PROBLEMARIO DE MATEMATICAS I ING. MIGUEL ENRIQUE RAYA AYALA I
Expresar los siguientes números números como el cociente de dos enteros. 1 1.181818… 4 0.45 7 1.4444… 2
0.285714285714…
5
4.5132132…
8
1.15
3
0.200200…
6
2.3544444…
9
0.53333…
10 0.9541111111…
II Determinar el periodo que se repite repite de los siguientes números racionales. racionales. 11 x
=
9
12 x
7
=
11
13 x
17
=
8 7
14 x
=
15
15 x
8
4
=
2
III Realice las siguientes operaciones operaciones con polinomios: 2 16 (ax+5)+(ax-4) 41 (2-x)-(x +3x+3)
66 (x +xy+y )(x-y)
17 (xy+x+y+2)+(xy-3)
42 (y)-(-y)
67 (x2+y2)(x2+y2)
18 (n3+8)+(-n3-n2-n-8)
43 (x2+4xy+y2)-(-x2+4xy-2y 2)
68 (t 3+n3)(t 3-n3)
19 (3x3+3x)+(4x-3x 2-7x+10)
44 (-2n3-n+8)-(-7-2n 3)
69 (x2-xy+y2)(x+y)
20 (c2-d 2)+(c2+d 2)
45 (4y+5)-(-y-3)
70 (a4+a2b2+b4)(a2-b2)
21 (a +b )+(a -3a b+3ab -b )
46 3x(y+z)
71 (x +5x-7)(x -x+4)
22 (x2+2xy+y 2)+(x2-2xy+y 2)
47 (t 2-1)2t
72 (k 4-2k 3+3k 2-4k+5)(k+2)
23 (a3+b2-c)+(b2+c)
48 xy(2x4 y+x2 y2-3xy3)
73 (-n3-2n2-3n-4)(n2+n-1)
24 (az +bz -z)+(-az +z-4)
49 (x+5)(x-3)
74 (ax +bx +c)(ax -bx +c)
25 (3x2+1)+(x2-4)
50 (x+4)(y-3)
75 (2x2 y2-3x+4y+1)(1-xy)
26 (y3+3y2+2)+(y4+y3-y2+5)
51 -4y2(3y-8)
76 (r 2-2r+1)(2r-r 2-1)
2
3
3
3
2
2
2
3
3
2
3
2
2
2
2
2
2
2
3
2
5
3
4
3
2
3
27 (4x y+3xy+7)+(x +3x y-2xy-5)
52 (k -2k)(4k -1)
77 (3b -9b +6b )/(3b )
28 (4y4-3y3-2y2-y-1)+(1+y+y2+y3+y4)
53 (ax3-2b2+c)(-3x)
78 (t c-2t c+2+3t c+4)/(t c)
29 (3k 2-k+2)+(4k-3)
54 (3x+4)(x2+3x-5)
79 (5x2-6x-8)/(x-2)
30 b3+(3b3-c)
55 (4n2-7n+6)(5n2+4n+6)
80 (3y2-7y+6)/(y+3)
31 (x4-1)+(x3-3x2)
56 (y+3)(y-3)
81 (17n+n2+21)/(2n+3)
32 (3x+4)-(x-1)
57 (3x-4)(3x+4)
82 (r 2-9)/(r-3)
33 (3x2-2x-1)-(5x+6)
58 (a+b)(a-b)
83 (1-16t 4)/(1-2t)
34 (1+t+t 2)-(-t+t 2)
59 (t+3)2
84 (2x3-7x2-9x-3)/(2x+1)
35 (4-bcd)-(-bcd)
60 (2x+5)
36 (a-b)-(a-b)
61 (a+b+c)(d+e+f)
86 (y3-6y2+12y-8)/(y2-4y+4)
37 (x2+2xy+y 2)-(x2-2xy+y2)
62 (5a+7)(2a-3)
87 (1-r-3r 2-r 5)/(r 2+2r+1)
38 (k 3-k-7)-k
63 (2x+3y)(x-4y)
3
3
3
39 (x -y )-(x-1) 3
2
3
64 (x -y )(1-y) 3
40 (6x -3x+2)-(7x +3x+7)
2a
a
85 (x -16)/(x +4)
88
1 6c 1 3c 1 2c 1 c x + y / x + y 8 2 27 3
2
65 (4t -t+3)(t+3)
IV Factorice completamente completamente si el polinomio es factorizable. factorizable. 89 (y2-x2) 95 x2-(y+x)2 99 9s2-16+4t 2-12st 2 3 90 (12x -3) 100 x +125 1 2 2 2 3 3 96 x − 2 y 91 (1-4n ) 101 24a -3b 2 2 2 3 2 92 (81a b -b ) 102 (x+2y) -8 2 2 2 2 3 (u -v )-(u-v) 97 93 (-49x +64y ) 103 (n+4) +(n-1)3 2 2 98 x -y +2x+1 94 (25x2-x2 y2) 104 u2+10u+25-v 2 V Encontrar, si es que existen, las raíces de los siguientes siguientes polinomios. 107 x 108 x3-8x2-4x+32=0 x3+5x2-17x-21=0
105 4a2 -4ab+b2-9 106
1 2
x 2 + xy +
1 2
y2 − 2
109 3x4-2x3-28x2+18x+9=0
1
PROBLEMARIO DE MATEMATICAS I ING. MIGUEL ENRIQUE RAYA AYALA 110 6x3-47x2+36x-7=0 111 3x3-10x2-23x-10=0
112 x5-x4-13x3+13x2+36x-36=0 113 x5-3x4+10x3-30x2+9x-27=0 114 5x4-12x3+71x2-192x-144=0
115 6x3+31x2+34x-15=0 116 x4-625=0
VI Resuelva lo siguiente: 117
−2
118
−3
119
− 36
120
− 25
123
− 128
121
− −9
124
− 12
122
− − 16
−9
125
132 (4-3i)+(5-2i)
130 (3+2i)+(5-i)
− 80
16
−
126
VII Expresar los siguientes números complejos en la forma z=a+bi 131 (-2+3i)+(7+8i) 128 − 7i + 10i 129 4i + (− 10i )
127 −
25 4
134 3i-(5-2i)
136 (-2+8i)-(7+3i)
135 (3-i)-(5-2i)
137 (4-2i)-(5-3i)
133 2i-(4-3i) VIII
Resuelva lo siguiente:
138
i
13
140
i
18
142
i
99
139
i 20
141
i 27
143
i 71 − i 49
i
144
68
− i 72 + i 76 − i80
IX Expresar los siguientes números complejos en la forma z=a+bi 145 (3+2i)(5-i) 154 (-2+3i)/(7+8i) 163 (5-10i)/(-3+4i) 146 (-2+3i)(7+8i)
155 (4-3i)/(5-2i)
147 (4-3i)(5-2i)
156 2i/(4-3i)
148 2i(4-3i)
157 3i/(5-2i)
149 3i(5-2i)
158 (3-i)/(5-2i)
150 (3-i)(5-2i)
159 (-2+8i)/(7+3i)
151 (-2+8i)(7+3i)
160 (4-2i)/(5-3i)
152 (4-2i)(5-3i)
161 (3+2i)/(2+i)
153 (3+2i)/(5-i)
162 (8-3i)/(-2+3i)
164
165
166
167
2 +i 2 −i 4 − 3i 2 + 4i 7 + 3i 2 − 6i
168
− (i − 1)
2
3 − 4i
+ (4 + 3i )
2
(1 + 3i )
2
3 + 2i
(2 − i )
2
(4 − 2i )3
2
+ (4 + 2i )
2
169
i 3 (1 + 2i ) 1 − i
X Si el reciproco de un número complejo z es 1/z Determinar los recíprocos y expresarlo en la forma a+bi: 170 i 171 –i 172 2-4i 173 -3-5i 174 -4+7i XI Obtenga las raíces cuadradas mediante el desarrollo del binomio de los siguientes números complejos: 175 2i 179 -3+3i 177 3 − i 181 1- 3i 176 1+i 180 3+4i 178 4+i 182 4 3 -4i XII Expresar en su forma polar y graficar en el plano complejo los siguientes números complejos: 183 4-5i 192 -4-3i 201 -1+i 208 - 3 -i 184 3-2i 193 5-2i 202 -1-i 209 -3-4i 185 4+i 194 -5 203 1+i 210 8-15i 186 5+3i 195 3-3i 204 1+ 3 i 211 3i 187 7 196 -5i 212 –i 205 1- 3 i 188 2+5i 197 5-12i 213 -2 189 -2+3i 198 15+8i 206 -1+ 3 i 214 3 190 2i 199 -7-24i 207 -1- 3 i 191 -2-i 200 1-i
2
PROBLEMARIO DE MATEMATICAS I ING. MIGUEL ENRIQUE RAYA AYALA XIII
Realice las operaciones indicadas, pero antes ponga los números complejos en su forma polar
215
(1 + i )(1 −
3i
(
)
221
) 217 ( 3 + i )(− 1 + i )(− 1 − 216 (1 − i ) − 1 −
3i
3i
)
222
4
218 (1+i) 219
(
3 −i
223
)
3
1 + 3i
224
3+i
−1− i −1 + i
(1 +
225
3i
)(
3+i
(− 1 +
)
3i i
1 + 3i
−1 − i (1 + 3i )(1 − 3i )
)
1+ i
220 (-1-i)5 XIV Usando el teorema de De Moivre elévese a la potencia indicada los números complejos. 226 (1+i)3 228 (3+4i)5 230 (-2+3i)4 232 35 229 (5-12i)2
3 i)3
227 (1-
XV Encuéntreselas raíces pedidas 234 Raíces cúbicas de 1+i 235 Raíces cúbicas de i
231 i9
233 (-2i)7
3i
239 Raíces cuartas de 1+ 240 Raíces cuartas de 16
236 Raíces cúbicas de 1-
3i
241 Raíces quintas de 1-i
237 Raíces cúbicas de -
3 +i
242 Raíces quintas de 1+i 243 Raíces quintas de -32
238 Raíces cuartas de 1-i XVI Resuelve las siguientes igualdades: 244
245
1 4
3
3
8
4
+ y= 5
1
2
2
− x+
259
= −18
4 2 x −
262
5
8
1
4
258 x(x-1)(x+2)=0
6 3 5 + x = 9 3x − 5 4 2
264
265
2 x + 3 =
6
7
2
255 (y-8)(y-9)=0
257 m(m-8)=0
5 = 3 + 7 x 5 2
1 4 x − 7 = + 2 x 4
253 a+(a-3)=(a+2)-(a+1)
256 (2x-3)(3x-2)=0
2
2
(16 y + 8) − 17 = − (8 y − 16 )
254 (x+2)(x-5)=0
263 5(3x+4) +3=-2(2x-4)
251 0.7(3x+6)=1.1-(x+2) 252
x 1 − = x − 24 6 3
261
250 5y-(2y-10)=25
1
(a − 3)(7a + 4 ) = 0
24
248 80=10(3t+2) 249 180(n-2)=900
7
260
246 0.8t-.3t=6.5 247 2(x+6)=8x
1
266
4
− 8x =
267 5 x +
3 4
=
2
5 9 3 2
− 2 x
3
PROBLEMARIO DE MATEMATICAS I ING. MIGUEL ENRIQUE RAYA AYALA
2
268
3
7
x −
2
= 5 + 3 x
XVII Encontrar los valores de x para los cuales se cumplen las siguientes desigualdades, exprese la solución en la notación de intervalos. 269 5x-2>3x+8 2 x + 7 304 3 − 11x ≥ 41 287 ≥9 270 6-x<9 5 x − 7 271 x+5>2
288 x2-8x+12≥0
272 x+4<10 289 x
273 x+9 ≤ -12 274 x+14 ≥ 9
291
276 8x ≥ 24 277 -8x ≤ 32
281
282
283
284
285
9
306
3x + 14
1≤
≤2
3
3
5
293 x≤3x+2≤x+6
4
8
294 (8x-3)(x+1)>0
− x≥−
295
x + 3 >0 x − 3 x − 2 x + 1
3 4 x +
307
−1 < 2 −
1 x
<1
297 7 − 2
1
2
3
298 6x +3x-8 ≤1
2
x 2 − 2 x + 1 299 2 ≤0 x − 2 x − 3
≤ 4(2 x − 7 )
5 2 6 − 3 x ≥ 2 3x + 2 3
− 8 x <0 ( x + 1)3 1 3( x + 2 )
286 3 x + 5 <
( x + 3)( x − 3) 3 x + 2
≤ 8 3
300
301
2 x − 3
3 x − 9
1 x
2
>
2 x+2
< 100
−1<
309
2 x + 1 < 0
302 x + 10
− 4 x
303
7 − 3 x 2
4
2 x + 3 5
25 x − 8 > 7
312
4−
313
x
≤6
<2
311
< 1, x ≠ 0
3 x + 5 2 x − 1
≥2
314
2 x − 3 ≤ 3 x − 1
315
7 x − 1 ≥ 2 x + 1
316 x
( x − 3)( x + 2 )
3 − 7x
308
1
> 0, x ≠ ±3
≤0
2 x − 7
310
> 3, x ≠ 0
x
≥ 2, x ≠ 0
x
x + 1
296 x2+x-3>3
<0
4
5+
4
292 10-x<4x ≤25-x
279 0.4x+5 ≤ 1.2x-4 280
≤
290 4x≥5x-7
275 x-9 ≤ 10
278
2
305
2
+ 2x − 4 > 4
< 0.3 ≤1
XVIII Encontrar el dominio y el rango de la función. 317 h( x ) =
318 f ( x ) = 2 x − 4 319 f ( x ) = 320
321 g ( x ) = x
− x+3 +2
− 3 − 6 x − 5
g ( x ) = x 2 − 5
322
2
h( x ) = x 2 + 3 x − 6
323 g ( x ) = 3 x 324
− 6 x + 1
2
+ 12 x + 3
h( x ) = 3 − x 2
325
h( x ) = 4 x − x 2
326 g ( x ) = 2 sen( x − π 4 ) 327 h( x ) =
−3 cos( x + π ) + 2
328 f (t ) = sec
π t 4 4
PROBLEMARIO DE MATEMATICAS I ING. MIGUEL ENRIQUE RAYA AYALA 329 h(t ) =
336 g ( x ) =
cot t
330 g ( x ) = 331 f ( x ) = 332 f ( x ) =
2
337 h( x ) =
x − 1 1 x + 5 4 8 − x
−2
1 − cos x 1
339 h( x ) =
334 h( x ) = 4 − x − 1
340 g ( x ) =
f ( x ) =
342
x 2 + 2, x ≤ 1 h( x ) = 2 2 x + 2, x > 1
1
senx −
+ 6
2 x + 1, x < 0 2 x + 2, x ≥ 0
341
2
338 f ( x ) =
333 g ( x ) = x + 7 − 3
335 f ( x ) =
2 x − 3x + 2
2
343 g ( x ) =
x + 1, x < 1 − x + 1, x ≥ 1
344 f ( x ) =
x + 4 , x ≤ 5 2 ( x − 5) , x > 5
1 x + 3
1 x − 4 2
x + 1 − x
XIX Dadas las funciones, realizar, si es posible las operaciones (f+g), (f-g), (fg), (f/g) y (f o g), así como determinar el dominio y el rango de la función resultante. 345
f ( x ) = − x + 3
346 f ( x ) =
2 x − 1
347 f ( x ) = 348 f ( x ) =
g ( x ) = x 2 − 5
349 f ( x ) = 350
g ( x ) = x + 1 − x
x − 3 x + 2 g ( x ) =
1
g ( x ) =
x + 3
f ( x ) = x 2
351 f ( x ) =
x −1
2
1
352 f ( x ) =
x − 4 2
x
3 x
1 x
2 g ( x ) = x − 1
g ( x ) =
x
g ( x ) = x 2 − 1 g ( x ) =
x+2
XX Determinar si la función es par o impar o ninguna de las dos: 353 h( x ) = 354
− x+3
g ( x ) = x 2 − 5
355 f ( x ) = x 356 h( x ) = x 357
361 f (t ) = sec
3
5
362 h(t ) =
− 2 x + 1 + 4 x − 2 x 3
g ( x ) = x 4 − 5 x 2 + 1 x − x x 2 + 5 x 4 3
358
f ( x ) =
359
2 − 4 x h( x ) = 6 x + 5 x + 3 9 x + x
x + 2 x − 3 x 7
g ( x ) =
4
2
x − 1 x + 1 − x
365 g ( x ) =
x − 3 x + 2
x + 3
lim(3 x + 2 ) x →2
375
x 2 − 4
(4 − x )
370 f ( x ) = x
2
371 f ( x ) =
x
3
2 1 − cos x
372
f ( x ) = x cos x
373
f ( x ) = sen 2 x
2
1 1 2
XXI Calcular los límites que se piden, si es que existen, si no existen explicar por que: 374
1
2
senx −
3
1
369 g ( x ) =
364 f ( x ) =
367 f ( x ) =
5
368 h( x ) =
cot t
366 h( x ) =
3
360 h( x ) =
363
π t
x lim 4 − x→4 2
376
(
lim x 2 − 3 x→2
) 5
PROBLEMARIO DE MATEMATICAS I ING. MIGUEL ENRIQUE RAYA AYALA 377 378 379 380 381 382 383
384
385 386 387 388
(
lim x 2 + 4 x→5
)
lim
x 3 − 8 x→2 x − 2
404
(1 − cos x )2 lim x→0 x
394
lim
x − 5 2 x→5 x − 25
405
lim π
395
x 2 + x − 6 lim 2 x→ −3 − 9 x
406
lim
396
lim
x + 5 − 5 x→0 x
407
lim
397
x + 5 − 3 lim x→4 4 − x
408
5 x 3 − 3 x 2 + 10 lim 2 x→∞ x
398
1 1 − lim 3 + x 3 x→0 x
409
x 2 + 2 lim x→∞ x 3 − 1
410
5 − 2 x + 10 lim x→∞ − 3 4 x
lim( x + 3) x→2
lim(3) x→6
( )
lim 3 x
x→0
lim ( x − 2 )
x→−2
( →−
lim x + 3 x
x
3
)
( ) →
lim x
x
2
4
0
x − 3 2 x→2 x + 4
lim
5 x x→2 x + 2 lim
lim (senx ) π
x→
399
2
lim(tan x ) lim(cos 3 x )
x→π
400
x→1
xπ
lim sen
390
x − 1 x→−1 x + 1
391
2 x − x − 3 x→−1 + 1 x
lim lim
2( x + ∆ x ) − 2 x ∆ x→0 ∆ x lim
2
x 3 + 1 lim x→−1 x + 1
( x + ∆ x )3 − x 3 lim ∆ x→0 ∆ x
401
senx lim x→0 5 x
402
sen 2 x lim x→0 x
403
senx(1 − cos x ) lim 2 x→0 2 x
2
413
2 x→∞ − x x
414
sen2 x x→∞ x
415 416
x − 5 2 x→5 x − 25
418
2 x→−3 x − 9
3
2
x 2 x→∞ x − 1
417
lim−
sen2 x x→0 sen3 x
412
Calcular los límites que se piden, si es que existen, si no existen explicar por que: 419
sen3 x x →0 2 x
2 x − 1 x→∞ 3 x + 2
XXII
lim+
2
411
2
2
x→
cos x cot x
3
x→π
389
392
393
lim lim
lim
x
lim
lim x + x + 3 2
x→−∞
2 lim x − x − x
x→∞
x x→0 x lim−
x
6
PROBLEMARIO DE MATEMATICAS I ING. MIGUEL ENRIQUE RAYA AYALA
x + 2 2 , x ≤ 3 lim f ( x ), donde f ( x ) = 12 − 2 x x→3− , x > 3 3
420
x 3 + 1, x < 1 lim f ( x ), donde f ( x ) = x→1− x + 1, x ≥ 1
421
XXIII Dada la función cuya gráfica aparece en la figura, determinar los limites que se piden: 428
Y
4
429 3
-5
-4
-3
-2
lim f ( x )
x →2
lim f ( x ) x →0
2
Y
1
4
-1
0
1
2
3
4
X
3
-1
2
-2
1
-5
-3
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
X
0
1
2
3
4
X
-1
-4
-2
422 423 424 425
lim f ( x )
-3
x → −2 +
-4
lim f ( x )
x → −2 −
lim f ( x )
430
lim f ( x )
431
x →2
x →−2
432
Y
4
433
lim f ( x )
x → 2 +
lim f ( x )
x →2 −
lim f ( x )
x →2
lim f ( x )
x →−1
3 Y
2
4
1 3
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
X
2
-1 1
-2 -5
-4
-3
-2
-1
-3 -1
-4 -2
426 427
lim f ( x )
x → −2 +
-3
-4
lim− f ( x )
x →−2
7
PROBLEMARIO DE MATEMATICAS I ING. MIGUEL ENRIQUE RAYA AYALA 434 435
lim f ( x )
437
x → 3 +
lim f ( x )
x → −2
lim f ( x )
x → 3 −
436 lim f ( x ) x →0
XXIV Encontrar los valores de x (si existe alguno) en los que f no es continua. 438 f ( x ) = x 439
442 f ( x ) =
f ( x ) = 3 x − cos x
440 f ( x ) = 441 f ( x ) = XXV
− 2x + 1
2
x + 2 x − 3 x − 10 2
x + 2
443 f ( x ) =
x
x + 2
x − x 2
x, x ≤ 1 2 x , x > 1
444 f ( x ) =
x 2 x + 1
Encontrar la derivada mediante el proceso de límite:
446 f ( x ) = 3
449 f ( x ) = 2 x
2
447 f ( x ) =
450 f ( x ) = x
− 12 x
−5 x 2
448 f ( x ) = 3 +
3
451 f ( x ) =
x
XXVI Calcular la derivada de la función: 453 y = 8 465 y 454
y = x 6 1
455
y =
456
y = 5 x
x
7
3
+ x −1
= x (x 2 + 1)
466
y = x + 63 x
467
y = x 5 − x
468
y = 6 x + 5 cos x 2 2 y = x + 1 x − 2 x
4
(
2
3
)(
y = x + 1
458
y = −2 x 2 + 3 x − 6
470
y = 3 x x 2 + 4
459
y = x + 4 x
471
y = x 3 cos x
460
y = x 2 − 2 x + 4
472
y =
462 463
464
y =
1 x
3
− 3senx
(
473
y =
474
y =
−2 2 y = x + 5 − 3x
y = x 2 −
y =
4 x
3
x − 3 x + 4 3
2
x
2
475
y =
x +1
x − 1
457
2
452 f ( x ) =
1
469
461
445
1 x + 1, x ≤ 2 f ( x ) = 2 3 − x, x > 2
)
4 x + 3
476
y = x1 −
477
y =
478
y = ( x 3 − 2)
)
2 x + 5 x 2
2−
1
x x − 3
479
y =
480
y = (3 x 3 + 4 x )( x − 5)( x + 1)
x x + 1 2
3
x
481
y =
482
y = xsenx
483
y =
484
y = − x + tan x
x 3 + 1 senx x
2
3 − 2 x − x x − 1
2
2 2 x + c
2
2 2 x − c
c es una const.
cos x x
8
PROBLEMARIO DE MATEMATICAS I ING. MIGUEL ENRIQUE RAYA AYALA 485
y = 4 x + 8 sec x
486
y =
3(1 − senx ) 2 cos x
495
496
487
y = − csc x − senx
488
y = x 2 tan x
489
y = 2 xsenx + x 2 cos x 498
497
499
490
y = (2 x − 7 )
491
y = 3(4 − 9 x )
492
y = 1 − x
493
y = 9 x + 4
494
y =
3
4
500
2
3
1 x − 2
504
y = sen(π x )
505
y = sen2 x cos 2 x
506
y =
y = x 2 ( x − 2 )
507
y = 4 sec 2 x
2 y = x 1 − x
508
y = 3 sec2 (π x − 1)
509
2 2 2 y = e x sen x
510
y = x e x cos(3 x )
1 y = x − 3 y =
2
1 x + 2 4
y =
2
x x + 1
501
1 − 2v y = 1 + v
502
y = cos 3 x
503
y = 3 tan 4 x
senx
( )
2
x + 5 y = 2 x + 2
cot x
2
2
2 2
y =
511
e x sen( 3 x )
cos 2 (3 x )
2
XXVII Determinar la derivada de orden 4 de las siguientes funciones: 512 y
513 y 514
1
515 y
= (3x + 1)
3
9
=
= tan (2 x )
516 y = x
2
1 x + 4
y = cos x
517 y
2
=2−
1
2
1
2
519 y
= 2x + 1
x
527 y=sen(xy)
524 x3-3x2 y+2xy2=10
+ y = 9
= 2 x
2
XXVIII Encontrar dy/dx por medio de la derivación implicita 520 x2+y2=16 523 x3 y3-y=x 521 x
518 y
528 (x+y)3=x3+y3
525 senx +2cosy=1
522 x3-xy+y2=4
526 senx=x(1+tany) XXIX Encontrar la pendiente de la recta tangente y la recta normal a la gráfica de la función en el punto dado: 529 f(x)=3-2x, (4 3 x + 2 533 536 (0,-2) f ( x ) = x + (4,5) f ( x ) = 1,5) x x − 1
f(x)=x2-4,
530
(1,-
3) f(x)=3x-3x2
531
532 XXX
(0,0)
f ( x ) =
x
534
f ( x ) = x 2 + 2 x + 8 (2,4)
535
3 f ( x ) = 3 − 1,− x − 4 5 3
537
3 f ( x ) = 37 − sec (2 x )
(0,36)
(1,1)
Encontrar la ecuación de la recta tangente a la grafica f en el punto indicado: 538 539 y=x4-3x2+2 (1,0) y=x3+x (-1,-2)
9
PROBLEMARIO DE MATEMATICAS I ING. MIGUEL ENRIQUE RAYA AYALA
y =
540
2 4
x 3
(1,2)
y = 3 x 2 − 2 (3,5)
541
542
y = (2 x 3 + 1) (-1,1)
543
y = sen2 x
2
(π,0)
XXXI Determinar los puntos si los hay donde la gráfica de la función tiene una recta tangente horizontal: 544 y=x4-8x2+2 1 550 y = x 2 547 y =
y =
545
546
y =
x + 4
1
x
1 9
2
(3x + 1)3
548
y = cos x
549
y = tan 2 x
2
551
y = 2 −
552
y = 2 x
553
y = 2 x + 1
2
x
XXXII Determinar cualesquiera de los puntos críticos de la función. 2 556 y=sen2 x + cos x, 0
y = 2(3 − x ), [− 1,2]
558
y = − x + 3 x, [0,3]
3
x , [− 1,2]
559
y = x −
560
y = 3 x 3 − 2 x, [− 1,1]
3
2
2
2
x 2
, [− 1,1]
561
y =
562
1 y = cos π x, 0, 6
2
x 2 + 3
XXXIV Encontrar los puntos críticos de f (si los hay), Determinar el (los) intervalo(s) abierto(s) sobre los cuales la función es creciente o decreciente, aplicar el criterio de la p rimera derivada para identificar a todos los extremos relativos: 563 f ( x ) = x
2
564 f ( x ) = x
2
565
f ( x ) =
− 6x
566 f ( x ) = x
(3 − x )
+1
1 3
569 f ( x ) =
2 3
567 f ( x ) = (x − 1)
x 5 − 5 x
568 f ( x ) = x +
5
x
2
x 2 − 9
1 x
XXXV Encontrar los puntos de inflexión y analizar la concavidad de la gráfica de la función. 570
3 2 f ( x ) = x − 6 x + 12 x
1
571
f ( x ) =
572
f ( x ) = x (x − 4 )
4
x − 2 x 4
2
573 574
f ( x ) = x x + 3 f ( x ) =
x
575
f ( x ) = sen
x
2
, [0,4π ]
x + 1 2
3
XXXVI Resuelve los siguientes problemas. 576 Una caja abierta de volumen máximo se va a construir a partir de una pieza cuadrada de material de 24 pulgadas de lado, cortando cuadrados iguales a partir de las esquinas y doblando los bordes. ¿Cuáles serán las dimensiones de la caja?. 577 Encontrar dos números positivos tal que el producto es 192 y la suma del primero más tres veces el segundo es un mínimo. 578 Encontrar dos números positivos tal que la suma del primero y el doble del segundo es 100 y el producto es un máximo. 579 Encontrar el largo y el ancho de un rectángulo que tiene el perímetro de 100 metros y el área máxima. 580 Determinar el punto sobre la gráfica y=x 2 que está más cerca de (2,1/2).
10
PROBLEMARIO DE MATEMATICAS I ING. MIGUEL ENRIQUE RAYA AYALA 581 . Para construir una autopista, es necesario rellenar una parte de un valle donde los declives (pendientes) son de 9 y 6% (ver figura). La parte superior de la región rellenada tendrá la forma de un arco parabólico que es tangente a las dos pendientes en los puntos A y B, la distancia horizontal entre los dos puntos es de Y 1000 pies. Si la función cuadrática que describe la 1000pies parte superior de la región rellenada en el intervalo -500 2 A B ≤x≤500 es y=(3/40000)x 6 % D EC E D E L V I L C I VE D D E (3/200)x+75/4 E 9 %
a)
Construir una tabla en la X que se indiquen las profundidades del relleno para x= -500, -400,-300, -200, -100, 0, 100, 200, 300, 400, 500.
b)
¿Cuál será el punto más bajo de la autopista? ¿Estará directamente sobre el punto donde se juntan los dos declives?. 2
582 Un granjero planea cercar un pastizal en forma rectangular con un área de 180,000 m para proporcionar suficiente pastura al rebaño. ¿Qué dimensiones requerirán la cantidad mínima de cercado?. 583 Una ventana norman se construye juntando un semicírculo en la parte superior de una ventana rectangular ordinaria. Encontrar las dimensiones para que la ventana tenga área máxima si el perímetro total es de 16 pies. 584 Un rectángulo esta delimitado por el eje x y el semicírculo y
= 25 − x 2 , que largo y ancho debe tener
el rectángulo de manera que su área sea un mínimo. 585 Encontrar el volumen del cono circular recto más grande que puede inscribirse en una esfera de radio r. 586 Una viga de madera tiene una sección transversal rectangular de altura h y de ancho w. La resistencia S de la viga es directamente proporcional al ancho y al cuadrado de la altura. ¿Cuáles son las dimensiones de la viga más fuerte que puede cortarse a partir de un leño redondo de 24 pulgadas de diámetro (S=kh 2w). 587 Una fuente luminosa se localiza sobre el centro de una mesa circular de 4 pies de diámetro. Encontrar la altura h de la fuente luminosa tal que la iluminación I en el perímetro de la mesa sea máxima si I=(sen 2 α)/s , donde s es la distancia del borde de la mesa a la fuente lumino sa y α es el ángulo al cuál la luz incide sobre el borde de la mesa y k es una constante. 588 La Compañía de Envases metálicos, S.A. desea fabricar depósitos de metal con forma rectangular sin tapa que tengan una capacidad de 10 dm 3. Para estas cajas el largo de la base debe ser el doble del ancho, y el material para la base cuesta $100.00 por metro cuadrado, mientras que el costo del material para los lados es de $60.00 por metro cuadrado. Encuentra el costo del tipo de caja más económica que se pueda construir con las características anteriores. 589 La Empresa Almacenes Nacionales, S. A. desea construir una bodega rectangular sobre una superficie de 5000 metros cuadrados de área. La bodega tendrá dos cuartos rectangulares separados por una pared interior. El costo de las paredes exteriores será de $150.00 por metro lineal, y el costo de las paredes interiores será de $90.00 por metro lin eal encuentra las dimensiones de la bodega menos costosa. 590 El jefe de la oficina de personal de la empresa Duro de México, S. A. de C. V. desea hacer volantes para solicitar personal. Los volantes deben tener un área impresa de 150 cm 2 , con márgenes de 3 cm en la parte superior e inferior, y 2 cm en cada lado. ¿Qué dimensiones deben tener los volantes para que se use la menor cantidad posible de papel? 591 Las autoridades de transito de la ciudad de Monterrey operan una línea de tren subterráneo desde un suburbio hasta el área metropolitana. En la actualidad un promedio de 6000 pasajeros toman el tren diariamente, pagando una tarifa de $3.00 por viaje. Las autoridades están pensando en subir la tarifa a $4.00 para obtener mayores ingresos y solicitan un estudio a una empresa consultora. El estudio de esta empresa revela que por cada incremento de 50 centavos en la tarifa, la cantidad de pasajeros se reducirá en 1000 pasajeros por día. Encuentra la tarifa óptima para obtener el mayor ingreso. 592 Una universidad desea diseñar una pista de carreras mediante un rectángulo de largo l y extremos en forma de semicírculos con diámetro (2r) coincidente con el ancho del rectángulo. La longitud total de la
11
PROBLEMARIO DE MATEMATICAS I ING. MIGUEL ENRIQUE RAYA AYALA pista debe ser de 2 kilómetros. Determina l y r, de modo que el área encerrada por la pista sea lo más grande posible. ¿Cuál es el área encerrada por la pista en este caso?.
XXXVII Encontrar la integral indefinida y verificar el resultado mediante derivación.
∫ ( x + 3)dx 594 (2 x − 3 x )dx ∫ 595 ∫ ( x + 2)dx 596 ∫ ( x + 2 x + 1)dx 597 ∫ x dx 593
1
∫ x
598
2
∫ 600 ∫ ( x + 1)(3 x − 2 )dx 601 ∫ y y dy
2
XXXVIII
∫ 2 xdx ∫ ( x − 2) dx ∫ (t − 2) dt u−2 ∫ u du
611
0
609
612
2
∫
613
−1
)
t − 2 dt
x − x
0
3 1 3
dx 2
615
∫
π
616
3
−1
2
cos x 6
−π
π
∫ ∫
618
dx
∫ sec xdx ∫ (2 − csc x )dx π
617
1 − sen x 2
4
0 π
∫ (t − t )dt ∫ (1 + senx )dx 0
4
610
3
−1 1
−1 1
∫( 1
0
608
2
Encontrar la integral definida de la función. 1
607
2
2
2
3
∫ dx 603 (2 senx + 3 cos x )dx ∫ 604 ∫ (1 − csc t cot t )dt 605 ∫ (sec θ − senθ )d θ 606 ∫ (tan y + 1)dy 602
dx
x 2 + x + 1 dx x
599
3 3
3
3
−π
619
2
π
π
2
−π
4 sec x tan xdx
3
(2 x + cos x )dx
2
6
2
2
4
π
614
1
0
XXXIX Encontrar la integral indefinida y comprobar el resultado mediante derivación. 620
4 1 2 x + ( ) (2 )dx ∫
∫ 9 − x (− 2 x )dx 622 ∫ x ( x + 3) dx 623 ∫ x ( x − 1) dx 624 ∫ x x + 2dx 625 ∫ 5 x 1 − x dx x 626 ∫ dx (1 − x ) 2
621
3
4
2
2
3
4
2
3
2
2 3
627
628
∫
x
1 − x x
2
dx
3 2
630
dx
631
∫ ∫
2 x
dx
2
x + 3 x + 7
2
csc2 x
∫ cot x dx 641 ∫ cot xdx 642 x x + 2dx ∫ 643 ∫ x 1 − x dx 3
2
644
2
x
∫ π sen( π x )dx 635 ∫ sen( 2 x )dx 1 1 636 ∫ cos dx x x 637 ∫ sen 2 x cos 2 xdx 638 ∫ sec(1 − x ) tan (1 − x )dx 639 ∫ tan x sec xdx 634
2
1 1 ∫ 1 + t t 2 dt 2
2
640
2
∫ (1 + x )
633
2 ∫ t dt ∫ (9 − y ) y dy t t −
4
3
629
632
dx
∫
x 2 − 1
2 x − 1
dx
− x
∫ ( x + 1) − x + 1 dx 646 (3 x − 2 ) dx ∫ 1 647 ∫ dx x (1 − 2 x ) 645
4
∫
648
3
dt
1 − t 2
∫ tsent dt 650 ∫ (cos x )e dx 651 ∫ 6( x − 4 ) dx 5 652 ∫ dz z 4 ( − ) 2
649
senx
5
5
1 + v ∫ (3v − 1)3 dv 2 t − 3 ∫ − t 3 + 9t + 1 dt
653
654
655
.
x
2
∫ x − 1 dx 12
PROBLEMARIO DE MATEMATICAS I ING. MIGUEL ENRIQUE RAYA AYALA
e x . dx x 1+ e
659
661
.
663
. .
664
.
665
.
666
671 672
673 674 675
680 681
−x
662
670
679
5x
660
669
678
2
658
668
677
2 2
657
667
676
∫ . ∫ (1 + 2 x ) dx . ∫ x cos 2π x dx . ∫ cscπ x cot π xdx . ∫ e dx 2 . ∫ dx e +1
656
ln x
∫
2
dx
x
1 + senx
∫
cos x
683
dx
684
−1
∫
1 − (2t − 1)
2
tan(2 / t )
∫
2
t 3
∫
dt
685 686
dt dx
∫ 4 x + 4 x + 65 . ∫ xe dx . ∫ x e dx . ∫ x e dx . ∫ t ln(t + 1)dt 2
688
dx
−2 x
2 x3
.
∫
(ln x )
689
dx
xe2 x
∫ (2 x + 1)
2
dx
∫ ( x − 1)e dx . ∫ x x − 1dx .
2
1
∫
x
2
.
∫ x
699
.
∫ ( x
700
∫ sen x dx
701
4
3 sen φ
∫ cos
2
∫
698
2
cos 3 x
1 − x 2
.
3x
d φ φ
∫ ∫ sen xdx
cos 4 xsen 3 xdx
x
∫e . ∫e .
sen 2φ d φ cos 4 φ
∫
691
∫ sen x cos
692
∫
693
∫
694
cos5 x x
x + 9 2
.
∫
.
∫
x
695
sen3 x
4
dx
1 16 − x
2
dx
16 − 4 x dx 2
2 x
1 − e 2 x dx 1
∫ 4 + 4 x
.
705
.
708
.
709
.
710
.
711
.
712
.
dx
2
1 + e dx
2 x
704
x
dx
+ 5)
3
2
∫ x
707 .
dx
2
− 5 x
703
706 .
3
2
.
3
dx
4 x + 9
702
sen x
dx
4
1
x
5
∫ cos x dx ∫ tan xdx ∫ cot (2 x )csc(2 x )dx
dx
x 2 − 9
697
2 x
690
2
x
.
3
3 x
.
696
5
687
6 x − x 2 4
.
682
∫ . ∫ x senxdx . ∫ t csc t cot tdt . ∫ e senxdx ∫ e sen(2 x )dx ∫ x ln xdx ∫ xe sen( x )dx . x cos xdx
1 2
∫ x
−1
2
+ x 4
dx
dx
3
dx
+ x − 2 5 − x ∫ 2 x 2 + x − 1dx 2 x + 12 x + 12 ∫ x3 − 4 x dx 3 2 2 x − 4 x − 15 x + 5 ∫ x2 − 2 x − 8 dx 4 x 2 + 2 x − 1 ∫ x3 + x 2 dx x 2 + 3 x − 4 ∫ x3 − 4 x2 + 4 xdx 2 x − 1 ∫ x3 + xdx
∫ x
2
x 4
2
dx
− 2 x 2 − 8 x
∫ 16 x
dx
−1 x 2 + 5 713 . ∫ 3 dx x − x 2 + x + 3 4
XL Encontrar el área de la región delimitada por las gráficas de las ecuaciones. 714
. y = x − x 2 y el eje x.
715
. y = 1 − x y el eje x.
716 . y
4
= (3 − x ) x y el eje x.
717 . y =
1
; el eje x; x=1; x=2.
x 2 718 . y = cos x ; el eje x y el eje y. 719
. y = x + senx ; el eje x; x=π
13
PROBLEMARIO DE MATEMATICAS I ING. MIGUEL ENRIQUE RAYA AYALA 720
. y = 3 x 2 + 1 ;x=0; x=2; y=0.
721
. y = x 3 + x ;x=2; y=0
XLI Dibujar la región acotada por las gráficas de las funciones y encontrar el área de la región.
. y = x 2 − 6 x; y = 0.
722
2 . y = x + 2 x + 1; y = 2 x + 5. 2 2 . y = x − 4 x + 3; y = 2 x + 2 x + 3.
723 724
2 3 . y = x ; y = x . 3 = − x ); y = 0. ( 3 y x .
725 726
732 733
736
. f ( y ) = y + 1; g ( y ) = 0; y = −1; y = 2. 10 f ( x ) = ; x = 0; y = 2; y = 10. x . π π f ( x ) = 2 senx; g ( x ) = tan x,− ≤ x ≤ 3 3 .
737
. f ( x ) = cos x; g ( x ) = 2 − cos x,0 ≤ x ≤ 2π
738
. f ( x ) = xe
2
734
735
. y = ( x − 1) ; y = x − 1 1 3 y = x + 2; y = x + 1; x = 0, x = 2 2 . 3
727
728
. y = x − 4 x; y = 0. 2 . y = x + 2 x + 1; y = 3 x + 3. 2
729 730
. y = 3 x + 1, y = x + 1 2 . f ( y ) = y ; g ( y ) = y + 2
− x2
; y = 0,0 ≤ x ≤ 1
y = x; y = 2 − x, y = 0.
. 731 XLII Formular y evaluar la integral que da el volumen del sólido generado por la región acotada por las gráficas de las ecuaciones al girar alrededor del eje dado. Alrededor del eje x. . y = − x + 1; y = 0; x = 0 739 740
. y = 4 − x ; y = 0; x = 0
741
. y = x ; x = 1; x = 4
742
. y = 9 − x ; y = 0; x = 0
743
. y = x 2 ; y = x 3
744
. y = 2; y = 4 −
2
745
. y =
746
. y =
1
748
y = x + 1; y = − x + 2 x + 5; x = 0; x = 3
749
. y = senx; y = 0; x = 0; x = π
4
2
2
. x = − y 2 + 4 y; x = 0; y = 1 754 . y = 3(2 − x ); y = 0; x = 0 753
. y = 16 − x 2 ; y = 0; x = 0
. y = x 3 ; y = 1; x = 0 Alrededor del eje y=4. 756 . y = x; y = 3; x = 0 1 3 757 . y = x ; y = 4; x = 0 2 752
; y = 0; x = 0; x = 3
747
Alrededor del eje y. 2 750 . y = x ; y = 4; x = 0 751
x + 1
; y = 0; x = 1; x = 4 x . y = e− x ; y = 0; x = 0; x = 1
2
x 2
1
755
2
. y = 9 − x 2 ; y = 0; x = 2; x = 3
758 y
=
1 1 + x
; y = 0; x = 0; x = 3
XLIII Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones.
2 x − y + 3 z = 9 759 . 3 x + y + 2 z = 11 x − y + z = 3
761
x − 4 y + 5 z = −4 x + 3 y + z = 6 2 x − 3 y + 2 z = −6
762
760
3 x − 4 y − z = 1 x − y + 3 z = 3 3 x − 2 y + 2 z = 0 x − 3 y − 7 z = 6 4 x + y = 7 2 x + 3 y + z = 9
763
764
x + y + z = 0 3 x + y + z = 2 5 x − 2 y + 3 z = −8 3 x − 5 z = −1 2 x + 7 y = 6 x + y + z = 5 14
PROBLEMARIO DE MATEMATICAS I ING. MIGUEL ENRIQUE RAYA AYALA
765
x + y − z + w = 0 3 x + 2 y − 2 z − 3w = 7 767 2 x − 4 y + 3 z + 2w = 8 2 x + 2 y − z − w = 1
x − y − z = 0 2 x + 3 y + 6 z = 3 4 x + 2 y + 2 z = 3
x + 2 y + 3 z = 4 766 2 x + y + z = 1 3 x + 3 y + z = 2
768
x − y + z − w = 3 x + y + z + w = −5 x − 3 y − z − w = 9 x + y − z + w = 1
XLIV Evalúe los siguientes determinantes.
1 769
770
2
3
. 6 4 −5 4
0
1
6
−3
7
7
5
−9
6
3
7
5
0
1
771 3
4
2
6
1
3
XLV 778
779
780
772
0
5
4
1
3
2
3
−2
0
1
2
3
3
0
1
4
6
8
7
3 774
2
2 3
3 1
1 1
6
2
2 1
9
0
1 1
776
−1 2 0 0 −2 1 6 2
773
2
3
2
4
1
2
3
8
2
5
4
2
1
775
6
0
0
1
4
3
4
2
777
4
8
8
4
1
2
0
2
0
1
2
3
2
4
1
4
3
2
3
0
2
3
0
2
1
0
1
1
0
1
2
3
Realice las siguientes operaciones.
1 − 2 1 2 3 3 2 3 2 1 1 − 1 2 3 4 4 1 5 0 − 2 2 4 1 − 1 0 − 2 2 3 4 4 1 5 2 4
781
782
783
1 4 0 1 2 1 2 4 3
− 2 1 2 3 4 − 3 4 3 2 1 5 − 1 5 3 5 4 0 1 0 1 3 − 3 0 − 1 5 1 2 4 0 2 2 3 5 − 3 0 1 0 1
784
4 2
2
785
1 2 1 2 4 3
2 − 1 3 5 + 4 0 0 1 3 − 3 − 1 5 1 2 0 2 − 2 3 − 3 0 1 0 2
4
5
0 4 5 1 1
XLVI Encuentre la inversa, si existe, de cada una de las siguientes matrices. Verifique su resultado en la -1 fórmula AA =I.
1 − 2 3 2 1 0 787 2 0 2 1 788 − 4 3 786
789
2 0 0 2
790
791
792
3 4 1 2 1 2 4 3
− 1 3 2
4
3
5
0 1 − 1 5 0 1 − 3 0
793
794
2 4 3 0 2 1
− 1 5 0 2 − 3 0 2 4 3 0 0 1
15
PROBLEMARIO DE MATEMATICAS I ING. MIGUEL ENRIQUE RAYA AYALA
1 2 3 795 4 − 1 1 0 1 2 1 − 1 5 796 2 − 1 3 3 0 − 6
6 797 − 6 0 4 798 − 1 − 4
0
0
6 0 − 3 2 −6 1 − 1 1 11 − 1
799
− 2 3 − 3 2 2 3 3 − 2 2
16
