PRINCIPIOS UTILIZADOS EN EL MODELADO No es posible suministrar reglas según las cuales se construyan modelos matemáticos, aunque sí se puede expresar una diversidad de principios de guía. No describen los pasos claros que se realizan en la construcción de un modelo, sino que describen los distintos puntos de vista desde los cuales se puede juzgar la información a incluir en el modelo.
A) FORMACIÓN EN BLOQUES a descripción del sistema se debe organizar en una serie de bloques, o subsistemas. !l propósito de formar los bloques es simplificar la especificación de las interacciones dentro del sistema. "ada bloque describe parte del sistema que depende de pocas, preferiblemente una, variables de entrada y produce unas pocas variables de salida. uego puede describirse al sistema como un todo en t#rminos de las interconexiones entre los bloques. !n forma correspondiente, se puede representar gráficamente al sistema como un diagrama simple de bloques.
B) RELEVANCIA !l modelo sólo debe de incluir los aspectos del sistema relevantes a los objetivos del estudio. $ manera de ejemplo, si el estudio del sistema de la fábrica pretende comparar los efectos de distintas reglas de operación en la eficiencia, no es relevante considerar la contratación de los empleados como una actividad. $unque la información irrelevante irrelevante en el modelo no perjudica, perjudica, se debe de excluir debido a que aumenta la complejidad del modelo y genera más trabajo en la solución del modelo.
c) EXACTITUD %ebe de tenerse en cuenta la exactitud de la información que se recabe. &or ejemplo, en el sistema de la aeronave, la exactitud con que se describe el movimiento de la misma depende de la representación de la estructura. &uede bastar considerar a la estructura como un cuerpo rígido y deducir una relación muy simple entre el movimiento de la superficie de control y la dirección a donde va la aeronave, o puede ser necesario reconocer la flexibilidad de la estructura y dar cabida a las variaciones en la misma. !l ingeniero responsable de estimar el consumo de combustible se sentirá satisfec'o con la representación simple. !n cambio, otro ingeniero, responsable de tomar en cuenta la comodidad de los pasajeros, necesita tomar en cuenta las vibraciones, por lo que querrá la descripción detallada de la estructura.
D) AGREGACIÓN (n factor adicional que debe de considerarse es el grado con que pueden agruparse las distintas entidades individuales en entidades más grandes.
!l gerente general de la fábrica estará satisfec'o con la des)cripción que se 'a dado. *in embargo, el gerente de control de la producción querrá considerar los talleres de los departamentos como entidades individuales. !n algunos estudios puede ser necesario construir entidades. $rtificiales mediante el proceso de agregación. &or ejemplo, por lo general un estudio económico o social considera a una población como una cantidad de clases sociales y realiza un estudio como si cada una de estas fuera una entidad distinta. $ la representación de actividades se debe de dar consideraciones semejantes de agregación. &or ejemplo, al estudiar un sistema de defensa con proyectiles, puede no necesitarse incluir los detalles del cómputo de una tr ayectoria de proyectiles para cada disparo. *erá+ suficiente con representar el resultado de muc'os disparos mediante una función de probabilidad
Distribuci! "i#$r%$&'(tric a distribución 'ipergeom#trica viene a cubrir esta necesidad de modelizar procesos de ernoulli con probabilidades no constantes -sin reemplazamiento . a distribución 'ipergeom#trica es especialmente útil en todos aquellos casos en los que se extraigan muestras o se realizan experiencias repetidas sin devolución del elemento extraído o sin retornar a la situación experimental inicial. /odeliza , de 'ec'o, situaciones en las que se repite un número determinado de veces una prueba dicotómica de manera que con cada sucesivo resultado se ve alterada la probabilidad de obtener en la siguiente prueba uno u otro resultado. !s una distribución .fundamental en el estudio de muestras peque0as de poblaciones .peque0as y en el cálculo de probabilidades de, juegos de azar y tiene grandes aplicaciones en el control de calidad en otros procesos experimentales en los que no es posible retornar a la situación de partida.
Pr&#i$**$s a función de probabilidad de una variable aleatoria con distribución 'ipergeom#trica puede deducirse a trav#s de razonamientos combinatorios y es igual a
donde es el tama0o de población, es el tama0o de la muestra extraída, es el número de elementos en la población original que pertenecen a la categoría deseada y es el número de elementos en la muestra que pertenecen a dic'a
categoría. a notación 'ace referencia al coeficiente binomial, es decir, el número de combinaciones posibles al seleccionar elementos de un total . !l valor esperado de una variable aleatoria X que sigue la distribución 'ipergeom#trica es
y su varianza,
!n la fórmula anterior, definiendo
y
se obtiene
a distribución 'ipergeom#trica es aplicable a muestreos sin reemplazo y la binomial a muestreos con reemplazo. !n situaciones en las que el número esperado de repeticiones en el muestreo es presumiblemente bajo, puede aproximarse la primera por la segunda. !sto es así cuando N es grande y el tama0o relativo de la muestra extraída, n/N , es peque0o.
L *istribuci! N&r'+
*e trata, sin duda, del modelo continuo más importante en estadística, tanto por su aplicación directa, veremos que muc'as variables de inter#s general
pueden describirse por dic'o modelo, como por sus propiedades, que 'an permitido el desarrollo de numerosas t#cnicas de inferencia estadística. !n realidad, el nombre de Normal proviene del 'ec'o de que durante un tiempo se creyó, por parte de m#dicos y biólogos, que todas las variables naturales de inter#s seguían este modelo.
*u función de densidad viene dada por la fórmula1
que, como vemos, depende de dos parámetros 2 -que puede ser cualquier valor real y 3 -que 'a de ser positiva. &or esta razón, a partir de a'ora indicaremos de forma abreviada que una variable X sigue el modelo Normal así1 X 4 N -2, 3. &or ejemplo, si nos referimos a una distribución Normal con 2 5 6 y 3 5 7 lo abreviaremos N -6, 7..
Pr&#i$**$s *$+ '&*$+& N&r'+ 7. *u esperanza es 2. 8. *u varianza es 38 y, por tanto, su desviación típica es 3. 9. !s sim#trica respecto a su media 2, como puede apreciarse en la representación anterior. :. /edia, moda y mediana coinciden -2. ;. "ualquier transformación lineal de una variable con distribución Normal seguirá tambi#n el modelo Normal. *i X 4 N -2, 3 y definimos Y 5 aX < b -con a = 6, entonces Y 4 N -a2 < b, >a>3. !s decir, la esperanza de Y será a2 < b y su desviación típica, >a>3. ?. "ualquier combinación lineal de variables normales independientes sigue tambi#n una distribución Normal. !s decir, dadas n variables aleatorias independientes con distribución X i 4 N -2i , 3i para i 5 7, 8, ..., n la combinación lineal1 Y 5 an X n < an@7 X n@7< ... < a7 X 7 < a6 sigue tambi#n el modelo Normal1
