Probabilidad Para Ingenieria Obligatorio 2 200206

PROBABILIDAD Significado de cálculo de probabilidades: " En En el fondo, la teoría de probabilidades es sólo sentido común expresado con números ". "Es notable que una ciencia que comenzó con las consideraciones de juegos de azar había de llegar a ser el objeto más importante del conocimiento humano. Las cuestiones más importantes de la vida constituyen en su mayor parte, en realidad, solamente problemas de probabilidad". Pierr e Simon Simon de Laplace ( 1749 - 1827 ) http://thales.cica.es/rd/Recurs http://thales.c ica.es/rd/Recursos/rd97/Biografias/ os/rd97/Biografias/09-01-b-LaplaceObra.htm 09-01-b-LaplaceObra.htm

El objetivo fundamental de la Estadística es utilizar los datos de una muestra para inferir sobre las características de una población a la que no podemos acceder de manera completa. Es decir, a partir de la muestra inferir sobre la población. Por lo que se debe elegir al azar azar algunos elementos de la población. Para Para conocer conocer la intención de voto en un país se debe seleccionar Ejemplo: aleatoriamente algunos componentes (ciudadanos) de ese universo (población) y se registra su voto. Esto constituye un experimento aleatorio.

Experimento s aleatorios aleatorios (ε) Los aspectos más importante importante que distinguen a los experimentos aleatorios son: - Todos los posibles resultados del experimento son conocidos con anterioridad a su realización. - No se puede predecir el resultado del experimento. - El experimento puede repetirse en condiciones idénticas, pero no siempre proporciona los mismos resultados (depende del azar). El conjunto o colección de posibles resultados del experimento aleatorio se denomina espacio muestral (o universo) y se denota por Ω

Ejemplos de experimentos aleatorios

Espacio Muestral (Ω)

1. Se lanza una moneda dos veces, se observan los resultados. 2. Se lanza un dado y se observa el número que aparece en la cara superior 3. Después de fabricado, un tubo de rayos catódicos se somete a una prueba de duración, y se deja en funcionamiento hasta que falla. Se registra el tiempo t (en horas) de funcionamiento hasta el momento de la falla. 4. Tiempo en años de duración de un procesador

Ω1 = {(C,C), (C,S), (S,C), (S,S)}

Cecil ia Larr aín R.

PROB AB ILIDAD

C ≡ cara

S ≡ sello

Ω2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Ω3 = {t/ t > 0}

Ω4 =

+

R = [0 , ∞)

Págin a 1

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A los resultados de un experimento y los subconjuntos de posibles resultados de un experimento aleatorio se les llama sucesos o eventos y se les denota con letras mayúsculas.

Suceso elemental : Todo resultado que puede ocurrir al realizar una sola vez el experimento aleatorio Ejercicios I Ejercicio II-1 1

Una caja contiene 6 ampolletas incandescentes de las cuales dos están 2D defectuosas (D), describa Ω de los siguientes ε: 4 DC ≡ B

i) Las ampolletas son probadas (sin reposición) hasta encontrar una defectuosa Ω= ii) Suponga que las ampolletas son probadas hasta encontrar una defectuosa y la extracción se realiza con reposición Ω= iii) Se extraen al azar una muestra de dos ampolletas de la caja. Ω= Ejercicio II-2 2

El experimento aleatorio “ε: lanzar dos monedas al aire”. Espacio muestral Ω = {(C,C), (C,S), (S,C), (S,S)}; C ≡ cara Se definen los sucesos: A = { salga una cara} = {(C,S), (S,C) } B = {salga al menos una cara}= {(C,C), (C,S), (S,C) } Determine: A U B = A ∩ B = AC =

S ≡ sello

B ∩ AC =

Ejercicio II-3 3 Sean tres sucesos cualesquiera A, B, C de un experimento aleatorio. siguientes sucesos en función de A, B, C: a) Solamente ocurre A ≡

Exprese los

b) Ocurre A y B pero no C ≡

c) Ocurren los tres sucesos ≡ d) Ocurre por lo menos uno ≡ (A U B U C) e) Por lo menos dos ocurren ≡ (A ∩ B) U (A ∩ C) U (B ∩ C)









DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD Aunque el concepto de probabilidad parece simple, ya que se encuentra con bastante frecuencia en la comunicación entre personas. Ejemplo: Existe un 80% de posibilidades de que llueva

Enfoques de definición Subjetiva o personalista Enfoques = Clásica o apriori Objetiva Frecuencia relativa o posteriori

Probabilidad subjetiva o personalista (Savage 1950). La probabilidad mide la confianza que el individuo tiene sobre la certeza de una proposición determinada. : Basado en su experiencia, un salubrista puede afirmar que este verano Ejemplo tendremos una epidemia de cólera con una probabilidad de 0,0001 (0,01%).

Este enfoque de las probabilidades dio lugar al enfoque del análisis de datos estadísticos denominado “Estadística Bayesiana”

Probabilidad clásica de Laplace o a priori Si un experimento aleatorio ε puede dar origen a uno de los N resultados diferentes igualmente probables y si n de estos resultados tienen un atributo A, la probabilidad de A es

P(A) =

n N

P(A)=

n ro de caso casoss fav favor orab able less a A n ro de caso casoss posi posibl bles es

Ejemplo: Ejemplo: Lanzamiento de dos veces una moneda Ω = {(C,C), (C,S), (S,C), (S,S)}









Frecuen cia r elativa o apo sterio ri o emp írica (VON MISES) Probabilidad de un suceso es aproximadamente la frecuencia relativa de veces que ocurrirá el suceso al realizar un experimento repetidas veces Ejemplo: Núm Núm ero d e lanzamientos Investigador de una Número moneda de caras

Buffon K. Pearson K. Pearson

4040 12000 24000

Frecuenc ia relativa nro de caras nro de lanzamientos de la moneda

2048 6019 12012

0,5069 0,5016 0,5005

Cuando se utiliza la definición frecuencia relativa, es importante tomar en cuenta los siguientes aspectos: i. La probabilidad obtenida de esta manera es únicamente una estimación del valor real. ii. Cuanto mayor sea el número de ensayos, tanto mejor será la estimación de la probabilidad; es decir, a mayor número de ensayos mejor será la estimación. iii. La probabilidad es propia de sólo un conjunto de condiciones idénticas a aquéllas en las que se obtuvieron los datos, o sea, la validez de emplear esta definición depende de que las condiciones en que se realizó el experimento sean repetidas idénticamente Generalizando este proceso, la probabilidad de un suceso A, P(A), es

P(A)= lim n



n A n

donde n A es el número de ocurrencia de A en n ensayos del experimento

Definición axiomática de probabilidad

(1933-Kolmogorov)

Se llama probabilidad a cualquier función P, que asigna a cada suceso A un valor numérico P(A), que satisfaga las siguientes reglas (axiomas): i)

0 < P(A) < 1

ii)

P(Ω) = 1

iii)

Si A y B son sucesos que se excluyen mutuamente

Andrei Nikolaevich









Consecuencia de los axiomas d e probabilidad (teoremas): (teoremas) :

Sea A, B, C sucesos cualesquiera del espacio muestral Ω

1) Probabilidad de un suceso imposible

P(  ) = 0

A: P(AC) = 1 - P(A) 2) Probabilidad de que no ocurra el suceso A:

3) Probabilidad de que ocurra el suceso A o ocurra el suceso B P(A

B) = P(A) + P(B) – P(B) – P(A

B)

DIAGRAMA DE VENN

≡ unión ≡ o≡ al menos uno de los dos sucesos ocurren ≡ intersección ≡ y ≡ ambos sucesos ocurren

4) Probabilidad de que ocurra el suceso A y no ocurra el suceso B: P(A

5) P(A U B)C = P(AC

BC) = P(A) – P(A) – P(A

B)

BC)

Otras propiedades:

6. De (4) se deduce: 7. 8.

De de (3), (4) y (5) :

P(A ∩ B ∩ CC) = P(A ∩ B) - P(A ∩ B ∩ C) P(A ∩ BC ∩ CC) = P(A) - P(A∩ P(A ∩B) - P(A ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)

Demuestre que: P( AU B U C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A ∩ B) – P(A ∩ C) – P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)









El departamento de calidad de una fábrica de elementos de Ejemplo: sujeción ha evaluado que cierto tipo de anclajes metálicos producidos pueden ser defectuosos debido a las siguientes causas. Defectos de rosca, defectos de dimensión. Se ha calculado que el 6% de los anclajes que producen tienen defectos en las roscas, mientras que el 9% tiene defectos en las dimensiones. Sin embargo, el 90% de los anclajes no presentan defectos.

De la pr od uc ción, se elige elige un anclaje al aza azarr ¿Cuál es la probabilidad de que un anclaje tenga a. sólo defecto de dimensión? b. sólo defecto de rosca? c. ambos defectos? d. por lo menos uno de los defectos?

Solución: Siempre debe definir los sucesos y anotar probabilísticamente la información que entrega el enunciado del problema. Puede construir el R = el anclaje tiene defecto en la rosca diagrama de VENN D = el anclaje tiene defecto en la dimensión P(R) = 0,06 P(D) = 0,09 P(R C ∩ DC) = 0,90 Se pide

a. P(D ∩ RC) = b. P(R ∩ DC) = c. P(R ∩ D) = d. P(R

D) =

La información del problema también se puede representar en tabla Tiene defecto de dimensión

D Tiene defecto de rosca

R

P(R P(R

D)

No tiene defecto de dimensión

DC

P(R P(R

D )

Total P(R) P(R) 0,06

No tiene defecto de rosca

RC

Total

P(RC

P(D) 0,09

D)

P(R C DC) 0,90

P(RC)

P(D )

1,00











El nivel educacional de las 1000 personas que trabajan en una Ejemplo: Industria se distribuye de la siguiente forma: Enseñanza Media (EM): 80

Técnica (T): 450

Universitaria (U) : 430

Post Grado: 40

La quinta parte de la persona con nivel educacional EM son mujeres, así como la mitad de los profesionales universitarios, la tercera parte de los técnicos y el 60% de los profesionales con post grado: Género N. Educa

Mujer

Hombre

M

H

EM

Total 80

T U

215

430

G Total

1000

Complete la tabla de contingencia Se elige a una persona de persona de la industria al azar, a) determine la probabilidad de que sea 

Hombre

P(H) =



Titulo Técnico y mujer

P(T

M) =









PROBABILIDAD CONDICIONAL

Se define la probabilidad de A condicionada a B, o probabilidad de A sabiendo que ha ocurrido B como: P(A / B ) =

P(A B) ; P(B) >0 P(B )

Y la probabilidad de B condicionada a A, o probabilidad de B sabiendo que ocurre A se define como

P(B / A) =

Se dedu deduce ce que que P (A

P(B A) P(A)

B) = P(B P(B)P )P(A (A / B) = P(A)P(B / A)

Ejemplo: La probabilidad de que un sistema de comunicación tenga alta fidelidad es 0,81 y la probabilidad de que tenga alta fidelidad y alta selectividad es 0,18.

¿Cuál es la probabilidad de que un sistema de comunicación con alta fidelidad tenga también alta selectividad? Solución: Sean los sucesos F = un sistema de comunicación tenga alta fidelidad S = Un sistema de comunicación tenga alta selectividad P(F P(F) = 0,81 0,81 P(F P(F S) = 0,18 0,18

P(S / F) =

P (F S) 0 ,1 8 2 = = P (F ) 0 ,8 1 9

(

0 ,2 2 2 )

Ejercicio : En una población, el 52% son hombres, de los cuales el 82% son aficionados al fútbol, mientras que sólo el 20% de las mujeres, son aficionadas al fútbol. a. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea









b. Completa la tabla: La persona es

Mujer M Hombre H

Aficionada al football

No aficionada al football

F)

FC P( M F )

Total P(M P(M)

F)

P( H

P(H)

F P( M

0,096 P( H

F )

0,4264 P(F)

Total

0,52 P( P(F )

1,00

Respuestas :

a) P(

)=

b) P(

/

)=

La probabilidad condicional P(∙ / ∙) satisface las propiedades correspondientes a probabilidades: i) ii) iii)

0 < P(A/B) < 1 P(Ω/B) P(Ω/B) = 1 Si A1 y A2 son sucesos que se excluyen mutuamente ( A 1∩ A2) =  P((A1 A2)/B) = P(A1/B) + P(A 2/B) A la expresión P (A multiplicación

B) = P(A)P(B / A) se le conoce como regla de

Regla de multiplicación Sea A1, A2, …,Ak sucesos cualesquiera de Ω P ( A1∩ A2 ∩…∩ Ak ) = P(A1)∙P(A2 /A1)∙P(A3 / A1∩A2)∙ … ∙P(Ak /

k -1

A i

)

i=1

Ejemplo: Una caja contiene siete fichas negras y cinco rojas. Si se extraen sucesivamente (sin reposición r eposición)) tres fichas de la caja:









Independencia Estadística Dos sucesos A y B son independientes

si la ocurrencia (o no

ocurrencia) de uno no afecta la probabilidad a la ocurrencia del otro. Consecuencia de la independencia: P(A / B) = P(A) Sea A1, A2, …,Ak ;

P(B / A) = P(B) P(B)

P (A

B) = P(A)P( P(A)P(B) B)

k sucesos independientes

P ( A1∩ A2 ∩…∩ Ak ) = P(A 1)∙P(A2)∙P(A3)∙ … ∙P(A k) k

=

P(Ai ) i=1

Ejemplo : Una caja contiene 10 tubos de ensayos de los cuales 6 están buenos (B) y 4 están defectuosos (D). Se extraen al azar d o s tubos de la caja: Sea Di = el tubo i de ensayo ensa yo que se extrae es defectuoso. i = 1, 2. a) Si el experimento se realiza con b) Si el experimento se realiza sin determine la determine la reposición, reposición, probabilidad de que las dos probabilidad de que los dos tubos tubos extraídos sean extraídos sean defectuosos: defectuosos: ind P( D 1 D2) = P(D 1)P(D2 / D1) P( D 1 D2) = P(D 1)P(D2) 4 3 = · 4 4 = · 10 9









Ejercicio s II Ejerci cio II-1 Sean A, B dos sucesos tales que P[A] = 0.30, P[B] = 0.40. Hallar la P[A U B] y la P[“ocurra sólo uno de los dos sucesos”] en los siguientes casos: a. Si A y B son excluyentes . b. Si A y B son independientes . c. Si A  B Resp.: a) 0,70

0,70

b) 0,58

0,46

c) 0,40 0,10

Ejerci cio II-2 Sean A y B sucesos con P(A) = α, P(B) = β y P(A ∩ B) =  . Exprese las probabilidades siguientes en función de α, β y  . a. P(AC U BC) = b. P(A C ∩ B) = c. P(AC U B) =

d. P(A C ∩ BC) =

Ejerci cio II-3 Se sabe que P(A) = 0,3 , P(B) = P(C) = 0,2 y P(A∩B) = P(A∩C) = P(B∩C) = 0,1 y P(A ∩ B ∩ C)= 0,05. Calcular la probabilidad P(A U B U C) Resp.: 0,45

Ejerc icio II-4 Para evaluar a un grupo alumnos se decidió aprobar aquellos que superen al menos, una de las dos partes del examen de segunda opción; por este procedimiento aprobaron al 80%. Sabiendo que superaron el mínimo de cada una de esas partes el 60% y el 50%, respectivamente, calcule el porcentaje de los que superaron simultáneamente ambas partes. Resp.: 0,30 Ejerc icio II-5 La probabilidad de resolver correctamente alguna de las dos versiones de cierta











Ejerc icio II-7

En una ciudad se estudia la cantidad de usuarios de internet según el sexo. Supongamos los siguientes datos en miles de individuos: Hombre Mujer Total Usa Internet 40 35 75 No usa Internet 185 240 425 Total 225 275 500 Se selecciona un sujeto al azar y sea los siguientes sucesos I: usar internet H: Ser hombre a. Determine e interprete la probabilidad de: P(I)= P(H)= P(I ∩ H) =

P(I ∩ H C)

b. Si mediante un procedimiento aleatorio se seleccionó a un sujeto varón, ¿Cuál es la probabilidad de que use internet?

Ejerc icio II-8

Sean 2 sucesos A y B de los cuales se sabe que la probabilidad de B es el doble que la de A; que la probabilidad de la unión es el doble que la de su intersección; y que la probabilidad de su intersección es de 0,1.









PROBABILIDAD TOTAL Supongamos que sobre el espacio muestral Ω tenemos una partición A1 , A2, …, Ak k=5

Ai ∩ A j =  ; i



j

Se conocen las probabilidades

P(Ai) , i = 1,2, …, k P(B/Ai) , i = 1,2, …, k

Esto significa que cualquier resultado de Ω necesariamente debe estar en uno y solo uno de los sucesos A

i

La elaboración de un determinado tipo de artículo puede Ejemplo: realizarse con tres máquinas (A 1 A2 y A 3) la producción de artículos diarios de las tres máquinas están en una razón 2:2:1.









Se puede presentar Ω y las probabilidades de los sucesos en la tabla siguiente: Máquina A1 A2 A3 Total

B (bueno) P (A1 B) 0,384 P (A2 B) 0,380 P (A3 B) 0,196 P(B) 0,96

BC

Total

P (A1 BC) 0,016 P (A2 B ) 0,02 P (A3 B ) 0,004

P(A2) = 0,4

P(BC) 0,04

1,000

P(A1)= 0,4

P(A3) = 0,2

Recuerde que: las probabilidades P(A 1), P(A2) , P(A3) y P(B/A1), P(B/A2), P(B/A3) son conocidas y

P(A1

B) = P(A 1)∙P(B/A1) ,

…,

P(A3

B) = P(A 3)∙P(B/A3)

















Sea A1, A 2, A3, …, Ar , … Ak una partición del espacio muestral Ω y B un suceso sobre Ω, P(B) > 0, entonces: P(A r /B) =

P(A r  B) P(B)

=

P(B/A r )  P(Ak ) k

 P(B/Ai ) P(A i ) i=1

Una fábrica de botellas cuenta con dos máquinas para la Ejercicio: producción. En esa fábrica se producen 10.000 botellas al día. La máquina A produce 6.500 botellas diarias de las cuales el 2% son defectuosas. La máquina B produce 3.500 botellas cada día de las cuales el 1% son defectuosas De la producción de cierto día, el encargado de control de calidad selecciona una botella al azar y encuentra que está defectuosa. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido producida por la máquina A? Resp.: 0,788

Ejercicio: Para llenar de agua depósitos con superficie flexibles de forma automática, una máquina puede realizar el proceso a baja o alta velocidad. Cuando el proceso se realiza a baja velocidad, el 0,1% de los depósitos tienen un volumen de llenado incorrecto. Mientras que si el proceso se realiza a alta velocidad, el 1% de los depósitos presentan un volumen incorrecto. Se sabe que el 30% de los depósitos se llenan a alta velocidad. Si se inspecciona un depósito al azar y se encuentra que su volumen es











Ejerc icio II IIII-3 3 Unas piezas cilíndricas pueden ser defectuosas por tener una longitud inadecuada o tener un diámetro inadecuado, siendo ambos tipos de defectos independientes. Si el porcentaje de cilíndros con longitud inadeuada es de 5% y la de cilindros con diámetros inadecuados es de 3%. ¿qué porcentaje de cilindros son defectuosos? Resp.: 7,85%

Ejerc icio II IIII-4 4 El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que de los no ingenieros y no economistas solamente el 20% ocupan un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero? Resp.: 0,4054 Ejerc icio II IIII-5 5









Ejerc icio II IIII-8 8 El p ro bl em a del cab allero de l a Meré . Se considera generalmente 1654 como el año del nacimiento de la teoría de probabilidades: el caballero de la Meré, filósofo y hombre de letra en la corte de Luis XIV, propuso dos problemas al célebre matemático Blaise Pascal;

a.

¿Qué es más probable, obtener al menos un seis en cuatro lanzamientos de un dado, u obtener al menos un doble seis al lanzar 24 veces dos dados.

b.

Se lanza una moneda varias veces. Por cada cara obtenida, A recibe un punto, y por cada sello obtenido, se adjudica un punto a B. Gana la apuesta el primero que obtenga 5 puntos. Al cabo de 7 jugadas (lanzamientos de la moneda), A tiene 4 puntos y B tiene 3. En este momento se interrumpe el juego. ¿Cómo repartir la apuesta de la manera más equitativa?

Las pr opu estas estas d e Merédieron lug ar a un in tercambio de corresp ondenc ia entre Pascal Pascal y Fermat, de que n acieron los fun damentos de prob abilidades. abilidade s. Ejerc icio II IIII-9 9









Ejerc icio II IIII-12 12 Las fábricas A, B y C pueden proveer un repuesto necesario para reparar una máquina. Las probabilidades de que lo hagan están en una razón razón 5:3:2 5:3:2 respectivamente. La fábrica A revisa los repuestos antes de entregarlos y puede descartarse la probabilidad de que entregue uno defectuoso. La fábrica B trabaja con un 20% de defectuosos y la C además tiene repuestos de segunda calidad. De los repuestos de C, el 5% son de segunda calidad y defectuosos, defectuosos, el 2% es de de segunda pero no es defectuoso y la probabilidad de que no sea defectuoso ni de segunda es 0,9. Si se recibe un repuesto y resulta defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que no sea de segunda calidad? Resp.: 0,868421 Ejerc icio II IIII-13 13









Ejerc icio II IIII-16 16 Una compañía petrolera está adelantando labores de exploración en una región determinada. De acuerdo con las estimaciones del jefe del equipo de exploración, la probabilidad de encontrar petróleo en dicha región es de 0,35. Con el fin de disponer de información más precisa, se realizó una prueba sísmica para determinar la posible existencia de petróleo. En un 80% de los casos, esta prueba confirma la existencia de petróleo cuando este realmente existe, y en un 90% de los casos se descarta la existencia de petróleo cuando este no está presente. a. Si el resultado de la prueba fue positivo (+), ¿cuál es la probabilidad de que exista petróleo en dicha región? Resp. 0,812 b. Determine la probabilidad de que realmente exista petróleo, dado que en la prueba sísmica se ha obtenido el resultado “Descartado ( -)”. Resp. 0,107 Ejerc icio II IIII-17 17









Ejerc icio II IIII-20 20 Una máquina consta de tres componentes en serie, cada uno de los cuales tiene una probabilidad de fallo de 0,01. Por motivos de seguridad se decide colocar otros tres componentes, en paralelo con los primeros, para reducir el riesgo de avería de la máquina. Suponiendo que todos componentes actúan independientemente, ¿cuál de las dos alternativas presentadas en la figura es preferible, teniendo en cuenta que, por motivos económicos, los componentes de seguridad son de inferior calidad calidad y tienen probabilidad de averiarse de 0,05.

Probabilidad Para Ingenieria Obligatorio 2 200206

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