PRINSIP INKLUSI-‐EKSKLUSI INCLUSION-‐EXCLUSION PRINCIPLE
Prinsip Inklusi-Eksklusi Ada berapa anggota dalam gabungan dua himpunan hingga? |A1 ∪ A2| = |A1| + |A2| - |A1 ∩ A2|
Contoh 1 Ada berapa bilangan bulat positif lebih kecil atau sama dengan 100 yang habis dibagi 6 atau 9? Solusi. Misalkan A: himpunan bilangan bulat dari 1 sampai 100 yang habis dibagi 6 B: himpunan bilangan bulat dari 1 sampai 100 yang habis dibagi 9. Dengan menggunakan prinsip inklusi-eksklusi, banyaknya bilangan bulat dari 1 sampai 100 yang habis dibagi 6 atau 9 adalah | A∪ B | = | A| + | B | − | A∩ B | = ⎣100 / 6⎦ + ⎣100 / 9⎦ − ⎣100 / 18⎦ = 16 + 11 + 5 = 22
Contoh 2 Misalkan ada 1467 mahasiswa angkatan 2011 di ITB. 97 orang di antaranya adalah mahasiswa Prodi Informatika, 68 mahasiswa Prodi Matematika, dan 12 orang mahasiswa double degree Informatika dan Matematika. Ada berapa orang yang tidak kuliah di Departemen Matematika atau Informatika?
Solusi. Misalkan
A: himpunan mahasiswa angkatan 2004 di Departemen Informatika B: himpunan mahasiswa angkatan 2004 di Departemen Matematika Maka |A|=97, |B|=68, dan |A∩B|=12. Banyaknya mahasiswa angkatan 2004 di Departemen Informatika atau Matematika adalah |A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|= 97 + 68 – 12 = 153 Jadi, terdapat 1467 – 153 = 1314 mahasiswa angkatan 2004 yang tidak kuliah di Departemen Matematika atau Informatika.
Perluasan Prinsip Inklusi-Eksklusi untuk tiga himpunan Angka 1 merah menunjukkan daerah yang terlibat ketika |A| dihitung, angka 1 hijau menunjukkan daerah yang terlibat ketika |B| dihitung,dan angka 1 biru menunjukkan daerah yang terlibat ketika |C| dihitung. Terlihat bahwa daerah yang beririsan dihitung berulang-ulang. |A ∩ B| dikurangkan (dua 1 merah diambil), |A ∩ C| dikurangkan (dua 1 biru diambil), dan |B ∩ C| dikurangkan (dua 1 hijau diambil) Terlihat bahwa penghitungan hampir benar, kecuali pada daerah di mana ketiga himpunan sama-sama beririsan. Maka perlu ditambahkan kembali |A ∩ B ∩ C|.
Perluasan Prinsip Inklusi-Eksklusi untuk tiga himpunan (2) Jadi, |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
Contoh 3 Sebanyak 115 mahasiswa mengambil mata kuliah Matematika Diskrit, 71 Kalkulus Peubah Banyak, dan 56 Geometri. Di antaranya, 25 mahasiswa mengambil Matematika Diskrit dan Kalkulus Peubah Banyak, 14 Matematika Diskrit dan Geometri, serta 9 orang mengambil Kalkulus Peubah Banyak dan Geometri. Jika terdapat 196 mahasiswa yang mengambil paling sedikit satu dari ketiga mata kuliah tersebut, berapa orang yang mengambil ketiga mata kuliah sekaligus?
Contoh 3 (2) Solusi. Misalkan MD: himpunan mahasiswa yang mengambil mata kuliah Matematika Diskrit, KPB: himpunan mahasiswa yang mengambil mata kuliah Kalkulus Peubah Banyak, dan G: himpunan mahasiswa yang mengambil mata kuliah Geometri. Maka |MD| = 115, |KPB| = 71, |G| = 56, |MD ∩ KPB| = 25, |MD ∩ G| = 14, |KPB ∩ G| = 9, dan |MD ∪ KPB ∪ G| = 196 Dengan mempergunakan prinsip inklusi-eksklusi: |MD∪KPB∪G| = |MD| + |KPB| + |G| - |MD∩KPB| - |MD∩G| - |KPB∩G| + |MD∩KPB∩G| 196 = 115 + 71 + 56 - 25 - 14 - 9 + |MD ∩ KPB ∩ G| Jadi, |MD ∩ KPB ∩ G| = 2
Soal 1 Carilah banyaknya anggota dari |A ∪ B ∪ C| jika terdapat 100 anggota dalam setiap himpunan dan jika a. ketiga himpunan tersebut tidak ada yang saling beririsan b. terdapat 50 anggota yang sama dalam setiap pasang himpunan dan tidak ada anggota yang sama dalam ketiga himpunan sekaligus c. terdapat 50 anggota yang sama dalam setiap pasang himpunan dan 25 anggota yang sama dalam ketiga himpunan sekaligus d. irisan setiap pasang himpunan dan irisan ketiga himpunan berukuran sama
Prinsip Inklusi-Eksklusi Teorema 1. Misalkan A1, A2, …, An himpunan hingga. Maka | A1 ∪ A2 ∪ ∪ A2 | = ∑ | Ai | − ∑ | Ai ∩ Aj | 1≤i ≤ n
+
1≤i ≤ j ≤ n
n +1 | A ∩ A ∩ A | − + ( − 1 ) | A1 ∩ A2 ∩ ∩ An | ∑ i j k
1≤i ≤ j ≤ k ≤ n
Contoh 4 Carilah banyaknya anggota dari |A ∪ B ∪ C ∪ D| jika setiap himpunan berukuran 50, setiap irisan dari dua himpunan berukuran 30, setiap irisan dari tiga himpunan berukuran 10, dan irisan dari keempat himpunan berukuran 2.
Solusi. |A∪B∪C∪D|=|A| + |B| + |C| + |D| - |A∩B|-|A∩C|-|A∩D|-|B∩C| - |B∩D|- |C∩D| + |A∩B∩C|+ |A∩B∩D|+|A∩C∩D| + |B∩C∩D| - |A ∩ B ∩ C ∩ D| = 4 . 50 – 6 . 30 + 4 . 10 – 2 = 58
Soal Soal 2. Ada berapa banyak permutasi dari ke-26 huruf dalam alfabet yang memuat paling sedikit satu dari kata FIGHT, BALKS, MOWER. Soal 3. Ada berapa banyak permutasi dari ke-26 huruf dalam alfabet yang memuat paling sedikit satu dari kata CAR, CARE, SCARE, SCARED.
APLIKASI DARI PRINSIP INKLUSI-‐ EKSKLUSI
Beberapa Aplikasi Inklusi-Eksklusi • Banyaknya bilangan prima yang lebih kecil dari suatu bilangan bulat positif • Banyaknya fungsi pada dari suatu himpunan hingga ke himpunan hingga lainnya. • Masalah derangement: penitipan topi ( the hatcheck problem )
Bentuk Alternatif Inklusi-Eksklusi Misalkan S: himpunan dengan jumlah anggota N. Ai: subhimpunan yang memuat anggota dengan sifat Pi. N ( P1P2 !Pn ) : banyaknya anggota dengan semua sifat P1, P2 ,!, Pn dan N (P1 ' P2 ' Pn ') : banyaknya anggota yang tidak memiliki sifat P1 , P2 ,, Pn maka N ( P1P2 !Pn ) = | A1 ! A2 !!! An |
N (P1 ' P2 ' Pn ') = N − | A1 ∪ A2 ∪ ∪ An | Dengan prinsip inklusi-eksklusi, N (P1 ' P2 ' Pn ') = N −
∑ N (P ) + ∑ N (P P ) i
1≤i ≤ n
−
i
j
1≤i ≤ j ≤ n
n N ( P P P ) + + ( − 1 ) N ( P1P2 Pn ) ∑ i jk
1≤i ≤ j ≤ k ≤ n
Contoh 1 Ada berapa solusi yang dimiliki oleh x1 + x2 + x3 = 11 dengan x1, x2, x3 bilangan bulat tak negatif dan x1 ≤ 3, x2 ≤ 4, dan x3 ≤ 6.
Solusi. Misalkan P1: sifat x1 > 3, P2: sifat x2 > 4, dan P3: sifat x3 > 6. Maka banyaknya solusi adalah: N (P1 ' P2 ' P3 ') = N − N ( P1 ) − N ( P2 ) − N ( P3 ) + N ( P1 P2 ) + N ( P1 P3 ) + N ( P2 P3 ) − N ( P1 P2 P3 )
Contoh 1 (2) • • • • •
N: jumlah solusi total = C(3+11-1,11) = 78 N(P1): jumlah solusi dengan x1 ≥ 4 = C(3+7-1,7) = 36 N(P2): jumlah solusi dengan x2 ≥ 5 = C(3+6-1,6) = 28 N(P3): jumlah solusi dengan x3 ≥ 6 = C(3+5-1,5) = 15 N(P1 P2): jumlah solusi dengan x1 ≥ 4 dan x2 ≥ 5 = C(3+2-1,2) =6 • N(P1 P3): jumlah solusi dengan x1 ≥ 4 dan x3 ≥ 7 = C(3+0-1,0) =1 • N(P2 P3): jumlah solusi dengan x2 ≥ 5 dan x3 ≥ 7 = 0 • N(P1P2P3): jumlah solusi dengan x1 ≥ 4, x2 ≥ 5 dan x3 ≥ 7 = 0 Jadi, N(P1 P2 P3 ) =78 - 36 - 28 - 15 + 6 + 1 + 0 - 0 =6
The Sieve of Erotosthenes • Mencari banyaknya bilangan prima yang tidak melebihi suatu bilangan bulat positif tertentu. • Suatu bilangan komposit hanya dapat dibagi oleh bilangan prima yang tidak melebihi akar bilangan tersebut. Contoh 2. Tentukan banyaknya bilangan prima yang tidak melebihi 100. Solusi. Faktor prima dari bilangan yang kurang dari 100 tidak akan melebihi 10. Jadi, bilangan yang kurang dari 100 habis dibagi 2, 3, 5, atau 7.
The Sieve of Erotosthenes (2)
Misalkan P1: sifat bilangan habis dibagi 2, P2: sifat bilangan habis dibagi 3, P3: sifat bilangan habis dibagi 5, dan P4: sifat bilangan habis dibagi 7. Maka banyaknya bilangan prima yang lebih besar 1 dan tidak melebihi 100 adalah: 4 + N(P1 P2 P3 P4 ) Jadi, menurut inklusi-eksklusi: N (P1 ' P2 ' P3 ' P4 ') = 99 − N ( P1 ) − N ( P2 ) − N ( P3 ) − N ( P4 ) + N ( P1 P2 ) + N ( P1 P3 ) + N ( P1 P4 ) + N ( P2 P3 ) + N ( P2 P4 ) + N ( P3 P4 ) − N ( P1 P2 P3 ) − N ( P1 P2 P4 ) − N ( P1 P3 P4 ) − N ( P2 P3 P4 ) − N ( P1 P2 P3 P4 ) ⎢100 ⎥ ⎢100 ⎥ ⎢100 ⎥ ⎢100 ⎥ = 99 − ⎢ − ⎢ − ⎢ − ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ⎣ 2 ⎦ ⎣ 3 ⎦ ⎣ 5 ⎦ ⎣ 7 ⎥⎦ ⎢100 ⎥ ⎢100 ⎥ ⎢ 100 ⎥ ⎢100 ⎥ ⎢100 ⎥ ⎢100 ⎥ + ⎢ + ⎢ + ⎢ + ⎢ + ⎢ + ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎣ 2 ⋅ 3 ⎦ ⎣ 2 ⋅ 5 ⎦ ⎣ 2 ⋅ 7 ⎦ ⎣ 3 ⋅ 5 ⎦ ⎣ 3 ⋅ 7 ⎦ ⎣ 5 ⋅ 7 ⎥⎦ ⎢ 100 ⎥ ⎢ 100 ⎥ ⎢ 100 ⎥ ⎢ 100 ⎥ ⎢ 100 ⎥ − ⎢ − ⎢ − ⎢ − ⎢ − ⎢ = 21 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎣ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⎦ ⎣ 2 ⋅ 3 ⋅ 7 ⎦ ⎣ 2 ⋅ 5 ⋅ 7 ⎦ ⎣ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⎦ ⎣ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⎦
The Sieve of Erotosthenes (3) 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91
2 12 22 32 42 52 62 72 82 92
3 13 23 33 43 53 63 73 83 93
4 14 24 34 44 54 64 74 84 94
5 15 25 35 45 55 65 75 85 95
6 16 26 36 46 56 66 76 86 96
7 17 27 37 47 57 67 77 87 97
8 18 28 38 48 58 68 78 88 98
9 19 29 39 49 59 69 79 89 99
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Banyaknya fungsi pada Ada berapa banyak fungsi pada dari himpunan dengan 6 anggota ke himpunan dengan 3 anggota? Solusi. Misalkan anggota-anggota dari kodomain adalah b1, b2, dan b3. Misalkan P1, P2, dan P3 adalah sifat bahwa b1, b2, dan b3 tidak berada dalam range fungsi. Karena fungsi akan pada jhj fungsi tersebut tidak memiliki semua sifat P1, P2, atau P3, maka banyaknya fungsi pada dari himpunan dengan 6 anggota ke himpunan dengan 3 anggota adalah N (P1 ' P2 ' P3 ') = N − N ( P1 ) − N ( P2 ) − N ( P3 ) + N ( P1 P2 ) + N ( P1 P3 ) + N ( P2 P3 ) − N ( P1 P2 P3 )
Banyaknya fungsi pada (2) • N: banyaknya fungsi dari himpunan dengan 6 anggota ke himpunan dengan 3 anggota = 36. • N(Pi): banyaknya fungsi yang tidak mempunyai bi dalam range = 26. • N(Pi Pj): banyaknya fungsi yang tidak mempunyai bi dan bj dalam range = 16 = 1. • N(P1 P2 P3): banyaknya fungsi yang tidak mempunyai b1, b2, dan b3 dalam range = 0. Jadi, banyaknya fungsi pada dari himpunan dengan 6 anggota ke himpunan dengan 3 anggota adalah 36 - C(3,1) 26 + C(3,2) 1 – 0 = 540
Banyaknya fungsi pada & aplikasinya Teorema 1 Misalkan m dan n bilangan bulat positif dengan m ≥ n. Maka, terdapat nm - C(n,1) (n-1)m + C(n,2) (n-2)m – … + (-1)n-1 C(n,2) 1m fungsi pada dari himpunan dengan m anggota ke himpunan dengan n anggota. Soal 1. Terdapat berapa cara untuk mendelegasikan lima pekerjaan yang berbeda pada empat karyawan yang berbeda jika setiap karyawan ditugasi minimal satu pekerjaan? Soal 2. Ada berapa cara untuk mendistribusikan enam mainan yang berbeda pada tiga anak jika setiap anak mendapatkan minimal satu mainan?
Derangements Derangement adalah permutasi objek sehingga tidak ada objek yang menempati tempat aslinya. Contoh 3. Permutasi 654123 adalah derangement dari 123456. Permutasi 653124 bukanlah derangement dari 123456. Dn menyatakan banyaknya derangement dari n obyek. Contoh 4. D3 = 2
Banyaknya derangement dari n objek Suatu permutasi dikatakan memiliki sifat Pi jika permutasi tersebut mengakibatkan anggota i tetap pada tempatnya. Jelas derangement dalam himpunan dengan n anggota adalah permutasi yang tidak memiliki sifat Pi, i=1,2,…,n. Jadi, Dn = N (P1 ' P2 ' Pn ') = N −
∑ N (P ) + ∑ N (P P ) i
1≤i ≤ n
−
i
j
1≤i ≤ j ≤ n
n N ( P P P ) + + ( − 1 ) N ( P1P2 Pn ) ∑ i jk
1≤i ≤ j ≤ k ≤ n
o N: banyaknya permutasi dengan n anggota = n! o N(Pi): banyaknya permutasi yang menetapkan satu anggota = (n-1)! o N(Pi Pj): banyaknya permutasi yang menetapkan dua anggota = (n-2)! o N(Pi1 Pj2 …Pjm): banyaknya permutasi yang menetapkan m anggota = (n-m)!
Banyaknya derangement dari n objek (2) Karena terdapat C(n,m) cara untuk memilih m dari n anggota, maka o Σ N(Pi) = C(n,1) (n-1)! o Σ N(Pi Pj) = C(n,2) (n-2)! o Dan secara umum, Σ N(Pi1 Pj2 …Pjm) = C(n,m) (n-m)! Sehingga, Teorema 2. Banyaknya derangement dalam himpunan dengan n anggota adalah ⎡ 1 1 1 n 1 ⎤ Dn = n! ⎢1 − + − + + (−1) ⎥ n!⎦ ⎣ 1! 2! 3!
The Hatcheck Problem Seorang pegawai baru di tempat penitipan topi suatu rumah makan menerima titipan topi dari n pengunjung, tetapi ia lupa untuk menomori topitopi tersebut. Ketika para pengunjung hendak mengambil kembali topi mereka, pegawai ini memilih secara acak dari topi yang tersisa. Berapakah peluangnya bahwa tidak ada seorang pun yang menerima topinya kembali.
The Hatcheck Problem (2) Solusi. Peluang bahwa tidak ada seorang pun yang menerima topinya kembali adalah Dn 1 1 n 1 = 1 − + − + (−1) n! 1! 2! n!
Jika n membesar tanpa batas. ∞ Dn 1 n 1 lim = ∑ (−1) = ≈ 0,368 n →∞ n! n! e n =1
