Preparatorio 8 Circuitos 2 E.P.N

LABORATORIO DE CIRCUITOS ELECTRICOS II

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA

ÁREA DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS INFORME

X

TRABAJO PREPARATORIO

Tecnología Eléctrica Circuitos Eléctricos I X

Circuitos Eléctricos II

Práctica #: 8 Tema: SIMULACIÓN: RESPUESTA EN CIRCUITOS DE PRIMER Y SEGUNDO ORDEN.

Realizado por: Alumno (s): Juan Fernando Llumiquinga

Fecha de entrega: 2016 / 07 / 07 año

Sanción: Semestre:

mes

Grupo:

J4ACEII-5

f. ______________________

día

Recibido por:

________________________________________________ Sep - Feb Mar - Ago

____ _X__

2015

1


ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA LABORATORIO DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS II PRÁCTICA N°8 1. TEMA:SIMULACIÓN: RESPUESTA EN CIRCUITOS DE PRIMER Y SEGUNDO ORDEN 2. OBJETIVO Obtener la respuesta gráfica de voltaje y corriente en circuitos serie con fuentes paso, rampa y pulso mediante el uso de Simulink del Matlab. 3. TRABAJO PREPARATORIO 3.1. En Simulink realice el diseño del circuito similar al de la figura 1. Determine los parámetros de: Las fuentes V1, V2, V3, la ganancia del integrador y el valor de la constante para que las gráficas de cada SCOPE correspondan a las de las figuras 1.A y 1Bb respectivamente. Tiempo de simulación 7 [seg]. Justifique los valores de k y C seleccionados.

2


Para obtener la Figura 1.A en base a los parámetros dados por V1, V2 y V3; es necesario descomponer la figura total en tres partes, que sumadas den el resultado solicitado. De tal manera que: 1) V1 es una función paso con valor inicial en 1 y valor final en 0. 1 𝑉1 = { 0 0

;0 < 𝑥 < 3 ;3 < 𝑥 < 6 ; 𝑥>6

Figura 1.1 Parámetros bloque V1

2) V2 es una función paso con valor inicial en 0 y valor final en -1. 0 𝑉2 = { −1 −1

;0 < 𝑥 < 3 ;3 < 𝑥 < 6 ; 𝑥>6


3


3) V3 es una función paso con valor inicial en 0 y valor final en 1. 0 𝑉3 = { 0 1

;0 < 𝑥 < 3 ;3 < 𝑥 < 6 ; 𝑥>6


Obteniendo la siguiente Figura:

Figura 1.a Obtenida de la suma V1,V2,V3.

4


4) Los parámetros para determinar la Figura 1.b vienen dados por: - El valor de ganancia del integrador correspondiente a 2/3, ya que este valor es equivalente a la pendiente mostrada en la figura solicitada. 𝑦−𝑦1 𝑦2−𝑦1

-

𝑥−𝑥1

= 𝑥2−𝑥1 ;

𝑦−1 −2

=

𝑥−3 −3

;

3(𝑦−1) 1

=

2(𝑥−3) 1

3𝑦−3

2

; 2𝑥−6 = 1; 𝑦 = (3)𝑥 − 1

El valor de una constante, la cual es igual a -1 e indica el punto de origen de la gráfica previamente mencionada.

Figura 1.4 Esquema final con valores de K y C

Obteniendo la siguiente Figura:

Figura 1.b Obtenida con valores de K y C.

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3.2. Obtenga la función de transferencia del circuito de la figura 2, utilizando Simulink y los comandos de Matlab, para valores de C tales que se obtengan los tres casos de amortiguamiento. Presente dichas funciones y los gráficos correspondientes de entrada y salida para una fuente paso unitario. Justifique mediante cálculos el valor de C seleccionado.

Primero, es necesario analizar los tres casos de amortiguamiento. Por lo tanto se va a analizar la Figura 2 en el dominio de la frecuencia.

Figura 2.1 Esquema en dominio de la frecuencia

Equivalentes en serie: 𝑍𝑒𝑞1 = 50 +

1 50𝑐𝑠 + 1 = cs 𝑐𝑠

𝑍𝑒𝑞2 = 125 +

4s 625 + 4s = 5 5

Por ley de Ohm: 𝑉𝑠 = 𝑍𝑒𝑞1 𝐼𝐶(𝑠) = (

50𝑐𝑠 + 1 ) 𝐼𝐶(𝑠) 𝑐𝑠

𝑉𝑠 = 𝑍𝑒𝑞2 𝐼𝐿(𝑠) = (

625 + 4s ) 𝐼𝐿(𝑠) 5

Por ley de corrientes de Kirchhoff (LCK): 𝐼𝑠 = 𝐼𝐿(𝑠) + 𝐼𝐶(𝑠) 𝐼𝐿(𝑠) = 𝐼𝑠 − 𝐼𝐶(𝑠)

𝑬𝑪(𝟏)

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Desarrollo: 625 + 4s 𝑉𝑠 = ( ) (𝐼𝑠 − 𝐼𝐶(𝑠) ) 5 𝑉𝑠 = (𝐼𝑠 − 𝐼𝐶(𝑠) ) 625 + 4s ( ) 5 5𝑉𝑠 − 𝐼𝑠 = −𝐼𝐶(𝑠) 625 + 4s 𝐼𝐶(𝑠) = 𝐼𝑠 −

5𝑉𝑠 ; 625 + 4s

𝑫𝒆 𝑬𝑪(𝟏): 𝐼𝐶(𝑠) =

Igualando las ecuaciones: 𝑉𝑠 5𝑉𝑠 = 𝐼𝑠 − 50𝑐𝑠 + 1 625 + 4s ( 𝑐𝑠 ) 𝑐𝑠𝑉𝑠 5𝑉𝑠 + = 𝐼𝑠 50𝑐𝑠 + 1 625 + 4s 𝑐𝑠 5 𝑉𝑠 ( + ) = 𝐼𝑠 50𝑐𝑠 + 1 625 + 4s 625𝑐𝑠 + 4𝑐𝑠 2 + 250cs + 5 𝑉𝑠 ( ) = 𝐼𝑠 (50𝑐𝑠 + 1)(625 + 4s) (50𝑐𝑠 + 1)(625 + 4s) 𝑉𝑠 = 𝐼𝑠 ( ) 4𝑐𝑠 2 + 875cs + 5 (50𝑐𝑠 + 1)(625 + 4s) 𝐼𝑠 𝑉𝑠 = ( ) ( ) 𝟖𝟕𝟓𝐬 𝟓 4𝑐 𝟐 𝒔 + 𝟒 + 𝟒𝒄 Ecuación característica: 𝑉𝑠 ´´ +

875 ´ 5 𝑉 + =0 4 𝑠 4𝑐

𝛼2 +

875 5 𝛼+ =0 4 4𝑐

875 875 2 5 − 4 ± √( 4 ) − 4 (4𝑐 ) 𝛼= 2 875 875 2 5 − 4 ± √( 4 ) − 4 (4𝑐 ) 𝛼= 2

𝑉𝑠 50𝑐𝑠 + 1 ( ) 𝑐𝑠

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875 2

En base a: √(

4

5

) −𝑐

Se obtiene el valor de capacitancia requerido para determinar la respuesta críticamente amortiguada. En donde se cumple que: 875 2 5 ( ) = 4 𝑐 875 2 5 ( ) = 4 𝑐 𝐜 = 𝟏𝟎𝟒. 𝟒𝟗 [𝛍𝐅] Por otra parte, se tiene la respuesta sobre amortiguada. Considerando un valor superior a 104.49 [μF]; cumpliéndose que: 875 2 5 ( ) > 4 𝑐 Ejemplo: 𝐜 = 𝟐𝟐𝟎 [𝛍𝐅] 875 2 5 ( ) > 4 220(10−6 ) 47851.56 > 22727.27

𝐷ó𝑛𝑑𝑒 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑙𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡𝑎𝑑𝑜.

Finalmente, se tiene la respuesta sub amortiguada. Considerando un valor inferior a 104.49 [μF]; cumpliéndose que: 875 2 5 ( ) < 4 𝑐 Ejemplo: 𝐜 = 𝟏𝟐 [𝛍𝐅] 875 2 5 ( ) < 4 12(10−6 ) 47851.56 < 416666.67

𝐷ó𝑛𝑑𝑒 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑙𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡𝑎𝑑𝑜.

De esta manera se van a considerar los siguientes valores capacitivos para los distintos casos de amortiguamiento: Capacitancia 104.49 [μF] 220 [μF] 12 [μF]

Tipo de amortiguamiento Respuesta críticamente amortiguada Respuesta sobre amortiguada Respuesta sub amortiguada

Tabla 1 Valores capacitivos

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RESPUESTA CRÍTICAMENTE AMORTIGUADA:

Figura 2.2

Procedimiento en Command Window para obtener la función de transferencia de la Figura 2.2: [A,B,C,D,input,output]=power_analyze('S2') A= 1.0e+03 * -0.2188 0.0013 -9.5703 0 B= 1.0e+03 * 0.0625 9.5703 C= -50 1 D= 50 input = -1.7072 -249.7327 output = 'Il_R= 125 [Ohm] // L= 0.8 [H]' 'Uc_R= 50 [Ohm] // C= 104.49 [uF]' [num,den]=ss2tf(A,B,C,D) num = 1.0e+06 * 0.0001 0.0174 1.4954 den = 1.0e+04 * 0.0001 0.0219 1.1963 F1=tf(num,den) F1 = 50 s^2 + 1.738e04 s + 1.495e06 -----------------------------s^2 + 218.8 s + 1.196e04 Continuous-time transfer function.

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Por lo que se tiene que la función de transferencia es igual a: 50𝑠 2 + 1.738e04s + 1.495e06 𝐹1 = 𝑠 2 + 218.8s + 1.196e04

Figura 2.3

Figura 2.4 Entrada para una fuente paso unitario

Figura 2.5 Salida para una fuente paso unitario

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* Se puede utilizar la función step en Matlab para obtener la gráfica de una fuente paso en base a una función de transferencia.

Figura 2.6 Entrada y salida para una fuente paso unitario

RESPUESTA SOBRE AMORTIGUADA:

Figura 2.7

Procedimiento en Command Window para obtener la función de transferencia de la Figura 2.6: [A,B,C,D,input,output]=power_analyze('S2') A= 1.0e+03 * -0.2188 0.0013 -4.5455 0 B= 1.0e+03 * 0.0625 4.5455 C= -50 1 D= 50 input = -1.4492 -115.0319

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output = 'Il_R= 125 [Ohm] // L= 0.8 [H]' 'Uc_R= 50 [Ohm] // C= 220 [uF]' [num, den]=ss2tf(A,B,C,D) num = 1.0e+05 * 0.0005 0.1236 7.1023 den = 1.0e+03 * 0.0010 0.2188 5.6818 F2=tf(num, den) F2 = 50 s^2 + 1.236e04 s + 7.102e05 -----------------------------s^2 + 218.8 s + 5682 Continuous-time transfer function.

Por lo que se tiene que la función de transferencia es igual a: 50𝑠 2 + 1.236e04s + 7.102e05 𝐹2 = 𝑠 2 + 218.8s + 5682


RESPUESTA SUB AMORTIGUADA:

Figura 2.9

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Procedimiento en Command Window para obtener la función de transferencia de la Figura 2.9: [A,B,C,D,input,output]=power_analyze('S2') A= 1.0e+04 * -0.0219 0.0001 -8.3333 0 B= 1.0e+04 * 0.0063 8.3333 C= -50 1 D= 50 input = 1.0e+03 * -0.0115 -2.7498 output = 'Il_R= 125 [Ohm] // L= 0.8 [H]' 'Uc_R= 50 [Ohm] // C= 12 [uF]' [num, den]=ss2tf(A,B,C,D) num = 1.0e+07 * 0.0000 0.0091 1.3021 den = 1.0e+05 * 0.0000 0.0022 1.0417 F3=tf(num, den) F3 = 50 s^2 + 9.115e04 s + 1.302e07 -----------------------------s^2 + 218.7 s + 1.042e05 Continuous-time transfer function.

Por lo que se tiene que la función de transferencia es igual a: 50𝑠 2 + 9.115e04s + 1.302e07 𝐹3 = 𝑠 2 + 218.7s + 1.042e05


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3.3. Para las tres funciones que se obtienen con la figura 2, correspondientes a cada caso de amortiguamiento, obtener la respuesta para una señal triangular empleando el comando sawtooth. Tiempo de simulación 3/100 [seg], amplitud = 5 [A], frecuencia = 100 [Hz]

Command Window: t=0:0.001:0.03; x=5*sawtooth(2*pi*100*t,0.5); lsim(F,x,t) Dónde: F representa la función de transferencia correspondiente a cada caso de amortiguamiento. RESPUESTA CRÍTICAMENTE AMORTIGUADA:

Figura 3.1 Respuesta para una señal triangular

RESPUESTA SOBRE AMORTIGUADA:


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RESPUESTA SUB AMORTIGUADA:


Referencias: [1] Herramienta Simulink, Matlab 2015a. [2] Apuntes de Software de Simulaciòn, Marco Yacelga.

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