Matemática A Preparação híbrida para o exame nacional 2017
12.o ano – Ensino Secundário Rui Castanheira de Paiva
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Introdução
O objetivo principal desta obra é preparar um aluno de forma completa para o exame nacional de Matemática A do 12. ano através de um livro que acrescenta aos conteúdos habituais dos livros com o mesmo propósito que estão no mercado, resumos teóricos acompanhados de vídeos tutoriais, exercícios chave resolvidos passo a passo em vídeo e aplicações dinâmicas. o
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As resoluções dos exercícios resolvidos num ficheiro PDF online
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Conteúdo
I
Combinatória e probabilidades
1
Análise combinatória . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11
Principio fundamental da contagem Permutações Arranjos sem repetição Arranjos com repetição Combinações Triângulo de Pascal Binómio de Newton Exercícios de escolha múltipla resolvidos Exercícios de desenvolvimento desenvolvimento resolvidos Exercícios de escolha múltipla propostos Exercícios de desenvolvimento desenvolvimento propostos
17 17 18 18 19 19 20 21 27 55 57
2 Probabilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7
Revisão de conjuntos Experiência aleatória e acontecimentos Definição de probabilidade Probabilidade condicionada Acontecimentos independentes Exercícios de escolha múltipla resolvidos Exercícios de desenvolvimento desenvolvimento resolvidos
61 63 64 65 66 66 70
2.8 2.9
Exercícios de escolha múltipla propostos Exercícios de desenvolvimento desenvolvimento propostos
94 95
3
Distribuição de probabilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8
Variáveis aleatórias Função de probabilidade de uma variável aleatória real discreta Distribuição Binomial Distribuição Normal Exercícios de escolha múltipla resolvidos Exercícios de desenvolvimento desenvolvimento resolvidos Exercícios de escolha múltipla propostos Exercícios de desenvolvimento desenvolvimento propostos
101 101 103 103 105 107 116 117
Soluções dos resolvidos e dos propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
II
Funções
4
Funções exponencial e logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6
Função exponencial Função logarítmica Exercícios de escolha múltipla resolvidos Exercícios de desenvolvimento desenvolvimento resolvidos Exercícios de escolha múltipla propostos Exercícios de desenvolvimento desenvolvimento propostos
5
Limites e continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
5.1 Definição de limite 5.2 Indeterminações 5.3 Limites notáveis 5.4 Funções contínuas 5.5 Assíntotas 5.6 Exercícios de escolha múltipla resolvidos 5.7 Exercícios de desenvolvimento desenvolvimento resolvidos 5.8 Exercícios de escolha múltipla propostos 5.9 Exercícios de desenvolvimento desenvolvimento propostos
125 127 129 133 169 170 173 175 175 176 178 179 189 238 242
6 Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5
Taxa média de variação Reta tangente Derivada num ponto Derivadas laterais Derivabilidade e continuidade
247 248 248 249 250
6.6 6.7 6.8 6.9 6.10 6.11 6.12
Função derivada Regras de derivação Aplicações das derivadas Exercícios de escolha múltipla resolvidos Exercícios de desenvolvimento resolvidos Exercícios de escolha múltipla propostos Exercícios de desenvolvimento propostos
250 250 251 254 259 305 308
Soluções dos resolvidos e dos propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
III
Trigonometria e complexos
7 Trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 7.1 Razões trigonométricas de um ângulo agudo 7.2 Ângulos de referência 7.3 Ângulo e arco generalizados 7.4 O radiano 7.5 Círculo trigonométrico 7.6 Relações trigonométricas 7.7 Fórmulas trigonométricas 7.8 Funções trigonométricas 7.9 Equações trigonométricas 7.10 Limite notável 7.11 Derivadas 7.12 Exercícios de escolha múltipla resolvidos 7.13 Exercícios de desenvolvimento resolvidos 7.14 Exercícios de escolha múltipla propostos 7.15 Exercícios de desenvolvimento propostos
323 324 324 324 325 327 328 329 331 331 332 332 341 394 397
8 Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 8.10
Forma algébrica de números complexos Representação geométrica de números complexos Operações com números complexos Representação de números complexos na forma trigonométrica Operações com números complexos na forma trigonométrica Domínios planos e condições em variável complexa Exercícios de escolha múltipla resolvidos Exercícios de desenvolvimento resolvidos Exercícios de escolha múltipla propostos Exercícios de desenvolvimento propostos
401 402 402 403 405 408 410 419 446 448
Soluções dos resolvidos e dos propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451
IV
Conteúdos de 10. e 11. anos ◦
◦
9
Geometria analítica no plano e no espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
9.1 9.2
Problemas resolvidos Problemas propostos
10
Programação linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477
10.1 10.2
Problemas resolvidos Problemas propostos
459 473 477 480
11 Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483 11.1 11.2
Problemas resolvidos Problemas propostos
483 495
12 Sucessões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497 12.1 12.2
Problemas resolvidos Problemas propostos
497 507
13 Estatística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511 13.1 13.2
Problemas resolvidos Problemas propostos
511 521
Soluções dos resolvidos e dos propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523
V
Exames modelo do exame nacional
14
Exames modelo de Matemática A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531
14.1 14.2 14.3 14.4 14.5
Exame modelo 1 Exame modelo 2 Exame modelo 3 Exame modelo 4 Soluções
VI
531 535 539 542 546
Exames nacionais
15
Exames nacionais de Matemática A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551
15.1
Exame nacional 1 – 1.a fase 2015 Proposta de resolução Exame nacional 2 – 2.a fase 2015 Proposta de resolução
15.2
551 556 559 563
15.3 15.4
Exame nacional 3 – 1.a fase 2016 Proposta de resolução Exame nacional 4 – 2.a fase 2016 Proposta de resolução
567 571 575 579
Formulário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587
1. Análise combinatória
1.1 Principio fundamental da contagem Proposição 1.1 — Principio fundamental da contagem Se um acontecimento pode ocorrer de n1 maneiras diferentes e se, após este acontecimento, um segundo pode ocorrer de n2 maneiras diferentes e, após este, um terceiro pode ocorrer de n3 maneiras diferentes,... então o número de maneiras diferentes em que os acontecimentos podem ocorrer na ordem indicada é igual ao produto: n1 × n2 × n3 × . . .
Exemplo: Um restaurante com uma ementa de 4 entradas, 5 pratos principais e 3 sobremesas possibilita 4 × 5 × 3 = 60 escolhas a um cliente.
Vídeo: Pode aceder no endereço bit.ly/combvideo1 ao vídeo de exposição da presente secção.
1.2 Permutações Definição 1.1 — Definição de fatorial Chama-se fatorial de um número natural n, e representa-se por n! ao produto: n! = n × (n − 1) × (n − 2) × . . . × 3 × 2 × 1
Por convenção, tem-se: 0! = 1. Exemplo: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.
18
Capítulo 1. Análise combinatória
Definição 1.2 — Definição de permutação Chama-se permutação de n elementos ( n ∈ N0 ) a todas as sequências diferentes que é possível obter com os n elementos. O número dessas sequências representa-se por P n (ler: “permutações de n”) e é igual a P n = n ! Exemplo: Numa corrida de atletismo com cinco atletas é possível haver P 5 = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 classificações. Vídeo: Pode aceder no endereço bit.ly/combvideo2 ao vídeo de exposição da presente secção.
1.3 Arranjos sem repetição Definição 1.3 — Definição de arranjos simples Dados n elementos diferentes, a1 , a 2 ,... , a n , chama-se arranjos sem repetição de n elementos p a p a todas as sequências que é possível obter com p elementos escolhidos arbitrariamente entre os n dados ( p ≤ n). O número de todas estas sequências designa-se por n A p (ler arranjos de n, p a p). n! Da definição, deduz-se que: n A p = e n An = P n . (n − p)! Exemplo: Numa corrida de atletismo com cinco atletas é possível atribuir as medalhas de ouro, prata e bronze de 5 A3 = (5 5!3)! = 60 maneiras diferentes. −
Vídeo: Pode aceder no endereço bit.ly/combvideo3 ao vídeo de exposição da presente secção.
1.4 Arranjos com repetição Definição 1.4 — Definição de arranjos com repetição Dados n elementos diferentes, a 1 , a 2 ,... , a n , chama-se arranjos com repetição dos n elementos p a p a todas as sequências de p elementos, sendo estes diferentes ou não, que se podem formar de modo que as sequências diferem pelos elementos que as compõem ou pela ordem de colocação. O número total de sequências representa-se por n A p (ler arranjos com repetição de n, p a p) e tem-se: n A p = n p . ′
′
Exemplo: Como o código de um cartão multibanco tem quatro dígitos há 104 = 10000 códigos distintos.
10 A′ = 4
Vídeo: Pode aceder no endereço bit.ly/combvideo4 ao vídeo de exposição da presente secção.
1.8 Exercícios de escolha múltipla resolvidos
21
Exemplo: ( x + 3y )4 = 4 C 0 x4 + 4 C 1x3 y + 4 C 2x2 y 2 + 4 C 3 xy 3 + 4 C 4 y4 .
Vídeo: Pode aceder no endereço bit.ly/combvideo7 ao vídeo de exposição da presente secção.
1.8 Exercícios de escolha múltipla resolvidos Problema resolvido 1.1 O código de uma mala de viagem é formado por três algarismos inteiros de 0 a 9. Quantos códigos distintos há neste sistema? (A) 999
(B) 1000
(C) 720
(D) 987
Resolução: 1. 2. 3. Um método para resolver o problema é recorrer a um esquema 10 10 10 e ao Princípio fundamental da contagem (ver Proposição 1.1). Como há 10 números disponíveis para o primeiro algarismo, 10 para o segundo e 10 para o terceiro temos 10 × 10 × 10 = 1000 códigos distintos. O esquema em cima ilustra a situação. Um outro processo é recorrer ao conceito de arranjos com repetição (ver Definição 1.4). Como pretendemos saber quantas sequências há de 3 algarismos distintos ou não escolhidos de 0 a 9 temos 10 A3 = 103 = 1000. A resposta correta é a (B). ◦
◦
◦
′
Problema resolvido 1.2 O Carlos tem 3 livros de Matemática, 2 de Português e 1 de Geografia. 1.2.1 De quantos modo os pode colocar juntos por disciplinas? (A) 72
(B) 12
(C) 720
(D) 354
1.2.2 De quantos modo os pode colocar com os livros de matemática separados? (A) 500
(B) 254
(C) 612
(D) 576
Resolução: 1.2.1 No esquema ao lado está ilustrado um exemplo M 1 M 2 M 3 P 1 P 2 G de colocação dos livros juntos por disciplinas. Note-se que há 3! modos de permutar as 3 disciplinas. 3! 2! Se designarmos as disciplinas de Matemática, Português e Geografia por M , P e G temos de facto as possibilidades M P G, M GP , P M G, GM P , P GM e GP M . Temos no total
3! × 2! × 1! × 3! = 72 modos distintos de arrumar os livros na prateleira. Há 3! possibilidades de permutar as 3 disciplinas. Há 2! possibilidades de colocar os livros de Português Há 3! possibilidades de colocar os livros de Matemática Deste modo, a resposta correta é a (A).
52
Capítulo 1. Análise combinatória escolhidas entre as cinco não azuis de 5 A2 maneiras. Escolhem-se Arranjos porque a ordem de colocação diferencia a sequência.
O total do Caso 2 é portanto 5 A3 × 5 A2 − 5 C 3 × 5 A2 = 5 A2 × 5A3 − 5C 3 . Somando os resultados dos dois casos ficamos com a resposta final:
3
C 2
×
5
C 2
×
5
5
A3 + A2
×
5
A3
−
5
C 3 .
Problema resolvido 1.51 Considere onze fichas, indistinguíveis ao tato, numeradas de 1 a 11. Na figura ao lado, está representado um tabuleiro com 16 casas, 1 2 3 4 dispostas em quatro filas horizontais ( A, B , C e D) e em A quatro filas verticais ( 1, 2, 3 e 4). Pretende-se dispor fichas no tabuleiro, de modo que cada ficha B ocupe uma única casa e que cada casa não seja ocupada por C mais do que uma ficha. De quantas maneiras diferentes é possível dispor as onze fichas no tabuleiro: 1.51.1 nas condições apresentadas? Apresente, sem calcular, uma expressão que represente o número de possibilidades. 1.51.2 de tal forma que as que têm número par diferente de 2 ocupem uma única fila vertical? 1.51.3 de tal forma que pelo menos uma das diagonais fique com números inferiores a 9? Apresente, sem calcular, uma expressão que represente o número de possibilidades. Resolução: 1.51.1 Temos
16
A11 disposições.
1.51.2 A figura seguinte ilustra um exemplo do que se pretende A
1
2
3
4
8
2
1
7
9
5
10 C
6 4
3
11
No total temos 4! × 12 A7 × 4 = 383201280 possibilidades. O 4! representa o número de permutações das fichas com os números 4, 6, 8 e 10 numa fila vertical. Para cada um destes casos podemos colocar as restantes sete fichas, que são distinguíveis, nos doze lugares sobrantes de 12 A7 maneiras. Como em cada uma das quatro filas a situação é semelhante, multiplica-se por 4. 1.51.3 A figura seguinte ilustra dois exemplos do que se pretende.
66 temos
Capítulo 2. Probabilidades P ( A ∩ B ) P (A|B ) = = P ( B )
1 6 3 6
=
1 6 1 × = . 6 3 3
A probabilidade P (A|B ) pode ler-se “probabilidade de sair 6 sabendo que saiu número par”. Vídeo: Pode aceder no endereço bit.ly/probvideo4 ao vídeo de exposição da presente secção.
2.5 Acontecimentos independentes Definição 2.10 — Definição de acontecimentos independentes Sejam A e B dois acontecimentos do mesmo espaço. Dizemos que A e B são independentes se P ( A ∩ B ) = P (A) × P (B ). Exemplo: Os acontecimentos M : “ser bom a matemática” e B : “ser bom a basquete” são independentes uma vez que a realização de um deles não interfere com a realização do outro. Note-se no entanto que não são incompatíveis. De facto há pessoas boas a matemática e no basquete. Se tivermos P (M ) = 0.1 e P (B ) = 0.12 então P (M ∩ B ) = 0.1 × 0.12 = 0.012. Vídeo: Pode aceder no endereço bit.ly/probvideo5 ao vídeo de exposição da presente secção.
2.6 Exercícios de escolha múltipla resolvidos Problema resolvido 2.1 Numa cidade há 1100 jovens com 20 anos dos quais 350 estão a tirar um curso superior. Fez-se uma sondagem aos indivíduos desta idade. Qual é a probabilidade de em 8 inquiridos haver exatamente 2 que estão a tirar curso superior? 350 350 2 2 6 C 2 × 750 C 6 A2 × 750 A6 (B) (D) × (A) (C) 1100 1100 350 350 750 C 8 A8 Resolução: A primeira questão que surge nesta p ergunta é se a ordem interessa. Na verdade, é indiferente! Vamos apresentar duas propostas de resolução correspondentes aos dois casos. Se considerarmos que a ordem não interessa teremos que recorrer às Combinações (recordar Definição 1.5) para determinar os casos favoráveis e os casos possíveis da Lei de Laplace (recordar Definição 2.8). Os casos possíveis são 1100 C 8 correspondentes ao número de possibilidades de escolha de subconjuntos de 8 elementos de um conjunto de 1100 elementos. Os casos favoráveis são 350C 2 × 750C 6 correspondentes à escolha de 2 jovens entre os 350 alunos de curso superior e dos restantes 6 jovens entre os 1100 − 350 = 750 que não frequentam nenhum curso superior. A probabilidade é portanto 350 C 2 × 750 C 6 1100
C 8
.
2.6 Exercícios de escolha múltipla resolvidos
67
Se considerarmos que a ordem interessa temos como probabilidade 350
C 2 × 750 C 6 × 8! . 1100 A8
De facto, o número de casos possíveis 1100 A8 corresponde ao número de sequências de 8 elementos escolhidos de um conjunto de 1100 elementos (recordar o concito de arranjos simples Definição 1.3). Os casos favoráveis são 350C 2 × 750 C 6 × 8! correspondentes aos casos favoráveis sem dar importância à ordem multiplicados por 8!. O 8! permuta os 8 elementos escolhidos. Pode verificar em qualquer calculadora científica que os resultados são iguais. A opção correta é a (A).
Problema resolvido 2.2 Considere todos os números naturais formados por 4 algarismos. Sabendo que o primeiro algarismo é 6, qual é a probabilidade de o último algarismo ser maior que os outros três? (A) 0 .258
(B) 0 .052
(C) 0 .297
(D) 0 .194
Resolução: O esquema seguinte ilustra os casos favoráveis a ter o primeiro algarismo igual a 6 e o último algarismo ser maior que os outros três.
6
7 7
6
8
+
A′2
Sequências de dois algarismos diferentes ou não escolhidos de {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
8
6 +
A′2
Sequências de dois algarismos diferentes ou não escolhidos de {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
8 9
A′2
Sequências de dois algarismos diferentes ou não escolhidos de {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
Podemos portanto concluir que há 7 A2 + 8 A2 + 9 A2 = 72 + 82 + 92 = 194 casos favoráveis. Os casos possíveis são 10 A3 = 103 = 1000 correspondentes às sequências de três números diferentes ou não escolhidos de {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Pela Lei de Laplace (recordar Definição 2.8) temos que a probabilidade pedida é ′
′
′
′
194 = 0.194. 1000 A opção correta é a (D).
2.7 Exercícios de desenvolvimento resolvidos
87
Se A ∩ B = ∅ então P ( A ∩ B ) = P ( ∅) = 0. No entanto, como P (A) = 0 e P (B ) = 0 então P (A) × P (B ) = 0. Podemos assim concluir que P ( A ∩ B ) = P (A) × P (B ). Consequentemente A e B são dependentes.
Problema resolvido 2.31
Uma geladaria tem uma montra com oito compartimentos, dispostos em duas filas, onde pretende dispor o sabor de chocolate em dois compartimentos e cada um dos sabores de baunilha, iogurte, laranja, ananás e morango num único compartimento. 2.31.1 Qual é a probabilidade, ao dispor os sabores aleatoriamente nos compartimentos, os
gelados de fruta (laranja, ananás e morango) ficarem na fila da frente? Apresente o resultado na forma de fração irredutível. 2.31.2 O Manuel pediu um gelado de três bolas e a Rita um de duas bolas.
Como os sabores são todos muito bons, a sua escolha foi aleatória com os sabores de cada gelado todos distintos. Qual é a probabilidade de pelo menos um dos sabores dos gelados escolhidos pelo Manuel e pela Rita ser igual? Apresente o resultado na forma de fração irredutível. Resolução: 2.31.1 A figura seguinte ilustra um exemplo do que se pretende, onde os sabores são identificados
pela primeira letra do sabor. C
C
B
L
A
M
I
Como os sabores são dispostos aleatoriamente nos compartimentos, podemos utilizar a Lei de Laplace para calcular a probabilidade pretendida. Os casos favoráveis são 4 A3 × 5 A2 × 3C 2 . De facto há 4 A3 possibilidades de colocar os três sabores de fruta, que são distinguíveis, nos quatro compartimentos da frente. Para cada uma destas possibilidades podemos colocar os sabores de baunilha e iogurte, que são distinguíveis, nos cinco compartimentos que sobram de 5 A2 maneiras. Para cada uma destas colocações podemos escolher os dois compartimentos entre os três compartimentos que sobram para colocar o sabor de chocolate de 3 C 2 maneiras. Escolheu-se Combinações porque, como os dois compartimentos ficam com o mesmo sabor, a ordem de colocação não interessa. Os casos possíveis são 8 A5 × 3 C 2 uma vez que há 8 A5 possibilidades de posicionar os cinco sabores distinguíveis nos compartimentos (frutas, baunilha e iogurte) e para cada uma delas podemos escolher os dois compartimentos entre os três que sobram para colocar os dois sabores de chocolate de 3 C 2 maneiras. De acordo com a Lei de Laplace, a probabilidade pedida é 4
A3 × 5 A2 × 3 C 2 8
A5 × 3 C 2
=
1 . 14
4. Funções exponencial e logarítmica
4.1 Função exponencial Definição e gráfico da função exponencial Definição 4.1 — Definição de função exponencial Chama-se função exponencial à função
f : R x onde a
→ →
R
f (x) = a x
+
∈ R \ {1}.
Propriedade 4.1 — Funções exponenciais de base superior a 1 Uma função exponencial de base a > 1 definida por f (x) = a x tem as seguintes propriedades:
• D = R; • D =]0, +∞[; • Consequentemente, f é positiva em R; • f (0) = 1; • f é injetiva; • y = 0 é assíntota horizontal quando x → −∞;
y
f ′
f
y = a
x
a
1 0
1
x
Capítulo 4. Funções exponencial e logarítmica
126
x
• lim a = 0 e lim • f é crescente em R. x→−∞
x→+∞
ax = + ;
∞
Propriedade 4.2 — Funções exponenciais de base 0 < a < 1 Uma função exponencial de base 0 < a < 1 definida por f (x) = a x tem as seguintes propriedades:
• D = R; • D =]0, +∞[; • Consequentemente, f é positiva em R; • f (0) = 1; • f é injetiva; • y = 0 é assíntota horizontal quando x → +∞; • lim a = +∞ e lim a = 0; • f é decrescente em R. f
y
′
f
x
y = a
1/a 1
x
x→−∞
x
x→+∞
−1 0
x
Vídeo: Pode aceder no endereço bit.ly/explogvideo1 ao vídeo de exposição da presente secção.
Condições com exponenciais Para resolver condições que envolvam a função exponencial devemos ter em conta os seguintes factos:
•a •a •a
x1
= a x
x1
< ax
x1
< ax
2
2
2
+
⇔ x = x para a ∈ R \ {1}; ⇔ x < x para a > 1; ⇔ x > x para 0 < a < 1. 1
2
1
2
1
2
Para aplicar estas regras, utilizamos frequentemente as propriedades das potências: 1. an 4.
a a
n
m
×a
m
= a n+m
2. an
= a n−m
7. a−n
5.
1 1 = n ; a −1 = a a
Exemplo: 23x = 82
⇔ 2
3x
= 23
2
an = bn
⇔ 2
3x
n
n
× b = (ab) a n
b
= 26
3. (an )m = a n×m 6. a
n m
⇔ 3x = 6 ⇔ x = 2.
=
√ a ; a
m
n
1 2
=
√ a
4.4 Exercícios de desenvolvimento resolvidos
133
Problema resolvido 4.7 O conjunto solução da equação ln(x 1, 5 (A) 6 (B)
− 3) + ln(x − 1) = 3ln 2 é: {− } (C) {1, 3}
{ }
(D) 5
{ }
Resolução: O domínio da condição é D = x
{ ∈ R : x − 3 > 0 ∧ x − 1 > 0} =]3, +∞[. ln(x − 3) + ln(x − 1) = 3ln 2 ⇔ ln ((x − 3) (x − 1)) = ln 2 log + log = log ( ); log = log ⇔ x − x − 3x + 3 = 8 ∧ x ∈ D Propriedade 4.5 ⇔ x − 4x − 5 = 0 ∧ x ∈ D ⇔ (x = −1 ∨ x = 5) ∧ x ∈ D ⇔ x = 5. Deste modo temos S = {5} e podemos concluir que a opção correta é a (D). 3
x
a
a
y
a
xy
n
a
x
a
x
n
2
2
Problema resolvido 4.8 1 A expressão ln m 2 ln n é equivalente a: 3 1 m (A) ln (B) ln m 2n 3 n2
√ 3
−
−
3
√ (C) ln
3
m
2
−n
(D) ln
Resolução:
1 ln m 3
1 3
2
− 2 ln n = ln m − ln n
n loga x =
log
n a
x
1
m 3 = ln 2 n
√ m
log
a
x
− log
a
y =
log
x a
y
3
= ln
2
n
1
.
a3
=
√ n
a
Podemos concluir que a opção correta é a (A).
4.4 Exercícios de desenvolvimento resolvidos Problema resolvido 4.9 — Vídeo disponível em bit.ly/logexpvideo7 Partindo do gráfico da função definida por y = 3 descreva como pode obter o gráfix
co das funções seguintes e represente-os:
m √ n
4.4 Exercícios de desenvolvimento resolvidos
165
4.21.2 Para determinar um peso aproximado de um elefante com 5 anos de vida basta calcular W (5) = 2600 1 − 0, 51 × e−0.075×5
3
≈
712.32.
Problema resolvido 4.23 A Lei de Arrefecimento de Newton diz que a temperatura T de um corpo pode ser expressa em função do tempo t em minutos por T (t) = T a + be−kt
onde T a é a temperatura do meio ambiente, e k e b são constantes relativas ao corpo.
4.23.1 Considere que um objeto metálico é aquecido a 100 ◦ e colocado num recipiente de água que é mantida a uma temperatura constante de 80◦ . Ao fim de 3 minutos a temperatura do objeto metálico diminuiu para 85 ◦ . (a) Mostre que b = 20 e que k =
2 ln 2. 3
(b) Determine, com aproximação às décimas, a temperatura do objeto metálico ao fim de 10 minutos. (c) Determine, com aproximação aos segundos, a partir de que instante o objeto metálico fica a uma temperatura inferior a 81 ◦ . (d) O gráfico de y = T (t) admite uma única assíntota horizontal para t ≥ 0. Conjeture a sua equação com recurso à calculadora gráfica e interprete o seu significado no contexto do problema. 4.23.2 O Charles foi encontrado morto na sala do seu apartamento às 22 h . O detetive Max chegou ao local às 22h30m e mediu de imediato a temperatura do corpo: 29◦ C. Uma hora depois, a temperatura do corpo era de 22 ◦ C. Observou-se também que a temperatura da sala se manteve à temperatura constante de 18◦ C. Sabendo que a temperatura média do corpo humano é de 36 .5◦ C, a que horas ocorreu a morte de Charles? Apresente o resultado em horas e minutos arredondados às unidades. Resolução: 4.23.1 (a) Como a temperatura ambiente é T a = 80◦ C, a temperatura do objeto metálico é 100◦ C no instante inicial e 85 ◦ C ao fim de 3 minutos, então temos T (0) = 100 80 + be0 = 100 b = 20 b = 20 b = 20 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 1 −3k −3k −3k T (3) = 85 80 + be = 85 20e =5 e =4 k = − 13 ln 14 Como
1 3
k = − ln
então está provado que k =
1 1 1 2 = ln 4 = ln 22 = ln 2 4 3 3 3
2 ln 2 e que b = 20. 3
5. Limites e continuidade
5.1 Definição de limite Definição 5.1 — Definição de limite de uma função segundo Heine Seja f uma função real de variável real de domínio Df e a ∈ R, a = +∞ ou a =
.
−∞
Diz-se que lim f (x) = b se e só se para toda a sucessão (un ), de termos pertencentes a Df , x→a
que tenda para a a sucessão f (an ) tende para b. Note-se que b ∈ R, b = +∞ ou b = −∞.
Teorema 5.1 — Existência de limite Seja f uma função real de variável real de domínio Df e a ∈ R, a = +∞ ou a = Então lim f (x) = b se e só se os limites laterais existirem e
−∞
.
x→a
lim f (x) = lim f (x) = b.
x→a−
x→a+
Vídeo: Pode aceder no endereço bit.ly/contvideo1 ao vídeo de exposição da presente secção.
Propriedades operatórias dos limites Proposição 5.2 — Propriedades operatórias dos limites Sejam f e g duas funções reais de variável real tais que lim f (x) e lim g(x) são finitos e a é x→a
x→a
5.6 Exercícios de escolha múltipla resolvidos y
179
y f
2
2 g
0
x
1
x
0 −1
Figura 5.3: Gráficos com assíntotas paralelas aos eixos.
Definição 5.6 — Assíntotas oblíquas A reta de equação y = mx + b é assíntota oblíqua do gráfico de f se
lim [f (x) − (mx + b)] = 0 ou
x→
+∞
lim [f (x) − (mx + b)] = 0.
x→−∞
Se y = mx + b é a equação de uma assíntota oblíqua do gráfico de f deduz-se da sua definição que:
f ( x) m = lim →+∞ x ou b = lim [f ( x) − mx] x
x→
+∞
f ( x) →−∞ x b = lim [f ( x) − mx] m = lim x
x→−∞
f
x
0
Figura 5.4: Ilustração do conceito de assíntota oblíqua quando x → +∞.
Vídeo: Pode aceder no endereço bit.ly/contvideo8 ao vídeo de exposição da presente secção.
5.6 Exercícios de escolha múltipla resolvidos Problema resolvido 5.1 16π Considere as funções reais de variável real f e g tais que f (x) = π 3 e g(x) = . O valor de x
f ( x) lim é: →4 g (x)
x
(A)
π4
4
(B) 4 π
(C) 4 π4
Resolução: As regras operatórias da Proposição 5.2 asseguram-nos os cálculos seguintes:
(D) 4 π2
Capítulo 5. Limites e continuidade
180
lim f (x) lim π3 4 f ( x) π3 π2 →4 →4 3 lim = = = π × = . π = →4 g (x) lim g(x) 4 π lim 4 →4 →4 x x
x
π
x
x
x
Deste modo podemos concluir que a opção correta é a (A).
Problema resolvido 5.2
Considere a função real de variável real definida em
Seja { u } a sucessão definida por u = f 2 + n
n
Qual das seguintes sucessões define u ? 6n + 2 2 (A) (B) − 6 − n
n
1
n
Como numa sucessão n ∈ N então
(C) 2 +
n
> 0 ⇒ 2 +
Deste modo u = f 2 + n
1
1
n
f ( x) =
= −2 2 +
1
n
1 n
−4x + 2 −2x − 2
se x ≤ 2 se x > 2
.
.
n
Resolução:
R por
1
(D) − 6 −
n
2 n
> 2 para todo o n ∈ N.
2 2 − 2 = −4 − − 2 = −6 − . n
n
Deste modo podemos concluir que a opção correta é a (D).
Problema resolvido 5.3 Na figura está representada parte da representação gráfica de uma função f cujo domínio é R \ {1}. As retas de equações x = 1 e y = 2 são assíntotas do gráfico de f . Seja { x } a sucessão de termo geral x = 5 − n3. Indique o valor de lim f (x ). n
n
y f
2
n
0
(A) −∞
(B) 1
(C) 2
Resolução: Pela Definição de limite segundo Heine (Definição 5.1), como
lim x = lim 5 − n3 = 5 − (+∞)3 = −∞ n
então
lim f ( x ) = lim f (x) = 2. n
x→−∞
Deste modo podemos concluir que a opção correta é a (C).
1
(D) + ∞
x
5.7 Exercícios de desenvolvimento resolvidos
233
5.40.3 Os pontos de R2 em que a ordenada é metade da abcissa são os pontos da reta de equação x x y = . Deste modo, pretendemos resolver graficamente a equação f (x) = .
2
2
Nos gráficos seguintes, obtidos através da calculadora gráfica, estão representados parte do x gráfico da função definida por y = f (x) em [2 , + [ e a reta de equação y = .
∞
2
y
f
A
4.68 4
O
2
9.34
Uma vez que o gráfico da função definida por y = f (x) em [2 , +
x
∞[ e a reta de equação y = x2
intersetam-se no ponto A(9.34, 4.68) podemos concluir que este é o ponto pretendido.
Problema resolvido 5.41 Seja f a função, contínua em ]
− ∞, 2[, definida por 3√ x + 1 + ln(2 − x) 2−x f ( x) = ln(kx + 2) − x − ln(2)e e −1 2
2
se x
≤0
x
kx
se 0 < x < 2
onde k é uma constante real. Resolva os itens 5.41.1 e 5.41.2 sem recorrer à calculadora. Resolva o item 5.41.3 recorrendo à calculadora apenas para efetuar eventuais cálculos numéricos.
5.41.1 Mostre que k =
−1.
5.41.2 Estude a função f quanto à existência de assíntotas do seu gráfico. 5.41.3 Prove que a reta de equação f (x) = e interseta o gráfico de f num ponto com abcissa no intervalo ]0 , 1[. Resolução:
Capítulo 5. Limites e continuidade
240
Problema proposto 5.4
y
Na figura ao lado está representado parte do gráfico da x2 função definida por f (x) = x +1 e um retângulo [ABCD].
2
Sabendo que A e D têm abcissa 3, B e C têm abcissa a > 3 e que B e D pertencem ao gráfico de f podemos concluir que a área do retângulo [ ABCD ] quando a tende para +∞ é: (A) 5 (B) 12
(C) 3
D
C
A
B
3
a
f
(D) + ∞
0
x
Problema proposto 5.5 Os valores reais de a e b para os quais o Teorema de Bolzano é aplicável à função definida por eax
1 1 ( ) = ++ 2 +1 −
ebx − a b
f x
x3 x
no intervalo [−1, 1] são:
(A) a = 4, b =
2
se x < 0 se x = 0 se x > 0
(B) a =
−
(C) a = 0, b = 1
2, b = 4
−
(D) a = 1, b = 0
Problema proposto 5.6 Na figura ao lado está representado parte do gráfico da função f . Com base no gráfico pode afirmar que:
(A) lim [f ( x) − x − 1] = 0 e lim x→−∞
x→+∞
(C) lim f ( x) = x→1−
(D) lim
x→−∞
−∞
e
lim
x→+∞
2
f ( x) − x = 2
3
f ( x) =1 x→−∞ x
1
−5 −4 −3 −2 −1 −1
f ( x) −
2 x 3
−2
= −2
−3 −4
2 f (x) + x − 2 = 0 e lim [f ( x) − x − 1] = 0 x + 3 →
f
3
2
(B) lim f ( x) = 4 e lim x→1
y 4
−5
∞
Problema proposto 5.7 f (x) + 3 x = 1 qual das retas pode ser assíntota do gráfico de f ? Se lim x→+∞ x (A) y = x + 2
(B) y = 3 − 3x
(C) y = 1
(D) y =
2x + 2
−
0
1
2
3
4
5
6
x
6. Derivadas
6.1 Taxa média de variação A taxa média de variação de uma função real de variável real f no intervalo [ a, b] é dada por f (b) − f (a) tmv[a,b] = . b−a
Em termos físicos, a taxa média de variação corresponde, em linguagem corrente, à velocidade média de f em [ a, b]. Em termos gráficos, corresponde ao declive da reta secante ao gráfico da função nos pontos de abcissas a e b.
y f f (b) f (a)
0
a
b
x
Figura 6.1: Reta secante ao gráfico de f .
Exemplo: Dada a função definida por f (x) = x 2 − 4 a taxa média de variação de f no intervalo [0, 2] é dada por 0 − (−4) f (2) − f (0) = = 2. tmv[0,2] = 2−0 2−0
Em termos gráficos significa que o declive da reta secante ao gráfico de f nos pontos (0, f (0)) e (2, f (2)) tem declive 2. Vídeo: Pode aceder no endereço bit.ly/derivvideo1 ao vídeo de exposição da presente secção.
254
Capítulo 6. Derivadas
6.9 Exercícios de escolha múltipla resolvidos Problema resolvido 6.1 A figura ao lado representa um reservatório com quatro metros de altura. Considere que, inicialmente, o reservatório está cheio de água e que, num certo instante, se abre uma válvula e o reservatório começa a ser esvaziado. O reservatório fica vazio ao fim de doze horas. Admita que a altura, em metros, da água no reservatório, t horas após este ter começado a ser esvaziado, é dada por
t 4− 3 f (t) = 14t − 168 3t − 51
se 0
≤
t < 3
se 3
≤
t ≤ 12
11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
3 m 9−8−7−6−5−4−− 3−2−11 1 2 3 4 5h(t) 6 7 8 9101 −2 −3 −4 −5 −
6.1.1 Qual é a variação da altura da água no tanque (em metros) entre o instante inicial e após as 4 horas? 4 112 44 (C) 12 (A) (B) − (D) − 3 39 39 6.1.2 Qual é a variação média da altura da água no tanque (em metros) entre o instante inicial e após as 4 horas? 4 11 44 (C) −12 (A) − (B) − (D) − 3 39 39 6.1.3 Podemos afirmar que no intervalo [0, 4] a altura da água (A) diminuiu a uma velocidade de aproximadamente 0.28 m/s (B) aumentou 3 metros (C) diminuiu a uma velocidade média de aproximadamente 0.28 m/s (D) diminui de uma forma cada vez mais lenta Resolução: 6.1.1 A variação da altura da água no tanque (em metros) entre o instante inicial e após 4 horas é dada por
h(4) − h(0) =
14 × 4 − 168 3 × 4 − 51
−4
=
Podemos concluir que a altura da água diminuiu
112 39
−4
=
112 39
−
156 44 =− . 39 39
44 e que a opção correta é a (D). 39
6.1.2 A variação média da altura da água no tanque (em metros) entre o instante inicial e após 4 horas é dada por 44 − h(4) − h(0) 44 1 11 = 39 = − × = − . 4−0 4−0 39 4 39 11 Podemos concluir que a altura da água diminuiu a uma taxa média de m/s e que a opção 39 correta é a (B).
272
Capítulo 6. Derivadas
Como f ′(1) = 7 então f é derivável no ponto 1 . Pelo teorema da derivabilidade e continuidade podemos concluir que f é contínua no ponto 1 .
Problema resolvido 6.22 — Vídeo disponível em bit.ly/derivvideo24 f ( x) − f ( a) = 6 e f (a) = 4. Uma função real de variável real f satisfaz lim x→a
Qual é o valor de lim f ( x)?
x−a
x→a
Resolução: f ( x) − f ( a) = 6 então f ′ (a) = 6. Consequentemente, pelo teorema da derivabilix→a x−a dade e continuidade podemos concluir que f é contínua no ponto 1 . Como lim
Sabemos que f é contínua no ponto a se e só se lim f ( x) = f (a). Como por hipótese f (a) = 4, x→a
podemos concluir que lim f ( x) = 4. x→a
Problema resolvido 6.23 — Vídeo disponível em bit.ly/derivvideo25 Considere a função real de variável real f definida por f ( x) =
3
x − 1 se x ≤ 1 x2 + 1 se x > 1
Mostre que f é contínua no ponto 1 e, no entanto, não tem derivada neste ponto.
Resolução: Sabemos que f é contínua no ponto 1 se lim f (x) = f (1). x→1
lim f (x)= lim (3x − 1) = 2 = f (1).
x→1−
x→1−
lim f (x)= lim
x→1+
x→1+
x2 + 1 = 2.
Deste modo, podemos concluir que lim f (x) = f (1) e que f é contínua no ponto 1 . x→1
Estudemos agora a existência de f ′ (1). O ponto de abcissa 1 é um ponto de transição de ramos, uma vez que f está definida à esquerda de 1 por uma expressão diferente da que define f à direita de 1 . Por este motivo, temos que determinar as derivadas laterais f ′(1− ) e f ′ (1+ ) para estudarmos a existência de f ′(1). f ′ (1− ) = lim
h→0−
= lim
h→0−
f (1 + h) − f (1) h
3(h + 1) − 1 − 2 h
f (x) = 3x − 1
⇒
f (1 + h) = 3(1 + h) − 1
6.10 Exercícios de desenvolvimento resolvidos
303
Problema resolvido 6.36 Na figura está representado, num referencial cartesiano Oxy, parte do gráfico da função definida ln x + 3x por f (x) = e os triângulos [ABC ] e [ CDE ] tais que: x y • o ponto A tem coordenadas (2, 0); E • o
ponto B tem coordenadas (4, 0);
• o
ponto C pertence ao gráfico de f e tem de abcissa a, onde a ∈]0, +∞[;
• o
f
ponto B tem coordenadas (2, 0);
C
D
ponto D pertence ao eixo Oy e tem a mesma ordenada que C ;
• o
• o
O a
ponto E tem coordenadas (0, 6).
A
x
B
6.36.1 Mostre que as áreas dos triângulos [ABC ] e [ CDE ] são dadas, em função de a, por A[ABC ] = f (a) e A[CD E ] =
a(6 − f (a))
2
.
6.36.2 Mostre analiticamente que existe um valor de a no intervalo ]1, 3[ para o qual os triângulos [ABC ] e [ CED ] têm áreas iguais e, recorrendo à calculadora gráfica, determine a sua aproximação às centésimas. 6.36.3 Calcule lim f (a) e interprete o valor obtido no contexto do gráfico de f e da área do a→+∞
triângulo [ABC ].
6.36.4 Determine, recorrendo a processos exclusivamente analíticos, o valor de a para o qual a área do triângulo [ABC ] é máxima. Determine o valor máximo da área. Resolução: 6.36.1 As áreas dos triângulos [ABC ] e [ CDE ] são dadas em função de a por: A[ABC ] =
AB × f (a)
2
=
2f (a) = f (a) 2
A[CDE ] =
e
CD × DE
2
=
a(6 − f (a))
2
.
6.36.2 Para as áreas serem iguais tem que se verificar a seguinte igualdade: f (a) =
a(6 − f (a))
2
Seja g a função definida por g(a) = f (a) −
⇔
f (a) −
a(6 − f (a))
a(6 − f (a))
2
2
= 0.
.
Provar o que é pedido equivale a provar que g tem pelo menos um zero em ]1 , 3[. f é contínua em ]0 , +∞[ por ser a soma e quociente de funções contínuas. Como g é a diferença, produto e divisão de funções contínuas então também é contínua em ]0, +∞[.
6.12 Exercícios de desenvolvimento propostos
311
Problema proposto 6.18
Uma catenária é a forma que um cabo assume quando é suportado pelas suas pontas e sofre apenas a ação do seu peso. Uma força aplicada em qualquer ponto da curva é dividido igualmente por toda a curva. Por esse motivo é usada desde a antiguidade para a construção de arcos nos monumentos. Atualmente é especialmente utilizada na engenharia civil e na arquitetura. A figura seguinte mostra o arco de Saint Louis nos Estados Unidos que representa uma catenária invertida quase perfeita. Considere que os pontos de ordenada não negativa do gráfico da função definida por x x f (x) = −20
−
e 40 + e 40
+ 230
num referencial ortonormado representam o arco, com as unidades em metros. 6.18.1 Sabendo que o eixo dos xx representa o solo, utilize as potencialidades da calculadora
gráfica para obter, com aproximação às décimas, o domínio da função no contexto do problema e o gráfico de f . 6.18.2 Determine, com base na alínea anterior, a distância entre os dois “pés” do arco com
aproximação às décimas. 6.18.3 Determine, por processos exclusivamente analíticos, o máximo absoluto de f e interprete
o valor obtido no contexto do problema.
Problema proposto 6.19
Seja g a função real de variável real definida por g (x) =
1 se x < 0 xe x x e − 1 se x ≥ 0
6.19.1 Mostre que g é contínua para x = 0 e não tem derivada neste ponto. 6.19.2 Caracterize g ′ . 6.19.3 Estude g quanto ao sentido de variação. 6.19.4 Determine a equação da reta tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa 1 .
g (x) [g (x) − g (1)] . x→1 x−1
6.19.5 Calcule lim
Problema proposto 6.20
Uma determinada espécie de animais de um jardim zoológico foi afetada por uma virose. O número de animais afetados t dias após a deteção é dado por N ( t) =
2000 . 2 + 18e−0.5t
7. Trigonometria
7.1 Razões trigonométricas de um ângulo agudo Consideremos um triângulo ∆ABC , retângulo em C , com BC = a, AC = b e AB = c representado na Figura 7.1. B c
a
α
C
b
A
Figura 7.1: Triângulo retângulo [ ABC ].
Sendo α a amplitude do ângulo formado pelos lados [AC ] e [AB ], definem-se as razões trigonométricas seno, cosseno e tangente de α do modo seguinte: a medida do cateto oposto = c medida da hipotenusa b medida do cateto adjacente cos α = = c medida da hipotenusa medida do cateto oposto sen α a . tg α = = = b medida do cateto adjacente cos α
sen α =
Dica para decorar as fórmulas: SOHCAHTOA. SOH designa “ Seno igual a Oposto sobre Hipotenusa”; CAH designa “ Cosseno igual a Oposto sobre Hipotenusa”; TOA designa “ Tangente igual a Oposto sobre Adjacente”.
Vídeo: Pode aceder no endereço bit.ly/trigvideo1 ao vídeo de exposição da presente secção.
Capítulo 7. Trigonometria
336
y
Problema resolvido 7.6 Na figura ao lado está representado num referencial ortonormado xOy o trapézio [ ABCD ] inscrito no circulo trigonométrico tal que:
B
A π
•
•
•
•
•
o ângulo de amplitude α pertence ao 1.◦ quadrante; o ponto A é o ponto de interseção do lado extremidade do ângulo de amplitude π2 − α com o círculo trigonométrico;
2
−
α
1x
O C
D
o ponto B é simétrico de A relativamente ao eixo dos yy ; o ponto D é o ponto de interseção do lado extremidade do ângulo de amplitude o círculo trigonométrico;
α com
−
o ponto C é simétrico de D relativamente ao eixo dos yy .
Qual das seguintes expressões dá a área do trapézio [ABCD ] em função de α? (A) 1 + sen(2 α)
(B) 1 − sen(2α)
(C) sen α + 2 cos α
(D) sen α + tg α
Resolução: De acordo com as definições de seno e co-seno de um ângulo (Definição 7.3) temos
π
A cos
2
−
α , sen
π 2
−
α
= ( sen α, cos α)
e D (cos (−α) , sen (−α)) = (cos α, − sen α). Consequentemente B (− sen α, cos α) e C (− cos α, − sen α). Como α pertence ao 1 .◦ quadrante então cos α > 0 e sen α > 0. Assim, pela fórmula da área do trapézio temos A[ABCD] =
B + b
2
×
h =
CD + AB
2
×
h
cos α − (− cos α) + sen α − (− sen α) × (cos α − ( − sen α)) 2 = (cos α + sen α)2 = cos2 α + 2sen α cos α + sen 2 α =
= 1 + sen(2α).
sen 2 α + cos2 α = 1;
2sen α cos α = sen(2α)
Podemos concluir que a opção correta é a (A).
Problema resolvido 7.7 √ 5 Seja f uma função definida por f (x) = e cos x e g uma função tal que g (π ) = π e g ′ (π ) = −2e 3 . 6 Então (f ◦ g )′ (π ) é: √ √ − 3 3 (A) (B) e (C) − (D) e 2 2 3
2
Resolução: O Teorema da derivada da função composta (Teorema 6.4) garante-nos que (f ◦ g )′ (π ) = g ′ (π ) × f ′ (g (π )).
3 2
Capítulo 7. Trigonometria
386
⇔ sen
π
4
+ x = sen
π
π
−
ver (7.15)
4
π
π
⇔ 4 + x = − 4 + 2kπ ∨ 4 + x = π
π
− −
+ 2kπ,k
∈ Z
4
⇔ x = − π2 + 2kπ ∨ x = π + 2kπ,k ∈ Z Podemos assim concluir que S =
−
π
2
+ 2kπ,π + 2 kπ k
| ∈ Z
.
Problema resolvido 7.47 — D elevada Vídeo disponível em bit.ly/trigvideo42 π + x para x [0, 2π]. Seja f a função definida por f (x) = 2sen x 4 7.47.1 Prove que o gráfico de f interseta o eixo das abcissas.
√
′′
7.47.2 Prove que f (x) = cos x
−
∈
− sen x.
7.47.3 Determine os pontos de inflexão do gráfico de f . Resolução: 7.47.1 As abcissas dos pontos de interseção do gráfico de f com o eixo das abcissas são os zeros de f . Como
√ π f (x) = 0 ⇔ 2sen x − 4
+ x = 0
não dá para resolver algebricamente vamos recorrer ao Teorema de Bolzano. Como f (0) =
√
−
f (2π ) =
√
=
√
− √
π
2sen 0
e
4
2sen 2π 2
× −
π
4
2 2
√
+0 =
2
+ 2π =
+ 2π =
√
× − √
2sen
2 = 2 π
− 4
−1
+ 2π
−1 + 2π > 0
e f é contínua em [0, 2π ] por ser a soma e a composição de funções contínuas podemos concluir pelo Teorema de Bolzano que f tem pelo menos um zero em ]0 , 2π [.
7.47.2 Como ′
f (x) =
√ − 2sen x
π
4
+ x
′
√ = 2cos
π
− x
4
+1
Capítulo 7. Trigonometria
390
Para k = 0 e k = 1 temos os primeiros zeros de f e as abcissas dos pontos A e B respetivamente: 0 e π. A área do triângulo é portanto π×1 π base×altura = = . A[ABC ] = 2 2 2
Problema resolvido 7.49 — Adaptado de exame Na figura seguinte está representado a sombreado um polígono [CDEH ] tal que •
[ACFG] é um quadrado de lado 1;
•
CD = DE = 2;
•
> AHF é um arco de circunferência e o
G
2
H
ponto H desloca-se neste arco de tal forma que se verifica sempre que [ HB ] ⊥ [AC ]; •
F
E
x
x designa a amplitude em radianos do ângulo B CH ;
A B
C
2
D
7.49.1 Mostre que a área do polígono [CDEH ] é dada em função de x por A(x) = sen x + cos x + 2 para x ∈ 0, π2 .
7.49.2 Determine o valor de x para o qual a área é máxima. Calcule o valor da área máxima. 7.49.3 Calcule A(0) e A
e enquadre os valores obtidos no contexto do problema. π
2
Resolução: 7.49.1 Vamos determinar a área do polígono [ CDEH ] através da seguinte igualdade: A[CDEH ] = A [BDEH ] − A[BC H ] .
Tendo em consideração as definições das razões trigonométricas de um ângulo agudo (ver secção 7.1) temos sen x = cos x =
BH CH BC CH
⇔
sen x =
⇔
cos x =
BH
1 BC
1
⇔
BH = sen x.
⇔
BC = cos x.
Deste modo, como [ BDEH ] é um trapézio temos A[BDEH ] =
B + b
× h =
2 2 + sen x = 2
×
DE + BH
2
×
(2 + cos x) =
BD
4 + 2 cos x + 2sen x + sen x cos x . 2
8. Complexos
8.1 Forma algébrica de números complexos Um número complexo é da forma x + yi, x ∈ R, y ∈ R e i = O conjunto de todos os números complexos é
√ −1 é a unidade imaginária.
C = x + yi x
{
| ∈ R, y ∈ R}.
√
Como i = −1 então i2 = −1. É frequente designar um número complexo por uma letra, sendo z a mais utilizada. Seja z = x + yi um complexo na sua forma algébrica . Então:
• x é parte real de z e escreve-se Re(z) = x; • y é o coeficiente da parte imaginária de z e escreve-se Im( z) = y ; • yi é parte imaginária de z; • z = x − yi é o conjugado de z. • z é imaginário puro se Re( z) = 0 e Im( z) = 0. Note-se que z é real se y = 0. Por este motivo temos R ⊆ C e C contém todos os conjuntos numéricos apresentados até ao ensino secundário: N
⊆ Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C.
Exemplo: Dados z1 = 3 + 4i, z2 =
−6 − 8i, z = 3 e z = −5i então z = 3 − 4i, z = −6 + 8 i, z = 3 e z = 5i. 1
3
2
4
3
Re (z1 ) = 3, Im (z1 ) = 4 e 4 i é a parte imaginária de z1 .
4
402
Capítulo 8. Complexos
Proposição 8.1 — Igualdade de complexos Dados dois números complexos a + bi e c + di temos a + bi = c + di
Exemplo: Dados os complexos z1 = 4a
⇔ a = c ∧ b = d.
− 3i e z = 5 + bi, temos 5 z = z ⇔ 4 a − 3i = 5 + bi ⇔ 4 a = 5 ∧ −3 = b ⇔ a = ∧ b = −3. 4 1
2
2
Vídeo: Pode aceder no endereço bit.ly/complexosvideo1 ao vídeo de exposição da presente
secção.
8.2 Representação geométrica de números complexos No plano complexo, o ponto P (a, b) é designado por afixo ou imagem geométrica do número −−→ complexo z = a + bi. O vetor OP é designado por imagem vetorial de z . Im
P (a, b)
b a
0
Re
Figura 8.1: Afixo e imagem vetorial de z = a + bi.
Vídeo: Pode aceder no endereço bit.ly/complexosvideo2 ao vídeo de exposição da presente
secção.
8.3 Operações com números complexos Considerem-se z1 = x1 + y1 i e z2 = x2 + y 2i. Definimos as operações habituais no conjunto C com:
• adição: z + z = (x + y i) + (x + y i) = (x + x ) + (y + y ) i; • subtração: z − z = (x + y i) − (x + y i) = (x − x ) + (y − y ) i; • multiplicação: z × z = (x + y i) × (x + y i) = (x x − y y ) + (x y − x y ) i; • divisão: zz = zz zz¯¯ = xxx ++ y y y + xxy −+ yx y i; • potenciação: i = 1; i = i ; i = −1; i = −i. As potências de base i repetem-se de 4 em 4 . Se n = 4q + r, n ∈ N então i = i . 1
2
1
1
2
1
1
1 2
2
2 2
0
1
2
1
1
2
2
2
1
2
1
2
1
1
2
2
1
1
2
2
2
2
1
2
2
2
3
r
2
2
2
2
1
1
2
n
1
1
2
2
2
2
1
1
2
2
1
2
2
1
Capítulo 8. Complexos
414 (A) 2cis (C) 1 −
π
√
(B) − 3 − 2i e i
e i2
3
√
3i e i2
(D) 2cos
π
e 0
6
Resolução: Um número é raiz ou zero da equação se satisfizer a equação. Uma das técnicas mais acessíveis para encontrar a opção correta√ é experimentar as opções até encontrar a opção correta. No √ que 2 se segue verificamos que 1 − 3i e i = − 1 são raízes da equação. Substituindo 1 − 3i na equação vem:
1 − √ 3 = 1 − √ 3 − 2 1 − √ 3 − 4 √ √ √ √ √ ⇔ 1 − 3 × 1 − 3 = 1 − 2 3 + − 3 − 2 + 2 3 − 4 √ √ √ √ ⇔ 1 − 2 3 − 3 × 1 − 3 = 1 − 2 3 − 3 − 6 + 2 3 √ √ ⇔ −2 − 2 3 × 1 − 3 = −8 √ √ ⇔ −2 + 2 3 − 2 3 + 6 = −8 ⇔ −8 = −8 3
2
i
i
i
2
2
i
i
i
i
i
i
i i
i
i
i
i2
.
No caso de −1 temos ( −1)3 = (−1)2 − 2 × (−1) − 4 ⇔ −1 = correta é a (C).
−1. Podemos concluir que a opção
Problema resolvido 8.8 Na figura em baixo, está representado, no plano complexo, um pentágono que tem como vértices 2π os afixos das raízes índice 4 do complexo cis − e de um complexo w. 3
Im
Sabe-se que:
• o ponto O é a origem do referencial; • o quadrilátero que tem como vértices
z1 z2 w
O e os afixos de
z0 , z1 e w é um quadrado.
O
z0
Qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) w (C) w
√
π
= 2cis 12 = cis π
12
Re
z3
(B) w = z 1 + z2
√
2 π cis (D) w = 2 12
Resolução: Pela observação da figura podemos concluir de imediato que w = z0 + z 1 (ver Figura 8.2). A opção (B) fica portanto excluída. De acordo com a Proposição 8.8 sendo z = ρ cis θ um número complexo não nulo e n ∈ N, as n
8.8 Exercícios de desenvolvimento resolvidos
Im
z2
z1
√ 5
3
0
Re
z3
z0
z4
Problema resolvido 8.24 — Vídeo disponível em bit.ly/complexosvideo16 Represente por uma condição em C cada uma das seguintes regiões: 8.24.1
8.24.2
m
Im
4 4
4 4
3 3
3 3
2 2
2 2
1 1
1 1
Re 5
−4 −3 −2 −1 −11
1
2
3
4
Re 5
−22 −33 −44
−4 −3 −2 −1 −11
1
2
3
4
−22 −33 −44
8.24.3
8.24.4 Im
Im
4 4
4 4
3 3
3 3
2 2
2 2
1 1
1 1 Re
−5 −4 −3 −2 −−111 −22 −33 −44
1
2
3
4
Re
−5 −4 −3 −2 −−111 −22 −33 −44
1
2
3
4
433
9. Geometria analítica no plano e no esp
9.1 Problemas resolvidos Problema resolvido 9.1 No referencial ortonormado xOy da seguinte figura estão representadas uma circunferência e três retas. y
Sabe-se que: • a
circunferência é centrada no ponto A (−4, −2) e é tangente ao eixo dos xx ;
s
3 π; 4 • a reta s é perpendicular à reta r e contém o ponto A; • a
reta r passa na origem e tem inclinação
• a
reta t é horizontal e tangente à circunferência;
• o
ponto B resulta da interseção entre as retas r e
t.
3 4
π x
0 A
r B
t
9.1.1 Determine as equações reduzidas das retas r , s e t. 9.1.2 Determine a equação cartesiana da circunferência. 9.1.3 Represente por uma condição a área sombreada. 9.1.4 Determine a equação reduzida da mediatriz de [ AB ]. 9.1.5 Determine a amplitude do ângulo formado pelas retas r e t . Resolução: 9.1.1 Como a inclinação da reta r é 43 π então o seu declive é m = tg 34 π =
Nota teórica 2). Deste modo a equação reduzida da reta r é da forma y = −x + b com b ∈ R (ver Nota teórica 1). Como −1 (ver
460
Capítulo 9. Geometria analítica no plano e no espaço
o ponto (0 , 0) lhe pertence vem 0 = −0 + b ⇔ b = 0 e podemos concluir que a equação reduzida da reta r é y = −x. Como a reta s é perpendicular à reta r o seu declive é m⊥ = 1 e podemos concluir que a sua equação reduzida é da forma y = x + b com b ∈ R. Substituindo o ponto A(−4, −2) vem −2 = −4 + b ⇔ b = 2 e podemos concluir que a sua equação reduzida é y = x + 2. A equação reduzida da reta t é y = −4 porque é horizontal e contém o ponto ( −4, −4).
Nota teórica 1 — Equação reduzida da reta A reta que contém os pontos do plano A (x1 , y1 ) e B (x2 , y2 ) é definida pela condição y − y1 = m (x − x1 )
onde m =
y2 − y1 . x2 − x1
Se escrevermos esta equação na forma y = mx + b obtemos a equação reduzida da reta onde m é denominado por declive e b por ordenada na origem .
Nota teórica 2 — Inclinação de uma reta Consideremos uma reta r no plano. Dá-se o nome de inclinação da reta r ao menor ângulo não negativo que a reta faz com o semi-eixo positivo das abcissas. Se m é o declive de uma reta, a amplitude α da inclinação verifica a relação tg α = m com 0 ◦ ≤ α < 180◦ . Na figura seguinte estão representadas duas retas r e s com inclinações de 30◦ e 120 ◦ respetivamente. y s
r ◦
120
◦
30
0
9.1.2 Como o centro da circunferência é o ponto A(−4, −2) e o raio é 2 a sua equação cartesiana é
(x − (−4))2 + (y − (−2))2 = 22 ⇔(x + 4)
2
+ (y + 2) 2 = 4.
x
Nota teórica 3 — Equação da circunferência A equação cartesiana da circunferência de centro C (a, b) e raio r num referencial ortonormado X OY é (x − a)2 + ( y − b)2 = r 2 .
9.1.3 A região sombreada está acima ou na reta t, abaixo ou nas retas s e r e no exterior ou na circunferência. Por este motivo é definida por y ≥ −4 ∧ y ≤ x + 2 ∧ y ≤ −x ∧ (x + 4)2 + (y + 2) 2 ≥ 4.
9.1.4 A mediatriz de [ AB] é uma reta perpendicular à reta AB e que contém o ponto médio de [AB].
460
Capítulo 9. Geometria analítica no plano e no espaço
Nota teórica 6 — Propriedades do produto escalar A partir da definição de produto escalar de dois vetores podemos deduzir algumas das suas propriedades. Consideremos dois vetores não nulos u e v e recordemos que:
u · v = u × v × cos( u∧v) .
0 ou v = 0 então u · v = 0. Se u = São válidas as seguintes propriedades:
• Se u e v são vetores colineares então u · v = u × v se os vetores têm o mesmo sentido e u · v = − u × v se os vetores têm o sentidos contrários. 2
• u · u = u . = 0 ou v = 0 então u · v = 0 ⇔ u⊥v. • Se u
• Se u · v < 0 então u∧v é obtuso e se u · v > 0 então u∧v é agudo. • u · v = v · u, quaisquer que sejam u e v. • ∀k ∈
R, (k u)
· v = k (u · v), quaisquer que sejam u e v.
) = u · v + u·w quaisquer que sejam u, v e w . • u · (v + w
Problema resolvido 9.3 Na figura seguinte está representado num referencial ortonormado Oxyz um cubo de aresta 4 e uma pirâmide quadrangular regular com altura 4 . z
Sabe-se que:
E
• a base do cubo está centrada em O e que os seus lados são paralelos aos planos coordenados;
H
F
• os pontos da reta BC têm abcissa 2 ;
G
2
• os pontos da reta AB têm ordenada − 2.
−2 B
V
A
D
0 2
C
6
x
9.3.1 Determine as coordenadas dos vértices do sólido. 9.3.2 Determine as equações cartesianas das retas B H , F H e F G. 9.3.3 Determine uma equação do plano BCH . 9.3.4 Determine uma equação do plano mediador de [ GV ]. 9.3.5 Determine os valores reais de p tais que (a) o ponto P (3 − p, 2, 4) pertença ao plano BCH . (b) o plano de equação − 4x + 8y + (−1 + 2 p)z − 5 = 0 seja perpendicular à recta GV . (c) o plano de equação x + (3 + p)z + 1 = 0 seja perpendicular ao plano B CH . (d) a reta s definida pelas equações
x−6
4
=
3y − 2 = z seja perpendicular à reta B H . −6 p
y
9.1 Problemas resolvidos
461
9.3.6 Calcule os valores de α ∈ [ −π, π [ de modo que o ponto de coordenadas
5 , 0, sen (α − 3π) pertença ao plano BCH . 2
9.3.7 Escreva a equação cartesiana da superfície esférica de diâmetro [ EF ]. Resolução: 9.3.1 Temos A(−2, −2, 0), B (2, −2, 0), C (2, 2, 0), D (−2, 2, 0), E (−2, −2, 4), F (2, −2, 4), G (2, 2, 4), H (−2, 2, 4) e V (0, 6, 2).
9.3.2 No que se segue vamos utilizar os conceitos apresentados na Nota teórica 7. Relativamente à reta −−→
BH , como BH = H − B = (−2, 2, 4) − (2, −2, 0) = (−4, 4, 4) então as suas equações cartesianas são x−2
−4
=
y − (−2)
4
=
z − 0
4
⇔
x−2
−4
=
y + 2
4
=
z
4
.
−−→
Na reta F H , como F H = H − F = ( −2, 2, 4) − (2, −2, 4) = (−4, 4, 0) então as suas equações cartesianas são x−2 y − (−2) x−2 y + 2 = = ∧ z = 4 ⇔ ∧ z = 4.
−4
4
−4
4
−−→
Na reta F G, como F G = G − F = (2, 2, 4) − (2, −2, 4) = (0, 4, 0) então as suas equações cartesianas são x = 2 ∧ z = 4.
Nota teórica 7 — Equações cartesianas da reta no espaço Consideremos a reta que contêm o ponto A(a,b,c) e têm a direção do vetor v = (v1 , v2 , v3 ). Se nenhuma das coordenadas do vetor v for nula as suas equações cartesianas são
x−a y − b z − c = = . v1 v2 v3 Quando apenas uma das coordenadas do vetor é nula temos as seguintes possibilidades: v = (0, v2 , v3 ) v = (v1 , 0, v3 ) v = (v1 , v2 , 0) x−a z − c y − b z − c x−a y − b = y = b ∧ = = x = a ∧ z = c ∧ v1 v3 v2 v3 v1 v2 Nestes casos, a reta é paralela a um dos planos coordenados. Quando duas das coordenadas do vetor são nulas temos:
v = (0, 0, v3 )
v = (v1 , 0, 0)
v = (0, v2 , 0)
x = a ∧ y = b
y = b ∧ z = c
x = a ∧ z = c
Nestes casos, a reta é paralela a um dos eixos coordenados.
9.3.3 Considere a Nota teórica 8. Vamos começar por determinar um vetor n = (a,b,c) que seja −−→ −−→
perpendicular aos vetores BC e BH . −−→ Como BC = C − B = (2, 2, 0) − (2, −2, 0) = (0, 4, 0) e −−→ BH = H − B = (−2, 2, 4) − (2, −2, 0) = (−4, 4, 4) então vem
−−→ −−→
n · BC = 0 n · BH = 0
⇔
(a,b,c) · (0, 4, 0) = 0 ⇔ (a,b,c) · (−4, 4, 4) = 0
4b = 0 ⇔ −4a + 4 b + 4c = 0
b = 0 c = a
Podemos concluir que n = (a, 0, a) onde a ∈ R \ {0}. Se a = 1 vem n = (1, 0, 1) e temos que o plano BCH é da forma x + 0y + z + d = 0 onde d ∈ R.
484
Capítulo 11. Funções Translação vertical: y = f (x) + k
Translação horizontal: y = f (x − k )
Simetria em relação a Ox e a Oy : y = f (−x) e y = −f (x) y
y
y
y = f (x) + 2
y = f (−x)
y = f (x + 2)
y = f (x)
y = f (x)
y = f (x) y = f (x − 1)
x
0 y = f (x) − 1
x
0
Dilatação/contração vertical: y = kf (x) y
x
0
y = − f (x)
Dilatação/contração horizontal: y = f (kx) y
y = 2f (x)
Gráfico de y = | f (x)| y
y = f (2x) y = | f (x)|
y = f (x) y =
0
1 2
y = f (x)
f (x)
0
x
y = f
1 2
x
0
x
y = f (x)
x
Problema resolvido 11.2 — Exame Seja f a função real de variável real cujo gráfico é y
x
0
(A) Um gráfico de y = f (−x) é
(B) Um gráfico de y = − f (x) é
y
y
x
0
(C) Um gráfico de y = f (−x) é
(D) Um gráfico de y = − f (x) é
y
0
x
0
y
x
0
x
13.1 Problemas resolvidos
519
esse motivo, começando o primeiro intervalo 1 unidade antes de xmin = 7, vamos ter o limite superior do último intervalo igual a xmax + 1 = 96. Classificação [6, 24[ [24, 42[ [42, 60[ [60, 78[ [78, 96[ Total
f i
F i
f ri
F ri
3 6 11 7 3 30
3 9 20 27 30
0.1 0.2 0.37 0.23 0.1 1
0.1 0.3 0.67 0.9 1
13.2.2 Nos
gráficos seguintes estão representados os histogramas das frequências absolutas (esquerda) e frequências relativas acumuladas (direita).
1 12 a t u l o 9 s b a a i c n ê u 6 q e r F
a d a l u 0.8 m0.75 u c a a v i t 0.6 a l e r 0.5 a i c n 0.4 ê u q e r F0.25
Polígono das frequências absolutas
3
Polígono das frequências relativas acumuladas
0.2
6
24
42 M 60 o
78
96
6
24 Q1 42 Q2 60 Q3 78 96 Classificações no teste (max 100)
Classificações no teste (max 100)
Podemos observar no gráfico da esquerda que a classe modal é [46, 60[ uma vez que este intervalo corresponde à coluna de maior frequência absoluta. Uma aproximação geométrica para a moda é 53 uma vez que o ponto assinalado no eixo horizontal como M o localiza-se pouco depois do ponto médio da classe modal. No gráfico da direita podemos observar as seguintes aproximações para os quartis: Q1 ≈ 38, Q 2 ≈ 56 e Q3 ≈ 66. 13.2.3
6
13.2.4 Vamos
24
Q1
42
Q2
60
Q3
78
96
acrescentar à tabela obtida em 13.2.1 a marca de classe de cada intervalo. Note-se que
14.2 Exame modelo 2
14.2
535
Exame modelo 2 GRUPO I
Na resposta aos itens deste grupo, selecione a opção correta. Escreva, na folha de respostas, o número do item e a letra que identifica a opção escolhida.
1. Um saco contém cartões com 15 números pares e 18 números ímpares todos distintos.
De quantas maneiras se podem selecionar 6 cartões com números pares e 5 cartões com números ímpares, para colocar ao lado uns dos outros, de modo a que os números pares fiquem por ordem crescente (juntos ou separados) e os números ímpares por ordem decrescente (juntos ou separados)? (A)
15
C 6
×
18
(B)
C 5
33
(C)
C 11
15
18
×
C 6
11
×
C 5
(D)
C 6
15
18
×
A6
A5
2. A tabela de distribuição de probabilidades de uma certa variável aleatória X é:
xi
−2
−1
0
1
6
P (X = x i )
2b
a
b
3a
b
Qual é o valor do valor médio de X ? 1 1 (A) (B) 2 3 3. Considere as constantes reais a, b
(C) 1 +
∈ R \ {1} e c ∈ R loga c =
1 c+1
+
e
(D)
1 4
tais que logb c =
3 . c + 3
Qual das seguintes expressões é igual a log c a2 2 logc b3 ? 1 54 4 (A) 4 c + 8 (B) (C) c + 2 2 3 (c + 1) (c + 3) 3
−
(D)
−
4. Considere a sucessão de termo geral u n =
e−n
Qual das seguintes expressões pode ser f (x)? (A) f ( x) =
(C) f (x) =
3x + 7 ex+2 x+2
2
−2
−4
− 2n e a função f de domínio R \ {−2} tal que lim f (u
n
n
se x < se x >
−2 −2
(B) f (x) =
−
) = 2.
2sen(4x + 8) 2+ x
(D) f (x) =
ln(x + 3) 2 x+2 y
5. Na Figura 1, está representado num referencial ortonormado xOy parte do gráfico da função definida por y = cos x + 1 e o triângulo [ABC ].
Sabe-se que:
f B
1 os pontos A e B têm ordenadas iguais a ; 2 a reta AC é normal ao gráfico de f no ponto A ;
• • • a reta B C é normal ao gráfico de f no ponto B ;
A
−π
π
O C
Qual das seguintes afirmações é falsa?
Figura 1 4π (A) A área do triângulo [ ABC ] é 3
(C) tg ABC = 2tg
π
6
− √ 1 2
4 3 π 9
−→ · −−→ − 8 π 9 −→ −→ (D) AB · CA < 0 (B) AB BC =
2
x
