Prueba de bondad de ajuste 1. En cierta máquina expendedora de refrescos existen 4 canales que expiden el mismo tipo de bebida. Estamos interesados en averiguar si la elección de cualquiera de estos canales se hace de forma aleatoria o por el contrario existe algún tipo de preferencia en la selección de alguno de ellos por los consumidores. La siguiente tabla muestra el número de bebidas vendidas en cada uno de los 4 canales durante una semana. Contrastar la hipótesis de que los canales son seleccionados al azar a un nivel de significación de 0.05.
Canal 1 2 3 4
Número de bebidas consumidas 13 22 18 17 70
Solución: 1. : Los canales son seleccionados al azar. 2. sele ccionados al azar. :Los canales no son seleccionados 3. 4.
H H ∝:0.05 Region Critica:
5. Cálculos:
6.
7.815 3 ; . x > 2.353 :
1 2 3 4 13 22 18 17 17.5 17.5 17.5 17.5 (22 (18 17.5) (18 17.5) (13 (13 17.5) 17 .5) (22 17.5 17 .5) ) x 17.5 + 17.5 + 17.5 + 17.5 2.342 Decision: Aceptar H .
2. Una revisión de 100 informes que tienen diez datos cada uno presentado por vendedores de una gran compañía compañía permitió determinar algún tipo de error en dichos informes. Los resultados fueron como aparece en la siguiente tabla:
Número de errores por cada 10 datos 0 1 2 3 4 5 o más
Número de informes 8 22 32 24 10 4
Al nivel de significancia de 0.05, determine si estos datos provienen de una población binomial con
0.20.
3. Se seleccionan tres canicas de una urna que contiene 5 canicas rojas y 3 verdes. Después de registrar el número X de canicas rojas, las canicas se reemplazan en la urna y el experimento se repite 112 veces. Los resultados que se obtienen son los siguientes:
0 1 2 3 1 31 55 25
Con un nivel de significancia de 0.05, pruebe la hipótesis de que los datos registrados se pueden ajustar con la distribución hipergeométrica
ℎ(,8,3,5), 0,1,2,3.
Solución:
1. 2. 3. 4.
H: Los canales son seleccionados al azar. H: Los canales no son seleccionados al azar. ∝:0.05 2;2; 5.991 Región critica: > 5.991
5. Cálculos: X: Numero de canicas rojas.
ℎ(;,,) ;,,) =
30 85 30 ℎ(0;8,3,5) 0;8,3,5) 8 0.01786 5 =
31 85 31 ℎ(1;8,3,5) 1;8,3,5) 8 0.26786 5 =
32 85 32 ℎ(2;8,3,5) 2;8,3,5) 8 0.5371 5 =
33 85 33 ℎ(3;8,3,5) 3;8,3,5) 8 0.17857 5 =
ℎ(;,,) x
0
1
2
3
0.01786
0.2679
0.5358
0.1785
0 1 2
1 31 30
2 55 60
3 25 20
TOTAL 112 112
x
6.
1 32
2 55
3 25
32 60 20 (32 (32 32) 3 2) (55 (5 5 60) 6 0) (25 20) x 32 + 60 + 20 1.667 Decision: Aceptar H .
Prueba de independencia 4. Una asociación de profesores universitarios quiere determinar si la satisfacción en el trabajo es independiente del rango académico. Para ello realizó un estudio nacional entre los académicos universitarios y encontró los resultados mostrados son la tabla siguiente. Con a=0.05, haga una prueba para saber si son dependientes la satisfacción en el trabajo y el rango.
Satisfacción en el trabajo
Instructor
Mucha Regular Poca Satisfacción en el trabajo
40 78 57
Instructor
Profesor asistente
Rango Profesor asistente 60 87 63
Profesor asociado 52 82 66
Rango Profesor asociado
Profesor 63 88 64
Profesor
TOTAL
Mucha
40
47.03
60
56.44
52
53.75
63
57.78
215
Regular
78
73.28
87
87.94
82
83.75
88
90.03
335
Poca TOTAL
57
54.69 175
63
65.63
66
62.5
64
67.19 215
250 800
210
200
3,3, 4;4; (3 1)(4 1) 6 Solucion:
1. 2. 3.
4.
H: La satisfaccion en el trabajo es independiente del rango academico. H: La satisfaccion en el trabajo no es independiente del rango academico. ∝:0.05 12.592 6;6; . Region Critica: x > 12.592 :
5. Calculos:
6.
(−.) (−.) (−.) (−.) (−.) x (−.) + . + . + . + . + . + . (−.) + (−.) + (−.) + (−.) + (−.) + (−.) 2.75 . . . . . . Decision: Aceptar H .
5. Pruebas la fidelidad y la selectividad de 190 radios produjeron los resultados que se muestran en la tabla siguiente:
Selectiv Selectividad idad
Baja Baja
Fidelida Fidelidad d Prom Promed edio io
Baja Promedio Alta
7 35 15
12 59 13
Alta Alta 31 18 0
Use el nivel de significancia de 0.01 para probar la hipótesis nula de que la fidelidad es independiente de la selectividad.
Selectividad
Baja
Promedio
Alta
TOTAL
Baja
7
15
12
22.11
31
12.89
50
Promedio
35
33.6
59
49.52
18
28.88
112
Alta
15
8.4
13
12.38
0
7.22
28
TOTAL
57
84
49
190
3,3, 3;3; (3 1)(3 1) 4 Solucion:
H: La fidelidad es independiente de la selectividad. sele ctividad. H: La fidelidad no es independiente de la selectividad. . ∝:0.01 13.277 4;4; . 4. Region Critica: x > 13.277 : 1. 2. 3
5. Cálculos:
6.
(−.) (−.) (−.) (−.) (−.) x (−) + . + . + . + . + . + (−.) + (−.) + (−.) 52.742 . . . Decisión: Rechazar H y concluir que la fidelidad es independiente de la selectividad.
6.
Un criminólogo realizó una investigación para determinar si, en una ciudad grande, la incidencia de ciertos tipos de delitos varía de una parte a otra. Los crímenes específicos de interés son asalto (con violencia), vi olencia), robo en casa, hurto y homicidio. La siguiente tabla muestra el número de delitos cometidos en cuatro áreas de la ciudad durante el año pasado.
Distrito 1 2 3 4
Asalto 162 310 258 280
Tipo de crimen Robo en Hurto casa 118 451 196 996 193 458 175 390
Homicidio 18 25 10 19
¿A partir de tales datos podemos concluir, con un nivel de significancia de 0.01, que la ocurrencia de estos tipos de delitos es depend iente del distrito de la ciudad? Distrito 1 2 3 4 TOTAL
Asalto 162 186.37 310 379.96 258 228.67 280 214.99 1010
Solución:
Robo en casa 118 125.85 196 256.57 193 154.41 175 145.17 682
Hurto 451 423.49 996 863.38 458 519.61 390 488.51 2295
Homicidio 18 13.29 25 27.09 10 16.30 19 15.33 72
TOTAL 749 1527 919 864 4059
4,4, 4;4; ( (44 1)( 1)(44 1) 9
H: La ocurrencia de estos tipos de delitos es dependiente del distrito de la ciudad. H: La ocurrencia de estos tipos de delitos no es dependiente del distrito de la ciudad. 3. ∝:0.01 21.666 9;9; . 4. Region Critica: x > 21.666 : 1. 2.
5. Cálculos:
(−.) (−.) (−.) (−.) x (−.) + . + . + . + . + . (−.) + (−.) + (−.) + (−.) + (−.) + . . . . . (−.) + (−.) + (−.) + (−.) + (−.) + . . . . . (−.) 124.52 .
6.
Decision: Rechazar
H, y concluir que la ocurrencia de estos delitos no es independiente
del distrito de la ciudad.
Prueba de Kolmogorov Smirnov 7. El gerente de una empresa de productos electrónicos ha reunido las siguientes estadísticas de sueldos respecto a los ingresos ingresos de su fuerza fuerza de venta. Tiene frecuencias observadas y esperadas si la distribución es normal. En el nivel de significancia de de 0.1, ¿Puede el gerente afirmar afirmar que la distribución de los ingresos ingresos de la fuerza de ventas es normal?
25-30
31-36
37-42
43-48
49-54
55-60
61-66
Frecuencia observada
9
22
25
30
21
12
6
Frecuencia esperada
6
17
32
35
18
13
4
Solución: 1. : La distribución de los ingresos de la fuerza de ventas es normal. 2. : La distribución de los ingresos de la fuerza de ventas no es normal. 3. 4. Valor critico
0.1
0.1 125 1.22 0.1091 1.22 ; 125 √ √ 125
5. Calculos:
0.072
0.048
| |
17
0.248
0.184
0.064
25
32
0.448
0.44
0.008
43-48
30
35
0.688
0.72
0.032
49-54
21
18
0.856
0.864
0.008
55-60
12
13
0.952
0.968
0.016
61-66
6
4
1.000
1.000
0.000
125
125
6
31-36
22
37-42
25-30
9
á | | 0.064 6. Decisión: Aceptar
.
0.1091 > 0.064
0.024
8. El número de llamadas que se reciben en un tablero central desde las 8:00 a las 8:01 de la mañana durante un periodo de 100 días es como sigue:
No. de llamadas
0
1
2
3
4
5
6
7
Frecuencia observada
3
10
25
30
15
12
5
0
A un nivel de significancia de 0.05, probar la hipótesis según la cual las frecuencias observadas siguen una distribución de Poisson, considere .
3
Solución: 1. : Las frecuencias observadas siguen una distribucion de Poisson. 2. : Las frecuencias observadas no siguen una distribucion de Poisson. 3. 4. Valor critico:
0.05
0.05 100 1.36 0.136 1.36 ; 100 100 √ 100 √ 100
5. Calculos: No. de llamadas
Frecuencia observada
0
3
1
| |
3
0.03
0.0498
10
13
0.13
0.1991
0.0691
2
25
38
0.38
0.4232
0.0432
3
30
68
0.68
0.6472
0.0328
4
15
83
0.83
0.8153
0.0147
5
12
95
0.95
0.9161
0.0339
6
5
100
1
0.9665
0.0335
7
0
100
1
0.9881
0.0199
100
á | | 0.0691 6. Decisión: Aceptar
.
0.136 > 0.0691
0.0198
9. Un administrador de servicios de alimentos de líneas aéreas examinó los registros de 200 vuelos seleccionados aleatoriamente y determinó la frecuencia con que se pedían los alimentos con poco sodio. El número de vuelos en que se pidieron 1, 2, 3, 4 o más con un poco de sodio fueron 25, 45, 67, 43 y 20 respectivamente. En el nivel de significancia de 0.05, ¿puede el administrador concluir con suficiente seguridad que que estas peticiones siguen siguen una distribución de Poisson donde .
17
10. Los tiempo de reacción para una muestra aleatoria de nueve sujetos para un estimulante se registraron como 2.5, 3.6, 3.1, 4.3, 2.9, 2.3, 2.6, 4.1 y 3.4. Determine si la variable aleatoria sigue una distribución normal, utilice un nivel de significancia de 0.01.
Prueba de Anderson Darling. 1. 2. 3.
4. 5.
: La variable aleatoria sigue una distribución normal. : La variable aleatoria sigue una distribución normal. 0.01 Valor critico: 1.035 Cálculos: ̅ 3.2, 3.2, 0.71
+ 1 2 1 1
( + 1 )
1 ( + 1 ) 1 ( + 1 )
1
2.3
4.3
0.1010
0.9406
0.0594
-2.2928
-2.8229
-0.5684
3
2.5
4.1
0.1605
0.8990
0.1010
-1.8295
-2.2928
-1.3741
5
2.6
3.6
0.1975
0.7147
0.2853
-1.6221
-1.2541
-1.5979
7
2.9
3.4
0.3353
0.6116
0.3884
-1.0927
-0.9458
-1.5855
9
3.1
3.1
0.4436
0.4436
0.5564
-0.8128
-0.5863
-1.3991
11
3.4
2.9
0.6116
0.3353
0.6647
-0.4916
-0.4084
-1.1001
13
3.6
2.6
0.7147
0.1975
0.8025
-0.3359
-0.2200
-0.8030
15
4.1
2.5
0.8990
0.1605
0.8395
-0.1065
-0.1749
-0.4690
17
4.3
2.3
0.9406
0.1010
0.8990
-0.0613
-0.1065
-0.3168
9.2139 9 9 (9.2139) 0.2139 6. Decisión: Aceptar
.
Prueba Shapiro-wilk. 1. 2. 3. 4.
: La variable aleatoria no sigue una distribucion normal. : La variable aleatoria sigue una distribicion normal. 0.01 Valor critico: Para 0.01 9; 0.764
5. Cálculos :
1
2.3
2
+ 1 + 1
4.3
2
0.5888
2.5
4.1
1.6
3
2.6
3.6
4
2.9
5
( + 1 ) ( ̅ ) 1.1776
0.81
0.3244
0.51904
0.49
1
0.1976
0.1976
0.36
3.4
0.5
0.0947
0.04735
0.09
3.1
3.1
0
0.01
6
3.4
2.9
-0.5
0.04
7
3.6
2.6
-1
0.16
8
4.1
2.5
-1.6
0.81
9
4.3
2.3
-2
1.21
̅ 3.23
1.9416
( ( + 1 ))
(1.9416) 3.7698 ∑ ( ̅ ) 3.7698 0.9472 3.98 = 6.
Decisión: Rechazar Ho.
> ;0.9 ; 0.9472 472 > 0.764 764
3.98
11. El número de respuestas incorrectas en un examen de competencias de verdadero o falso parta una muestra muestra aleatoria de 15 estudiantes se registraron registraron como sigue: 2, 1, 3, 0, 1, 3, 6, 0, 3, 3, 5, 2, 4 y 2, determine si la variable aleatoria sigue una distribución normal. Utilice un nivel de significancia de 0.05.
Prueba de Anderson Darling.
Prueba Shapiro-wilk. 1. 2. 3. 4.
: La variable aleatoria no sigue una distribucion normal. : La variable aleatoria sigue una distribicion normal. 0.05 Valor critico: Para 0.05 0.05 14; 0.349 0.349
5. Cálculos
2
1
0
+ 1 + 1
6
6
0.5251
0
5
5
3
1
4
4
1
5
( + 1 ) ( ̅ ) 3.1506
6.25
0.3318
1.659
6.25
3
0.2495
0.7485
2.25
3
2
0.1802
0.3604
2.25
2
3
1
0.124
0.124
0.25
6
2
3
1
0.0727
0.0727
0.25
7
2
3
1
0.204
0.204
0.25
8
3
2
-1
0.25
9
3
2
-1
0.25
10
3
2
-1
0.25
11
3
1
-2
0.25
12
4
1
-3
2.25
13
5
0
-5
6.25
14
6
0
-6
12.25
̅ 2.5
6.3192
( ( + 1 ))
(6.3192) 39.9323 ∑ ( ̅ ) 39.9323 1.0109 39.5 = 6. Decisión: Aceptar
.
.
< ;1.0 ; 1.0109 109 < 0.349 349
39.5
