ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Hidráulica e Ambiental PHD 5029 - Modelos de Planejamento e Gerenciamento de Recursos Hídricos Estruturar e resolver utilizando a Programação Linear. Indique de maneira clara a Função Objetivo e as Equações de Restrição.
Exercício 1 - Uma metalúrgica deseja maximizar sua receita bruta. A Tabela 1 abaixo apresenta a proporção de cada material na mistura para obtenção das ligas passíveis de fabricação. O preço está cotado em Reais por tonelada da liga fabricada. Também em toneladas estão expressas as restrições de disponibilidade de matéria-prima. Tabela 1 - Restrições/Custos de cada liga Liga Especial de
Liga Especial de Alta
Disponibilidade de
Baixa Resistência
Resistência (*)
Matéria Prima
(*) Cobre
0,5
0,2
16 ton
Zinco
0,25
0,3
11 ton
Chumbo
0,25
0,5
15 ton
R$ 3.000
R$ 5.000
(*) ton de minério por
Preço de Venda (R$/ton)
ton de liga
Exercício 2 - Uma grande fábrica de móveis dispõe em estoque de 250 metros de tábuas, 600 metros de pranchas e 500 metros de painéis de conglomerado. A fábrica normalmente oferece uma linha de móveis composta por um modelo de escrivaninha, uma mesa de reunião, um armário e uma prateleira. Cada tipo de móvel consome uma certa quantidade de matéria prima, conforme a Tabela 2 abaixo. A escrivaninha é vendida por 100 unidades monetárias (UM), a mesa por 80 UM, o armário por 120 UM e a prateleira por 20 UM. Montar um modelo de PL para maximizar a receita com a venda dos móveis. Tabela 2 - Restrições/Custos Escrivaninha Mesa Armário Prateleira Disponibilidade (m) Tábua
1
1
1
4
250
Prancha
0
1
1
2
600
Painéis
3
2
4
0
500
100
80
120
20
Valor de Revenda (UM)
1
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Hidráulica e Ambiental PHD 5029 - Modelos de Planejamento e Gerenciamento de Recursos Hídricos Exercício 3 - Um jovem atleta sente-se atraído pela prática de dois esportes: natação e ciclismo. Sabe-se por experiência que: a natação exige um gasto em mensalidade do clube e deslocamento até a piscina que pode ser expresso em custo médio de 03 reais por seção de treinamento de duas horas; o ciclismo, mais simples, acaba custando cerca de 02 reais pelo mesmo tempo de prática; o orçamento do rapaz dispõe de 70 reais para seu treinamento. Seus afazeres de aluno de graduação na Poli lhe dão liberdade de empregar no máximo 18 horas mensais e 80.000 calorias para os esforços físicos. Cada seção de natação consome 1500 calorias, enquanto cada etapa ciclística consome 1000 calorias. Considerando que o rapaz goste igualmente de ambos os esportes o problema consiste em planejar seu treinamento de forma a maximizar o número de seções de treinamento.
Exercício 4 - Considere a situação de decidir sobre o número de unidades a serem produzidas por certo fabricante de dois diferentes tipos de produto. Os lucros por unidade do produto 1 e do produto 2 são respectivamente 2 e 5 UM. Cada unidade do produto 1 requer 3 horas de máquina e 9 unidades de matéria prima, enquanto que o produto 2 requer 4 horas de máquina e 7 unidades de matéria prima. Os tempos máximos disponíveis de horas de máquina e de matéria prima são 200 horas e 300 unidades, respectivamente. Formule o problema de forma a otimizar o lucro total.
Exercício 5 - Uma companhia produz dois tipos de camisas: manga longa e manga curta. Na companhia, o único ponto crítico é a mão-de-obra disponível. A camisa de manga longa consome 50% a mais de mão-de-obra do que a de manga curta. Sabe-se também que se toda a produção fosse concentrada na disponibilização de camisas manga curta a companhia poderia entregar 400 camisas de manga curta por dia. O mercado limita a produção diária das camisas em 150 mangas longas e 300 mangas curtas. O lucro bruto por camisa de maga longa é de 5 UM e por camisa de manga curta é 3,5 UM. Formular o problema de modo a permitir a determinação das quantidades de camisas a produzir de modo a otimizar o lucro.
Exercício 6 - Suponha que por motivos justificáveis, uma certa dieta alimentar esteja restrita a leite desnatado, carne magra de boi, carne de peixe e um salada de composição bem conhecida. Sabe-se ainda que os requisitos nutricionais serão expressos em termos de vitaminas A, C e D e controlados por suas quantidades mínimas (em mg), uma vez que são indispensáveis à preservação da saúde da pessoa quês estará se submetendo à dieta. A Tabela 3 resume a quantidade de cada vitamina em
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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Hidráulica e Ambiental PHD 5029 - Modelos de Planejamento e Gerenciamento de Recursos Hídricos disponibilidade nos alimentos e a sua necessidade diária para a boa saúde de uma pessoa. Formular o programa para otimização dos recursos envolvidos. Tabela 3 - Restrições de Nutrientes na Dieta Alimentar Vitamina
Leite (litro)
Carne (kg)
Peixe (kg)
Salada (100 g)
Requisito Nutricional Mínimo (mg)
A
2 mg
2 mg
10 mg
20 mg
11 mg
C
50 mg
20 mg
10 mg
30 mg
70 mg
D
80 mg
70 mg
10 mg
80 mg
250 mg
Custo
2 reais
4 reais
1,5 reais
1 real
Exercício 7 - Um sitiante está planejando sua estratégia de plantio para o próximo ano. Por informações obtidas nos órgãos governamentais sabe que as culturas de trigo, arroz e milho serão as mais rentáveis na próxima safra. Por experiência, sabe que a produtividade de sua terra para as culturas desejadas é a constante na Tabela 4. Por falta de um local de armazenamento próprio, a produção máxima, em toneladas, está limitada a 60. A área cultivável do sítio é de 200.000 m2. Para atender as demandas de seu próprio sítio, é imperativo que se plante 400 m2 de trigo, 800 m2 de arroz e 10.000 m2 de milho. Quanto plantar de cada cultura? Tabela 4 - Restrições do Problema Cultura
Produtividade em kg por m2
Lucro por kg de produção
(empírico)
(informação de mercado)
Trigo
0,2
10,8 centavos
Arroz
0,3
4,2 centavos
Milho
0,4
2,03 centavos
Exercício 8 - Uma cooperativa agrícola opera 3 fazendas que possuem produtividades aproximadamente iguais entre si. A produção total por fazenda depende fundamentalmente da área disponível para o plantio e da água de irrigação. A cooperativa procura diversificar sua produção de modo que vai plantar este ano três tipos de cultura em cada fazenda, a saber: milho, arroz e feijão. Cada tipo de cultura demanda por uma certa quantidade de água. Para reduzir o conflito no uso das colheitadeiras, que são alugadas pela cooperativa, estabeleceram-se limites de área de produção dentro de cada tipo de cultura. Para evitar a concorrência entre os cooperados, acordou-se que a proporção de área cultivada seja a mesma para cada uma das fazendas. As Tabelas 5 e 6 resumem os 3
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Hidráulica e Ambiental PHD 5029 - Modelos de Planejamento e Gerenciamento de Recursos Hídricos dados tecnológicos. Pede-se a elaboração de um programa de produção que defina a área de cada cultura que será plantada em cada fazenda, de modo a otimizar o lucro total da produção da cooperativa. Tabela 5 - Água Disponível e Área de Cultivo por Fazenda Fazenda Área Total para Cultivo (acres) Água Disponível (litros) 1
400
1.800
2
650
2.200
3
350
950
Tabela 6 - Consumo de Água, Área de Cultivo e Lucro por Cultura Cultura
Área Máxima de
Consumo de Água (l
Lucro (R$/Acre)
Cultivo (Acres)
por Acre)
Milho
660
5,5
5.000
Arroz
880
4,0
4.000
Feijão
400
3,5
1.800
Exercício 9 - Uma refinaria processa vários tipos de petróleo. Cada tipo de petróleo possui uma planilha de custos diferente, expressando condições de transporte e preços na origem. Por outro lado, cada tipo de petróleo representa uma configuração diferente de subprodutos para a gasolina. Na medida em que um certo tipo de petróleo é utilizado na produção de gasolina, é possível a programação das condições de octanagem e outros requisitos. Esses requisitos implicam na classificação do tipo da gasolina obtida. Supondo que a refinaria trabalhe com uma linha de quatro tipos diferentes de petróleo e deseje produzir as gasolinas amarela, azul e super-azul, programar a mistura dos tipos de petróleo atendendo às condições que se seguem nas tabelas:
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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Hidráulica e Ambiental PHD 5029 - Modelos de Planejamento e Gerenciamento de Recursos Hídricos Tabela 7 - Quantidade Disponível de Petróleo Tipo de Petróleo
Quantidade Máxima
Custo por Barril/dia (R$)
Disponível (barril/dia) 1
3.500
19
2
2.200
24
3
4.200
20
4
1.800
27
Tabela 8 - Percentuais para Limites de Qualidade das Gasolinas Tipo de Gasolina
Especificação
Preço de Venda (R$/Barril)
Super-Azul
Não mais que 30% de 1
35
Não menos que 40% de 2 Não mais que 50% de 3
Azul
Não mais que 30% de 1
28
Não menos que 10% de 2
Amarela
Não mais que 70% de 1
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Exercício 10 - Uma refinaria produz dois tipos de óleo, I e II, que passam por refino em quatro centros de processamento, conforme figura abaixo. As linhas cheias do gráfico indicam o fluxo normal de refino para os óleos do tipo I e II. Havendo capacidade ociosa, é possível processar o tipo de óleo I através do esquema alternativo representado pelas linhas tracejadas.
Figura 1 - Fluxo de Produção de Óleo na Refinaria
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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Hidráulica e Ambiental PHD 5029 - Modelos de Planejamento e Gerenciamento de Recursos Hídricos No esquema de produção sabe-se que a distribuição custo x capacidade de produção é dada por: Tabela 9 - Fabricação dos Óleos Produto Centro Capacidade (l/h) % de Recuperação Custo ($/hora) Óleo I
1
300
90
150
Óleo I
2
450
95
200
Óleo I
4
250
85
180
Óleo I
2
400
80
220
Óleo I
3
350
75
250
Óleo II
1
500
90
300
Óleo II
3
480
85
250
Óleo II
4
400
80
240
Atenção: na medida em que o petróleo vai sendo refinado em cada centro, existe uma perda percentual na matéria-prima. Essa perda é acumulada em cada circuito.
As relações econômicas que regem a função lucro são:
Produto
Custo da matéria-
Preço de Venda
Venda Diária Máxima
prima ($/litro)
($/litro)
(litro)
I
5
20
1.700
II
6
18
1.500
Os centros 1 e 4 operam 16 horas por dia. Os centros 2 e 3 operam 12 horas por dia. A refinaria possui a capacidade de transportar somente 2500 litros por dia pois seu oleoduto está em manutenção. Formule matematicamente o problema de otimização dos dois tipos de óleo.
Dica: quando o problema PL aumenta é melhor trabalhar com a notação matricial!
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