Principio de Energia Potencial Minima 1.2

TEMARIO 1. PRINCIPIO DE ENERGIA POTENCIAL MINIMA 1.1 1.2 1.#

Funcional de Energía Potencial Funcional Graca de la !unci"n de Energía Potencial Princi$io de e%uili&rio de tra&a'o e(terno ) tra&a'o interno

2. E*EMPLO ELEMENTAL ELEMENTAL DE ANALI+I+ E+TR,CT,RAL 2.1 -iga i/$le/ente a$o)ada con carga uni!or/e/ente ditri&uida #. PRINCIPIO DE ENERGIA POTENCIAL MINIMA 0APLICACIN #.1 Integraci"n directa #.2 M3todo a$ro(i/ado 4/3todo Ra)leig56R Ra)leig56Rit78 it78 #.2.1 +oluci"n $or el /3todo de Rit7 4918 #.2.2 +oluci"n $or el /3todo de Rit7 4928 :. INTROD,CCION AL METODO DEL ELEMENTO FINITO ;. EC,ACIONE+
PRINCIPIO DE ENERGIA POTENCIAL MINIMA

 P

" L Donde se considera lo siguiente: E = es el módulo de elasticidad del material L = es la long longit itud ud inic inicia iall de de la la bar barra ra A = es el área área inici inicial al de la sec secció ción n trans transver versal sal P = Carga ax axial ac actuante

La Rigidez del sistema se maneja con la siguiente exresión:

E " L = A L e!uilibrio estático:

Deslazamiento corresondiente a la condición de

dest =

P " L

LP A E Comonente Comonente aralela a eje x del camo vectorial de deslazamientos deslazamientos

 x u ( x ) =∆  L

Por ser estado uniaxial de es#uerzos ε x ( ∆ )=

la barra%

d  u ( x ) dx

Donde  $ = deslazamiento deslazamiento total total del extremo extremo libre libre de

F,NCIONAL DE ENERGIA POTENCIAL= ∆ equilibrio=

 L P  A E

da =dy dz dV = dxda =dx dy dz ∂u ∂x

δ =

∂u  dx dx

 δ  σx ∂u dU =( σxda ) = ( dy dz )  dx dx 2 2

∂u σx =∈ x = ∂x  E

dU =

σx ∂ u  ( dx dy dz ) 2 dx

Por lo tanto

U  ( ( ∆ ) =

1

( E ε x ( ∆ )) ²

2

 E

dU =

( AL )

σx ∂ u  dV  2 ∂x

&inalmente W  ( ( ∆ ) = P ∆

∏ (∆ )=W  ( ( ∆ )−U (∆ )

2

∂x U = V  2 E

d  A E ∆  Π  ( ( ∆ ) → P − d∆  L d LP  Π  ( ( ∆ ) =0 solve,∆→ d∆  A E

'#uncional de energ(a otencial 'variación con resecto a $

'valor de $ !ue )ace !ue la energ(a otencial del sistema sea m(nima%

'este es el deslazamiento máximo !ue ocurre en el extremo libre de la barra en tensión%

GRAFICA DE LA F,NCION DE ENERGIA POTENCIAL Asignando valores num*ricos a las variables !ue intervienen: E=+ ε x ( ∆ )=

ε x ( ∆ )=

L=+

A=+

P=+

∆  L

(

1  E ε x ( ∆ ) 2

 E

)

2

( A L )

W  ( ∆ ) = P ∆  Π  ( ∆ )=U  ( ∆ )−W  (∆ )

 $= ,+- ,.%//'%%0

1bservar !ue la energ(a otencial es m(nima cuando el 2 = +- or lo tanto este es el valor !ue minimiza la energ(a otencial del sistema- 3 es la resuesta buscada% ∆ equilibrio =

 L P =1  A E

PRINCIPIO DE E>,ILI?RIO DE TRA?A*O E@TERNO  TRA?A*O INTERNO 1

( E ε x ( ∆equilibrio ) )

2

 E

2

( A L )=0.5 1  P ∆equilibrio= 0.5 2

4i !ueremos evaluar el valor del deslazamiento- tal !ue existe igualdad entre trabajo interno 3 trabajo externo- el resultado es: 2

1 ( E ε x ( ∆sol )) 2

 E

( A L )= 1  P ∆ sol resolviendo,∆sol → 2

() 0 1

La solución trivial se desec)a 52 =.6 3 la resuesta buscada es 2 = +

E*EMPLO ELEMENTAL DE ANALI+I+ E+TR,CT,RAL -iga i/$le/ente a$o)ada con carga uni!or/e/ente ditri&uida La solución obtenida en los cursos de 7ecánica de 7ateriales ara el caso de una viga simlemente ao3ada es observada desde una ersectiva di#erente% 1. Funci"n de /o/ento Be(ionante   ( x )=

!L 2

 x −

!x

2

2

si"#li$i%ando →

! x ( L− x ) 2

  

()  L 2

2

si"#li$i%ando →

 L ! 8

2. F,NCION +OL,CION DE LA EC,ACION DIFERENCIAL ORDINARIA 4Ordinar) Di!errential E%uation  ODE8 !L 3 ! & s ( x )= x− 12 E ' 

3

WL x − x 24 E '  24  E '  4

& s

()  L 2

4

si"#li$i%ando →

5 L ! 384 E ' 

#. -ERIFICACION DE LA -ALIDE DE LA +OL,CION DE LA ODE Ecuación di#erencial ordinaria 2   ( x ) d  & s ( x )= 2  E '  dx

Calculo de la #unción 8residuo9 generada:

2    ( x ) d ( ) r  x = 2 & s ( x )−   si"#li$i%ando→ 0

 E ' 

dx

'Por lo tanto- la ecuación se cumle en 1D1 el dominio%

PRINCIPIO DE ENERGIA POTENCIAL MINIMA 0APLICACIN Concetos alicados: Energ(a interna de de#ormación elástica recuerable 5trabajo interno6 Energ(a externa de de#ormación 5trabajo externo6 Estado de e!uilibrio estable cuando la energ(a otencial del sistema es m(nima Cao de etudio= -iga i/$le/ente a$o)ada con carga uni!or/e/ente ditri&uida Datos:

;=+

L=+

E=+

<=+

4e obtiene la #unción matemática !ue satis#ace la ecuación di#erencial de e!uilibrio de las barras rectas en exión de los textos de mecánica de materiales% &unción solución de la ecuación di#erencial de e!uilibrio estático de la viga en exión:

(

3

!L 3 ! !L 4  y d ( x , ( )=(  x− x − x 12 E '  24 E '  24 E '   y d

)

( )=−  L 2

,1

0.013

'&lec)a al centro del claro 5!L

4

384 E ' 

=0.013 '&lec)a máxima 5#ormula conocida6

NOTA: Cuando C=1 se tiene la función solución que se reporta en las distintas referencias sobre el tema de la Mecánica de Sólidos.

Energía interna de de!or/aci"n 4energía eltica recu$era&le8=  L

(

2

)

2

 E'  d U  ( ( )= y d ( x ,( ) dx 2 2 d x 0

∫

Tra&a'o e(terno=  L

∫

W e (( )= −! y d ( x , ( ) dx 0

ENERGIA POTENCIAL DEL +I+TEMA E+=

Π  (( )=U  ( ( )−W e ( ( )

d (  1  Π  ( ( ) → − d(  120 120

'variación con resecto a C d  Π  ( ( )=0 resolver ,( → 1 d( 

'valor de C !ue )ace !ue la energ(a otencial del sistema sea m(nima%

Princi$io de e%uili&rio de Tra&a'o e(terno ) tra&a'o interno.  L

∫ 0

 (

)

2

2

 E '  d −3  y d ( x , 1 ) dx =4.167  x 10 2 2 dx

Tra&a'o interno 1

 L

∫ −! y 2

d

( x , 1 ) dx =4.167 x 10−3

0

Tra&a'o e(terno 4i !ueremos evaluar el valor del deslazamiento- tal !ue existe igualdad entre trabajo interno 3 trabajo externo- el resultado es:

 (

2

)

2

 E '  d  1  y d ( x , ( ) dx =¿ 2 2 dx 2

 L

∫ −! y

d

( x ,( ) dxresolviendo,( equilibrio →

0

() 0 1

 L

∫¿ 0

Se deseca !" =#$ % la respuesta buscada es " = 1

MI+MO CA+O DE E+T,DIO POR EL METODO DE INTEGRACION DIRECTA La ecuación di#erencial se satis#ace con el siguiente olinomio algebraico de cuarto orden 3 alicando las t*cnicas estándar de integración de ecuaciones di#erenciales%

3

!L 3 !  y e ( x )= x−

!L x− x 24 E '  24 E ' 

12 E ' 

4

METODO+ APRO@IMADO+ M3todo de Ra)leig56rit7 El m*todo consiste en rooner una #unción matemática continuaderivable 3 de variación suave !ue satis#aga las condiciones de #rontera del medio continuo% Enseguida se calcula la #unción de E>ER?@A P1E>C
( )  x  +   L

'#unción intento 4e escribe la #unción de energ(a otencial 5en #unción de la constante C6a continuación se busca el valor de C !ue minimiza la #unción%  L

∫

U  ( ( )=

0

(

)

2

2

d  E '  y )i*z 1 ( x , ( ) dx 2 2 dx 1

 L

∫ (−! ) y

W e (( )=

 )i*zl

( x ,( ) dx

0

ENERGIA POTENCIAL DEL +I+TEMA E+=  Π  (( )=U  ( ( )−W e ( ( ) 5

d  +  ( −4  Π  ( ( ) → 2 +  d( 

'variación con resecto a C ( equilibrio=

d 4  Π  ( ( )=0 solve ,( → 5 d(  + 

'valor de C !ue )ace !ue la energ(a otencial del sistema sea m(nima%

 y )i*zl

(

 L 2

, ( equilibrio  y e

)=

100.386

'>ota: la senoide subestima la ec)a máxima en un .%B resecto a la solución exacta ANALI+I+ COMPARATI-O EN TERMINO+ DE LA DI+TRI?,CION E+PACIAL DE LA ENERGIA DE DEFORMACION.

Debe observarse !ue la energ(a interna de de#ormación está en #unción de la magnitud del momento exionante actuante en la sección transversal analizada% Por esta razón- es osible estudiar la variación de la energ(a de de#ormación a trav*s de la variación del momento exionante% 2

d 2  )i*zl ( x )= 2 y )i*zl ( x , (  ) ) si"#li$i%ando→+  (  ) sin ( + x ) dx    )i*zl ( x , ( ) = E '  ( +  (  sin ( + x ) ) 2

(

  e ( x )= E ' 

!L 2

! 2  x −  x 2

 &unción momento a artir de la



#unción solución intento%

)

 &unción momento a artir de la



#unción exacta%

-ERIFICACIN DE LA+ CONDICIONE+ NAT,RALE+ DE FRONTERA.

4

4

(

( ))

d x (  +  →− sin − 0 4  L0 dx

+  ( 0 sin  L0

4

( )  + x  L0

(

4

( ))

 +   x q ( x ,( )= E '  −(  4 sin  +   L  L

 &unción  a artir de la #unción



solución intento% q e ( x )= E ' 

4

d  y e ( x ) 4 dx

 &unción  a artir de la #unción



solución exacta%

+OL,CION POR EL METODO DE RIT 4928  y ) 2 ( x , ( )=−( L− x ) ( x

 &unción intento



4e escribe la #unción de energ(a otencial 5en #unción de la constante C6a continuación se busca el valor de C !ue minimiza la #unción%  L

∫

U  ( ( )=

0

(

2

)

2

 L

 d  E '  y ( x , ( ) dx W e ( ( )= (−! )  y ) 2 ( x , ( ) dx 2  ) 2 2 dx 0 1

∫

ENERGIA POTENCIAL DEL +I+TEMA E+=  Π  (( )=U  ( ( )−W e ( ( ) d 1  Π  ( ( ) → 4 ( − d(  6

'variación con resecto a C ( equilibrio=

d 1  Π  ( ( )=0 resolviendo,(→ d(  24

'valor de C !ue )ace !ue la energ(a otencial del sistema sea m(nima%

 y ) 2

(

 L 2

, ( equilibrio

 y e

()  L

)=

80

2

'>ota: la senoide subestima la ec)a máxima en un F. resecto a la solución exacta ANALI+I+ COMPARATI-O EN TERMINO+ DE LA DI+TRI?,CION E+PACIAL DE LA ENERGIA DE DEFORMACION. Debe observarse !ue la energ(a interna de de#ormación está en #unción de la magnitud del momento exionante actuante en la sección transversal analizada% Por esta razón- es osible estudiar la variación de la energ(a de de#ormación a trav*s de la variación del momento exionante%

2 d ( )   x = 2 y ) 2 ( x ,( ) si"#li$i%ando → 2 ( 

dx

  ( x ,( )= E ' ( 2 ( )

 &unción momento a artir de la solución intento 

-ERIFICACION DE LA+ CONDICIONE+ NAT,RALE+ DE FRONTERA  - 4  ( x )=

4

d y ) 2 ( x , ( ) si"#li$i%ando→ 0 4 dx

q ( x ,( )= E ' - 4  ( x )

 &unción ! a artir de la #unción solución intento% 

4

d q e ( x )= E '  4  y e ( x ) dx

 &unción ! a artir de la #unción solución exacta 

INTROD,CCION AL METODO DEL ELEMENTO FINITO Cao de etudio= iga i/$le/ente a$o)ada con carga uni!or/e/ente ditri&uida ) carga concentrada a$licada al centro del claro. Datos:

;=+

L=+

E=+

<=+

P=.%B

Alicando la t*cnica de solución or el m*todo de integración directa  y #=

− P x # 12 E ' 

(

3 L 4

2

− x #2

) 3

!L 3 ! !L 4  y ! = x− x− x 12 E '  24 E '  24 E ' 

 y d ( x )= y ! + y #

Con la siguiente consideración:  x #= L− x si x >

 L 2

deo*ra "anera→ x # = x

T3cnica de oluci"n $or el /3todo a$ro(i/ado de Rit7 &unción
( )  x +   L

 rabajo interno  L

∫

U  ( ( )=

0

(

2

( ))

+   x  E '  (  2 sin  +   L 2  L 1

2

dx

 rabajo Externo  L  x  L −! W e (( )=∫ −( sin  +  dx − P y , ( 

 (

( ))  L

( )

C=.- .%..+'.%.G

Es = .%.+

0

2

2

Consideraciones: Ei = .

 Π  (( )=U  ( ( )−W e ( ( ) . Ener/ia Po*en%ial

Halor de 8C9 !ue )ace !ue el trabajo interno

sea igual al trabajo externoI

C = .%.F/B/

&LECJA 8EKACA9 CALCLADA AL CE>R1 DEL CLAR1 5 !L

4

()

4

PL  L + =0.021354 y d =−0.021354 384  E '  48 E '  2

 y

( )= ()  L 2

 y d

,( 

 L

138.122

2

>1A: la senoide sobrestima la ec)a máxima resecto a la solución exacta ANALI+I+ COMPARATI-O EN TERMINO+ DE LA DI+TRI?,CION E+PACIAL DE LA ENERGIA DE DEFORMACION.

(

2

 d   ( x ,( )= E '  y ( x , ( ) 2 dx

)

M&unción intento a artir de la #unción

solución intento

(

2

d   d ( x )= E '  y d ( x ) 2 dx

)

M&unción momento a artir de la #unción

solución exacta

  !=

!L 2

 x − !

 x

2

2

 P    #=  x # 2

Consideraciones:  x #= L− x . si x >

 L 2

de o*ra "anera x # = x

  es*a*i%a ( x )=  ! +   #

-ERIFICACION DE LA+ CONDICIONE+ NAT,RALE+ DE FRONTERA

(

4

( ))

 +   x q ( x ,( )= E '  −(  4 sin  +   L  L

M #unción  a artir de la #unción solución intento 4

d q d ( x ) = E '  4  y d ( x ) dx

M#unción  a artir de la #unción solución exacta

EC,ACIONE+ E4% T3cnica de oluci"n $or el /3todo de integraci"n directa.

En casos anteriores- la ecuación di#erencial se satis#ace con el siguiente olinomio algebraico de cuarto orden:  y e ( x )=

3

!L 3 ! !L 4 x− x− x 12 E '  24 E '  24 E ' 

! x ( L− x ) d e ( x ) = 2 ( y e ( x ) ) si"#li$i%ando →   0 %urva*ura %orres#ondien*e 2 E '  dx 2

Esta #unción se obtiene de t*cnicas comunes de integración de ecuaciones di#erenciales% 2

−! x ( L − x 2) 0 linea elas*i%a de vi/a doble"en*e e"#o*rada  y $ix ( x )= 24 E ' 

2 ! ( L −6 L x + 6 x d  $ix ( x )= 2 ( y $ix ( x ) ) si"#li$i%ando →− 12 E '  dx 2

2

) 0 %urva*ura %orres#ondien*e

+OL,CION POR EL METODO DE RIT 4RALEIG<6RIT8 El m*todo consiste en rooner una #unción matemática continua- derivable 3 de variación suave !ue satis#aga las condiciones de #rontera del medio continuo% Enseguida se calcula la #unción de E>ER?C
 y a

(

2 x

 L

3

3

−

3 x

 L

) (

2

2

+ 1 + 1 a  x −

2

3

) (

2

3

) (

2

3

 x 3 x 2 x − x  x + 2 + y b 2 − 3 + 1 b +  L  L  L  L2  L  L

2 x

)

2

d  )i*zl ( x )= 2 y )i*zl ( x , y a , 1a , y b ,1 b ) dx

 )i*zl ( x ) → y b

(

6

 L

2

−

12 x

 L

3

) ( −1 a

4

 L

−

6 x

 L

2

) ( − y a

6

 L

2

−

12 x

 L

3

) ( −1 b

 2

 L

−

6 x

 L

2

)

4e escribe la #unción de energ(a otencial 5en #unción de las constantes6 3 se busca el valor de las constantes !ue minimizan la #unción%  L

∫

U  ( x , y a , 1a , y b , 1b ) =

0

(

)

2

2

d  E '  y )i*zl ( x , y a , 1a , y b ,1 b ) dx 2 2 dx 1

 L

∫ (−! ) y ( x , y

W e (  y a ,1 a , y b , 1b )=

 )i*zl

a

,1 a , y b , 1b ) dx

0

Energía $otencial del ite/a e=  Π (  y a ,1 a , y b , 1b ) =U (  y a ,1 a , y b , 1b )− W e ( y a , 1a , y b ,1 b )

d  L ! 4 E ' 1 a 2 E ' 1 b 6 E ' y a 6 E ' y b  Π  ( y a , 1a , y b , 1b ) → + + + − 2 2 d1a  L  L 12  L  L 2

2 E ' 1 a  L ! 4 E ' 1b 6 E ' y a 6 E ' y b d  Π  ( y a , 1a , y b , 1b ) → − + + − 2 2 12 d1b  L  L  L  L 2

d  L ! 6 E ' 1 a 6 E ' 1 b 12 E ' y a 12 E ' y b  Π  ( y a ,1 a , y b , 1b ) → + + + − 2 2 3 3 dy a 2  L  L  L  L

d  L ! 6 E ' 1a 6 E ' 1b 12 E ' y a 12 E ' y b  Π  ( y a ,1 a , y b , 1b ) → − − − + 2 2 3 3 dy b 2  L  L  L  L

Escribiendo las ecuaciones algebraicas en lenguaje matricial 5igualando a 8cero9 cada una de las cuatro ecuaciones6:

Reacomodando t*rminos:

ANLI+I+ COMPARATI-O DE LA DI+TRI?,CIN E+PACIAL DE LA ENERGHA DE DEFORMACIN. Debe observarse !ue la energ(a interna de de#ormación está en #unción de la magnitud del momento exionante actuante en la sección transversal analizada% Por esta razón- es osible estudiar la variación de la energ(a de de#ormación a trav*s de la variación del momento exionante%    )i*zl ( x , 1a , 1b ) = E '  )i*zl ( x ) . $un%ion "o"en*oa #ar*ir de la $un%ionin*en*o

  e ( x )= E ' 

(

!L 2

)

! 2  x −  x . $un%ion "o"en*o a #ar*ir de la$un%ionexa%*a 2

-ERIFICACION DE LA+ CONDICIONE+ NAT,RALE+ DE FRONTERA 4

d  y )i*zl ( x , 1a , 1b ) ) → 0 0 %ero%ar/a*ransversal 4 ( dx q ( x ,1 a ,1 b )= E ' ( 0 ) . $un%ion 2 a #ar*ir de la$un%ion solu%ionin*en*o 4

d q e ( x )= E '  4  y e ( x ) si"#li$i%ando →− ! dx

. $un%ion 2a #ar*ir de la $un%ion solu%ion exa%*a

-ALORE+ N,MERICO+ ,+ADO+ PARA ANALIAR LO+ RE+,LTADO+ O?TENIDO+
;=+

E=+

<=+

!L 3 !  y e ( x )= x− 12 E ' 

e ( x ) =

L=+

x i=0,

L 20

0L

3

!L x− x 24 E '  24 E '  4

! x ( L − x ) 2 E ' 

Esta ecuación matricial se uede articionar de manera de generarse las siguientes submatrices:

 al !ue:

Reconociendo !ue ara este roblema los deslazamientos transversales en ambos extremos son nulos- el vector de deslazamientos es:

'solución del sistema

(

) (

2 3 2 3  x  x 2 x  x −  y )i*zl ( x ,1 a , 1b ) =1b + 2 + 1 a  x − + 2

 y )i*zl ( x )=

 L

 L

 L

 L

)

−2 ( 2 L1a + L 1b −3 1a x −3 1 b x )  L

2

+I INCL,IMO+ LA CONDICION DE DEFORMACION CORRE+PONDIENTE A ,NA -IGA DO?LEMENTE EMPOTRADA  CON CARGA ,NIFORMEMENTE DI+TRI?,IDA= 2 !x −  y $ix ( x )=  ( L− x )2

24 E ' 

! ( L −6 L x + 6 x  y $ix ( x )= 12 E '  2

2

)

 y )eal ( x )= y )i*zl ( x ,1 a , 1b ) + y $ix ( x )

  e ( x )= E '  e ( x ) . $un%ion "o"en*o a #ar*ir de la$un%ion solu%ion exa%*a    )i*zl ( x ) = E '  )i*zl ( x ) . $un%ion "o"en*o a #ar*ir de la $un%ion solu%ion in*en*o   $ix ( x ) = E '  $ix ( x )   real ( x ) =   )i*zl ( x ) + E '  $ix ( x )

2

d q e ( x )= E '  2  e ( x ) . $un%ion 2 a #ar*ir dela $un%ion solu%ion exa%*a dx 2

q )i*zl ( x )= E ' 

d    )i*zl ( x ) . $un%ion 2 a #ar*ir dela $un%ion solu%ionexa%*a 2 dx