PREPARAR O EXAME NACIONAL
EXAME NACIONAL
M O D E L O 2 P R O VA- M
GRUPO I
Na resposta a cada um dos itens deste grupo, selecione a única opção correta. Escreva, na folha de respostas: • o número do item; • a letra que identifica a única opção escolhida. Não apresente cálculos, nem justificações.
Duração: 150 min
1. No final de maio de 2012 foram escolhidos 10 jogadores ao acaso, de entre os 23 da seleção nacional, para um
controlo antidoping. De quantas maneiras pode ter sido feita essa escolha sendo o Cristiano Ronaldo e o Rúben Micael dois dos escolhidos? (A) 203 490
(B) 352 716
(C) 490 314
(D) 525 352
(C) 12
(D) 14
2. No triângulo de Pascal, considere:
• o número p1 , segundo elemento da linha 3; • o número p2 , segundo elemento da linha 9; • o número p3 , segundo elemento da linha 27; •… • o número pn , segundo elemento da linha 3n ; Sabe-se que p1 + p2 + p3 + … + pn = 9840 . Qual é o valor de n ? (A) 8
(B) 10
3. Considere a função f , de domínio IR+ , definida por f (x) = ln2 x .
y
g
No referencial da Figura 1 está parte do gráfico da função g , também de domínio IR+. Tal como sugere a figura, g(e) = 1 e a reta tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa e é paralela à bissetriz dos quadrantes ímpares. f Qual é o valor de ’ (e) ? g 1 + ln 2 2 + ln 2 (A) (B) e e 1 2 (C) – 2 (D) – 1 e e
304
1 O
1
Figura 1
e
x
4. Seja h uma função contínua no seu domínio IR– .
Sabe-se que: • lim
x→–
h(x) = 5
• lim h(x) = +
• lim
x→0
x → –5
h(x) = 0
Em qual das opções seguintes as equações definem duas assíntotas do gráfico de h ? (A) x = –5 e y = 0
(B) x = –5 e y = –5x
(C) x = 0 e y = 5
(D) x = 0 e y = 5x
5. De uma função quadrática f , sabe-se que:
• a concavidade do seu gráfico está voltada para cima; • 0 e π são zeros de f . f (x) Qual pode ser o valor de lim sen x ? x→0
(A) –
(B) –2
(D) π
(C) 0
6. Na Figura 2 está representado o quadrado [ABCD] . A
B
D
C
Figura 2 → →
Qual é o valor de AB · BD ? →
(A) || AB ||2
→
(B) –|| AB ||2
→
→
(C) || BD ||2
(D) –|| BD ||2
y 2
7. Num referencial o.n Oxyz , os planos definidos pelas equações x + 2y – 4z = 1 e mx + – z = m são coincidentes,
sendo m um número real. Indique o valor de m . (A) 1
1 2
(B)
(C)
1 3
(D)
1 4
3 – i seja também real? 8. Qual deve ser o valor do número real k de modo que o número complexo 9 (A) – 2
7 (B) – 2
5 (C) – 2
2k + 3i
3 2
(D) –
305
PREPARAR O EXAME NACIONAL
GRUPO II
Na resposta a cada um dos itens deste grupo, apresente os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exato.
1. Considere a Figura 3 no plano complexo.
Im ( z )
Sabe-se que:
A s
• o ponto A é a imagem geométrica do número complexo z1 = 3i ;
B
• o ponto B é a imagem geométrica do número complexo z2 = 1 + i ; O
m
• m é a mediatriz do segmento [AB] ; • s é a semirreta de equação Arg (z) = θ , sendo θ o argumento de uma das soluções da equação z3 + — z— 1 = 5i .
Re ( z )
Figura 3
Indique uma condição, em CI, para a zona colorida, incluindo as fronteiras. 2. No conjunto dos números complexos, CI , é dado um complexo z tal que a sua imagem geométrica está na reta de
2π . equação Im (z) = 3 e cujo argumento é 3 Considere os seguintes números complexos:
π
π
• w2 = – 2 + 6 i
• w3 = – 2 cis α × 3 i , α 0, 2 Apenas um dos números complexos anteriores pode representar z . • w1 = –3 + 3i
• w4 =
π 6 cis 4
10
3 cis – 6
Sem usar a calculadora, elabore uma composição na qual: • indique a opção correta; • apresente as razões que o levam a rejeitar as restantes opções. Apresente três razões, uma por cada opção rejeitada. 3. 3.1 Numa certa região, 4 em cada 5 habitantes foram vacinados contra a gripe A. Sabe-se que a probabilidade de uma
pessoa nessa região ficar infetada com a gripe A é igual a 5% se for vacinada e é igual a 90% se não for vacinada. Suponha que se escolhe um qualquer habitante dessa região não infetado com a gripe A. Qual é a probabilidade de ele ter sido vacinado? Apresente o valor em percentagem, arredondado às décimas. 3.2 Num grupo de controlo com n habitantes, apenas dois deles não estão infetados com a gripe A.
Vai ser escolhido, aleatoriamente, um desses n habitantes para uns testes. Seja X a variável aleatória «número de infetados». 10 Sabendo que o valor médio de X é , calcule n . 11
306
4. Considere a função definida por f (x) = 2 + log2 (x + 2) . 4.1 Seja A um ponto do gráfico de f de abcissa 2,4. A reta tangente ao gráfico de f no ponto A interseta a sua
assíntota num certo ponto B . Recorrendo à sua calculadora, determine a ordenada desse ponto B . Na sua resposta, deve: • reproduzir o gráfico da função f , devidamente identificado, incluindo o referencial; • reproduzir a assíntota do gráfico de f ; • reproduzir a reta tangente pedida, com os parâmetros arredondados às centésimas; • assinalar os pontos A e B e indicar a ordenada do ponto B com arredondamento às centésimas. 4.2 Para um certo valor de k , positivo mas
log2 (5x2 + 2x + 1) se x ≤ k inferior a 2, é contínua em IR a função definida por: h(x) = f (x) se x > k
Resolva, recorrendo exclusivamente a métodos analíticos, os itens seguintes. 4.2.1 Determine o valor de k . 4.2.2 Mostre que a equação h(x) = 3 – x tem pelo menos uma solução em ]−1, 6[ . 5. Considere a função g , de domínio [0, 2π] , definida por g(x) =
sen x + cos x . 2
2 O gráfico de g interseta a reta de equação y = em alguns pontos. 4 Recorrendo exclusivamente a métodos analíticos, determine as suas abcissas. 6. Na Figura 4 estão representados:
• parte do gráfico da função f , de domínio IR , definida por f (x) = 4x · e–x ; • um triângulo retângulo [ OPQ] , em que: • O é a origem do referencial; y P • P é um ponto do gráfico de f ; • Q pertence ao eixo das abcissas. f Considere que o ponto P se desloca no primeiro quadrante (eixos não O x Q incluídos), ao longo do gráfico de f . O ponto Q acompanha o movimento do ponto P , deslocando-se ao longo do eixo das abcissas, de tal modo Figura 4 que o triângulo [OPQ] é sempre retângulo no ponto Q . Seja A a função, de domínio IR+ , que faz corresponder, à abcissa x do ponto P , a área do triângulo [OPQ] . 6.1 Mostre que, para cada x IR+ , se tem A(x) = 2x2 · e–x . 6.2 Sem usar a calculadora, estude a função A quanto à monotonia e determine as coordenadas do ponto P
quando a área do triângulo [OPQ] for máxima. 7. Na Figura 5 está representada, num referencial o.n. xOy , a circunferência
de centro C e equação x2 + y2 – 6x + 4y + 3 = 0 e a reta t , tangente à circunferência no ponto A , de coordenadas (4, –5) . A reta t interseta o eixo Ox num ponto B . Sem usar a calculadora, determine a sua abcissa.
y
O
x
C t A
FIM
Figura 5
307
PREPARAR O EXAME NACIONAL Grupo II (160 pontos)
Prova-modelo 2
1. ........................................................................................................ 10 pontos
págs. 304 a 307
Sabe-se que a condição é algo do género:
Grupo I (8 × 5 pontos = 40 pontos)
|z – 3i| ≥ |z – (1 + i)| ∧ θ ≤ Arg (z) ≤ π
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
A
A
D
C
B
B
D
A
sendo θ o argumento de uma das soluções da equação dada.
1. Se o C. Ronaldo e o R. Micael já lá estão, então restam 21 jogadores para 8 lugares: 21C8 . 2. Os segundos elementos das linhas do triângulo de Pascal são 3,
9, 27, etc.
⇔ z = 2cis
1 – 3n 1–3
(3n – 1) = 9840 ⇔ 3n – 1 = 6560 ⇔
2
f '(x) = 2 In x(ln x)' =
3
2 × 1 – 1 × 1 e 2 f ' ∴ (e) = = – 1 2 1 g e
6π ......................................................................... 1 5π k = 1 → 2 cis ......................................................................... 1 6
Explicação correta dos quatro tópicos (ou B, C e D) ........ Explicação correta de três tópicos (A incluído) ................. Explicação correta de dois tópicos (A excluído).............. .. Explicação correta de dois tópicos (A incluído)................. Explicação correta de um tópico (A excluído)..................... Explicação correta do tópico A ............................................... Apenas w4 pode representar o complexo z .
4. lim h(x) = + , logo x = 0 é a equação da A.V.
x→0
lim h(x) = 5 , logo y = 5 é a equação da A.H.
x→–
0 f (x) 5. lim = (ind.) x → 0 sen x 0 Seja f (x) = ax(x – π) , a > 0 (pois a parábola tem a concavidade voltada para cima). f (x) ∴ lim = a × lim
sen x
x→0
x × lim (x – π) = sen x x → 0
= a × 1 × (−π) = n.º negativo (porque a > 0 )
→ →
→
→
AB
6. AB ⋅ BD = ||AB || × ||BD || cos 135º =
→ → → 2 = ||AB || × 2 ||AB || × – = –|| AB ||2 2
BD
135°
1 1 y 7. x + – z = ⇔ x + 2y − 4z = 1 2
4
• Finalmente, também o número w3 não pode ser o complexo z já que π 3π w3 = 2 cis (α + π) × 3 i = 2 3cis α + π + = 2 3 cis α + , ou 2 2 seja, o seu argumento está no 4.º quadrante.
3.1 ...................................................................................................... 15 pontos
Sejam os acontecimentos: V : «O habitante foi vacinado.» A: «O habitante tem a gripe A.» Vacinado (P(V ) = 0,8)
9 Para ser um número real, tem-se –9 – 2k = 0 ⇔ k = – 2
15 12 9 6 3 1
• O número w1 não pode representar o complexo z porque o seu 3π 2π argumento é e devia ser . 4 3 • O número w2 também não pode ser o complexo z porque a sua imagem geométrica está na reta de equação Im (z) = 6 (e devia estar em Im (z) = 3 ).
3– i 2 k – 3 i 6k – 9 i – 2ki – 3 = × 2k + 3 i 2 k – 3 i 4k 2 + 9
380
, k {0, 1, 2} .............................. 2
Há quatro tópicos a explicar: A – indicar a opção correta; B – indicar uma razão para rejeitar w1 ; C – indicar uma razão para rejeitar w2 ; D – indicar uma razão para rejeitar w3 .
2 ln x 2 ⇒ f '(e) = x e
g(e) = 1 = g'(e)
8.
2
2. ........................................................................................................ 15 pontos
f (e) = 1
4
................................................................... 2
Condição pedida: 5π |z – 3i| ≥ |z – 1 – i| ∧ ≤ Arg (z) ≤ π ................................ 2 6
f ’(e)g(e) – f (e)g’(e) [ gf ' (e) = g(e)]
x→0
2
5π Concluir que θ = ..................................................................... 1 6
⇔ 3n = 38 ⇔ n = 8 3.
π
k = 0 → 2 cis
(soma de n termos de uma progressão geométrica de primeiro termo = 3 = razão) 3 2
⇔ z = 3 8 cis
π
⇔ 3 × = 9840
×
z3 + z 1 = 5i ⇔ z3 = 8i ⇔
+ 2 πk
∴3 + 32 + 33 + … + 3n = 9840 ⇔
⇔
z 1 = –3i ............................................................................................. 1
Habitante Não vacinado (P(V ) = 0,2)
Tem gripe A (P(A|V ) = 0,05) Não tem gripe A (P(A |V ) = 0,95) Tem gripe A (P(A|V ) = 0,9) Não tem gripe A (P(A |V ) = 0,1)
RESOLUÇÕES E CRITÉRIOS DE CORREÇÃO DAS PROVAS-MODELO Identificar o pedido com P(V | A) ............................................ 2 P(V A) .................................................................... 1 P(V | A) = P( A)
P(V A) = 0,8 × 0,95 = 0,76 ....................................................... 2 P(A) = P(A V ) + P(A V ) ........................................................... 2
= 0,8 × 0,05 + 0,2 × 0,9 ................................................................ 3 = 0,22 ................................................................................................ 1 P( A) = 1 – 0,22 = 0,78 ................................................................... 2 P(V | A) ≈ 97,4%.............................................................................. 2 3.2 ...................................................................................................... 15 pontos
5. ........................................................................................................ 15 pontos
g(x) =
2 ....................................................................................... 2 4
⇔ 2 ×
sen x + cos x 2 = 2 × 2 4
1 2 2 ⇔ × sen x + × cos x = ........................................ 1
2
π 1 ⇔ sen x + = ........................................................................ 3
4
2
π π π 5π ⇔ x + = + 2πk ∨ x + = + 2πk , k ZZ ............... 3 4
6
4
π
⇔x=–
µ = 0 × P(X = 0) + 1 × P(X = 1) .................................................... 5
k=0→x=–
k=1→x=–
⇔
10 n–2 = 11 n
............................................................... 2
⇔ n = 22 ................................................................................ 2
+ 2πk
12
∨ x=
Gráfico de f ..................................................................................... 2 y
f
O
π
12
π
12
∨ x=
+ 2π ∨ x =
4.2.1 .................................................................................................. 15 pontos
lim h(x) = lim + h(x) = h(k) ........................................................ 3
x → k–
2 (k +
2) .......................................... 1
⇔ log2 (5k2 + 2k + 1) = log2 [4(k + 2)] ...................................... 4
k=2→x=–
12
π
+ 4π
12
O Q × P Q .......................................................................... 1 2
Base = x ............................................................................................ 2 Altura = 4x ⋅ e –x ............................................................................. 6 A(x) = 2x2 ⋅ e –x ................................................................................ 1 6.2 ...................................................................................................... 15 pontos A'(x) = 4xe–x + 2x2 (–1)e–x .......................................................... 1 = (4x – 2x2)e–x ................................................................................ 2 A'(x) = 0 ⇔ 4x – 2x2 = 0 ............................................................... 2 ⇔ 2x (2– x) = 0 ⇔ x = 2............................................................... 2 (pois x > 0) ..................................................................................... 1
Quadro de sinal e monotonia..................................................... 3 0
7 ⇔ k = ∨ k = –1 ......................................................................... 2 5 7 Resposta: k = .......................................................................... 2 5 4.2.2 .................................................................................................. 15 pontos
Considerar uma função j assim definida: ........................... 2
log2 (5x2 + 2x + 1) – 3 + x se x ≤ k f (x) – 3 + x
47 π ⇔ x =
12 7π 23π Abcissa pedidas: e ................................................... 2 12 12
⇔ 5k2 + 2k + 1 = 4(k + 2) ............................................................. 3
j(x) =
7π + 2π ⇔ 12
6.1 ...................................................................................................... 10 pontos
x
Assíntota do gráfico de f .......................................................... 2 Reta tangente ................................................................................ 3 Equação da reta tangente: y ≈ 0,33x + 3,35 ........................................................................ 3 Pontos A e B assinalados........................................................ 2 Ordenada de B : y ≈ 0,33 × (−2) + 3,35 ≈ 2,69 ................................................. 3
log2
7π 12
23π 31π ⇔ x = ∨ x = –
A(x) =
x→k 2 (5k + 2k + 1) = 2 + log
7π Z .......................... 2 + 2π k , k Z 12
A
B
6
Soluções em [0, 2π] :
12
4.1 ...................................................................................................... 15 pontos
2
2
2 P(X = 0) = .................................................................................... 3 n n–2 .......................................................................... 3 P(X = 1) = n
........................................ 2
se x > k
Referir que j é contínua em [–1, 6] ....................................... j(– 1) = log2 4 – 3 – 1 = –2 .......................................................... j(6) = 2 + log2 8 – 3 + 6 = 8 .......................................................... j(–1) × j(6) < 0.................................................................................. Referir que, pelo teorema de Bolzano, j tem pelo menos um zero em ]−1, 6[ ..................................................... Conclusão.........................................................................................
2 2 2 2 3 2
A'
2 +
0
+
–
Máx.
A
A abcissa que maximiza a área é 2 ......................................... 2 8 ...................................................................... 2 f (2) = 4 × 2e–2 = e2 8 Coordenadas pedidas: 2, e2
7. ........................................................................................................ 20 pontos x2 + y2 – 6x + 4y + 3 = 0 ⇔ (x – 3)2 + (y + 2)2 = 10................ 5 Coordenadas de C : (3, –2) ........................................................ 1
→
2 CA (1, –3) .......................................................................................... → Dado um ponto qualquer P(x, y) de t , AP(x −4, y + 5)....... 2 → → AP ⋅ CA = 0 ........................................................................................ 3 ⇔ x – 4 − 3y – 15 = 0 .................................................................... 4 y = 0 ⇒ x = 19 ................................................................................. 3
381
