o PRACTICO N" 2 PRUEBA DE HTPOTESIS PARAMETRICAS 1.- Una firma lanzara al mercado un nuevo producto solo si hay pruebas de que el promedio del ingreso familiar mensual de una determinada población es al menos $400. La decisión ierá tomada después de seleccionar una muestra aleatoria de tamaño n. a) Determinarh, sise quiere que el riesgo sea 1,5% de no lanzar el producio cuando elpromediodelingreso familiar mensual es de $ 400, y el riesgo sea de 0,8% de lanzar el producto cuando el promedio del ingreso familiar sea $377. b) Determine la regla de decisión en el rango deTcon el támaño de muestra hállada en a), y la probabilidad de lanzar el producto almercado cuando el ingreso promedio es realmente $380. 2.- Una firma comercializadora está interesada en vender arroz embo[sado por kilos, que tenga el menor porcentaje de granos quebrados. Recibe el informe de dos molineras que afirman tener el mejor arroz embolsado, con el más bajo porcentaje de granos quebrados por kilo. Para tomar la decisión estadística se selecciona una muestra aleatoria de bolsas de arroz de un kilo de la molinera A y se encuentran los siguientes porcentajes de granos quebrados por kilo: 6, 5, 6, 7, 41 7,6, 4, 3, 6 Se toma además una muestra al azar de 10 bolsas de la molinera B encontrándose los siguientes porcentajes de granos quebrados por kilo:
7, 6,7, 9, 5, 8, 7, 6, 10, 8
Suponga que los porcentajes de grano$quebrados en cada molinera se distribuyen normalmente con varianzas independientes iguales. ¿Al nivel de significación del 5% se puede concluir que hay diferencias significativas en los promedios de los porcentajes de granos quebrados de las dos molineras? ' Si hay diferencias significativas, ¿Qué tipo de arroz se recomienda comercializar? 3.- Una muestra aleatoria de 300 hombres y otra de 400 mu.¡eres de una determinada población revelo que 120 hombres y 120 mujeres estaban a favor de cierta propuesta gubernamental. ¿se puede concluir que la proporción de hombres a favor es mayor que la proporción de mujeres a favor de la propuesta al nivel de significación del 5%?
4.- Eltiempo de vida útil (en meses) de cierto tipo de resistencia tiene distribución normal con parámetro p = 90 y o = 4,54. Para comprobar la hipótesis Nula de que la vida útil promedio de cierto tipo de resistencia es igual a B0 meses, contra la hipótesis alternativa de que la vida útil promedio es menor a 80 meses, se extrae una muestra aleatoria de tamaño 9. Si se usa región critica: RC = {x
(zt,s¡.
a) Hallar la pro,babilidad de error tipo
I
b) Hallar la Potencia de Ia Prueba, cuando la vida útil promedio es realmente 76. 5.- Para un bien de consumo popular del fabricante A, una muestra de 10 tiendas ha dado las siguientes ventas (en dólares):
32000, 30000, 33000, 31000, 32000, 35000, 34000, s5000, 31000, 33000 Para el mismo bien de consumo popular del fabricante B, una muestra de 11 tiendas ha dado las siguientes ventas: 35000, 32000, 36000, 38000, 37000, 39000, 38000, 40000, 42000, 45000, 44000
.-
Suponiendo poblaciones normales y varianzas iguales y o = 0,05. ¿Se podría concluir que son iguales los promedios de ventas de los dos productos?. Si no es así, ¿Qué producto se vende más? 6.- Una de las maneras de mantener ba1o control la calidad de'un producto es controlar su varianza. Una máquin a para enlatar conserva de pescado está regulada para llenar con una desviación estándar de 10 gr y media-500 gr. El peso de cada lata de conserva sigue una distribución normal, ¿DirÍa usted que la maquina ha sido adecuadamente regulada en relación alavarianza, si una muestra de 16 latas de conserva dio una varianza de 169 gr'?. Use a= 5o/o. 7.- La precipitación pluviométrica anual en la ciudad de Santa Cruz tiene desviación estándar conocida o = 3,1 y media desconocida. Para los últimos 9 años, fueron obtenidos los siguientes resultados 30,5; 34,1; 27,9; 35; 26,9; 30,2; 28,3; 31 ,7', 25,8. a) Construya una prueba de hipótesis para saber si la media de la precipitación pluviométrica anual es menor o igual'que 30 unidades. Utilice nivel de significación del 5 % b) Discuta el mismo problema, considerando o desconocida. c) Suponiendo que, en realidad, p = 33, ¿Cuál es la probabilidad de llegar a una conclusión errada en el caso a)? B.- los administradores de los hospitales en muchos casos se encargan de obtener y calcular algunas estadísticas que son de suma importancia para los médicos y para los encargados de decidir en el hospital. En los registros del hospital
,.
Loayza se tiene que B0 hombres de una muestra de 900 hombres y 51 mujeres de una muestra de 800 mujeres ingresaron al hospital por causa de alguna enfermedad venérea. ¿Puede o no considerarse que estos datos presentan evidencia suficiente en el sentido de que existe una mayor tasa de afecciones venéreas en los hombres que ingresan al hospital?. Utilice a -- 5%. 9.- Se afirma que el peso de los alumnos varones de la Universidad tiene una media de 68 kgy una dgviación estándar de 3,6 Kg. Si ¡iara verificar el valor de la media se utiliza la región critica o de rechazo RC = {X*67 o X} 69} dondeX es la media de muestras de tamaño 64, ¿en qué porcentaje de casos se tomara le decisión equivocada de aceptar que el peso medio es de 68 Kg, cuando realmente es 2 Kg mayor que ese valor? 10.- Se asegura que el 7Oo/o de los trabajadores están asegurados bajo el régimen particular de pensiones (AFP). Para probar esta áfirmación se toma, una muestra de B0 personas que trabajan. Si menos de 52 personas de la muestra están aseguradas en el régimen indicado, se rechaza que el 70% de la poblacion d'e trabajadores está asegurado en AFP.
a) ¿Cuál es el nivel de significación de la prueba? b) Se podría decir que la prueba puede detectar una diferenc ia de 20% por debajo de lo indicado en la hipótesis nula? 11.- Al estudiar si convine tener o no una sucursal en la ciudad de La Paz,la gerencia de una gran tienda comercial de Santa Cruz, establece el siguiente criteriq para tomar una decisión. Abrir la sucursal solo si el ingreso promedio familiar mensualen dicha ciudad en no menorde $500 y no abrirla en caso contrario. Si una muestra aleatoria de 100 ingresos familiares de esa ciudad ha dado una media de $480
a) ¿Cuál es la decisión a tomar al nivel de significación del 5%? b) ¿con que probabilidad la prueba anterior detecta la diferencia igual a 30 $ en el promedio de ingresos y por debajo de lo que se indica en la hipótesis nula? c) Calcular la probabilidad de tomar una decisión correcta si el ingreso promedio realmente es 464$. Suponga que la distribución de los ingresos tiene una desviación estándar igual a 80S. ü
12.- En un proceso de fabricación, se plantea la hipótesis que la desviación estándar de las longitudes de cierto tipo de
tornillo es 2 mm. En una muestra de 10 tornillos elegidos alazar del proceso de producción se han encontrado las siguientes longitudes en milímetros:
71. 66, 64, 72, 69, 67, 70, 68, 65, 69 Con estos datos, ¿se justifica la suposición que la desviación estándar verdadera es 2 mm?. Use el nivel de significación del 5%, y suponga que la distribución de las longitudes es normal. 13.- Un fabricante quiere comparar dos marcas de máquinas, A y B; para fabricar un tipo de artículo. Observa dos muestras aleatorias de 60 artículos procesados por A y B respectivamente y encuentra que las medias respectivas son1230 y 1 190 segundos. Suponga ot= 120 y oz= 90 segundos.
a)Al nivel de significación del 5%, ¿se puede inferir que la maquina B es más rápida que la maquina A? b) Al nivel de significación del 5%, ¿se puede inferir que la media de B es menor que la media de A en menos de 7 segundos?
14.-Unfabricanteafirmaqueel30%detodoslosconsumidoiesprefieresuproducto
Conelfindeev3luaresta
afirmación se tomó una muestra aleatoria de 400 consumidores y se encontró que 100 de ellos prefieren dicho producto. a) ¿es esta, suficiente evidencia para inferir que el porcentaje de preferencia del producto no es 30 %?. Utilice un nivel de significación del '1 % b) Calcular la probabilidad de tomar la decisión errada de aceptar la afirmación del fabricante cuando la
verdadera
¡
proporción poblacionalde aceptación del producto es 20%. 15.- Elgerente de ventas de una compañía afirma que sus vendedores venden en promedio diariamente 1500 $. Diseñe una prueba (calcular n y la región critica) para esta hipótesis sise quiere que el riesgo sea 1,5% de rechazar la afirmación
cuando realmente es verdadera y el riesgo sea de 0,8 % de aceptar la afirmación cuando realmente es 1523 $ el promedio de las ventas diarias. Suponga que la distribución de las ventas es normal con una desviación estándar de 50 $. 16.- Eldirector de la bolsa de trabajo de la Universidad afirma que el 10% de los,egresados de la Universidad consigueir empleo con una remuneración mayor a 3000 $ mensuales. Al parecer el poicentaje indicado es optimista. Para comprobar esta afirmación se debe tomar una muestra aleatoria de n egresados. Hallar el tamaño de la muestra y la regla de decisión si se desea que la probabilidad de cometer error de tipo I es 0,2514 y Que el riesgo de tomar una decisión equivocada guando la proporción de egresados con una remuneración mayor de 3000 $ sea del 5 % con una probabilidad de 0,0853. 17.- Se sabe que elconsumo mensual per cápita de un determinado producto tiene distribución normal, con una desviación estándar de 2 Kg. El gerente de una firma que fabrica ese producto resuelve retirar el producto de la línea de producción si la media del consumo per cápita es menor que 8 Kg. En caso contrario continuara fabricando. Fue realizada una investigación de mercado, tomando una muestra de 25 individuos se verifico que: f X¡= 180 Kg, donde X¡representa el consumo mensualdel i-esimo individuo de la muestra.
a) Construya una prueba de hipótesis adejcuada, utilizando un nivel de significación del seleccionada, determine la decisión a ser tomada por el gerente.
SYo,
y en base a la muestra
b) ¿Cuál es la probabilidad de tomar una decisión errada si. en realidad la media poblacional es 7,8 Kg? c) Si el gerente hubiese fijado un nivel de significación del l %,¿la decisión sería la misma? 18.- Un grupo de investigadores del ministerio de educación afirman que en santa Cruz, la proporción de hombres que reciben educación primaria es igual a la de mujeres. Para probar su afirmación los investigadores tomaron una muestra aleatoria de 1772 hombres, de los cuales 4'1 1 recibieron educación primaria y una muestra aleatoria de 1572 mujeres, de las cuales 393 recibieron educación primaria. En base a los datos, ¿se puede decir que los investigadores tenían razón?. Use nivelde significación de 5 % 3 19.- Un compradorde ladrillos cree que la calidad de los ladrillos está disminuyendo. De experiencias anteriores, la resistencia media aldesmoronamiento de tales ladrillos es 200 Kgf, con una desviación tÍpica de 10 Kgf. Una muestra de 100 ladrillos arroja una media de 195 kgf. a) Probar la hipótesis, la calidad media no ha cambiado, contra la alternativa que ha disminuido. Use nivel de significación
5%. b)Calcular la probabilidad de aceptar la H6, cuando en realidad la media poblacionales iguala 196 Kgf.
'
PRACTICO N" 3 PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE, Y DE INDEPENDENCIA Y ANALISIS DE REGRESION Y CORRELACION I.- PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE.1.- Seis monedas fueron lanzadas 1500 veces. Las frecuencias de los números de caras son dados a continuación. Verifique si los datos se ajustan a yn mgdelo Qinomiql. Use nivel de significación 1 % Número de caras 0 1 2 3 4 5 6 Total
Frecuencias
41
153
366
377
343
172
48
1
500
2.- Durante 100 intervalos (cada uno de 3 minutos) son registradas las llamadas telefónicas recibidas en una central telefónica, obteniendo los siquientes resultados: Número de llamadas 0 I 2 3 4 Numero de intervalos 48 35 11 5 1 Verificar si la distribución de estos datos se ajusta a una dlstribución de Poisson, utilizando un nivel de significación del 5%. 3.- El número de defectos por unidad de una muestra de 150 objetos producidos por una máquina, ha dado la siguiente distribución de frecuencias:
Numero de defectos 0 1 2 3 4 5 6 Numero de obietos 58 55 22 10 4 1 0 Verificar al nivel o = 0,01 , si la distribución de la muestra se ajusta a una distribución de Poisson 4.- Realizar una prueba de bondad de ajuste para verificar si la distribución dada a continuación se aproxima a una distribución normal Los datos se refieren a las alturas de 100 estudiantes de sexo femenino. Use o = 0,0S Alturas en cm Número de estudiantes 150, 156 t 4
1s6,162t [162,168[
12 22
1168.174I
40
t174,180[
20
[180, 186[
2
Total
100
5.- A menudo se dice que los profesores tienden a clasiflcar a sus alumnos de acuerdo con la curva normal. En un examen final del CUTSO dE de ES gstadística ggneral, las calificaciones de los alumnos han sido tabuladas en la distribución de frecuencias que sigue:
Notas
Alumnos
¡2-
5¡ 15- 8r t 8 11[
t11 - 14f ¡14 - 17f
Í17 -20Í
6 18
56 48 30 8
¿Se puede concluir que esta distribución de notas concuerda con una distribución normal?. Utilice el nivel de significación 1 % 6.- Se seleccionan aleatoriamente 150 cuentas en la sección de contabilidad de un banco y se las examinan para descubrir errores, obten¡endo los siquientes resultados:
Numero de errores I 0 1 2 3 4 5 6 Numero de cuentas I 64 46 25 o 4 1 I Verificar si la distribución de estos datos, se ajusta a una distribución Binomial utilizando un nivel de significación del 5%.
II.. PRUEBAS DE INDEPENDENCIA.1.- se selecciona una muestra de 800 votantes y se les clasifica de acuerdo a su nivel de ingresos como: bajo, medio, y alto, y según su opinión con respecto a una reforma impositiva en: a favor,.en contra, sin decisión. Las frecuencias observadas se dan en la siguiente tabla. Con o =0,05, ¿.se puede inferir que la opinión de los votantes.es dependiente de su nivel de ingresos?
lnoresos
Bajo
Medio
Alto
A favor En contra
200 60 40
130 60 60
70
Eñiñióii== Sin opinión
80
100
2.- Una compañía nacional de cerveza está interesada en saber si el consumo de su marca de cerveza depende de una localización geográfica en especial. Para responder a esta pregunta la compañía solicita a una firma de investigación de mercados interrogar a consumidores en cada uno de las cuatro reqiones principales del . Los resultados se registran en la siguiente tabla Regió¡ Sur Centro Norte Selva C ons u m o a n u al-ñ-óFñ-ffi6ñr Más de 10 caias 100 200 120 90 't50 De5al0caias 150 100 200 Menos de 5 caias 100 230 200 160 Al nivel de significación del 5%, ¿lalocalización geográfica es un factor insignificante en el consumo de la ceryeza?
3.- Se realizó un estudio para determinar si el tamaño de familia depende del nivel de educación del padre. La muestra se clasifico de acuerdo al nlvel de educación al número de hiios, en la siguiente tabla
Número de hijos
Nivel de educáññ* Primaria Secundaria
0o1
2
3
4
5omas
20 50 12
18
12 18
14
30
25
24 4 8 't2 Con estos datos. ¿Se puede inferir que el tamaño de la familia es independiente del nivel de educación del padre? Use o = 0,05. 4.- Contrastar al nivel de 5oh si hay alguna relación entre las notas que obtuvieron en bachillerato y el salario que perciben los 150 empleados de la Univers idad de La Paz.
Superior
Notas del bachillerato H
Alto
Medio Baio Total
16
6
AIta
Media
Baja
Total
18 26
17
5
3B
16
40 80
6
15
9
30
50
70
30
'150
5.- Se realiza una investigación para determinar si la calificación de desempeño en el trabajo es independiente de los logros académicos en la Universidad. Se selecciona aleatoriamente una muestra de 100 empleados y su clasificación se da en la siguiente tabla:
Nivel académico en Universidad uailTrcacton oe oesempeno Excelente Bueno Malo
A
B
C o menos
Total
10 20 20
5 '12
5 8 7
40 40
Total
50
20
100
13 30
20
Al nivel de significación del 1%, ¿debe llegarse a la conclusión de que la calificación de desempeño en el trabajo no está relacionada con los logros académicos en Universidad?. 6.- Se efectuó un estudio de mercados a escala nacional para determinar las preferencias de diversos grupos de edad de varones por los diferentes deportes. Se seleccionó una muestra aleatoria de 1000 hombres y a cada persona se le pidió indicar su deporte favorito. Los resultados fueron como sique
ffi**
Beisbol
Futbol
Baloncesto
20-29 30-39 40-49
26 38 72 96
50 o mas
134
47 84 68 48 44 291
Menos de 20
Total
366
Tenis
Total
41
36
150
BO
48
38 30 18
22 26
250 200 200 200
207
136
A
-Tooo
Con un nivel de significación de 1ok. ¿hay una relación entre la edad de los hombres y su preferencia por los deportes?. 7.- Un investigador y el director de Postgrado de la Universidad Autónoma Gabriel Rene Moreno desean determinar si existe o no una relación entre un estudiante de una especialidad y su intención de asistir a cursos de Postgrado. La tabla siguiente muestra los resultados de una encuesta hecha a 1 10 estudiantes: No lnseguro Total usted asistir a cursos de Postgrado? S¡ _l_Piensa -=---H_
Especralroao Matemática
Computación Contabilidad Economía Educación Estadística Otras Total Con un nivel de 5%, ¿Qué creemos que se puede
J
A
12
'10
3 6
2
5
J
5
14
5
2
1
1
2
43 27 inferir?
4
11
15
5
37 10 14 24
2
5
40
110
9
III.- ANALISIS DE REGRESION Y CORRELACION.. 1.- Con el propósito de estimar el coeficiente de absorción se analiza el efecto de la temperatura en la absorción de anhídrido carbónica obteniéndose los siguientes resultados:
a) b) c) d)
Temperatura ('C) Coeficiente de absorción
35
50
Representar el diagrama de dispersión y describir la tendencia Estlmar la ecuación de regresión que mejor se ajuste a los datos, por el método de mínimos cuadrados Analizar la bondad de ajuste de la ecuación estimada utilizando el coeficiente de determinación Estimar el coeficiente de absorción, cuando la temperatura es de 60 'C
2.- Se obtuvieron |os siguientes datos experimentales, para determinar la relación entre la presión P de una masa de gas correspondiente a varios valores del volumen V: P(lbflpulg') 61.2 49,5 37,6 28,4 14,5 10,1 V(pulg') 54,3 61,8 72,4 88,7 140,2. 194,0 a.-Truzar el diagrama de dispersión y describir la tendencia b. Determinar la ecuación de la curva que mejor se ajusta a los datos de la muestra por el método de mínimos cuadrados. c. Calcular el coeficiente de determinación y el coeficiente de correlación ¿con este coeficiente podría planificarse eventos futuros? d. Estime la presión de una masa de gas, cuando el volumen mide 210.S pulg". e. A que volumen, la presión de una masa de gas será 7,2 lbf/pulg2. 3.- Se obtuvieron los siguientes datos para QBterminar la relación entre ca ntidad de fertiliz antes y producción de papa por hectárea. 4 Sacos de fertilizante por hectárea 3 5 6 7 8 i9 10 I 11 12 45 48 52 55 60 65i68 70174 76 Rendimiento en quintales a.-Dibuje el diagrama de dispersión y describir la tendencia. b. Encuentre la ecuación de regresión que mejor se ajusta a los datos, por el Método de Minimos Cuadrados c. Analizar la bondad de ajuste de la curva de regresión, utilizando et coeficiente de determinación. " d. Predecir la cosecha si se aplican 13 sacos de fertilizantes e. Calcular el coeficiente de correlación. lnterpretar la tendencia 4.- El número de bacterias por unidad de volumen en un cultivo después de x horas viene dado en la tabla: Numero de bacterias 32 47 65 92 132 190 275 0 1 2 3 4 Tiempo (horas) 5 6 a) Representar los datos en un plano cartesiano y describir la tendencia. b) Estimar la ecuación de la curva que mejor se ajusta a los datos de la muestra por el método de mínimos cuadrados c) Calcular el coeficiente de determinación y el coeficiente de correlacíón. ¿Con este coeficiente podría planificarse eventos futuros? d) Estimar el número de bacterias, cuando el tiempo transcurre 8 horas. e) En que tiempo el número de bacterias será de 200. 5.- Por medio de la muestra dada: Expansión de la qelatina 0,8 1,6 2,3 2,8 3,4 10 20 30 40 50 Humedad del aire a) f razar el diagrama de dispersión y describir la tendencia. b) Estimar la ecuación de la curva que mejor se ajusta a los datos de la muestra por el método de mínimos cuadrados c) Calcular el coeficiente de determinación y el coeficiente de correlación. ¿Con este coeficiente podría planificarse eventos futuros? d) Estimar la expansión de la gelatina para una humedad del aire equivalente a 80. e) A que humedad del aire será la expansió¡ de la gelatina igual a 3.0.
n
L-7
