SOLUCION DE PROBLEMAS 1) La unidad de producción la Crema perteneciente a la Empresa de Gastronomía elabora elabora al día varios lotes de kake con el objetivo de satisfacer la demanda de cumpleaños. Los lotes de kake se componen por veinte unidades. Las unidades son vendidas a quince pesos el costo tiene un valor de die! pesos. La mitad de los lotes que no sean vendidos son destinados al Círculo "nfantil #olodia #olodia sin obtener a cambio remuneración económica$ la otra mitad se vende a %11.&& Construa la matri! de pa'o$ en un día se pueden solicitar ( * + , lotes pero se desconoce a la -ora de la elaboración la cantidad especifica de lotes que se van a solicitar en el día$ por cada unidad demandada no eistente se -ace un descuento %&$(& a la unidad productora En este caso/
Alternativas
Estados de la Naturaleza
a1 Elaborar ( lotes
e1 0ue se demanden ( lotes
a Elaborar * lotes
e 0ue se demanden * lotes
Elaborar + lotes
e2 0ue se demanden + lotes
a 3 Elaborar , lotes
e3 0ue se demanden , lotes
a2
C4lculos xij ingreso cos tos descuento
x11 1( 1&& 1& 1&& & (&&
x 1 1( 1&& 1& 1& & 2&&
x1 1( 1&& 1& 1&& & &$( 35&
x 1( 1& 1& 1& & *&&
x12 1( 1&& 1& 1&& 3& &$( 3,&
x 2 1( 1& 1& 1& & &$( (5&
x13 1( 1&& 1& 1&& *& &$( 3+&
x 3 1( 1& 1& 1& 3& &$( (,&
x 21 1( 1&& 1& 13& & 1&&
x 31 1( 1&& 1& 1*& & 1&&
x 2 1( 1& 1& 13& & 3&&
x 3 1( 1& 1& 1*& & &&
x 22 1( 13& 1& 13& & +&&
x 32 1( 13& 1& 1*& & (&&
x 23 1( 13& 1& 13& & &$( *5&
x 33 1( 1*& 1& 1*& ,&&
Estados de la Naturaleza Alternativas
e2
e3
e1
e
a1
% %( ( &&
% 3 5& %3 ,& % 3+ &
a
%2 &&
%* && %( 5& %( , &
a2
%1 &&
%3 && %+ && %* 5 &
a 3 %671&&)
% & & %( && %, & &
1.3 o!a de de"isi#n "on in"ertidu!$re. Criterios a utilizar
En los procesos de decisión bajo incertidumbre$ el decisor conoce cu4les son los posibles estados de la naturale!a$ aunque no dispone de información al'una sobre cu4l de ellos ocurrir4. En particular$ esto eclue el conocimiento de la información de tipo probabilística sobre las posibilidades de ocurrencia de cada estado. 8 continuación se describen las diferentes re%las de de"isi#n en ambiente de incertidumbre$ que ser4n sucesivamente aplicadas al ejemplo de elaboración de 9ake.
Criterio de :ald 6;esimista$
Criterio <4imas 6=ptimista$
Criterio de Coeficiente de =ptimismo 6>ur?ic!)
Criterio de ;@rdida de =portunidad 6Aava'e)
Criterio de "'ual ;robabilidad 6Laplace)
1.3.1
Criterio Pesi!ista &'ald(
Este criterio consiste en considerar que sea cual sea la alternativa tomada$ siempre va a pasar lo peor$ es decir el estado de la naturale!a que va a ocurrir es el que va a provocar el valor m4s pequeño si es un caso de m4imo el valor m4s 'rande si es un caso de mínimo$ se tratar4 entonces de mejorar la situación tomando lo mejor de lo peor.
Minx Max ij J i
en un caso de m4.imo
Maxx Min ij J i
en un caso de mínimo
En el ejemplo citado se procedería de la si'uiente manera/
a1
3+&
a
2&&
a2
1&&
De"isi#n a to!ar
a 3 71&&
1.2. Criterio O)ti!ista Este criterio consiste en considerar que sea cual sea la alternativa tomada$ siempre va a pasar lo mejor$ es decir el estado de la naturale!a que va a ocurrir es el que va a provocar el valor m4s 'rande si es un caso de m4imo el valor m4s pequeño si es un caso de mínimo$ se tratar4 entonces de esco'er lo mejor de lo mejor.
Maxx Max ij J i Minx Min ij J i
en un caso de m4.imo
en un caso de mínimo
En el ejemplo citado se procedería de la si'uiente manera/
a1
(&&
a
*&&
a2
+&&
a 3 ,&&
1.3.3
De"isi#n a to!ar Criterio de *er+i"z
Este criterio parte de combinar ponderaciones de optimismo pesimismo. Au'iere este autor la consideración de un coeficiente de optimismo denotado por que puede tomar cualquier valor comprendido entre & 1. ;uede considerarse que si
1 si'nifica completo optimismo si
pesimismo los valores intermedios entre cero uno optimismo.
Caso de <4imo
H i
Max x
i
& es completo denotan personas con diferentes coeficientes de
Caso de <ínimo ij
1 Minxij H i
i
Minx x 1 Max x
ij
i
ij
i
En el caso de <4imo se esco'e la alternativa a i a la que le corresponda un maor H i $ En el caso de mínimo se esco'e la alternativa ai a la que le corresponda un menor H i $ H 1 &$+ (&& &$2 3+& 351
. a1 a
H 1 &$+ *&& &$2 2&& (1&
a2
H 1 &$+ +&& &$2 1&& (&
a3
H 1 &$+ ,&& &$2 61&&) (2&
De"isi#n a to!ar
1.3.,Criterio de Estados E-ui)ro$a$les &LAPLACE(
Este criterio$ propuesto por Laplace en 1,($ est4 basado en el principio de la ra!ón insuficiente/ como a priori no eiste nin'una ra!ón para suponer que un estado se puede presentar antes que los dem4s$ podemos considerar que todos los estados tienen la misma probabilidad de ocurrencia$ es decir$ la ausencia de conocimiento sobre el estado de la naturale!a equivale a afirmar que todos los estados son equiprobables. 8sí$ para un
problema de decisión con n posibles estados de la naturale!a$ asi'naríamos probabilidad 1Bn a cada uno de ellos. na ve! reali!ada esta asi'nación de probabilidades$ a la alternativa ai le corresponder4 un resultado esperado i'ual a/
La re'la de Laplace selecciona como alternativa óptima aquella que proporciona un maor resultado esperado/
Nota/ En caso de minino Laplace selecciona como alternativa óptima aquella que proporciona el menor resultado.
a1 7777777 a 7777777 a2
7777777
a 3 7777777
1.3.
(&& 35& 3,& 3+& 3
2&& *&& (5& (,& 3 1&& 3&& +&& *5& 3
3,(
(1+$( 7777777decisión a tomar 3+$(
1&& && (&& ,&&
3
2(&
Criterio de P/rdida de O)ortunidad &Sava%e(
Aava'e ar'umenta que al utili!ar los valores ij para reali!ar la elección$ el decisor compara el resultado de una alternativa bajo un estado de la naturale!a con todos los dem4s resultados$ independientemente del estado de la naturale!a bajo el que ocurran. Ain embar'o$ el estado de la naturale!a no es controlable por el decisor$ por lo que el resultado de una alternativa sólo debería ser comparado con los resultados de las dem4s alternativas bajo el mismo estado de la naturale!a. Con este propósito Aava'e define el concepto de p@rdida relativa o p@rdida de oportunidad r ij asociada a un resultado ij como la diferencia entre el resultado de la mejor alternativa dado que e j es el verdadero estado de la naturale!a el resultado de la alternativa a i bajo el estado e j/
8sí$ si el verdadero estado en que se presenta la naturale!a es e j el decisor eli'e la alternativa ai que proporciona el m4imo resultado ij$ entonces no -a dejado de 'anar nada$ pero si eli'e otra alternativa cualquiera ar $ entonces obtendría como 'anancia rj dejaría de 'anar ij7rj.
Aava'e propone seleccionar la alternativa que proporcione la menor de las maores p@rdidas relativas$ es decir$ si se define r i como la maor p@rdida que puede obtenerse al seleccionar la alternativa ai$ El criterio de Aava'e resulta ser el si'uiente/
Conviene destacar que$ como paso previo a la aplicación de este criterio$ se debe calcular la matri! de p@rdidas relativas$ formada por los elementos r ij. Cada columna de esta matri! se obtiene calculando la diferencia entre el valor m4imo de esa columna cada uno de los valores que aparecen en ella.
Estados de la Naturaleza Alternativas
a1
22&
a
&
a2
&&
a3
*&&
e1
e
e2
e3
a1
%&
%11&
%&
%22&
a
%&&
%&
%11&
%&
a2
%1&&
%&&
%&
%11&
a3
%*&&
%3&&
%&&
%&
De"isi#n a to!ar
1.3 Doma de ecisión Fajo ies'o. Criterios a utili!ar . Los procesos de decisión en ambiente de ries'o se caracteri!an porque puede asociarse una probabilidad de ocurrencia a cada estado de la naturale!a$ probabilidades que son conocidas o pueden ser estimadas por el decisor antes del proceso de toma de decisiones. Los diferentes criterios de decisión en ambiente de ries'o se basan en estadísticos asociados a la distribución de probabilidad de los resultados. 8l'unos de estos criterios se aplican sobre la totalidad de las alternativas$ mientras que otros sólo tienen en cuenta un subconjunto de ellas$ considerando las restantes peores$ por lo no que est4n presentes en el proceso de toma de decisiones. epresentaremos por
p j
la probabilidad de ocurrencia del estado estado
e1
e
;robabilidad p1 p
. . e n . . . .
pn
e j
.
Los principales criterios de decisión empleados sobre tablas de decisión en ambiente de ries'o son/
Criterio del #alor Esperado
Criterio del Hivel de 8spiración
Criterio del Iuturo m4s ;robable
Criterio de la ;@rdida de =portunidad Esperada
Dodos estos criterios ser4n aplicados al problema de decisión bajo ries'o cua tabla de resultados fi'ura a continuación/ ecisión bajo ries'o/ Ejemplo Estados de la Haturale!a 8lternativas
e1
;robabilidades &.
e
e2
e3
&.(
&.2
&.2
a1
.(&&
35&
3,&
3+&
a
2&&
*&&
(5&
(,&
a2
1&&
3&&
+&&
*5&
a3
71&&
&&
(&&
,&&
1.,.1Criterio del 0alor Es)erado &Baes(
El resultado o valor es)erado para la alternativa ai$ que notaremos E 6 a i ) n
#iene dado por/ E 6 ai ) p j xij . j 1
;or lo que el "riterio del valor es)erado resulta ser/ Ele%ir la alternativa a i tal -ue E 6 a i ) E ak para toda 1 k m en un caso de m4imo. Ele%ir la alternativa a i tal -ue E 6 a i ) E ak para toda 1 k m en un caso de mínimo. E a1
&$& (&& &$( 35& &$2 3,& &$2 3+& 3,3$&
E a
&$& 2&& &$( *&& &$2 (5& &$2 (,& (2$& De"isi#n a to!ar
E a1
&$& 1&& &$( 3&& &$2 +&& &$2 *5& (&$+&
E a1
&$& 61&&) &$( && &$2 (&& &$2 ,&& 2+3
La alternativa óptima se'Jn el criterio del valor esperado sería a$ pues proporciona el m4imo de los valores esperados. 1.,.2
Criterio del Nivel de As)ira"i#n
Ae fija por el decisor un valor que si'nifica el nivel de aspiración a obtener$ lue'o se suman para cada alternativa las probabilidades correspondientes a cada pa'o que sea maor o i'ual al nivel de aspiración fijado. Ae selecciona la alternativa cua suma de probabilidad sea la maor. ado un nivel de aspiración prefijado 6H8)$ el resultado para la alternativa ai$ que notaremos R&ai($ viene dado por/
;or lo que el "riterio del Nivel de As)ira"i#n resulta ser/
;artiendo del ejemplo ilustrativo de decisión bajo ries'o$ la si'uiente tabla muestra el resultado para cada una de las alternativas.
CRIERIO DEL NI0EL DE ASPIRACION &NA 4( Estados de la Naturaleza Alternativas
e1
e2
e3
e,
R&ai(
a1
(&&
35&
3,&
3+&
4
a
2&&
*&&
(5&
(,&
4526453264523457
a2
1&&
3&&
+&&
*5&
45326452345
a3
71&&
&&
(&&
,&&
4.23
&.(
&.2
&.2
Pro$a$ilidades &.
La alternativa óptima se'Jn el criterio del Hivel de 8spiración sería a $ pues proporciona el m4imo de la suma de las probabilidades correspondientes a los xij H8 . 1.,.3 Criterio del 8uturo !9s Pro$a$le &M9:i!a Pro$a$ilidad(
Ae selecciona el mejor x ij a partir del estado m4s probable 6n). ;or lo que el "riterio del 8uturo !9s Pro$a$le resulta ser/
E;e!)lo
;artiendo del ejemplo ilustrativo de decisión bajo ries'o$ la si'uiente tabla muestra el resultado para cada una de las alternativas.
CRIERIO DEL 8UURO PROBABLE Estados de la Naturaleza Alternativas
e1
e2
e3
e,
e3
a1
.(&&
35&
3,&
3+&
3,&
a
2&&
*&&
(5&
(,&
(5&
a2
1&&
3&&
+&&
*5&
+&& De"isi#n a to!ar
a3
71&&
&&
(&&
,&&
(&&
&.(
&.2
&.2
&.2
Pro$a$ilidades &.
La alternativa óptima se'Jn el criterio del Iuturo m4s ;robable sería a2 $ pues proporciona el maor valor x ij para el estado m4s probable e2 . 1.,., Criterio de la P/rdida de O)ortunidad Es)erada
;rimeramente debe formarse la matri! con p@rdida de oportunidad$ para ello se esco'e la mejor alternativa por evento 6columnas) se forma una nueva matri! restando el valor de esa mejor alternativa a las dem4s alternativas 6elementos de la columna). Lue'o se aplica el mismo m@todo del valor esperado$ multiplicando cada valor x ij por el valor de probabilidad asociado. La matri! de p@rdidas quedaría/
P/rdida de O)ortunidad Es)erada Estados de la Naturaleza Alternativas
e1
e2
e3
e,
a1
%&
%11&
%&
%22&
a
%&&
%&
%11&
%&
a2
%1&&
%&&
%&
%11&
a3
%*&&
%3&&
%&&
%&
&.(
&.2
&.2
Pro$a$ilidades &. E a1
&$ & &$( 11& &$2 & &$2 22& 1+2$,
E a1
&$ 2&& &$( & &$2 11& &$2 & 1($,&
E a1
&$ 1&& &$( && &$2 & &$2 11& 1(($2&
E a1
&$ *&& &$( 3&& &$2 && &$2 & ,3
De"isi#n a to!ar
La alternativa óptima se'Jn el criterio de la p@rdida de oportunidad esperada sería a $ pues proporciona la menor p@rdida esperada. 1.,. 0alor de la in
Ae llama información perfecta a la información que dice eactamente lo que va a ocurrir esto es cuando se sabe eactamente el estado de la naturale!a que va a presentarse. Ai sabemos con eactitud el estado de la naturale!a que ocurrir4 es f4cil determinar la alternativa que debe ele'irse pues$ es evidente que en ese caso se ele'ir4 la alternativa que proporcionar4 el mejor resultado. Consideremos la matri! de decisión del ejemplo epuesto resuelto anteriormente. ecordemos que al aplicar el criterio del valor esperado se optó por seleccionar la alternativa a para la cual el valor esperado era %(2.& a esto llamamos valor esperado del proceso de toma de decisión lo denotamos por 0E. En el caso de la 'anancia esperada de la información perfecta se calcula mediante la si'uiente epresión/ n
GEIP
p j R J
J 1
onde/ R J / Es el resultado m4imo para el estado de la naturale!a e j . p j
/ Es la probabilidad del estado de la naturale!a
e j
.
GEIP &$& (&& &$( *&& &$2 +&& &$2 ,&& *(,
Ai queremos saber KCu4nto estaría dispuesto a pa'ar el decisor por obtener la información perfecta Entonces tendríamos que restar GEIP VE . En este caso sería *(, (2$& 1($,& es decir no se debe pa'ar m4s de 1($,& por saber cual estado de la naturale!a ocurrir4 con precisión.
) ada la información de unidades vendidas sus respectivas probabilidades / nidades #endidas ( * + ,
;robabilidad de venta &.1( &.2& &.3& &.1(
El costo unitario es de ( soles el precio de venta es de 1& soles. a) Elaborar la tabla de 'anancias condicionales$ considerando que las unidades no vendidas se descartan se consideran como e'resos. b) Elaborar la tabla de 'anancias esperadas. K0u@ nivel de inventario recomendaría
Solución :
a) Dabla de Ganancias condicionales / emanda M =ferta ( * + ,
( 1( 1( 1( 1(
* 1& 12& 12& 12&
+ 11( 1( 12( 12(
, 11& 1& 12& 13&
C4lculos / 6em$ =ferta) 6 ( $ ( ) N 6 ( $ * ) N 6 ( $ + ) N 6 ( $ , ) N
(61&) O (6() N 1( (61&) O (6() 7 16() N 1&$ (61&) O (6() 7 6() N 11($ (61&) O (6() 7 26() N 11&$
se descarta una se descartan dos se descartan tres
6em$ =ferta) 6 * $ ( ) N (61&) O (6() N 1($ Ae vende lo que se oferta 6 * $ * ) N *61&) O *6() N 12&$ 6 * $ + ) N *61&) O *6() 7 16() N 1($ se descartan una 6 * $ , ) N *61&) O *6() 7 6() N 1&$ se descartan dos ....................... 6 , $ + ) N +61&) O +6() N 12( 6 , $ , ) N ,61&) O ,6() N 13& b) Dabla de Ganancias Esperadas
De!. 2 2= 2> 27
Pro$$. 4.1 4.34 4.,4 4.1
2
2=
?.C. ?.E. 12 17.> 12 3>.4 12 4.4 12 17.> 1(.&
?.C. ?.E. 124 >7 134 3@ 134 2 134 1@. 1,.(
2> ?.C. 11 12 13 13 15.&
27 ?.E. ?.C. 1>.2 114 3>.2 124 ,.4 134 24.2 1,4 1(.(
?.E 1=. 3=.4 2.4 21.4
La maor 'anancia esperada es 15. ;or lo tanto se decidir4 abastecer u ofertar + unidades. =( Aupon'a que usted compra en P1&&& un nJmero de una rifa$ la cual pa'a un premio de P(&.&&&. >a dos eventos posibles/ sted 'ana la rifa$ o ;ierde KCu4l es el valor esperado del jue'o Solu"i#n =.
La distri$u"i#n de )ro$a$ilidades es Evento
X
P(X)
?ana
,@444
1144
Pierde
1444
@@144
El valor es)erado es ,@444&1144( 6 1444@@144 44 Fu/ si%ni
En el nodo de evento se calculó el valor esperado de ju'ar la rifa Lue'o se selecciona$ en este caso el valor m4s alto 6por ser 'anancias) La decisión desec-ada se marca con MM En este caso la decisión es no ju'ar la rifa
