l+x I-X; , entonces a + f3 = 1[, x

3; n) .

628. Hallar la relaci6n entre

621. Demostrar que

arcsen cos arcsen x y arccos sen arccos x.

arctg 13 + arctg 15 + arctg 17 + arctg 81 = 1!4'

4. DesiguaJdades trigonornetricas

622. Demostrar la f6nnula arcsen x + arccos x

3

no tiene ralces.

626. Demostrar que si arcsen( sen x) = x - 21m.

3. Funciones trigonornetricas inversas

= an

0

(arcsen x) + (arccosxf

arccos x

619. Calcular el arccos {sen(- ~)J

77

=~.

629. Resolver la desigualdad sen x > cos 2 X.

78

PROBLEMAS DE MATEMATICAS ELEMENTALES

637. Demostrar la validez de la desigualdad 630. LPara cmlles valores dex se cumple la desigualdad ,

4sen~

(I - tg 2 x Xl - 3 tg 2 x Xl- tg 2x tg 3x) > 0

?

x+3tgx-2sec- x>O?

631. Resolver la desigualdad sen x sen 2x < sen 3x sen 4x, si O
para todos los valores de x, para los cuales la parte izquierda tiene sentido.

638. Demostrar la validez de la desigualdad {cotg 2 x-I )(3cotg 2 x -1 )(cotg3x tg 2x -1):<::: -1

sen 2 x- -I

4

Jj - (sen x + cos x)

>0

para todos los valores de x, para los cuales la parte izquierda tiene sentido.

.

633. Hallar todos los valores de x, mayores de cero, pero menores de 2 7t, para los cuales se cumple la desigualdad

639. Suponiendo que sea tg

e = ntg

0), demostrar que

cos x - sen x - cos 2x > O.

640. Demostrar la desigualdad

634. Resolver la desigualdad t

c!.

g2

senx-J senx- 2

> ~gx-2

+1 > 2 -

2-senx 3-senx

tgx+2'

LPara cu
635. Resolver la desigualdad cos 3 X cos 3x - sen 3 x sen 3x >

i.

636. Demostrar para 0 <

1 + cotg
641. Demostrar que para 0 :<: :

sen cos cp.

TRlGONOMETRiA

642. Supongamos que sea nun numero entero positivo, mayor que 1, Yque el angulo a satisface a la desigualdad

79

Jo '

647. Demostrar que si tg a = ~ y sen ~ = entonces a + 2~ = 45° (a y ~ son angulos del primer cuadrante). 648. Demostrar que

Demostrar, empleando el metoda de induccion completa, que entonces tgna > n tga.

643. Supongamos que sea 0 < a Demostrar que entonces tga

a

1 <

2 < ... <

an

<

senx+tgx cosx+cotgx

adquiere valores positivos para todos los valores admisibles de x.

n12. 649. Demostrar que la igualdad


t

< g an'

644. Demostrar que si A, Bye son los angulos de un triangulo, entonces C < 1 sen 2A senB 2 sen 2 - 8" . 645. Demostrar que para 0
cosx

8

1

sen - x( cos x - sen x)

> .

5. Problemas diferentes 646. Calcular la funcion sen (2 arctg

Y ==

sen a sen 2a sen 3a

=1

no es valida para ninguno de los val ores de a.

650. Expresar sen 5x en funcion de sen x, y con ayuda de la formula obtenida calcular, sin hacer uso de las tab las, el valor de sen 36°. 651. Hallar los valores maximo y minimo de la funcion

652. Hallar los valores maximo y minimo de la funcion

i - arctg 1;) .

y = 2 sen 2x + 4 cos 2x + 6 sen x cos x. 653. (,Para cuales valores enteros de n la funcion cosnxsen 1.n x

80

PROBLEMAS DE MATEMATICAS ELEMENTALES

tiene unperfodo igual a 3 1t ')?

Indicacion. Emplear la formula de Moivre.

654. Demostrarque si la suma

658. Se exam ina la funcion

I(x) = Acosx + Bsen x, parax=O y x = XI 7= 1m (kes un numero entera) seconvierte en cera, entonces esta sum a es igual a cera paracualquiervalor dex.

655. Demostrar que la funcion cos

-E no es periodica (es decir,

donde A y B son ciertas constantes. Demostrar que si j(x) se hace igual a cera para dos valores del argumento x I y x 2 tales, que

que no existe ningun numero constante T 7= 0, que para todos los valores de X sea cos ~-; + T = cos

-E ).

(k es un numero entero), entoncesj(x)es por identidad igual a cera.

656. Demostrar la formula sen sen x + sen 2x + ... + sen nx =

nx

sen (n+l)x

2

2

sen"-2

Indicacion. Se puede emplear la formula de Moivre (cos x + i sen x

y = cos nx + i sen nx.

657. Calcu lar la suma cos E

cos

2lt

cos nlt

444

-- + --~-+

2

2-

... +-- -. 2n

*) La funci6nf(x) se llama peri6dica, si existe un numero T 7= 0 tal, que para todos los val ores admisibles de x se cumple la igualdadf(x + 1) =f (x). En este caso, el numero Tse llama perfodo de la funci6n.

ALGEBRAIResoluciones y Soluciones

81

Asi pues, AI = A z' 10 que se exigia demostrar. 2. Si la diferencia d de la progresion dada es igual acero, la validez de la formula es evidente. Por esta razon consideraremos que d:j:. 0. Designemos el miembro izquierdo de la igualdad supuesta por S. Liberando los denominadores de la irracionalidad, obtendremos:

ALGEBRA

RESOLUCIONES Y SOLUCIONES 1. Progresiones aritmetica y geometrica 1. Segun la condicion del problema

b- a

= c - b = dye - a = 2d.

Supongamos que sea

Puestoque segtin lacondicion del problemaa2-G 1 = =a3-G2= =... = an-an- I = d, entonces, es evidente que

A _ _1_ _ _ 1_ 1-

-Fc+.Ja

Jb+-Fc

Finalmente tendremos

y A~

...

= ,-a +'\jh 1 " --V

_

,- 1 I .

"";c+'Va

Demostremos que AI = A 2 • Si d = 0, entonces a = b = c YAI = 0. Por esta razon consideraremos que d:j:. 0. Libenindonos de la irracionalidad en los denominadores obtenemos:

= Ao

A 1-

y

-Fc--/i 2d

+

~--Fc d

_

-

2~--Fc-.Ja

10 que se exigia demostrar. 3. Segun la condicion del problema

2d

A - Jb-~ _ -Fc-~ _ 2Jb--Fc-.Ja 2 -

d

2d

-

2d

Si d = 0, entonces la iguaJdad propuesta es evidente. Considerando que d :j:. tendremos:

°,

82

PROBLEMAS DE MATEMATlCAS ELEMENTALES

an -al dalan

Reduciendo a un comun denominadory haciendo las simplificaciones correspondientes, tendremos:

n-I alan

a 1 -an_1 =(n-2).(an_I -aJ,

10 que se exigia demostrar.

al

4. Siendo n = 3 tenemos que ,,~) + (/ola I I al"2 - -':;1"3

=

I I ala3 - "3a2

I -.

." 3

= a I~ 3 .

De aquf que

Ypor conslglllente, a3 - a 2 = a 2 - a l· Por esta raz6n, es suficiente demostrar que para cualquier n ;::: 4

Escribamos sucesivamente la igualdad indicada en la condici6n del problema, para los casos n - 2, n - 1 y n:

(1)

-

an_1 = (n -

Por consiguiente, an_1- an demostrar.

2)· (a n- 2 = an- 2 -

an-I).

an_I, 10 que se exigia

5. L1evaremos a cabo la demostraci6n por el metoda de induccion. Senalemos que para n = 2 la igualdad tiene lugar, puesto que a 2 - a] = a3 - a 2 Y por consiguiente, a l - 2a 2 + a3 = o. Supongamos que la formula propuesta es valida para cierto valor de n; con otras palabras, cualquiera que sea la progresion aritm et::icax l , x 2' •• • , xn+ I ' sera val ida la igualdad

(2)

(3) Restando miembro a miembro de la igualdad (3) la igualdad (2) y de la (2) la igualdad (I), obtenemos:

Pasando a n + 1, hacemos uso de la identidad

ALGEBRA/Resoluciones y Soluciones

Entonces,

a l + (n+l) I a + (n+l) 2 a, + ...

2 + (n 2+ 1) a2 + ... + ( a]2 - (n +1 1) a2 -1) 3

2

+ (_l)n+l(::

n

83

(n n+ 1) an2++ l

~)a~+2 = [a~ -(~ )ai + ... + (_l)n(:)a~+I]­

-[ai -(~)a; +... +(-I)n(~)a~+2]=O. 10 que se necesita para la demostraci6n. Por suposici6n de la inducci6n, ambas expresiones que se encuentran entre corchetes son iguales acero, puesto que tienen la forma (1). Por esta raz6n, la f6rmula propuesta es valida tam bien para n + I. Con esto la afirmaci6n queda demostrada.

Sefialemos que para la progresi6n aritmetica aI' es justa tambien una f6rmula mas comun k (n) k ak (n) 1 a2 + 2 a3 J

donde k

Xl2- (~)xi + ... + (-1) n(: )X;+l = O.

2, ••• ,

an'

- ••.

-

+ (-

l)n-I (n n_ 1Jan + k

+ (-l)n(:)a!+1 =0.

6. Realizamos la demostraci6n por el metodo de inducci6n. Siendo n = 3, es facil comprobar directamente que

Supongamos que se haya establecido que para cierto valor de n y una progresi6n aritmetica arbitraria XI' X 2 , ... , X n+l tiene lugar la identidad

a

an+I'

~

1 es un numero entero.

7. Por la propiedad de los terminos de una progresi6n aritrnetica tenemos: 2 m log x=n log x+ k log x. De aqui (v ease la f6rmula(3) pagina 24) ~2~=_1_+_1_

Entonces, procediendo en el caso de n + I como en el problema anterior,obtendremos:

x logm

x logn

x logk

y, por consigu iente, 2 = ~ogm + x

logn

Xlogm x'

logk

84

PROBLEMAS DE MATE MATI CAS ELEMENTALES

Utilizando la formula (2) expuesta en la pag. 24, obtenemos:

(2a1 - 2a]kc -d + cdk) + n(d - cdk 2 - 2cdk) = 0.

2=n log m+ k log m.

Puesto que esta igualdad tiene lugar para cualquier valor de n, entonces 2a1 - 2a, kc - d + cdk = 0,

Escribamos esta igualdad de la siguiente manera: nlogn2=nIOgm+nIOg(

/IOgm).

d - cdk 2

2

k'ogm

2cdk

= 0.

Dividiendo la segunda de estas dos igualdades entre d tendremos:

Por potenciacion, obtenemos que

n =mn

-

_

,

I

=t.

0, (2)

C - k(k+2).

o bien La primera de estas igualdades se puede escribir en la forma con 10 cual el problema queda resuelto.

8. Supongamos que sea

=c.

(1)

Designemos la razon aritmetica por d. Representa interes solo el caso en que d =t. 0, puesto que siendo d = todos los terminos de la progresion son iguales entre Sl y se cumple la igualdad (1). Utilizando la formula para la suma de los terminos de una progresion aritmetica, de la fonnula (1) obtenemos:

°

de donde, despues de la simplificacion y agrupacion de los terminos, haHamos:

En virtud de (2), el segundo factor se diferencia de cero y, por consiguiente, d = 2a] . As! pues, en el caso en que d =t. 0, la igualdad (1) puede tener lugar para todos los valores de n solamente cuando se tiene la progresion

a, 3a, 5a, ... (a

=t.

0).

(3)

Ahora es facil comprobar directamente que la progresion (3) satisface en reaJidad la condicion del problema. As! pues, la progresion buscada es la (3).

9. Supongamos que sea dla razon aritmetica. Tenemos:

ALGEBRAIResoluciones y Soluciones

b2 = XI" + (XI + d)2 + ... + [XI + (n -1)0']2

85

Sumando estas igualdades hallaremos que

=

n(n-I) 2- '

an =al + d -

=nx12 +2xl d U+ 2 + ... +(n-l)]+

Haciendo uso de esta f6nnula, obtenemos:

+d 2 [i"+2 2 + ... +(n-IF]= = nxl2 + n (n -I) XI d'T "(II -I)(2n-l) d2 6

1.2 2-3 n(n-1]d Sn =a] +a2 + ... +an =a1n+ [2+ 2 +"'+-2- .

yademas,

En el problema 266 se demuestra que

Eliminando de estas ecuaciones transfonnaciones obtenemos:

XI'

despues de simples Por consiguiente,

d 2 n(n 2 -I) =b2_ ~ 12

n .

Oeaqui

Para el problema en cuesti6n d= 3, a l = 1. Por esta raz6n

an =1+1 n(n-l) y Sn =-rn(n 2 +1). a continuaci6n XI se detennina en ambos casos por la f6nnula Xl

11. En la enesima columna horizontal se encuentran los numeros n, n+ 1, ... , 3n-3, 311-2 (en total hay 2n- 1 numero). La sumade estos nllmeros es igual a

=~la-n(~-I)dJ.

As! pues, siendo n 2 b2 - a 2 satisfacen dos progresiones.

1=

0, a las condiciones planteadas

10. Supongamos que la sucesi6n ai' a 2 , propiedad que

••. ,

an po see tal

(n+3n-~)(2n-l)

= (2n _1)2.

12. Supongamos que sea q el denominador de la progresi6n; entonces

86

PROBLEMAS DE MATEMAnCAS ELEMENTALES

De aqui q2n = tenemos:

1y, por consiguiente,

q=

am

= am-n qn = B(zn\jJj rA)n =.JAB ,

an

= am+n q-m = A -"'B- )-"'= A ---,;;- B Ifl

(

2n-ni

211. Ahora

y por consiguiente,

...!!!.....

,,, •

obtenemos

pn = (~" )~. SII

13. Tenemos

15. Designemos la suma que se examina por Sn' Multipliquemos cada sumando de esta suma por x y restemos de S" Ia magnitud obtenida; como resultado tendremos:

y

Deaqui

Sumando la progresion geometrica que aqui entra, para x*-1 hallaremos: n~ I I (l-x)S n = ~ -(n+l)xn+ . I-x

10 que se exigia demostrar. Deaqui 14. Tenemos:

= l_xn+1

S n

(l-x)2

_ ( n+l)x n+1

I-x

(x *- 1).

Cuando x = 1 tenemos: Sn

= (n+l)(n+2). 2

16. Designemos Ia suma buscada por Sn' Transformemos los sumandos de esta suma empleando la formula para la suma de los terminos de una progresion geometrica

ALGEBRAIResoluciones y Soluciones

I+IO= ~ 9

1 + \0 + 100 =

n

1

I

n-I

I

n-2

X~+X"'--------=---+X~+

'

x-I

/I -

x-I

2 I

1

... +X~+X~= x-I x-I

= X~I[x+x2+ ... +xn-n]=

10: -I.

1 + \0 + 100 + ... \0

x-I

87

I

=

10

~-

x

Puesto que, adem.ls, 1 = 1°9- 1 , sumando los segundos miembros de las igualdades, tendremos 2 + lO n+I- I O_ n ). Sn =1(10+10 +lOn_n)=l( 9 . ... 9~ 9

r

xn -I

=~lx~-n

I .

]

=

x 2 (x n -1) (x-1)2

nx

-~.

Para x = 1, la suma buseada es igual a n(~+I) ,eomo la suma de los terminos de una progresi6n aritmetica.

18. Designemos la suma buscada por Sn' Entonees, 3 5 5 2n-1 = 1+:;-+ - 2 +-3 +"'+ - -1 = n -1 (2 ~) 2(2 ,23) (2 2 - 5 )

2Sn

17. La suma buseada puede ser representada en la forma siguiente

-

(X+X2 +X3 + ... +x n- 2 +x n- I +xn)+ 2

3

+ ( X+x +X + ... +X

n-3

+X

n-I)

+

2n- I

1_1

11-

+ S _In-=l n

2"'

2.

dedonde

de 10 eual es f.leil eonveneerse sumando las eolurnnas vertieales. AI sumar las eolumnas horizontales, hallamos que para x 1:- 1, la suma buseada es igual a

2n-3)_ 2 1 -

1-_L

= 1+

+(X+X2 +X3 + ... +X n- 2 )+

+x,

(2.

+"2 +"2 + \22 -; 22 + ~23 + 23 + ... + ~2n-I +

S

n

= 3 _ 2n+3 2n .

19. EI aspeeto general de estos numeros es el siguiente: n

n-I

~~

n

~

n

~

44 .. .4 88 ... 89 = 4 ·11·· ·1 · 1On + 8 ·11...1 + 1.

88

PROBLEMAS DE lVlATEMATl{;AS ELEMENTALES

n

El numero ~ puede escribirse en forma de la suma de los terminos de una progresi6n geometrica con denominador 10: observamos que

n

~ = 1 + 10 + 10 2 + ... + 10 n - 1 = 10;-1. De este modo, tenemos:

~ ~ .. 2C dd e on d e (x2" - Xl x3 = 0, y por conslgUiente, XIx) = x 2. on la condici6n de que Xl 1= 0, de aquf se deduce que los numeros X 1,X2,X3 forman una progresi6n geometrica. Supongamos ahora que la afirmaci6n propuesta se ha demostrado para el caso de una progresi6n compuesta de k(k ~ 3) terminos:

r

20. Por la condici6n del problema Iql< 1, y tenemos: n+! + n+2 + q n = k( q q . . . ) = kq n+1

_1_

(1)

(1)

De aquf 1- q = kq y por consiguiente, si el problema tiene soluci6n, entonces

y que sea q el correspondiente denominador de la progresi6n. Examinemos entonces la sucesi6n compuesta de k+ 1 terminos:

(2)

(2)

I-q'

Sin embargo, se ve facilmente, que si, a1 contrario, de la f6rmula (2) se deduce que Iql 0 0 bien k < -2.

21. Llevaremos a cabo lademostraci6n porel metoda de inducci6n completa. Examinemos al principio el caso de una progresi6n compuesta de tres terminos x l' x 2' x 3 • Abriendo los parentesis en la f6nnula

Escribamos la condici6n correspondiente

. Xl? + X 2 + ... + X ~ _ = a. y hagamos para abreVlar 2 k 1 2 Observemos que a 1= 0, puesto que XI 1= O. Por la suposici6n inductiva tenemos:

ALGEsRAIResoluciones y Soluciones

Por esta razon, la igualdad (3) se puede vo Iver a escribir de la siguiente manera:

89

Nos es necesario demostrar que siendo n > 2

(2) (a 2

+ x;)(q 2 a 2

+

XL1)=

(qa 2

+ XkXk+l).

Abriendo los parentesis y agrupando los terminos, estableceremosque

Puesto que de la igualdad (1) tenemos que d= a(q-l), (2) es equivalente a la desigualdad

a(n -I)(q -I) < a(qn-I -1) Puesto que a 1:- 0, paralelo a (4) obtenemos Xk+1 = qxk . Por consiguiente, la sucesion xI' x 2' ••• , x k' X k+ 1 representa una progresion geometrica con el mismo denominador q = :~ .

Dividiendo ambas partes de esta desigualdad entre la magnitud positiva a( q -1), obtenemos

Basandonos en 10 demostrado podemos afirmar que la sucesion formada con los n primeros terminos de la sucesion dada, para cualquier valor real de n, es una progresion geometrica. Por esta razon, tambien la sucesion infinita dada forma una progresion, 10 que se exigia demostrar.

Ya que q > 1, esta desigualdad es justa. El problema esta resuelto.

22. Supongamos que sea a l = hI = a; entonces, seg(In la condicion de que a2 = h2 tenemos: a+d = aq. Aqui dy q son la razon y eI denominador de las progresiones correspondientes. Sefialemos que por la condicion de que all > 0, para todos los val ores de n, la razon aritmetica d no sera negativa. Puesto que, ademas, a l 1:- a 2 , entonces d> 0. Debido a esto, de la formula (1) se deduce que

q=l+iL>l. Q

n- 1 < 1+q+ ... +q

n-2

.

23. Seg(In la condicion del problema

a l > 0, ~ QI

=q >

°

y h2 - hI = d > 0,

donde, como ordinariamente, q es el denominador de la progresion geometrica, des la razon aritmetica. Aprovechando el hecho de que an =a8n- 1 y que hn = hI + (n-l)d, obtenemos:

Ql ogan +hn

= (n-l)(Qlogq -d)+Qlogal -hI'

Para que la razon aritmetica examinada no dependa de n, es necesario y suficiente que log q - d = 0. Al resolver esta ecuacion hallamos: (1) Q

90

PROBLEMAS DE MATEMATICAS ELEMENTALES

Por consiguiente, el numero buscado ex existe y se determina por la f6rmula (I ).

25. Transformemos las ecuaciones del sistema dado en la torma

(x+ y)2 -XY=4,~ (x+ y)+xy=2 .J

2. Ecuaciones algebraicas y sistemas de ecuaciones Deaqui 24. Oespues de escribir el sistema dado en la forma

(x + y)(x

y:)= I,}

(1)

y(x+ y) = 2.)

(2)

3-

xy +

y por consiguiente, x + y = 2 0 x + y = -3. Comparando cada una de estas ecuaciones con la segunda ecuaci6n del sistema inicial, obtendremos los dos sistemas de eCllaciones siguientes:

dividimos miembro a miembro la primera ecuaci6n entre la segunda. Libenindonos del denominador y reduciendo a continuaci6n los terminos semejantes, obtenemos:

/ - 3xy+ 2x2 = O.

(3)

Al resolver Ia ecuaci6n cuadrada (3) respecto a y, obtenemos y = x 0 y = 2x. Resolviendo a continuaci6n cada una de estas ecuacionesjunto con la ecuaci6n (2), hallamos las soluciones reales de los correspondientes sistemas. Estas son solamente dos:

2}

(1)

-3}

(2)

x+ y = xy=O

x+ y = xy=5

EI sistema (1) tiene dos soluciones: Yl =0;

Y2

= 2.

EI sistema (2) tiene tambien dos soluciones: Cada uno de estos pares de numeros satisface tam bien al sistema inicial; esto puede comprobarse mediante la sllstituci6n directa 0 analizando el metodo por el cual fueron obtenidos.

X

3

=_ l +z·.Ji! 2

2'

ALGEBRAIResoluciones y Soluciones

91

Es evidente que las solueiones de los sistemas indicados eomprenden eada una de las solueiones del sistema inieial. Por medio de un simple amilisis no es difieil demostrar 10 eontrario. Por otra parte, 10 ultimo es faeil de eomprobar empleando la sustitueion direeta. Asi pues, el problema tiene euatro solueiones.

27. Redueiendo las eeuaeiones dadas a un eomun denominador, transformemos el sistema en la forma

26. Transformemos las eeuaeiones del sistema dado en la forma

Hagamos X + Y = u, xy = v. Colocando xy = v de la segunda ecuacion en la primera, obtenemos:

(x+ y)[(x+

yf -3xy]= sa

3 ,}

(x+ y)[(x+ y? -3xy]= 12XY ,} 3(x+ y) = xy.

xy{x + y) = a 3 , despues de 10 eual hagamos x + y = u,.ry = v. Sustituyendo en la primera eeuaeion x).{x +y) de la segunda, hallaremos que zi3 = 8d. Puesto que nos interesan solamente las solueiones reales, tendremos que u = 2a. Ahora, de la segunda eeuaeion hallamos:

u(u 2

°

9u)= 36u.

Sefialamos que u 1= (en el caso contrario, de la segunda eeuaeion tendriamos que.ry = 0, 10 que eontradiee a la eeuaei6n inieial). Porestarazon, de laeeuaci6n(l) se deduce que, 0 u= 12, o bien u=-3. En el primer easo (u = 12) obtenemos el sistema

2 v = tt = la 11 2

x + y = 12,} xy=36,

De este modo, obtenemos eI siguiente sistema respeeto ax e y: I 2 x+ y= 2a, xY=-Za.

-

de donde x = y = 6 En el segundo easo (u=-3) tenemos:

Resolviendo este sistemaobtenemos: XI

X

2

f2 - a 2+2 ' 2 G =a~-=2'

Estos numeros satisfaeen tambien al sistema inieial, el eual, por eonsiguiente, tiene dos solueiones reales.

=-3,}

x+ y xy = -9. Este sistema tiene dos soluciones:

92

PROBLEMAS DE MATEMAnCAS ELEMENTALES

Las tres so[uciones halladas satisfacen tambien al sistema inicial. As! pues, el sistema tiene s610 tres soluciones.

(X - y){x 2+ y2 + xy -19)= o,l (x+ y)(x2 +

i

-XY-7)=0.]

28. Elevando la segunda ecuaci6n al cuadrado y restandola de la

primera,obtenemos:

0) De aqu!, en virtud de la segunda ecuaci6n del sistema dado,

Conesto, el sistema inicia[ se reduce a los cuatro sistemas de ecuaciones siguientes: x- y=

x+ y =

0,1

0,]

(2)

xy=3. Colocando el valor de yen la segunda ecuaci6n del sistema, obtenemos la ecuaci6n bicuadrada

De don de, Xl = -3, x2 = -3, X3 = 1, x 4 = -1 Y los val ores correspondientes de y son los siguientes J' son [os siguientes: Yl = 1, Y2 = -1, Y3 = 3, Y 4 = -3. Por comprobaci6n nos convencemos de que [os cuatro pares de numeros son [as soluciones del sistema inicial. Por consiguiente, el sistema tiene cuatro soluciones: Xl

= 3,

Yl = 1, x 2 = -3, Y2

29. Transformemos el sistema en la forma

x 2 + y2 + xy -19 = (3) x 2 + y2 _ xy -7 = O.J

(4)

El primer sistema tiene una sola soluci6n: X = 0, y = O. E[ segundo tiene dos soluciones: X = ±-J7, y = ±--J7.El tercero tambien tiene dos so[uciones: x = ±09, y = +-Ji9. Pasando al cuarto sistema, observemos que sumando am bas ecuaciones y restando una de la otra, sustituimos este sistema por el siguiente sistema equivalente: xy =

6,1

= -1;

X3 =1, Y3 =3, x 4 =-1, Y4 =-3.

0,1

0,1

x 2 + y2 + xy -19: x+y-O,)

X2

+ y-J = 1"".).

J

Este sistema tiene cuatro soluciones: x = ±2,

y = ±3

Y x = ±3, Y = ±2.

ALGEBRAlResoluciones y Soluciones

93

As, pues, el sistema propuesto en el problema tiene nueve soluciones:

(F7, F7), (-F7, -F7), (-Ji9, --Ji9), (--Ji9,)i9), (2,3), (-2,-3), (3,2),(-3,-2).

(0,0),

30. Transformemos las ecuaciones del sistema en la forma:

Ambos pares de numeros satisfacen tambien la ecuaci6n inicial. As! pues, el sistema tiene solamente dos soluciones reales.

31. Sumando ambas ecuaciones, y a continuaci6n restando de la primera la segunda, obtenemos el siguiente sistema equivalente:

(x- y)~2 + y2 +xy)=

2{x + y) = 5xy,

{x- y)xy =

8{x+ y)[{x+ y)2 -3xy]=65. Colocando x + y de la primera ecuaci6n en la segunda y haciendo xy = v, tendremos:

7,1 2.J

Representando la primera ecuaci6n en la forma

(x - y)3 +3xy{x- y)= 7. 25v 3 -12v 2 -13

= O.

Esta ecuaci6n, evidentemente, se satisface cuando v = I. Dividiendo el miembro izquierdo entre v -I, obtenemos la ecuaci6n

haHaremos que en virtud de la segunda ecuaci6n {x _ y)3 = 1. Por cuanto nos interesan solamente las soluciones reales, entonces, x-y= 1. Teniendo esto en cuenta, haHamos facilmente

quexy=2. Resolviendo a continuaci6n el sistema

25v 2 -12v - 13 = O. Esta ultima ecuaci6n no tiene rakes reales. As, pues, no queda mas que una posibilidad: v = 1. Colocando este valor en la primera ecuaci6n, obtenemos el sistema

xy =

I,}

_ 5

x+ y -"2'

2.1

xy = x- y = I,J haHamos sus dos soluciones:

94

PROBLEMAS DE MATEMAnCAS ELEMENTALES

No es dificil comprobar que los dos pares de numeros satisfacen al sistema inicial. Por 10 tanto, el sistema tiene dos soluciones reales.

par de val ores de u y v debe ser omitido. EI segundo par nos da elsistema

=3,}

x 2 + y2 xy=-l.

32. Transfonnamos la segunda ecuaci6n en la fonna

(x 2 + / ) - 2x2/ = 7. Suponiendo que sea x 2 + y = U Y xy = v, escribimos esta ecuaci6n de la siguiente manera:

Este sistema tiene cuatro soluciones reales:

(1+.J5 1-.J5) (1-.J5 1+.J5) 2'

(-I+.J5

2'

Elevando al cuadrado la primera ecuaci6n del sistema, obtenemos una condici6n mas para u y v:

u + 2v

= 1.

Eliminando a u de las dos ultimas ecuaciones, obtenemos: V2

2'

2'

2'

-1+.J5) 2'

Sin embargo, es facil comprobar que al sistema inicial Ie satisfacen solamente las dos primeras de estas. As! pues, el sistema propuesto en el problema tiene dos soluciones reales. 33. Elevando la primera ecuaci6n a la quinta potencia y restando del resultado obtenido la segunda ecuaci6n, despues de las simplificaciones correspondientes, obtenemos que

(1)

-2v-3 = O.

de donde VI

2'\2'

-1-.J5) (-I-.J5

= 3,

v2

= -I.

De la primera ecuaci6n, despues de elevarla al cubo, se desprende que x3 +1 = I - 3xy; en virtud de 10 cualla ecuaci6n (I) adquiere la fonna

Entonces, los val ores correspondientes de u serlin iguales a ul

=-5,

u2

=3.

Puesto que u = x 2 + Y y a nosotros nos interesan solamente las soluciones reales de la ecuaci6n inicial, entonces, el primer

Resolviendo esta ecuaci6n, obtenemos

(XY)1 = 3, (xY)2 = -2.

ALGEBRAlResoluciones y Soluciones

Afiadiendo a estos resultados x + y pares de numeros:

(2,-1); ( l-i.Jlj 2

(-1,2);

= 1, hallaremos cuatro

(1+I.JlI l-i.Jll). \

2

'

2

2

Entre todas las raices de esta ecuaci6n solamente dos son reales: y

'

l+i,m) '

95

Los val ores correspondientes de y, en virtud de (2), seran: •

YI

Es facil comprobar que todas estas soluciones satisfacen al sistema de ecuaciones inicial.

Xl

x2 _

Y2

= -2.

=I

YI

= 2;

x 2 = -1,

Y2

= -2

35. Abriendo los parentesis en las ecuaciones del sistema y haciendo X + Y = u Yxy = v, escribimos el sistema en la forma

y2 + 2xy = 1.

Colbcando x 2 - .0 de la segunda ecuaci6n en la primera, obtendremos:

s(xyf -4xy -12 = 0. Dedonde

(1) Puesto que nos interesan solamente las soluciones para las cuales xy 2 0, entonces, existe una sola posibilidad

xy=2.

Y

Ambos pares de numeros (x,y) satisfacen tambien al sistema inicial. Asf pues, el problema tiene dos soluciones:

34. Transformemos las ecuaciones del sistema a la forma

(x 2 _ y2)' + x' y2 ~ ]3,}

=2

(2)

Sustituyendo en la segunda ecuaci6n y par su valor hallado de esta igualdad, obtendremos:

u 2 + v2

-

2v = 9,1

r

uv -u = 3.)

(1)

Si, ahora, multiplicamos ambos miembros de la segunda ecuaci6n por 2 y, a continuaci6n, al resultado obtenido Ie sumamos y Ie restamos los miembros correspondientes de la primera ecuaci6n, el sistema (1) se sustituini por el siguiente sistema equivalente:

(U+V)2 -2(U+V)=lS,1 (U-V)2 +2(u-v)=3.J De la primera ecuaci6n del sistema (2) recibimos:

(2)

96

PROBLEMAS DE MATEMAnCAS ELEMENTALES

(u+v)] =5;

(u+vh =-3.

(1. 1'i.Jls

\2

De la segunda ecuaci6n obtenemos:

(u-v)] =-3;

(3)

U + v = -3'} u-v = -3,

(5)

°

(u-v), =1.

U + v = 5,} u - v = 1,

(4)

u+v=-3,1

°

(7)

'I ,

x+ y=-.J,} xy =0,

(9)

x+ Y =3,l xy = 2,j

x+v=-II ,> xy = -2.j

36. Sefialemos al principio, que por el sentido del problema x 7:e y 7:- 0. Multiplicando los miembros izquierdos y derechos de las ecuaciones dadas, obtenemos:

(1) Multiplicando cada una de las ecuaciones por xy y, a continuaci6n, sumandolas, tendremos:

(6)

u-v=l.]

Soluci6ndel sistema (3): HI = 1, VI =4; soluci6ndel sistema (4): u1 = 3, v1 = 2; soluci6n del sistema (5): u3 = -3, V3 = y, por fin, soluci6ndel sistema (6): u4 =-1, v4 =-2. Para hallar todas las soluciones del sistema inicial tendremos que resolver los siguientes cuatro sistemas de segundo orden, que se diferencian s610 por sus miembros derechos:

x+ Y = I'} xy=4,

2'

(2,1), (1,2), (-3,0), (0, - 3),1, - 2), (-2,1).

De este modo, la determinaci6n de todas las soluciones del sistema (2) se reduce a la resoluci6n de los cuatros sistemas siguientes:

U+V=5'} u - v = -3,

1.. _i.Jls)

2'2

(8)

(10)

Resolviendo estas ecuaciones hallaremos todas las soluciones del sistema inicial. Estas senin solamente ocho:

X4 - /

+2x2/ = 7xy.

(2)

En virtud de (1) Y(2), ahora obtenemos:

2X2 y2 - 7 xy + 6 = 0,

dedonde (xy)]

= 2;

(xy)z

= 1.

(3)

Asi pues, cualquier soluci6n del sistema inicial satisface a la ecuaci6n (1) Y a una de las ecuaciones (3). Por esta raz6n, cada una de las dos ecuaciones (3) se podria resolverconjuntamente con la ecuaci6n (1). Sin embargo, esto conduciria a una ecuaci6n de octavo orden y complicaria la resoluci6n definitiva del problema. En relaci6n con esto, sefialemos 10 siguiente. Si muItiplicamos de nuevo cada una de las ecuaciones del sistema inicial por xy y, a continuaci6n, de la primera restamos la segunda, entonces, obtendremos la ecuaci6n

ALGEBRAIResoluciones y Soluciones

X4 + y4

= 5xy,

(4)

ala cual satisface tambien cualquiersolucion del sistema inicial. Examinemos dos posibilidades: I) Supongamos que en concordancia con (3)

Deaqui,

4m .

x- =4[27 ) '\}4'

x 8 =-i '\}4'

los valores correspondientes de y son:

(5)

xy=2.

Entonces, en virtud de (4), X4 + y4 = 10. Resolviendo esta ecuacion conjuntamente con (I), hallaremos:

y, por consiguiente,

97

Y7 =

-iVI,

Asi pues, entre los ocho pares de nillneros hallados se encuentra cualquier solucion del sistema inicial. Es facil comprobar que los ocho pares de numeros hallados satisfacen al sistema inicial. Por consiguiente, se han hallado todas las soluciones del sistema. 37. Transfonnamos la segunda ecuacion en la forma ?2 (x-? + y)

En virtud de (5), los correspondientes valores de y seran: YI

= ~ = V2,

Y2

= -V2,

Y3

= -iV2,

Y4

= iV2.

2) En el segundo caso

(6) La ecuacion (4) nos conduce, entonces, a la relacion

X4 -r. y4 que junto con (I) da

=li 12

"?

- 2x~y

=bx 22 y .

Son ~osibles dos casos: 1) a - 2 - b *- o. Es facil de ver, que para esta condicion el sistema tiene una sola solucion: x= O,y= O. 2) a 2 - 2 - b = O. Cumpliendo esta condicion, la segunda ecuacion se obtiene como resultado de elevar al cuadrado ambos miembros de la primera. Por eso, si x eyes un par de numeros cualquiera que satisfacen ala primera ecuacion, entonces, este par de numeros satisfara ala segunda. Por consiguiente, el sistema tiene una infinidad de soluciones. 38. Transformemos el miembro izquierdo de la ecuacion en la forma

98

PROBLEMAS DE MATEMATICAS ElEMENTALES

x+a (x+a _!'- x-a)+ x-a (x-a _ k x-a) x+b x.,.h h x-h x-b x-b a x+b

*'

=0

.

XI

= 3 + 51, x 2 = 3 -51,

X3

= 6, x 4 = -2.

Notando que las expresiones entre parentesis se diferencian por el factor -

40.Supongamosquesea

obtenemos:

( x+a _!'- x-a)(x+a _ k x-a)= x+b b x-b x+b a x+h

De aqui, con la condici6n de que a

#

0

b,obtenemos:

x+y

----;y = u y

x-y

~

= v.

(1)

Entonces, la ecuaci6n del sistema dado se puede escribir en laforma

y hallamos cuatro soluciones de la ecuaci6n inicial: Resolviendo cada una de estas ecuaciones, hallaremos: I

X 3,4

=

0

(2)

-(a+b)±'J (a+b)- +4ab 2

En el caso de que sea a = b, todos los valores dex satisfacen ala ecuaci6n.

39. Supongamos que sea

-1- ~ = t;

entonees, la eeuaei6n

se reduce a la forma

VI

= b, v2 --

I b·

(3)

Ahora, tenemos que resolver cuatro sistemas del tipo (1) en cuyos miembros derechos se encLientran todas las combinaciones posibles de los valores de u y v, determinados por las f6nnulas (2) y (3). Escribamos el sistema (I) en la forma siguiente:

3t"2- 101 + 8 =0. (4)

Deaqui

y Resolviendo a continuaci6n dos ecuaciones cuadradas respecto a x, hallaremos cuatro rakes de la ecuaci6n in iciaI:

De aqui obtenemos:

1

I

1

-; ="2 (u - v), l ;=1(u+v).j

(5)

ALGEBRAIResoluciones y Soluciones

De las formulas (5) se desprende que para que el sistema (4) sea resoluble y, por 10 tanto, tambien el sistema inicial, los nillneros a y b deben obedecer a condiciones suplementarias, ademas de la condicion de que ab 7: 0 que se desprende de la forma de la ecuacion del sistema inicial. Sea que

41. Es facil de verquelos numeros XI

i,

x 1-

_ 2_

a-b '

Y 1-

_2_. X

a+h'

_ 2ah h-a '

2 -

y

= 5,5

es multiplo del producto (x - 4,5)(x - 5,5). Para realizar la division y reducir el problema a la resolucion de la ecuacion cuadrada, es comodo representar el polinomio indicado en la fonna

[(x-4,5t

2ab

-l]+(X-5.5)4.

Descomponiendo la expresion contenida entre los corchetes por la formula

(7) Colocando en los miembros derechos de las formulas (5) los

= -;, v = b, halJaremos

dos soluciones mas:

a4

-

I = (a - 1)(a + 1)(a 2 + 1) = (a - 1)(a 3 + a 2 + a + 1),

obtenemos la ecuaci6n (x - 5,5) {(x - 4,5)3 + (x - 4,5)2 + (x - 4,5) + 1 }+

x 3--.1!2._ Y -~. x -~ y -~ h-I' 3- h+l' 4-1 - b' 4-1+ h lI

Y x2

(X - 4,5)4 + (x - 5,5)4 -I

2 = -a+b .

Supongamos que, a continuacion,

valores u= a, v=i y, a continuacion, u

= 4,5

satisfacen a la ecuacion dada. Por eso, el polinomio

(6) Entonces, colocando en los miembros derechos de las fonnulas (5) los valores u = a, v = b, y, a continuacion, u = ~, v = hallaremos dos soluciones:

a

99

a

+(x-5,5)4 =0 .

a

As! pues, si se cumplen las dos condiciones (6) y (7), el sistema tiene cuatro soluciones; si se incumple una de las condiciones, el sistema tiene solo dos soluciones; si, por fin, se incumplen las dos condiciones (esto puede suceder solamente en el caso de que Ia I = Ib I = 1, el sistema no tiene soluciones.

Sacando el factor comun entre parentesis, tendremos: (x - 5,5){(x - 4,5)3 + (x - 4,5)2 + (x - 4,5) + 1 +

+[(x-4,5)-lP}= (x - 5,5)(x - 4,5){2(x -4,5)2 - 2(x -4,5) +4}= O.

100

PROBLEMAS DE MATEMATICAS ELEMENTALES

Deaqui xI

=5,5, x 2 = 4,5,

X 3,4

Sefialemos un metodo mas de resoluci6n. Disponiendo los sumandosdel miembro izquierdo seglin las potenciasdecrecientes de x, obtendremos una ecuaci6n cuadrada respecto de x:

10±17

=~.

42. De la segunda ecuaci6n del sistema hallam os que y - 5 =I ~ 0 y, por consiguiente, y ~ 5. Por esta raz6n, la

x-II

primera ecuaci6n puede escribirse en la fonna Esta ecuaci6n, para los val ores reales de y tiene rakes reales solamente cuando su discriminante no es negativo, es decir,

y-5=1-lx- 11· Sumando esta ecuaci6n a la segunda, obtendremos:

(2)

2(y - 5) = 1. Deaquf y =Jf. Ahora, de la ~egunda ecuaci6n haHamos x-II = y, por consiguiente, x -I = ± Por eso, XI = X2 = ~. EI sistema tiene dos soluciones:

1.

1,

I

Despues de abrir los parentesis, esta desigualdad adquiere el aspecto

1

Esto tiltimo es po sible solamente cuando y = -1, y, entonces, de la ecuaci6n (1) se desprende que x = 1.

44. Transformemos la ecuaci6n en la fomla 43. Por agrupaciones de los tenninos reducimos el miembro izquierdo ala fonna Ninguno de los dos sumandos es negativo, poreso

(2x+ y-I? +(x+2y+l/ =0.

x+2cos(xy)=O, cos 2 (xy) = 1

Por consiguiente,

2x+y-I=,

x+2y+I=0.

Dedonde

x = 1,

Y = -1.

De aquf, cos (xy) = ±l. En el primercaso tenemos el sistema

cos{xy) =

I,

x + 2 cos(xy) = o.

Deaquf, x=-2 e y=k:rt, donde k=O,±I,±2, .. .

ALGEsRAlResoluciones y Soluciones

En el segundo caso,

Colocando este valor de z en la segunda ecuaci6n, obtenemos:

COs(xY)=-1

x+2cos(xy)=O

De aqui, x = 2 e y = ~ (2m + 1), donde m = 0, ± 1, ± 2, ... Asi pues, la ecuaci6n tiene dos series infinitas de diferentes soluciones reales, con la particularidad de que el valor de x en cada serie es el mismo. 45. Eliminando z del sistema dado, tendremos:

2xy-(2-x- y? =4 o bien

x2

-

4x + 4 + y2 - 4y + 4 = o.

Esta ecuaci6n es equivalente a la ecuaci6n

{x+

1Y +(y +1)2 = a+1·

1

1

1

-1,

Para los numeros realesx e y esto es posible solamente cuando

= 2 ey= 2.

De la primera ecuaci6n del sistema hallamos z = -2. El sistema tiene s610 una soluci6n real: x = 2,

Y = 2,

Z

= -2.

46. Primera soluci6n. Notemos que, por las magnitudes x e y dadas, el valor de z se determina de la primera ecuaci6n de una sola manera: (1)

(2)

Si ahora a + < 0, entonces, laecuaci6n (2) no tiene soluciones reales, puesto que siendo x e y reales, en el miembro izquierdo seencuentra un numero no negativo. Si a + > 0, entonces, laecuaci6n (2) y junto con esta tOOo el sistema, tiene, evidentemente, mas de una soluci6n. Por consiguiente, la unica soluci6n real es posibIe solamente cuando a + = 0. En este caso, la ecuaci6n (2) adquiere la forma

{x + 1Y+ (y + 1Y=

es decir,

x

101

°

-1·

ytiene la unica soluci6n real: x = y = De aqui, hallando z de la ecuaci6n (I) deducimos que eI sistema dado tiene la unica soluci6n real solamente cuando a = a saber:

-1

x=_l

2'

y=_l

2'

z=l

2.

Segunda soluci6n. Se ve facilmente, que si el sistema dado tiene cierta soluci6n x = x o, y = Yo, z = zo, entonces, este sistema tiene tambien la siguiente soluci6n: x = Yo, Y = x o, z = Zo. Por eso, para que el sistema tenga una sola soluci6n es necesario que x = y. Con esta condici6n, el sistema dado adquiere la forma

102

PROBLEMAS DE MATEMATICAS ELEMENTALES

Deaqui

2X2 = z} 2x+z

2

=~.

2

Xo +Yo

Eliminando a z, obtenemos la ecuacion cuadrada respecto a

Q2+b 2

=~.

Puesto que a y b son numeros reales, la confirmacion queda demostrada.

x:

2X2 + 2x - a = O.

48. Es faei! de ver que el sistema tiene siempre la solucion

Para que tambien esta ecuacion tenga una sola solucion real, en necesario y suficiente que el discriminante de la ecuacion sea igual a cero:

D=2 2 -4.2(-a)=4(1+2a)=O.

t

De aqui, a = - y el valor correspondiente de x resumidas cuentas, obtenemos el resultado anterior.

= - t. En

47. Supongamos que sean Xo e Yo ciertas soluciones del sistema. En virtud de la primera ecuacion

r(~xo2+ Yo2) -a]2 = xoYo 2 2+ - 2-' I + 2. .TO}! I

(1)

y de acuerdo con la segunda ecuaeion

Y =1,

Z

= 1.

(1)

Es tambien evidente, que en el easo de que

a=b=c

(2)

las tres ecuacionp.s toman la forma x + y + z = 3 Yel sistema tiene un numero infmito de soluciones. Demostremos que si no se cumple la eondicion (2) es decir, que si no todos los tres numeros a, bye son iguales, entonces la solueion (1) es la unica posible. Sumando primero las tres ecuaeiones del sistema dado obtenemos:

(a+ b + c)(x + y + z)= 3(a+ b + c). (2)

Abriendo en el miembro izquierdo de la ecuacion (l) los eorchetes y restandole la ecuacion (2), obtenemos:

- 2a ( Xo2 + Yo2) + a 2 = -b 2 .

x = 1,

Simplificando pora+ b +c, hallamos:

x+y+z=3

(3)

De aqui, z = 3 - x - y. Colocando esta expresion de z en las dos primeras ecuaciones del sistema tendremos:

ALGEBRAIResoluciones y Soluciones

(a-c)x + (b -c)y = a+ b - 2C,} (b - a)x + (c - a) y = -2a + b + c.

49. Sumando todas las ecuaciones, obtenemos que (4)

Multiplicando la primera de estas ecuaciones por c - a, la segunda por c - b Ysumandolas, hallaremos:

[-(a-c)2 +(b -a)(c -b)]x = = (a + b-2c )(c -a)+(c -b )(-2a + b+c).

(5)

Por cuanto la ecuaci6n (5) se satisface siendo x= 1, el coeficiente de x debe coincidir identicamente, seg(In a, bye, con el segundo miembro de la ecuaci6n. Abriendo los parentesis en ambas expresiones, nos convencemos de que verdaderamente coinciden y son iguales a:

-~[2a2 -4ac+2c 2 -2bc+2b 2+2ac-2ab]=

=-t[(a-cJ +(b -cJ +(a-bJ]. Por 10 tanto, si entre los numeros a, bye hay desiguales, entonces, la ecuaci6n (5) se satisface solamente en el caso de que sea x = 1. Oespues de esto, de la ecuaci6n (4) se desprende con facilidad que y = 1, y de la relaci6n (3), que z = 1. Asf pues, con la condici6n de que

(a - c? + (b - C)2 + (a - b)2 el sistema tiene una sola soluci6n:

x

= 1,

Y = 1,

*0

103

(1) Si a

* -2, entonces X

+ •V + x = l+a+a a+2

2

.

Resolviendo esta ecuaci6n junto con cada una de las eCllaciones del sistema inicial, sllponiendo que a * 1, hallaremos: x=-~

a+2 '

S iendo a = -2 el sistema es incompatible (Ia ecuaci6n (1) es imposible cualesquiera que sean los valores dex,y, z). si a = 1 el sistema es indeterminado: tres numeros cualesqlliera que satisfagan la condici6nx+ y+ z= 1 forman una soluci6n.

50. Se ve f£lcilmente, que si dos de los tres numeros ai' a2, a3 son iguales a cera, entonces, e) sistema tiene una multitud infmita de soluciones. En efecto, sllpongamos, por ejemplo, que a2=0 y a3=0. Haciendo, en este caso x=0 y eligiendo a y y z tales que se satisfaga la ecuaci6n X+z= 1, se satisfaran las tres ecuaciones del sistema. Por eso, al bllscar la condici6n de unicidad, podemos suponer desde el principio que dos numeras cualesquiera difieren de cera. Supongamos, por ejemplo, que (I)

z

= 1.

104

PROBLEMAS DE MATEMAncAs ELEMENTALES

Restando de la segunda ecuaci6n la primera y de la tercera la segunda, hallamos que a? = a,;y = a3z. De aqui, en virtud de (1 ), se desprende que: y=~x, a2

Z

=~x. Q3

(2)

Colocando estas expresiones en la primera ecuaci6n, obtenemos: (3) Esta ecuaci6n es resoluble solamente con la condiei6n de que la expresi6n entre parentesis difiere de cero. Teniendo en cuenta (1), Ilegamos a la condici6n

indicada no solamente es indispensable, sino tambien suficiente.

51. Multiplicamos la ecuaci6n por a, -b, -c, -d, respectivarnente, y realizamos la suma. Hallamos que (a 2 + b 2 + c 2 + d 2 )x = ap - bq - cr - ds

o

ap - bq - cr - ds x

= a2 + b2 + c2 + d 2 .

Analogamente hallamos que y= ~+~-~+~ .

7=

~+~+M-~

•

a 2 +b 2 +c 2 +d 2 ' - a 2 +b 2 +c 2 +d 2 ' dp - cq + br + as t= 2 ? ? 2· a +b- +c- + d

Cumpliendo esta condiei6n, de (3) y (2) hallamos:

(5) Estos tres numeros forman la soluei6n del sistema y, ademas, como se desprende del metodo de su obtenci6n, unica. Asi pues, la condici6n (4) es una condici6n imprescindible para que el sistema tenga soluei6n y, ademas, unica. Es f£leil de comprobar, que si al principio hubieramos supuesto diferentes de cero a otro par de numeros aI' a3 0 aI' a2, entonees, un razonamiento an£llogo nos conduciria de nuevo a la eondici6n (4) y ala misma soluei6n (5). Puesto que, a continuaci6n, de la condici6n (4) se desprende que si aunque sea uno de los tres pares de numeros no es igual acero, entonces, la condici6n

52. Sumando todas las ecuaciones del sistema hallaremos:

_ 2(a1 + a2 + ... + XI

n(n+ 1)

+x2 + ... +xn -

aJ

(\)

EI segundo miembro de esta ecuaci6n 10 designamos por A. Restando de la primera ecuaci6n la segunda, obtenemos:

En virtud de (1) tenemos: X 1-

A-(a-a) I 2 n

.

ALGEBRAIResoluciones y Soluciones

En general, para obtener xk (1 ::; k ::; n - 1) restamos de la k-esima ecuaci6n la (k+ 1)-esima. Analogamente a 10 interior hallaremos: A _ (_ ak ak + 1) xk = . n

Pero, seglin las igualdades iniciales, cada surna encerrada entre parentesis es igual a cero. Por esta raz6n XIOO=O. De manera analoga, pasando x lOO al primer lugar y presentando la igualdad (1) en la forma

Por fm, restando de la ultima ecuaci6n la primera, obtendremos:

x

n

= A - (an - al )

{XI 00 +X\ +XJ+(X3 +X4 +xs )+'"

",+(X96 +X97 +X98 )+X99 =0, •

n Los valores hallados pueden ser agrupados en una sola f6rmula: Xi

105

)( ) = A-(a-a 1 1+1 · 1 ::; i ::; n

(2) n (aqui, por am-I debe entenderse aJ Mediante la sustituci6n directa nos convencemos de que el conjunto de numeros (2) satisface realmente a todas las ecuaciones del sistema. As! pues, el sistema dado tiene una sola soluci6n. 53. Sumando todas las igualdades y dividiendo el resultado obtenido entre tres, tendremos: (1)

hallaremos que X98 =0. Colocando a continuaci6nx99 en el primer lugar y agrupando de nuevo los sumandos de tres en tres, nos convenceremos de que X98 =0. etc. As! pues, XI

= x 2 = ... = x lOO = 0,

10 que se exigfa demostrar. 54. Sumando todas las ecuaciones tendremos que (X+y+z)2-(x+y+z)-I2=O.

(1)

Hagamos X + Y + z = I, entonces, de la ecuaci6n (I) hallaremos: (2)

EI miembro izquierdo de esta nueva ecuaci6n tiene cien sumandos y puede ser presentado en la siguiente forma:

Colocando la suma y + z = t sistema inicial, hallaremos que

(XI + X2 + x3)+ (X4 + Xs + X6)+ .. · ... + (X97 + X98 + X99 )+ XIOO

= 0.

X2 + X(I

de donde,

- X

en la primera ecuaci6n del

- x) - x = 2,

2 X= - - . 1-1

(3)

106

PROBLEMAS DE MATEMA T1CAS ELEMENTALES

De fa misma manera, la sustituci6n de x + z =t - y en la segunda y de x + y = t - z en la tercera ecuaci6n del sistema inicial nos da 4

Y == [-1

y

6

Z==--.

[-1

(5)

x+ y == xy =90.

X

19,}

Resolviendo este sistema de dos ecuaciones, obtenemos:

Por sustituci6n, es flicil de comprobar que estos dos conjuntos de numeros satisfacen tambien al sistema inicial. As! pues, el sistema inicial tiene dos soluciones.

z,}

=7 + 3 ? + y- = 7 -z~,

= (7 + z Y- 3{6 + 7 z )(7 + z) == Z3 -18z + 217. (2)

Comparando (2) con la ultima ecuaci6n del sistema (1), hallamos que z == 12. Pero, entonces

55. Escribamos el sistema en la forma siguiente:

x+ y

x3 + /

(4)

Colocando los dos vafores de t en las f6rmulas (3), (4) Y(5), hallaremos las dos soluciones del sistema inicial

2

o

?

(1)

3 3 3 x+y==l+z.

Elevando la primera ecuaci6n af cuadrado y eliminando:xl +y con ayuda de fa segunda ecuaci6n, hallamos que

56. Dividimos la primera ecuaci6n entre la segunda y la tercera; como resultado obtenemos y+z 5 z+x 4 == ' 3 x+y x+y 3

Multiplicando ambas ecuaciones por x + y, hallamos:

5x+ 2y -3z == o,l

de donde

>

xy == 6 + 7z. A continuaci6n, obtenemos que

(7 + z y == x 3 + /

+ 3xy(x + y)

x+4y-3z==0.J

De estas ecuaciones se desprende que y==2x, z==3x. Colocando de aquf el valor de y y z en la primera ecuaci6n del sistema inicial, hallaremos quex2==1. Como resultado obtenemos:

ALGEswResoluciones y Soluciones

=O,}

Realizando la verificaci6n nos convencemos de que los dos conjuntos de numeros satisfacen tarnbien al sistema inicial. 57. Fijandonos en que la diferencia de dos ecuaciones del sistema propuesto se descompone en factores, formamos la diferencia entre la primera y la segunda ecuaciones yentre la primera y la tercera. Las dos ecuaciones obtenidas de esta manera,junto con la tercera ecuaci6n del sistema inicial, compondran el siguiente sistema: (u - w)(u + w-l)= (v-w)(v+w-I)=O, (1) w2 +u 2 +v=2.

O,}

Es evidente, que cualquiera soluci6n del sistema inicial satisface al sistema (1). Puesto que, y al contrario, todas las ecuaciones del sistema inicial pueden ser obtenidas sumando y restando las ecuaciones del sistema (1), entonces, toda soluci6n del sistema (1) es al mismo tiempo la soluci6n del sistema inicial y, por consiguiente, estos sistemas son equivalentes. El sistema (1) se descompone en los cuatro sistemas siguientes:

~

2

w- +u +v

= 2,

w2

+

u2

+ V = 2,

O,}

u+w-l = v+w=O,

(4)

w-" + u~~ + v = 2,

..,

?

w- +u-

(3)

(5)

+ v = 2.

En virtud de 10 dicho, es evidente que todas las soluciones de estos cuatro sistemas, y solamente elIas, son al mismo tiempo las soluciones del sistema inicial. Cada uno de estos cuatro sistemas dados puede reducirse sin dificultad a una ecuaci6n cuadrada y tiene dos soluciones. Expongamos las soluciones correspondientes (u, v, w) omitiendo los ca1culos. Soluciones del sistema (2):

-1+-Ji7 ( -I+-Ji7 4' 4

-1+-Ji7J

-1--Ji7 ( -I--Ji7 4' 4

-1-\117 1

4

4

Soluciones del sistema (3): (

(1,0,1),

1

l-2'

(0, I, 1),

(%'

'

r.;:::,.\

2'

-~).

2'

-~).

3

Soluciones del sistema (4):

O,}

u-w = v+ W= 0,

u-w=O} v-w = 0: (2)

u+ w-l v - w = 0,

107

J

108

PROBLEMAS DE MATEMATICAS ELEMENTALES

Soluciones del sistema (5):

(1,1,0),

De {I) se desprende que los miembros derechos de la primera y tercera ecuaciones del sistema (2) son iguales, es decir, que

(-l'

1- 3xy = 7 - 3yz, de don de

As! pues, el sistema inicial tiene en total ocho soluciones.

2 Z-X=-.

Y

58. Restando de la segunda ecuaci6n la primera, obtenemos:

(3)

Puesto que de acuerdo con (1)

z+x=2y,

(4)

entonces, resolviendo conjuntamente (3) y (4) hallamos:

dedonde

(z -

y)(x + y + z) = 3.

Restando de la tercera ecuaci6n la segunda, amilogamente hallamos

1 1 X=Y--, z = Y+ - . Y Y Colocando la expresi6n obtenida para x en la primera ecuaci6n del sistema inicial tendremos que

(y-x)(x+ y+z)=3.

3/-4/ + 1 = 0, dedonde

De las dos ultimas ecuaciones se deduce que

Yl,2=±1, z - y = y -x.

(1)

1 Y34=±-r=- ' , --J 3

Como resultado, hallamos cuatro conjuntos de l1umeros A continuaci6n, escribimos el sistema inicial en la forma siguiente:

(x- y)2 =1-3xy ,1

= 4 - 3xz, ( (y - z)2 = 7 - 3 yz.J (x - z /

(0,1,2) (0, -1, -2);

(~, ~, -~} -

(2)

(-,~, }j'~)'

ALGEBRA!Resoluciones y Soluciones

109

Mediante la verificaci6n nos convencemos de que tados estos coftiuntos satisfacen al sistema inicial.

Este sistema es resoluble unicamente con una condici6n complementaria

59. Multiplicando los primeros y segundo miembros de las ecuaciones entre sf, obtenemos:

(1)

dedonde (1)

escribimos la k-esima ecuaci6n del sistema en la forma

Con esta condici6n, es evidente que se obtendn'i una cantidad infinita de soluciones. A continuaci6n, podemos suponer que a,.: l. (2) Sumando todas las ecuaciones del sistema y haciendo, para simplificar, x + Y + z = t, obtenemos:

De aqui, en virtud de (I), tenemos:

Por medio de la comprobaci6n nos convencemos de que este conjunto de numeros satisface al sistema inicial. Asf pues, el problema tiene una sola soluci6n.

Puesto que segun la condici6n del problema el miembro derecho es positivo, para a = -2 el sistema no tiene soluci6n. Considerando que (3) a,.:-2. hallamos: Ie +/2 + m 2 (4) t=±~ a+2

60. Notemos al principio que siendo a = I el sistema toma la forma

Transformando a continuaci6n las ecuaciones del sistema en laforma:

xk

I n-~ = iJ

.. an (k = 1, 2, ... , )

n .

ak

110

PROBLEMAS DE MATEMATICAS ELEMENTALES

de acuerdo con (4), hallamos de aqu! dos conjuntos de valores dex ey:

1) Supongamos que sea

xy= 2.

(3)

Eliminando x +y de la primera y tercera ecuaciones del sistema inicial, obtenemos la siguiente ecuaci6n respectode z. Z2

-6z+9 =0.

De aqu! se deduce que z(l)=3. Entonces, la primera ecuaci6n da Realizando la comprobaci6n establecemos que las dos temas de numeros satisfacen al sistema inicial. As! pues, en el caso general (a * 1, a * -2) el sistema tiene dos soluciones diferentes.

61. Elevando la primera ecuaci6n al cuadrado y restando de la relaci6n obtenida la segunda ecuaci6n, hallaremos: xy+yz+zx= 11.

x + Y = 3. Resolviendo esta ecuaci6njunto con la ecuaci6n (3), obtenemos: xiI) x~l)

= 1, = 2,

y}l)

= 2,

y~l)

= 1.

(I) 2) Supongamos ahora que de acuerdo can (2)

En virtud de la tercera ecuaci6n, de aqu! se desprende que

(xyY +3xy-10 = O.

(xyL=-5.

Examinemos dos posibilidades.

(4)

En este caso, de la primera y tercera ecuaciones obtenemos:

Resolviendo esta ecuaci6n, obtenemos:

(xy) I =2,

xy = -5.

Z2 -

(2)

6z + 16 = O.

Las raices de esta ecuaci6n son irreales y, por consiguiente, las investigaciones relacionadas con la condici6n (4) pueden no Ilevarse a cabo.

ALGEBRAiResoluciones y Soluciones

ASl pues, solueiones reales pueden ser solamente las siguientes temas de numeros (x,y, z):

(l,2,3)y(2,1,3). Mediante la verifieaei6n nos conveneemos de que ambas temas de numeros satisfacen al sistema inieial. ASl pues, han sido halladas todas las solueiones reales del sistema.

62. Se ve faciimente que los primeros miembros de las eeuaciones pueden ser deseompuestos en faetores, como resultado de 10 eual el sistema toma la forma

(1)

x+z=v,

y+z=w.

Entonees

uv=a,} uw=b, vw=c. Multiplicando todas las ecuaciones entre sl, hallaremos:

(UVW)2 = abc,

(3)

uvw = ± -Jabc.

Ahora, la determinaci6n de todas las solueiones del sistema (2) no representa ninguna dificultad. Eligiendo en la f6rmula (3), al principio, el signo mas y, a continuaei6n ei menos, establecemos que el sistema (2) tiene dos soluciont>s:

(4) y

=

-Mc c

v2

--Jabc =--b- '

w2

=

-Mc a

(5)

Queda resolver dos sistemas de eeuaciones, obtenidos al colocar los val ores (4) Y (5) en los miembros dereehos de las ecuaciones

x+ y =u,} x+z = v, y+z = w.

Hagamos para simplifiear

x+ y=u,

dedonde

u2

(x + y)(x + z) = a,} (x+ y)(y+z)=b, (x + z)(y + z) = c.

111

(6)

Sumando las eeuaeiones (6), obtenemos

(2)

u+v+w x+y+z=-- 2

De aqui, en virtud de (6), se desprende facilmente que

u+v-w u-v+w -u+v+w x=--2- ' y= - -2-' z= 2

(7)

112

PROBLEMAS DE MATEMAnCAS ELEMENTALES

As! pues, el sistema inicial tiene solamente dos soluciones que se determinan por las formulas (7}colocando en estas los valores (4)y(5).

de donde db 2=0, 10 que contradice a la condicion del problema. As! pues, a131"* O. Por esta razon, el sistema (2) coincide exactamente con el sistema (2) del problema anterior. Por consiguiente, este sistema tienedos soluciones:

63. Sumando todas las ecuaciones hallaremos:

la131

_-II_ - , XI -

a 2 + b2 + c 2 xy+xz+ yz= - - - -2

1 (1)

x, =

En virtud de las ecuaciones del sistema, ahora obtenemos facilmente que

-

--fa.I3Y , 1

Yl

~a131

=-13-' Y2

=

~

Z 1 --

l/a131 ., a

-~ 13 '

Es facil de comprobar que estos dos conjuntos de numeros satisfacen tambien al sistema inicial. De este modo, las soluciones (3) y (4) contienen todas I..''> soluciones del sistema. 64. Hagamos

(2)

xy + xz + yz = (3.

(1)

Entonces, el sistema se puede escribir en la forma Aquf hemos introducido, para mayor comodidad, designaciones simplificadas para los quebrados obtenidos. Notemos que si el sistema inicial tiene solucion, entonces, en nuestras condiciones los tres numeros a, 13 y 1 se diferencian de cero. En efecto, supongamos, por ejemplo, que a = O. Entonces 131 = xyz2 = O. Sumando la primera ecuacion del sistema (2) con la segunda y la tercera, obtenemos:

(2)

Sumando todas las ecuaciones de este sistema, hallaremos que

(3)

ALGEBRAIResoluciones y Soluciones

Restando consecutivamente de esta ecuaci6n las ecuaciones del sistema (2), obtenemos:

x 3 = (b + c - a) t 3 ,

y3 = (c + a - b) t 3,

z3 = (a + b - c) t 3 .

Dedonde

x=Vb+c-a·t,

y=Vc+a-b·t,

u = 0, v = 0, w = 0.

113

(2)

Prestamos ademas atenci6n a que si u = 0, entonces, de la primera ecuaci6n de (1) se desprende que v = y de la tercera que w = 0. Por esta rawn, nos limitaremos a examinar los casos enque

°

0.

UVW7:

z=Va+b-c·t.(4)

Colocando estas expresiones en la ecuaci6n (1), hallaremos que, a II = 0, 0 bien

'2 == VU;+c - a)(c +a-b) +V(b +c -a)(a+b -c) + + V(c + a- b )(a + b -

c)

Colocando estos valores de t en las f6rmulas (4), hallaremos dos soluciones del sistema inicial. 65. Hagamos

Este sistema tiene la misma forma que el sistema (6) en la resoluci6n del problema 62. Empleando el mismo procedimiento, obtenemos:

a+b-c x+y=u,

x+z=v,

y+z=w.

u

Entonces, el sistema se escribe de la manera siguiente:

v u + v = auv,} u+w=buw, v+w=cvw. Es evidente, que el sistema(l)tiene la siguiente soluci6n:

2

a-b+c 2

(3)

_~ = - a + b + c .J (1)

w

2

De aqui se desprende que el sistema (1) puede tener una soluci6n distinta de la soluci6n (2) solamente con una condici6n complementaria, a saber:

114 PROBLEMAS DE MAiEMATIC AS ELEMENTALES

a + b - c =a

=t-

0,

O,}

a - b + c = [3 =t- a + b + c = y =t- 0.

(4)

Si se cumple la condici6n (4), entonces, de las f6nnulas (3) deducimos que

2

U= -

2

V=-

W =

~'

a'

2 -. y

(5)

Para concluir la resoluci6n del problema nos queda resolver dos sistemas: 2

x+y=-, a

O,}

x+U = x+z = 0, (7) Y + z

Asi pues, eI sistema inicial tiene solamente una soluci6n nula: x = y = z = 0, y si se cumple lacondici6ncomplementaria(4)tiene otra soluci6n mas que se detennina por las f6nnulas (8) y (4). 66. Por la forma de la segunda ecuaci6n deducimos que x =t- 0, Y =t- 0, Y z =t- 0. Reduciendo el primer miembro de la segunda ecuaci6n a un comun denominador, en virtud de la tercera ecuaci6n,obtenemos: xyz = 27. (1) Multiplicando a continuaci6n la tercera ecuaci6n por z, tomando en consideraci6n (1), tendremos:

2 x+z = --

= 0,

27 + (x + y)z2

~'

(6)

Colocando aqui x + y 9 (
2

y+z =-. y

J

Z3

EI sistema (7) surge solamente al cumplir la condici6n (4). Cada uno de estos sistemas tiene una sola soluci6n; la soluci6n del sistema (6) es: x = 0, y = 0, z = 0. yel sistema (7) tiene la soluci6n

x

=~ + ~ - ~ a

~

y

y' z

= ~ - ~ +~

I

a

~

y'1

I

I

I

=-

= 27 z.

I

+ - - + -- . i a ~ Yj

(8)

- 9z 2 + 27z -27 = 0,

o

(z _3)3 = 0. Por eso, z = 3. Colocando este valor dez en la primera ecuaci6n yen (I), hallaremos que x =3 e y = 3. Esto ultimo podia haber sido previsto, ya que todas las inc6gnitas entran en las ecuaciones del sistema simetricamente. As! pues, si el sistema tiene soluci6n, esta puede ser unicamente la temade numerosx= 3,y= 3 y z= 3. Efectuando Ia verificaci6n nos convencemos de que estos numeros fonnan efectivamente la soluci6n. As! pues, el sistema tiene Ia soluci6n (y, ademas, unica):

ALGEsRAIResoluciones y Soluciones

67. Colocando x + Y de la primera ecuaci6n en la segunda, obtendremos:

IntroducienJo de aqui -'Y en la tercera ecuaci6n, tendremos:

115

De este modo, al sistema 10 satisfacen las seis soluciones indicadas, que son las unicas que puede tener el sistema. Este mismo resultado puede ser obtenido por una via mas corta si se presta atenci6n en la relaci6n de las soluciones del sistema en cuesti6n con las rakes de la ecuaci6n cubica (1)

EI primer miembro se descompone facilmente en factores:

(z-a)(x-ai)(z+ai)=O.

En efecto, de acuerdo con las f6rmulas de Viete (vease (2), pagina 11) las tres rakes de la ecuaci6n (1)

Dedonde

Colocando z = a en la primera y segunda ecuaciones, obtenemos el sistema X+ Y =0.2'1

xy = a

.J

De aqui, x = ±ia,y = +ia, ademas, es facil de comprobar que las dos temas de numeros (x,y, z):

(ia, - ia, a) y (- ia, ia a) Satisfacen al sistema inicia!. De manera analoga hallamos dos pares mas de soluciones que corresponden a los valores de Z2 y Z3:

enumeradas en cualquier orden, forman la soluci6n del sistema en cuesti6n. De este modo, tenemos ya seis soluciones. Demostremos que estas seis soluciones son las unicas que puede tener el sistema. En efecto, supongamos que sean (Xl' Y l ' Zl) cierta soluci6n del sistema. Examinemos la ecuaci6n de tercer grado

(t - Xl) (t - Yl) (t - Zl) = 0,

cuyas rakes son los numerosxl'YI' z,. Abriendo los parentesis en la ecuaci6n (2) y haciendo uso de las igualdades

XlYI

(a, - ia, ia),

(- ia, a, ia),

(ia, a, - ia),

(a, ia, - ia).

(2)

+ YlZI + XlZI

=a2,

X1YlZI

= a3 .

116

PROBLEMAS DE MATEMATICAS ELEMENTALES

nos daremos cuenta de que las ecuaciones (2) y (1) coinciden. Por consiguiente, X 1'Y1 y Z1 son las rakes de la ecuaci6n (1),10 que se exigia demostrar. Esta observaci6n podia haber sido empleada al resolver el problema anterior.

en virtud de la primera y segunda ecuaciones del sistema, obtenemos (2) xy+xz+ yz=O.

68. Colocando x de la primera ecuaci6n en la segunda, obtenemos:

el trinomio al cuba:

Examinemos a continuaci6n la identidad que se obtiene al elevar \-,

3

1

:1

?

+ Y + Z J = x + y + z· + 3x-y + 3x +3xy2 +6xyz+3xz 2 +3y2Z+3yz2 . (X

En virtud de la tercera ecuaci6n, de aqui se desprende que

3/ -xy = 0. Por eso, 0 Y = 0,

0

(2)

En el primer caso (y = 0), de acuerdo con (1), Z = 0, y, en virtud de la primera ecuaci6n del sistema, x = 0. En el segundo caso, colocando x de la igualdad x = 3yen la segunda ecuaci6n del sistema, obtenemos:

(3)

Si ahora y = 0, obtenemos el primer caso ya examinado. Pero,

°

si y = -2x, entonces, de la condici6n (1) se deduce que z = y, por consiguiente, y = y x = 0. La confirmaci6n queda demostrada.

°

= X2

+ y2 + z2 + 2(xy + xz + yz),

+ (3)

EI segundo miembro de esta identidad se puede presentar en la forma siguiente:

Por consiguiente, en virtud de las ecuaciones del sistema y de la igualdad (2), de la identidad (3) se desprende que

(4) En relaci6n con esto, examinemos dos casos: 1) Si z = 0, entonces, de acuerdo con (2), xy = 0. Teniendo en cuenta, a continuaci6n, la primera ecuaci6n del sistema, obtenemos dos conjuntos de valores: Xl Xl

69. De la identidad

(x + y + z)2

Z

x 3 + i +Z3 +3x(xy+xz+ yz)+ +3y(xy+ yz+xz)+3z 2(x+ y).

bienx = 3y.

2y2 + 4yz = 0.

2

(1)

= a, = 0,

= 0, z\ = 0, Y2 = a, z2 = 0. Yl

(5) (6)

En este caso, es facil de ver que las f6rmulas (5) y (6) detenninan dos soluciones del sistema inicial.

ALGEsRAIResoluciones y Soluciones

117

2) Si x + y = 0, entonces, de la condici6n (2) obtenemos de nuevo xy = 0, y por consiguiente, x = 0, y = 0. De la primera ecuaci6n del sistema se deduce que z = a y obtenemos una soluci6n mas del sistema inicial:

Elevando la primera ecuaci6n al cuadrado y restandole la segunda,obtenemos

(7)

A continuaci6n, escribamos la tercera ecuaci6n del sistema en laforma (4) xyz = c(xy + xz + yz).

°

As! pues, con la condici6n de que a :f:. el sistema tiene tres soluciones distintas y en el caso en que sea a = el sistema tendni una sola soluci6n nula.

°

xy + xz + yz

(1)

2

71. Abriendo los parentesis, escribamos la segunda ecuaci6n en laforma

x 3 + / + Z3 + 3x(xy + xz + yz) + 3 y(xy + xz + yz) +

x2 +

+ 3z(xy + xz + yz)- 3xyz.

as!:

y

i

+ z2 + 3xy + 3xz + 3yz = 1,

obien

De aqu! se desprende que la identidad (1) se puede escribir

(x + y + z = x + / + Z3 + + 3(x + y + z )(xy + xz + yz)- 3xyz.

(3)

3 3 3 3 3 (2 b2) +-ca3 (2 b2) = x+y+z=a--aa2 2 =a 3 +-3 (2 a -b 2\1 p.p-a ).

(x+ y+zY =x 3 + / +Z3 +3x 2y+3x 2 z+

Transformamos el segundo miembro de esta identidad a la forma

2

Teniendo en cuenta (3) y (4), de la identidad (2) hallamos defmitivamente:

70. Examinemos la identidad

+ 3xy2 + 6xyz + 3xz 2 + 3y2 Z + 3yz2 .

(2 = -1 \a - b2) .

(x + y + z f + XY + xz + yz = 1. De aqu!, haciendo uso de la primera ecuaci6n del sistema, obtenemos:

3

(2)

De la relaci6n (2) se ve que para determinar la suma x 3 + y3 + z3 es suficiente expresar del sistema inicial xy + xz + yz y xyz.

xy+xz+ yz=-3

(1)

Presentemos la tercera ecuaci6n del sistema en la forma

x(xy+xz)+ y(yz+xy)+z(xz+ yz)=-6.

118

PROBLEMAS DE MATEMATICAS ELEMENTALES

72. Abriendo los parentesis en las tres ecuaciones notaremos que si a la suma de las dos primeras ecuaciones Ie restamos la tercera, tendremos la ecuaci6n

Entonees, tomando en eonsideraei6n a (1), tendremos

x (3 + yz) + y (3 + xz) + z (3 + xy) = 6,

o bien x + y + z + xyz

(x - y + z

= 2,

f = a - b + c.

(1)

Procediendo analogamente, hallaremos:

es decir,

xyz =0.

f

Reeibimos el siguiente sistema:

2,l

x+y +z = xy + xz + yz = -3, ~ xyz =

o.J

(2)

De la ultima eeuaei6n de este sistema se desprende que, por

10 menos, una de las inc6gnitas es igual a cero. Sea que x = 0; entonces,

y +z

= 2,

yz

(2) (3)

(x + y + z = a + b - c, (x + y + z)2 = b + c - a.

= -3,

de donde, 0 y = 3, z = «I, 0 y = «I, z = 3. De forma analoga se estudian los easos en que y= y z= 0. De esta manera reeibimos seis solueiones (x,y, z) del sistema (2):

°

(0,3,-1), (-1,0,3), (0,-1,3), (3, -1,0), (3,0, -1), (-1,3,0). Es faeil de comprobar que todos estos conjuntos de numeros satisfacen tambien al sistema inicial. Asf pues, el problema tiene seis soluciones.

No es diffcil convencerse de que tambien, al contrario, eJ sistema inicial es resultado del sistema de ecuaciones (1), (2) Y (3). En efecto, sumando, por ejempJo, las ecuaciones (2) y (3), obtendremos la segunda ecuaci6n del sistema inicial, etc. As! pues el sistema inicial y el obtenido son equivalentes. Por esta raz6n, es suficiente hallar todas las soluciones del sistema de ecuaciones (1), (2) y (3). Supongamos, para simplificar el problema, que

(b + c - a = a\,

'\j

~' a -b b+C = \

Y

ra + b - C = c\.

'\j

Entonces, el sistema de ecuaciones (1), (2), (3) es equivalente a los ocho sistemas de primer grado siguientes:

x- y+z =±b\, x+ y-z = ±c\.

(4)

-x+ y+z = ±a\ Eligiendo en todos los segundos miembros el signa mas, hallaremos facilmente la siguiente soluci6n unica del sistema correspond iente:

ALGEBRAlResoluciones y Soluciones

119

Sumemos, a continuaci6n, la segunda ecuaci6n con la primera, ambos miembros de la cuallos multiplicamos previamente por 2. Como resultado obtendremos: Realizando todas las posibles combinaciones con los signos en los segundos miembros, hallaremos siete soluciones mas:

I

a l - ci hi + a l ( - hi +_~ a l + ~ - hi + a l ) ( hi - ci 2 ' 2' 2 ~ 2' 2' 2)' (

hi + ci 2'

( - hi + ci 2 '

a l + c i h, - a, ) ( - hi - ci al - c i 2' 2 ~ 2' 2'

-

-

a l + ci - hi - al 1( hi - C, 2 ' -2~-)l-2-' ( - hi - ci \. 2 '

-

a l - ci 2 '

-

-

-

hi + a, ) 2 '

(3) Examinemos ahora dos casos. I) Supongamos aI principio que en la f6rmula (2) se ha elegido el signa mas. Colocando entonces en (3) x+y de la ecuaci6n

x+y= 7, obtenemos que =2 -14z + 45 = O. Designando las raices de esta ecuaci6n con z?) y z~I), hallaremos que z?) = 9 y al - c, hi - a l ) 2 '~' z~1) = 5. Siendo z = 9, de la ecuaci6n (I) se desprende que xy = -16. Resolviendo esta ecuaci6n junto con x + y = 7,

hi - a i j\ 2 .

hallaremos:

Es evidente, que con las ocllo soluciones indicadas se agotan todas las soluciones del sistema.

(I)

XI

=

7 +-Jli3 2

(1)_7-~lI3

x2 -

73. Escribamos la tercera ecuaci6n del sistema en la forma Z2

+ xy - z(x + y) = 2.

(1)

2

+ xy - 47 + xy = 2,

0

+ y )2

--Jli3 2

7 +-J1i3 . 2

xy = 12,1

=

7,J

= 49. obtenemos que x~J)

De aqui

x+y=±7.

(I) _

Y2 -

7

Si z = 5, entonces, de la ecuaci6n (I) se desprende que xy =

x+ y (x

-

12. Resolviendo el sistema

Colocando aqui el valor de Z2 de la segunda ecuaci6n y el de z(x+y) de la primera, obtendremos:

x2 + Y2

(I) _

YI

(2)

= 4, y~l) = 3 Y

x41)

= 3, y~l) = 4.

120

PROBLEMAS DE MATEMATICAS ELEMENTALES

2) En el caso de que sea x + y = -7, procediendo anlilogamente, obtendremos la ecuaci6n z'2 + 14z + 45 = O. Sus rakes son zf) = -9, z~2) = -5. Resolviendo, a continuaci6n, sucesivamente los dos sistemas de ecuaciones

-16'}

xy = x+y=-7,

y

12'}

xy = x+y=-7.

-7 -.Jil3 3

9) (7 - M2

7+-Jli3 2

'

9) ,

-7--Jli3 -7+M ) 2 ' 2 '- 9 ,

( - 7 +2-Jli3 '

-7 - 2M

(5)

Mediante la verificaci6n nos convencemos de que todos estos temos de numeros son soluciones del sistema.

YI

=

-

.Jil3

7+ 2

'

_9) ,

(_ 4, _ 3, -

5) , (- 3, -

4, -

5) .

Examinemos la primera ecuaci6n del sistema. En virtud de la desigualdad (1) pag. xxxx tenemos:

2z sl. 1+ z

y

-2 (2) _ -

x2

.Jil3

7+ 2

(2)

'

Y2

=

-

7 -.Jli3

2

Entonces, de la primera ecuaci6n se desprende que

y del sistema (5)

xs z. X~2)

= -4,

yf)

= -3,

y

De nuestros razonamientos se deduce que s6lo pueden ser soluciones del sistema iniciallos siguientes ocho temos de nillneros

(x,y,z):

'

74. Supongamos que sea (x,y, z) la soluci6n real del sistema. (2)

'

) (3, 4, 5), ( .(4, 3, 5,

"

(4)

del sistema (4) hallaremos que (2) _ xI -

7- M ( 7+-Jli3 2 ' 2

(1)

Analogamente, de la segunda y tercera ecuaciones del sistema obtenemos que ysx, (2) zsy. (3) EI sistema de desigualdades

(1) - (3) se satisface solamente

en el caso en que X

= y = z.

(4)

ALGEBRAIResoluciones y Soluciones

Colocando z = x en la primera ecuacion, hallamos que

De (4) hallamos definitivamente que el sistema tiene dos soluciones reales (0, 0, 0) y (1, 1, 1). 75. Supongamos que sean Xl' X2' ••• , Xn las soluciones reales del sistema. Los numerosxk(k= 1, ... , n), por 10 visto, debenin ser de un mismo signo. Supongamos para mayor certeza, que todos x k > (en caso contrario podriamos cambiar el signa en todas las ecuaciones del sistema).

°

Demostremos que Xk

~-fi,

(k=I,2, ... ,n)

(1)

En efecto, en virtud de la desigualdad (1) pagina 20.

121

Con la condicion (1), la igualdad aqui es posible solamente en el caso cuando todas las incognitas son iguales a -fi. Puesto que es faeil de comprobar que el eonjunto de numeros Xl = x2 = ... = xn = -fi satisface al sistema inicial, entonces, el sistema tiene solucion positiva y, ademas, solamente una. Cambiando los signos en los valores de las incognitas, obtendremos una solucion real mas

Asi pues, con estas dos soluciones se agotan todas las soluciones reales. 76. Sean x,y, z las soluciones del sistema. Expresandox por su valor de la primera ecuacion y colocindolo en la segunda ytercera, hallaremos:

(a-b)+(e -b) y +(d -b)z = 0, (a 2 _ b2 (e 2 - b2) Y (d 2 - b2) z = o.

)+

+

De aqui, por medio de eomputos simples, hallamos: En virtud de las ecuaciones del sistema, de aqui se desprende la desigualdad (1 ). Sumando ahora todas las ecuaciones del sistema, obtenemos: 222

Xl

+X2 + ... +Xn = - +-+ ... + - . Xl X2 Xn

(2)

y=

(a - b)(a -d) (e -b)(e -d)'

z=- (a-b)(a-e) (d -b)(d -e)"

Colocando los val ores hall ados dey y z en la primera igualdad, obtenemos:

X=

(a-e)(a-d) (b-e)(b-d)"

122

PROBLEMAS DE MATEMA TlCAS ELEMENTALES

Por consiguiente,

,-----

_ (a-b)2(a-c)2(a-d)2 0 xyz- (b-c)2(C-d?(d-b)2 > . 77. Si a::j:. 0, entonces x = a no es una raiz de la ecuaci6n. Dividiendo ambos miembros de la ecuaci6n entre ~ (a - x)3 , la sustituimos por la siguiente ecuaci6n equivalente:

II + x Designando ~ 1- x por t, obtendremos la ecuaci6n /2- 1 =1,0 t 2 -t-l=0. De aqu) II

1+-15

= - --

Y t2

l+x _(I+'\Jsim - -- I I-x \. 2 )

---

')a-x

~a+x

-

Puesto que el

segundo valor es ne~ativo, entonces?en virtud del acuerdo aceptado sobre las rakes, cuando el exponente m es par debemos omitir t z. De este modo, en el caso cuando m es par, tenemos:

3/(a + x)2 + 4 = 53/ a+ x. ~ a-x

1--15

=- - .

y, por consiguiente,

Haciendo t = 3 1 - - , haIIamos que t,=4, tz=1. De aqu) \ a-x xI

= ~~ a,

x2 = O.

Si a = 0, entonces, la ecuaci6n inicial tiene una sola raizx = O.

78. Por sustituci6n nos convencemos de que x = I no es una

Cuando m es impar la ecuaci6n tiene dos rakes:

raiz. Por eso, despues de dividir ambos miembros de la ecuaci6n entre m~(I_ esta pasa a una ecuaci6n equivalente:

x)2

,

xI 2

(¥t -I

= (l±:fi - )m + 1

79. Hagamos la sustituci6n obtendremos

12y - 5 = t ~ O. Como resultado

ALGEBRA.lResoluciones y Soluciones

De aqu! t + 1 + t + 3 = 14 y t = 5. Resolviendo la ecuaci6n

~2y-5=5.

123

82. Elevando ambos miembros de la ecuaci6n al cubo, obtendremos:

hallamosquey= 15. 80. Multiplicando ambos miembros de la ecuaci6n por obtendremos

"Jx + Fx , (I)

Puesto que x > 0 (siendo x = 0 el segundo miembro de la ecuaci6n inicial pierde el sentido), entonces, la ecuaci6n (I) es equivalente a la ecuaci6n

Deaqui

2x + 3 ~ x 2

81. Multiplicando ambos miembros de la ecuaci6n por -J x + I, hacemos x2 + 8x = t. Entonces, obtendremos la ecuaci6n

Esta ecuaci6n tiene una sola ra!z t = 9. Resolviendo a continuaci6n la ecuaci6n x2 + 8x - 9 = 0, hallaremos que XI = -9, x, = I . En virtud de la condici6n adoptada respecto a los val ores de las rakes, la ecuaci6n inicial queda satisfecha solamente siendo x = 1.

1( 'Jj x-I + 'Jj x +

1) = 2x3 .

(I)

yen raz6n de la ecuaci6n inicial 3~

"Ir-

2x + 3 'V x-I x :?j 2

= 2x3 .

(2)

Despues de simples transformaciones obtenemos:

2Fx-l=2~. Elevando ambos miembros al cuadrado nos convencemos de que esta ecuaci6n tiene una sola raiz x = ~~, que satisface tambien a la ecuaci6n iniciaL

-

x

~J x 2 -

1 (3 Vi

- 2 ~p ~1J2) = O.

De aqu! hallamos todos los numeros que pueden servir de rakes de la ecuaci6n inicial. Tenemos directamente:

Resolviendo a continuaci6n la ecuaci6n

hallaremos:

124

PROBLEMAS DE MATEMATICAS ELEMENTALES

Puesto que se buscan solamente las rakes reales, entonces, por consiguiente,

r-

x 2 = 1+ 3.fj. 2

OeaqUl' x4 = 1/ 1+ -3 -fj 2- ,

J

3 -fj Xs =- ~ 1+ --2-'

Es facil comprobar, por medio de la sustitucion, que xl' X 2 y son rakes de la ecuacion inicial. La verificacion directa de los val ores de x 4 y Xs causa ciertas dificultades. Por eso, procedemos de la siguiente manera. Hagamos

X,

En virtud de (4), el segundo miembra de (5) es iguaJ a cera; sin embargo, es facil de ver que a> 0, b > 0, c > 0, y por 10 tanto, la expresion entre Haves es positiva. As! pues, la igualdad (3) queda demostrada. En anaioga forma se establece que Xs es tambien una raiz de laecuacion inicial.

-rx.

al primer miembro y elevando ambos miembros 83. Pasando de la ecuacion al cuadrado, obtenemos que

J

y c

r-

-J X

,.--

. --J X -

-

--

4a + 16 = X - 2a.

Elevando, acontinuacion, ambos miembros de estaecuacion 2 al cuadrado hallaremos que x = G4 es la unica raiz posible de la ecuacion. Colocandola en la ecuacion obtenemos que

= ~2X4

~a2 - 16a+64 = 2~a2 -8a+ 16 -j;2.

y demostremos que

a+b=c. (3) Puesto que x 4 satisface a la ecuacion (2), tendremos que

0,

en virtud de que los radicales son positivos, (I)

(4) y deberemos demostrar que de (4) se desprende (3). N otemos que si en la ecuacion (4), en vez de c ponemos a + b, obtendremos una identidad. Por consiguiente, par el teorema de Bezout, el palinomio c 3 _ 3abc _ a 3 _ b 3 examinado respecto aces multiplo del binomio c «(a+b). Efectuando la division tendremos que

c3

_

3abc _ a 3

_

4 ::; a < 8, la condicion (I) no se cumple, puesto que

8 - a 7: 2(a - 4) - a. Siendo 0::; a < 4, la condicion (1) adquiere la forma

b3 =

= [c - (a + b)]{ c2 + c(a + b) + a 2 - ab + b 2 } •

Siendo a ~ 8 la igualdad (1) se cumple. Por consi~iente, con 2 esta condicion, la rafz de la ecuacion inicial es x = (~ . Siendo

(5)

8-a=2(4-a) - a

ALGEBRAIResoluciones y Soluciones

y se cumple solamente siendo a = O. Por fin, siendo a < 0 la condici6n (1) se transforma en la identidad 8 - a = 2(4 - a)+ Q. Por consiguiente, para

Q

~8

las soluciones de estos sistemas. Resolviendo el sistema (1 ), hallam os:

Y Q::; 0 la ecuaci6n tiene la (mica

(x + y) 2=.l_ 2xy =.l_.l =o.

raiz

5

x=-. a2

125

5

5

Por consiguiente, x + y = 0, y obtenemos dos soluciones del sistema (1):

4

Para 0 < a < 8 la ecuaci6n no tiene rakes.

x - -t-

I-Fa'

84. Elevemos ambos miembros de la primera ecuaci6n y coloquemos en la ecuaci6n obtenida x 2+y de la segunda ecuaci6n. Como resultado tendremos: J

36xy -1 = ~ -

I; + 64xy + 256(xy)

2

Transformando la primera ecuaci6n del sistema (2) a la forma este ultimo se reduce a los dos sistemas siguientes: 3

Elevando de nuevo ambos miembros de la ecuaci6n al cuadrado, obtendremos una ecuaci6n cuadnitica respecto at = x+

.ry:

650t 2 - 85t + 2 = O.

x2 + (1)

i

=i,1 ~ :5 J

= - Fa'

(x + y) 2 = 15

.

Resolviendo esta ecuaci6n hallaremos que tl = I~' t2 Ahora, examinemos dos sistemas de ecuaciones:

t

x2

= ;5 .

")

y=-~'J xy=65,

x+y~- ~,) (2')

xy=-

(2")

65,

EI sistema (2') tiene dos soluciones:

+4xy xy

(2)

Por 10 visto, todas las soluciones del sistema inicial entran en

EI sistema (2' ') tambien tiene dos soluciones:

2 x - - -

5- -/ 65 '

2

Y6

= - -165'

126

PROBLEMAS DE MATEMATICAS ELEMENTALES

Como es faeil de eomprobar, solamente los eonjuntos de numeros primero, segundo, tereero y sexto satisfaeen al sistema inieial. Por 10 tanto, el sistema inieial tiene solo euatro solueiones.

De aqui se desprende que t = 2 (omitimos la segunda raiz - ~ ). Resolviendo el sistema IX

f,--

IJ

85. Hagamos

Entonees, el sistema dado se eseribe en la forma siguiente:

u -v

3

7( 2

=2 u

l'-UV

U

2)

Transformaremos la primera eeuaei6n a la forma

XI

= 4,

/y+l _ 0 - t> . 'V x- Y I

2

Entonees, la primera eeuaeion adquiere la forma

Resolviendo esta ultima ecuaeion junto con la segunda ecuaei6n del sistema hallaremos que U I - 6, VI = 3; u2 = -3, v 2 = -6. Volviendo al sistema inicial obtendremos sus dos solueiones:

x2=-27,

86. Por medio de la sustituei6n

-H =

= 1;

87. Hagamos

uv = 18.

x1=216, Yl=27;

YI

que son tambien las solueiones del sistema inieial. Asi pues, el sistema inieial tiene dos solueiones.

(U - v f + 3uv = '2 uv. Deaqui

}

halJaremos sus dos solueiones:

1 '~

= 3.J

-v

'

x+ XY+: = 9.

v; =u, VY =v. 3

=2

12 -

3t + 2 = o.

De donde II = I, t2 = 2. Examinemos ahora dos sistemas de eeuaeiones:

Y2= - 216.

ry + 1

t 2 0 transformemos la

-IJix-y

primera eeuaeion a la forma X

+ xy + y

I

=1 , f =

7,)

(I)

(2)

ALGEBRAiResoluciones y Soluciones

EI sistema (1) tiene dos soluciones: (- 5, -'-:'3),

x 2 _ y2 xy

(3,1).

=

9}

= 15~

127

(2)

EI sistema (I) tiene dos soluciones reales: EI sistema (2) tiene tambien dos soluciones: Xl

=5,

Yl

=3;

x2 =-5,

Y2 =-3.

EI sistema (2) tiene tambien dos soluciones reales:

_!.J98l-9.

Por consiguiente, el sistema inicial tiene cuatro soluciones

Y3 - ~

!'\}981-9 Y4 = -~ 2

J Ix+y - - =, -1 -y~2 x- - y Vx - y lx- yi

Sin embargo, no es dificil comprobar que s610 dos de los pares de numeros hallados satisfacen al sistema inicial, a saber: ( ,. (5 3) '_ /-v981 + 9

y multiplicando la primera ecuaci6n por x»y, obtendremos: x2 -

i - ~ x 2 - i - 12 = 0 siendo

2 2 Jr--2- 2 x - y + , x - y -12

=0

'

'~

88. Tomando en consideraci6n que

y

2

, ,l

x- y >0

\V

2

_ '

1~981-91

~

2

/

As) pues, el sistema inicial tiene dos soluciones reales.

siendo x - y < O.

Deaquf

89. Hagamos ! 2 -~ x

En relaci6n con esto examinemos dos sistemas de ecuaciones: x2 -

i xy

16,1

= = 15,J

(1)

-12y + I

= t.

Entonces, la primera ecuaci6n se puede escribir en la forma

128

PROBLEMAS DE MATEMAnCAS ELEMENTALES

De aquf t 1,2 = 4 Y obtenemos

x2

Este sistema tienedos solueiones (5, 3, ~), que, como es f£leil de eomprobar, satisfaeen tambien al sistema inieial.

i), (-

(1)

-12y=15.

*

Notando en adelante que y 0, multipliquemos la segunda ecuaci6n por ~~ , como resultado adquirini la forma

90. Liberando la primera eeuaei6n de la irraeionalidad en los denominadores,obtendremos:

-2(~J ~ +(1 +3y 4XJ = 0. ( ~J2 2y 2y f'J"Y Deaqui

Deaqui

5

(2)

4

y

(~J

\y

5 2

4

Despues de elevarla al cuadrado obtenemos la ecuaci6n

3 ( X12 -16

yj

(xJ Y - 12 = 0,

de la que hallamos que

Hagamos en la segunda eeuaci6n I 2

Ii x

+ xy + 4

= t,

(1)

despues de 10 eual se puede eseribir en la forma siguiente

(~l =

2 3

El segundo valor, por 10 visto, no satisface ala eeuaei6n (2), por 10 tanto, podemos limitamos al examen del sistema

x 2 -12y =

I5,}

~=6. y

(2

De aquf I,

= 7,

12

= -8.

+ (_ 56 = O. Ya que en (1)

(z 0,

omitimos la

segunda raiz. Como resultado obtenemos los dos sistemas de eeuaciones siguientes:

x=45 Y'} x 2 + xy - 45

= 0;

(2)

ALGEBRAIResoluciones y Soluciones

92. Hagamos

~x2-6y+l =t;::::O.

x=-"4 y,

5 }

X2

(3)

+ xy - 45 = 0.

Entonces, la primera ecuaci6n se escribira en la fomm

Las soluciones del sistema (2) son: (5,4), {- 5, - 4) Las del sistema (3) son: (15,-12), (-15,12). Las cuatro soluciones satisfacen tambien al sistema inicial.

91. Expresando x por su valor de la segunda ecuaci6n y colocandolo en la primera, obtendremos 2 /1 2 4 1 2 2y + 5 y + 3y --y-- =---+5. IJ 3 3 3 3

(2 -8t+16=0. De aqui t = 4 Ytenemos:

x 2 - 6y -15 = 0. Si ahora hacemos en la segunda ecuaci6n x 2y en consideraci6n (1), obtendremos la ecuaci6n

= t;:::: 0, obtenemos laecuaci6n

(2+ 3t - 18 =0.

(1)

= U Y se toma

9u 2 -241u-13230 = 0, de don de

Haciendo aquf j9y2-34Y-l

129

Uj

= 54, u2 = _ 2~5 .

Obtenemos dos sistemas de ecuaciones

x 2 -6y-15 =0,1

Deaqui

x 2Y=54,J

(2)

(3)

Puesto que segun la condici6n t no es negativa, tenemos solamente una ecuaci6n

Eliminando en el sistema (2)x 2 , obtendremos la ecuaci6n

9y 2 -4y-28 = 0.

2/+5y-18=0,

Resolviendo esta ecuaci6njunto con la segunda ecuaci6n del sistema inicial, hallaremos sus dos soluciones: 17 14

de donde Yj = 2, Y2 = La segunda raiz se omite, puesto que, en virtud de la ecuaci6n x 2 y = 54, conduce a valores de x irreales. Por consiguiente, el sistema (2) tiene dos soluciones reales:

x1=3,

y,=2;

x2=27'

Y2=--i·

-41·

130

PROBLEMAS DE MATEMATICAS ElEMENTAlES

Multipliquemos a continuacion la primera ecuacion del sistema (2) por v y la segunda por u y sumemoslas, como resultado obtendremos:

El sistema (3) se reduce a la ecuacion

u 4 - v 4 + 2u 2v 2

54i +135y+245 = 0, que no tiene soluciones reales. Asf pues, el sistema inicial tiene dos soluciones reales.

93. Hagamos

= -7 uv. 2

En virtud de (4) tenemos:

4(uv)2 -7uv+ 3 = 0.

(5)

De aquf

-rx = u ~ 0; fY =v~O.

(1)

Examinemos ahora dos sistemas de ecuaciones:

Entonces el sistema se escribini de la siguiente manera:

(u 2 -

v2 ) v

= ~ ,1

(6)

(7)

(2)

(u + v )u = 3v-I 2

(UV)l = 1,

2

El sistema (2) tiene la solucion evidente

u= 0;

v

= o.

(3)

°

Considerando a continuacion que u -:;: y, por consiguiente, (en virtud de las ecuaciones) v -:;: 0, multiplicando los primeros y segundo miembros de las ecuaciones (2) entre sf, obtendremos: 4

u -v

4

3 2

(4)

Es evidente que toda solucion del sistema (2) diferente de la (3), se encontrani entre las soluciones de estos sistemas. Multiplicando la segunda ecuacion del sistema (6) por U, en Viliud de la primera ecuacion, hallaremos que if = 2. de aqui, tomando en consideracion (1), obtenemos.

4~ u =--J2,

~

v =2 Analogamente hallamos la soluci6n del sistema (7) que satisface lacondici6n(I): ~3

Vii

U=-- -

2'

V= -

2

ALGEBRA/Resoluciones y Soiw.:iol1t:s

131

Es facil de comprobar que las dos soluciones satisfacen tarnbien al sistema (2). Asi pues, el sistema inicial tiene tres soluciones:

(0, o},

Por medio de la comprobaf!on descu12~imos que el sistema J. inicial tiene solo una solucion ~ a 2 , a 2

,R

94. Elevando ambos miembros de la primera ecuacion al cuadrado,obtendremos:

95. Hagamos

2

I 2 2 a ,jx -y =x--.

2 En virtud de la segunda ecuacion tenemos: I 2

,I x + y

,

2

Fx = U 2

(1)

'V x + y

2

fY = v 2 0.

Y

(1)

Entonces, el sistema adquiere la forma

3a 2 2

=--x.

(2)

(2)

Elevando ahora ambos miembros de la segunda ecuacion del sistema inicial al cuadrado, obtendremos: I 2

°

Este sistema se descompone evidentemente en dos sistemas: U -

4 .Jr--z-z x - y = -a - x 2 .

y

2

u4

+ u 2v 2

+ v4

0,1

v= = b2

,f

u2 + uv + v2 = a,l

De aquf, en virtud de (1) Y(2)

(

u 4 + u 2 v 2 + v4

i

Abriendo los parentesis, hallaremos que x = a 2 . A continuacion, de la ecuacion (1) hallaremos facilmentedos valores dey:

= b2 .J

(2 ')

(2 U)

Resolviendo el sistema (2') hallamos que 3u" = b2 , de donde, teniendo en cuenta (I ), obtenemos:

,(b'w

u=--- -3 '

fb~m v= - - -- . 3

(3)

132

PROBLEMAS DE MATEMAnCAS ELEMENTALES

Pasando al sistema (2"), transformemos ambas eeuaeiones de la forma siguiente:

u 2 + v 2== a _ uv, (u 2 + v 2)2 == b 2 + u 2v 2.

en easo eontrarioel sistema (5), y junto con el tarnbien el sistema (2"), no tiene solueiones que satisfagan la eondiei6n (1). Resolviendo el sistema (5), obtenemos:

De aquf hallamos uv y u2+v2: 2 - b2 uv== -a 2a ' 2

a 2 +b 2

2

u +v =

2a

1 Como resultado tenemos:

r

(4)

'J

2l V

No es dificil demostrar que el sistema de eeuaeiones (4) es equivalente al sistema (2"). De las eeuaeiones (4) obtenemos: 2 l 3a2 -b -I

(u+v\2 =)

2

'I

a 2 ~ (u-v)2 = 3b -a 2a 2

.j

u =_d ) 3a2 _b 2

(5)

Prestemos atenei6n a que el segundo miembro de la primera eeuaei6n del sistema (4), en virtud de (I), debeni ser positivo; tambien debera ser positivo el segundo miembro de la segunda eeuaei6n del sistema (5). De este modo, deberemos suponer eumplida la eondiei6n

(6)

2a

+ hb 2 _a 2 - ~ 2a

1j ,

V~~[ ~3a22:bi +~3b22:a2} Es faeil de ver que, en virtud de la eondiei6n (6), los dos pares de valores (u, v) no son negativos; en efeeto, ya que a 2 ~ b2 , entonees 3a2"b 2 e» 3b 2-a2 . Asf pues, euando se eumple la eondiei6n eomplementaria (6), el sistema inieial tiene tres solueiones:

ALGEBRAlResoluciones y Soluciones

133

As) pues, todos los valores buscados de r se determinan por la desigualdad

r ~ 1. 97. Si hacemos

x y -+-=U y x 2

2

2

Y notamos que'£'- + ~ = U - 2, entonces, la expresion dada se transforma faliime~te en la forma

3u 2 -8u+4.

Si se perturba la condicion (6), solo la primera de elIas.

3. Desigualdades algebraicas 96. Para que el trinomio cuadnitico

sea positivo para todos los valores dex, es necesario y suficiente que a> 0 y que el discriminante D del trinomio sea negativo. En nuestro caso tenemos

= r2 -I > o· D = 4(r _1)2 _4~2 -1)='-8(r -1)< O. a

(1)

(2)

Las desigualdades (1) Y (2) se cumplen simultaneamente cuando r > 1. Sefialemos ademas, que si r = 1 el trinomio examinado en el problemaes identicamente igual a I.

(1)

Si x e y tienen distintos signos, entonces, U < 0 y el trinomio (1) es positivo. Si x e y son de signos iguales, entonces, es faeil verque U ~ 2. Puesto que las rakes del trinomio cuadrado (1) son iguales a 1- y 2, para U ~ 2 el trinomio no es negativo. Asi pues, siendo u < 0 y u ~ 2, el trinomio no es negativo y, por 10 tanto, la expresion inicial no es negativa para cualesquiera valores de x e y reales y no iguales a cero.

98. Notemos que x 2 _ x + 1 > 0 para todos los valores de x, puesto que el discriminante del trinomio cuadrado es igual a - 3 < 0 y el cociente de x 2 es positivo; por esta razon, tenemos derecho a multiplicar ambas desigualdades por el denominador. Como resultado obtendremos:

- 3x 2 + 3x - 3 < x 2 + ax - 2, x 2 + ax - 2 < 2x2 - 2x + 2,

134

PROBLEMAS DE MATEMAnCAS ELEMENTALES

o bien

4x 2 + (a - 3)x + 1 > 0,

(2)

x2-(a+2)x+4>0.

Puesto que siempre ~ a 2b 2e 2d 2 ::::: abed (el signa > para el caso cuando sea abad < 0), entonces, confrontando (1) Y (2) llegamos a la demostraci6n de la desigualdad propuesta.

La primera desigualdad es justa para todos los val ores de x solamente cuando el discriminante del trinomio cuadrado es menor 16 < O. Por razon amiloga que cero, es decir, cuando (a - 3 la segunda desigualdad se cumple con la condici6n de que sea

r-

100. El sistema dado es equivalente al siguiente:

x2+(x+a)2+2x~l,

y=x+a.

La desigualdad Resolviendo conj untamente las dos desigualdades (a - 3)2 -16 < 0 y (a + -16 < 0 respecto aa, obtenemos:

2Y

-4
-1
-4
-6 < a<2.

tiene la (mica soluci6n respecto ax solamente cuando el discriminante del trinomio es igual a cero:

y

es decir,

De aqui tenemos definitivamente que - 1 < a < 2.

a 2 -2a-3=0; deaqui

99. En virtud de Ia desigualdad (1) pagina 20 tenemos que

al

a 4 +b 4

:::::

2a 2b 2,

e 4 +d 4

:::::

2e 2d 2.

:::::

2(a 2b 2 +e 2d 2 ).

a2

= - 1.

1)Sia=3,entonces, x2+4x+4=0 y x=-2, y=1. 2)Cuando a=-1, x 2 =0 y x=O, y=-1.

Sumando estas desigualdades obtenemos que

a 4 +b 4 +e 4 +d 4

= 3,

(I)

De acuerdo con la desigualdad (3) pagina 20 haciendo 2 2 ' u = a b y v = e 2d 2 , tenemos que

101. Escribamos el sistemade desigualdades dado en la forma siguiente:

ALGEBRAIResoluciones y Soluciones

v + ~ > IX2

'2

-

2x I

Ii X 2 I

'

y<2- l x-l l · '

2

I

Puesto que siempre I, x - 2x,.:2: Y I x -11.:2: 0, entonces I

1 - - < y<2. 2 Los unicos numeros enteros de y que satisfacen a esta desigualdad son y I. Por consiguiente, el sistema de desigllaldades dado, examinado para los valores enteros de x e y, puede ser conjunto solamente para los valores y == 0 e y == 1. Examinemos ambos casos. Primer caso. si y = 0, el sistema de desigllaldades toma la forma

°

-

2x I< -3, , I x - I,I < 1. I 2

Ala segunda de estas desigualdades la satisface el unico numero entero x = 1, que satisface tambien a la primera. Por consiguiente, en este caso tenemos una soluci6n mas del problema: X3 = I'Y3 = I. As! pues, el sistema de desigualdades se satisface con tres pares de numeros enteros. 102. En la parte izquierda de la desigualdad hay solamente n sumandos y, ademas, los primeros n «1 sumandos son estrictamente mayores que el ultimo. Por eso

1 1 I 1 1 - - + -- + ... + - >n - ==-. n+1 n+2 2n 2n 2 103. Designemos la parte izquierda de la desigualdad a demostrar por Sm' Es facil ver que en este caso

1

A la segunda de estas desigualdades la satisfacen solamente los numeros enteros: 0, 1 Y2. Por sustituci6n es facil convencerse de que y 2 satisfacen tam bien ala primera desigualdad, pero 1 no la satisface. Asi pues, para el caso y = se han hallado dos soluciones:

°

°

XI

==0,

YI==O:

x2==2,

Y7==0.

Segundo caso. Siy= I, el sistema de desigualdades inicial conduce al sistema siguiente:

135

1

1

1

S . -S ==-- - + -- + - - - - - . mTI m 3m+4 3m+3 3m+2 m+1 Reduciendo los quebrados a un comun denominador, hallaremos: 2 Sm+ I-Sm = (3m + 2 )(3m + 3)(3m + 4 »0. Asi pues, Sm+! > Sm' Puesto que

1 1 I S == - + - +- > 1 I 2 3 4 '

136

PROBLEMAS DE MATEMAnCAS ELEMENTALES

Por 10 tanto

Demostremos que

(n -k + l)k 2 n es decir, Sm > 1, 10 que se exigfa demostrar.

(1)

para n 2 k 2 1. En efecto,

nk - k 2 + k - n = k (n - k) - (n - k) = (n - k )(k -1) 2 O. 104. Escribamos una serie de desigualdades evidentes: .

De este modo, ya hemos demostrado que

1 ] 1 ] -<-=--22 ]·2 1 2 ' ]

]

32

2·3

-< -

1

1

n

(n-I)n

1

]

2

3'

n (n.1)2>_n.

=---

1

1

-<---=---2

n-I n'

Sumando estas desigualdades miembro a miembro, obtendremos: 1 1 1 1 n-l 2+2+"'+2<1- - = --, 2 3 n n n 10 que se exigfa demostrar. 105. Escribamos ambas partes de la desigualdad a demostrar en la forma siguiente:

(nl)2 = (l.n)[2 .(n ... l)] ... [k(n ... k + I)] ... (n.]} 11

n"

fadtores

n·n ... n.

'----v---'

n

factores

Notemos que si el numero k es mayor que la unidad y menor que n, en la f6rmula (1), como se deduce de (2), tiene lugaruna desigualdad estricta. Esto, por 10 visto, trae consigo una desigualdad estricta en la f6rmula (3). Para n > 2 este numero k puede ser hallado. Por consiguiente, en este caso, es justa la desigualdad estricta (n!)2 > n". 106. Es facil comprobar que para la construcci6n de un triangulo

con los lados (1, by c, es necesario y suficiente que estos numeros a, b y c satisfagan a las tres desigualdades siguientes:

a,}

a+b -c > a+c-b > 0,

(1)

b+c-a > O. Demostrar que el cumplimiento simultaneo de estas desigualdades es equivalente al cumplimiento de la condici6n puesta en el problema. Admitamos que sea

ALGEBRAIResoluciones y Soluciones

Puesto que q = - p, la expresion anterior se puede escribir enlaforma

K = pa 2 + (I - P)62 _ p(1 _ p};2 + (a 2 _ b2 _ c 2 )p + b2,

Si el triangulo puede ser construido, entonces, las desigualdades (1) se han cumplido y, por consiguiente, D < O. Con esto, en el senti do directo la confirmacion queda demostrada. En el sentido inverso, si D < 0, entonces,

= c 2p2 +

donde a, bye son constantes y p puede tomar cualesquiera valores. As! pues, K representa un trinomio cuadrado con relacion a p. En el caso general, segun sea la magnitud de p, el trinomio K puede tomar valores de diferentes signos. La desigualdad indicada en eI problema es equivalente a que K > 0 para todos los val ores de p. Para esto, como es conocido, es necesario y suficiente que el discriminante del trinomio

(a + b- c )(b + c - a)(c + a - b) > 0.

°

107. Transformemos la parte izquierdade la desigualdad de la manera siguiente: 4 (x + y)(x + z)x (x + y + z) + y2 Z2

2

_b 2

_c

2

r

_4b 2

c= 2

=

=4(x 2 +xy+xz+ YZ){x2 +xy+xz)+ Y"Z2 =

sea negativo (hemos tornado en consideracion que el coeficiente de p2 es igual a c 2 > 0). El discriminante puede ser presentado en la siguiente forma:

(a

(2)

Demostremos que de aqui se desprenden las tres desigualdades (1). En efecto, supongamos que solo uno de los parentesis de la parte izquierda de (2) es positi vo y los dos restantes son negativos, por ejemplo a + b - c < y b + c - a < 0. Sumando estas desigualdades obtenemos que 2b < 0, 10 cual es imposible. De este modo, la confrrmacion queda demostrada en sentido inverso.

(2 b2 D =\a - -c 2)2 -4b 2c 2

D=

137

=4(x 2 +xy+xzy +4yz(x 2 +xy+xz)+ y2 z 2 = =

[2~2 + xy +xz)+ yzy.

La expresion obtenida no es negativa para cualesquierax,yy

z reales, 10 que se exigia demostrar.

= (a 2 _ b2 _ c 2 - 2bc )(a 2 - b2 - c 2 + 2bc)=

= [az _(b+C)2] [az _(b-C)2]= = (a+b +c )(a- b- c )(a+b -c)(a -b +c)= = -(a+b+c )(a +b -c )(b +c -a)(c +a -b).

108. Designando la parte izquierda de la desigualdad 'por z, transformemos z de la siguiente manera: z

= x 2 + 2xy + 3i + 2x + 6 y + 4 = {x + y + 1f + 2(y + If + 1.

138

PROBLEMAS DE MATEMATlCAS ELEMENTALES

Si X e y son reales, los dos prirneros sumandos no son negativos y, por 10 tanto, z ~ 1.

109. Puesto que x = I-;y, entonces, ladesigualdad ademostrar es equivalente a la desigualdad

que se transforma facilmente a la siguiente desigualdad evidente:

100i -40y+4 = (lOy-2)2 ~ O. 110. Yaque d > 0 Y R ~ r > 0, entonces, d 2 R2 - r2 > 0 y

2dr > o.

Por consiguiente, esta desigualdad es equivalente a la desigualdad d 2 + R2 _r2 ~ 2dR. Reduciendola a la forma (d - Rr ~ r2, obtendremos i d - R i ~ r 0 -r ~ d - R ~ r. Porconsiguiente, R- r

~

d

~

R + r.

112. Notemos que la desigualdad dada se reduce a cero cuando b = c, c = a y a = b. Por esta raz6n, por el teorema de Bezout, se divide sin resto por las diferencias a - b, a - c y b - c. Disponiendo los sumandos segun las potencias decrecientes de a y dividiendo entre a - b, obtendremos:

a3(b 2 _c 2 )+ a2(c 3 _b 3 )+b 3c2 _c 3b2 =

=(a - b)[a 2(b 2 _c 2 )+ ac 3 (c -b)+ bc 2(c -b)). Saquemos a continuaci6n de la expresi6n entre corchetes el factor (b - c) y dividamos el polinomio que queda entre a-c. Como resultado obtendremos:

a (b 3

c2

)+ b (c a )+ c (a 3

2 _

2

3

2 _

b2 ) =

=-(b - a)(c -b )(c - a)[ac +bc +ab]. Puesto que por la condici6n a
111. Multiplicando ambas partes de la desigualdad a demostrar por a+b+c, obtendremos una desigualdad equivalente cuya parte izquierda es igual a

2 _

113. Tenemos:

ALGEBRAiResoluciones y Soluciones

139

115. Examinemos tres casos:

dedonde

1 + ak ~ 2;;;;:. Escribiendo estas desiguaidades para k = 1, 2, ... y muitipiicandoias miembro a miembro, obtendremos:

1) x ~ 0; entonces, x 8 - x 5 + x 2

+ 1 > 0, puesto que los cuatro primeros sumandos no son neoativos' I:> , 2) 0
114. Es suficiente examinar el caso cuando a y b son de un mismo signa (es decir, son positivos), puesto que en ei caso contrario uno de estos numeros es mayor que 1 y ia desigualdad es evidente. Tenemos: a 2 + b 2 = (a + b)2 - 2ab

= 1- 2ab,

a 4 +b 4 =(1-2ab)2 _2a 2b 2.

- X

)+ (l-x)= x 8 + x2(I_ x 3)+ (i -x)

Aquf, por 10 visto, todos los sumandos son positivos, por consiguiente, tambien el polinomio sera mayor que cera; 3) x ~ 1; escribamos el polinomio en la forma x 5 (x 3 -

I)+ x(x -1)+ 1.

Los dos primeras sumandos no son negativos; por consiguiente, tambien en este caso

Pero si a + b = I, entonces, 0 ~ ab ~t, puesto que

116. Tenemos:

ab

a+b12 ~ (- I

2)

(1)

4

y el ultimo suman do de la suma entre parentesis es igual ax" si n es par y a nxn~1 si n es impar. Segun la condicion, - 1 < x < I, de

(vease la formula (3) en la pagina20). Por consiguiente,

a4+b4~(1_2.~)2 -2.~=~. 4

16

8

donde se desprende que enteros de k. Por eso,

(~k )x 2k < (~k) para todos los vaiores

140

PROBLEMAS DE MATEMATICAS ELEMENTALES

donde An es el valor del polinomio (1) para x

= ± 1,

es decir,

An=2n.

Es facil ver, que el numerador del quebrado derecho, para < x ::;; 1- no supera a 2 y el denominador es ~ I. Por eso,

°

117. La desigualdad a demostrar es equivalente a la desigualdad x

E2(aj2 + a22 + ... + an2) + 4 (2 xl + x22 + ... + Xn2)+ -

As! pues, la desigualdad propuesta es justa para los valores de

± 4E(Xj a l + X2a2 + ... + Xnan) ~ 0.

x =I-

Y que satisfacen la condicion (1). Siendo x = 0 y x I > 1- la parte izquierda de la desigualdad pierde el sentido.

que es justa; puesto que la parte izquierda es igual a

r

118. La expresion bajo la ra!z cuadrada debeni ser eso,

I 2

1 2

--::;;X::;;-.

°

~

0, por

119. Sea, para mayor certeza, x ~ y. Entonces, haciendo 2:' = a ::;; 1, obtendremos la siguiente igualdad equivalente: x

(1)

Para los valores de x que satisfacen la condiciop (1) y no son iguales acero, ~ 1 _ 4x2 < 1. Por esta razon, si -

2" : ; x < 0,

Elevando ambas partes de (1) a la potencia mn, obtenemos la desigualdad

entonces, la desigualdad indicada en el problema se cumple, puesto que su parte izquierda es negativa.

°

I Si < x ::;; entonces, liberando el numerador de la parte izquierda de la lITacionalidad, obtendremos

2: '

Es facil ver que esta desigualdad es justa, puesto que 0::;; a::;; 1 y n ~ m.

120. Hagamos

I--Jl=~ x

4x2 - (1+ 'h -4x2)x

4x

Xn = ) a + ,fa + ... + -J a ,n radicales

(1)

ALGEBRAiResoluciones y Soluciones

Es facil ver que Xn = ~+ Xn-I (n = 2, 3, ... ), y por consiguiente, x~ = a + Xn-I' Notemos a continuaci6n que Xn

> X n _ 1, puesto que al pasar de n» I an el ultimo radical interior

numerador y denominador de la parte izquierda de la desigualdad inicial son diferentes de cero. Aprovechando a continuaci6n que

Fa se sustituye por un numero mayor ~ a + Fa. En vista de

esto, x~ < a + xn y, por consiguiente, las magnitudes que nos interesan satisfacen la desigualdad

(2) Las raices del trinomio a la izquierda, son iguales a

x

(2) _

1+ -.)1+ 4a ---- .

- -

2 Ya que los numeros x n satisfacen la desigualdad (2), entonces, todos elIos entran en las rakes X(l) y x(2) (vease la pagina 20). Por consiguiente,

xn<

1+-J1+4; 2

(3)

(n=2,3, ... ),

10 que se exigfa demostrar. Para n = 1 tenemos que x1 desigualdad (3) es evidente.

= Fa y la

121. Designemos la expresi6n con k signos radicales por xk :

~2+ ~2+ ... +~2+-J2 =xk' Observemos quexk<2. En efecto, sustituyamos bajo el ultimo signo radical interior 2 por 4. Como resultado, todas las rakes se extraeran sucesivamente y la parte izquierda resultara igual a 2. Por 10 tanto, x k<2. De aquf, en particular, se desprende que el

141

xn

="Ij'2 + xn_l,

transformamos la parte izquierda de la desigualdad inicial, de la manera siguiente:

2-~Xn_l+2 ~xn_l+2-2 2 - xn_1 = (Xn-l + 2)- 4 = {Xn_1 + 2 + 2 - xn + 2' I

Pues t 0 que x n < 2,entonces,

x +2 n

demostrar.

> 41 ' I0 que se eXlgla . ,

122. Como es conocido, para cualesquiera numeros reales ay b tiene lugar ladesigualdad

la. bl:-: ; a

2

+b 2 (vease la f6rmula (l) en la pag. 20). 2

Aprovechando a continuaci6n que el valor absoluto de la suma no es mayor que la suma de los valores absolutos de los sumandos correspondientes,obtenemos:

la lb1 + a2 b2 + ... + anbnl :-: ; ia1bll + la2b2 + ... + lanb n 1

~

af + b]2 ai + bi a~ + b~ ++ .. . + 2 2 2 2

=

aJ

2

2

2

2

=

2

+ a2 + .. . + an + bJ + b2 + ... + bn 2

! :-::;;

1+ 1 < - - 2 - =1 .

142

PROBLEMAS DE MATEMATICAS ELEMENTALES

10 que se exigia demostrar.

4. Ecuaciones logaritmicas y exponenciales, identidades y desigualdades

123. Si n = 1, entonces, Xl = I y, por consiguiente, Xl ~ I, as! que la confirmaci6n es justa. Supongamos que es justa para tOOos los val ores de m, donde 1 ~ m ~ n = 1; demostremos su validez para m = n. Si todos los numeros XI' x 2 ' ••. , xn son iguales a la unidad, entonces la confirmaci6n esjusta. Pero si aunque sea uno de estos numeros supera a la unidad, entonces, en virtud de la iaualdad X IX 2 ... x n = 1 existira otro men or que la unidad. t:> Supongamos que la numeraci6n sea tal, que la suposici6n de la inducci6n y la condici6n

XII

< 1,

XI X2·· .Xn-2(Xn-IXn ) = 1 se desprende que

xl + x2 + ... + xn-2 + Xn-lXn ~ n -1, es decir,

Xl + x2 + ... + xn-2 + xn-lx n + 1 ~ n. Puesto que (xn

-1)(1 - Xn-l) > 0,

entonces,

Xn + xn-l - xnxn-l -1 > y par consiguiente, As! pues,

°

X n-i

< 1. De

124. Como se ve de la ecuaci6n, esta tiene sentido solamente para a> 0, a =F-I y b > 0, b =F- I. Para la resoluci6n de la ecuaci6n empleamos la f6rmula de paso a logaritmos con otra base: b loaa _ Cloga t:>-

(vease la f6rmula(2) en la pag. 24). Aqu! c es una base arbitraria (c > 0, C =F- I). La eleeci6n de la base C en este problema es indiferente, s610 haee falta reducirtodos los logaritmos a una misma base. Se puede, por ejemplo, tomar como base eomun a a, por cuanto a > y a =F- 1. Entonces la ecuaci6n se transforma a la forma

°

-alogxal - - og 22 - 2al ogx al og -1

b

al og 2

o despues de la simplificaci6n

(olog2+2 a logb) alogx =3 a log 2 x. De aqui, la primera soluci6n es: °logx

y la confirmaci6n queda demostrada.

Clogb

= 0,

es decir, x = 1.

La segunda soluci6n es:

° logx = 1(a'Og2 +2 a10gb )=laIOg2b2=alOg~J2b2-.

ALGEBRAIResoluciones y Soluciones

es decir,

143

Deaquf

x

=~2b2.

(1_3 10gx)

125. Pasemos a los logaritmos de base 2: haciendo uso de la

1 2 10gx 210gx-4

(1+ 310 g

x)] = 0

y, por consiguiente,

formula (2), pagina 20 obtenemos:

- I- .

[1-

=

210gx-6·

Esta ecuacion es equivalente ala siguiente:

(3 IogX )1 = I,

xI =3;

(3 10gx)2 = 0,

x2 = I; x3

Deaqui {2\ogX)1 =2, (2 10gx

L 3, =

xI =4,

x2 = 8.

1

= - .

9

128. Pasemos en la ecuacion a los logaritmos de base 2. Sobre la base de la formula (2), pag. 24, tendremos

1_210gx ')

2

2

4

- ::---=---+ -log x+ log X = 1.

126. Potenciando con relacion a la base 2, obtenemos

9x - 1 + 7 = 4(3 x - I + 1). Deaqui Por consiguiente,

(3 x - I ) I - "

- J,

XI =2;

127. Pasemos en la ecuacion a los logaritmos de base 3. Sobre la base de la formula (2), pag. 24, tendremos: 1- 3 10gx 31 2 -1 3 + og X - • 1+ logx

1+210gx

Multiplicando ambas partes de la ecuacion por el denominador, pasamos todos los terminos a la parte izquierda y la descomponemos en factores. Como resultado obtenemos: (210gx-l)(210g4x+2 210g3i+ 210g 2 x+2 210gx+l)=0. Parax> 1, el segundo factor, por 10 visto, es positivo y no se reduce a cera. Igualando el primer factor a cera, establecemos que para X > 1, la ecuacion inicial tiene la (mica raizx = 2 .

144

PROBLEMAS DE MATEMATICAS ELEMENTALES

129. Pasemos en la ecuaci6n a los logaritmos de base a(a > 0 y a 1:- I, en el-caso eontrario, 1a expresi6n .; log2x no tendria sentido). En virtud de la f6rmula (2), pag xxxx, obtenemos

°log2x + °log2x = O. 2 ° log a Fx ° log~ ° log ax

°

xl

Siendo log a = b2 . Para a <

t

1) ° log 2x = 0, x = no satisface a la eeuaci6n inieial (el logaritmo de base 1 del numero a no existe); 2) alogax=alog(a2Fx), x = a 2. Respuesta: x =

lOb laecWlci6n no tiene rakes.

131. Pasando ell la ecuaci~')n a los logaritmos de base a, la reducimos a la fonna Ia

De aqui hallamos:

:! ~2 + 1) se debe tomar solamente la rafz

I

' "

. ' I

.

'

i

I IX

lalog~l _

Ilog;Z;ar 1+i+ V \ 0 logx ) ~

r

I

[

b log [x(210ga-x)]=

2.

=a. Teniendo en cueota que las rakes cuadradas aqui tienen sentido aritmetieo, esta ecuaci6n se puede eseribir asi: "'Iogx + 11·,- !alogx -11= 2a~ alogx .

De aquf, despues de la poteneiaei6n, obtenemos:

x 2 - 210ga· x + b 2 = O. Una vez resuelta estaecuaci6n hallaremos:

xl,2 = loga± ~log2 a-b 2 .

t(b 1)

2+ Para a;;::: lOb y loga 1:ambas ralces son positivas, es decir, diferentes de la unidad y, como es faeil eomprobar, satisfaeen a la eeuaci6n inicial.

J

Despues de 1-; ulteriores transformaciones obtenemos:

«.

130. Empleando la igualdad x log b = ~, transformemos la ecuaci6n inicial en la ecuaci6n equivalent~~ x

1

1- - - =a. a a logx

(1)

Exam incIlIOS ahora dus casos: I) Supongamosque

°logx > 1. Entonces, la igualdad (1) adquiere la forma

'flogx = a~ alogx , de donde

(2)

ALGEBRAlResoluciones y Soluciones

Es facil de ver que la condici6n (2), en este caso, se satisface solamente cuando a> 1. 2) Supongamos que

O
(3)

Entonces, la igualdad (1) toma la forma 2

= 2a~alogx.

Oeaquf

12 - I

l45

-42 = 0.

Sus rakes son: tl = 7 Y'2 = --6. Puesto que t = rx+1 ~ 0, omitimos t 2 • A la raiz II Ie corresponde el valor x = 48. Por comprobaci6n nos convencemos de que este valor satisface a la ecuaci6n inicial. Asi pues, la ecuaci6n tiene la (lllica raiz x = 48.

133. Pasando en la ecuaci6n a los logaritmos de base a, obtenemos:

1+ alog{p-x) = 2alog(p-q)-alog4. a log(x + q) a log(x + q)

Sefialemos que la condici6n (3) se cumple solamente en el caso en que a ~ 1. Puesto que, de antemano, a =F- 1 (de 10 contrario laecuaci6n inicial perderiael sentido), entonces, tambien la segunda raiz existe solamente con la condici6n de que a> 1. Hemos agostado todas las pasibilidades, puesto que los valores de x para los cuales a log x :s; 0, por 10 visto, no pueden satisfacer la ecuaci6n (1). Asi pues, para a > 1 la ecuaci6n examinada tiene dos rafces:

Para 0< a < 1, la ecuaci6n no tiene rakes.

De aquf, despues de la simplificaci6n Y potenciaci6n, obtenemos la ecuaci6n cuadratica

(x + q)(p -x) = !(p _q)2. 4

Las rakes de esta ecuaci6n son:

Es facil de comprobar que ambas rakes satisfacen a la desigualdad

p > xl,2 > -q.

132. Tenemos log(-Jx + I + Suponiendo que sea obtenemos la ecuaci6n

1) = log(x - 40) .

.[;+1 = t,

despues de la potenciaci6n

y, par consiguiente, tambien a la ecuaci6n inicial.

146

PROBLEMAS DE MATEMAnCAS ELEMENTALES

134. Despues de simples transformaciones que emplean la f6rmula de paso de un sistema de logaritmos a otro, reducimos la ecuaci6n dada a la forma de un sistema de logaritmos a otro, reducimos la ecuaci6n dada a la forma -Is 1ogx

I

una vez resuelta la cual hallaremos: (IogX)1 =1,

3

t2

+ t - 2 = 0.

Sus raices son: II = -2, 12 = 1. Ala primera raiz Ie corresponde el valor x = que, como es feici! comprobar, satisface tambien a la ecuaci6n inicial. A la segunda raiz Ie corresponde el valor x = que no satisface a la ecuaci6n inicial.

i

Y 6,25 =

(~)2 ,reducimos la

= 105.

De aqui, despues de simples transformaciones, obtenemos la ecuaci6n ( 4 -x '\ logn log, x -- I=log--. \ 10) 10 Despues de la potenciaci6n tendremos: ")

135. Aprovechando que 0,4 = ecuaci6n inicial a la forma

x2

(4-X)

t

15,

= 5,

log - 1+ \ 10 = (log logn _1)_1_. logx logx

-v5

Haciendo 010gx = t, despuesdelasimplificaci6nyelevaci6n al cuadrado, obtenemos la ecuaci6n

(logx)2

136. Pasando en la ecuaci6n a los logaritmos de base 10, obtenemos:

I '- 10gx +3 = --16.

I,

xl =10;

= 0,

X4 -

4x + logn

xl,2

= ±--J4 -Iogn.

de donde,

I~--

Ahora, un examen no complicado conduce a los siguientes resultados. a) Si 0< n < 10 4 y n"* 10 2 , entonces la ecuaci6n tiene dos rakes diferentes: Igualando los exponentes, obtenemos la ecuaci6n log2

X-

610gx + 5 = 0,

ALGEBRAIResoluciones y Soluciones

147

b) si n = 10 3 , entonces, se tiene una sola raiz x = 3 (prescindimos dex = 1); para n -10 4 , obtenemos tambien una sola raizx = 2. c) Si porfin 11> 104 , laecuaci6n notiene ralces.

Es facil de ver que toda esta infinita serie de valores de x satisface a la ecuaci6n inicial.

137. Pasemos en la ecuaci6n a los logaritmos de base 2. Como resultado obtendremos la ecuaci6n

x+y=---. x-y

138. De la segunda ecuaci6n hallamos: 2

2 10g a

+ 1=

?

-Iogsen x 2 2 10gsen x

°'

Colocando esta expresi6n de x + yen la primera ecuaci6n, obtendremos:

o bien

Deaquf

2

2

log sen x

2 10g

a

=- - - -

2 Puesto que la magnitud a la izquierda es estrictamente positiva (sen X::F I, de 10 contrario el simbolo sen x log 2 perderia el senti do), entonces, 210g a < y, por consiguiente, para a > 1, la ecuaci6n no tiene rafces. Admitiendo que sea < a < 1, obtenemos:

°

2

logsen x

I

,

210ga

= :t,/i- ~

-

2

- .

10ga

sen x

Pasando a los logaritmos de base 3, transformemos la ultima ecuaci6n a la forma

°

Puesto que 210g sen x < 0, prescindimos del signa mas delante del radical. Entonces I 2

= 2-'J -~

Puesto que 210g3+1::FO,de aquf 31og(x-y)=O x- y

= 1.

Junto con la ecuaci6n (1) esto da el sistema

= 2,1 y = I.]

x+y x-

Resolviendo estas ecuaciones, obtenemos:

y X

= ( - 1)

(I)

k

_J~2Ioga

'arc sen 2 v

2 + nk

3

(k = 0, ± 1, ... ) .

X= -

2'

I

y= -- . 2

y

148

PROBLEMAS DEMATEMAnCAS ELEMENTALES

Por comprobaci6n nos convencemos de que el par de numeros hallado es la soluci6n del sistema inicial

139. Mediante la logaritmaci6n de la primera ecuaci6n respecto a la base c, tendremos: a Clogx

= b Clogy.

(1)

Realizando la potenciaci6n de la primera ecuaci6n, obtenemos = 5 7 , de donde (2)

x . 5Y

Colocando el valor dex de la ecuaci6n (2) en la segunda ecuaci6n del sistema (1), obtenemos laecuaci6n 512+y2 _ 2y = 1, que tiene las rakes

YI ;:::: 4,

De la segunda ecuaci6n haHamos: Clogx-Clogy

Clogx

Y2;:::: 3.

Como resultado obtenemos dos soluciones:

=--. Cl ogy

Colocando aqui Clog y de la ecuaci6n (1), obtendremos: Cl

a C

ogx-t;

logx

b = -;;'

.

bIen

0

cl ogx

I-it b

141. Efectuando la logaritmaci6n de la primera ecuaci6n con relaci6n a la base y, obtenemos la siguiente ecuaci6n cuadnltica respecto a Y logx:

b a

= _

Por potenciaci6n obtenemos: h2

o bien

que tiene las rakes

x = co(b-a).

Yl ogx

Ahora, de la primera ecuaci6n del sistema hallamos: _b_

!!

Si Y log x

y=x b =c b - a . 140. Haciendo uso de la identidad logaritmica a 0 escribamos el sistema en la forma siguiente: 6 10gx + y

xY

10gb

.1

1 2

Ylogx = - .

= 2 , entonces:

= b,

= 7,l

= 5 12

= 2,

(I)

(1) En virtud de la identidad ecuaci6n obtendremos:

a log b

= ~II ,de la segunda oga

Ylog(y -3x )=Ylog4,

ALGEBRAIResoluciones y Soluciones

cuyas rakes son:

dedonde

y-3x = 4.

(2)

Junto con (l), la ecuaci6n obtenida nos da la siguiente ecuaci6n cuadnitica para la determinaci6n de y:

3i-y+4=0. Esta ecuaci6n no tiene rakes reales. Si Y log x =

t, entonces

Y

x2 = 1.

YI=b loga;

x2 = 1,

xI=Glogb La respuesta definitiva es: xI=Glogb,

x

149

Y2 = 1.

143. Pasemos en la primera ecuaci6n a los logaritmos de base x; entonces la ecuaci6n toma la forma

= -JY

e y =x 2. En este caso, en virtud de (2), obtenemos la ecuaci6n

3

(XlOgy+~1 ~J = 10. Xlogy

x 2 -3x-4 = O. Respuesta: x = 4, YY = 16.

142. Realizando la logaritmaci6n de la primera ecuaci6n respecto a la base a, hallaremos:

Pasemos en la segunda ecuaci6n a los logaritmos de base a. Entonces Glogy Glogb 2GI 2 GIogx=--=ogy. Glogb Glog~ De aqui x = ~. Colocando y = ~ en (1), obtenemos la ecuaci6n

Haciendo aqui x log y = t, obtenemos la ecuaci6n

3t 2 - lOt + 3 = 0,

t·

cuyas ralces son: tl = 3 Y t2 = En el primer caso x log y = 3, y = x 3 y, en virtud de la segunda ecuaci6n del sistema inicial, x4 = 81. Puesto que x > 0 e y > 0, en este caso obtenemos una sola soluci6n: xI =3,

YI =27.

Suponiendo a continuaci6n x log y =

mas:

x2=27,

t, hallamos una solucion

Y2=3.

144. Pasemos en cada una de las ecuaciones del sistema a los logaritmos de base 2. Como resultado obtendremos el sistema

150

PROBLEMAS DE MATEMAnCAS ELEMENTALES

1.

(2)

x = y2. (1)

Empleando (2), de la primera ecuacion hallaremos que y = V4. Por consiguiente, 3

x=25, Puesto que x 1=1 (de 10 contrario el primer miembro de la primera ecuacion del sistema inicial no tendria senti do) 2 10 g x 1= 0 Y el sistema (1) se puede escribir en la forma 210gx+ 210gy=210g 12,1

146. Transformemos el sistema, pasando en la primera ecuac ion a los logaritmos de base 2, en la segunda, a los de base 3 y en fa tercenl, a los de base 4. Como resultado obtendremos: 2

210g{x + y) = 3.J

x +Y

4

= 8,

dedonde XI = 6,

YI = 2;

x2 = 2,

Y2 = 6.

x 210gy = Y-JY(1-2 10gx

=3

}1

210gy.j

2

2

14

14

4

\ogz+- logx+- logy= logl6.J 2 2

Despues de la potenciacion, obtenemos el sistema

145. Pasando en cada una de las ecuaciones del sistema a los logaritmos de base 2, obtendremos:

2 2\ogx

"1 12 12 2 logx+- logy+ - logz= log4, I 221

~ 13 13 3 I .Jlogy+_ logz +- logx= log9, r'

Despues de la potenciacion, obtenemos:

xy = 12,

2

y=25.

x~

=4,l

y-Jxz =9,

(1)

De la segunda ecuacion del sistema (1) hallamos Xl = y, de donde

,-- J zjry = 16.

(1)

Multiplicando las ecuaciones del sistema (I) miembro a miembro hallaremos:

ALGEBRAIResoluciones y Soluciones

Puesto que x > 0, y > 0, Z > 0, entonces,

151

148. Dividiendo ambos miembros de la ecuaci6n entre 4\ hallaremos:

xyz = 24.

(2)

Elevando la primera ecuaci6n del sistema (1) al cuadrado y empleando (2), obtendremos: 16 2

1

(3\x -l-(3JX . = - 13 - -. 4 13 \4) 2 1

I

1

Deaquf

X= - = - . 24 3

Amllogamente hallamos que y

= 21;

Yz

= 332 . Por compro-

y, por consiguiente,

baci6n nos convencemos de que los tres numeros hallados son la soluci6n del sistema.

147. Pasando en la primera ecuaci6n a los logaritmos de base 2 y realizando a continuaci6n la potenciaci6n, obtendremos:

i

(1)

-xy=4.

3 X=-. 2

149. Colocando el valor de y de la segunda ecuaci6n en la primera., obtendremos:

De aquf, 0 x = 1,0 bien

1 2 x+ -- =-2x+2 x x2

La ecuaci6n (1), junto con la segunda ecuaci6n del sistema inicial, da el sistema

x2 +

i

i

y, por consiguiente,

= 25,1

-xy =

4.]

1

X=

(2)

VS.

Respuesta: Este sistema tiene dos soluciones que satisfacen a las condicionesy> x,y > 0, a saber:

1

Yl -

-i2'

Y2

= 4.

xl

=Yl =1 ,

150. Haciendo aX forma siguiente:

=u

y aY

= v, escribimos el sistema en la

152

PROBLEMAS DE MATEMATICAS ELEMENTALES

u1 + V 1 = 2b,}

Ul=

vl

De estas dos ecuaciones se desprende:

(u + vf = 2(b + c) , (u - vf = 2(b - c) . Puestoque los valores buscados de U y v deben ser positivos, la primera ecuaci6n se reduce la ecuaci6n

(1) La segunda ecuaci6n demuestra que la solubilidad del sistema requiere, ademas de que sean positivos los numeros by c, el cumplimiento de la desigualdad (2)

b? c.

-fi{-Jb+c--Jb-c), 2

UV=C.

= -fi (-Jb + c + -Jb - c). 2

Hemos hallado dos soluciones del sistema (1), ademas, al cumplir la condicion (2) todos los valores de las incognitas, por 10 visto, son positivos. Las dos soluciones correspondientes al sistema inicial son: xl=Glogu1 ,

Yl=Gl ogv1 ;

x2=Glogu1 ,

Y2=Glogv2'

Ahora podemos confmnar que para que el sistema sea soluble es necesario y suficiente que b > 0, c > 0 y b? c. Al cumplir estas condiciones el sistema tiene dos soluciones. 151. Multiplicando ambas ecuaciones entre sf, obtendremos:

Al mismo tiempo, U -

v = ±-J2(b -

c).

(3)

Resolviendo conjuntamente las ecuaciones (1) Y(2), en el caso del signa mas, obtendremos:

De aqui, en virtud de que x e Y son positivos, se desprende que 0 bien xy = 1,0 xY -:F1, yentonces

x+ y=2n. Ul

= -fi (J b+ c + -J b - c ), 2

vl=

-fi(-Jb+c--Jb-c). 2

En el caso del signa menos, obtenemos:

(I)

Examinemos al principio el segundo caso. La primera ecuacion del sistema inicial toma la forma.x2 n)l', de donde (2)

ALGEsRAi'Resoluciones y Soluciones

Colocando este valor de yen la ecuaci6n (1), obtenemos que

y por consiguiente, en virtud de la primera ecuaci6n

x 2 +x-2n = o.

324

x- y

(3)

El valor correspondiente dey 10 hallamos haciendo uso de (2):

=! (J8n + 1 -

= 2 x - y ·81.

Deaqui 22 = 2x - y , esdecir,

Esta ecuaci6n tiene la unica raa positiva

f

1 (4) 4 En el segundo caso, cuando xy = 1, y = -;-, y la primera ecuaci6n del sistema inicial adquiere la forma Yl

X-

y

3x + y

=2}

De la segunda ecuaci6n hallamos: 324

= 2x - Y (3x+ y)2(X- Y ),

(1)

= 3~

X- y

(2)

3x + y

=2}

= -3~

(3)

Soluci6n del sistema (2): 5

En virtud de que x y n son positivos, esta igualdad puede ser valida solamente en el caso en quex = 1. De este modo hallam os una soluci6n mas: X z = 1'Yz = 1.

= 2.

Resolviendo la ecuaci6n (1 )juntocon la primera ecuaci6n del sistema inicial, obtenemos dos sistemas:

xl

152. Transformamos el sistema a la forma

153

=4'

3

y\ =- - .

4

Soluci6n del sistema (3):

Y2

9

= --. 4

Por comprobaci6n nos convencemos de que los dos pares de numeros satisfacen al sistema inicial. 153. Hagamos ;; = u. Si u = 1, es decir, p = q, entonces, cualquier par de numeros iguales y positivos satisfacen al sistema. Por esta raz6n, consideraremos que U:l: 1. De la segunda ecuaci6n obtenemos que x = yX. Realizando la logaritmaci6n de la primera ecuaci6n y empleando esta igualdad, tendremos:

154

PROBLEMAS DE MATEMAnCAS ELEMENTALES

y log y

(a - yX-I)= 0.

2=Glog(c -b )+Glog(c + b). Deaqui,

Puesto que y > 0, entonces, 0 bien logy =0,0 bien a = yX-I. En el primer caso obtenemos que x] = 1, y] = 1. En el segundo caso,obtendremos: x2

-.!L

= a a-I,

-.L

2=

1

+ - :---c+b log a

c-b log a

y, por consiguiente,

Y2 = a a-I.

Ambos pares de numeros satisfacen tambien al sistema inicial. 154. Efectuando la logaritmacion de am bas ecuaciones, obtendremos el sistema

1 ·obtendremos f:kil156. Utilizando Ja fonnula nlogm = -;;--1 ogn mente que

ylogx = xJogy,l

I· , . I de I que determmamos a re actOn guiente. x=ay.

b2 - k toga =

(1)

xlogp = yJogq.J log q yx = logp =a;

por conSl-

I

n (' . b·-I

toga

toga-a l ' 10gb )20) =

k=O

(2)

2kb

I

11

k=O

(

2kb

1)

toga-kGtogb 2

2

Si p = q, el sistema tiene un numero infmito de soJuciones del tipo x = y =a, donde a es cualquier valor mayor que cero. Si p -j; q, entonces colocando el valor de x de la formula (2) en Ja primera ecuaci6n del sistema (1 ), hallaremos: -.!L

x=aa-I,

_ 1_

y=aa -l

Por consiguiente, para la condici6n p unasoluci6n.

-j;

q el sistema tiene

155. Realizando la logaritmaci6n de las dos partes de la igualdad a2=c2 "b 2 ,obtenemos:

-

- _.._ - -

n

*) EI sfmbolo

I

ak significa la suma ao + at + a2 + ... + ank=O

ALGEBRA/Rcsoluciones y Soluciones

De aqui se desprende que

157. b

a

155

10ga loga b =(a"IOgb) blog h loga =bb log h loga

log

,vI

b

= bloga .

158. Tenemos que _

C -

a}a2 ... an

_ -

a aq ... ~aq .

n-l ) _

n{n-l)

n

- a q

-2-

.

b

og~=

ci

b _ alog~ _ A og - b ( I) . loge n+ n ~- al ogq

Pero

Por eso,

0

loge N log a

__ 1 _ __ 1_ N

=

loga 1

N

NI

1-

NJogb NJogc

b

=

N

log fb

Asi pues b es el valor medio proporcional entre a y c. ReaIizando a continuacion la logaritmacion de la igualdad (2) respecto a cualquier base Ny efectuando los computos en orden inverso, conc1uiremos la demostracion de la afirmacion propuesta.

Pasando aqui a los logaritmos de base N, obtendremos:

NI oga+ N logb+ N logc= N logabe.

,

_ oga. "Iogc

logb

b

I 1 I 1 + + =--alogN b logN clogN abclogN'

2AB 2nB + n(n -I)A'

159. Utilizando la igualdad a 10gb = ~I} ,transformemos la o"a fonnula dada de la manera siguiente: N

(1)

160. Se debe considerar N 1= I, de 10 contrario, el quebrado en la parte derecha de la identidad se hace indetenninado. Dividiendo la identidad a demostrar entre a log N blog N Clog N la sustituimos por la siguiente identidad equivalente:

a logq = b logq = alogb = A b loga qlogb B Cl og b =

C

ogt;'

puesto que el factor : :OgC 1= O. Realizando la potenciacion de la igualdad (1) obtenem~gs~ b C (2)

a

Empleando la formula de pasode un sistema de logaritmos a otro, obtenemos:

NI

N

Jog a .

Puesto que es evidente que la ultima identidad tiene lugar, el problema queda resuelto.

156

PROBLEMAS DE MATEMAnCAS ELEMENTALES

161. Tenemos: Gl ogx

1

0<

--

X

< r210g2.

Gblogx

163. Ya que x > 0, la desigualdad dada es equivalente a la desigualdad

10 que se exigia demostrar. 'd 'd I .. b Cloga 162. Emp Ieand 0 Ia 1 entI ad ogantmlca loga = Clo b' transformemos la parte izquierda de la desigualdad dada ~e la manera siguiente:

Pero a> 1, por eso, realizando la logaritmaci6n de la ultima desigualdad respecto a la base a (esta operaci6n conduce tambien a una desigualdad equivalente), obtendremos: Glog2 x> 2. De aqui hallaremos defmitivamente: o bien G log x > .f2, y, por consiguiente, x > a J2 ; o bien G log x < -.f2 yentonces < x < a --Ii .

°

Entonces, la desigualdad dad1!- adquiere la forma:

164. Por el senti do del problema x > 0, por eso, la desigualdad dada es equivalente a la desigualdad

_ :IOgx > 1. 210g2

t

Pu~sto que 2 > 1 y > 1 Y por la propiedad de los logaritmos ~ log 2 > 0, entonces, la desigualdad anterior es equivalente a la desigualdad

De aqui, observando ademas que por el sentido del problema

x> 0, obtendremos definitivamente:

Glogx(x+l)< Glog (2x+6). Puesto que a> 1, entonces x (x + 1) < 2x + 6,

0

bien

x 2 -x-6 < 0. Resolviendo esta desigualdad cuadnitica con la condici6n de que x > 0, obtenemos que

l)
ALGEBRAIResoluciones y Soluciones

157

165. La desigualdad dada es equivalente a la siguiente:

o< x 2 -

5x + 6 < 1.

Puesto que x 2 - 5x + 6 = (x - 2 ){x - 3), la desigualdad 0< x 2 - 5x + 6 esjusta para

Puesto que el numerador de la ultima expresi6n es positiva 2 2 2 efecto, 1+ log x- log x

2

1

3

1

=( log x) -"2 2 +"4'

x<2

[ en

x>3.

desigualdad se reduce a 10 siguiente:

la

y Resolviendo a continuaci6n la desigualdad x 2 hallamos que se cumple cuando

-

5x + 6 < I,

2

Esta ultima desigualdad se cumple siendo x > 2 y siendo

2

--

5-

-J5

5 + -J5

,.,

Puesto que -J 5 > 2, entonces - -- < 2 Y - -- > -'. Por eso, la desigualdad inicial tiene IJgar cuando 2

5--15 ---
y

O.

O
5--15 5+-J5 -
-

210gx (2Iogx-I»

5+-J5 3
167. Por el sentido del problema x > 0 y, por 10 tanto, la desigualdad dada es equivalente a la desigualdad "2 x3-~log

2

x - 2 logx

> I.

Realicem_os la logaritmaci6n de esta desigualdad respecto a la base 2 y hagamos y=2 10g x; obtendremos una desigualdad equivalente

166. Reduciendo la parte izquierda a un comun denominador hallamos que que, despues de descomponerel trinomio cuadnitico en factores, se puede escribir en la forma

y, por consiguiente,

y (1 - y)(3 + y) > O.

158

PROBLEMAS DE MATEMATICAS ELEMENTALES

Esta desigllaldad puede ser cumplida cuando, y s610 cuando, o bien los tres factores son positivos, 0 bien uno de ellos es positivo y los otros dos son negativos. En el primer caso, es decir, cuando y > 0, 1- y > 0, 3 + y > 0, hallamos que

°

< y < 1 y, por consiguiente, 1 < x < 2.

(1)

EI segundo caso se divide en tres subcasos, con la particularidad de que se obtiene un sistema de desigualdades no contradictorio solamente en uno de los subcasos, cuando

y < 0,

1 - Y > 0,

EI numero

eso, si z> 0, entonces, la desigualdad Z ~ -2 cos a puede ser cumplida solamente en el caso en que z = 2 (y = 1) y cos a = -1, es decir, si en la desigualdad in icial x = 2 Y a = (2k + l)n (k = 0, ± 1, ±2, ... ). Para estos valores tiene lugar el signo de igualdad. Pero si z < 0, es decir,y < 0, entonces z ~ -2 Y la desigualdad (I) se cumple para todos los val ores de a, de donde se desprende que la desigualdad inicial se cumple, ademas de los casos de los valores hallados, siendo
°

0<410g(~2 -

De aqu! y < -3 y, por 10 tanto,

°

= Y + ~ tiene el mismo signo que el numero y y

169. La desigualdad inicial es equivalente a la siguiente:

3 + Y < 0.

1 < x <-. 8

Z

!z! ~ 2 para todos los valores de y (vease (2), pag. 20). Por

(2)

As! pues, la desigualdad inicial tiene lugar cuando, y s610 cuando, 0 bien I < x < -. 8 obien

°

5)< 1.

I De donde 1 < x-? - 5 < 4 0 6 < x-? < 9 0 \/6 < IiXiI < 3.

Respuesta:

-16 < x < 3

y - 3
--16.

5. Combinatoria y binomio de Newton

1 < x < 2. 168. Haciendo 2 10gx = y y notando que x log2 = escribamos la desigllaldad dada en la forma 1 y+ -- + 2cosa ~ O.

Y

21~g; =~,

170. Escribiendo por separado las relaciones entre el primer miembro de la proporci6n y el segundo y entre el segundo y el tercero, despues de las simplificaciones correspondientes, obtendremos:

ALGEBRA/Rcsoluciones y Soluciones

159

Eseribiendo esta misma suma en forma del polinomio

(n + 1)! . (n + I)! _ n - m+ 1 (m + I)! (n - m)!' m! (n - m+ I)! - m + 1

(n + 1) ! . (n + I)! n - m+ 2 m! (n - m+ I)! . (m -I)! (n - m + 2)! m

y abriendo los parente sis en el segundo miembro de la igualdad (1), obtendremos: si m < k, entonces

En virtud de la eondiei6n del problema obtenemos dos eeuaelOnes: ~--=- m + 1 = 1 m+I '

n- m+2 m

5 3 Resolviendolas coqjuntamente obtendremos que m = 3, n = 6.

Si m 2 k, entonces an'

n+

I) .

= ( m+1

173. De la eondiei6n del problema se desprende:

171. Tenemos:

(I +X2 _x 3y= 1+(; )(x 2_x 3)+(~)(X2 _X 3)2 + + (;)(X2 _x 3Y+(~)(X2 _X 3)4 + + (~)(X2 _ X3)5 + ... + (x 2- x3

r

Una vez resuelta esta eeuaci6n respecto an haJJaremos que n=I1.

Examinando los sumandos del segundo miembro, es faeil ver que.0 figura solamente en el euarto y quinto terminos. Utilizando esto haJJamos faeilmente el coefieiente de X8. El es igual a

3(~)+ (~).

El termino COmlll1 del desarrollo ,- 1 ( X--JX

+;4

,II

j

Se puede eseribir en la forma

172. Los sumandos de la suma dada forman una progresi6n con el denominador 1+x. Por eso

(l+xy+l-(l+x)k -

~--

x

- ~~

i

Por la eondici6n del problema (11 - m) - 4m = 0, de donde m = 3. Por consiguiente, el termino buseado es igual a C/ 11).

(l+x)k +(l+X)k+l +... +(l+xY = -

Cm(II)x%(i l-m)-4m.

(1)

160

PROBLEMAS DE MATEMATlCAS ELEMENTALES

174. Hagamos x + ~ = u, entonces

(l+x+~6 J

10

=(l+u)

\0

10

10

2

10

10

=1+C )u+C)u +···+Co)u ,

k

X+~6 )

k

k

=X

k k-2 k k-25 +C~ .6+···+C~ ·6

5

6

64,64> k > 63, 135.

k

+·'·+7·(1)

Para el sumando que no contienex en laexpresi6n (1) debe satisfacerse la condici6n k - 2s = 0; por consiguiente, este sumando sera igual a Cs (2s). 6 s . Reuniendotodos los tenninos semejantes hallaremos que el sumando que no contiene x en la expresi6n inicial sera igual a

0). (~). 64+ 1+ (I~). (? ).6 + (If)· (i)· 6 2+ (I~). (~). 63+ (18 +

desigualdad (1). Captando que 1,72 < .fj < 1, 73, mediante el calculo directo establecemos que

donde

u =(

Las partes izquierda y derecha de la desigualdad (1) son numeros no enteros y la diferencia entre ellas es igual a la unidad. Por eso, existe solamente un numero entero k que satisface la

Por consiguiente, k= 64.

176. El termino com un del desarrollo es Tk+l =Ck(n)cl. Si Tk = Tk+l' entonces Ck_l(n)a k 0 bien n!ak - 1

n!a k

(k-l)!(n-k+i)! - k!(n-k)!'

de don de

(lg). (ISO ).65.

k= n+l

1+1-· a

175. Las desigualdades Tk+1 > Tk Y Tk+l > Tk+2' despuesde las simplificaciones correspondientes, toman las fonnas 1 .fj .fj 1 - - - > - -. - > -- k 101-k' 100 -k k + I Una vezresuelta cada unade estas desigualdades con relaci6n ak,obtendremos: 101.fj k .1 00.fj-l - - > >-~-(1) .J3 + 1 .fj + 1

+.;

Obtenemos la condici6n buscada: 1 debe ser el divisor del numero n + 1. Si ahora Tk = Tk+1 = Tk+2' entonces, esto es equivalente a las igualdades

a obien

(n-k+l)(n-k) -

= k{n-k) ="k(k+l)

k

---==a

n-k+l

'

k+ 1 -==a n-k '

-

ALGEBRA/Resoluciones y Soluciones

10 que conduce a la condici6n n + 1 = 0, que es imposible de cumplir.

yes equivalente a la igualdad

n+l(n) n+l(n) n+l(n) 1+ (n+1 )+-I +-- 2 + ... + - - k + ... + 2

177. En el desarrolloentranin: n terminos tipo

x~{i=I,2, ... ,n),n(n-l) terminos del tipo xjxii,j= 1,2, ... , n, i"* j) yporfm C3 (n) terminosdel tipo XiXjXb donde i,j y k son numeros diferentes. Asf pues, el numero de terminos diferentes no semejantes entre sf es igua\ a

161

3

k+l

n) + 1 = 2n+ I . + n + 1(n-I n

Puesto que

n+l(n)_n+l n! _ (n+l)! _(n+l) k+l k - k+lk!{n-k)!-(k+l)!(n-k)!- h I '

n+n(n-I)+ n(n-I)(n-2) = n(n+ 1)(n+2). 6

6

178. Los divisores del numero q son, por 10 visto, los numeros PI, P2'·· ., P k Ytodos los productos posibles por 2, por 3, etc.

La cantidad de tales divisores es igual a

EI hecho de que todos los divisores obtenidos no son iguales entre sf y que no existen otros divisores se desprende la unicidad de la representaci6n de un numero en forma del producto de numeros simples.

el primer miembro de la ultima igualdad es igual a

1+ (ntl)+ (n;I)+ ... + (k~i)+ ... + (n~I)+ 1 = {I + l)n+1

= 2n+l,

con 10 cual el problema queda resuelto. 180. El termino comun del primer miembro de la igualdad puede ser transformado de la manera siguiente:

179. La igualdad a demostrartiene la forma

Por eso, el primer miembro de la igualdad puede ser presentado en la forma siguiente:

162

nx

PROBLEMAS DE MATEMATICAS ELEMENTALES

l(n01 Xl-xt- + (nj-l )x(l_x)n-Z + ... + (~=l)xn-l J= 1

=nx[x+l-X]n-l =nx.

=(2n -1)(2n -3) ... 3·1. 181. Toda division de la baraja, sefialada en la condicion, es equivalente a sacar 16 no ases de entre 32 no ases y dos ases de entre cuatro ases. La primera extraccion puede realizarse por C I6 (32) metodos y la segunda por C/4). Puesto que la sacada de 16 no ases puede ser combil1ada con cualquier sacada de dos ases, entonces, el numero total de metodos de la division indicada de la baraja es igual a C1i32) Cz( 4). 182. La cantidad buscada de nltmeros es igual a la cantidad de variaciones que se pueden formar de 10 cifras en series de 5, es decires igual a 10·9·8·7·6 = 30240.

183. Enumeremos ciertos n sitios y formemos la division lIenando sucesivamente cada uno de los sitios indicados con un par de elementos. AI primer sitio el par puede ser elegido por C2(2n) metodos; una vez elegido el primer par, el segundo puede ser elegido por C2 (2n-2) metodos, el tercero por C2 (2n-4) etc. Como resultado obtendremos C/2n) C2 (2n - 2) Cz (2n - 4) ... C z(2) divisiones entre las cuales, sin embargo, figuranin todas las divisiones que difieren por el orden de disposicion de los pares. Por consiguiente, la cantidad de divisiones que nos interesan sera iguala

En fonna reducida esta multiplicacion a veces se de nota con el sfmbolo (2n -1)!! Se puede obtener el mismo resultado razonando de distinta manera. Designemos por kn el numero de divisiones para el caso cuando la cantidad de elementos es igual a 2n. Examinemos 2n elementos. Por cuanto el orden de disposicion de los pares no tiene importancia, se puede considerar como primer par a aquel en el que figura el primer elemento. Los pares que contienen el primer elemento pueden ser formados por 2n -1 metodos. Una vez elegido el primer par, los 2 (n -1) elementos restantes pueden ser divididos en pares por k n _ , metodos. Por eso, kn = (2n -1 )kn _ l • Con ayuda de esta relacion es faeil hallar que

kn = (2n - 1}(2n - 3) ... 5.3.1. 184. De la cantidad total de 11 ! pennutaciones debemos substraer aquellas en las que los elementos a y b son vecinos. Para formar tal permutacion es neeesario tomar eierta permutaeion con los n-2 elementos restantes (en total son (n-2)!) y unirla a la pennutaeion elegida con los elementos ay b de modo que resulten uno al lado del otro. Esto, por 10 visto, se puede haeer por 2 (n - 1) metodos (el factor 2 esta relaeionado aquf con que a y b pueden ser eambiados de sitio). Asf pues el numero de permutaciones en

ALGEBRAIResoluciones y Soluciones

las que ay b son vecinos es igual a 2(n - 2)! (n -1) y el numero de permutaciones que nos interesa es igual a

n!-2(n - I)!= (n -1)!(n - 2). 185. Si entre los 5 billetes sacados resultaronjusto dos billetes premiados, entonces los otros tres seran no premiados. De 8 billetes premiados dos se pueden elegir por C/8) metodos, de 50 - 8 = 42 billetes no premiados tres se pueden elegir porC(42) .' metodos. Cada metoda de elecci6n de dos billetes premiados puede combinarse can cualquierade los metodos de elecci6n de tres no premiados. Por eso, el numero total de metodos es igual a

(~) . (j2)= 8 · 7. 42 · 41 · 40 =326240. 1·2 1· 2·3 La cantidad de metodos de elecci6n de 5 billetes entre los cuales por 10 menos dos seran premiados es igual a la sum a de las cantidades de metodos por los cuales se sacanjusto dos premiados, justo tres premiados:justo cuatro premiados y justo cinco billetes premiados. Por consiguiente, esta cantidad es igual a

186. Primera resoluci6n. Supongamos que en la recta superior se encuentran n puntos y en la inferior m puntos (fig.1). Dividamos todos los segmentos de uni6n en haces de segmentos, con la particularidad de que en uno de los haces reunimos todos los segmentos que unen el punto n puntas fijado de la recta inferior (por ejemplo, el A) con todos los ~~::::;;;:;=~A~=:::=~ puntos de la recta superior. Esta claro que la cantidad de tales haces es igual amy que la cantidad de puntos de intersecci6n de los segmentos v pertenecientes a cualesquiera m puntas dos haces es la misma para Fig 1 cualquier par de haces. Si designamos esta cantidad por kn' entonces la cantidad total de puntos de intersecci6n de todos los segll1entos sera igual al producto de kn por la cantidad de cOll1binaciones de los haces en series de dos, es decir,

__

k n C 2 (m) = k n 8·7 42 ·41· 40 8·7·6 42·41 = - - . - - - - + -- . - - + 1·2 1·2·3 1·2·3 1·2 8·7·6·5 42 8·7·6·5·4 + - - - -.-+ = 1·2·3·4 1 1·2·3·4 ·5 =326240 +48216 + 2940+ 56 =377 452.

163

m(m-l)

2

.

Para calcular el numero kn dividamos todos los segmentos que unen los n puntos de la recta superior con los dos puntosA y B de la recta inferior en haces de segmentos, reuniendo en un haz dos segll1entos que unen el punto fijado de la recta superior (por ejell1plo, el C) con los puntas A y B. EI numero de tales haces es igual any el nUll1ero de puntos de intersecci6n de los segmentos

164

PROBLEMAS DE MATEMATICAS ELEMENTALES

pertenecientes ados haces es igual a la unidad (punto de intersecci6n de las diagonales del trapecio ABCD). Por eso

kn = C2 (n) = n(n -1) . 2 Por consiguiente, el numero total de puntos de intersecci6n de todos los segmentos que unen los n puntos de la recta superior con los m puntos de la recta inferior es igual a

n{n -1) 111{m -1) 2

2

Segunda resoluci6n. Cada punto de intersecci6n de los segmentos puede ser obtenido eligiendo dos puntos en la primera recta, cosa que se puede hacer por Cim) procedimientos, y dos puntos en la segunda recta, 10 que se puede hacer por C2(n) procedimientos. Combinando tados los pares posibles de puntos, obtendremos C 2 () m . C 2 () n =

m(m-l)n{n-I) 4

puntos de intersecci6n.

187. Cada paralelogramo se determina con la elecci6n de dos rectas de la primera serie, 10 que se puede hacer por C/n) procedimientos y con dos rectas de la segunda serie, cosa que se puede realizar por C/m) procedimientos. De este modo, el numero total de paralelogramos es igual a

188. Puesto que en el alfabeto dado a cualquier signa por separado (punto 0 raya) y a cualquier par de signos Ie corresponde cierta letra, el numero de procedimientos por los que se puede leer la cadena continua de x signos no depende de la construcci6n con creta de esta cadena yes igual al numero de todas las divisiones posibles que forman la cadena de signos en grupos de uno 0 dos signos vecinos. Designemos este numero por Pn . Distribuyamos todos los metodos posibles en que se puede leer la cadena dada compuesta de n signos en dos categorias. A la primera categoria referimos los metodos en los que el primer signa de la cadena se lee como una letra independiente. EI numero de metodos de la primera categorfa es igual al numero de metodos en que se puede leer la cadena compuesta de n - 1 signos (que quedan despues de eliminar el primero), es decir, igual a Pn-I. A la segunda categoria referiremos los metodos en que los dos primeros signos se leen como una sola letra. Elnumero de metodos de la segunda categoria es igual al numero de metod os en que se lee la cadena compuesta de n - 2 signos (que quedaron despues de eliminar los dos primeros), es decir, igual a Pn-2. Puesto que cada metodo de lectura de la cadena dada pertenece a una, y s610 a una, de las dos categorfas indicadas, el numero total de metodos es igual a la suma de los numeros de metodos de la primera y segunda categorias, es decir,

Pn = Pn-I + Pn - 2·

(I)

Esta igualdad representa una f6rmula de recurrencia por la que se puede calcular sucesivamente P" para cualquier n, si se

ALGEBRAIResolucioncs y Soluciones

conoce PlY P2 • Pero en el problema dado P I = I (para la cadena de un signa existe s610 un metodo de la primera categoria) Y P2 = 2 (para la cadena compuesta de dos signos existen dos metodos: uno de la primera categoria Yotro de la segunda). Empleando la f6rmula (I), hallaremos sucesivarnente:

P3 = P2 + PI = 2 + 1 = 3,

= P3 + P2 = 3 + 2 = 5, Ps = P4 + P3 = 5 + 3 = 8. P4

1 2s+-s k

165

1

2s--s km.

y

k

Pero si dos cuerpos se mueven a velocidades constantes, entonces la relaci6n de las velocidades de los cuerpos, siendo iguales los tiempos consumidos, es igual a la relaci6n de los carninos recorridos por ellos. Por eso, para la detemlinaci6n de s tenemos la ecuaci6n

Yasi sucesivarnente. Definitivarnente obtendremos: De aqu! s = 2ak km.

P I2 = 233.

6. Planteamiento de ecuaciones 189. Supongamos que sea x el menor de los factores. Entonces, de las condiciones del problema se desprende directamente que x(x + 10)-40 = 39x + 22 o bien

191. Si dos cuerpos se mueven con velocidades constantes, entonces, en un mismo trayecto del camino, la relaci6n de sus velocidades es inversamente proporcional al tiempo consumido por los cuerpos. Supongamos que sea v la velocidad del tercer autom6vil; t, el tiempo de movimiento del segundo autom6vil hasta el momento en que 10 alcanza el tercero. Entonces,

40

t - 0,5

50 v

v

t +1 t + 1,5

de donde XI = 31, x 2 = -2. Prescindimos de la ra!z negativa, por consiguiente, los factores son 31 y 41.

Dividiendo miembro a miembro la primera ecuaci6n entre la segunda hallaremos que t = de hora; luego hallamos que v = 60 km/h.

190. Hasta el primer encuentro el primer ciclista recorri6 s + a km y el segundo s - a km, donde s es la distancia deA a B. Hasta el segundo encuentro los ciclistas recorrieron respectivamente

192. Supongamos que hasta el momenta de encuentro pasaron x horas. El camino desde el punto de encuentro hasta el punto B el ciclista 10 pas6 enx horas y el transeunte enx+t horas. Puesto

i

166

PROBLEMAS DE MATEMATICAS ELEMENTALES

que para un mismo camino el tiempo es inversamente proporcional ala velocidad, entonces X+f=k ,

x

deaquf

X= -

f

195. Designemos por lla distancia entre los puntosA y B Ypor y v2 las velocidades de las motocicletas. En el tiempo t la primera motocicleta paso el camino igual a p + t - q y la segunda el camino q + /- p. Por eso,

VI

-.

v\

k -I

193. Designemos la distancia de A a B por x y la distancia entre Bye por y. Entonces, teniendo en cuenta que en todos los casos de que se habla en el problema el tiempo de movimiento es el mismo, obtendremos el sistema de ecuaciones

~+2::=x+Yl 60

3,75

194. Seax la longitud del camino por ellugar llano,y la longitud del camino cuesta arriba. Tenemos el sistema de ecuaciones

4

11,5 -

5

'I·

10'

(x + y) + .:: + 2:: = 3 ~.J 3

4

v2

5

=

(1)

.1

j

t

Por otro lado, la reiacion de las velocidades es igual a la relacion de los caminos recorridos hasta el primer encuentro, es decir,

P

Colocando aquf v\ y v 2 del sistema (1), obtendremos la ecuacion para la detenninacion de l. Resolviendola hallaremos

Resolviendo este sistemahallamosquex= 14 km ey= 16 km.

3

~ l+q-p i

v2

4)

1" + ~ + 11,5 - (x + y) = 2 ~

,I

~_l-p

x + y 14 Y x I - - = - +--+. - '11 3,75

l+p-ql t

3,75 ~

3,5 . 4

=

10

Sumando las ecuaciones del sistema hallaremos que x = 4.

que 1= 3 p - q. Colocando este valor de I en la formula (1), obtendremos: 4p-2q 2p v\

=

t

,

v2= -

t

'

196. La diferencia entre los tiempos de retraso del avion en el primer y segundo vue los igual a tl~~2 horas esta enlazada con que el camino de dkm fue recorrido a distintas velocidades: en el primer vuelo la velocidad era V km/h y en el segundo w kmlh (en los demas trayectos del camino las velocidades eran respectivamente iguales). De aq UI obtenemos la ecuacion

ALGEBRAlResoluciones y Soluciones

d d , 60 v w de la que hallamos que la velocidad inicial del avion es igual a 11 - 12

W

=

60vd km/h. 60d + V(/2 - 11)

197. Designemos el peso del pedazo cortado por x. Supongamos que la primera aleacion contenia 100 a% de cobre y la segunda 100 b%. Entonces la cantidad en peso de cobre en la primera aleacion despues de fundir su resto con el pedazo cortado de la segunda aleacion sera igual a a{m - x)+ bx y el peso de cobre en la segunda aleacion despues de fundir su resto con el pedazo cortado de la primera sera igual a b{n - x)+ ax. De la condicion del problema

a(m -x)+ bx

a

+~

De aqui obtenemos: a:~ = (r-q):(p-r).

La resolucion es posible sip > r> q 0 bienp < r < q. Para hallar el peso maximo de la nueva aleacion examinemos las relaciones p ir ai11 !

100

y

Q

Ip-{

Q

P

Si

Ir - ql = IP - rl ' entonces, el peso maximo es igual a P + Q _ P - q P = L- q Q.

r-q

P

0

Si [r _ qi < !p-=-

b(n -x)+ ax

m n Una vez resuelta esta ecuaci6n, obtenemos (teniendo en cuenta que a -:f::- b): mn x =- -. m+l1 198. Supongamos que la relacion de los pesos de los pedazos a alear es igual a a : ~. Entonces up pq TQO+ TQO _ r

\67

p-r

ri' entonces, e\ peso maximo es igual a p- r r-q

p- q r-q

P+ - - P= - - P.

0

P

Si por fm

ir _-ql > p -=- r' entonces, el peso maximo es igual a ,

1

168

PROBLEMAS DE MATEMATICAS ELEMENTALES

199. Supongamos que cada obrero trabaja t dias y que A gana x rub los, B gana y rublos. De las condiciones del problema obtenemos el sistema de ecuaciones

6 t- 7

- .--=

5 t-l

x = 75 rub los, y =

t

(t -7)Y = 64,8, (1)

(t -I)~ - (t - 7)~ = 32,4. t

t- 7 t-l

t

3 4

De aqui t= 25 y, porconsiguiente,

(t -I)~ = 72, t

64,8 72'

90

rublos.

200. Designemos por II el tiempo transcurrido hasta el primer encuentro, por t2 el intervalo de tiempo hasta el segundo encuentro y por Rei radio de la circunferencia. En el intervalo de tiempo II el primer cuerpo recorria el camino vII yel segundo, eI camino

ai- . La sum a de estos caminos es igual a la longitud de la ?

De las dos primeras ecuaciones hallamos:

t -I t

72 x

1-7 t

64,8

circunferencia, por 10 tanto, 2

all

y

vII + -

Entonces, de la ultima ecuacian obtenemos:

y x 72- - 64,8-

x

o bien

y

= 32,4,

20(~r -9(~)-18=0. De aqui y

=

tx (prescindimos de la raiz negativa). Dividiendo

ahora la segunda ecuacian del sistema (1) entre la primera y sustituyendo l. por su valor, hallamos: x

2

= 2rcR.

(1)

En el intervalo de tiempo (2 ambos cuerpos recorrieron un mismo camino igual a la longitud de la circunferencia, asf que 2

at2 = 2rcR. 2 2 Eliminando de aqui 12, hallaremos que R = L. Colocando IW este valor de R en la formula (I) obtendremos la siguiente ecuacion cuadnitica respecto a 11: vt2

= 2rcR,

atf 2v2 -+vtl - =0. 2 a

ALGEBRAIResoluciones y Soluciones

Resolviendo esta ecuacion y prescindiendo de la rafz negativa (puesto que por el sentido del problema debe ser > 0), obtendremos defmitivamente:

'I

tl =

(-J5 -1)~. a

216(ql +q2) ql

II =

t2

=

= 540 min (9 horas),

216(ql +q2) q2

201. Designemos par q, y q2las capacidades de los grifos (en

Existe una segunda soluci6n:

11m in) y porvel volumen de la piscina. EI tiempo requeridopara llenar la piscina haciendo uso de cada grifo por separado sent iguala

II

(1)

= 360 min,

I

Empleando la igualdad (1) obtenemos la ecuacion cuadnitica

'2

= 540 min.

de la seccion transversal del tubo. La presion atmosferica Pa se hall a con ayuda de la formula

Pa

13

ql . - t2 + q2 . - II = - v. 3 3 18

= 360 min (6 horas).

202. Anotemos con y el peso especifico del agua y con s el area

La primera condicion del problema conduce ala ecuacion 1

169

= ye.

Si PI es la presion bajo el piston en su posicion superior, entonces, segun la ley de Boyle-Mariotte, para el aire contenido entre el piston y el nivel del agua, tenemos que PI (b - x)s = Pahs

_~!ll+ 1= 0, (!ll)2 q2 6 q2 · ,ql cuyas soIUClones seran q2

2 ql 3 Did d· . , = 3' -;;; = "2. e a segun a con IClOn

del problema se desprende que Fig. 2

De (l ) hallamos las magnitudes buscadas:

Fig. 3

(fig. 2). La ecuacion de equilibro de la columna de Ifquido tiene la forma P a -- PI = yx. Esto conduce a la ecuacion

170

PROBLEMAS DE MATEMATICAS ELEMENTALES

he

o bien

e - --:::: x

x 2 -112x + 832:::: 0.

b-x

(y se simplifica), es decir, conduce a la ecuaci6n cuadnitica

,

I

DeaqUi x = 56 ±,,3136 -832 decir, x = 8 cm.

~-

= 56 ±-)2304

:::: 56± 48, es

204. Supongamos que el reloj se adelanta en x minutos al dfa.

De aquf hallamos que

Entonces 61 marcara el tiempo exacto a los; dfas. Si el reloj marcase 3 min menos, pero se adelantani en x +

203. SeanP I Ypzlas presiones del aire que se encuentra bajo el piston en las posiciones I y II respectivamente (fig. 3) Y y, el peso especifico del mercurio. Las ecuaciones de equilibrio de las columnas de mercurio de 12 cm Y x cm de altura senin respectivamente 76y - PI :::: 12y,l ~ (1) 76y - P2 :::: xy.j

dia, entonces, marcarfa la hora exacta a los ~ dias. Por x+"2

consiguiente,

3 2 +1= x+t x'

-·de donde

2 3 x +-x -1 = 0.

La ley de Boyle-Mariotte para el aire que se encuentra bajo el piston de la ecuacion

PI' 29 l 4

: : p2(36-x).

Colo cando aquf las expresiones para PI Y P2 de (1), obtendremos la siguiente ecuaci6n cuadrada respecto ax:

2

Resolviendo esta ecuaci6n hallaremos que x = 0,5.

205. Si x es la cantidad inicial de los depositantes eyes el porcentaje que paga la caja de ahorros, entonces y

29 L 64:::: (76-x)(36-x), 4

t minutos al

y

111

x+x-'- - =p 100 12

'

n

x+x - --=q. 100) 2

ALGEsRAiResoluciones y Soluciones

Multiplicando la primera ecuaci6n par n, la segunda par m y substrayendo de la primera la segunda, hallaremos: X=

pn-qm . n-m

Volviendo de nuevo al sistema inicial y restando de la primera ecuaci6n la segunda, obtendremos:

171

Colocando esta expresi6n para v2 en la primera ecuaci6n, obtendremos la siguiente ecuaci6n cuadratica respecto a VI: Vf -

2rcR VI _ 2 rcR . 2rcR

T

T

= o.

t

Resolviendo esta ecuaci6n, hallamos:

rcR

xy (m-n)= p_q.

VI

1200

UI + ~7 + 1 1 ,-----

=T -

)

y, a continuaci6n,

Deaqui

y

= 1200(p -

q) %.

qm-pn 206. Anotemos con VI y v2 las velocidades de los puntos y supongamos que sea VI > v2 • La primera condici6n del problema nos da la ecuaci6n 2rcR 2rcR - - ---=t. VI

v2

La segunda condici6n significa que durante el intervalo de tiempo T, el punto que se desplaza a mayor velocidad recorreni por la circunferencia un camino en 2 7r R mayor que el otro punto. Esto nos da la segunda ecuaci6n

207. Supongamos que sea v el volumen de soIuci6n en el frasco y x, el porcentaje de sal en la soluci6n. A la pro beta se vierte ~ de solucion y se concentra por evaporacion hasta que el porcentaje de sal en esta aumente el doble. Puesto que la cantidad de sal en este caso no varia, entonces, el volumen de solucion en la probeta disminuini dos veces y el peso del agua evaporada sera igual a

{n .

Despues de echar de nuevo la solucion concentrada al frasco, en este habra la misma cantidad de sal que al principio, es decir, De la segunda ecuaci6n hallamos: 2rcR - . t

v2 =Vl - -

.

v I~O pero la cantidad de soluci6n disminuye en 2vn· De aquf

obtenemos la ecuaci6n

172

PROBLEMAS DE MATEMAnCAS ELEMENTALES

x V 100

X

v- l2n

Seg(ln la condicion del problema

+P

100'

[

x

to

~ + (~) 2 litros de alcohol 30 30 .

Oespues de echar 12 litros de la nueva mezcla al primer recipiente, en este resultaron X

(x)2lJ+ -(30 x - x) litros de alcohol 30

12 [ 1- - + 30 30 yen el segundo

l () 2]

x x 18 1--- + 30

30

= (2n -1) p.

208. Supongamos que en el primer recipiente habiax litros de alcohol; entonces en el segundo habra 30 - x litros. Oespues de lIenar el primer recipiente con agua, un litro de la mezcla obtenida contenia 3xO de alcohol y 1- 3xO de agua. Oespues de llenar el segundo recipiente con la mezcIa obtenida en el primero, en el segunqo recipiente resultaron 30 - x + x litros de alcohol y (1 - 36)x litros de agua. Un litro de esta nueva mezcla contiene 1-

x ()2] x x ( )2lJ' +2 = 12 [1--+ +X- - 2. \30 30 30 30

x x 18 1-- + 1-

de la que hallamos que

30

.

htros de alcohol.

de donde obtenemos la ecuacion

x 2 -30x+ 200

=O.

Esta ecuacion tiene las rakes XI

=20,

x2=10.

Asi pues, en el primer recipiente habia 0 bien 20 I (entonces en el segundo habia 10 I), 0 bien 10 I (entonces en el segundo habia20 I).

209. Supongamos que seax la distancia desde la orilla de partida hasta el punto en que C dejo el bote. Sefialemos al principio que A subio al bote a la misma distancia hasta la segunda ori lIa (Ia orilla opuesta). En efecto, la manera en que A y Cvencieron el paso difiere solamente en que Cal principio 10 paso en el bote y despues a nado y A al contrario. Puesto que los dos nadan a una misma velocidad v, ademas, v t:. VI Y el tiempo que pierden en realizarel paso es el mismo, entonces, por 10 visto, las distancias indicadas deberan ser iguales. Oespues de esta observacion es facil componer la ecuacion

x+s-2(s-x) =~~ v

ALGEBRAlResoluciones y Soluciones

Aqui el primer miembro expresa el tiempo que pierde el bote en vencer el camino hasta el encuentro con A y el segundo miembro, el tiempo consumido por A hasta el encuentro con el bote. De la ecuacion obtenida hallamos:

vI 3v+ vI

observacion preliminar sobre la igualdad de las distancias indicadas mas arriba. Sin embargo, en este caso, hubiera sido necesario introducir varias incognitas y la resolucion hubiera resultado mas dificultosa.

210. Designemos la distancia buscada por s km y la velocidad del tren por v km/h. En las 6 horas hasta su parada, provocada por la acumulacion de nieve, el tren recorrio 6v km y el trayecto

(5 - 6v) kmde longitud 10 paso en

v

Desarrollando un razonamiento analogo respecto al segundo tren, compongamos una ecuacion mas:

Observacion. Se hubiera podido resolver el problema sin la

restantedel camino de

horas constituye una hora mas de las ~ horas previstas por el

6v

= s - x + ~ = ~ v + 3vI . vI

en cuenta las dos horas de parada forzosa). Este numero de

8 + 5(s - 6v) = 1 + ~.

De aqu!, el tiempo consumido en el paso es igual a

v

En total el tren estuvo en camino 8 + 5 (s6-v6V ) horas (teniendo

horario. De este modo obtenemos la ecuacion

s{v + VI) x= . 3v+ vI

T

173

5(s-6v) 6v

~+2=8+ 150 + 5(s-6v-150). v 2 v 6v De este sistema de ecuaciones hallamos que s = 600 km. 211. Designando la velocidad del bote en agua muerta por v y la velocidad de la corriente por w, obtendremos un sistema de dos ecuaclones

-a- +--=T, a }

v+w

v-w

_a_ = To + a - b + ~ = To + a + b . v-w v+w v+w v+w)

horas, ya que la velocidad del tren en este trayecto del camino 6 era sV.

Resolviendo este sistema respecto a las incognitas

v~w y v~w y tomando sus reciprocas, hallamos:

174

PROBLEMAS DE MATEMATICAS ELEMENTALES

v+w= 2a+b y V-W= a(2a+b) . T-To T(a+b)+Toa De aquf se desprende que

1 1

r

1 2a + b a(2a + b) v="2lT-To + T(a+b)+Toa '

r

1 2a + b a(2a + b) w="2lT-To - T(a+b)+Toa .

de donde x = 15 h (la segunda rafz por ser negativa no vale).

213. Designemos la velocidad buscada del tren por v krnIh y la velocidad segun el grafieo por VI lan/h. EI tren pas61a primera mitad del camino en

~oI horas y en veneer la segunda mitad y en

la parada perdi6 la primera vez II ~10 + 210 horas y la segunda I

I~ + 1~ horas. Pero como ambas veces el tren lIeg6 aB a tiempo, entonees,

212. Seax el tiempo que permaneci6 abierto el segundo grifo, v, la velocidad de salida del agua del primer grifo y w, la velocidad de salida del agua del segundo grifo (v y W se miden en m 3/h). Tenemos:

v(x + 5)+ wx = 425'} 2vx = w(x + 5),

(v + w)17 = 425.

10

10

1

-=---+ vI vI + 10 20'

10

10

1

vI

v

12

- =-+ - .

De la primeraecuaci6n hallaremos VI:

1

1

( 10 ~ - vI + 10

J= 20' 1

100

Esta ecuaei6n tiene s610 una rafz positiva VI = 40. De la segunda ecuaci6n hallaremos que v = 60 kmlh.

De la segunda y tercera ecuaciones obtenemos:

v = 25 x + 5 ; 3x+5

SOx

W=--- . 3x+ 5

Coloeando estas expresiones en la primera ecuaci6n, haHamos:

3x 2

-

41x - 60

= 0,

214. Sea la distaneiaAB igual as km y las velocidades del primero y segundo aviones iguales respeetivamente a vJ y v 2 • Entonces, en virtud de las condiciones del problema tenemos un sistema de tres ecuaciones:

ALGEBRAlResoluciones y Soluciones

2:, + ~ = 2:

,

~+~=14f u+v u-v '

~ ,I

2 -

24

_s__ ~=b 2v2

2v,

96

72

.

--; = u + v + u - v .J

'

~_b=_s_ . 4v,

175

Para su resoluci6n hagamos ~ = z. Multiplicando ambos miembros de la segunda ecuaci6n por y, hallaremos:

4v2 )

24=~+~.

Hagamos -

s

-=y. 2v2

=X

2v,

z+1

s

'

Libenindonos de los denominadores, obtenemos: 24z2 -168z

De la segunda y tercera ecuaciones hallamos:

3 x= - b 2 '

y de la primera:

z-l

5 y= - b 2

= 0.

Puesto que z"* 0, entonces z = 7. Por consiguiente, U = 7v. Colocando U = 7ven la primera ecuaci6n del sistema, hallamos:

2~ + 96 = 14 8v

de donde

Pero, V2

v,

_~ y

v

=2 5

Ahora es facil hallar que 8a

v,

= 3b '

8a v2

= 5b

Y

s

= 8a.

215. Sea u la yelocidad del bote en agua muerta y v la yelocidad de la corriente. Entonces tenemos el sistema

= 2 km/h,

6v U

'

= 14 km/h.

216. EI camino recorrido por cada cuerpo en t sse determina por la f6mlula at 2 s=vot+-. 2 Para hallar v0 y a para cada uno de los cuerpos, colocamos en esta f6rmula los datos numericos citados en las condiciones del problema:

176

PROBLEMAS DE MATEMATICAS ELEMENTALES

1) para el primer cuerpo: a para 1 = 1 tenemos que 25 = vo + -, 2 1 para 1 = 2 tenemos que 50 - = 2vo + 2a; 3 ,1 1 5 12 de aqUl a = -, Vo = 25 - - y 5] = 24 - t + - .

3 6 6 6' 2) parael segundo cuerpo: a para 1 = 1 tenemos que 30 = Vo + -, 2 1 para 1 = 2 tenemos que 59 - = 2vo + 2a; 2 ,1 1 1 (2 deaqUla=-2' vo=30+"4 y 52=30"41-4. En el momenta cn que el primer cuerpo alcanza al segundo tendremos que 51 = 52 + 20; de aqu! obtenemos la ecuacion cuadnitica para la determinacion de t:

12 -131 - 48 = o. Resolviendo esta ecuacion hallamos que 1= 16. Prescindimos de la segunda ra!z, ya que es negativa.

Por lacondicion del problema tenemos: 10 6 3s--+ - -::o;4. v+l v-I

(1)

Es necesario que sea v > 1, puesto que de 10 contrario la lancha no podra moverse rio arriba. Pasemos del sistema de desigualdades (1) al siguiente sistema equivalente:

3{v 2 - 1)::0; 16v -4::0; 4{v 2 -1). As! pues, es necesario que se cumplan a la vez dos desigualdades:

3v 2 -16v + 1 ::0; 0

y La primera desigualdad queda satisfecha si

8-J61 8+J61 ---::o;v::o; . 3 3 La segunda desigualdad se satisface si v < 0 0 bien v> 4. Pero, puesto que v> 1, tenemos defmitivamente:

217. Supongamos que sea v la propia velocidad de la lancha. Entonces, el tiempo en que se encuentra en movimiento la lancha sera igual a

IO 6 1=-- +--. v+l v-I

4::o;v::o;8+J61. 3 218. Designemos por x el volumen de agua en el recipiente A antes del transvase. Entonces el volumen inicial de agua en los

ALGEBRAIResoluciones y Soluciones

recipientes Bye sera igual a 2x y 3x respectivamente y el volumen total de agua sera x + 2x + 3x = 6x. Despues del primer transvase de A a B y de B a C la profundidad en los tres recipientes se hizo igual y, por 10 tanto, los volumenes de agua son entre sf como las areas de la base, es decir, como 1:4:9. Por eso, despues del primer transvase los volumenes de agua en los recipientes A, Bye tendran respectivamente los siguientes valores:

1.

6x =lx 1+4+9 7'

9.

6x = 27 x. 1+4+9 7

Despues del segundo transvase de CaB estos volumenes se hacen respectivamente iguales a

3 -x 7'

12 4 -x+ 1287 7'

Resolviendo esta ecuaci6n, hallamos:

x

=

500.

Asf pues, la cantidad inicial de agua en cada uno de los recipientes era la siguiente: enA, 500 I, en B, 1000 I, en C. 1500 I.

219. Supongamos que el numero buscado tiene la formaxyzt (aquf las letras x, y, z Y 1 significan cifras de los 6rdenes correspondientes). Seglin las condiciones del problema obtenemos el sistema de ecuaciones siguiente:

13)

27

4

= , y2 + z2 = 85,

7

7

xyzl - 1089 = Izyx.

x 2 + 12

-x-128-.

Despues del tercer transvase de B aA el volumen de agua en A result6 igual a x-I 00 yen B igual a

l (x - 100)·4 = 2(x -100) .

177

(1)

En virtud de la substracci6n por orden, en la tercera ecuaci6n del sistema (1) 0 1 = 9,0 bien

2

(10+/)-9=x,

Sumando los volumenes de agua en todos los recipientes obtenemos una ecuaci6n de primer grado respecto ax:

27 4 (x -100)+ 2(x -100)+ - x -128- = 6x.

7

7

es decir,

x=t+l.

(2)

Pero, de la primera ecuaci6n del sistema (I) se desprende que t < 4 y, por 10 tanto, tiene lugar la igualdad (2). Entonces, de la

178

PROBLEMAS DE MATEMATICAS ELEMENTALES

primera ecuacion del sistema (1) obtenemos [a siguiente ecuacion para [a determinacion de t:

de donde x=

(a - vt}w . v-w

Desde el inicio del movimiento hasta el primer encuentro paso un tiempo igua[ a

dedonde 1=2.

a+x v

II = - - - .

De la formu [a (2), ahora se desprende que x = 3 Y la tercera ecuacion del sistema ([) toma la forma 3yz2-1089 = 2zy3.

(3)

Observemos a continuacion que z < 9 (si z = 9, entonces, de la formula (3) se desprende que y = 0, pero en este caso no se satisface [a segunda ecuacion del sistema (1 ». De la formula (3) haJ[amos:

(z - 1+ 10) - 8 = y, o sea, z=y-l.

Colocando aqui el valor hallado de x, obtendremos:

(4)

Por fm, de [a segunda ecuacion del sistema ([) y de (4) hallamos que z = 6 e y = 7. Asi pues, e[ numero buscado es 3762. 220. Al principio hal [amos [a distanciax desde e[ punto de partida

I-wI

tl = - - · v-w

Sea'! la integral del tiempo entre dos encuentros consecutivos. Entonces v'!-w'!=l, de donde I '!=--. v-w Los encuentros sucesivos tendnlnlugar en [os momentos de tiempo t l , II + t , II + 2t, ... E[ momento del enesimo encuentro sera

tn =

v - wt-i--l(n-l) -. v-w

hasta e[ lugar del primer encuentro. La ecuacion del tiempo de movimiento de ambos puntos tiene [a fom1a

221. Designemos e[ peso especifico del primero de los meta[es que componen la aleacion por YI, e[ del segundo por Y2 y del agua por y. Supongamos que seax el peso del primer metal en la

a+x x -- -( =-, v w

a[eacion. Seglin el principio de Arqufmedes [a perdidade peso de la aleacion en el agua sera igual a

---

ALGEBRAIResoluciones

y Soluciones

179

222. Designemos la distancia desde el punto A hasta la desembocadura del rfo por s, la distancia desde la desembocadura del rio por ellago hasta el punto B por s I' la velocidad del barco Analogamente para los metales puros esta perdida sera igual a p

p

--y

y - yo YI Y2 Estas perdidas son conocidas e iguales respectivamente a B y C. de aqu! hallamos que

Y B

y

y]

Y2

=p

=

C P

Por consiguiente, la perdida en peso de la aleaci6n es igual a A

Deaquf

(sin remolque) porvy la velocidad de la corriente del rio por VI. Hacefaltadetenninar ~ = x. v De las condiciones del problema componemos tres ecuaClOnes:

s x -+ - =61 v + VI 2 '

-

s - --=79, x v-v]

- +=411.1

p

A-C B-C

x=--P. Para la solubilidad del problema es necesario que B ::f- C. A continuaci6n del hecho de que ~ es un numero incluido entre 0 y 1, se deriva la desigualdad

A-C B-C

O<-- A>C,o bienC> A> B.As! pues, para que el problema sea soluble, es necesario y suficiente que el numero A este incluido entre los numeros B y C.

2

s

= B x + C (p - x). p

+-

J

v]

De la primera ecuaci6n tenemos que V + VI _

s

2

-122-x'

(1)

de la segunda ecuaci6n hallaremos:

2 -IS8-x'

v-v] _

s

(2)

de la tercera ecuaci6n obtenemos: v]

s

= -- --

411-x

(3)

180

PROBLEMAS DE MATEMATICAS ELEMENTALES

Substrayendo de la igualdad (l) la igualdad (2) Yvaliendonos de la igualdad (3), obtendremos la siguiente ecuacion respecto ax:

Con la condici6n de que en el trozo AB la corriente es la misma que en el trozo BC, el camino AC requiere S

o bien

122 - x

158 - x

x 2 - 244y + 4480

v+vl

. detenmnar . Iare I ', ES necesano, aClOn

= 0.

Resolviendo esta ecuaci6n hallaremos: Xl

= 20,

x2

223. Designemos la distanciaAB por s y la distancia BC por s I; supongamos a continuaci6n que sea v la velocidad de la lancha y v, la velocidad de la corriente (se supone que s y S I se expresan en unas mismas unidades de longitud; v y v, son velocidades calculadas por hora). Para el movimiento de la lancha rio abajo desde A hasta C tenemos: sl

(1)

Para el movimiento de la lancha rio arriba desde C hastaA tenemos: _S_I_ +~=7. v-vI v

S+S,

v-v, .

*

Por 10 visto, el valor x 2 = 224 no sirve, puesto que el primer miembro de la ecuacion (I) no puede ser negativo.

S

(3)

Reduciendo las ecuaciones (1), (2) y (3) a un denominador comun y multiplicando ambos miembros de la ecuacion (3) por v 0, obtendremos el sistema

= 224.

-+--=6. v v+vl

+ s\

- - = 5,5 horas.

411 - x '

(2)

(s + SI)V = 6v (v + VI) - SVI>} (s + s\)v = 7v(v - v\)+ SVI,

(s + SI )v = 5,5 (v + VI )v.

(4)

Sumando las dos primeras ecuaciones y haciendo uso de la tercera,obtendremos:

De aqu!, v = 6v ,. Pero de la tercera ecuacion del sistema (4) tenemos que S+ S __ I = 7.5,5. Por consiguiente,

VI

ALGEBRAIResolucionc~

224. Designemos por v la capacidad del vasa y sea al el contenido de acido en porcientos en el despues del primer mezclado, a2 el contenido de acido en porcientos despues del segundo mezclado etc. Tenemos:

ll--;-a)k (p-q)=r-q.

Respuesta:

a

v=

J~'

1-~--

p-q

=a2'

v

225. Al final del primer ano el deposito aumento en JAto rub los y el depositario retiro B rublos. Por eso, a principios del segundo ano el deposito componia una cantidad en rublos igual a

{v - a)ak_2 + aq

=ak- J, v (v-a)ak _J +aq -'------"----"'---'----~ = r. v

Multiplicando la s-exima ecuacion por la suma, obtenemos:

(v~a

II = A ( 1+ -

y-s yefectuando

(12 + ...

v

p \

1- B.

100)

v-a k a I v-a v-a - - ) P+ - qll+ - -+ - v

181

(

(v-a)p+aq _ al' v {v-a)aJ +aq

v

~)llluciones

y, por consiguiente,

-'----'--=------=- -

(

)

v)

Al final del segundo ano el deposito componia una cantidad iguala

12 =~(l+L l_B=A(l+L 12 -Brl+(L+l)]rublos 100)

100)

I

100

'

y al final del tercer ano P2 = Ak1"B( I+k+k2 ) rublos, donde

k=I+L. 100 Es evidente que al final del enesimo afio la cantidad del depOsito sera igual a Deaqui

-- p+ -a q (~Y-I_ lrv_a)k v-a --r v

V

v

-I

182

PROBLEMAS DE MATEMATICAS ELEMENTALES

es decir, a

Por la condicion del problema es necesario hallar tal numero n que Pn :;:: 3A. Entonces (1)

E! problema tiene sentido si aumenta la cantidad del deposito, es decir, si Ap > 100B. Puesto que, ademas,p>O, A>O, B>O, entonces la expresion que figura en la parte derecha de la desigualdad (1) tiene senti do. 226. Al final del primer ano en la parcela forestal habia una cantidad de madera igual a a ( 1+ L

\

'I - x = a] ,

100)

y asf sucesivamente. Por fin, al final del enesimo ano la cantidad de madera era

Es necesario determinar x. Haciendo, parasimplificar laescritura, 1+ I~O = k, de la ultima igualdad obtendremos que x = kan_l - aq. Expresemos su valor de la ecuacion anterior. Obtendremos:

Por consiguiente,

al final del segundo ano,

= k 3a n-3 -

2

k x - kx - aq.

Continuando del mismo modo, expresaremos por fin ao mediante a l y obtendremos la siguiente ecuacion respecto ax: -

100 )

al final del tercer ano,

por

Pero,

x

a1(I+L l-x=a2'

0,,_1

x

=

k n a - x (kn-l + k n - 2 + ... + k) - aq.

ALGEBRAIResoluciones y Soluciones

183

Deaqui Deaqui

x=a kn - q (k_I)=a(l+tfot -qL. k -1 (1 + 1 100

n

L)n _

~ 100 227. Antes del transvase la concentracion de alcohol q; era: en el primer recipiente ql = I, en el segundo recipiente q2 -

t'

en el enesimo recipiente qn

= kL 1 •

Supongamos que despues de todos los transvases las concentraciones se hicieron respectiva mente iguales a: PI> P2 , ···, Pw Entonces, PI = 1 y, siendo i> 1, Pi se detemlina por la ecuaci6n

qi + Pi=l

(i=2, ... ,17).

2

Esta ecuaci6n se obtiene dividiendo la cantidad de alcohol v v

qi 2 +Pi-l 2·

que result6 en el i-esimo recipiente despues de llenarlo con el contenido del

(i -l)esimo recipiente, por el volumen total v del

recipiente. De este modo,

P = qn + Pn-l 2 11

= ql1 + qn-l +~ qn-2 + Pn-3 = ~ + ql1-1 + qn-2 + PI1-3 = 2 ...

22

22

+ qn-l +

= qn

2

22

1

2

2

22

23

+3L;- y~ =_l_+ __l _ ~

... 2n- 1

2n- i

2e- 1

22 e- 2

1

... + - n -+ - 11 -. 1 1 2

Para k

-

-::1=

k

2

-

2, la ultima suma es igual a 1

Pn = 2k

kl1 - 1 ')11-1

t --~

2 n - 1 - k n- I

1

_ 1_ _ 1_

+ 2 n - 1 = (2k

228. La fracci6n tiene la fonna

t- (2 - k) + 2 1

... ,

1 n- 1

+1' donde pes un nlunero p -

entero mayor que cero. Las condiciones del problema se escriben en forma de desigualdades

P+2

I

- -> p2 + 1 3'

P -3 1 0 < - -- < p2 _ 4 10

Transfonnemos la primera desigualdad a la fonna

P =Hn+Pn-1 n 2

23

184

PROBLEMAS DE MATEMAnCAS ELEMENTALES

Resolviendo la correspondiente ecuacion cuadrada, obtendremos:

Pl,2 =

3±m 2

7. Problemas diferentes 229. Tenemos:

De la desigualdad 0 > p2 - 3 P - 5 obtenemos P2 < P < Pl. Pero P2 < 0 y P > 0, por eso

O
3

+m 2

Es facil ver que P I se encuentra entre 4 y 4,5. Por consiguiente, , de la segunda desigualdad se desprende que p, como numero entero, puede tomar solamente uno de los cuatro valores siguientes;p = 1,2,3,4. Colocando estos valores en la segunda desigualdad

p-3 1 0<-2-<-· P -4 10

230. Supongamos al principio que x*- a. Multiplicando y dividiendo el producto a examinar por x»a y empleando sucesivamente la formula para la diferencia de los cuadrados de dos numeros, obtendremos: 7

hallamos que P *- 1, P *- 2 Y P *- 3. As! pues,

4

P - 4

p=,~

P -1

15·

2 )( 4

4)

( 2,,-1

)( (x-a)(x+ax+ax +a ... x x-a

+~ = 2,,-1 \

( 2 _a 2 )(x 2 +a 2 )(x 4 +a 4) ... ( x 4 +a 4) ... (x 2,,-1 +a 2,,-1 ) = =x x-a

x-a

x-a

ALGEBRAIResoluciones y Soluciones

Supongamos ahora que x = a. Entonces, el producto que se examina sera igual a

x

= -a el producto es igual a 3n a 2 (2 n -I)

igual a a 2 (2 n -I).

185

Ypara x = ael resulta '

232. Es evidente que 231. Multipliquemos y dividamos la expresion dada por el producto

(x+a )(x 2+a2X' x 4+a4)... (2 x

n- 1

+a 2

n l - )

,

que para todos los val ores reales de x oj:. -a difiere de cero. Se ve facilmente que el resultado se puede escribir de la siguiente manera:

~3 + a 3 Xx 6 + a 6 Xxl2 + a l2 ).. .( x 3.2n-

1

+ a 3.2n - l )

(x + a Xx 2 + a 2 Xx4 + a 4). .. ( X2n- 1 + a 2n -1 )

En el numerador y denominador de esta fraccion figuran productos analogos al examinado en el problema anterior. Por eso, multiplicando el numerador y el denominador par el producto (x- a)(:>? - a3 ) reduciremos laexpresion dada ala fonna x

3.2 n

-a

3.2 n

x-a

-----3

x -a

3

x

2n

-a

x 2n

2n + 1

2n 2n 2n +1 +a x +a 2

x +ax+a

Sk -Sk-I

= bk

(k = 2, 3, 4, ... , n)

(1)

y (2) Colocando en la suma

en vez de b I' b l ,

...

bn sus valores de (1) y (2) obtendremos:

ali1 + a2 b2 + ... + anbn

= alSI + a2 (S2 -SI)+ a3(S3 -

S2)+···

... + aAsn -Sn_l) = SI (al - a2)+ S2(a2 -a3)+··· ... +Sn_l(an_I-an)+anSn-

233. Multiplicando ambos miembros de la igualdad por 2, pasamos su parte derecha a la parte izquierda. Despues de simples simplificaciones obtenemos: 2(a 2 +b l +c 2 -ab - ac-bc)= a 2 -2ab +b 2 +a l

_

-2ac+c 2 +b 2 -2bc+c l =

2

Nuestro metodo pierde su vigor cuando x = ±a. En estos casos, sin embargo, un simple computo demuestra que para

Puesto que a, by c son numeros reales, esto es posible cuando, y s610 cuando, a = b = c.

186

PROBLEMAS DE MATEMATICAS ELEMENTALES

- -- - - - - - - - -- - - -- - - - - -- - - -- - - - - --

234. Multi PIiquemosa 2 + b 2 + e 2 -be - ea-ab por a + b + e. Despues de simples c6mputos haHamos que el producto es igual a a 3 + b3 + e 3 _ 3abe , es decir, de acuerdo con la condici6n del problema, es igual a cero. De aqu! se desprende la validez de la confmnaci6n del problema.

235. Puesto que p =t

°

y q =t 0, se puede escribir:

de donde directamente se desprende la confirmaci6n del problema.

236. Hagamos Pn = an - an-I . Entonces, de la condici6n del problema se desprende la f6rmula Pn = Pn-l + 1 que muestra que los numeros Pn forman una progresi6n aritmetica con la diferencia de I. Por eso Pn = P2 + n - 2. ahora hallamos: an = {an -an_J+(an_1-an_2)+ ... +(a 2 -al)+al = = Pn + Pn-I + ... + P2 +al =(n-l)P2 +(n-2)+ + (n - 3) + ... + I + al =

.

.(

)

=(n-I) a2 -al +al +

(n - 2) (n -I) 2

o defmitivamente

an

= (n -1)a2 - (n _ 2)al + (n - 2)(n -1). 2

Sumando las dos primeras de estas igualdades y restando la tercera duplicada, hallamos:

Tomando en consideraci6n que todas las magnitudes son reales, deducimos que

!i_EL=O, P

q

237. Primera resolucion. La relaci6n dada se puede escribir en dos formas

~(an-l -aan_2),

an -aan-l

=

an - ~an- l

= a(an_l - ~an-2)·

Suponiendoque an -aan_1 = un Y an -~an-l remosque

De las ultimas relaciones se desprende que

= vn halla-

ALGEBRA/Resoluciones y Soluciones a

an

11-1

obien an -aan_1

= I-'An- 2(a2 -aa] ') ,

al1 -l3al1 -1

= a n - 2(a2 -l3a]).

An-l

n-2

238. Tenemos que

An-2

-I-'

a-I-'

a-13

a-13

= - - - - a 2 -al3 xI

+ x2

= 3a,

xlx2

187

al'

= a 2. Por eso

2+X22 = ( ) 2 -2XI X2 = 7a 2 = 4' 7 XI +X2

xl

Eliminando de aquf an-I' obtendremos definitivamente que

de donde a 2 = de a, a saber:

i. Por eonsiguiente, son posibles dos valores 1 2

a2 = - .

Segunda resolucion. Suponiendo en la relaei6n inicial que n es sueesivamente igual a 3, 4, ... , hallaremos:

239. Hallamos:

Yl

a" - fJ2 a - fJ -afJa, =- - - a -afJ - a a-fJ 2 a-fJ l' 2 fJ2 a4= (a + fJ )a3- afJa2=(a + fJ) a a2a-fJ a

3

= (a+fJ)a,

= (x] +X2)2 -

2xlx2

= p2 -2q,

Y2 = (XI +X2)3 -3(Xl +X2)XIX2 = _p3 +3pq.

" '

Los eoefieientes de la eeuaei6n euadnitiea y2 + ry + s euyas rakes Y 1 e Y, son iguales a

r

= - ( Yl + Y2 ) = P3 -

=0

2

P - 3 pq + 2q,

s = YlY2 = ~2 -2q)(- p3 -'-3pq).

Ahora, es faeil demostrar por el metoda de indueei6n eompleta que la f6rmula general es

240. Tenemos que xl + x2 estas f6nnulas hallamos:

= - 12, a

Xl X2

= ~a .

Con ayuda de

188

PROBLEMAS DE MATEMATlCAS ELEMENTALES

(a l +blxr +(a z +b2x)2 +(a3 +b3 x)2 = =bI2(A+X)2 +bi(A+X)2 +b;(A+X)2 = 1

= (. A,

fb2I + b 2 + bi? + -VIb 2 + bi? + b 2)2 l 3 X , 2

y, por consiguiente, la suma expuesta en el problema representa el cuadrado de un polinomio de primer grado. Asi pues, las condiciones (2) y (3) son necesarias y suficientes. don de B

7:-

0. Suponiendo que sea x

= -1,

242. Designemos las raices de la ecuaci6n por x I y x 2• Entonces + x 2 = -p, X I X 2 = q. Si XI Yx2 son negativos, entonces es evidente que p > y q > 0. Si XI = ex + if3, ex < y P7:- 0, entonces, x2 = ex - if3 Y obtenemosque

obtenemos:

°

XI

°

Puesto que todas las magnitudes son reales, de aqui se deducen tres igualdades: GI

donde A = condici6n:

= Abl>

G2

= Ab2 ,

G3

= Ab3 .

(2)

1· Ademas. en este caso, debe cumplirse la siguiente bI2 + b22 + b32

7:-

0,

(3)

de 10 contrario, los tres numeros sedan ceros y el primer miembro de (1) no dependerfa de x. Supongamos ahora que, al contrario, se han cumplido las condiciones (2) y (3); entonces

P=-XI-X2 =-2ex>0

y q=XI X 2 =ex 2 +p2 >0 .

°

Supongamos que, al contrario, se conoce que p > y q > 0. Entonces, en el caso en que XI y x 2 son reales, de la igualdad XI . x2 = q se desprende quex i y x 2 son de un mismo signa y de la igualdad XI + x 2 = - p se deriva que las raices son negativas. Si XI

= ex + if3, x2 = ex -

=2a,

XI

iP, f3 7:- 0,

entonces,

y por consiguiente, ex es negativa.

XI

+ Xl = - P =

ALGEBRAI'Resoluciones y Soluciones

243. Puesto que las rakes de la ecuaci6n x2 + px + q positivas, el discriminante de la ecuaci6n es

D = p2 -4q ~ 0,

=

°

son

189

Es evidente que la afirmaci6n es justa si se exige que sean simultineamente 1 - pr >

(1)

°y

p - 2rq < 0,

es decir que y los coeficientes satisfacen las desigualdades

p = -xl - x2 < 0. q=xlx2 >0.

(2)

1 r>-, p

(7)

r>L. 2q

(8)

(3)

Supongamos ahora que Y1 e Y z son las rakes de la ecuaci6n (4)

As! pues, para los valores negativos de r que satisfacen las condiciones (7) y (8)'Y 1 e Yz son positivos. Cuando no se cumplen estas condiciones, una 0 ambas rakes de la ecuaci6n (4) no son positivas.

yen virtud de (1) no es negativo cualquiera que sea el valor de r. Por consiguiente, Y1 e Yz son reales para todos los valores de r. Teniendo en cuenta (2) y (3), por las f6rmulas de Viete, para r ~ 0, obtenemos que 1- pr YlY2 = - - > (5)

244. Supongamos al principio que p ::j:. 3. Para que las rakes de una ecuaci6n cuadnitica con coeficientes reales sean tambien reales es necesario y suficiente que el discriminante D de esta ecuaci6n no sea negativo. Tenemos que

q/ +(p-2rq)Y+l- pr = 0. EI discriminante de esta ecuaci6n es igual a

Dl = 4r2q2 + p2 -4q

°

q

y, por 10 tanto'Y l ey z son de un mismo signo.Acontinuaci6n, ~+h=-

p-2rq q

>0

W

y, por consiguiente, para r 20, Y1 e Yz son positivos, con la cual el problema queda res!lelto.

D = 4p2 -24p(P-3)= 4p(18-5p). Por eso D 2

°

cuando

0-:; p -:; 3,6.

(I)

Las rakes r~alesxl y X z seran positivas cuando, y s610 cuando, su suma y su producto sean positivos, es decir, cuando

190

PROBLEMAS DE MATEMATlCAS ELEMENTALES

xl +X2

2p

=- -

p-3

>0,

Xl . X2

6p

=- -

p-3

> O.

(2)

El sistema de desigualdades (l) y (2) se satisface en el caso en que

3
~

3,6.

Observemos ademas que siendo p = 3 la ecuaci6n examinada en el problema tiene una sola rafz X = 3 > O. Por esta raz6n, todos los valores buscados quedan detenninados por la condici6n

3~ p

~

3,6.

245. Demostremos la afirmaci6n pro oposici6n. Supongamos que sea a O. Entonces, para las raices XI y X 2 tenemos:

"*

- b± ~b2 -4a(c+A)

- b + ~ b 2 - 4a(c + A) > 0

y, por 10 tanto, la rafz

-b+ ~b2-4a(C+A) <0 . 2a Asf pues, ambas admisiones conducen a una contradicci6n. La afirmaci6n queda demostrada.

246. Las raices Xl' x 2 de la ecuaci6n X2 + X + 1 = 0 satisfacen ·' a Ia ecuaClOn "'-'l-OP 3m tam b len A. « . or eso, xI,2

= Xl,3n2 = Xl,3p2 = 1,

de donde se deriva la afirmaci6n.

247. Colocando el valor de y de la segunda ecuaci6n en la primera, obtendremos la ecuaci6n

XI2 = - .

.

2a

Examinemos ahora dos casos: 1) Supongamos que sea a > O. Elijamos 'A de tal modo que se cumpla la desigualdad

b2 A>--C. 4a En este caso, es evidente que b 2 - 4a(c + A) < 0 y, por consiguiente, la ecuaci6n dada tiene raices irreales. 2) Supongamos que a< O. Entonces, con la condici6n de que A> -C, tenemos:

(1) que, por la condici6n del problema, tiene raices reales para todos [os va[ores de ')". Demostremos que en este caso a = O. Supongamos 10 contrario. Entonces, para eI discriminante D de Ia ecuaci6n cuadratica (1) es justa la desigualdad (2) cua[quiera que sea e[ valor de A. La parte izquierda de la desigua[dad (2) tiene la fom1a

ALGEBRAIResoluciones y Soluciones

191

250. Por las f6nnulas de Viete (vease la pagina II) tenemos:

y para valores 10 suficientemente grados en valor absoluto de Ie es negativa. Por ejemplo, para Ie

= I~

el miembro izquierdo de

laecuaci6n (1) es igual a«321. Esto qQ~duce a unacontradicci6n.

248. En la forma reducida, la ecuaci6n dada tiene el aspecto

x2 -

~ + q + 20 2 )X + pq + (p + q )0 2 = O.

Calculando el discriminante D de esta ecuaci6n cuadratica obtenemos:

D

y

= (p + q + 2a 2 -4[pq + (p + q )a 2 ]= (p _ q)2 + 4a 4 .

Val iendonos de estas igualdades, obtenemos:

= xlx2 + x2 x3 + x3 x I = I, YIY3 Y2Y3 + Y3YI = Xl X2 X3(Xl + X2 + X3) = -2, YIY2Y3 = (XIX2 X3)2 = 1. YI + Y2 + Y3 ..L

Por consiguiente, la nueva ecuaci6n tiene la fonna

Y 3 -Y 2 -2y-I=0. 251. Sobre la base de la f6nnula de Viele tenemos:

Xl + x2 + x3 = 1,

Puesto que D ~ 0 para todos los valores reales de a,p y q, la ecuaci6n cuadratica, y al rnismo tiempo la ecuaci6n inicial, tiene ralces reales.

249. Examinemos el discriminante de la ecuaci6n cuadratica dada

y

D = (b 2 + a 2 _c 2 _4a 2b 2 = = (b 2 + a 2 _c 2 -2ab )(b 2 + a 2 _c 2 + 2ab)=

xlx1 + x2x3 + x3xl xlx2x3 = 1. En virtud de estas igualdades

YI + Y2 + Y3 Puesto que Yl

= 1- xI,

= [(a-b)2 _c 2] [(a+b)2 _c 2 ]. YIY2 + Y2Y3 + Y3Yl Puesto que a + b > c y ia»bj< c, entonces, (a+b)2> c 2 y (a-b )2< c2 . Por consiguiente, D < O.

= 0,

=

= 2(Xl +x2 +x3)= 2.

Y2

= 1-

x2 e Y3

= 1-

x3' entonces,

(1- XI )(1 - X2) + (1- x2 )(1 -

X3) +

+ (1- x3)(I- Xl)= 3 - 2(xl + x2 + X3)+ xlx2 + x2x3 + xlx2

=1

192

PROBLEMAS DE MATEMATICAS ELEMENTALES

y, portin,

Para que con los segmentos de longitudesx 1,x2 y X3 sepuede construir un triangu\o es necesario y suticiente que

(2)

La nueva ecuaci6n tiene la forma y3 _

2i + y + 1 = o.

Este hecho fue demostrado en la resoluci6n del problema 106. Para obtener la condici6n planteada en el problema, expresemos la parte izquierda de la desigualdad (2) por medio de p, q y r. Con este tin, valgamonos de la dependencia entre las rakes y los coeticientes de una ecuaci6n

252. Supongamos que sea XI

= p-d,

x2

= p,

x3

= p+d.

Entonces, xI + x2 + x3 = 3 p; por otra parte, por la f6rmula de Viele xI+x2+x3=-a. De aqui 3p=-a y, por consiguiente, a x2 = P = --. 3 Colocando esta raiz en la ecuaci6n, obtenemos:

+ X2 + X3 = -p, XI X2 + XI X3 + X2 X3 = q, XIX2X3 = -r.

Xj

Escribamos ahora la condici6n (2) en la forma siguiente:

deaqui

- p3 _2p2(Xj +x2 +x3)-4p(xjX2 +x\x3 +X2X3)-8xjX2X3 > 0 y, por consiguiente,

de donde

23 1 c=--a +-ab. 27 3

p3 _ 4 pq + 8r > O.

°

253. Supongamos que xl > 0, x2 > 0, x3 > son las raices de la ecuaci6n dada. Ateniendonos a la indicaci6n, estudiemos la expresi6n (I) (XI +x2 -X3)(X2 +x3 -XI)(X3 +X\ -X2)·

254. Sea Xo la raiz comun de las ecuaciones. Colocando Xo en ambas ecuaciones y substrayendo una ecuaci6n de la otra, hallamos:

Xo = 32 - q\ Pl- P2

7=

0.

ALGEBRAIResoluciones y Soluciones

Supongamos que x2 + ax + b es el cociente de la division del trinomio x3 + PIx + qi entre X - xo. Entonces,

x 3 + Plx+ qi

= (x-xo)~2 + ax+ b).

Igualando en esta identidad los coeficientes de x 2 a los terminos independientes, hallaremos: a = Xo y b = uq/xo' De aqui se deriva que las otras dos rakes de la prim era ecuacion se determinan por la formula

Iv+ 1 Xo = - - . Iv

193

(2)

Asi pues, si existe la raiz comun, ella esta enlazada con Iv por la fOrmula (2). Se puede comprobar facilmente que la fraccion

At efectivamente satisface a ambas ecuaciones (por 10 visto, es suficiente establecer este hecho solamente para la segunda ecuacion). As! pues, las dos ecuaciones (I) tienen una raiz comun para cualesquiera valores de Iv :f: 0. Esta raiz se determina por la formula (2). 256. Primera resoluci6n. Supongamos quex" x 2 y X3 son las rakes del polinomio P(x). Por las formulas de Viete tenemos:

y las de la segunda ecuacion, por la fonnula

de donde se desprende facilmente que 222

255. Es facil comprobar que para A= 0, las ecuaciones no tienen raiz comun. Seaxc la raiz comun de las ecuaciones para cierto valor de Iv :f: 0. Entonces,

4g - x~ -

Xo - (Iv + 1) =

a,}

Xl

Puesto que

XI' Xl

+ x2 + x3 + 2P = O. Y X3 son reales y difieren de cero

(q :f: 0), entonces, xf + xi + xi >

°

y, por consiguiente,p < 0.

(1)

Segunda resoluci6n. Se ve facilmente que entre las tres ralces del polinomio P(x) habra dos desiguales. En el caso contrario

Multiplicando la segunda igualdad por Xo y restandola de la primera, hallaremos:

P(x) representaria un cuba exacto: p(x) == {x - xO)3, 10 que,

40 - Xo - (Iv + I) = o.

evidentemente no tiene lugar.

194

PROBLEMAS DE MATEMAT'CAS ELEMENTALES

Supongamos ahora quex, Yx 2' son dos rakes desiguales del polinomio Y seax,
3

entonces, xl < X2 Y

P (xl) =

3 xl

pXl:-::; PX2.

+

pXI

De aquf se desprende: 3

+ q < x2 +

pX2

+

q

Con esto la afinnaci6n queda completamente demostrada.

258. Sean a, 13, YI las rakes de Ia primera ecuaci6n Y a,

= 0,

puesto que P(x 2 )=0. L1egamos a la conclusion de que P(x)
p
13, Y2 las rakes de la segllnda. En virtud de las f6rmulas de Viete tenemos: a+I3+YI=-a,

(1)

a(3y 1 = -18,

(2)

a+I3+Y2=0,

(3)

al3Y2

+ xl x 3 + x2x3 = 0, xlx2x3 = b > 0.

XIX2

(1) (2)

Supongamos al principio que las tres rakes son reales. Entonces, de la condicion (2) se deriva, que, por 10 menos, una de elias es positiva. Si al mismo tiempo resultaran positivas dos rakes, entonces, en virtud de Ia misma formula (2) deducirfamos que la tercera raiz tambien es positiva, 10 que contradice ala condici6n (1). De este modo, para el caso en que las tres raices sean positivas el problema queda resuelto. Admitamos ahora que x, es una raiz irreal de la ecuaci6n, entonces, como es sabido, la eCllaci6n tiene una rafz compleja conjugada x2 + Xl. Puesto que en este caso XIX2 = XI Xl > 0, de la igualdad (2) obtenemos;

= -12.

(4)

De las ecuaciones (1) Y(3) obtenemos: Yl - Y2 =-a

(5)

Yde las eClIaciones (2) Y(4)

1i Y2

3 2

(6)

Resolviendo conjuntamente las ecuaciones (5) Y(6), hallamos:

YI = -3a,

Y: = -2a.

(7)

De este modo, si para ciertos val ores de a Y bIas eClIaciones tienen raices comunes; las terceras raices de estas ecuaciones se

ALGEBRAIResoluciones y Soluciones

determinan por las formulas (7). Colocando y\ = -3a en la primera ecuacion y Y2 = -2a en la segunda, obtenemos:

-18a 3 + 18 = 0

y -18a3 -

2ab + 12 = O.

= 1,

b = 2.

(8)

Colocando estos valores en la ecuacion hallaremos facilmente que

y

x 3 + x 2 + 18 = (x + 3)~2

- 2x + 6)

x 3 + 2x + 12 = (x + 2)~2

- 2x + 6).

Por consiguiente, para los val ores indicados de a y b, las ecuaciones tienen efectivamente dos rakes comunes. Estas rakes se determinan por la formula Xl, 2

Asi pues, la parte izquierda de la igualdad a demostrar satisface ala ecuacion cubica (1) x 3 -6x-40=0. Es facil comprobar que parax=4laecuacion (1) se satisface. Dividiendo la parte izquierda de la igualdad (1) por x «4 obtendremos la siguiente ecuacion para la determinacion de las otras dos ralces:

De aquf se determina el unico par de valores reales a

=-I±-J-S.

259. Designemos la parte izquierda de la igualdad por A. Tenemos:

x 2 + 4 x + 10 = O. Esta ecuacion tiene rakes irreales, puesto que su discriminante D =--24 < O. Por 10 tanto, la ecuacion (I) tiene la unica raiz real x = 4 Y puesto que A es notoriamente un numero real, entonces A = 4, con 10 cual el problema queda resuelto.

260. Es facil ver que la expresion que se exam ina se reduce a cero si dos cualesquiera de los numeros a, bye son iguales entre sf. De aqui, segun el teorema de Bezout, se desprende que debe dividirse sin resto por cada una de las diferencias

(b - c), (c - a), (a - b). Esto sugiere que la expresion dada es el producto de los factores indicados. Efectivamente, tenemos:

A3 = 20 + 14-12 + 3~~0 + 14-J2)i~20 -14J2 +

a 2 (e - b)+ b2 (a -e)+ e 2 (b - a)== a2e _ a2b +

+ 3~)20 + 14--J2

~(20 -14J2 )2

+ b2 a -b 2e + e2b - e2a == a 2 (e - b)- a(e 2 _ b2 )+

= 40 + 3 ~ 400 -

2 . 14 2 A

+ 20 -14-12 =

= 40 + 6A.

195

+be(e-b)=(c-b)[a 2 -ae-ab+be]= = (e -b ) [a{a -e )-h{a-e )]= (e - b)(b -a)(e - a).

(I)

196

PROBLEMAS DE MATEMATICAS ELEMENTALES

Puesto que a, bye son por pares diferentes, la afirmaci6n queda demostrada.

261. Observemos que para x = - y la expresi6n dada se reduce a cero. Por consiguiente, por el teorema de Bezout, se divide sin resto entre x Iy. Para efectuar la divisi6n representemos x + y + z en forma de la sum a de dos sumandos: (x + y) y z. Elevando esta suma al cuba obtenemos:

El primer miembro deesta igualdad se descompone faciimente en factores

a 2(b + c)+ ab(e +b)+ ac(b + c)+ bc(b + c)= = (b + c)(a 2 +ab + ae + be)= (b + c)(a+ b)(a+c). Puesto que el ultimo producto es igual acero, entonces, por

10 menos uno de los facto res es igual a cero, de donde se deduce la resoluci6n del problema.

[(x + y)+z]3 _x 3 -

i

= (x + y)3 + 3(x + y

f z + 3(x + y)z2 _ x3 _ y3 =

_z3 = 263. Sean a y

13 las ralces del trinomio cuadratico x 2 + px + q.

Si el binomio x 4

=3(x+ y)[z2 +z(x+ y)+xy]. El trinomio cuadrado respecto a z, que figura a la derecha entre corchetes, puede ser facilmente descompuesto en factores, puesto que es evidente que sus rakes son «x y «y. Como resultado obtenemos:

entonces, a y

_

1 se divide entre e\ trinomio indicado sin resto,

13 son ralces del binomio. Se ve facilmente que es

justo tambien 10 opuesto: si a y

13 son rakes del binomio x 4 -1,

entonces, este se divide entre x 2 + px + q sin resto *). Las raices del binomio x4 -1 son los numeros, 1, -1, i, -i. Por eso, tiene lugar la descomposici6n

262. Multiplicando ambos miembros de la igualdad dada por abc(a + b + c) la reduciremos a la forma

(ab + be + ac )(a + b + c) - abc

= O.

En virtud de 10 dicho mas arriba los trinomios que nos interesan pueden ser solamente aquel\os que representan un producto de los dos factores que figuran enla parte derecha de (1).

Abriendo los parentesis, obtenemos: *) En cste caso, si del dividendo.

a = 13,

el numero

a

debera ser raiz multiple tambien

ALGEBRAIResoluciones ySoluciones

Componiendo todas las combinaciones posibles hallaremos Ci ( 4)=6 trinomios.

Para que este polinomio se divida por x-I sin resto, en virtud del teorema de Bezout debe cumplirse la igualdad

(x -I )(x + I) = x 2 - 1,

n - a(n -

i) = x 2 - (1 + i}x + i, (x -1)(x + i) = x 2 - (1- i}x - i, (x + 1)(x - i) = x 2 + (1 - i) x - i, (x + 1)(x + i) = x 2 + (1 + i}x + i, (x - i )(x + i) = x 2 + 1. (x -1)(x -

197

2) = o.

Por eso la divisibilidad tienen lugar para cualquier numero entero positivo

n n>2 y a=--. n-2 265. De las condiciones del problema se desprende que

A,}

pea) = pCb) = B,

Con estos por 10 visto se agotan tOOos los trinomios buscados.

pee) = c.

264. Representando el polinomio dado en la forma

(1)

Dividiendo el polinomiop(x) entre (x-a)(x-b)(x-e), representemoslo en la forma

xn - 1- ax(xn- 2 -1), dividamoslo por la diferenciax« 1 valiendonos de la formula

p (x) = (x - a )(x - b )(x - c )q (x) + r (x) x - 1 k - - - =I+x+ ... +x x-I

(2)

k+l

(1) *)

Es evidente que r(x) es un polinomio no superior al segundo orden. Escribiendolo en la forma

Como resultado en el cociente obtendremos el polinomio

x n-l

(n-3 +x n- 4 + ... +x+. 1) +x n-2 + ... +x+ 1- axx

*) La f6rmula (I) se comprueba con facilidad directamente, es mas, ella coincide con la f6rmula de la suma de k lI::rminos de una progresi6n geometrica.

(3) Coloquemos en la identidad (2) sucesivamente x = b, x = c. En virtud de la igualdad (1) obtendremos el siguiente sistema de ecuaciones para la determinacion de los coeficientes I, my n del polinomio (3):

x

= a,

198

PROBLEMAS DE MATEMAnCAS ELEMENTALES

fa 2 + ma + n = A. "1I Ib 2 + mb + n = B, ~ "

(4)

I

le 2 + me + n =

C.j

Resolviendo este sistema hallaremos:

266. Por 10 visto, la formula es justa para n = I. Supongamos que la formula esjusta paracierto numero n; demostremos que entonces ella sera tambienjusta paran +1. Designando por Sn la suma que figura en la parte izquierda de la formula a demostrar, tendremos: Sn+l

1= (A-B)(b-e)-(B-C)(a-b) (a-b)(b-e)(a-e) , m = (A - B)(b 2 _e 2 )_ (B -C)(a 2 _b 2 ) (a-b)(b-e)(e-a) , n = a2 (Be -Cb)+ a(Cb 2-Be 2)+ A(Be 2-Cb 2) (a-b )(b -e )(e - a) . Observacion: Para x = a, x = b y x = e, el polinomio buseado rex) toma respectivamente los valoresA, B y C. Es faeil eomprobar que tal polinomio, no superior al segundo orden, es el siguiente: A (x-b)(x -c) B (x- a)(x -c) C (x-a)(x -b) (a - b)(a - e) + (b - a)(b - c) + (e - a)(e - b

r (5)

Puesto que el sistema (4) tiene una sola solucion, entonees, existe solamente un polinomio con la propiedad indicada y, por eonsiguiente, r (x) coincide con el polinomio (5).

= Sn + (n + I);n + 2) _ (11 + I)(n: 2)(11 + 3) =

= (n+l)[(n+l)+I][(n+I)+2] 6 De aqui, de acuerdo con el metoda de induccion matematica, se deriva la validez de la formula para cualquier valor entero positivo de n.

267. SeaSn lasumaquefiguraen la parte izquierdade la formula. Para n = 1, ambas partes de la formula coineiden. Demostremos que si la formula esjusta para cierto numero n, entonees sera tambien para n + I. Tenemos:

('1)2_Sn+l -S - n + 11 T

n(n+l)(2n+l) + (n + 1)2_6

= (n+l)(2n 2+7n+6)= (11-+-1)[2n(n+ 2)+3(n+ 2)] = 6 = (n + I)[(n + 1)+ 1][2{n + 1)+ I]

6

6 Por consiguiente, la formula es justa para eualquier n entero positivo.

ALGEsRAIResoluciont:s y Soluciones

268. Paran= 1es facil convencersede lajustezade laafinnaci6n. Supongamos que la f6nnula seajusta para cierto valor de n ~ 1. Designemos por S" la suma que figura en la parte izquierda de la

f6nnula. Tenemos: I

199

(coscp + isenCPt+! -(cosncp + i sen ncp)(coscp+ i sencp) =

= (cosncp coscp-senncp sen cp)+ i(cosncp sencp+ senncp coscp) = = cos{n + 1) cp + i sen{n + 1) cp. Por consiguiente, la f6nnula es justa para cualquier valor entero positivo de n.

Sn+!=Sn+(n+ln+2 )( )(n+3 )= _ n(n+3) , 1 - 4(n+l}(n+2)T (n+l)(n+2)(n+3)"

270. Es evidente que a + b = 1 y ab = -1. Aprovechando este hecho se puede escribir que

Deaqui

41_

n3 + 6n 2 + 9n + 4 = (n + 1)(n 2 + 5n + n 4(n+l)(11+2)(n+3) 4(n+1)(n+2)(n+3) _ (n+l)[(n+l)+3] - 4[(n+l)+I][(1I+l)+2]"

S +1 =

J5

-

- ---

~5

obien

Por consiguiente, la f6nnula es justa para cualquier valorentero positivo de n. 269. Por 10 visto, la f6rmula es justa para n = 1. Supongamos

que ella sea justa para cierto valor de n ~ I, es decir,

de don de

De aqui se deduce que si para cierto valor de n, los numeros an- I yan son enteros v positivos. entonces, tambien an+l y' por consiguiente an+2' all+3,· .. seran numeros enteros y positivos. Pero como a] = 1 y a 2= I, por 10 tanto, para 11 > 2 todos los valores de an seran enteros y positivos. . I " '

(cos cp + i sen

cp) n = cos ncp + i sen ncp.

-

(1)

Para convencerse de la justeza de la f6rmula para 11 = 1, multipliquemos am bas partes de (1) por cos cp + i sen cp. De acuerdo con la regIa de multiplicaci6n de numeros complejos, obtendremos:

200

PROBLEMAS DE MATEMAnCAS ELEMENTALES

271. Para n = 1 la desigualdad es justa. Supongamos que sea justa para cierto valor de n. Multiplicando ambas partes deesta desigualdad por 1 + an+l > 0, hallaremos que

(1 + a1)(1 + a2 )··· (I + an )(1 + an+1)~ ~ (1 +a1+a2 + ... +aJ(I +an+ 1 )=

Abriendo aqui los corchetes, transformemos cada uno de los

n + 1 sumandos por la f6rmula

(k )(a)k(b )n-k(a + b- n) = (k )(a)k(b )n-k[(a - k)+ (b - n+ k)] = =(k )(a)k(a - kXb )n-k + (k )(a)k (b )n-k(b - n+ k) = = (k}(a)k+l(b)n-k + (k)(a)k(b)n-k+l (k=O, 1, ... ,n). Como resultado obtendremos:

Puesto que la sumaa1an+l+a2an+l+'" +apn+I>O, entonces de aqui se deduce que la desigualdad tambien es justa para n + 1. 272. Ante todo nos convencemos de que la f6rmula es valida para n = 1. En efecto, para n = 1 la f6rmula tiene la forma

Valiendose ahora de la definici6n de patencia generalizada, se hace evidente que ambas partes de la f6rmula (1) son iguales a a+b y, par consiguiente, efectivamente tiene lugar la igualdad. Supongamos ahora que la f6rmula es valida para cierto valor de n y demostremos que sera tambien valida para n + 1. De la defmici6n de potencia generalizada tenemos:

(a+btl =(a+bt (a+b-n)= [(~)(a)o(bt +(~ )(a~(b )n-l + ... + +(~)(a)k(btk + ... + (~)(at(b )o](a +b - n)

(a+ b)n+l = (o)(aA (b)n + (o)(a)o (b)n+l + (r )(a)2 (b )n-l + + (r)(a)l (b)n +"'+(I:Xa)k+l (b)n-k + (k)(a)k (b)n-k+l + ... + +(~)(a)n+l (b)o +(~)(a)n (b)l' Despues de reducir los terminos semejantes tendremos:

(a +b)n+! = (o)(a)o (b )n+l + l(o)+ (r )J (aA (b)n + + [(1 )+ (~)](a)2 (b )n-l + ... +[(1:)+ (k:J (a )k+l (b )n-k + ... + + [C~l)+ (~)](a)n (b A+ (~)(a )n+l (b )0' Aprovechando, a continuaci6n, el hecho de que

=

y la identidad facil de comprobar

AWEBRAIResoluciones y Soluciones

obtenemos:

De acuerdo con la f6rmula( 4) en lapagina 42 eI valor minimo de ret) y, porconsiguiente, de ret), se obtiene en el momento de tiempo

(a+bLl =(n;I)(aMb)n+l +(ntl)(a~(bt + +{n;l )(a)2(b )n-l +... +(~:: )(a )k+Jb )n-k +... + +(n:l )(a t(b h+ + (~:: )(a t+l (b )0' Porconsiguiente, hemos demostrado que si la f6rmula, expuesta en la condici6n del problema, es valida para cierto valor de n, entonces es tambien valida para n + 1. Pero ella es justa para n = 1, por consiguiente, de acuerdo con el metodo de inducci6n matematicacompleta, es valida para todos los val ores enteros positivos de n. 273. Sea r(/) la d istancia entre los trenes en el momento de tiempo I. Entonces

r2(t)=(a-v1t)2 +(b-v2t)2 = (V12 +vnt 2- 2(av1 +bv2)t + a2+ b2. Observemos que si r(t) tiene el valor minimo para 1 = to' entonces, tambien r(t) adquiere el valor minimo cuando t = to' Esjusto y viceversa. El problema se reduce a la determinacion del valor minimo del trinomio cuadrado r (t).

201

to =

avl + bV2 2 2' VI + V2

Valiendonos acontinuacion de la formula (3), hallamos la distancia minima entre los trenes:

r{to) =

~vl +vi

.

274. En el momenta de tiempo I el coche se encuentra ala distancia de 40 t Ian del punto A y la motocicleta a la distancia de 3; (2 + 9 Ian del mismo punto. Por consiguiente, la distancia entre ellos es igual al valor absoluto de la diferencia 16P + 9 «40t. Designando esta diferencia por y(t), tracemos el gratico del trinomio cuadrado y(t) (fig. 4). Este grafico representa una parabola que, para los valores

II

= -i-

Y t2

= 2-i-,

intersectael

eje t. Del grafico esta claro que la ordenada de mayor valor absoluto y, para la condicion 0::;; t ::;; 2, corresponde al vertice de la parabola. El vertice de la parabola se encuentra en el eje de simetria que cruza el eje ten el punto II + 12 5 to = - - = - . 2 4

202

PROB LEMAS DE MATEMATICAS ELEMENTALES

As! pues, la distancia maxima entre el tren y la motocicleta se alcanza al cabo de 1 hora 15 minutos despues de iniciar el movimiento y es igua\ a 16 kIn. 275. Designemos la expresi6n que se analiza por y y transforme-mosla de la sigu iente manera:

y

y=21 og 4 x+ ~

+ 1221og2 x(1Iog8- 2 1ogx )=

276. Primera resolucion. Por 10 visto es suficiente examinar solamente los valores positivos dex. De acuerdo con laconocida desigualdad (3), pag. 20 tenemos:

ax 2 +b - - 2

~

1~2'l ax b

~

= x -v ab.

(1)

Por consiguiente, para todos los valores de x > 0 y

=

x ax 2

+b

~

x I

2x\l ab

= ------,====. 2-J ab

(2)

t

=llogZ x(zlogZ x-12 2 1ogx+36)= =zlog2 x(6- Z1ogx)2 .

Hagamos a continuaci6n 2 10gx =z, de modo que O~z~6. Entonces, el problema se reduce a la determinaci6n del valor maximo de lavariable

Es suficiente hallar el valor maximo de z(6-z) con la condici6n de que 0 ~ z ~ 6, puesto que cuanto mayor es un numero positivo tanto mayor es el cuadrado de este numero. El trinomio cuadrado z(6-z)=- {z- 3)2+9 a1canza su valor maximo paraz=3.As! pues, el valor maximo se consigue cuando z = 3 yes igual a 81.

Puesto que (1) pasa a ser una igualdad cuando ax1

= b,

I.

entonces, para Xo =~! tenemos: 1

Yo

= 2-J ab .

(3)

En virtud de (2) este es precisamente el valor maximo de la funci6n. Segunda resoluci6n. Resolviendo la relaci6n

y=

x 2

ax +b

(4)

respecto a x, obtendremos:

1 ± ~I- 4aby2 x=-- - - - . 2ay

(5)

ALGEBRAIResoluciones y Soluciones

De la formula (5) se desprende, que para todos los val ores

x2 + 1 r;:; --:2:-2+2,, 2 x+1

reales de x debe cumplirse la desigualdad 1 - 4aby2 :2: O. De

203

(2)

Yel signo de igualdad en esta formula tiene lugar cuando

aqU)

(6)

x=J2-l. Puesto que para cierto valor real de Xo la funcion (4) adquiere elvalor Yo

= 2"J~a b (de la formula(5)hallamos que

Xo

= ~ (f), a I

entonces, en virtud de (6) este valor es el maximo.

278. Tomemos el eje numerico y marquemos en ellos puntosA, B, C y D correspondientes a los numeros a, b, C Y d. EI punto con la abscisa variable x 10 designaremos por M (fig. 5) Examinemos los cinco casos siguientes.

277. Por medio de las transformaciones evidentes, obtenemos:

~2 + 1 = x-1 :. _2_ = -2 + [x + 1 + _ 2_ ] . x+l

x+l

A

B

C .

D

x

a

b

c

d

•

x+l

.

M

•

..

Fig. 5

En virtud de la desigualdad (3), pag. 20 1) x::;; a; entonces

x+ 1+ _ 2_ :2: 2 /(x+ x+l ~

1)-{

2 ) = 2J2, x+l

(1)

con la particularidad de que el signa de igualdad en (1) tiene lugar solamente en el caso cuando 1+ x

2 -

= - -1-' x+

es decir, para Xo

= -02 -

As) pues, para todos los valores de Xo =:2: 0

1.