GRANIČNO STANJE UPOTREBLJIVOS UPOTREBLJIVOSTI TI
Upotrebljivost može biti narušena kroz: •Velike prsline; •Prevelike deformacije, progibe; •Štetne vibracije; •Prodor vlage i vode; •Koroziju armature; •Habanje betona; •Požar Da bi se osigurala upotrebljivost konstrukcije prema EC2 provode se slijedeći dokazi: •Ograničenje naprezanja •Ograničenje prslina •Ograničenje deformacija Dokaz graničnog stanja upotrebljivosti provodi se za kvazistatičko opterećenje , u skladu sa EC2.
1.Ograničenje širine prslina
Cilj proračunske analize elementa je da se širina prslina u betonu ograniči tako da konstrukci cija ja im imaa potreb ebnnu upotre rebbljijivvost i trajnost. Beton je materijal koji ima veoma malu zateznu čvrstoću. Za potrebe proračuna armiranobetonskih i prednapregnutih betonskih konstrukcija koriste se karakteristične vrijednosti zatezne čvrstoće prema EC2, 3.1.2.3: f cm
= 0,30 ⋅ f ck (2/3)
f ctk;0,05
= 0,70 ⋅ f ctm
f ctk;0,95
= 1,30 ⋅ f ctm
fctm – sred srednja nja vrijed vrijednos nostt zatezn zateznee čvrstoće fck – ka kara rakte kteri risti stična čvrstoća na pritisak cilindra fctk, fc tk,0. 0.05 05 – don donja ja gr grani anična vrijednost čvrstoće na zatezanje cilindra (5%-fraktil) fctk fc tk,,0. 0.95 95 – go gorn rnja ja gra grani nična vrijednost čvrstoće na zatezanje cilindra (95%-fraktil)
Otvaranje prslina kroz vezivanje betona Prsline u ranoj fazi – vezivanje betona - mala zatezna cvrstoca
U cilju sprečavanja otvaranja ranih prslina poduzimaju se određene tehnološke mjere kao što su: •Upotreba agregata sa niskim sadržajem finih čestica; •Manja količina cementa → manja toplina hidratacije; •Upotreba cementa sa razvojem manje topline hidratacije (npr. cement sa dodatkom letećeg pepela); •Mali vodocementni faktor; •Njega betona neposredno nakon ugradnje, kroz održavanje vlažnosti u periodu vezivanja.
Mehanizam otvaranja prslina
Armiranobetonski štap u naponskom stanju I
Armiranobetonski štap u naponskom stanju II (otvaranje prve prsline)
Armiranobetonski štap u naponskom stanju II (otvorene prsline)
Prva prslina otvara se u trenutku dostizanja zatezne čvrstoće betona: N N = ≤ f ct ⇒ Nc, t = f ct ⋅ [A c + (α e − 1) ⋅ A s ] σ ct = A c + (α e − 1) ⋅ A s Ai
(7-4)
Naprezanje armature prije otvaranja prsline (naponsko stanje I) je: σs
I
= αe ⋅ σ ct = α e ⋅ f ct
(7-5)
Naprezanje armature nakon otvaranja prve prsline (naponsko stanje II) je: N II σ s = R As Sila zatezanja NR nakon otvaranja prve prsline dobija se iz uslova ravnoteže: N R = f ct ⋅ A i = f ct ⋅ [A c + (α e − 1) ⋅ A s ] Ako sa ρ ct
= A s /A ct
otvaranja prslina: N II σ s = R As
=
(7-6)
(7-7)
označimo stepen armiranja betonskog presjeka, dobija se izraz za naprezanje u armaturi nakon f ct ⋅ Ai As
=
f ct ⋅ Ai ρ ct ⋅ A ct
≈
f ct ρ ct
Iz izraza (7-8) možemo odrediti potrebnu površinu armature: f ⋅ A i f ⋅ A A II ⇒ A s = ct II i = 1,0 ⋅ f ct ⋅ ctII σ s = ct As σs σs (za centrično zatezanje može se usvojiti Ai ≈ Act)
(7-8)
(7-9)
Armiranobetonski štap opterećen na savijanje Prva prslina javlja se na mjestu maksimalnog momenta dostizanjem zatezne čvrstoće betona. Skok naprezanja u armaturi na mjestu prsline je manji nego kod štapa opterećenog na centrično zatezanje. Prije otvaranja prve prsline važi: M M (7-10) σ ctI = σ sI = α e ⋅ σ ctI = ≤ f ct 2 W b ⋅ h /6 odnosno, I M cr (7-11) = f ct ⋅ b ⋅ h 2 /6 Nakon otvaranja prve prsline naprezanje armature je: σ sII
=
M cr z ⋅ As
=
f ct ⋅ b ⋅ h 2 /6 z ⋅ As
≈
f ct ⋅ b ⋅ h 2 6 ⋅ 0,85 ⋅ h ⋅ As
=
f ct ⋅ A c ⋅ h 6 ⋅ 0,85 ⋅ h ⋅ As
= 0,196 ⋅
f ct ρ ct
≈ 0,2 ⋅
f ct ρ ct
(7-12)
što odgovara minimalnom procentu armiranja na savijanje prema EC2. Iz izraza (7-12) može se odrediti potrebna armatura, f ct ⋅ A c A As = ≈ 0,20 ⋅ f ct ⋅ IIc II 6 ⋅ 0,85 ⋅ σs σs Ako armaturu izrazimo u funkciji od zategnute zone betona ( A ct možemo napisati: A s
≈ 0,40 ⋅ f ct ⋅
(7-13)
≈ A c /2 ) izraz (7-13)
A ct σ sII
Prethodni izraz odgovara izrazu za minimalni procent armiranja, EC2, 4.78: A s = k c ⋅ k ⋅ f ct,eff ⋅ A ct /σ s
(7-14)
(7-15)
Iz prethodnih izraza je vidljivo da potrebna površina armature zavisi od raspodjele naprezanja u poprečnom presjeku.
As k c k
f ct,eff
– potrebna površina zategnute armature - faktor kojim se uzima u obzir raspodjela naprezanja u popre čnom presjeku pri prve prsline (k c = 1,0 za čisto zatezanje, k c = 0,4 za čisto savijanje) - faktor kojim se uzima u obzir nelinearna raspodjela vlastitih naprezanja k = 0,8 – za pravougaone popre čne presjeke visine h ≤ 30cm k = 0,5 – za pravougaone popre čne presjeke visine h ≥ 80cm - efektivna čvrstoća na zatezanje betona u trenutku otvaranja prve prsline
Ograničenje kosih prslina osigurano je kroz ograničenje dopuštenog rastojanja uzengija prema EC2, dio 5.4.2.2, odnosno kroz minimalni stepen armiranja smičućom armaturom. Maksimalan razmak uzengija smax je: VSd ≤ 0,2 VRd2 0,2 VRd2
≤ VSd ≤ 2/3 VRd2 VSd > 2/3 VRd2
s max s max s max
= 0,8d ≤ 300mm = 0,6d ≤ 300mm = 0,3d ≤ 200mm
Stepen armiranja smičućom armaturom je: ρ w
= A sw /(s ⋅ b w ⋅ sinα)
Tabela 7-2: Minimalna vrijednost ρ w (EC2, tabela 5.5)
Klasa betona
Klasa armature S 220
C12/15 i C20/25 C25/30 i C35/45 C40/50 i C50/60
0,0016 0,0024 0,0030
S 400
0,0009 0,0013 0,0016
S 500
0,0007 0,0011 0,0013
(7-16)
Razmak prslina porast naprezanja u armaturi = sila zatezanja u betonu na mjestu otvaranja prsline: ∆Fs = A s ⋅ ∆σs = A c ⋅ σ ct (7-17) gdje je: ∆Fs – porast sile u armaturi kroz otvaranje prsline ∆σs = σ sr − σ s - povećanje naprezanja u armaturi kroz otvaranje prsline σct – naprezanje na zatezanje betona neovisno od otvaranja prslina Uz pretpostavku konstantnih napona prianjanja na cijeloj dužini unosa sile l e vrijedi : π⋅
Φ2 4
⋅ ∆σs = π ⋅ Φ ⋅ lE ⋅ f bd
(7-18)
gdje je: Φ2 π⋅ = A s - površina armature 4 π ⋅ Φ ⋅ lE ⋅ f bd = ∆Fs π ⋅ Φ ⋅ l E - kontakt površina izme đu betona i armature f bd – napon prianjanja, koji je prema EC2, f bd
= (2,25 ⋅ f ctk;0,05 )/γ c = (2,25 ⋅ 0,7 ⋅ f ctm )/γ c = (2,25 ⋅ 0,7 ⋅ 0,3f ck 2/3 )/γ c
(7-19)
Tabela 7-3:Prorač unska vrijednost napona prianjanja f bd kod dobrih uslova prianjanja (EC2, tabela 5.3) u MPa 12 16 20 25 30 35 40 45 50 f ck glatka šipka 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 rebrasta šipka Φ≤32mm, 1,6 2,0 2,3 2,7 3,0 3,4 3,7 4,0 4,3 armaturna mreža Iz izraza (7-18) dobije se izraz za dužinu uvo đenja sile u beton: ∆σ s Φ lE = ⋅ f bd 4
(7-20)
Zamjenom porasta naprezanja u armaturi sa vrijednoš ću naprezanja na granici razvla čenja ∆σs = f yd dobije se poznati izraz za dužinu ankerisanja l b: f yd Φ l b = (7-21) ⋅ f bd 4
Ograničenje širine prslina prema EC2
Proračun širine prslina usljed naprezanja od vanjskog opterećenja provodi se u skladu sa EC2 za kvazistatički slučaj opterećenja (EC2, 4.4.2.1). Primjeri uslova okoline Klasa okoline 1. Suha okolina 2. Vlažna okolina
Unutrašnje prostorije stanova i biroa Unutrašnje prostorije sa velikim procentom a bez vlage (vešeraj), vanjski elementi, elementi u mraza neagresivnom tlu i/ili u vodi Vanjski elementi izloženi mrazu, elementi u b sa neagresivnom tlu i/ili u vodi, unutrašnji mrazom elementi u visokom procentu vlage. 3. Vlažna okolina sa mrazom i Vanjski elementi izloženi mrazu I efektu efektom rošenja rošenja. 4. Uticaj morske soli U područ ju prskanja vodom, ili elementi a bez uronjeni u more kod kojih je jedna površina mraza izložena zraku. Zrak zasićen slanim isparenjima. U područ ju prskanja vodom, ili elementi b sa uronjeni u more kod kojih je jedna površina mrazom izložena zraku. Zrak zasićen slanim isparenjima. Naredne klase mogu se svrstati kao zasebne ili u kombinaciji sa gore pomenutim klasama: 5. Agresivna hemijska okolina Slabo agresivna okolina a Srednje agresivna sredina b Jako agresivna sredina c
Ukoliko nisu dati posebni zahtjevi važe slijede će smjernice za dopuštenu ra čunsku širinu prslina wk,dop : - armirani beton u suhoj okolini wk,dop ≤ 0,40mm - armirani beton na otvorenom wk,dop ≤ 0,25mm - prednapregnuti beton 0,20mm k,dop ≤ w - rezervoari za vodu wk,dop ≤ 0,10mm
aštita armature od korozije
Zaštita armatura od korozije mora se ostvariti okolnim betonom. Pri tome armatura terba biti obavijena zaštitnim slojem betona dovoljne debljine u zavisnosti od uslova okoline. Minimalna vrijednost minc data je u EC2, tabela 4.1 i 4.2. Tabela 7-5:Zahtjevi u pogledu zaštitnog sloja betona za normalan beton (EC2, dio 1:Tabela 4.2)
2) Kod pločastih elemenata može se umanjiti za 5mm za klasu okoline 2-5 3) Nadalje se može smanjiti za još 5mm ukoliko je klasa čvrstoće betona C40/50 i veća, i to za armirani beton u okolini klase 2a do 5b i za prednapregnuti beton u okolini klase 1 do 5b. U svakom slučaju zaštitnis loj betona ne smije biti manji od propisanog za klasu okoline 1. 4) Za klasu okoline 5c mora se primjeniti površinska zaštita betona, kako ne bi došlo do direktnog kontakta sa agresivnom materijom.
Nominalna vrijednost zaštitnog sloja betona je: nom c = min c + ∆h
(7-22)
Prora čun širine prsline wk ra čunske
w k = β ⋅ s rm ⋅ ε sm β
srm εsm
- faktor usklađivanja, koji predstavlja odnos izme đu računske vrijednosti i srednje vrijednosti širine prslina. Ovim faktorom se usklađuju razlike između teorije i prakse. Kod naprezanja usljed spriječ enih prinudnih deformacija zavisno od minimalne visine presjeka h faktor usklađ ivanja je: β = 1,3 za h ≤ 30cm β = 1,7 za h ≥ 80cm β = 1,3 za naprezanje od vanjskog opterećenja – srednji razmak prslina nakon završetka mehanizma otvaranja prslina – srednja dilatacija armaturnog čelika
(7-24)
2 σ sr ⋅ 1 − β1 ⋅ β 2 ⋅ ε sm = ε srm + Es σs
σs
εsrm β1
β2
σs
– srednja dilatacija armature pod mjerodavnim opterećenjem uz uzimanje u obzir nosivosti na zatezanje betona između prslina, skupljanja itd. - koeficijent kojim se uzima u obzir uticaj svojstava prionljivosti armaturnih šipki na srednju dilataciju i iznosi: β1 = 1,0 – za rebraste šipke β1 = 0,5 – za glatke šipke - koeficijent kojim se uzima u obzir vrsta opterećenja i njegovo trajanje: β2 = 0,5 – za dugotrajna i često promjenljiva opterećenja β2 = 1,0 – za kratkotrajna opterećenja – naprezanje na zatezanje armature za mjerodavnu kvazi-statičku kombinaciju opterećenja
s rm
k 1
= 50 +
0,25 ⋅ k 1 ⋅ k 2
⋅Φ
ρ r
– koeficijent koji opisuje svojstva prionljivosti za rebraste šipke k 1 = 0,8 za glatke šipke k 1 = 1,6 k 2 - koeficijent kojim se uzima u obzir uticaj raspodjele dilatacije u presjeku na rastojanje prslina za čisto savijanje k 2 = 0,5 za centrično zatezanje k 2 = 1,0 za ekscentrično zatezanje k 2 = 0,5(ε1+ε2)/ε1 Pri čemu je ε1 veća, a ε2 manja dilatacija zatezanja na rubovima promatranog presjeka, koje se određuju za ispucali presjek. Φ - promjer armaturne šipke ρr = As/Ac,eff – efektivni stepen armiranja, gdje je As površina armature unutar efektivne zategnute površine betonskog presjeka Ac,eff
Ograni čenje progiba
dopw = leff/250 ili dopw = leff/250 (predprogib) + leff/250 = leff/125
Dokaz progiba može se provesti kroz: Ograničenje vitkosti na savijanje leff /d o «Tačan» proračun progiba uz uzimanje u obzir nelinearnog ponašanja materijala i o vremenski zavisnih deformacija (puzanje i skupljanje), pomo ću tabela ili računarskih programa.
Ograni čenje vitkosti na savijanje
f =
5 384
dop σ =
⋅
4 q ⋅ l eff
E⋅I
M
=
5 48
⋅
q ⋅ l 2eff 8
⋅
4 l eff
E⋅I
=
5 48
⇒ maxM = dop σ ⋅ W ⇔
W
2 maxM l eff f = ⋅ = ⋅ 48 I E
5
⋅
2 maxM leff
I
maxM I
⋅
E
= dop σ ⋅
2 2 l ⋅ dop σ ⋅ ⋅ eff ⇔ 48 h E
5
f l eff
b ⋅ h 2 ⋅ 12
= dop σ ⋅
6 ⋅ b ⋅ h l eff 5 3
=
2 h 2
l
⋅ ⋅ dop σ ⋅ = k ⋅ eff h 48 E h
l eff
f l 1 l l 1 , slijedi = eff = = k ⋅ eff ⇔ eff ≥ leff 250 ⋅ l eff 250 h h 250 ⋅ k 250 Progib armiranobetonskog elementa utvr đuje se za element sa prslinama.
Sa dop f =
Vrijednosti u tabeli vrijede samo za standardne slu čajeve. Vrijednosti iz tabele se umanjuju u slijede ćim slučajevima: o pregradni zidovi sa l eff > 7,0m 7,0/leff o ravne ploče sa l eff > 8,5m 8,5/leff o T grede sa beff /bw > 3 0,8 o Kod naprezanja armature σs > 250N/mm2 250/σs Približno se σs može odrediti iz izraza: 250 400 A s, prov = ⋅ σs f yk A s, req odnosno, Fs
= σs ⋅ A s =
M
=
M
(7-30)
=
M
(7-31) 0,9 ⋅ d ⋅ A s z 0,9 ⋅ d Pri tome treba voditi računa da raspodjela naprezanja za stanje eksploatacije ne odogovara raspodjeli naprezanja za grani čno stanje nosivosti. Stoga se izraz (7-31) može koristiti samo kao približna vrijednost koja se dopušta samo kod pojednostavljenog postupka ograničenja progiba. U stanju eksploatacije krak unutrašnjih sila može se odrediti pomo ću izraza: x (7-32) z II = d − 3 gdje je: As E x = d [2 + α e ⋅ ρ ] ⋅ α e ⋅ ρ − α ⋅ ρ (ρ = (7-33) ; αe = s ) b ⋅ d Ec ⇒ σs
)
betona u stanju eksploatacije ne odgovara dijagramu parabola+pravougaonik, koji se koristi za
Ta čan prora čun progiba
Maksimalan progib može se odrediti prema izr azu: Mq 2 1 1 1 f = k ⋅ l eff ⋅ ; = w' ' ; = r tot r r q E c, eff ⋅ I gdje je: k – koeficijent koji uzima u obzir raspodjelu momenata
Ukupno krivljenje poprečnog presjeka može se odrediti prema izrazu: 1 r tot
1 = + r sav
r cs 1
Stanje
I
1 + + r sav
r cs 1
Stanje
II
gdje je: r sav – krivljenje poprečnog presjeka usljed momenta savijanja r cs – krivljenje poprečnog presjeka usljed puzanja i skupljanja
Proračunski se tretiraju dva grani čna slučaja: o Neispucali presjek (Stadij I): elasti čno ponašanje materijala o Potpuno ispucao presjek (Stadij II): Beton ne preuzima nikakvu silu zatezanja. Stvarno ponašanje betonskih konstruktivnih elemenata je između ova dva granična slučaja.
Krivljenje usljed vanjskog opterećenja ∑F
h
=0
Fs
= Fc
⇒
εs ⋅ E s ⋅ A s
εs
Iz geometrijskih odnosa slijedi, ε co
⋅ (d −
x
2 ⋅ (d
(ρ
=
x) ⋅ E s ⋅ A s
− x) ⋅ As
Es Ec
x
αe
b
=
ε co
=x
⋅ E c ⋅ b ⋅
ε co
→ εs =
⇒
(d
−
x) ⋅ E s ⋅ A s
=
2 ⋅ (d
−
x) ⋅ α e ⋅ ρ l ⋅ d
=
= d ⋅ (α e ⋅ ρ l ) 2 + 2 ⋅ α e ⋅ ρ l − α e ⋅ ρ l ⋅ d
= d ( [2 + α e ⋅ ρ ]⋅ α e ⋅ ρ − α e ⋅ ρ ) =
d
−
x 3
Za čisto savijanje vrijedi: M
= Fs ⋅ z II = A s ⋅ E s ⋅ ε s ⋅ z II
Iz geometrijskih uslova je, odnosno, 1 r II
=
εs (d
−
x)
=
⇒
1 r II
M A s ⋅ E s ⋅ z II
=
ε co
x
x
Es
Krak unutrašnjih sila je: z II
2
−x
2
⇒
2
=
x
d
) b ⋅ d Ec Rješenja kvadrati čne jednačine su: 2 ⋅ αe ⋅ρl ⋅ d ± (α e ⋅ ρ l ⋅ d) 2 + 2 ⋅ α e ⋅ ρ l ⋅ d 2 x 1,2 = − 2 x 1,2
;
⋅
As
=
= ε co ⋅ E c ⋅ b ⋅
εs (d
−
x)
M z II ⋅ A s ⋅ E s ⋅ (d
−
x)
=
εs
⋅ (d − x)
x
E S ⋅ b x
2
⋅
x2 2
Krivljenje usljed puzanja i skupljanja Krivljenje usljed puzanja i skupljanja javlja se zbog spriječenog skraćenja betona ugrađenom armaturom. Uz uzimanje jednolikog, nesprije čenog skraćenja usljed skupljanja po visini presjeka dobije se u armaturi sila pritiska Fcs = ε cs ⋅ E s ⋅ A s gdje je: εcs – dilatacija armature usljed puzanja i skupljanja betona
Moment u odnosu na neutralnu os je: M cs Za naprezanje na savijanje važi: 1 εs M r cs, II tj.
1 r cs, II
=
=
(d − x)
=
z II ⋅ A s ⋅ E s ⋅ (d − x)
ε cs ⋅ A s ⋅ E s ⋅ (d − x) z II ⋅ A s ⋅ E s ⋅ (d − x)
=
ε cs z II
= Fcs ⋅ (d − x) = ε cs ⋅ Es ⋅ As ⋅ (d− x)
(7-47)
(7-48)
(7-49)
Kod presjeka armiranog armaturom u više slojeva izraz (7-49) transformiše se u oblik: ε ⋅ (Asi ⋅ z si ) 1 = cs (7-50) r cs, II z II ⋅ A s ⋅ (d − x)
∑ ∑
Primjer – dokaz prslina Armatura RA 400/500 : f yd
=
f yk γs
=
400 1,15
= 347,8N/mm2
Es
= 200000N/mm 2
Beton C 35/45 : f cd
=
f ck
=
35
γ s 1,5 2 f ctk,0.05=2,2 N/mm Ecm=33500 N/mm2 α=1,0
Zadano je:
= 23,3N/mm2 f ctm=3,2 N/mm2
b=0,60 m bw=0,25 m
Stalno opterećenje: Pokretno opterećenje:
h=0,80 m hf =0,15 m q=(0,60·0,15+0,60·0,25)·25=6,31 kN/m q1=15 kN/m ψo=0,7 ψ1=0,5 q2=20 kN/m ψo=0,7 ψ1=0,5
ψ2=0,3 ψ2=0,3
Visina pritisnute zone: x= ξ·d=0,160·0,75=0,120 m ⇒
0,120 m
Popreč ni presjek se dimenzionira kao pravougaoni presjek. Kontrola deformacije armature: ξ −1 0,160 − 1 ε s = −3,5 ⋅ = −3,5 ⋅ = 18,38 % 0 ξ 0,160 Krak unutrašnjih sila:
> ε yk,0.95 = 3,36 % 0 < ε su = 50,0 % 0
ζ=1-0,4·ξ=1-0,4·0,160=0,936 Potrebna armatura : M sd 0,943 = ⋅ 10 4 pot.A s,f = ζ ⋅ d ⋅ f yd 0,936 ⋅ 0,75 ⋅ 347,8 Minimalno potrebna armatura prema EC2: 0,60 ⋅ b t ⋅ d 0,60 ⋅ 0,25 ⋅ 0,725 = ⋅ 10 4 A s,min > f yk 400
A s,min
= 38,62 cm 2 ⇒ usv.5Φ32 (40,21 cm 2 )
= 2,72 cm 2
> 0,0015 ⋅ b t ⋅ d = 0,0015 ⋅ 0,25 ⋅ 0,725 ⋅ 10 4 = 2,72 cm 2 < 28,27 cm 2
Maksimalna površina armature prema EC2: As,max=0,04·Ac=0,04·(0,60·0,15+0,25·0,65)·104=101,0 cm2>28,72 cm2 7.4.1.3 Kombinacije opterećenja za granično stanje upotrebljivosti (SLS) Česta kombinacija M često
= ∑ j M G, j + ψ1,1 ⋅ M Q,1 + ∑i >1 ψ 2,i ⋅ M Q
7.4.1.2 Dimenzioniranje na savijanje (ULS) Osnovna kombinacija: M sd
=∑
γg ⋅ Mg
+ γ g ⋅ M q,1 + ∑i>1 γ q ⋅ ψ 0,i ⋅ M q,i
Msd=1,35·14,0·6,31+1,50·18,0·20,0+1,50·0,70·18,0·15,0=942,76 kNm ≡0,943 MNm Msd=1,1·18,0·6,31-0,90·4·6,31+1,50·18,0·20,0+1,50·0,70·18,0·15,0 =925,72 kNm ≡0,926 MNm<0,943 MNm Dimenzioniranje pomoću blok dijagrama na prezanja: M sd 0,943 = = 0,120 µ Sd = α ⋅ f cd ⋅ b ⋅ d 2 1,0 ⋅ 23,30 ⋅ 0,60 ⋅ 0,75 2
Mčesto=14·6,31+0,50·18,0·20,0+0,30·18,0·15,0=349,34 kNm ≡0,349 MNm
Kvazi-stalna kombinacija M kvazi-stalno
= ∑ j M g, j + ∑i≥1 ψ 2,i ⋅ M q,i
Mkvazi-stalno=14·6,31+0,30·18,0·(20,0+15,0)=277,34 kNm ≡0,277 MNm
7.4.1.4 Određivanje širine prslina Određuje se prema izrazu (7-23): Wk =β·ε ·s
Wdole
=
I ideal. h − e ideal.
=
0,0183 0,8 − 0,36
= 0,042m 2
3
Mr,m=f ctm·Wdole=3,2·10 ·0,042≈134,4 kNm≡0,1344 MNm Da bi se dobila deformacija u armaturi usljed momenta Mr,m za stadij I, potrebno je odrediti moment otpora presjeka u nivou težišta armature. I ideal 0,0183 = = 0,0488 m 3 Warmature = h − e ideal − 0,075 0,8 − 0,35 − 0,075 Napon u betonu u nivou težišta armature: M r,m 0,1344 σ c,sr1 = = = 2,75 MN/m 2 Warmature 0,0488 Deformacija betona u noviu težišta armature pod dejstvom momenta otvaranja prsline: σ c,sr1 2,75 = = 0,0000822 = 0,0822% 0 ε sr,1 = Ec 33500 Nakon što se otvore prsline slika deformacija se mijenja. Neutralna os prolazi kroz težišnicu idealnog poprečnog presjeka.
7.4.1.4.1 Srednja dilatacija armature εsm Srednja dilatacija armature odre đuje se prea izrazu: εsm=εs2-βt·∆εr gdje je: βt – koeficijent koji uzima u obzir trajanje optere ćenja βt=0,4 - za kratkotrajno opterećenje βt=0,25 – za dugotrajno ili često promjenjivo opterećenje
x II
α ⋅ A = s s b
x II
f
x II
=
h f
⋅ − 1 +
r
∆εr =εsr2-εsr1 εsr1 – dilatacija armature usljed momenta prsline za stadij I (popre čni presjek bez prslina) εsr2 - dilatacija armature usljed momenta prsline za stadij II (popre čni presjek sa prslinama)
2 ⋅ b ⋅ d
−4 = 5,97 ⋅ 40,21 ⋅ 10 α s ⋅ A s 0,6
− k 2 +
k 2
2
+ b w ⋅ (2 ⋅ d ⋅ A e + h f ⋅ k 1 ) b w
= d −
k 1 ⋅ h f ⋅ 3 − 2 ⋅
h f
+ b w ⋅ x II 2
x II
h 3 ⋅ b w ⋅ x II + k 1 ⋅ 2 − f x II
Uz uvođenje odnosa: αs=Es/Es; Ae=αs·As; k 1=hf ·(b-bw); k 2=Ae+k 1 xII=0,208 m ZII=0,660 m
Moment mjerodavan za prora čun širine prslina: Mr,m=f ctm·Wzat.vlakna
Napon u armaturi nakon otvaranja prslina je: M r,m 0,1344 = = 50,64MN/m 2 σ sr2 = Z II ⋅ A s1 0,660 ⋅ 40,21 ⋅ 10 − 4 Deformacije u armaturi nakon otvaranja prslina je: σ 50,64 = 0,0002532 ε sr2 = sr2 = Es 200000 Deformacije pri prelasku iz stadija I u II ∆εr =εsr2-εsr1=0,0002532-0,0000822=0,000171
Određivanje idealnog popre čnog presjeka u stadiju bez prslina (stadij I) 0,60
y As2
Ac1 Ac2
5 1 , 0
. l a e d i
e
As1=40,21 cm αs
=
e ideal.
5 6 , 0
Es Ec
=
2
200000 33500
= 5,97
∑ A ⋅ e = 98425,9 = 36,12cm ≈ 0,36m ∑ A 2724,84 = ∑ I + ∑ A ⋅ e − e ⋅ ∑ A = 0,0183m =
i
i
i
As1
I ideal.
2
i
i
i
2 ideal.
i
2
⋅ − 1 +
= 0,15m ⇒ primjenjuju se izrazi za gredu ''T'' presjeka:
z II
1+
Deformacije u armaturi za „čisti“ stadij II
1+
2 ⋅ 0,60 ⋅ 0,725 5,97 ⋅ 40,21 ⋅ 10
−4
= 0,2m
σ s2,qs
=
ε s2,qs =
M kvazi−stalno Z II ⋅ A s σ s2
0,277 0,660 ⋅ 40,21 ⋅ 10 − 4
= 104,38MN/m2
104,38
= 0,000522 Es 200000 Deformacija u armaturi usljed Mčesto: M često 0,349 σ s2,h = = = 131,51MN/m 2 Z II ⋅ A s 0,66 ⋅ 40,21 ⋅ 10 − 4 ε s2,h
=
=
=
131,51 200000
= 0,000658
εs2=εs2h=εs2,qs+εs2,∆M εs2,∆M=0,658-0,522=0,136%0 ε s2,qs 0,522 udio Mkvazi-stalno u εs2: = ε s2 0,658 udio ∆M u εs2:
ε s2,∆M ε s2
=
0,136 0,658
= 0,793%0
= 0,207% 0
εsm=εs2-βt·∆εr =0,000658-0,793·0,25·0,000171-0,207·0,25·0,000171=0,000615
7.4.1.4.2 Srednje rastojanje prslina s rm Srm=50+0,25·k 1·k 2·Ø/ρr (mm) Ac,eff.=2,5·(80-72,5)·25=469 cm2 ρ r
=
40,21 469,0
Ac,eff
= 0,0857
Srm=50+0,25·0,8·0,5·32 / 0,0857=87,65 mm bw
Računska vrijednost širine prsline je: Wk =β·εsm·Srm β=1,7 β=1,3
prsline usljed opterećenja prsline usljed spriječenih pomaka
Wk =1,7·0,000615·0,08765=0,0000916 m=0,0916 mm W =0,3
normalne AB konstrukcije
) d h ( 5 , 2
Primjer – dokaz progiba
Materijal: Beton C20/25 f ck = 20 N/mm2 f ctm = 2,2 N/mm2 Ecm = 29000 N/mm2 Armatura Es = 200000 N/mm2
Presječne sile: Opterećenje na gredu je: q stalno = 10,0kN/m ⇒ Msd, stalno = 65kNm Krivljenje neispucalog presjeka u sredini raspona 1/rI M cr = (f ctm bh 2 )/6 = 2,2 ⋅ 0,3 ⋅ 0,52 /6 ⋅ 103
Parametri skupljanja i puzanja: 2
Ac = 500 x 300 = 150000 mm u = 2 x (500+300) = 1600mm 2 Ac/u = 94 ϕ∞ = 2,0 εs∞ = -300 . 10-6
E c, eff
=
1 = r 1
E cm (1 + ϕ ) M sd,stalno (E ⋅ I) I
=
29 1 + 2,0
=
= 27,5kNm
= 9,67kN/mm2 65 ⋅ 10 6 ⋅ 12
(9,67 ⋅ 10
3
⋅ 300 ⋅ 500
3
)
= 2,15 ⋅ 10 −6 [1/mm]
Krivljenje ispucalog presjeka u sredini raspona 1/rII Kontrola progiba: leff / d = 721/45,5 = 16 < dop = 35
ρ = A s /(bd) = 8,2/(45,5x30,0) = 0,006
αe
= Es /E c,eff = 200/9,67 = 20,68
Visina pritisnute zone je:
(αe ⋅ ρ ⋅ [2 + αe ⋅ ρ]) − d ⋅ αe ⋅ ρ x = 455 ⋅ (20,68 ⋅ 0,006 ⋅ [2 + 20,68 ⋅ 0,006] − 455 ⋅ 20,68 ⋅ 0,006 = 177mm x = d⋅
Napon u armaturi: M Sd,st a ln o M Sd,st a ln o = σs = As ⋅ z A s ⋅ (d − x/ 3)
=
65 ⋅ 10 6 820 ⋅ (455 − 177 / 3)
= 200 N/mm 2
1 200 = ε s = = 3,60 ⋅ 10− 6 [1/mm] 3 r II (d − x) 200 ⋅ 10 ⋅ (455 − 177) Preraspodjela krivljenja od optere ćenja Napon u armaturi na mjestu prsline je: σ sr =
M cr As ⋅ z
=
f ctm ⋅ b ⋅ h 2 6 ⋅ As ⋅ z
=
27,5 8,2 ⋅ 10
−4
⋅ (0,455 − 0,177/3)
= 84,6N/mm2
Koeficijent preraspodjele: 2
2 σsr 84,6 = 1 − 0,5 ⋅ ς = 1 − β1 ⋅ β 2 ⋅ = 0,91 σ 200 s
Za rebrasti čelik I dugotrajno opterećenje vrijedi: β1 ⋅ β 2 Ukupno krivljenje od vanjskog opterećenja je: 1 1 1 = ς ⋅ + (1 − ς) ⋅ = (0,91 ⋅ 3,6 + 0,09 ⋅ 2,15) ⋅ 10− 6 r m r II r I
= 0,5
= 3,47 ⋅ 10− 6 [1/mm]
Krivljenje usljed puzanja i skupljanja betona
Korištenjem izraza (7-48), odnosno (7-49) može se odrediti krivljenje za neispucali I ispucali presjek: α e ⋅ ρ = 20,68 ⋅ 0,0055 = 0,113 ⇒ 1/k I ≈ 0,8 1/k II ≈ 1,26 k I i k II određuju se prema izrazima iz Beton kalendara 1995.godina, Dio 1, strana 665. 1 A ⋅z 820 ⋅ 205 ⋅ 12 = ε cs ⋅ α e ⋅ s s = 300 ⋅ 10− 6 ⋅ 20,68 ⋅ = 0,267 ⋅ 10− 6 [1/mm] 3 r csI k I I I 1,25 ⋅ 300 ⋅ 500 1 r cs,II
= ε cs ⋅ α e ⋅
S II I II
= ε cs ⋅ α e ⋅
A s ⋅ (d − x) ⋅ 12 b ⋅ d 3 ⋅ k II
=
300 ⋅ 10 −6 ⋅ 20,68 ⋅ 820 ⋅ (455 − 177)/12 300 ⋅ 4553 ⋅ 0,79
Ukupno krivljenje usljed puzanja i skupljanja betona je: 1 1 1 = ς⋅ + (1 − ς) ⋅ = (0,91 ⋅ 0,760 + 0,09 ⋅ 0,27) ⋅ 10− 6 r cs, m r cs, II r cs, I Ukupno krivljenje je: 1 1 1 = + = (3,47 + 0,72) ⋅ 10− 6 r tot r m r cs, m
= 4,19 ⋅ 10− 6 [1/mm]
[1/mm]
= 0,760 [1/mm]
Progib u sredini raspona je: f = k ⋅ l eff ⋅ 2
1
= 0,104 ⋅ 5,10 2 ⋅ 10 6 ⋅ 4,19 ⋅ 10 − 6 = 11,3 mm
r tot Koeficijent k za razne raspodjele momenata je:
