fLUIDI - pREDAVANJA

Sveučilište u Mostaru Fakultet strojarstva i računarstva

Ivo Džijan

MEHANIKA FLUIDA PREDAVANJA

Mostar, 2017.

SADRŽAJ 1. Uvod............................................................................................................................ 1 1.1. Osnovne veličine s dimenzijama i jedinicama u mehanici fluida ..................... 1 1.2. Fluid ili tekućina ................................................................................................ 2 1.3. Hipoteza kontinuuma ......................................................................................... 6 2. Statika fluida ........................................................................................................... 11 2.1. Sile u fluidu ..................................................................................................... 11 2.1.1. Masene sile ......................................................................................... 11 2.1.2. Površinske sile .................................................................................... 12 2.2. Osnovna jednadžba statike fluida .................................................................... 14 2.3. Promjena tlaka u kapljevini konstantne gustoće.............................................. 16 2.4. Hidrostatski manometar ................................................................................... 19 2.5. Sila tlaka na ravne površine ............................................................................. 22  2.5.1. Sila F0 konstantnog manometarskog tlaka pM0  konst. na ravnu površinu .............................................................................................. 23  2.5.2. Sila Fh hidrostatskog tlaka ph   gh na ravnu površinu ................ 24 2.6. Sila tlaka na zakrivljene površine .................................................................... 33  2.6.1. Iznosi komponenti sile F0 konstantnog manometarskog tlaka

pM0  konst. na zakrivljenu površinu ................................................ 35  2.6.2. Iznosi horizontalnih komponenti Fhx i Fhy sile Fh hidrostatskog tlaka ph   gh na zakrivljenu površinu ..................................................... 36  2.6.3. Iznos vertikalne komponente Fhz sile Fh hidrostatskog tlaka

ph   gh na zakrivljenu površinu ..................................................... 39 2.7. Sila uzgona ...................................................................................................... 41

Ivo Džijan

Mehanika fluida – predavanja, FSR Mostar

I

POPIS NAJVAŽNIJIH OZNAKA Oznaka

Dimenzija

Jedinica u SI sustavu

A, S

L2

m2

c

LT-1

m/s

D, d

L

m

sila

F

MLT-2

N

gravitacija

g

LT-2

m/s2

volumenski modul elastičnosti

K

ML-1T-2

Pa

Fizikalna veličina površina brzina zvuka promjer

-1

maseni protok

m

MT

kg/s

moment sile

M

ML2T-2

Nm

snaga

P

ML2T-3

W

tlak

p

ML-1T-2

Pa

volumenski protok

Q

L3T-1

m3/s

potencijal masene sile

U

L2T-2

m2/s2

specifična unutrašnja energija

u

L2T-2

J/kg

volumen fluida

V

L

m3

brzina strujanja fluida

v

LT-1

m/s

rad sile, energija

W, E

ML2T-2

J

geodetska visina

z

L

m

gustoća fluida

ρ

ML-3

kg/m3

kinematička viskoznost

ν

L2T-1

m2/s

dinamička viskoznost

µ

ML-1T-1

Pa∙s

kutna brzina

ω

T-1

rad/s

faktor trenja

λ

-

-

naprezanje

τ, σ

ML-1T-2

N/m2

α

-

rad

kut

Ivo Džijan

3


V

PREPORUČENA LITERATURA Virag, Z.: Mehanika fluida – odabrana poglavlja, primjeri i zadaci, Sveučilište u Zagrebu, Fakultet strojarstva i brodogradnje, Zagreb, 2002. Fancev, M.: Mehanika fluida, Tehnička enciklopedija, 8, Hrvatski leksikografski zavod, Zagreb, 1982. Munson, B. R., Young, D. F., Okiishi, T. H.: Fundamentals of Fluid Mechanics, John Wiley&Sons, Toronto, 1990. White, F. M.: Fluid Mechanics, McGraw-Hill, 2003. Cengel, Y. A., Cimbala, J. M.: Fluid Mechanics – Fundamentals and Applications, McGraw-Hill, 2006.

VI


Ivo Džijan

1. UVOD Mehanika fluida je dio fizike koji se bavi gibanjem fluida i silama koje djeluju na fluid. Mehanika fluida se dijeli na •

statiku fluida koja proučava ravnotežu fluida u mirovanju,

•

kinematiku fluida koja se bavi zakonima gibanja fluida, i

•

dinamiku fluida koja se bavi silama koje djeluju na fluid i gibanjima koja nastaju djelovanjem tih sila te interakcijama između čvrstih tijela i fluida. 1.1. Osnovne veličine s dimenzijama i jedinicama u mehanici fluida

Tablica 1.1 Osnovne dimenzije u mehanici fluida

Veličina

Oznaka

Oznaka dimenzije

Jedinica u SI sustavu

masa

m

M

kg

duljina

l

L

m

vrijeme

t

T

s

temperatura

T

Θ

K

Dimenzije svih ostalih veličina mogu se prikazati produktom potencija dimenzija osnovnih veličina. Primjeri: • • • •

d d dr brzina v= dt   količina gibanja p = mv d d dv a= ubrzanje dt   sila F = ma

• rad

Ivo Džijan

d d dW= F ⋅ d s



[v ] = 

L =LT -1 T

[ p ] =MLT-1 

[ a ] =LT-2   F  =MLT -2

[W ] =ML2T-2

m s kgm  =Ns [ p ]SI = s m  [ a ]SI = 2 s  kgm    F SI = s 2 =N kgm 2 [W ]SI = 2 =Nm=J s 

[v ]SI =


1

1. Uvod

• snaga • tlak

dW dt dF p= dA

[ P ] =ML2T-3

P=

kgm 2 Nm J = = =W s s s3 kg N [ p ]SI = 2 = 2 =Pa ms m

[ P ]SI =

[ p ] =ML-1T-2

Sve teorijski izvedene fizikalne jednadžbe moraju biti dimenzijski homogene, što znači da svaki aditivni član u jednadžbi mora imati istu dimenziju. 1.2. Fluid ili tekućina Fluid ili tekućina je tvar koja se pod djelovanjem ma kako malog smičnog (tangencijalnog) naprezanja neprekidno deformira, što se naziva strujanjem ili tečenjem. Iz definicije fluida slijedi da u fluidu u mirovanju nema smičnih naprezanja. Fluidi se dijele na: 1)

kapljevine

2) plinove

teže se stlačuju, poprimaju oblik posude i čine razdjelnu površinu lakše se stlačuju, poprimaju oblik posude i šire se po čitavom dostupnom volumenu

Neke tvari se do određenog smičnog naprezanja ponašaju poput čvrstih tvari, a nakon toga počnu teći poput fluida, npr. plastika. Elastično tijelo

Slika 1.1 Deformacija elastičnog tijela

Ako gornju krutu ploču vučemo silom u elastičnom tijelu između ploča se javlja deformacija čija posljedica je pojava unutarnjeg naprezanja.

2


Ivo Džijan

1. Uvod

Svakoj vrijednosti sile F odgovara neka vrijednost kutne deformacije γ , pa kažemo da je smično naprezanje τ razmjerno kutnoj deformaciji

τ=

F ∼γ A

(1.1)

Hookeov zakon uspostavlja linearnu vezu između naprezanja i deformacije elastičnog tijela. Prema Hookeovom zakonu smično naprezanje elastičnog tijela τ je linearno proporcionalno kutnoj deformaciji γ , s modulom smicanja G kao koeficijentom proporcionalnosti, prema izrazu

τ = Gγ

(1.2) Fluid

Slika 1.2 Deformacija fluida

Ako gornju krutu ploču vučemo silom, fluid između ploča se neprekidno deformira, odnosno struji ili teče, što za posljedicu ima pojavu unutarnjeg naprezanja. Svakoj vrijednosti sile F

odgovara neka vrijednost brzine kutne deformacije

γ = dγ dt , pa kažemo da je smično naprezanje τ razmjerno brzini kutne deformacije

τ=

F  γ A

(1.3)

Za slučaj linearnog profila brzine, prema slici, brzina kutne deformacije je

tg ( dgg )≈d =

γ =

dx Udt = h h

dγ U = dt h

(1.4) (1.5)

Za slučaj općeg profila strujanja brzina kutne deformacije je

Ivo Džijan


3

1. Uvod

y

u Slika 1.3 Brzina kutne deformacije fluida

= γ

∆u du lim = ∆y →0 ∆y dy

[γ ] = T −1 ; [γ ]SI =

(1.6)

1 s

Newtonov zakon viskoznosti uspostavlja linearnu vezu između naprezanja i brzine deformacije fluida. Prema Newtonovom zakonu viskoznosti je smično naprezanje u fluidu τ linearno proporcionalno brzini kutne deformacije γ = dγ dt , s (dinamičkom) viskoznosti fluida µ kao koeficijentom proporcionalnosti, prema izrazu  µ = τ µγ =

du dy

(1.7)

[τ ] = ML-1T-2

[τ ]SI = Pa

[ µ ] = ML-1T-1

[ µ ]SI=

Pa ⋅ s

U slučaju kapljevina koje imaju konstantnu gustoću ρ , često se koristi i kinematička viskoznost

ν=

µ ρ

[ν ] = L2T-1

(1.8)

[ν ] =

m2 s

Fluidi čije je ponašanje opisano Newtonovim zakonom viskoznosti nazivaju se newtonski fluidi.

4


Ivo Džijan

1. Uvod

Za slučaj linearnog profila brzine je = γ

F dγ du U pa je uz τ= = µγ izraz za silu = = A dt dy h

kojom se vuče ploča

F =µ ⋅

U ⋅A h

(1.9)

Viskoznost fluida je fizikalno svojstvo koje pokazuje otpor fluida k tečenju. Viskoznost zavisi od tlaka i temperature, s tim da je utjecaj temperature veći.

Slika 1.4 Zavisnost viskoznosti kapljevina i plinova od temperature

U kapljevinama su za viskoznost odgovorne međumolekularne sile, koje su u kapljevinama jake. S obzirom da s porastom temperature te sile slabe, viskoznost kapljevina će s porastom temperature opadati. U plinovima su međumolekularne sile slabe, a viskoznost je posljedica sudara molekula u kaotičnom gibanju. Budući da porastom temperature brzina gibanja molekula raste, povećava se broj sudara, pa raste i viskoznost. Recipročna vrijednost viskoznosti se naziva fluidnost. Fluidnost pokazuje sklonost fluida ka tečenju. Dio fizike koji se bavi različitim modelima tvari prema odnosu između naprezanja i deformacije, odnosno brzine deformacije, naziva se Reologija.

Ivo Džijan


5

1. Uvod

Slika 1.5 Modeli tvari prema odnosu između naprezanja i deformacije

Idealni fluid se definira kao fluid u kojem nema smičnih naprezanja, odnosno idealni fluid je neviskozni fluid. 1.3. Hipoteza kontinuuma Svaka se materija sastoji od atoma i molekula, a ovi su sastavljeni od još sitnijih čestica. S obzirom da vrlo mali volumen fluida (npr. 10-3 mm3) sadrži još uvijek veliki broj molekula (za plinove oko 1015, a za kapljevinu 1018), opravdano je uvesti hipotezu kontinuuma. Kontinuum je matematički model materije prema kojem je ona neprekidno raspoređena po prostoru i u potpunosti ispunjava volumen kojeg zauzima. Čestica kontinuuma (materijalna točka) ima infinitezimalno malu masu dm i infinitezimalno mali volumen dV, tako da se gustoća čestice fluida izražava derivacijom

kg Dm dm −3 ; [ ρ ]SI = = = , [ ρ ] ML DV ® 0 DV m3 dV

r = lim

(1.10)

U svakoj točki prostora ispunjenog fluidom se nalazi jedna (materijalna) čestica fluida. Uvođenjem hipoteze kontinuuma materija zadržava svoja fizikalna svojstva pri smanjivanju volumena u točku, pa je dozvoljen granični prijelaz ΔV → 0 , što omogućuje primjenu integralnog i diferencijalnog računa u mehanici fluida. 6


Ivo Džijan

1. Uvod

1. Primjer Newtonska kapljevina gustoće ρ = 920 kg/m3, kinematičke viskoznosti ν = 5·10-4 m2/s struji uz nepomičnu stijenku. Profil brzine uz stijenku dan je izrazom

u 3 y 1 y = −   U 2 δ 2δ 

3

gdje je y udaljenost od stijenke, a δ udaljenost na kojoj je brzina u = U . Odredite veličinu i smjer tangencijalnog naprezanja na površini stijenke, u zavisnosti od U i δ . y

U

u(y)

d

Rješenje: Smično naprezanje na površini stijenke je du du τ µ= ρν = d y y 0= dy y =

(a) 0

 3 1 3 y2  du du 3U = U ⋅ − ⋅ 3 ⇒ = dy 2 d y y =0 2  2 ddd 

τ = ρν

3U 2δ

(b) (c)

Ako se želi zavisnost samo od U i δ , onda se uvrste vrijednosti za ρ i ν, pri čemu se mora naglasiti u kojim jedinicama se uvrštavaju preostale fizikalne veličine

{τ }N/m =

3 {U }m/s 920 ⋅ 5 ⋅10−4 ⋅ ⋅ 2 {δ }m

= {τ }N/m

0, 69 ⋅

2

2

{U }m/s {δ }m

(d) (e)

Napomena: Tangencijalno naprezanje fluida na stijenku djeluje u smjeru relativne brzine fluida u odnosu na stijenku.

Ivo Džijan


7

1. Uvod

2. Primjer Blok mase m = 10 kg kliže po glatkoj površini kosine nagnute pod kutom α = 20°. Odredite brzinu U bloka koja će se ustaliti, ako se između bloka i kosine nalazi uljni film debljine h = 0,1 mm. Dinamička viskoznost ulja je µ = 0,38 Pa⋅s, a površina bloka u dodiru s uljem A = 0,15 m2. Pretpostavite linearni profil brzine u uljnom filmu.

U=?

m

m

a

A

Rješenje:

Fτ h

mg

a

ina mgs

Newtonov zakon viskoznosti za linearni profil brzine daje

τ =µ

U h

(a)

Smično naprezanje je konstantno, pa je ukupna smična sila na donjoj površini bloka

Fτ = τ ⋅ A

(b)

Blok kliže konstantnom brzinom, pa ravnoteža sila u pravcu kosine daje

Fτ = mg sin α

(c)

Zamjenom se dobije

m

U ⋅A= mg sin α h

mg sin α ⋅ h 10 ⋅ 9,80665 ⋅ sin 20α ⋅ 0,1 ⋅10−3 m = = = ⋅ U 0, 0588 m/s m⋅A 0,38 ⋅ 0,15 s

8


(d) (e)

Ivo Džijan

1. Uvod

3. Primjer U cilindričnoj posudi polumjera R0 = 220 mm, nalazi se cilindar polumjera R = 216 mm koji rotira stalnom brzinom vrtnje n = 200 o/min za što se troši snaga P = 46 W. Odredite dinamičku viskoznost µ kapljevine koja ispunjava prostor između cilindra i posude u kojem pretpostavite linearni profil brzine, a utjecaj dna zanemarite. Zadano je: h = 20 cm. g

POSUDA

n=konst

cilindar

h

m=? R R0

Rješenje: Kutna brzina vrtnje se računa prema

ω=

π ⋅n

(a)

30

a obodna brzina prema

u= ω ⋅ R

(b)

Smično naprezanje je prema Newtonov zakonu viskoznosti za linearni profil brzine

τ =µ

u R0 − R

(c)

Smično naprezanje je konstantno, pa je ukupna smična sila na plašt cilindra

F = τ ⋅ 2 Rπ h

(d)

Moment smične sile je

M= F ⋅ R

(e)

a snaga koja se troši na vrtnju cilindra

P = M ⋅ω

Ivo Džijan

(f)


9

1. Uvod

Zamjena prethodnih izraza daje

P = F ⋅ R ⋅ ω = τ ⋅ 2 R 2π ⋅ h ⋅ ω = 2 µ = P 2µ

u R 2π ⋅ h ⋅ ω R0 − R

ω 2 R3

π 3n2 R3 = π ⋅ h 2µ ⋅h R0 − R 900 ( R0 − R )

(g) (h)

Iz gornjeg izraza se može izračunati tražena dinamička viskoznost

µ=

µ =

10

450P ( R0 − R ) π 3n2 R3h

(i)

450 ⋅ 46 ⋅ ( 0, 220 − 0, 216 ) Pa ⋅ s 0, 0331 Pa ⋅ s = π 3 ⋅ 2002 ⋅ 0, 2163 ⋅ 0, 20

(j)


Ivo Džijan

2. STATIKA FLUIDA

2.1. Sile u fluidu 2.1.1. Masene sile Masene sile su posljedica položaja mase u polju masene sile. Raspodijeljene su po prostoru i djeluju na svaki element mase fluida.

z

V

O

y

x Slika 2.1 Ilustracija uz definiciju masenih sila

 Masena sila se definira specifičnom masenom silom f , odnosno masenom silom po jedinici mase

   m −2 = = f ,  f  LT ,  f  SI s2 d Masena sila dFm na česticu fluida mase dm = ρ dV je dd d dFm = f dm = f rdV Oznaka, dimenzija i jedinica u SI sustavu za silu su    −2 = = F ,  F  MLT ,  F  N SI  Masena sila Fm na ukupni volumen V je d d Fm = ò f rdV

(2.1)

(2.2)

(2.3)

(2.4)

V

Ivo Džijan


11

2. Statika fluida

Primjeri masene sile: •

sila gravitacije:

•

inercijska sila:

   f = g = -gk   f = -a

U inercijskom koordinatnom sustavu, koji se koristi u ovom kolegiju, jedina masena sila je gravitacija    f = g = -gk Dogovorena

(2.5)

standardna

vrijednost

konstantnog

gravitacijskog

ubrzanja

je

g = 9,80665 m/s 2 . d Masena sila dFm na česticu fluida mase dm = ρ dV tada je jednaka težini čestice fluida d dd (2.6) dFm = dFG = -k r g dV a ukupna masena sila na volumen V ispunjen fluidom konstantne gustoće ρ = konst. jednaka je težini fluida u tom volumenu ddd dd Fm = FG = -ò k r g dV = -k r g ò dV = -k r gV V

(2.7)

V

2.1.2. Površinske sile Površinske sile su sile dodira po površini između čestica fluida ili između čestica fluida i stijenke.

V

z S O

y

x Slika 2.2 Ilustracija uz definiciju površinskih sila

12


Ivo Džijan

2. Statika fluida

Površinska sila se definira specifičnom površinskom silom, odnosno vektorom naprezanja    -1 -2 (2.8) = = σ , [σ ] ML T , [σ ]SI Pa . d Površinska sila dFS na elementarnu površinu dS s jediničnim vektorom vanjske     normale n je (specifična površinska sila s = s (n ) zavisi od jediničnog vektora vanjske  normale n ) d d (2.9) dFS = sdS  Površinska sila FS na ukupnu površinu S d d FS = ò sdS (2.10) S

Za specifične površinske sile (vektore naprezanja) vrijedi III Newtonow zakon (princip akcije i reakcije), tj.     s (n ) = -s (-n )

(2.11)

što znači da je vektor naprezanja na površini orijentiranoj jediničnim vektorom normale  n jednak po veličini i suprotan po smjeru vektoru naprezanja na površini orijentiranoj  normalom -n . Specifična površinska sila (vektor naprezanja) može se rastaviti na specifičnu tlačnu silu   - pn , gdje p predstavlja termodinamički tlak i vektor viskoznog naprezanja s f

   s = - pn + s f

(2.12)   Ukupna površinska sila se zbog toga može rastaviti na silu tlaka Fp i viskoznu silu Ff

ddd d dd FS = ò sdS = -ò pndS + ò s f dS = Fp + Ff S

S

(2.13)

S

U mirujućem fluidu (kao i kod idealnog (neviskoznog) fluida) nema viskoznih     naprezanja s f = 0 pa je vektor naprezanja ( s = - pn + s f ) jednak specifičnoj tlačnoj d   sili s = - pn , te je površinska sila dFS na elementarnu površinu dS s jediničnim  vektorom vanjske normale n jednaka elementarnoj sili tlaka dd d (2.14) dFS = dFp = -n pdS

Ivo Džijan


13

2. Statika fluida

d Elementarna sila tlaka dFS u nekoj točki površine djeluje okomito prema površini (s

obzirom da je tlak p pozitivna veličina), a njena vrijednost je jednaka za bilo koju  orijentaciju površine dS, tj. bilo koji pravac vektora jedinične vanjske normale n na površinu. Ukupna površinska sila na površinu S je jednaka sili tlaka dd d FS = Fp = -ò n pdS

(2.15)

S

2.2. Osnovna jednadžba statike fluida Promjena tlaka između bilo koje dvije točke mirujućeg fluida se može dobiti analizom ravnoteže infinitezimalno malog elementa fluida koji je izdvojen iz mirujućeg fluida. Na taj fluidni element djeluju površinske i masene sile. Po površinama fluidnog elementa djeluju sile tlaka (vrijednost tlaka u centru fluidnog elementa je p), a u težištu fluidnog elementa djeluje sila težine fluida. z

O y x Slika 2.3 Ravnoteža sila na elementu u mirujućem fluidu

Sumiranjem svih sila u pravcu osi Oy Kartezijevog koordinatnog sustava Oxyz se dobije

∑F

y

14

(2.16)

=0


Ivo Džijan

2. Statika fluida

  ∂p dy  ∂p dy  0  p−  dxdz −  p +  dxdz = ∂y 2  ∂y 2    −

∂p dxdydz = 0 :dxdydz = dV ≠ 0 ∂y

∂p =0 ∂y

(2.17) (2.18) (2.19)

Slično se sumiranjem u pravcu osi Ox

∑F

x

(2.20)

=0

dobije

∂p =0 ∂x

(2.21)

Sumiranjem svih sila u pravcu osi Oz Kartezijevog koordinatnog sustava Oxyz se dobije

∑F

z

(2.22)

=0

∂p dz  ∂p dz    0  p−  dxdy −  p +  dxdy − ρ gdxdydz = ∂z 2  ∂z 2   

−

∂p dxdydz − ρ gdxdydz = 0 :dxdydz = dV ≠ 0 ∂z

∂p = −ρ g ∂z

(2.23) (2.24) (2.25)

Jednadžbe (2.19), (2.21) i (2.25) se mogu zapisati u sažetom obliku  ∂p  ∂p  ∂p  i+ j+ k = − ρ gk ∂x ∂y ∂z

Uz pomoć vektorskog operatora nabla ∂ ∂  ∂  i+ j+ k = ∇ ∂x ∂y ∂z jednadžba (2.26) se može kraće zapisati kao  d ∇p =− ρ gk grad p = − r gk odnosno

(2.26)

(2.27)

(2.28)

Dakle, u mirujućem fluidu u polju gravitacije tlak zavisi samo od visine z, tj. p = p ( z ) , pa se jednadžba (2.25) može pisati kao

dp = −ρ g dz

(2.29)

Izrazi (2.26), (2.28) ili (2.29) su diferencijalni oblici osnovne jednadžbe statike fluida. Ivo Džijan


15

2. Statika fluida

2.3. Promjena tlaka u kapljevini konstantne gustoće Za mirujuću kapljevinu konstantne gustoće ρ = konst. se izraz (2.29) može integrirati od točke O koja se nalazi na slobodnoj površini kapljevine gdje je z = 0 iznad koje vlada konstantni apsolutni tlak p0 = konst. (tada taj tlak vlada i na slobodnoj površini) do neke točke unutar kapljevine na visini z gdje vlada apsolutni tlak p p

z

∫ dp = − ρ g ∫ dz

p0

(2.30)

0

Nakon integracije se dobije izraz za promjenu tlaka u mirujućoj kapljevini

= p p0 − ρ gz

(2.31)

Dijeljenjem izraza (2.31) s konstantom ρ g dobije se p0 p + z= = konst. ρg ρg

(2.32)

gdje su:

 p   p  p = = L, m stupca fluida   ρg  ρg ρg    SI p +z ρg

visina tlaka, a

piezometrička visina.

Jednadžba (2.32) pokazuje da je piezometrička visina u svim točkama mirujuće kapljevine konstantna. Uvođenjem dubine h = − z izraz (2.31) se može napisati kao

p =p0 − ρ gz =p0 + ρ gh =p0 + ph

(2.33)

gdje je ph = ρ gh hidrostatski tlak koji je na slobodnoj površini (i iznad nje) jednak nuli i linearno se povećava s dubinom h kapljevine gustoće ρ = konst. Hidrostatski tlak

ph ρ gh > 0 (hidrostatski pretlak) ili negativan = ph ρ gh < 0 može biti pozitivan = (hidrostatski podtlak). Gustoća plinova je mala u odnosu na gustoću kapljevina pa je i promjena tlaka koja bi se u plinu izračunala prema izrazu (2.33) pri malim visinskim razlikama (koje se pojavljuju u problemima koji se proučavaju u okviru kolegija Mehanike fluida) također mala, te se može zanemariti. Dakle, tlak u plinu se smatra konstantnim.

16


Ivo Džijan

2. Statika fluida

Na sljedećoj slici je prikazana raspodjela tlaka u plinu (zraku) iznad slobodne površine i u kapljevini (vodi) konstantne gustoće u slučaju kada je tlak zraka jednak atmosferskom tlaku p0 = pa.

z p=pa-rzgz pa

zrak rz<
p=pa=konst.

O x

p=pa+rgh

y

voda r

h=-z Slika 2.4 Raspodjela tlaka u plinu i kapljevini

U mirujućem fluidu razlikujemo sljedeće tlakove: •

p

apsolutni tlak se mjeri od apsolutne nule (100% vakuum).

•

pa

atmosferski tlak je apsolutni tlak atmosferskog zraka.

•

pM

manometarski tlak je razlika apsolutnog p i atmosferskog pa tlaka

Veza među njima je dana izrazom

pM= p − pa

(2.34)

Dakle, manometarski tlak pM je relativni tlak koji se mjeri u odnosu na atmosferski tlak i može biti pozitivan pM > 0 (manometarski pretlak) i negativni pM < 0 (manometarski podtlak). Ako se konstantni apsolutni tlak p0, koji vlada iznad slobodne površine, prikaže kao zbroj konstantnog manometarskog tlaka pM0 i atmosferskog tlaka pa

= p0 pM0 + pa

Ivo Džijan

(2.35)


17

2. Statika fluida

onda se manometarski tlak pM u općem slučaju može prikazati kao zbroj konstantnog manometarskog tlaka pM0 i hidrostatskog tlaka ph.

= pM pM0 + ph

(2.36)

Sada se apsolutni tlak p može prikazati kao

p = p0 + ph = pM + pa = pM0 + ph + pa

(2.37)

Primjer raspodjele tlaka po ravnim površinama vertikalne pregrade unutar zatvorenog spremnika u kojem u lijevom dijelu spremnika vlada konstantni manometarski podtlak pM0 prikazan je na sljedećoj slici.

3

2

1

4

Slika 2.5 Raspodjele tlaka po ravnim površinama unutar zatvorenog spremnika

Tlakovi u karakterističnim točkama 1 i 2 s prethodne slike definirani su na sljedećoj slici.

18


Ivo Džijan

2. Statika fluida

p p1 pa p0 p2 pa p0 p1 p2 0 Slika 2.6 Tlakovi u karakterističnim točkama ravnih površina

Princip spojenih posuda

Slika 2.7 Primjer spojenih posuda

Ako homogena kapljevina miruje u više međusobno spojenih posuda, tada će slobodne površine otvorene prema istom atmosferskom tlaku p0 ležati u istoj izobari (za mirujući fluid to je horizontalna ravnina). 2.4. Hidrostatski manometar Manometar je instrument za mjerenje tlaka. Postoje različite izvedbe hidrostatskih manometara koji se zovu još i fluidni ili tekućinski manometri. Promjena tlaka između dvije točke koje se međusobno mogu spojiti kroz fluid se računa postavljanjem jednadžbe manometra. Jednadžba manometra se piše tako da se krene s Ivo Džijan


19

2. Statika fluida

tlakom u jednoj točki i tom se tlaku dodaju sve promjene u obliku hidrostatskog tlaka

ρ gh , (idući od jedne do druge razdjelne površine) i to s pozitivnim predznakom ako se ide prema dolje, a s negativnim ako se ide prema gore. Kada se dođe do druge točke tako dobiveni izraz se izjednačuje s tlakom u toj točki. Jednadžba manometra se može postaviti s apsolutnim tlakovima u krajnjim točkama ili s manometarskim tlakovima u krajnjim točkama. Diferencijalni manometar u obliku U cijevi Postupak za postavljanje jednadžbe manometra može se pokazati na primjeru diferencijalnog manometra u obliku U cijevi ispunjenim fluidom velike gustoće zbog povećanja mjernog područja (obično je to živa).

Slika 2.8 Primjer diferencijalnog manometra

Jednadžba manometra od točke A do točke B

pA + ρ1 gh1 + ρ0 gh0 − ρ 2 gh2 = pB

(2.38)

odnosno s manometarskom tlakovima

pMA + ρ1 gh1 + ρ0 gh0 − ρ 2 gh2 = pMB

(2.39)

Jednadžba manometra od točke B do točke A

pB + ρ 2 gh2 − ρ0 gh0 − ρ1 gh1 = pA

(2.40)

odnosno s manometarskom tlakovima

pMB + ρ 2 gh2 − ρ0 gh0 − ρ1 gh1 = pMA

20


(2.41)

Ivo Džijan

2. Statika fluida

Živin barometar Živin barometar je instrument za mjerenje atmosferskog tlaka (apsolutnog). Zamislimo da je cjevčica u trenutku uranjanja u posudu na sljedećoj slici bila potpuno ispunjena živom, gustoće ρ0. Nakon uspostavljanja ravnoteže visina žive će se u cjevčici ustaliti na visini ha, a iznad žive, u zatvorenom dijelu cjevčice bi teorijski bio vakuum. Realno će zbog vakuuma doći do „isisavanja“ molekula žive koje će se slobodno gibati u prostoru iznad kapljevite faze, čineći živinu paru. Naravno, čitavo vrijeme će neki atomi „iskakati“ iz kapljevite faze, a neki slobodni bivati privučeni u kapljevitu fazu, a kada se brojevi tih molekula izjednače, postići će se ravnotežno stanje, pri čemu će u prostoru iznad žive vladati tlak živinih para (tlak zasićenja) pv.

pv ≈ 0 g ρ0

Slika 2.9 Shematski prikaz živinog barometra

Jednadžba manometra od slobodne površine u cijevi do slobodne površine posude, uz oznake prema slici glasi:

p= pv + ρ0 gha a

(2.42)

Tlak zasićenja ovisi o temperaturi (raste s temperaturom), a za živu on iznosi 0,021 Pa kod temperature 0°C, te 0,841 Pa pri temperaturi 40°C, što je zanemarivo u odnosu na mjereni atmosferski tlak koji je reda veličine 100000 Pa. Zbog toga se tlak zasićenja žive zanemaruje pv ≈ 0 , tj. vrijedi

pa = ρ0 gha

Ivo Džijan

(2.43)


21

2. Statika fluida

Kao što je uvedena dogovorena (standardna) vrijednost ubrzanja Zemljine sile teže (g = 9,80665 m2/s), tako se uvodi i dogovoreni (standardni) atmosferski tlak pa,st = 101325 Pa koji se računa iz pa,st = ρHg g hHg,st s gustoćom žive ρHg = 13595 kg/m3 i hHg,st = 760 mmHg. 2.5. Sila tlaka na ravne površine 

Ravna površina A ima konstantan jedinični vektor vanjske normale n , te opći izraz za silu tlaka na ravnu površinu postaje d dd Fp = − ∫ pndS = −n ∫ pdA S

(2.44)

A

Slika 2.10 Sila tlaka na ravnu površinu

Sila tlaka na ravnu površinu se može računati s apsolutnim ili relativnim tlakom. Iz izraza (2.44) za silu tlaka na ravnu površinu se vidi da sila od apsolutnog tlaka (

22


Ivo Džijan

2. Statika fluida

p, p0 , pa ) djeluje okomito prema površini (u pravcu vanjske normale i u suprotnom smjeru od vanjske normale). Kada je relativni tlak ( pM , pM0 , ph ) pozitivan sila tlaka djeluju okomito prema površini, a kada je negativan sila tlaka djeluju okomito od površine. Na taj način je definiran smjer sile tlaka, pa preostaje samo izračunati njen iznos

d d Fp = Fp = −n ∫ pdA = ∫ pdA A

(2.45)

A

Apsolutni tlak p u bilo kojoj točki okvašene ravne površine A uronjene u kapljevinu gustoće ρ = konst. iznad čije slobodne površine vlada konstantni (apsolutni) tlak

p0 = konst. , u općem slučaju se može prikazati zbrojem tog konstantnog tlaka p0 = konst. i hidrostatskog tlaka ph = ρ gh , koji je na slobodnoj površini jednak nuli i linearno se povećava s dubinom h kapljevine gustoće ρ

p = p0 + ph = p0 + ρ gh

(2.46)

Konstantni tlak p0 = konst. se može prikazati kao zbroj atmosferskog tlaka pa i konstantnog manometarskog tlaka pM0 = konst. , koji vlada iznad slobodne površine.

p= pa + pM0 0

(2.47)

Ukupni tlak p u bilo kojoj točki okvašene ravne površine je

p =pa + pM0 + ph

(2.48)

S obzirom da s druge strane ravne površine djeluje atmosferski tlak pa, a djelovanje konstantnog tlaka na zatvorenu površinu daje rezultantnu silu jednaku nuli, preostaje izračunati silu konstantnog manometarskog tlaka i silu hidrostatskog tlaka.  2.5.1. Sila F0 konstantnog manometarskog tlaka pM0 = konst. na ravnu

površinu

d d F0 = −n ∫ pM0dA

(2.49)

A

= F0

pM0dA ∫= A

p= pM0 A M0 ∫ dA

(2.50)

A

gdje je: Ivo Džijan


23

2. Statika fluida

pM0 = konst. konstantni manometarski tlak iznad slobodne površine

∫ dA = A

ploština površine A

A

F0 = pM0 A iznos sile konstantnog manometarskog tlaka na ravnu površinu  Sila F0 konstantnog manometarskog tlaka pM0 = konst. na ravnu površinu •

po iznosu je jednaka umnošku tog konstantnog manometarski tlaka pM0 i njene ploštine A,

•

djeluje u težištu C ravne površine,

•

djeluje paralelna s pravcem normale, tj. okomito na ravnu površinu i

•

djeluje u suprotnom smjeru u odnosu na smjer normale, tj. prema ravnoj površini, ako je pM0 > 0 , i obratno.  2.5.2. Sila Fh hidrostatskog tlaka ph = ρ gh na ravnu površinu

d d Fh = −n ∫ ph dA

(2.51)

A

= Fh

ph dA ∫ ρ ghdA ∫= A

(2.52)

A

Uvođenjem koordinate y, koja leži u ravnini ravne površine A tako da je na slobodnoj površini y = 0 i pokazuje prema dolje, dubina h se može prikazati kao h = y sin ϑ pa je

Fh = ρ g sin ϑ ∫ ydA

(2.53)

A

Uz poznatu relaciju za statički moment inercije (tromosti) površine A

∫ ydA = yC A

(2.54)

A

gdje je yC udaljenost na kojoj se nalazi težište C ravne površine A (udaljenost OC prema slici), dolazimo do

Fh = ρ g sin ϑ yC A

(2.55)

Sa slike se vidi da je hC = yC sin ϑ , pa se dobije

= Fh ρ= ghC A phC A

24


(2.56)

Ivo Džijan

2. Statika fluida

gdje je:

hC

dubina na kojoj se nalazi težište C ravne površine

phC = ρ ghC

hidrostatski tlak u težištu C ravne površine

= Fh p= hC A ρ ghC A iznos sile hidrostatskog tlaka na ravnu površinu  Sila Fh hidrostatskog tlaka ph na ravnu površinu po iznosu je jednaka umnošku hidrostatskog tlaka phC u težištu C ravne površine

•

i ploštine površine A, •

djeluje u hvatištu sile H(xH, yH),

•

djeluje paralelna s pravcem normale, tj. okomito na ravnu površinu i

•

djeluje u suprotnom smjeru u odnosu na smjer normale, tj. prema ravnoj površini, ako je phC > 0 , i obratno.

Položaj hvatišta sile H(xH, yH) se određuje iz uvjeta da je moment rezultante jednak  sumi momenata komponenti s obzirom na neku os. Ovdje to znači da moment sile Fh  d mora biti jednak sumi momenata elementarnih sila dFh koje sumirane čine silu Fh . d Suma momenata elementarnih sila dFh u odnosu na os Ox je

M hx = ∫ y dFh =

y ρ g sin ϑ y dA ∫=

A

A

ρ= g sin ϑ ∫ y 2 dA ρ g sin ϑ I xx

(2.57)

A

 mora biti jednak momentu rezultantne sile Fh s obzirom na istu os Ox

M hx =yH ⋅ Fh = yH ⋅ ρ g sin ϑ yC A

(2.58)

Iz jednakosti momenata slijedi

yH =

I xx yC A

(2.59)

gdje je I xx = ∫ y 2dA osni (aksijalni) moment tromosti (inercije) površine A oko horizontalne A

osi Ox Primjenom Steinerovog pravila = I xx yC2 A + Ixx dobiva se y= yC + H

Ivo Džijan

Iξξ yC A Mehanika fluida – predavanja, FSR Mostar

(2.60)

25

2. Statika fluida

 Pomak ∆y hvatišta H sile Fh u odnosu na težište C ravne površine se mjeri u ravnini ravne površine u pravcu osi 0y, u smjeru osi 0y ako je yC > 0 , i obratno, i iznosi Iξξ yH − yC =∆y = yC A

(2.61)

gdje je

Iξξ = ∫ η 2dA težišni osni (aksijalni) moment tromosti (inercije) površine A oko A

horizontalne težišne osi Cx. Analognim postupkom se dobije i položaj hvatišta s obzirom na os Oy. Suma momenata d elementarnih sila dFh u odnosu na os Oy je M hy = = ∫ x dFh A

ϑ y dA ∫ xρ g sin= A

ρ g sin ϑ= ∫ xy dA ρ g sin ϑ ⋅ I xy

(2.62)

A

 jednaka je momentu rezultantne sile Fh s obzirom na os Oy

M hy =xH ⋅ Fh = xH ⋅ ρ g sin ϑ yC A

(2.63)

Iz jednakosti momenata slijedi xH =

I xy

(2.64)

yC A

gdje je I xy = ∫ xydA centrifugalni (devijacijski) moment tromosti (inercije) površine A oko osi A

Ox i Oy.

I xy xC yC A + Ixη dobiva se = Primjenom Steinerovog pravila x= xC + H

Ixη

(2.65)

yC A

 Pomak ∆x hvatišta H sile Fh u odnosu na težište C ravne površine se mjeri u ravnini ravne površine u pravcu osi 0x, u smjeru osi Ox ako je yC > 0 , i obratno, i iznosi Ixη xH − xC =∆x = yC A

(2.66)

gdje je 26


Ivo Džijan

2. Statika fluida

Iξη = ∫ ξη dA težišni centrifugalni (devijacijski) moment tromosti (inercije) površine A A

oko težišnih osi Cx i Ch, jednak je nuli za svaku površinu kojoj je barem jedna težišna os os simetrije.





Sile konstantnog manometarskog tlaka F0 i hidrostatskog tlaka Fh su paralelne sile čija 





F0 + Fh također paralelna s komponentama. Mjesto djelovanja je rezultantna sila F= R







rezultantne sile FR za slučaj istosmjernih i mimosmjernih sila F0 i Fh se računa iz uvjeta da je moment rezultantne sile jednak zboju momenata komponentni sila oko neke 

točke. Ako se odabere težište C, za koje je ∆y0 = 0 jer sila F0 prolazi težištem, onda je   FR ∆yR = Fh ∆y .

D

y D

C H

yR

y

D

D

yR F0

F0 Fh

FR= Fh+F0

DyR=Dy

Fh

Fh

C

FR= Fh -F0

H

DyR=Dy

Fh+F0

a)

Fh

Fh -F0

b)

Slika 2.11 Položaj rezultantne sile: a) slučaj istosmjernih sila; b) slučaj mimosmjernih sila

Zavisnost pomaka hvatišta hidrostatske sile o njenom položaju, odnosno kutu u odnosu na slobodnu površinu najbolje ilustrira Slika 2.12. Za vertikalno uronjenu površinu,  prema Slika 2.12 a), je ϑ= 90° pa vrijedi yC = hC, te se pomaci hvatišta H sile Fh Iξξ Ixh računaju prema ∆y = i ∆x = . Za horizontalno uronjenu površinu, prema Slika hC A hC A 2.12 b), je ϑ = 0 pa vrijedi yC → ∞ te su prema gornjim izrazima ∆x = ∆y = 0, što   znači da će sila Fh djelovati u težištu C površine A, kao i sila konstantnog tlaka F0 .

Ivo Džijan


27

2. Statika fluida

C

a)

A

b)

Slika 2.12 Hvatište sile hidrostatskog tlaka: a) vertikalna ravna površina; b) horizontalna ravna površina

Hidrostatski paradoks predstavlja činjenica da sila hidrostatskog tlaka na horizontalno dno posude ne zavisi o oblika posude nego samo od dubine fluida u posudi i ploštine dna posude. Tako su sile hidrostatskog tlaka Fh = ρ gHA na dna svih posuda, prema Slika 2.13, jednake. Sila hidrostatskog tlaka na dno posude u svim je slučajevima jednaka težini fluida koji bi se nalazio u volumenu AH od dna posude do slobodne površine (bez obzira što u trećem slučaju toliko fluida niti nema u posudi).

Slika 2.13 Hidrostatski paradoks

Hidrostatski paradoks se najbolje očituje na primjeru sa Slika 2.14 u kojem se vidi veliko povećanje sile hidrostatskog tlaka na poklopac spremnika ulijevanjem malog volumena vode u vertikalnu cjevčicu. Ako se u primjeru uzmu sljedeći podaci:

ρ = 1000 kg m3 , g = 10 m s 2 , H = 1 m , A = 0,5 m 2 , dobije se sila na poklopac = Fh ρ= gHA 5000 N .

28


Ivo Džijan

2. Statika fluida

Fh = ρ gHA

Fh = 0

Slika 2.14 Primjer primjene hidrostatskog paradoksa

Momenti Mhx i Mhy sile hidrostatskog tlaka u odnosu na težište C ravne površine A ne zavise od dubine na kojoj se težište, odnosno sama površina, nalazi jer je M hx = Fh ⋅ ∆ y = ρ ghC A ⋅ M hy = Fh ⋅ ∆ x = ρ ghC A ⋅

Ivo Džijan

Ixx yC ⋅ A Ixh yC ⋅ A

= ρ gIxx sinϑ

(2.67)

= ρ gIxh sinϑ

(2.68)


29

2. Statika fluida

U izrazima za pomake hvatišta hidrostatske sile se pojavljuju geometrijska svojstva ravne površine. Definicije svojstava ravne površine na Slika 2.15 su: y

x η dA C A

yC O

ξ

y

xC

x

Slika 2.15 Svojstva ravne površine

A = ∫ dA

ploština površine A

A

yC A = ∫ ydA statički moment inercije (tromosti) površine A A

I xx = ∫ y 2dA osni (aksijalni) moment tromosti (inercije) površine A oko horizontalne A

osi Ox 2

Iξξ = ∫ η dA težišni osni (aksijalni) moment tromosti (inercije) površine A oko A

horizontalne težišne osi Cx. I xy = ∫ xydA centrifugalni (devijacijski) moment tromosti (inercije) površine A oko A

osi Ox i Oy. Iξη = ∫ ξη dA težišni centrifugalni (devijacijski) moment tromosti (inercije) površine A A

oko težišnih osi Cx i Ch, jednak je nuli za svaku površinu kojoj je barem jedna težišna os os simetrije. = I xx yC2 A + Ixx

= I xy xC yC A + Ixη

Steinerovo pravilo

Izrazi za izračunavanje položaja težišta, površine i momenata tromosti (inercije) za uobičajene geometrijske likove su dani u sljedećoj tablici.

30


Ivo Džijan

2. Statika fluida Tablica 2.1 Svojstva geometrijskih likova

Geometrijski lik

C

a

x

h b/2

R

Površina

Iξξ

Iηη

Iξη

A = ab

ba 3 12

ab3 12

0

A = R 2p

pR4 4

pR4 4

0

0 ,1098R 4

0,3927 R 4

0

b/2

C

x

h

C

x

R

4R 3p

R

A=

1 2 Rp 2

A=

ab 2

ba 36

A=

1 2 Rp 4

0 ,05488 R 4

h

d

a

C

x

a 3

h b+d 3

ba 2 ( b − 2d ) 72

3

b

4R 3p 4R 3p

C R

Ivo Džijan

x

0 ,05488 R 4

−0 ,01647 R 4

h


31

2. Statika fluida

Fiktivna slobodna površina Ako iznad slobodne površine vlada konstantni manometarski tlak pM0 = konst. (zatvoreni spremnik), onda se može uvesti fiktivna slobodna površina na kojoj vlada atmosferski tlak. Fiktivna slobodna površina je udaljena od stvarne slobodne površine za visinu manometarskog tlaka hf = pM0 ρ g (za slučaj pretlaka je iznad, a za slučaj podtlaka ispod stvarne slobodne površine). Uvođenjem fiktivne slobodne površine na dijelu površine koja je okvašena nije više potrebno računati i silu konstantnog manometarskog tlaka i silu hidrostatskog tlaka nego samo hidrostatsku silu s dubinom mjerenom od fiktivne slobodne površine. Ako fiktivna slobodna površina padne ispod težišta C površine, dubina h postaje negativna. U slučaju da fiktivna slobodna površina prolazi težištem površine, sila hidrostatskog tlaka jednaka je nuli, ali moment sile hidrostatskog tlaka nije nula (ostaje spreg sila).

Slika 2.16 Fiktivna slobodna površina

Fiktivna slobodna površina se može uvesti i za slučaj mirovanja dvaju fluida različitih gustoća prema sljedećoj slici.

32


Ivo Džijan

2. Statika fluida

Slika 2.17 Fiktivna slobodna površina za slučaj dvaju fluida različitih gustoća

2.6. Sila tlaka na zakrivljene površine

Slika 2.18 Sila tlaka na zakrivljenu površinu

Ivo Džijan


33

2. Statika fluida

Sila tlaka na zakrivljenu površinu uronjenu u nestlačivi fluid u mirovanju je definirana općim izrazom d d Fp = − ∫ pndS

(2.69)

S

Sila tlaka na zakrivljenu površinu se razlaže na komponente u pravcima osi pravokutnog   koordinatnog sustava i to na dvije horizontalne komponente Fpx , Fpy i jednu vertikalnu  komponentu Fpz     (2.70) Fp = Fpx + Fpy + Fpz Iznos horizontalne komponente u pravcu osi 0x sile tlaka na zakrivljenu površinu se  dobije kao apsolutna vrijednost skalarnog umnoška ukupne sile i jediničnog vektora i

dd ddd dd Fpx =Fpx =Fp ⋅ i =− ∫ pi ⋅ ndS =− ∫ p cos(i , n )dS =− ∫ pdS x =∫ pdS x (2.71) S

S

Sx

Sx

Slično se dobiju i izrazi za ostale komponente sile tlaka na zakrivljenu površinu

Fpy =

∫ pdS y

Sy

Fpz =

∫ pdS z

(2.72)

Sz

U gornjim izrazima su projekcije infinitezimalno male zakrivljene površine dS na koordinatne ravnine definirane kao d d d d dS x = dS cos(i , n ) dS x = dS cos( j , n )

d d dS z = dS cos(k , n )

(2.73)

Iznosi projekcija ukupne zakrivljene površine S na koordinatne ravnine su Sx =

∫ dS x

Sy =

∫ dS y

Sy

Sx

Sz =

∫ dS z

(2.74)

Sz

Komponente sile tlaka na zakrivljenu površinu se mogu računati s apsolutnim ili relativnim tlakom. Pošto apsolutni tlak ( p, p0 , pa ) u svakoj točki djeluje okomito prema površini (u pravcu vanjske normale i u suprotnom smjeru od vanjske normale), onda će i komponente sile tlaka također djelovati prema površini. Kada je relativni tlak (

pM , pM0 , ph ) pozitivan komponente sile tlaka djeluju prema površini, i obratno, kada je negativan komponente sile tlaka djeluju od površine. Na taj način su definirani smjerovi komponenti sile tlaka na zakrivljenu površinu, pa preostaje samo izračunati njihove iznose.

34


Ivo Džijan

2. Statika fluida

Apsolutni tlak p u bilo kojoj točki okvašene zakrivljene površine S uronjene u kapljevinu gustoće ρ = konst. iznad čije slobodne površine vlada konstantni (apsolutni) tlak p0 = konst. , u općem slučaju se može prikazati zbrojem tog konstantnog tlaka

p0 = konst. i hidrostatskog tlaka ph = ρ gh , koji je na slobodnoj površini jednak nuli i linearno se povećava s dubinom h kapljevine gustoće ρ

p = p0 + ph = p0 + ρ gh

(2.75)

Konstantni tlak p0 = konst. se može prikazati kao zbroj atmosferskog tlaka pa i konstantnog manometarskog tlaka pM0 = konst. , koji vlada iznad slobodne površine.

p= pa + pM0 0

(2.76)

Ukupni tlak p u bilo kojoj točki okvašene zakrivljene površine je

p =pa + pM0 + ph

(2.77)

S obzirom da s druge strane zakrivljene površine djeluje atmosferski tlak pa, a djelovanje konstantnog tlaka na zatvorenu površinu daje rezultantnu silu jednaku nuli, preostaje izračunati silu konstantnog manometarskog tlaka i silu hidrostatskog tlaka.

 2.6.1. Iznosi komponenti sile F0 konstantnog manometarskog tlaka

pM0 = konst. na zakrivljenu površinu  Sila F0 konstantnog manometarskog tlaka pM0 = konst. na zakrivljenu površinu je d d (2.78) F0 = − ∫ pM0 ndS S

 Iznosi komponenti sile F0 konstantnog manometarskog tlaka

pM0 = konst. na

zakrivljenu površinu su = F0 x

p dS ∫= M0

Sx

x

p= pM0 S x i slično F0 y = pM0 S y , F0 z = pM0 S z M0 ∫ dS x

(2.79)

Sx

gdje je:

pM0 = konst. konstantni manometarski tlak iznad slobodne površine

Ivo Džijan


35

2. Statika fluida

F0 x = pM0 S x , F0 y = pM0 S y , F0 z = pM0 S z

iznosi komponenti sile konstantnog

manometarskog tlaka na zakrivljenu površinu Komponente F0 x , F0 y i F0 z sile konstantnog manometarskog tlaka pM0 = konst. na zakrivljenu površinu •

po iznosu su jednake umnošku tog konstantnog manometarski tlaka pM0 i ploštine odgovarajuće projekcije zakrivljene površine

•

djeluju u težištu odgovarajuće projekcije zakrivljene površine,

•

djeluju u pravcu odgovarajućih osi,

•

djeluju prema zakrivljenoj površini ako je pM0 > 0 , i obratno.

 2.6.2. Iznosi horizontalnih komponenti Fhx i Fhy sile Fh hidrostatskog tlaka

ph = ρ gh na zakrivljenu površinu  Sila Fh hidrostatskog tlaka ph = ρ gh na zakrivljenu površinu je d d Fh = − ∫ ph ndS

(2.80)

S

 Postupak određivanja iznosa horizontalnih komponenti Fhx i Fhy sile Fh hidrostatskog tlaka ph = ρ gh na zakrivljenu površinu S i pomaka hvatišta tih komponenti u odnosu na težišta odgovarajućih projekcija je analogan postupku za ravne površine, pri čemu se projekcije Sx ,i Sy tretiraju kao vertikalne ravne površine. Primjenom tog postupka u smjeru osi 0x se dobije

= Fhx

p dS ∫= h

Sx

I ∆hx = hh hCx S x

x

ρ g= ghCx S x phCx S x ∫ hdS x ρ=

(2.81)

Sx

I ∆hxy =hχ hCx S x

(2.82)

U izrazima (2.81) i (2.82) za horizontalnu komponentu Fhx pojedine veličine su:

hCx

dubina na kojoj se nalazi težište Cx projekcije površine Sx

phCx = ρ ghCx

hidrostatski tlak u težištu Cx projekcije površine Sx

36


Ivo Džijan

2. Statika fluida

Fhx = phCx S x

iznos

horizontalne

komponente

sile

hidrostatskog

tlaka

zakrivljenu površinu S pomaci hvatišta Hx horizontalne komponente Fhx u odnosu na

∆hx , ∆hxy

težište Cx projekcije površine Sx, mjere se u vertikalnoj ravnini prema dolje i u smjeru osi Oy ako je hCx > 0 , i obratno

Iηη = ∫ χ 2dA

težišni osni (aksijalni) moment tromosti (inercije) projekcije

A

površine Sx oko horizontalne težišne osi Cxη. Iηχ = ∫ χη dA

težišni centrifugalni (devijacijski) moment tromosti (inercije)

A

projekcije površine Sx oko težišnih osi Cxh i Cxc, jednak je nuli za svaku površinu kojoj je barem jedna težišna os os simetrije. Horizontalna komponenta Fhx sile hidrostatskog tlaka ph na zakrivljenu površinu •

po iznosu je jednaka umnošku hidrostatskog tlaka phCx u težištu projekcije Sx zakrivljene površine i ploštine te projekcije,

•

djeluje u hvatištu sile Hx

•

djeluje u pravcu osi 0x,

•

djeluje prema zakrivljenoj površini ako je phCx > 0 , i obratno.

Primjenom istog postupka u smjeru osi 0y se dobije izrazi analogni izrazima (2.81) i (2.82) Fhy =

p dS ∫= h

Sy

I ∆hy = ξξ hCy S y

y

ρ g= ghCy S y phCy S y ∫ hdS y ρ=

(2.83)

Sy

I ∆hyx =xχ hCy S y

(2.84)

Opis veličine u izrazima (2.83) i (2.84) za horizontalnu komponentu Fhy je sličan onima za komponentu Fhx .

Ivo Džijan


37

2. Statika fluida

U slučaju složene zakrivljene površine iznos horizontalne komponente Fhx sile hidrostatskog tlaka se računa na sljedeći način: •

Rastaviti površinu na dijelove koji su okvašeni samo s lijeve ili samo s desne strane

•

Projicirati te dijelove u vertikalnu ravninu.

•

Projekcije zbrojiti odnosno oduzeti vodeći računa o smjerovima odgovarajućih sila pri čemu se preklapajuće projekcije poništavaju jer su odgovarajuće horizontalne komponente sila jednake po iznosu, a suprotnog smjera.

Ovim postupkom se dobije rezultirajuća projekcija koja daje rezultirajuću horizontalnu komponentu sile. Isti postupak se koristi za računanje iznosa druge horizontalne komponente Fhy sile hidrostatskog tlaka, horizontalnih F0x, F0y i vertikalne F0z komponente sile konstantnog manometarskog tlaka, s tim da se projiciranje složene zakrivljene površine vrši u odgovarajuće ravnine. Primjer računanja horizontalnih komponenti sila tlaka na složenu zakrivljenu površinu je prikazan na sljedećoj slici.

A Cx

Sx

Hx Cx1

B

E

Hx1 D Slika 2.19 Primjer složene zakrivljene površine za računanje horizontalnih komponenti sile tlaka

38


Ivo Džijan

2. Statika fluida

 2.6.3. Iznos vertikalne komponente Fhz sile Fh hidrostatskog tlaka ph = ρ gh na zakrivljenu površinu

 Vertikalna komponenta Fhz sile Fh hidrostatskog tlaka ph = ρ gh na zakrivljenu površinu S je

= Fhz

p dS ∫= h

ρ g= g ∫ dV ρ gV ∫ hdS z ρ=

z

Sz

Sz

(2.85)

V

gdje je: V

volumenu između zakrivljene površine S i slobodne površine,

Fhz = ρ gV

iznosi vertikalne komponente sile hidrostatskog tlaka na zakrivljenu površinu

Vertikalna komponenta Fhz sile hidrostatskog tlaka ph na zakrivljenu površinu •

po iznosu je jednaka težini fluida koji se nalazi ili bi se nalazio u volumenu V između zakrivljene površine S i slobodne površine,

•

djeluje u težištu volumena V,

•

djeluje u pravcu vertikalne osi 0z, i

•

djeluje prema zakrivljenoj površini ako je volumen V ispod slobodne površine, tj. ako se zakrivljena površina nalazi ispod slobodne površine.

Slika 2.20 Smjer djelovanja vertikalne komponente sile tlaka na zakrivljenu površinu

Ivo Džijan


39

2. Statika fluida

U slučaju složene zakrivljene površine iznos vertikalne komponente Fhz sile hidrostatskog tlaka se računa na sljedeći način: •

Rastaviti površinu na dijelove koji su okvašeni samo s donje ili samo s gornje strane.

•

Označiti volumene između tih dijelova zakrivljene površine i slobodne površine.

•

Volumene zbrojiti odnosno oduzeti vodeći računa o smjerovima odgovarajućih sila pri čemu se preklapajući volumeni poništavaju jer su odgovarajuće vertikalne komponente sila jednake po iznosu, a suprotnog smjera.

Ovim postupkom se dobije rezultirajući volumen koji daje rezultirajuću vertikalnu komponentu sile. Na dijelu površine S na kojem se vertikalne projekcije Sz površine preklapaju, vertikalne komponente Fhz sile hidrostatskog tlaka se samo djelomično poništavaju tako da kao rezultirajući volumen preostane volumen između odgovarajućih dijelova zakrivljene površine. Primjer računanja vertikalne komponente Fhz sile hidrostatskog tlaka na složenu zakrivljenu površinu je prikazan na sljedećoj slici.

V1

V2

=

+

Fhz1 = ρ gV1

Fhz 2 = ρ gV2

V

F= Fhz1 − Fhz 2 hz

= ρ gV1 − ρ gV2 = ρ g (V1 − V2 )

= ρ gV Slika 2.21 Primjer složene zakrivljene površine za računanje vertikalne komponente sile hidrostatskog tlaka

40


Ivo Džijan

2. Statika fluida

2.7. Sila uzgona Sila uzgona je rezultat djelovanja sila ukupnog tlaka po površini tijela potpuno uronjenog u fluid. Ako je ukupni tlak p =pa + pM0 + ph , a S zatvorena površina potpuno uronjenog tijela volumena Vb, onda se uz primjenu Gaussove formule i osnovne jednadžbe promjene d tlaka u mirujućem fluidu u polju gravitacije grad p = − r gk , gdje je r gustoća fluida u koji je uronjeno tijelo volumena Vb, dobije ddd d d Fb = rr gk ∫ dV = k gVb = k Fb − ∫ pndS = − ∫ gradp dV = S

Vb

(2.86)

Vb

gdje je:

Vb

volumen potpuno uronjenog tijela

Fb = ρ gVb

iznos sile uzgona na uronjeno tijelo, težina istisnine

  Fb = k Fb

sila uzgona na uronjeno tijelo

 Sila uzgona Fb

•

po iznosu je jednaka težini fluida istisnutog tijelom (težini istisnine),

•

djeluje u težištu volumena Vb i

•

djeluje vertikalno

•

prema gore.

Na potpuno uronjeno tijelo u općem slučaju djeluje ukupni tlak p =pa + pM0 + ph . Sile konstantnog tlaka (bilo atmosferskog ili manometarskog) na zatvorenu površinu potpuno uronjenog tijelo međusobno se poništavaju, a poništavaju se i horizontalne komponente sile hidrostatskog tlaka, pa na potpuno uronjeno tijelo preostane samo vertikalna komponenta sile hidrostatskog tlaka. Dakle, sila uzgona je vertikalna komponenta sile hidrostatskog tlaka na potpuno uronjeno tijelo. Ako tijelo pliva na slobodnoj površini, sila uzgona se računa s dijelom ukupnog volumena tijela koji se nalazi ispod slobodne površine. Taj se volumen i tada može smatrati potpuno uronjenim volumenom jer je hidrostatska sila na površinu koja pripada slobodnoj površimi jednaka nuli.

Ivo Džijan


41

2. Statika fluida

Slika 2.22 Sila uzgona

Sila uzgona na tijelo potpuno uronjeno u kapljevinu prema Slika 2.22 se može dobiti kao razlika vertikalnih komponente sile hidrostatskog tlaka Fhz1 = ρ gV1 (koja djeluje prema gore) i Fhz 2 = ρ gV2 (koja djeluje prema dolje)

Fb = Fhz1 − Fhz 2 = ρ gV1 − ρ gV2 = ρ gV

(2.87)

Sila uzgona djeluje prema gore, a hvatište joj je u težištu volumena tijela. Sila uzgona na granici dvaju fluida Slika prikazuje slučaj plivanja tijela mase m , gustoće ρ0 na razdjelnoj površini dvaju fluida gustoća ρ1 i ρ2. Točke C1 i C2 su težišta volumena istisnine V1 i V2, a T je težište tijela.

Slika 2.23 Sila uzgona na granici dvaju fluida

Sila Fb uzgona je zbroj Fb = Fb1 + Fb2 = ρ1 gV1 + ρ 2 gV2 42


Ivo Džijan

2. Statika fluida

Uvjet plivanja (ravnoteže) je da su rezultantna sila i rezultantni moment u odnosu na težište tijela jednaki nuli.

Fb = mg

ρ1 gV1 + ρ 2 gV2 = ρ0 g (V1 + V2 )

Fb1∆ x1 = Fb2 ∆ x2

ρ1 gV1∆ x1 = ρ 2 gV2 ∆ x2

Jasno je da vrijedi ρ 2 > ρ0 > ρ1 . Sila uzgona na tijelo koje pliva na slobodnoj površini Ako se tijelo nalazi na slobodnoj površini kapljevine ρ = konst. iznad koje je zrak , sila uzgona zraka se (granica dvaju fluida) zanemarivo male gustoće rr zr  zanemaruje. Dakle, za tijelo koje pliva na slobodnoj površini, iznos sile uzgona je također

Fb = ρ gVb , gdje je Vb dio ukupnog volumena tijela koji se nalazi ispod slobodne površine. Taj se volumen može smatrati potpuno uronjenim volumenom jer je hidrostatska sila na površinu koja pripada slobodnoj površini jednaka nuli.

G > Fb tijelo tone

G = Fb tijelo lebdi

G = Fb tijelo pliva

Slika 2.24 Odnos sile uzgona i težine tijela

Ivo Džijan


43

2. Statika fluida

Areometar Areometar je instrument za mjerenje gustoće kapljevine koji radi na principu hidrostatskog uzgona. Va pa

ρ0 r0

g

pa

h

g

r >r 0

r0

A V0

Slika 2.25 Princip mjerenja gustoće uz pomoć areometra

Prvo se postavi jednadžba ravnoteže areometra za slučaj kapljevine poznate gustoće ρ0 (slika lijevo)

= mg ρ0 gV0 + ρa gVa

(2.88)

a zatim jednadžba ravnoteže za slučaj kapljevine nepoznate gustoće ρ (slika desno) mg= ρ g (V0 − Ah ) + ρ a g (Va + Ah )

(2.89)

Izjednačavanjem desnih strana ovih jednadžbi ravnoteže može se dobiti izraz za visinu h h=

V0 ρ − ρ0 A ρ − ρa

(2.90)

odnosno izraz za nepoznatu gustoću ρ

V0 ρ0 − ρa Ah ρ= V0 −1 Ah

(2.91)

Mjerenjem visine h dodatnog izranjanja areometra u kapljevini nepoznate gustoće ρ u odnosu na kapljevinu poznate gustoće ρ0, uz poznatu geometriju areometra, može se izračunati gustoća nepoznate kapljevine prema izrazu (2.91).

44


Ivo Džijan

2. Statika fluida

Primjer računanja sila tlaka na složenu zakrivljenu površinu: Definirajte izraze za horizontalnu i vertikalnu komponentu sile posebno uslijed konstantnog tlaka pM0, a posebno uslijed hidrostatskog tlaka ph na zakrivljenu površinu kružnog valjka jedinične širine, prema slici. Sve potrebne površine i volumene označite na slici. Ucrtajte sve sile. Poznato je: R, h, a, B, ρ. g

pM0

a h

R

pa ρ

B=1m h

a

Slika 2.26 Primjer složene zakrivljene površine za računanje sile tlaka

Rješenje: U zadatku s dvije slobodne površine, prvo se treba odlučiti s kojoj slobodnom površinom će se računati hidrostatska sila. 1. Varijanta rješavanja Ako se odluči kao slobodnu površinu koristiti površinu kapljevine s desne strane valjka iznad koje vlada atmosferski tlak pa, onda na okvašenom dijelu zakrivljene površine valjka djeluje samo hidrostatski tlak.

Ivo Džijan


45

2. Statika fluida

F0z

g

pM0 F0x Δh

a Fhz1

Fhx hCx

V1

ρ

h

R

V3

S0x

V2

Fhz2

Sx

pa

Fhz3

B=1m

B

B

a

h

S0z

B

Slika 2.27 Sila tlaka na složenu zakrivljenu površinu kad je slobodna površina s desne strane

Konstantni manometarski tlak je negativan, tj. Podtlak

pM0 = − ρ gh

(2.92)

Horizontalna komponenta sile konstantnog manometarskog tlaka

= F0 x p= pM0 aB M0 S0 x

(2.93)

Vertikalna komponenta sile konstantnog manometarskog tlaka F0 z pM0 S0 z pM0 ( h + a ) B = =

(2.94)

S obzirom da je konstantni manometarski tlak negativan komponente sile konstantnog manometarskog tlaka djeluju od zakrivljene površine. Horizontalna komponenta hidrostatske sile  h = Fhx phCx= S x ρ ghCx= S x ρ g  −  hB  2

(2.95)

Pomak hvatišta horizontalne komponente hidrostatske sile u odnosu na težište projekcije h3 B Ihh h ∆hx = = 12 = − h 6 hCx S x − hB 2

46


(2.96)

Ivo Džijan

2. Statika fluida

S obzirom da je težište projekcije iznad slobodne površine, hidrostatski tlak je negativan pa horizontalna komponenta hidrostatske sile djeluju od zakrivljene površine, iznad težišta projekcije. Vertikalna komponenta hidrostatske sile

Fhz = ρ gV = ρ gV1 + ρ gV2 − ρ gV3 = Fhz1 + Fhz 2 + Fhz 3

(2.97)

Volumen V1 je rezultat oduzimanja većeg volumena koji daje silu prema gore (podtlak iznad gornjeg dijela površine vuče površinu prema gore) i manjeg volumena koji daje silu prema dolje (podtlak ispod donjeg dijela površine vuče površinu prema dolje). Volumen V2 se nalazi ispod slobodne površine, pa vertikalna komponenta hidrostatske sile povezana s takvim volumenom uvijek djeluje prema zakrivljenoj površini (na toj površini djeluje pretlak), dakle u ovom slučaju prema gore. Volumen V3 se nalazi iznad slobodne površine, pa vertikalna komponenta hidrostatske sile povezana s takvim volumenom uvijek djeluje od zakrivljene površine (na toj površini djeluje podtlak), dakle u ovom slučaju prema dolje. 2. Varijanta rješavanja g

F0z

pM0

a hCx F0x Δh Fhx

Fhz h

R V

R

pa

ρ

B=1m

S0x

Sx

B

B

a

h

S0z

B

Slika 2.28 Sila tlaka na složenu zakrivljenu površinu kad je slobodna površina s lijeve strane

Ako se odluči kao slobodnu površinu koristiti površinu kapljevine s lijeve strane valjka iznad koje vlada konstantni manometarski tlak pM0, onda na okvašenom dijelu

Ivo Džijan


47

2. Statika fluida

zakrivljene površine valjka osim hidrostatskog tlaka djeluje i taj konstantni manometarski tlak pM0. Konstantni manometarski tlak je negativan, tj. podtlak

pM0 = − ρ gh

(2.98)

Horizontalna komponenta sile konstantnog manometarskog tlaka = F0 x pM0 = S0 x pM0 ( h + a ) B

(2.99)

Vertikalna komponenta sile konstantnog manometarskog tlaka

= F0 z p= pM0 aB M0 S0 z

(2.100)

S obzirom da je konstantni manometarski tlak negativan komponente sile konstantnog manometarskog tlaka djeluju od zakrivljene površine. Horizontalna komponenta hidrostatske sile h Fhx p= ρ gh ρ g hB = = hCx S x Cx S x 2

(2.101)

Pomak hvatišta horizontalne komponente hidrostatske sile u odnosu na težište projekcije h3 B Ihh h ∆h= = 12= x hCx S x h hB 6 2

(2.102)

S obzirom da je težište projekcije ispod slobodne površine, hidrostatski tlak je pozitivan pa horizontalna komponenta hidrostatske sile djeluju prema zakrivljenoj površini, ispod težišta projekcije. Vertikalna komponenta hidrostatske sile

Fhz = ρ gV

(2.103)

Volumen V se može podijeliti na dva dijela. Prvi manji dio je isti kao volumen V1 iz 1. varijante rješavanja, a on je u ovoj varijanti rješavanja rezultat oduzimanja većeg volumena koji daje silu prema gore (pretlak ispod donjeg dijela površine gura površinu prema gore) i manjeg volumena koji daje silu prema dolje (pretlak iznad gornjeg dijela površine gura površinu prema dolje). Drugi veći dio se nalazi ispod slobodne površine, pa vertikalna komponenta hidrostatske sile povezana s takvim volumenom uvijek djeluje prema zakrivljenoj površini (na toj površini djeluje pretlak), dakle u ovom slučaju prema gore.

48


Ivo Džijan

2. Statika fluida

Najvažnije – Statika fluida

 ∇p =− ρ gk

p0 = pM0 + pa > 0

= pM pM0 + ph ph = ρ gh

pM= p − pa

p = p0 + ph = pM + pa = pM0 + ph + pa > 0

d d Fp = -ò n pdS

  FG = -k r gV

F0 = pM0 A

pM0 = konst.

Fh = phC A

phC = ρ ghC

F0 x = pM0 S x

pM0 = konst.

F0 z = pM0 S z

pM0 = konst.

Fhx = phCx S x

phCx = ρ ghCx

Fhz = ρ gV

V volumen između zakrivljene i slobodne površine

Fb = ρ gVb

Vb volumen potpuno uronjenog tijela

S

Iξξ ∆y = yC A

I ∆hx = hh hCx S x

Napomene – Statika fluida •

Dubine težišta površina i projekcija površina mogu biti pozitivne ili negativne.

•

Apsolutni tlakovi su pozitivni.

•

Relativni tlakovi mogu biti pozitivni ili negativni.

•

Iznosi sila tlaka i komponenti sila tlaka su pozitivni.

•

Sila uzgona djeluje vertikalno prema gore.

•

Vertikalna komponenta sile hidrostatskog tlaka na zakrivljenu površinu djeluje prema zakrivljenoj površini ako se zakrivljena površina nalazi ispod slobodne površine.

•

Ostale sile i komponente sila djeluju prema površini ako je pozitivan odgovarajući tlak čija su posljedica.

Ivo Džijan


49

2. Statika fluida

Popis veličina – Statika fluida m

kg

V

3

m

volumen

S

m2

zakrivljena površina, otvorena ili zatvorena

dm

kg

infinitezimalno mala masa čestice fluida

dV

m3

infinitezimalno mali volumen čestice fluida

dS

m2

infinitezimalno mala površina

masa

ρ = dm/dV kg/m3 gustoća fluida  n jedinična vanjska normala na infinitezimalno malu površinu dS  N/kg = m/s2 specifična masena sila f   N/kg = m/s2 specifična gravitacijska sila g = − gk g = 9,80665 m/s2 gravitacijsko ubrzanje    specifična površinska sila, odnosno vektor naprezanja s = - pn + s f N/m2 = Pa 

σf

N/m2 = Pa

p grad = p ∇=

 k

-

vektor viskoznih naprezanja

∂p dd ∂p ∂p d i+ j+ k ∂x ∂y ∂z

N/m2 = Pa

gradijent tlaka

jedinični vektor u pravcu osi Oz pravokutnog Kartezijevog koordinatnog sustava Oxyz usmjeren vertikalno prema gore

z

m

os pravokutnog Kartezijevog koordinatnog sustava Oxyz usmjerena   prema gore, tj. suprotno od vektora specifične gravitacijske sile g = − gk

h = −z m

dubina, os usmjerena prema dolje, tj. u smjeru vektora specifične   gravitacijske sile g = − gk i koja počinje na slobodnoj površini kapljevine

p

N/m2 = Pa

apsolutni (termodinamički) tlak

p0

N/m2 = Pa

apsolutni tlak iznad slobodne površine što znači i u točki O

smještenoj na slobodnoj površini pa

N/m2 = Pa

pv

2

N/m = Pa

(apsolutni) tlak zasićenja kapljevine pri određenoj temperaturi

pM

2

manometarski tlak, relativni tlak mjeren od atmosferskog tlaka,

N/m = Pa

(apsolutni) atmosferski tlak

pM0 > 0 manometarski pretlak, pM0 < 0 manometarski podtlak 50


Ivo Džijan

2. Statika fluida

N/m2 = Pa

pM0

konstantni manometarski tlak, pM0 > 0 konstantni manometarski

pretlak, pM0 < 0 konstantni manometarski podtlak ph = ρgh

N/m2 = Pa

hidrostatski tlak, ph > 0 hidrostatski pretlak, ph < 0

hidrostatski podtlak phC = ρghC

N/m2 = Pa

hidrostatski tlak u težištu C, phC > 0 hidrostatski pretlak u

točki C, phC < 0 hidrostatski podtlak u točki C hC

m

dubina težišta C ravne površine

yC = hC / sinϑ m

udaljenost težišta C ravne površine od slobodne površine u

ravnini ravne površine hf = pM0 / (ρ g)m

udaljenost fiktivne slobodne površine (na kojoj vlada atmosferski

tlak pa) od stvarne slobodne površine iznad koje vlada konstantni manometarski tlak pM0

d d Fm = ò f rdV

N

masena sila

  FG = -k r gV

N

sila težine

d  d FS = ò sdS FS

N

površinska sila

d d Fp = -ò n pdS

N

sila tlaka

d d Ff = ò s f dS

N

viskozna sila

V

S

S

S

F0 = pM0 A

N

sila konstantnog manometarskog tlaka pM0 na ravnu površinu A,

djeluje u težištu C ravne površine, djeluje okomito prema ravnoj površini ako je pM0 > 0 (manometarski pretlak) Fh = phC A

N

sila hidrostatskog tlaka ph na ravnu površinu, djeluje u hvatištu

sile H ravne površine, djeluje okomito prema ravnoj površini ako je phC > 0 (hidrostatski pretlak) Δy = Iξξ / (yC A)

m

pomak hvatišta H sile hidrostatskog tlaka Fh u odnosu na

težište C ravne površine A, mjeri se u ravnini ravne površine prema dolje ako je yC > 0, tj. ako se težište površine nalazi ispod slobodne površine Ivo Džijan


51

2. Statika fluida

m4

Iξξ > 0

težišni osni (aksijalni) moment tromosti (inercije) površine A oko

horizontalne težišne osi Oξ A>0

m2

veličina (ploština) ravne površine A

F0x = pM0 Sx

N

horizontalna komponenta sile konstantnog manometarskog tlaka

pM0 na zakrivljenu površinu S u pravcu osi Ox, djeluje u težištu Cx projekcije površine Sx u ravnini Oyz, djeluje prema zakrivljenoj površini ako je pM0 > 0 (manometarski pretlak) F0y = pM0 Sy

N

horizontalna komponenta sile konstantnog manometarskog tlaka

pM0 na zakrivljenu površinu S u pravcu osi Oy, djeluje u težištu Cy projekcije površine Sy u ravnini Oxz, djeluje prema zakrivljenoj površini ako je pM0 > 0 (manometarski pretlak) F0z = pM0 Sz

N

vertikalna komponenta sile konstantnog manometarskog tlaka pM0

na zakrivljenu površinu S u pravcu osi Oz, djeluje u težištu Cz projekcije površine Sz u ravnini Oxy, djeluje prema zakrivljenoj površini ako je pM0 > 0 (manometarski pretlak) Fhx = phCx Sx N

horizontalna

komponenta

sile

hidrostatskog

tlaka

ph

na

zakrivljenu površinu S u pravcu osi x, djeluje u hvatištu sile Hx projekcije površine Sx, prema zakrivljenoj površini ako je phCx > 0 (hidrostatski pretlak) Fhy = phCy Sy N

horizontalna

komponenta

sile

hidrostatskog

tlaka

ph

na

zakrivljenu površinu S u pravcu osi y, djeluje u hvatištu sile Hy projekcije površine Sy, prema zakrivljenoj površini ako je phCy > 0 (hidrostatski pretlak) Fhz = ρ g V

N

vertikalna komponenta sile hidrostatskog tlaka ph na zakrivljenu

površinu S u pravcu osi z, djeluje u težištu volumena V između zakrivljene površine i slobodne površine, djeluje prema zakrivljenoj površini ako je volumen V ispod slobodne površine, tj. ako se zakrivljena površina nalazi ispod slobodne površine V

52

m3

volumen između zakrivljene površine S i slobodne površine


Ivo Džijan

2. Statika fluida

Δhx = Iηη / (hCx Sx)

m

pomak

hvatišta

horizontalne

komponente

sile

Fhx

hidrostatskog tlaka na zakrivljenu površinu S u pravcu osi x, u odnosu na težište Cx projekcije Sx, mjeri se prema dolje ako je hCx > 0 Δhy = Iξξ / (hCy Sy)

m

pomak

hvatišta

horizontalne

komponente

sile

Fhy

hidrostatskog tlaka na zakrivljenu površinu S u pravcu osi y, u odnosu na težište Cy projekcije Sy, mjeri se prema dolje ako je hCy > 0 Iηη > 0 m4

težišni osni (aksijalni) moment tromosti (inercije) projekcije Sx oko horizontalne težišne osi Oξ

4

Iξξ > 0 m

težišni osni (aksijalni) moment tromosti (inercije) projekcije Sy oko horizontalne težišne osi Oξ

Sx > 0, Sy > 0, Sz > 0 m2

veličine (ploštine) projekcija zakrivljene površine S u

odgovarajuće ravnine Fb = ρ g Vb

N

sila uzgona na potpuno uronjeno tijelo volumena Vb, odnosno sila

tlaka na zatvorenu površinu potpuno uronjenog tijela volumena Vb, odnosno vertikalna komponenta sile hidrostatskog tlaka na potpuno uronjeno tijelo volumena Vb, djeluje u težištu volumena Vb, djeluje vertikalno prema gore Vb

m3

Ivo Džijan

volumen potpuno uronjenog tijela


53

fLUIDI - pREDAVANJA

Recommend Documents