FACULTAD DE INGENIERÍA
Trabajo Práctico Nº 1
MECÁNICA RACIONAL
Tema: Algebra Tensorial Problemas Resueltos 1. Dados los vectores A = [1,2,4] y B = [ 2,1,5] cuyas coordenadas están referidos a un sistema denominado (x,y,z). a) Hallar los productos escalar, escalar, vectorial vectorial y tensorial. b) Calcular el determinante del tensor AB c)Representar por sus componentes a ambos vectores en el sistema (x', y', z') deducidos del anterior por la rotación rotación representada por por la matriz [R] [R]= 1 / 3 2 / 3 2 / 3
1/ 3 2 / 3 2 / 3 2 / 3
2/3 1/ 3
d)Hallar nuevamente los productos escalar, vectorial y tensorial de A' y B'. Calcular además el determinante del tensor [T]'. a)Producto escalar A . BT = [1,2,4] 2 = 1*2 + 2*1+4*5 = 2 + 2 + 20 = 24
1 5
Producto vectorial A x B = Det i
1 2
j
k =i(10-4)-j(5-8)+k(1-4)=6i + 3j -3k A x B = [6,3,-3]
2
4
1
5
Producto tensorial AB = 1 2
2 2 4 2
11
1 5
2 1
2 5
4 4 5 8
4 1
b)Determinante de AB= Det 2
4 8
1 2 4
= 2
1 2 4
10 20 5
= 2(40-40)-1(80-80)+5(16-16) = 0 10 20 5
c)Para determinar las componentes de A y B en el nuevo sistema, aplicamos como operador lineal la matriz de rotación, los que nos dará los vectores referidos a la nueva base. 2 / 3 2 / 3 1 = ( 1 / 3 )1 ( 2 / 3 )2 ( 2 / 3 )4 = 11 / 3 [A']T = [R][A] T = 1 / 3
1/ 3 2 / 3 2 / 3 2 / 3
[B'] T = [R][B] T = 1 / 3
2 / 3 2 / 3
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2/3 1/ 3
2 / 3 2 / 3 1/ 3 2 / 3 2 / 3 1 / 3
2 4
( 2 / 3 )1 ( 1 / 3 )2 + ( 2 / 3 )4 ( 2 / 3 )1 ( 2 / 3 )2 + ( 1 / 3 )4
8 / 3 2 / 3
2 = 10 / 3 1 13 / 3 5 1 / 3 Pagina
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MECÁNICA RACIONAL
Tema: Algebra Tensorial d)Producto escalar de A' . B' A' . B' = [-11/3,8/3,-2/3] 10 / 3 = 110/9+104/9+2/9 = 216/9 = 24
13 / 3 1 / 3 Producto vectorial A' x B' =Det i j k = [2 , 1 , -7] 11 / 3 8 / 3 2 / 3 10 / 3 13 / 3 1 / 3
En el caso del producto escalar, es evidente que el mismo es invariante. En cuanto al producto vectorial, si bien se trata del mismo vector, no aparece tan evidente puesto que al cambiar la base, cambian las componentes. Para verificar que A x B = A' x B', podemos aplicar a A x B el operador [R], o a A' x B' la inversa de [R] . Si elegimos esto último: [R]-1= 1 / 3 2 / 3 Nota: Por ser [R] una matriz ortogonal, es [R]-1 = [R]T 2/3
2 / 3 1 / 3 2 / 3 2 / 3 2 / 3 1 / 3 [R]-1[A'xB']T = 1 / 3 2 / 3 2/3 2 / 3 1 / 3 2 / 3 2 / 3 2 / 3 1 / 3
T 2 = 6 = [A x B] 1 3 7 3
Producto A'B'= ( 11 / 3 )( 10 / 3 ( 11 / 3 )( 13 / 3 ) ( 11 / 3 )( 1 / 3 ) = 110 / 9
( 8 / 3 )( 10 / 3 ) ( 8 / 3 )( 13 / 3 ) ( 2 / 3 )( 10 / 3 ) ( 2 / 3 )( 13 / 3 )
( 8 / 3 )( 1 / 3 ) ( 2 / 3 )( 1 / 3 )
tensorial
143 / 9 11 / 9 80 / 9 104 / 9 8 / 9 20 / 9 26 / 9 2 / 9
Se puede verificar este resultado expresando A B en el sistema x'y'z' remultiplicándolo por [R] y posmultiplicándolo por [R]T . 2 / 3 2 / 3 2 1 5 1 / 3 2 / 3 = 2/3 [R][AB][R]T = 1 / 3
2 / 3 1 / 3 2 / 3 4 2 2 / 3 2 / 3 1 / 3 8 4 = 110 / 9 143 / 9 11 / 9 =[ A'B'] 80 / 9 104 / 9 8 / 9 20 / 9 26 / 9 2 / 9
2 / 3 1 / 3 2 / 3 1/ 3 20 2 / 3 2 / 3
10
Otro camino es llevar [A' B'] a la base original. Sabiendo que es [R] la matriz de cambio de base de xyz a x'y'z', [R']=[R]-1=[R]T será la matriz de cambio de base de x'y'z' a xyz. Esto es: 2 / 3 110 / 9 143 / 9 11 / 9 1 / 3 2 / 3 2 / 3 = 2/3 [R'] [A'B'][R'] T = 1 / 3
2 / 3 1 / 3 2 / 3 2 / 3 2 / 3 1 / 3
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Tema: Algebra Tensorial = 2
1
4 8
2 4
=[AB] 10 20 5
El determinante de [A'B'] es en forma evidente igual a cero, puesto que las filas del mismo no son linealmente independientes. 2. Dado el siguiente tensor: a)hallar los autovalores; b)hallar la transformación lineal que lleve del sistema donde está representado, al sistema donde se encuentre expresado a través de sus autovalores. T= 5 0 0
0 0
14 2
11 2
En este caso, y por tratarse de una matriz simétrica de coeficientes reales, sabemos que los autovalores serán reales. Para determinar los mismos se determina la ecuación característica o secular P(), de la siguiente manera: Det[[T] - [I]] = 0 donde [I] es la matriz identidad, en este caso, de 3x3 Los autovalores son las raíces de este polinomio de tercer grado.
Det 5 0 0
0 14 2
λ 1 2 0 0 11 0
0 1 0
0 = Det 5 λ 0 0 0 1
2 3 =750 - 275 + 30 - 14 λ 2 2 11 λ
0
0
Las raíces de este polinomio son los autovalores. Resolviendo el mismo: 1 = 5 ; 2 = 10 ; 3=15 Los autovectores son vectores tales que, al aplicarles el operador [T], se transforman en vectores que tienen la misma dirección, es decir, si [v] es un autovector, y se le aplica [T], el vector transformado es un múltiplo escalar del vector dado. El escalar factor de multiplicidad es un autovalor. Con matrices, se expresa de la siguiente manera: [T][v]T =[v]T = [I][v]T [[T]- [I][v]T = 0 Esto se puede expresar como un sistema de ecuaciones homogéneo: ( 5 λ)vi1 = 0 ( 14 λ)vi2 + 2v i3 = 0 2v i2
+ ( 11 λ)vi3 = 0
Utilizando el valor de 1=5, se halla el primer autovector [v 1], cuyas componentes serán v11, v12, v13 El sistema de ecuaciones queda: (5-5)v11=0 9v12+2v13=0 2v12+6v13=0
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Tema: Algebra Tensorial Del análisis de este sistema de ecuaciones surge que v11 puede adoptar cualquier valor, en tanto que v12 y v13 deben ser iguales a cero. Tomando v 11 = 1, el autovector asociado a 1=5 es v1=[1,0,0]. Utilizando el valor 2 = 10, el sistema de ecuaciones queda: -5v21=0 4v22+2v23=0 2v22+v23=0 El único valor de v 21 que satisface la primer ecuación es v 21 = 0. Utilizando las otras dos ecuaciones, queda que es v 22 = -v23/2. Si hacemos v23 = 2, tendremos que v 22=-1. El autovector asociado a 2 es entonces v2 = [0, -1,2]. Utilizando el valor 3 = 15, se obtiene: -10v31=0 -1v32+2v33=0 2v32+-4v33=0 Nuevamente, es v31=0. Siendo v32 = 2v33, fijando v33 = 1, será v32 = 2. El autovector asociado a 3 es v3 = [0,2,1] Tomando los autovectores, se formará una base ortonormal directa, que define el sistema en que el tensor [T] estará representado por una matriz diagonal con los autovalores como coeficientes. La ortogonalidad de los autovectores está asegurada por el hecho de ser la representación de [T] una matriz simétrica de coeficientes reales, y los autovalores distintos. Para determinar la base, en primer lugar se normalizan ("versorizan") los autovectores: v1 = [1,0,0]; v2=[0,-1/ 5 ,2/ 5 ]; v3 = [0,2/ 5 ,1/ 5 ] Verificamos que la base sea directa, realizando el producto vectorial entre v 1 y v2. Este producto vectorial nos da -v3. La base estará formada entonces por: v1 = [1,0,0]; v2=[0,-1/ 5 ,2/ 5 ]; -v3 = [0,-2/ 5 ,-1/ 5 ]. Utilizando métodos ya conocidos, se determina el operador lineal de cambio de base, que llamamos matriz modal [M] [M]= 1 0 0
0 1 / 0 2 /
5 5
2/ 5 1 / 5
Llamando [TD] al tensor diagonalizado, si pre y postaplicamos a [T] la matriz modal, se obtiene [TD] 0 0 [TD]=[M][T][M]T = 1 0 5 0 0 1 0 = 5 0 0
0 1 / 0 2 /
5 5
2/ 5 1 / 5
0 0
14 2
11 2
0 1 / 5 2 / 0 2 / 5 1/
5 5
0 0
10 0
15 0
3. Dados los siguientes tensores simétricos [T 1] y [T2], se desconoce si son dos tensores distintos expresados en un mismo sistema coordenados o son expresiones de un mismo tensor en distintos sistemas. Curso 2012 -
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MECÁNICA RACIONAL
Tema: Algebra Tensorial Verificar si ambos conjuntos de componentes son expresiones de un mismo tensor en distintos sistemas coordenados. En caso afirmativo, encontrar la transformación lineal correspondiente que vincule ambos sistemas. [T1] = 13 4 6 [T2]= 9 0 0
4 6
9 2
14
0 0
2
21
0
0
6
Para verificar si se trata de representaciones del mismo tensor en distintos sistema, se calculan los invariantes del mismo. En primer lugar, se verifica si Det[T1] = Det[T2] Det[T1]=Det 13 4 6 =1134=Det 9 0 0 =Det[T2]
4 6
9 2
14
0 0
2
21
0
0
6
Se verifica si la suma de los elementos de la diagonal son iguales: 13 + 9 + 14 = 36 = 9 + 21 + 6 Siendo iguales los invariantes, se concluye que ambas matrices probablemente sean representaciones del mismo tensor. Para confirmar esto, se verifica si la diagonalización de [T1] es igual a [T2]. Para diagonalizar [T1], se determinan sus autovalores. Para ello: Se determina el polinomio característico: Det[ [T1]-[I] ] = 0 P() = 1134 -369 +362 + 3 Las raíces de este polinomio son los autovalores. Se determinan las raíces: 1 = 9 ; 2 = 21 ; 3 = 6 Los valores de los autovalores de [T1] se corresponden con los elementos de la diagonal de T2. Para determinar los autovectores, se resuelve el sistema homogéneo que surge de expresar en forma escalar la ecuación matricial [ [T] - [I] ] = 0: ( 13 λ)vi1 + 4v i2 + 6v i3 = 0 4v i1
+ ( 9 λ)vi2 + 2v i3 = 0
6v i1
+ 2v i2 + ( 14 λ)vi3 = 0
El autovector asociado a ecuaciones. 4v11 + 4v12 + 6v13 = 0 4v11 + 0v12
+ 2v13 = 0
6v11 + 2v12
+ 5v13 = 0
1
= 9 se obtiene reemplazando
por 1 en el sistema de
De la segunda ecuación, resulta v 11= - (1/2)v13. Reemplazando en la primer ecuación, nos queda v12= -v13. Fijando el valor de v13 = 2, queda el autovector asociado a 1 = 9 v 1=[-1, 2, 2]. Nota: Recuerde que un sistema homogéneo de ecuaciones tiene solución distinta de la trivial cuando el determinante de los coeficientes es igual a cero. Se considera redundante verificar esto, ya que los autovalores son precisamente las raíces del polinomio formado de la igualación a cero del determinante de los coeficientes.
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Tema: Algebra Tensorial El autovector asociado a 2 = 21 se obtiene reemplazando de ecuaciones: 8v 21 + 4v 22 + 6v 23 = 0 4v 21
por 2 en el primer sistema
12v 22 + 2v 23 = 0
6v 21 + 2v 22
7v 23 = 0
Fijando v23 = 2, y resolviendo el sistema no homogéneo de 2x2 que se forma tomando las ecuaciones de a pares, obtenemos el autovector asociado a 2; v2 = [2,1,2]. Operando de manera similar, se obtiene el autovector asociado al autovalor 3 = 6. El sistema de ecuaciones queda: 7v 31 + 4v 32 + 6v 33 = 0 4v 31 + 3v 32
+ 2v 33 = 0
6v 31 + 2v 32
+ 8v 33 = 0
Fijando v33 = 1, obtenemos v31=-2 y v32=2. El autovector asociado a [-2,2,1]
3
es por lo tanto v3 =
Para formar la matriz modal, normalizamos los autovectores: v1=[-1/3,-2/3,2/3] ; v2 = [2/3,1/3,2/3] , v3 = [-2/3,2/3,1/3] Estos vectores normalizados son ortogonales [el tensor es simetrico y real]. Resta verificar si forman una base directa. Realizando el producto vectorial entre v1 y v2: v1 x v2 = (-2/3)i +(2/3) j+(1/3)k = v3 Por lo tanto, la matriz modal es: [M]= 1 / 3 2 / 3 2 / 3
2 / 3 2 / 3
1/ 3
2 / 3
2/3
1/ 3
Por ultimo, verificamos que el tensor [M] aplicado al tensor [T 1] da por resultado el tensor [T2]=[TD] [TD]=[M][T1][M]T = 1 / 3 2 / 3 2 / 3 13 4 6 1 / 3 2 / 3 2 / 3 = 9 0 0 =[T2]
2 / 3 2 / 3
1/ 3 2/3
4 1 / 3 6 2 / 3
9 2
14 2
2 / 3 2 / 3
1/ 3
2/3
2/3
1/ 3
0 0
21
0
0
6
Esto prueba que la matriz modal [M] es un operador lineal, que al ser aplicado al tensor [T1], lo diagonaliza, es decir, que [M] es la matriz de cambio de base que lleva a [T 1] a una base en la que el tensor estará representado por una matriz diagonal, cuyos elementos serán los autovalores de [T 1].
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