Principio Del Trabajo Mínimo

UNIVERSIDAD UNIVERSIDA D NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

INTRODUCCION

La resistencia de materiales o mecánica de materiales permite reunir las teorías sobre los cuerpos sólidos deformables, deformables, en contraste con la teoría matemática de la elasticidad o la teoría de los sólidos perfectamente plásticos. Desde la teoría de las placas hasta los cascarones. cascarones. El principal interés en la mecánica de sólidos es la investigación de la resistencia interna y la deformación de un cuerpo sólido sometido a la acción de cargas. Esto requiere un estudio de la naturaleza de las fuerzas que se originan dentro de un cuerpo para equilibrar el efecto de las fuerzas aplicadas exteriormente (análisis estructural). Las ecuaciones de la estática permiten determinar la fuerza axial, la fuerza cortante y el momento flexionante en una sección transversal determinada de un elemento estructural. Las estructuras planas son las más comunes y principalmente las vigas que pueden ser rectas o curvas, pero la mayor parte de ellas son rectas, ya que son más frecuentes en la práctica. Los miembros principales que soportan los pisos de los edificios son vigas y, asimismo, el eje de un automóvil es una viga. En el presente informe hablaremos sobre el principio del trabajo mínimo, sistemas hiperestáticos en flexión. PRINCIPIO DEL TRABAJO MINIMO, SISTEMAS HIPERESTATICOS EN FLEXION

Mediante el segundo teorema de Castigliano pueden encontrarse los desplazamientos de puntos libres de sistemas elásticos, calculando la derivada parcial de la energía de deformación con respecto a una fuerza seleccionada. De manera complementaria, aplicando el mismo teorema a un sistema elástico lineal, estáticamente indeterminado, hallamos que la derivada parcial de la energía de deformación con respecto a una reacción superabundante (redundante o hipostática) o respecto a una fuerza de vinculo interno, debe ser cero, puesto que la función de esa reacción es, precisamente, evitar cualquier desplazamiento de su punto de aplicación. Por lo tanto, si X, Y, Z, ……, son los valores de las fuerzas superabundantes, su determinación

  0;   0;   0, etc. Donde U es una función de segundo grado en X, Y, Z, ….       Las ecuaciones   0;   0;   0, pueden ser interpretadas interpretadas como las condiciones condiciones analíticas requiere

de valor extremo de la función de energía de deformación U.

MECÁNICA DE SÓLIDOS II


Puede demostrarse que

  0 etc, son positivas y en consecuencia la función de energía de 

deformación U alcanza un valor extremo mínimo. Reacciones externas. En otros, se escogerá

como magnitudes estáticamente indeterminadas, las fuerzas internas que actúan en las dos partes adyacentes del sistema estudiad, de acuerdo a lo establecido en el método general de las secciones planas. De manera alternativa, en todo sistema hiperestático interno, externo o interno-externo pueden seleccionarse como incógnitas los desplazamientos lineales o angulares que sean de interés al problema.

Fig. N° 1

Si R A es la redundante, entonces debe expresarse U = f(R A). Se dispone de tres ecuaciones ecuaciones con tres incógnitas: incógnitas:


∑   0, ∑   0,   0.


Fig. N° 2

Si m-m indica un plano de simetría, puede seleccionarse como redundante la acción interna

.

SEGUNDO TEOREMA DE CASTIGLIANO

Se considera nuevamente un sólido elástico en equilibrio (figura 1), sometido a un sistema de cargas puntuales exteriores Pi , y sean


∆ las deformaciones en la dirección de las cargas.


Fig. N° 3

Se supone ahora que es posible expresar la energía elástica complementaria almacenada en el sólido en función de las fuerzas U *( *(Pi ). ). El potencial complementario total puede entonces ponerse como:

∗  ∗  + ∗  ∗  −  ∆ =,

Al estar el cuerpo en en equilibrio, equilibrio, este potencial potencial complementario complementario es estacionario, estacionario, con lo que: que:

∗  ∀ →     0 =, ∗   (  − ∆ )  0 =, ∗   (  − ∆)   0 =,

∗ 0

Pero al ser la variación de las fuerzas arbitraria, debe ser cero cada uno de los términos del sumatorio, es decir:

∆ ∗ 1,

Si el sólido es lineal la energía y la energía complementaria coinciden, con lo que queda:



∆  1, Esta es la expresión del conocido segundo teorema de Castigliano (1879), de enorme utilidad para el análisis de estructuras y en particular para el cálculo de deformaciones. Es aplicable a sistemas elásticos, con la condición de que pueda expresarse la energía elástica complementaria en función de las fuerzas generalizadas, lo cual es siempre posible en estructuras reticulares con las suposiciones que habitualmente se hacen para su estudio.

SISTEMAS HIPERESTÁTICOS

DEFINICIONES: Sistemas isostático: aquellos en el que es posible determinar las reacciones y los esfuerzos

en cualquier punto mediante las ecuaciones de la Estática.

Sistemas hiperestáticos: aquellos en los que las ecuaciones de la Estática resultan

insuficientes para determinar las reacciones y los esfuerzos en cualquier punto.

Tipos de sistemas hiperestáticos Los sistemas hiperestáticos se subdividen en dos categorías: categorías: a) Sistemas exteriormente hiperestáticos: cuando las ecuaciones de la Estática resultan insuficientes insuficientes para determinar determinar las reacciones.



b) Sistemas interiormente interiormente hiperestáticos: hiperestáticos: cuando cuando las ecuaciones de la Estática

resultan insuficientes para determinar los esfuerzos internos.



Planteamiento general de resolución de sistemas hiperestáticos MÉTODO DE LAS FUERZAS

Procedimiento:

1) Buscar

un Sistema Isostático Asociado (SIA),

sustituyendo los enlaces superabundantes por las fuerzas de enlace correspondientes (incógnitas hiperestáticas).

2) En el Sistema Isostático Asociado (SIA) calcular los

desplazamientos

correspondientes

a

los

enlaces

suprimidos. Es decir, calcular los desplazamientos en función de las fuerzas externas directamente aplicadas aplicadas y de las incógnitas hiperestáticas. hiperestáticas.

3)

Establecer

la

compatibilidad

de

las

deformaciones así calculadas con las que posibilitan los enlaces realmente existentes.



4) De estas ecuaciones de compatibilidad hallar los

5) Una vez conocidas las incógnitas hiperestáticas y las

fuerzas

exteriores

se

determinan

fácilmente

solicitaciones solicitaciones internas y los desplazamientos. desplazamientos.


las


Sistemas

hiperestáticos interiormente

Métodos de resolución: •

Navier-Bresse

•

Castigliano

•

Principio de los Trabajos Virtuales (PTV)

Procedimiento de resolución: 1) Se realiza un corte virtual o ficticio ficticio (sección 0 de la figura)

2) Se transforma el sistema hiperestático hiperestático en un Sistema lsostático Asociado.

Aplicación de de las fórmulas de Navier-Bresse Navier-Bresse En el corte se introducen tres incógnitas: Ml, To y No

Las tres

incógnitas

introducidas

obligan

a plantear

tres ecuaciones

para

determinarlas. AI tratarse trata rse de un corte virtual, vir tual, las secciones s ecciones (A) y (B) se comportan igual por ser en realidad la misma sección (0):

donde MECÁNICA DE SÓLIDOS II


B M p 0 =

A SA

‘

“

N

B

0=

A

A pÜ

“ “

A

S

0=

B

A

“‘AL‘B

A ) +

(

B

()ds

sin 8de

—

B

B N

B

B

cos 8ds

sin d ds +

cos 8 de

NOTA: Estas tres ecuaciones resuelven la la hiperestaticidad hiperestaticidad interior. interior.


Aplicación de los Teoremas Energéticos: Energéticos: Resolución por por Castigliano OBSERVACIÓN: Como caso particular del teorema de Castigliano

AB

óF

**AB —— Variación relativa de la longitud de los puntos A, B dado que en los dos

actúa la misma fuerza E.

Aplicación del Teorema de Castigliano: Castigliano:

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Pero por ser las secciones A y B la misma sección esta situación no se produce en realidad (salvo que se produzca la rotura). Es decir, el movimiento relativo entre las secciones A y B debe ser nulo: °’

—0

NOTA: Estas tres ecuaciones resuelven la la hiperestaticidad hiperestaticidad interior. interior.

OBSERVACIÓN: Las fuerzas externas F y las reacciones hiperestáticas Mi, Tú y Ni deben considerarse como fuerzas independientes al aplicar el teorema de Castigliano:

EJEMPLO: En el siguiente sistema mostrado: a) Hallar el desplazamiento desplazamient o horizontal producido por la fuerza P. b) El valor de α, para que el desplazamiento sea nulo.

Solucion

a)

∑  0  2 2 −  sin sin 1+cos 1+cos + cos cossin sin  0



  2 sin -

Se incluye una fuerza ficticia H en B para calcular la deformación horizontal de este punto, entonces:

i)

    1        +      ii)

0<< 1−cos ++ cos    1−cos cos   2 sin sin1−cos 1−cos +  sin  iii) <<   {sin2 + 3sincos −cos sin sin −cossin} −cossin} +sin 2 −cos -

De i, ii y iii y simplificando, simplificando, tenemos:

   ∫ sin sin1−cos 1−cos +  sin + ∫[ +   − cos cos sin sin −cossin] −cossin ] +sin +sin   3cos−1+ cos       MECÁNICA DE SÓLIDOS II


b) Para que el desplazamiento desplazamient o sea nulo

3cos−1+ cos 0

Finalmente obtenemos:

72.376 °


Principio Del Trabajo Mínimo

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