PROBLEMA DE PL Walnut Orchard tiene dos granjas con trigo y maíz. Como consecuencia de las distintas condiciones del suelo, hay diferencias entre la cosecha y los costos de producir trigo y maíz en las dos granjas. La cosecha y los costos son los que se muestran en la tabla. Cada granja cuenta con 100 acres disponibles para el cultivo; deben plantarse 11000 bushels (medida de capacidad) de trigo y 7000 bushels de maíz. Determinar un plan de cultivo que minimice el costo para satisfacer las demandas.
Granja 1
Granja 2
Producción de trigo por 500 bushels acre
650 bushels
Costo del trigo por acre
$120
$100
Producción de maíz por 400 bushels acre
350 bushels
Costo de maíz por acre
$80
$90
Primero: Determinar las variables de decisión. Tenemos dos posibilidades de tipo de producto y dos posibilidades del lugar de producción, es decir que necesitamos cuatro variables (2*2=4). Trigo Maíz
Granja 1 X11 X21
Granja 2 X12 X22
También se hubieran podido llamar (X1, X2, X3 y X4). Pero lo anterior nos permite clasificar, el primer número corresponde al tipo de producto, y el segundo al número de la granja. En conclusión nuestra variable Xij es el la cantidad de acres que cultivamos del i-ésimo producto en la j-ésima granja.
Segundo: Determinar la función objetivo. “Determinar un plan de cultivo que minimice el costo para satisfacer las demandas” Nuestra función objetivo es una función de costo y el objetivo es minimizarla. Como vemos en la tabla del problema, cada una de nuestras variables tiene asociada un costo, simplemente nuestra función objetivo quedaría así:
Min Z = 100*X11 + 120*X12 + 90*X21 + 80*X22 La sumatoria de los costos por acre de producción del producto i para la granja j multiplicado por la cantidad de acres que se produce de i en la granja j.
Tercero: Determinar las restricciones. En este problema vemos que los tamaños de las granjas están restringidos y además que tenemos una demanda que cumplir, entonces las restricciones quedarían así: “Cada granja cuenta con 100 acres disponibles para el cultivo”
X11 + X21 <= 100 X12 + X22 <= 100
En la primera restricción tenemos que la cantidad de acres que utilizamos para la producción de trigo más la cantidad de acres que utilizamos para la producción de maíz, en la granja uno no puede exceder los 100 acres, la restricción es de menor o igual ya que no es obligatoria utilizar los 100 acres para la producción. Y similar con la segunda restricción. “Deben plantarse (cultivarse) 11000 bushels (medida de capacidad) de trigo y 7000 bushels de maíz”
500*X11 + 650*X12 >= 11000 400*X21 + 350*X22 >= 7000
La primera restricción nos dice que por cada acre que utilizamos en la producción de trigo en la granja uno nos produce 500 bushels y la por cada acre que utilizamos en la producción de trigo en la granja dos nos produce 650 bushels, la restricción es de mayor o igual ya que los 11000 son lo mínimo que debo producir y podría guardar el restante para un próximo pedido. Análogo a ésto con el maíz.
Xij>=0 ; para todo i=1,2 y j=1,2
Todas nuestras variables deben no negativas (positivas o cero) ya que no es lógico tener una producción negativa Y no tenemos más restricciones. La explicación de su solución se encuentra en Excel ya que el problema se soluciona con Solver.
Ya con la respuesta vemos que debemos cultivar el trigo en la granja número dos, utilizando casi 17 acres y el maíz en la granja número uno, utilizando 17 y medio acres.
¿Cómo instalar Solver en Excel (Office 2007)? Primero mire en la pestaña Datos si no se encuentra la opción Solver. Si no, entonces: 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Botón de Office Opciones de Excel (Parte inferior) Complementos (Columna de la izquierda) Clic en “Ir” (Parte inferior antes del Aceptar) Seleccionar “Solver” de la lista de complementos Finalmente clic en Aceptar
Ya lo puede utilizar en la pestaña Datos.
Otros Problemas Problema 1.
El granjero Juan posee 45 hectáreas de tierra. El desea sembrar cada ha con trigo o maíz. Cada ha sembrada con trigo requiere 2 toneladas de abono; Cada ha sembrada con maíz requiere 4 toneladas. El tiene disponibles 120 toneladas de abono. ¿Cómo puede Juan lograr el máximo beneficio de su tierra? Indique un problema de programación lineal para cada uno de los casos siguientes. [Nota el modelo (b) incluye el modelo (a), y el modelo (c) incluye el modelo (b).] Utilice el método gráfico para obtener la solución. (a) Cada ha sembrada de trigo da un beneficio de $200; cada ha de maíz da un beneficio de $300. (b) Juan tiene 100 trabajadores disponibles para cultivar la tierra. Cada ha sembrada con trigo necesita a 3 trabajadores, mientras cada ha sembrada de maíz sólo 2 trabajadores. (c) En el siguiente año los precios de trigo y maíz cambian luego cada ha sembrada con trigo da un beneficio de $300, mientras cada ha sembrada con maíz da un beneficio de $200.
Problema 2. Un productor agropecuario cuenta con tres fincas de cierta extensión cada una y ciertas características específicas de riego, de acuerdo con la región en que cada una de ellas se encuentra. Un resumen de estas características aparece a continuación: Fi nc a 1 2 3
Hectá reas 350 700 300
Agua (lts/ha ) 1500 2000 900
Se tienen, además, tres diferentes clases de plantas que se pueden cultivar: yuca, papa y maíz; cada una de ellas tiene restricciones sobre el número de hectáreas que se pueden cultivar y sobre el consumo de agua por hectáreas, y cada una tiene asociada una utilidad por hectárea cultivada:
Cultivo Máximo Yuca Papa Maíz
Núm.d e Has. 600 900 300
Consumo Agua/Ha. 5 4 3
de
Utilidad $/Ha. 400 300 100
Por disposiciones gubernamentales no es posible tener porcentajes diferentes de áreas cultivadas en las tres fincas. Nuestro productor agropecuario se pregunta cuál ha de ser la distribución de cultivos en cada una de las fincas, de manera que maximice la utilidad generada por la venta del producto de las cosechas.
Problema 3. Un carguero tiene tres compartimentos para almacenar granos: delantero, central y trasero. Estos compartimentos tienen un límite de capacidad tanto en peso como en espacio. Los datos se resumen en la tabla
Comparti miento Delantero Central Trasero
Capacida d de peso (tonelad as) 12 18 10
Capacidad de espacio (pies cúbicos) 7000 9000 5000
Más aún, para mantener el barco balanceado, el peso de la carga en los respectivos compartimientos debe ser proporcional a su capacidad. Se tienen ofertas para cuatro cargamentos en un viaje próximo ya que se cuenta con espacio:
Car ga
Peso (tonela das)
Volume n (pies cúbicos )
Ganancia (US$/tone lada)
1 2 3 4
20 16 25 13
500 700 600 400
320 400 600 290
Se puede aceptar cualquier fracción de estas cargas. El objetivo es determinar qué cantidad de cada carga debe aceptarse (si se acepta) y cómo distribuirla en los compartimentos para maximizar la ganancia del viaje.
Problema 4. El Distrito posee un centro de recolección de residuos sólidos, los cuales somete a diferentes tratamientos, de forma tal que pueda producir materia prima para la venta. De acuerdo con las mezclas de los materiales utilizados, es posible producir tres tipos o calidades diferentes de producto. Para la mezcla existe cierta flexibilidad y se han especificado estándares de calidad que indican los niveles máximos y mínimos en porcentaje (por peso) de los materiales que se permiten en cada tipo de producto. Las especificaciones se dan en la siguiente tabla junto con el costo de amalgamado y el precio de venta por kilogramo: Tipo Especificaciones A
No más de 20% de material 1. No menos 20% de material 2. No menos de 30% de material
Costo de amalgam ado $/Kg
Precio de venta $/Kg.
3.00
8.50
2.50
7.00
2.00
5.50
3. B
No más de 50% de material 1. No menos de 10% de material 2. C No más de 70% de material 1.
El centro de recolección obtiene los materiales de desperdicio de diferentes fuentes, por lo cual es capaz de operar a una producción estable. Las cantidades disponibles cada semana, y el costo de tratamiento, se muestran en la siguiente tabla:
Mate rial
Kilos disponibles por
Costo del tratamiento
1 2 3 4
semana 2500 1900 4000 1200
$/Kg. 3 6 4 5
El problema que enfrenta el distrito es determinar cuánto debe producir de cada tipo de producto y la mezcla exacta de materiales que debe utilizar para cada tipo, de tal manera que se maximice el beneficio total por semana (ventas totales menos costos totales de amalgamado y tratamiento).
